PENYELESAIAN MASALAH KONDUKSI PANAS PADA MEDIA...

i

PENYELESAIAN MASALAH KONDUKSI PANAS PADA

MEDIA HETEROGEN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA

Tugas Akhir

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Matematika

Program Studi Matematika

Oleh:

Krispianus Krisantus Tena Wou

133114033

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2018

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

SOLUTION OF HEAT CONDUCTION PROBLEM

IN HETEROGENEOUS MEDIUM USING A FINITE DIFFERENCE

METHOD

Final Project

Presented as a Partial Fulfillment of the Requirements

to Obtain the Degree of Sarjana Sains

in Mathematics

By :

Krispianus Krisantus Tena Wou

133114033

MATHEMATICS STUDY PROGRAM, DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2018


iii


iv


v

HALAMAN PERSEMBAHAN

Karya ini dipersembahkan untuk Tuhan Yesus dan Bunda Maria yang selalu

menyertaiku, orang-orang yang sangat luar biasa, malaikat hidup, orang-orang

yang sangat saya cintai dan saya kasihi yaitu Bapak Yakobus Mateus Wou, Ibu

Clara Gana, Kakak Yoman Laja Wou, Kakak Ikho Maja Wou, saudara/i dari

keluarga besar kedua orang tua.


vi


vii

P


viii

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis haturkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena

atas berkat, rahmat dan anugerah-Nya penulis bisa mengerjakan dan

menyelesaikan tugas akhir ini dengan baik. Tugas akhir ini dibuat dengan tujuan

memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program

Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma.

Penulis menyadari bahwa penulis melibatkan banyak pihak untuk

membantu dalam proses pengerjaan tugas akhir ini. Oleh karena itu, pada

kesempatan yang mulia ini penulis mengucapkan terimakasih kepada:

1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku Dekan Fakultas

Sains dan Teknologi sekaligus sebagai Dosen Pembimbing Tugas Akhir.

2. Bapak Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Kaprodi Matematika.

3. Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku Dosen Pembimbing

Akademik.

4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc.,

Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si., M.Si., dan Ibu Lusia

Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. selaku dosen-dosen Prodi Matematika

yang telah memberikan banyak pengetahuan kepada penulis selama proses

perkuliahan.

5. Kedua orang tua, kakak, dan keluarga yang telah membantu dan

mendukung penulis selama proses pengerjaan tugas akhir.

6. Teman-teman Matematika 2013 yang tidak bisa saya sebutkan satu

persatu.

Semoga Tuhan membalas kebaikan semua pihak yang telah memberi

semangat, dukungan, bantuan dan doa kepada penulis. Penulis menyadari bahwa

masih banyak kekurangan dalam penulisan tugas akhir ini. Oleh karena itu,

penulis mengharapkan kritikan dan saran yang membangun demi penyempurnaan


ix


x

ABSTRAK

Ketika ada perbedaan suhu di dalam suatu media, maka akan terjadi

perpindahan panas yang melewati media tersebut, dari bagian yang bersuhu tinggi

ke bagian suhu yang lebih rendah.

Pada tugas akhir ini, akan dibahas mengenai proses perpindahan panas

dimana objek penelitiannya adalah penampang kawat logam heterogen yang pada

batas-batas dan titik-titik tertentu diketahui suhunya. Proses perpindahan panas

dapat diketahui melalui distribusi suhunya. Tujuan dari penulisan tugas akhir ini

adalah menghitung distribusi suhu pada penampang kawat logam heterogen satu

dimensi. Perhitungan distribusi suhu melibatkan persamaan diferensial parsial

(PDP). Salah satu teknik yang digunakan untuk menyelesaikan PDP adalah

metode numerik. Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk

menyelesaikan permasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan

operasi aritmatika biasa. Konduksi panas di penampang kawat logam diatur oleh

persamaan panas satu dimensi. Secara matematis, persamaan panas satu dimensi

termasuk PDP berjenis parabolik. Persamaan panas satu dimensi ini kemudian

diselesaikan dengan menggunakan pendekatan metode beda hingga skema

eksplisit. Untuk selanjutnya, perhitungan distribusi suhu dilakukan dengan

memasukan nilai-nilai dari syarat awal dan syarat batasnya. Diperoleh kesimpulan

bahwa banyaknya interval yang digunakan, berpengaruh pada perhitungan

numerik distribusi suhu pada penampang kawat logam. Semakin banyak interval

yang digunakan maka distribusi suhu yang dihasilkan akan semakin akurat.

Kemudian banyaknya interval juga berpengaruh pada proses dan hasil simulasi.

Semakin banyak interval yang digunakan maka kontur yang dihasilkan akan

semakin halus namun waktu yang dibutuhkan untuk simulasi akan menjadi lebih

lama.

Kata kunci: metode beda hingga, distribusi suhu, persamaan diferensial parsial,

perpindahan panas.


xi

ABSTRACT

When a temperature difference exists in a medium, heat transfer occurs

across the medium from a high temperature section to a low temperature one.

In this final project, we will discuss about heat transfer process in a

heterogeneous metal wire cross section. The heat transfer process can be known

by its temperature distribution. The aim of this study is to calculate the

temperature distributio across the cross section of a one-dimensional

heterogeneous metal wire. Calculation of temperature distribution involves a

partial differential equation (PDE). The technique used to solve the PDE is

numerical method. Numerical methods are techniques used to solving

mathematical problems with ordinary arithmetic operations. Heat conduction in

cross section of heterogeneous metal wire obeys the one dimensional heat

equation. Furthermore, calculation is done by substitution of the values of the

initial conditions and boundary conditions. We obtain that the interval width

affects the numerical calculation of temperature distribution. If more intervals are

used, then the results of temperature distribution will be more accurate. The

interval width also affects the procces and simulation results. If more intervals are

used, then results of temperature contour will be smoother, but the time required

will be longer.

Keywords: finite difference method, temperature distribution, partial differential

equation, heat transfer.


xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ........................................................................................................ i

TITLE PAGE ..................................................................................................................... ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................... iii

HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................. v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................................ vi

PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ............................................... vii

KATA PENGANTAR ........................................................................................... ix

ABSTRAK .............................................................................................................. x

ABSTRACT ............................................................................................................. xi

DAFTAR ISI ......................................................................................................... xii

DAFTAR GAMBAR ........................................................................................... xiv

BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1

A. Latar belakang ............................................................................................. 1

B. Rumusan Masalah ....................................................................................... 3

C. Batasan masalah .......................................................................................... 3

D. Tujuan penulisan ......................................................................................... 3

E. Metode penulisan ........................................................................................ 4

F. Manfaat penulisan ....................................................................................... 4

G. Sistematika penulisan ................................................................................. 4

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL....................................................................... 6

A. Integral ........................................................................................................ 6

C. Deret Taylor ................................................................................................ 9

D. Klasifikasi Persamaan Diferensial............................................................. 13

E. Klasifikasi Persamaan Diferensial Parsial Orde Dua ................................ 15

F. Penurunan Numeris ................................................................................... 16

G. Menentukan Orde Galat............................................................................. 23


xiii

BAB III METODE NUMERIS UNTUK PERSAMAAN PANAS SATU

DIMENSI ........................................................................................................................ 25

A. Penurunan Persamaan Panas Satu Dimensi .............................................. 25

B. Pendekatan Metode Beda Hingga untuk Persamaan Panas Satu Dimensi 28

C. Skema Eksplisit untuk Persamaan Panas Satu Dimensi ............................ 31

BAB IV MODEL MASALAH KONDUKSI PANAS PADA MEDIA

HETEROGEN ....................................................................................................... 42

A. Metode Beda Hingga untuk Masalah Konduksi Panas pada Media

Heterogen .................................................................................................. 42

B. Solusi Numeris Metode Beda Hingga Masalah Konduksi Panas pada

Media Heterogen ....................................................................................... 52

BAB V PENUTUP ................................................................................................ 60

A. Kesimpulan ................................................................................................ 60

B. Saran .......................................................................................................... 61

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 62

LAMPIRAN .......................................................................................................... 63


xiv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Konfigurasi Masalah Konduksi Panas pada Media Heterogen ........ 2

Gambar 2.1 Ilustrasi fungsi satu variabel .............................................................. 7

Gambar 2.2 Tiga pendekatan dalam perhitungan turunan numerik .................... 19

Gambar 3.1 Kawat homogen satu dimensi dengan energi panas yang mengalir

keluar dan masuk ............................................................................. 25

Gambar 3.2 Hasil simulasi penyelesaian contoh 3.1 dengan menggunakan

metode beda hingga pada saat .. .................................. 36

Gambar 3.3 Hasil simulasi penyelesaian contoh 3.1 saat ............. 37

Gambar 3.4 Hasil simulasi penyelesaian contoh 3.2 menggunakan metode beda

hingga pada saat ......................................................... 40

Gambar 3.5 Hasil simulasi penyelesaian contoh 3.2 menggunakan metode beda

pada saat ................................................................... 41

Gambar 4.1 Konduksi panas yang melalui dua lapis bahan yang memiliki

konduktivitas termal yang berbeda. ................................................. 42

Gambar 4.2 Hasil simulasi proses perpindahan panas pada contoh 4.1 dengan

saat . ...................................... 53


saat ........................................... 52


saat . ................................................................. 53


saat . ...................................... 56


saat . .......................................... 57


xv


saat . ................................................................. 58


1

BAB 1

PENDAHULUAN

Pada bab ini akan dibahas latar belakang masalah, rumusan masalah,

batasan masalah, tujuan penulisan, metode penulisan, manfaat penulisan, dan

sistematika penulisan.

A. Latar belakang

Perpindahan panas yang terjadi di alam merupakan persoalan yang

kompleks karena melibatkan banyak parameter. Sehingga penyelesaian persoalan

perpindahan panas di alam ini memerlukan asumsi-asumsi untuk

menyederhanakan permasalahan.

Perpindahan panas adalah ilmu yang menjelaskan perpindahan energi yang

terjadi karena adanya perbedaan suhu di antara benda atau material (Suparno,

2009). Proses perpindahan panas akan mengalir dari daerah yang suhunya tinggi

menuju daerah yang suhunya lebih rendah (Kreith dkk., 1997). Mekanisme

perpindahan panas sendiri, dapat terjadi secara konduksi, konveksi, dan radiasi.

Perpindahan panas secara konduksi atau hantaran adalah proses perpindahan dari

partikel-partikel yang lebih energik dari suatu zat ke partikel-partikel yang

berdekatan yang kurang energik sebagai akibat dari interaksi dari partikel-partikel

tersebut (Cengel & Turner, 2005), konveksi adalah bentuk perpindahan panas

yang terjadi antara permukaan zat padat yang bersuhu tinggi dengan zat cair atau

gas yang berdekatan yang bersuhu rendah, melalui gerakan atau aliran zat cair

atau gas tersebut, sedangkan perpindahan panas secara radiasi adalah proses

perpindahan dari suatu benda ke benda lain dalam bentuk gelombang

elektromagnetik (photon), yang diakibatkan oleh perubahan dalam konfigurasi

elektron dan atom atau molekul (Cengel & Turner, 2005).


2

Pada tugas akhir ini, akan dibahas mengenai proses perpindahan panas,

dimana objek penelitiannya adalah suatu penampang kawat logam heterogen yang

pada batas-batas dan titik-titik tertentu, diketahui suhunya.

Gambar 1.1. Konfigurasi masalah konduksi panas pada media heterogen.

Sebagai gambaran kasus, ditinjau suatu penampang kawat logam dengan panjang

yang dilekatkan dari dua bahan yang berbeda, seperti pada Gambar 1.1,

sedemikian sehingga adalah bagian kawat yang terbuat dari logam

besi dan adalah bagian kawat yang terbuat dari logam emas. Misalkan

adalah antarmuka (interface) yang memisahkan kedua bahan tersebut.

Tujuannya adalah mencari distribusi suhu penampang kawat logam heterogen

pada setiap posisi dan setiap waktu yaitu ( ) ( ). Konduksi panas di

kedua daerah tersebut masing-masing diatur oleh persamaan panas satu dimensi

(Tarwidi, 2013), yaitu

(1.1)

dan

(1.2)

= 0 =

𝐼𝑛 𝑒𝑟𝑓𝑎 𝑒

𝐴

=

diisolasi


3

dengan adalah kepadatan kawat, adalah konstanta panas spesifik besi,

adalah konstanta panas spesifik emas, adalah konstanta konduktivitas

termal besi, adalah konstanta konduktivitas termal emas, adalah variabel

bebas untuk domain ruang, adalah variabel bebas untuk waktu dan ( )

adalah fungsi yang bergantung pada dan

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah dipaparkan, penulis mengadakan

penelitian terhadap masalah-masalah berikut:

1. Bagaimana memperoleh persamaan panas satu dimensi yang mengatur

konduksi panas pada penampang kawat logam heterogen?

2. Bagaimana menyelesaikan persamaan panas satu dimensi menggunakan

metode beda hingga?

C. Batasan masalah

Dalam tugas akhir ini, penulis akan membatasi penulisan agar lebih terarah

dan tidak menyimpang dari masalah yang akan dibahas yaitu:

1. Masalah konduksi panas yang dibahas adalah masalah konduksi panas pada

media heterogen satu dimensi yang memiliki konduktivitas termal yang

berbeda.

2. Konduksi panas yang melalui penampang kawat logam heterogen tersebut

diatur oleh persamaan panas satu dimensi.

3. Persamaan panas satu dimensi akan diselesaikan menggunakan metode beda

hingga skema eksplisit.

D. Tujuan penulisan

Tujuan penulisan tugas akhir ini, terkait dengan masalah konduksi panas, adalah:

1. Menghitung distribusi suhu ( ) pada penampang kawat logam heterogen


4

2. Memperoleh solusi numeris dari persamaan panas satu dimensi di penampang

kawat logam heterogen tersebut.

3.

E. Metode penulisan

Metode penulisan yang digunakan untuk menyusun tugas akhir ini adalah

studi pustaka dari buku-buku dan jurnal-jurnal, serta praktik simulasi numeris

menggunakan perangkat lunak MATLAB.

F. Manfaat penulisan

Manfaat penulisan tugas akhir ini adalah:

1. Penulis memperoleh pengetahuan baru selama mengerjakan tugas akhir ini.

2. Pembaca mendapat gambaran tentang masalah konduksi panas pada media

heterogen yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari.

3. Tugas akhir ini dapat dijadikan referensi bagi peneliti lain.

G. Sistematika penulisan

Sistematika penulisan tugas akhir ini adalah:

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Masalah

E. Metode Penulisan

F. Manfaat Penulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL

A. Integral

B. Deret Taylor

C. Klasifikasi Persamaan Diferensial


5

D. Klasifikasi Persamaan Diferensial Orde Dua

E. Penurunan Numeris

F. Menentukan Orde Galat

BAB III METODE NUMERIS UNTUK PERSAMAAN PANAS SATU

DIMENSI

A. Penurunan Persamaan Panas Satu Dimensi

B. Pendekatan Metode Beda Hingga untuk Persamaan Panas Satu Dimensi

BAB IV SIMULASI NUMERIS UNTUK MASALAH KONDUKSI PANAS

PADA MEDIA HETEROGEN.

A. Metode Beda Hingga untuk Masalah Konduksi Panas pada Media Heterogen

B. Solusi Numeris Metode Beda Hingga untuk Masalah Konduksi Panas pada

Media Heterogen

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN


6

BAB II

PERSAMAAN DIFERENSIAL

Dasar teori ditulis dalam bab ini. Dasar teori tersebut meliputi integral,

deret Taylor, klasifikasi persamaan diferensial, klasifikasi persamaan diferensial

orde dua, penurunan numeris, dan menentukan orde galat.

A. Integral

Pada subbab ini akan dibahas mengenai definisi Integral beserta

contohnya.

Definisi 2.1

Kita sebut suatu anti turunan dari 𝑓 pada selang 𝐼 jika ( ) 𝑓( )

untuk semua dalam 𝐼

Contoh 2.1

Carilah anti turunan umum dari 𝑓( ) pada interval ( )

Penyelesaian:

Fungsi ( ) bukanlah anti turunannya, karena turunannya adalah

Tetapi dengan menyarankan ( )

yang memenuhi ( )

karenanya, anti turunan umum adalah

Anti turunan dinotasikan dengan ∫ sebagaimana digunakan oleh

Leibniz sebagai menunjukan anti turunan terhadap Dengan mengikuti Leibniz,

kita seringkali akan memakai istilah integral tak tentu sebagai ganti anti turunan

(Purcell, 1981).


7

Contoh 2.2

Carilah anti turunan yang umum dari 𝑓( )

Penyelesaian:

∫

Perhatikan bahwa, untuk anti turunan suatu pangkat dari kita perbesar

pangkatnya dengan 1 dan membaginya dengan pangkat yang baru.

1. Integral Tentu

Gambar 2.1. Ilustrasi fungsi satu variabel

Untuk menghitung luas di bawah kurva 𝑓( ) dapat dilakukan dengan

aproksimasi, yaitu dengan membagi interval ,𝑎 - oleh partisi * +

ke dalam 𝑛 subinterval yaitu , - , - , - Panjang subinterval

interval ke- ditulis dengan Selanjutnya dipilih sebarang dari

, - , - , - dengan 𝑛 Total luas di bawah kurva

dapat dihitung dengan 𝑓( ) 𝑓(

) 𝑓( ) ∑ 𝑓(

) yang

disebut jumlahan Riemann fungsi 𝑓 pada interval ,𝑎 - sebagai pendekatan luas

daerah di bawah kurva 𝑓( ) dan di atas sumbu .


8

Semakin banyak subinterval seragam yang digunakan artinya

maka semakin baik pula aproksimasi luasan tersebut dan semakin dekat dengan

luasan yang sebenarnya. Dengan demikian, luas daerah ∑ 𝑓( )

Definisi 2.2

Misalkan 𝑓 suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup ,𝑎 - Jika

∑𝑓( )

ada, maka nilai limit tersebut dinamakan integral tentu 𝑓 dari 𝑎 ke , dan ditulis

sebagai ∫ 𝑓( )

Jadi,

∫ 𝑓( )

∑𝑓( )

2. Teorema Dasar Kalkulus

Pada konsep subbab mengenai teorema dasar kalkulus ini, hanya ditulis

mengenai teorema, tidak dibahas mengenai pembuktiannya.

Teorema 2.1 (Teorema Nilai Rata-Rata)

Jika suatu fungsi 𝑓 kontinu pada interval ,𝑎 - maka ada di antara 𝑎 dan

sehingga

𝑓( )( 𝑎) ∫ 𝑓( )

𝑓( )

( 𝑎)∫ 𝑓( )


9

Teorema 2.2 (Teorema Dasar Kalkulus I)

Jika 𝑓 suatu fungsi yang kontinu pada selang tertutup ,𝑎 - maka fungsi yang

ditentukan oleh

( ) ∫ 𝑓( )

𝑎

dapat diturunkan pada ,𝑎 - dan merupakan suatu antiturunan 𝑓 artinya

( )

∫ 𝑓( ) 𝑓( )

,𝑎 -

Teorema 2.3 ( Teorema Dasar Kalkulus II)

Jika suatu fungsi 𝑓 yang kontinu pada selang tertutup ,𝑎 - dan suatu anti

turunan 𝑓 khusus, sehinggga ( ) 𝑓( ) maka

∫ 𝑓( ) (𝑎) ( )

Bukti dari ketiga teorema yang disebut di atas dapat dilihat pada buku karangan

Thomas (2010).

B. Deret Taylor

Pada subbab ini akan dibahas mengenai teorema sisa Taylor, kejadian

khusus dari teorema sisa Taylor yaitu teorema deret Taylor beserta contohnya.

Teorema 2.4 ( Teorema sisa Taylor)

Jika ,𝑎 - dan fungsi 𝑓 ,𝑎 - memenuhi syarat-syarat :

(i.) 𝑓 kontinu pada ,𝑎 - dan

(ii.) 𝑓 ( ) 𝑓 ( ) 𝑓( )( ) ada untuk setiap ,𝑎 - maka untuk setiap

,𝑎 - ada titik yang terletak di antara dan sehingga


10

𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓 ( )

( )

𝑓 ( )

( )

𝑓( )( )

𝑛 ( )

𝑓( )( )

(𝑛 ) ( )

( )

(2.1)

atau disingkat

𝑓( ) ( )

dengan

( ) 𝑓( ) 𝑓 ( )

( )

𝑓 ( )

( )

𝑓( )( )

𝑛 ( )

𝑓( )( )

(𝑛 ) ( )

( )

( ) disebut polinomial Taylor dan disebut sisa, nilai koreksi atau kesalahan

Taylor. Bukti dari teorema di atas dapat dilihat di buku karangan Darmawijaya

(2011).

Bentuk lain dari teorema sisa Taylor di atas adalah sebagai berikut.

Teorema 2.5 ( Deret Taylor)

Jika ,𝑎 - dan fungsi 𝑓 ,𝑎 - memenuhi sifat-sifat:

i. fungsi 𝑓 kontinu pada ,𝑎 - dan

ii. 𝑓( )( ) ada, ,𝑎 - maka untuk nilai-nilai di sekitar

𝑓( ) dapat diperluas ke dalam deret Taylor:

𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓 ( )

( )

𝑓 ( )

( )

𝑓 ( )

( )

( )

𝑓( )( ) ,𝑎 -

Jika di misalkan maka 𝑓( ) dapat juga ditulis sebagai


11

𝑓( ) 𝑓( ) ( )

𝑓 ( )

( )

𝑓 ( )

( )

𝑓( )( )

,𝑎 -

Deret di dalam Teorema 2.5 tersebut dinamakan deret Taylor fungsi 𝑓 di sekitar

titik Deret Taylor fungsi 𝑓 di sekitar titik disebut deret Maclaurin,

yaitu

𝑓( ) 𝑓( ) ( )

𝑓 ( )

( )

𝑓 ( )

( )

𝑓( )( )

Contoh 2.3

1. Deretkan fungsi 𝑓( ) ( ) ke dalam deret Taylor di sekitar

Penyelesaian:

Kita harus menentukan turunan ( ) terlebih dahulu sebagai berikut

𝑓( ) ( ) 𝑓 ( ) ( ) 𝑓 ( ) ( ) 𝑓 ( ) ( )

dan oleh karena itu

( ) 𝑓( ) ( ) ( )

( )

( )

( ( ))

( )

( ( ))

Jika dimisalkan , maka,

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

2. Deretkan masing-masing fungsi ( ) ( ) dan

ke dalam deret

Maclaurin.

Penyelesaian:

a. Beberapa turunan ( ) sudah dihitung pada soal sebelumnya. Deret

Maclaurin dari ( ) adalah


12

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ( ))

( )

( ( ))

b. Untuk menentukan deret Maclaurin dari ( ) kita harus menentukan

turunan ( ) terlebih dahulu sebagai berikut:

𝑓( ) ( ) 𝑓 ( ) ( ) 𝑓 ( ) ( ) 𝑓 ( )

𝑓( ) ( )

maka diperoleh 𝑓( ) 𝑓 ( ) 𝑓 ( ) 𝑓 ( ) 𝑓( )

sehingga deret Maclaurin dari ( ) adalah

( ) 𝑓( ) 𝑓 ( )

( )

𝑓 ( )

( )

𝑓 ( )

( )

𝑓( )( )

( )

c. Untuk menentukan deret Maclaurin dari

kita harus menentukan

turunan

terlebih dahulu sebagai berikut:

𝑓( )

𝑓 ( )

( ) 𝑓 ( )

( )

𝑓 ( )

( ) 𝑓( )( )

( )

sehingga deret Maclaurin dari 𝑓( )

adalah


13

𝑓( )

𝑓 ( )

( )

𝑓 ( )

( )

𝑓 ( )

( )

𝑓( )( )

( )

∑

C. Klasifikasi Persamaan Diferensial

Pada subbab ini akan dibahas mengenai klasifikasi persamaan diferensial

yang meliputi definisi dan contoh persamaan diferensial, persamaan diferensial

biasa, persamaan diferensial parsial, dan orde persamaan diferensial.

Definisi 2.3

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan turunan

dari satu atau lebih variabel tak bebas dengan satu atau lebih variabel bebas.

Contoh 2.4

Contoh persamaan diferensial adalah sebagai berikut (LeVeque, 1995).

(

)

(2.2)

(2.3)

(2.4)

(2.5)


14

Definisi 2.4

Persamaan diferensial biasa adalah persamaan yang melibatkan turunan

biasa dari satu atau lebih variabel takbebas dengan satu variabel bebas.

Contoh 2.5

Persamaan (2.2) dan persamaan (2.3) pada contoh 2.4 merupakan

persamaan diferensial biasa. Dalam persamaan (2.2), variabel adalah satu-

satunya variabel bebas dan adalah variabel takbebas. Dalam persamaan (2.3),

adalah variabel bebas, dengan adalah variabel takbebas.

Definisi 2.5

Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang

melibatkan turunan parsial dari satu atau lebih variabel takbebas dengan lebih dari

satu variabel bebas.

Contoh 2.6

Persamaan (2.4) dan persamaan (2.5) adalah persamaan diferensial parsial.

Dalam persamaan (2.4), variabel dan adalah variabel bebas dan adalah

variabel takbebas. Dalam persamaan (2.5), terdapat tiga variabel bebas yaitu

dan sedangkan adalah variabel takbebas.

Definisi 2.6

Orde dari persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi dari turunan yang

terlibat dalam suatu persamaan diferensial.

Contoh 2.7

Persamaan diferensial biasa (2.2) adalah persamaan diferensial orde kedua,

karena tingkat tertinggi dari turunan yang terlibat pada persamaan tersebut adalah

dua. Persamaan (2.3) adalah persamaan diferensial biasa orde keempat.


15

Persamaan (2.4) dan (2.5) adalah persamaan diferensial parsial orde pertama dan

kedua.

D. Klasifikasi Persamaan Diferensial Parsial Orde Dua

Pada subbab ini akan dibahas menentukan jenis suatu persamaan

diferensial parsial orde dua.

Persamaan parsial diferensial parsial orde dua, linear, homogen, koefisien

konstan berbentuk

𝑎 𝑒 𝑓

dengan ( ) dan 𝑎 𝑒 𝑓 adalah konstanta. Tiga suku pertama bentuk

di atas disebut bagian utama persamaan diferensial parsial dan digunakan untuk

menentukan jenis persamaan diferensial parsial.

Dipandang bagian utama persamaan diferensial parsial

𝑎 𝑎

𝑎

(

)

(

𝑎

)

(

) .

𝑎

/

(

)

Matriks koefisien .𝑎

/ merupakan matriks simetri yang merupakan nilai eigen

berupa bilangan real,

𝑒 (.𝑎

/ .

/) 𝑒 .𝑎

/

(𝑎 )( )

(𝑎 ) 𝑎

(2.6)


16

Jika dan adalah nilai eigen dari matriks .𝑎

/ maka persamaan

karakteristiknya adalah

( )( ) ( )

(2.7)

Dari persamaan (2.6) dan (2.7) diperoleh

a. 𝑎 (𝐴)

b. 𝑎 (𝐴)

Persamaan diferensial parsial disebut parabolik jika 𝑎 yang

artinya dengan kata lain salah satu nilai eigennya bernilai Persamaan

diferensial parsial disebut eliptik apabila 𝑎 yang artinya dengan

kata lain kedua nilai eigennya positif atau kedua nilai eigennya negatif. Persamaan

diferensial parsial disebut hiperbolik jika 𝑎 yang artinya dengan

kata lain, salah satu nilai eigennya positif dan salah satu nilai eigennya negatif.

E. Penurunan Numeris

Dalam subbab ini akan dibahas mengenai penurunan numeris beserta

contohnya dan penjelasan mengenai tiga hampiran dalam menghitung turunan

numerik yaitu hampiran beda maju, hampiran beda mundur dan hampiran beda

pusat.

Definisi 2.7

Turunan atau derivatif fungsi 𝑓( ) adalah fungsi 𝑓 yang didefinisikan

sebagai

𝑓 ( )

𝑓( ) 𝑓( )


17

di setiap titik sehingga limit di atas ada dan hingga. Jika 𝑓 ( ) ada, kita katakan

fungsi 𝑓 terdiferensial yang artinya mempunyai turunan di .

Seringkali fungsi 𝑓( ) tidak diketahui secara eksplisit, tetapi kita hanya memiliki

beberapa titik data saja. Pada kasus tertentu, meskipun 𝑓( ) diketahui secara

eksplisit tetapi bentuknya rumit sehingga menentukan fungsi turunannya juga sulit

(Munir, 2008), misalnya pada fungsi-fungsi berikut ini:

a) 𝑓( ) √ ( ) ( )

( ) 𝑒

( )

b) 𝑓( ) 𝑒( ) ( )

Perhitungan nilai turunan pada kedua fungsi di atas dapat dikerjakan secara

numeris. Nilai turunan yang diperoleh merupakan nilai hampiran.

Tiga hampiran dalam menghitung turunan numerik

Misal diberikan nilai-nilai x di , , dan serta nilai fungsi untuk

nilai x tersebut. Titik-titik yang diperoleh adalah ( 𝑓 ) ( 𝑓 ) dan ( 𝑓 )

yang dalam hal ini dan Terdapat tiga hampiran

dalam menghitung 𝑓 ( ).

1. Hampiran beda maju

Dipandang fungsi 𝑓( ) Akan ditunjukkan 𝑓 ( ) dengan hampiran

beda maju.

𝑓 ( )

𝑓( ) 𝑓( )

𝑓 ( ) 𝑓( ) 𝑓( )

𝑓 𝑓


18

2. Hampiran beda mundur


beda mundur.

𝑓 ( )

𝑓( ) 𝑓( )

𝑓 ( ) 𝑓( ) 𝑓( )

𝑓 𝑓

3. Hampiran beda pusat


beda pusat

𝑓 ( )

𝑓( ) 𝑓( )

𝑓 ( ) 𝑓( ) 𝑓( )

𝑓 𝑓


19

Tafsiran geometri dari ketiga pendekatan di atas diperlihatkan pada Gambar 2.2.

Gambar 2.2. Tiga pendekatan dalam perhitungan turunan numerik


20

Penurunan rumus turunan dengan deret Taylor

Misalkan diberikan titik-titik ( 𝑓 ) 𝑛 yang dalam hal ini

dan

𝑓 𝑓( )

1. Hampiran beda maju

Uraikan 𝑓( ) di sekitar

𝑓( ) 𝑓( ) ( )

𝑓 ( )

( )

𝑓 ( )

Misalkan ( ) dan untuk menyederhanakan penulisan, 𝑓( )

dapat ditulis 𝑓 diperoleh

𝑓 𝑓 𝑓

𝑓

(2.7)

atau dapat ditulis

𝑓 𝑓 𝑓

𝑓

Kedua ruas dibagi sehingga diperoleh

𝑓

𝑓 𝑓

𝑓

Karena

𝑓

merupakan bilangan yang sangat kecil dan tidak begitu

mempengaruhi 𝑓 sehingga dapat ditulis


21

𝑓

𝑓 𝑓

( )

yang dalam hal ini, ( )

𝑓 ( ) .

Untuk nilai-nilai 𝑓 di dan persamaan rumusnya menjadi

𝑓

𝑓 𝑓

( )

dalam hal ini ( )

𝑓 ( ) menyatakan penurunan numeris

secara beda maju yang mempunyai keakuratan ( ) yaitu keakuratan tingkat

satu.

2. Hampiran beda mundur

Uraikan 𝑓( ) di sekitar

𝑓( ) 𝑓( ) ( )

𝑓 ( )

( )

𝑓 ( )

Misalkan ( ) dan untuk menyederhanakan penulisan, 𝑓( )

dapat ditulis 𝑓 diperoleh

𝑓 𝑓 𝑓

𝑓

(2.8)

atau dapat ditulis

𝑓 𝑓 𝑓

𝑓

Kedua ruas dibagi sehingga diperoleh

𝑓

𝑓 𝑓

𝑓


22

Karena

𝑓



𝑓

𝑓 𝑓

( )


𝑓 ( )

untuk nilai-nilai 𝑓 di dan persamaan rumusnya menjadi:

𝑓

𝑓 𝑓

( )

dalam hal ini, ( )

𝑓 ( ) menyatakan penurunan numeris

secara beda mundur yang mempunyai keakuratan ( ) yaitu keakuratan

tingkat satu.

3. Hampiran beda pusat

Kurangkan persamaan 2.7 dan 2.8 :

𝑓 𝑓 𝑓 𝑓

𝑓

(𝑓 𝑓

𝑓

)

dengan menggunakan operasi penjumlahan dan pengurangan biasa, diperoleh

𝑓 𝑓 𝑓

𝑓

atau dapat ditulis

𝑓 𝑓 𝑓

𝑓

kedua ruas dibagi dengan sehingga diperoleh

𝑓

𝑓 𝑓

𝑓


23

Karena

𝑓



𝑓

𝑓 𝑓

( )


𝑓

( )

Untuk nilai-nilai 𝑓 di dan persamaan rumusnya menjadi:

𝑓

𝑓 𝑓

( )

Dalam hal ini, ( )

𝑓

( ) , menyatakan penurunan

numeris secara beda pusat yang mempunyai keakuratan ( ) yaitu keakuratan

tingkat dua. Perhatikan bahwa hampiran beda pusat lebih baik daripada dua

hampiran sebelumnya, sebab orde galatnya adalah ( )

F. Menentukan Orde Galat

Pada penurunan turunan numerik dengan deret Taylor, kita dapat langsung

memperoleh rumus galatnya. Tetapi dengan polinom interpolasi kita harus

mencari rumus galat tersebut dengan bantuan deret Taylor.

Contoh 2.8

Tentukan rumus galat dan orde dari rumusan turunan numerik hampiran

beda pusat:

𝑓 ( ) 𝑓 𝑓

Nyatakan (galat) sebagai ruas kiri persamaan diperoleh

𝑓 ( ) 𝑓 𝑓


24

Ekspansikan ruas kanan dengan deret Taylor di sekitar titik

𝑓 ( )

𝑓 𝑓

𝑓

*(𝑓 𝑓

𝑓

𝑓

)

(𝑓 𝑓

𝑓

𝑓

)+

𝑓

* 𝑓

𝑓

+

𝑓 𝑓

𝑓

𝑓

𝑓 ( )

( )

(2.8)


25

BAB III

METODE NUMERIS UNTUK PERSAMAAN PANAS SATU DIMENSI

Dalam bab ini akan dibahas mengenai penurunan persamaan panas satu

dimensi dan pendekatan metode beda hingga untuk persamaan panas satu dimensi.

A. Penurunan Persamaan Panas Satu Dimensi

Persamaan panas disebut juga sebagai persamaan difusi. Persamaan panas

dapat diformulasikan dengan merumuskan persamaan aliran panas (Haberman,

2004). Misalkan kawat penampang 𝐴 berorientasi ke arah yaitu dari ke

yang diilustrasikan pada Gambar 3.1. jumlah energi panas per satuan

volume yang tidak diketahui variabelnya disebut kepadatan energi panas.

Gambar 3.1. Kawat homogen satu dimensi dengan energi panas yang mengalir

keluar dan masuk

Disini 𝐴 adalah luas penampang kawat, ( ) adalah besarnya energi panas (per

satuan luas penampang yang lewat di penampang kawat pada posisi dan waktu

Asumsikan bahwa pada setiap waktu suhu di dalam suatu penampang

kawat pada posisi selalu sama yaitu ( ) tetapi berbeda bila dibandingkan

suhu penampang kawat pada posisi lain. Tujuannya akan mencari distribusi suhu

penampang kawat pada setiap posisi dan setiap waktu yaitu ( ) ( )

+ = = 0

( , ) ( + , ) 𝐴


26

Misalkan adalah konstanta panas spesifik yang menyatakan berapa

banyak energi panas yang dibutuhkan oleh satu unit massa suatu benda untuk

menaikkan suhu sebesar 1 derajat. Segmen kawat dari ke mempunyai

massa:

𝐴

Dengan adalah kepadatan kawat, massa kawat, adalah volume kawat.

Untuk menaikan suhu bagian kawat dari ke sebesar 1 derajat dibutuhkan

energi sebanyak

𝐴

Apabila diinginkan suhunya naik dari 0 ke ( ) maka energi yang dibutuhkan

sebanyak 𝐴 ( ) Jadi total energi yang dibutuhkan pada bagian

tersebut adalah

∑ 𝐴 ( )

atau

∫ 𝐴 (𝑟 ) 𝑟

Fluks panas

Fluks adalah laju perubahan energi panas yang melewati suatu

penampang. Perhitungan fluks dapat dilakukan dengan cara:

∫ 𝐴 (𝑟 ) 𝑟


27

∫ 𝐴 (𝑟 )

𝑟

( )

atau dengan cara

𝐴 ( ) 𝐴 ( ) 𝐴, ( ) ( )- ( )

Berdasarkan hukum Newton pendingin bahwa panas menjalar dari benda

bersuhu tinggi ke rendah dan banyak energi panas berbanding dengan perbedaan

suhu di antara dua titik, maka:

( ) ( )

(3.3)

Kemudian, substitusikan persamaan (3.3) ke dalam persamaan (3.2), diperoleh

𝐴 [( ( )

) (

( )

)]

𝐴 * ( )

( )

+

𝐴 * ( )

( )

+

𝐴 ∫

( (𝑟 )

) 𝑟

(3.4)

Dari persamaan (3.1) dan (3.4) diperoleh

∫ 𝐴 (𝑟 )

𝑟 𝐴 ∫

( (𝑟 )

) 𝑟

𝐴∫ (

) 𝑟

(

)


28

atau

dengan

menyatakan koefisien difusi.

B. Pendekatan Metode Beda Hingga untuk Persamaan Panas Satu Dimensi

Metode beda hingga sangat sering dipakai untuk mencari solusi suatu

persamaan diferensial parsial (PDP). Hal ini disebabkan mudahnya mendekati

persamaan diferensial parsial dengan pendekatan deret Taylor-nya dan diperoleh

persamaan beda (maju, mundur, pusat).

Dipandang persamaan panas satu dimensi, yaitu:

( )

Matriks koefisien dari persamaan panas satu dimensi di atas adalah

𝐴 .

/

diperoleh

(𝐴) 𝑎

sehingga persamaan (3.5) merupakan persamaan diferensial parsial yang berjenis

parabolik. Persamaan (3.5) sering disebut sebagai persamaan panas satu dimensi


29

karena hanya ada satu variabel ruang saja, dengan konstanta positif, adalah

variabel waktu, adalah variabel ruang dan ( ) adalah fungsi yang

bergantung pada dan .

Notasi ( )

merupakan turunan pertama variabel takbebas terhadap variabel

bebas dan ( )

merupakan turunan kedua variabel takbebas terhadap

variabel .

1. Keakuratan Skema Beda Maju

Dipandang deret Taylor ( ) di titik t yaitu

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

karena

( )

( ) merupakan bilangan yang sangat kecil

sehingga bisa diabaikan.

diperoleh

( ) ( ) ( )

( ) (3.6)

dengan ( )

( )

( )

Artinya rumus turunan beda maju mempunyai keakuratan ( ) yaitu

keakuratannya tingkat satu.


30

2. Keakuratan Skema Beda Pusat

Dipandang deret Taylor ( ) dan ( ) di sekitar titik

yaitu

( ) ( ) ( )

( )

( )

(3.7)

( ) ( ) ( )

( )

( )

(3.8)

Persamaan (3.7) dan (3.8) dijumlahkan

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

Karena

( ) merupakan bilangan yang sangat kecil, sehingga

bisa diabaikan, diperoleh

( ) ( ) ( ) ( )

( ) (3.9)

dengan ( ) =

( )

Artinya rumus turunan beda pusat mempunyai keakuratan ( ) yaitu

keakuratannya tingkat dua.


31

C. Skema Eksplisit untuk Persamaan Panas Satu Dimensi

Dipandang persamaan panas satu dimensi, yaitu:

atau

( )

( )

dengan syarat awal

( ) 𝑓( )

dan syarat batas

( )

( )

Penampang kawat homogen satu dimensi (Gambar 3.1) dengan panjang

dibagi ke dalam interval yang sama,

Secara umum

(3.10)

dan

( )

Misalkan ( ) dan pendekatan numerik pada titik ( ( ))

dinotasikan dengan


32

( )

( ( )) (3.11)

Berdasarkan persamaan (3.6), skema pendekatan beda maju untuk turunan

pertama terhadap (waktu) adalah

( ( ))

( ( )) (

( ))

(3.12)

Berdasarkan persamaan (3.9), skema pendekatan beda pusat untuk turunan kedua

terhadap (posisi) adalah

( ( ))

( ( )) (

( )) ( ( ))

(3.13)

Sehinggga

( ( )) (

( ))

( ( )) (

( )) ( ( ))

(3.14)

Perhatikan bahwa menjadi dan menjadi

Jadi,

0

( )

( )1

0

( )

( )

( )1

Kedua ruas dikali diperoleh

0 ( )

( )

1

0

( )

( )

( )1

atau ditulis

( )

( )

0 ( )

( )

( )

1

dengan


33

Kedua ruas dijumlahkan dengan ( )

diperoleh

( )

0 ( )

( )

( )

1 ( )

. ( )

/ . ( )

/ . ( )

/ ( )

atau

( )

. ( )

/ ( ) . ( )

/ . ( )

/ (3.15)

dimana dan

Untuk menyelesaiakan persamaan panas, dibutuhkan syarat tambahan yaitu syarat

awal dan syarat batas. Persamaan (3.11) memenuhi syarat-syarat awal yaitu:

( )

( ) 𝑓( ) 𝑓( )

dimana untuk

Demikian juga, persamaan (3.11) memenuhi syarat-syarat batas yaitu:

( )

( )

( )

( )

Contoh 3.1

Akan dihitung distribusi suhu ( ) pada penampang kawat homogen

dengan panjang 20 cm dan ujung-ujung kawat tersebut dipertahankan pada suhu

Konduksi panasnya di atur oleh persamaan panas satu dimensi, yaitu


34

dengan syarat batas

( ) ( )

dan syarat awal

( ) {

dengan

Hitunglah

a. ( )

( )

( )

( )

b. Dengan rumus ( )

yang anda peroleh hitunglah

( )

( )

( )

( )

Penyelesaian:

a. Pada saat

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )


35

b. Pada saat

Diketahui

diperoleh

karena diketahui kondisi batas ( ) ( )

diperoleh:

( )

( )

untuk menghitung ( )

( )

( )

( )

gunakan persamaan

2.16.

diperoleh

( )

.

( )/ (

)

( )

(

( ))

( ) (

)

( )

( )

.

( )/ (

)

( )

(

( ))

( ) (

)

( )

( )

.

( )/ (

)

( )

(

( ))

( ) (

)

( )


36

dengan cara yang sama diperoleh

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Gambar 3.2. Hasil simulasi penyelesaian contoh 3.1 menggunakan

metode beda hingga dengan saat


37

Hasil simulasi penyelesaian model konduksi panas pada kawat homogen

dengan metode beda hingga menggunakan program MATLAB ditunjukan dalam

Gambar 3.2. Pada hasil simulasi persamaan panas satu dimensi, program berhenti

pada saat






pada saat Seiring dengan waktu, kurva suhu menuju 0 secara

seragam.

Contoh 3.2

Akan dihitung distribusi suhu ( ) pada penampang kawat logam

homogen dengan panjang 20 cm dan ujung-ujung kawat tersebut dipertahankan

pada suhu Konduksi panasnya di atur oleh persamaan panas satu dimensi,

yaitu


38

dengan syarat awal

( )

dan syarat batas

( ) ( )

dengan

Hitunglah

a) ( )

( )

( )

( )

b) Dengan rumus ( )

yang anda peroleh hitunglah ( )

( )

( )

( )

Penyelesaian:

a) Pada saat

( )

( ) ( )

( )

b) Pada saat

( )

( )

( )

.

( )/

.

( )/

.

( )/

( )

( )

( )

( )

.

( )/

.

( )/

.

( )/

( )

( )

( )


39

Dengan cara yang sama diperoleh

( )

( )

( )

( )

( )

c) Pada saat

( )

( )

( )

.

( )/

.

( )/

.

( )/

( )

( )

( )

( )

.

( )/

.

( )/

.

( )/

( )

( )

( )

Dengan cara yang sama diperoleh

( )

( )

( )

.

( )/

.

( )/

.

( )/

( )

( )

( )

( )

( )


40






pada saat


41


metode beda dengan saat




pada saat


42

BAB IV

MODEL MASALAH KONDUKSI PANAS

PADA MEDIA HETEROGEN

Dalam bab ini akan dibahas mengenai metode beda hingga dan solusi

numerisnya untuk masalah konduksi panas pada media heterogen.

A. Metode Beda Hingga untuk Masalah Konduksi Panas pada Media

Heterogen

Gambar 4.1. Konduksi panas yang melalui dua lapis bahan yang memiliki

konduktivitas termal yang berbeda.

Ditinjau suatu penampang kawat logam dengan panjang yang dilekatkan

dari dua bahan yang berbeda, sedemikian sehingga adalah penampang

yang terbuat dari logam besi dan adalah penampang yang terbuat dari

logam emas. Misalkan adalah antarmuka (interface) yang memisahkan kedua

bahan tersebut. Tujuannya adalah mencari distribusi suhu penampang kawat pada

setiap posisi dan setiap waktu yaitu ( ) ( )

Konduksi panas di kedua daerah tersebut masing-masing diatur oleh persamaan

panas satu demensi, yaitu

= 0 =

𝐼𝑛 𝑒𝑟𝑓𝑎 𝑒

𝐴

𝐴

=


43

(4.1)

dan

(4.2)

dengan adalah variabel ruang, adalah variabel waktu, adalah suhu logam

besi pada posisi dan waktu adalah konduktivitas termal untuk besi,

adalah suhu logam emas pada posisi dan waktu adalah

konduktivitas termal untuk emas.

Skema Metode Beda Hingga untuk Masalah Konduksi Panas pada Media

Heterogen

Dengan menggunakan skema eksplisit, persamaan panas satu dimensi

untuk besi pada persamaan (4.1) dapat ditulis menjadi:

[

( ) ( )]

[

( ) ( )

( ) ]


[ ( )

( )]

[

( ) ( )

( ) ]

[ ( )

( )] [ ( )

( ) ( ) ]

dengan =

.

Kedua ruas dijumlahkan dengan ( ) diperoleh

[ ( )

( )] ( ) [

( ) ( )

( ) ] ( )


44

( ) [

( ) ( )

( ) ] ( )

atau dapat ditulis

( ) (

( ) ) ( )( ( )) (

( ) ) (4.3)

Sedangkan persamaan panas satu dimensi untuk emas pada persamaan (4.2) dapat

ditulis menjadi:

[

( ) ( )]

[

( ) ( )

( ) ]


[ ( )

( )]

[

( ) ( )

( ) ]

[ ( )

( )] [ ( )

( ) ( ) ]

dengan

Kedua ruas dijumlahkan dengan ( ) diperoleh

[ ( )

( )]

( )

[ ( )

( ) ( ) ]

( )

( ) [

( ) ( )

( ) ]

( )


45

atau dapat ditulis

( ) (

( ) ) ( )( ( ))

( ( ) )

(4.4)

Contoh 4.1

Pada contoh ini, akan dihitung proses perpindahan panas secara konduksi

dari penampang kawat logam heterogen berbahan besi dan emas dengan panjang

20 cm seperti yang ditunjuk pada Gambar 4.1. Konduksi panas di masing-masing

bahan tersebut diatur oleh persamaan panas satu dimensi di bawah ini:

{

( )

( )

Untuk menyelesaikan persamaan panas satu dimensi di atas, dibutuhkan syarat

tambahan yaitu:

syarat batas: ( ) ( )

syarat awal: ( ) 2

dengan, konduktivitas termal besi atau konduktivitas termal emas

atau (Cverna, 2002),

( )

( )


46

Hitunglah

a) ( )

( )

( )

( )

b) Dengan rumus ( )


( )

( )

( )

dan selanjutnya, hitunglah ( )

( )

( )

( )

Penyelesaian:

a) Pada saat

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

b) Pada saat dan

Untuk menghitung ( )

( )

( )

( )

dan ( )

( )

( )

( )

gunakan

persamaan ( )

i. Distribusi suhu penampang kawat pada saat posisi

( )

( )

( )

( )

.

( )/

.

( )/

.

( )/

( )

( )

.

( )/

.

( )/

.

( )/

( )

( )

.

( )/

.

( )/

.

( )/

( )

( )

.

( )/

.

( )/

.

( )/


47

( )

( )

.

( )/

.

( )/

.

( )/

( )

( )

.

( )/

.

( )/

.

( )/

( )

( )

.

( )/

.

( )/

.

( )/

( )

( )

.

( )/

.

( )/

.

( )/

( )

( )

ii. Distribusi suhu penampang kawat pada saat pada saat posisi

( )

( )

( )

( )

.

( )/

.

( )/

.

( )/

( )

( )

.

( )/

.

( )/

.

( )/

( )

( )

.

( )/

.

( )/

.

( )/

( )

( )

.

( )/

.

( )/

.

( )/

( )

( )

.

( )/

.

( )/

.

( )/

( )

( )

.

( )/

.

( )/

.

( )/

( )

( )

.

( )/

.

( )/

.

( )/

( )

( )

.

( )/

.

( )/

.

( )/

( )

( )

.

( )/

.

( )/

.

( )/

( )

( )


48

Contoh 4.2

Pada contoh ini, akan dihitung proses perpindahan panas secara konduksi

dari penampang kawat logam heterogen berbahan besi dan emas dengan kondisi

awal suhunya adalah Konduksi panas di masing-masing bahan tersebut

diatur oleh persamaan panas satu dimensi di bawah ini:

{

( )

( )

Untuk menyelesaiakan persamaan panas satu dimensi di atas, dibutuhkan syarat

tambahan yaitu:

syarat batas: ( ) ( )

syarat awal: ( )

dengan, konduktivitas termal kawat besi atau konduktivitas termal

kawat emas atau

( )

( )

Hitunglah

a) ( )

( )

( )

( )

b) Dengan rumus ( )


( )

( )

( )


49

dan selanjutnya, hitunglah ( )

( )

( )

( )

penyelesaian:

a) Pada saat

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

b) Pada saat

( )

( )

( )

( )

.

( )/

.

( )/

.

( )/

( )

( )

.

( )/

.

( )/

.

( )/

( )

( )

.

( )/

.

( )/

.

( )/

( )

( )

.

( )/

.

( )/

.

( )/

( )

( )

.

( )/

.

( )/

.

( )/

( )

( )

.

( )/

.

( )/

.

( )/

( )

( )

.

( )/

.

( )/

.

( )/

( )

( )

.

( )/

.

( )/

.

( )/

( )

( )

.

( )/

.

( )/

.

( )/

( )

( )

Pada saat

( )

( )


50

( )

( )

.

( )/

.

( )/

.

( )/

( )

( )

.

( )/

.

( )/

.

( )/

( )

( )

.

( )/

.

( )/

.

( )/

( )

( )

.

( )/

.

( )/

.

( )/

( )

( )

.

( )/

.

( )/

.

( )/

( )

( )

.

( )/

.

( )/

.

( )/

( )

( )

.

( )/

.

( )/

.

( )/

( )

( )

.

( )/

.

( )/

.

( )/

( )

( )

.

( )/

.

( )/

.

( )/

( )

( )

B. Solusi Numeris Metode Beda Hingga untuk Model Konduksi Panas pada

Media Heterogen

Hasil perhitungan proses perpindahan panas pada contoh 4.1, 4.2

disimulasikan menggunakan perangkat lunak MATLAB dengan

dan program berhenti saat Hasil

simulasinya ditunjukkan oleh Gambar 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.7.


51

Gambar 4.2. Hasil simulasi proses perpindahan panas pada contoh 4.1 dengan

saat

Hasil simulasi penyelesaian model konduksi panas pada kawat heterogen

dengan metode beda hingga menggunakan program MATLAB ditunjukkan dalam

Gambar 4.2. Pada hasil simulasi persamaan panas satu dimensi, program

dijalankan dengan dan berhenti pada saat


52


saat






53


saat






54


saat






55


saat






56


saat





Secara numerik, hasil perhitungan distribusi suhu ( ) dipengaruhi oleh

banyak interval yang digunakan. Semakin banyak interval yang digunakan maka

distribusi suhu yang dihasilkan akan semakin akurat. Kemudian banyaknya

interval juga berpengaruh pada proses dan hasil simulasi. Semakin banyak interval

yang digunakan maka kontur yang dihasilkan akan semakin halus dan waktu yang

dibutuhkan untuk simulasi akan menjadi lebih lama. Hasil simulasi perhitungan

distribusi suhu ( ) dengan mengambil pada contoh 4.1

dan 4.2 saat dapat dilihat pada Gambar 4.2, 4.3, 4.5, 4.6.

Dari masing-masing Gambar (4.2, 4.3, 4.5, 4.6), terlihat bahwa hasil perhitungan


57

distribusi suhu ( ) dengan kontur yang paling halus adalah saat .

Hal ini disebabkan karena diskritisasi interval yang digunakan paling banyak.


58

BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Proses perpindahan panas dapat diketahui oleh distribusi suhunya.

Perhitungan distribusi suhu melibatkan persamaan diferensial parsial. Solusi suatu

persamaan diferensial dapat dicari dengan menggunakan metode beda hingga.

Dalam kasus ini, proses perpindahan panas terjadi pada suatu penampang kawat

logam heterogen satu dimensi dengan panjang berhingga yang pada batas-batas

dan titik-titik tertentu diketahui suhunya. Perhitungan distribusi suhu penampang

kawat logam dibagi ke dalam dua kasus. Kasus pertama adalah dihitung distribusi

suhu penampang kawat logam homogen, dimana konduksi panasnya diatur oleh

satu persamaan panas saja yang dibahas pada BAB III dan kasus kedua adalah

dihitung distribusi suhu penampang kawat logam heterogen dimana konduksi

panasnya diatur oleh dua persamaan panas yang dibahas pada BAB IV.

Lebih lanjut, perhitungan dilakukan dengan memasukan nilai dari titik-

titik yang diketahui untuk mendapatkan nilai dari titik-titik berikutnya karena

adanya syarat batas dan syarat awal. Dari hasil perhitungan distribusi suhu secara

manual maupun dengan menggunakan perangkat lunak MATLAB, Dari hasil

perhitungan distribusi suhu ( ) baik secara manual maupun disimulasikan

menggunakan perangkat lunak MATLAB, diperoleh kesimpulan bahwa

banyaknya interval yang digunakan, berpengaruh pada perhitungan numerik

distribusi suhu pada penampang kawat logam. Semakin banyak interval yang

digunakan maka distribusi suhu yang dihasilkan akan semakin akurat. Kemudian

banyaknya interval juga berpengaruh pada proses dan hasil simulasi. Semakin

banyak interval yang digunakan maka kontur yang dihasilkan akan semakin halus,

tetapi waktu yang dibutuhkan untuk simulasi akan menjadi lebih lama.


59

B. Saran

Penulisan tugas akhir ini masih jauh dari kekurangan. Pada tugas akhir ini

hanya dibahas mengenai penyelesaian masalah Konduksi Panas pada Media

Heterogen dengan menggunakan metode beda hingga. Penulis berharap di waktu

akan datang, ada yang melanjutkan penulisan ini dengan metode-metode lain yang

lebih akurat.


60

DAFTAR PUSTAKA

Cengel & Turner. (2005). Fundamentals of Thermal-Fluid Sciences.

Boston: McGraw-Hill Higher Education.

Cverna, F. (2002). Thermal Porperties of Metals. USA: ASM International.

Darmawijaya, S. (2011). Barisan dan Deret. Yogyakarta: Falkultas Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Gajah Mada.

Haberman, R. (2004). Applied Partial Differential Equations with Fourier Series

and Boundary Value Problems. Fourth Edition. New Jersey: Pearson

Prentice Hall.

Kreith, F. & Manglik, R.M. & Bohn, M.S. (2011). Principles of Heat Transfer.

Seventh Edition. Stamford: Cengage Learning.

LeVeque, R.J. (1995). Finite Difference Methods for Ordinary and Partial

Differential Equations. Washington: University of Washington.

Morton, K.W. & Mayers, D.F. (2005). Numerical Solution of Partial Differential

Equations. Second Edition. New York: Cambridge University Press.

Munir, R. (2008). Metode Numerik. Bandung: Informatika Bandung.

O’Neil, P.V. (2008). Beginning Partial Differential Equations. USA: Wiley

Interscience.

Purcell, E J. (1981). Kalkulus dan Geometri Analitis edisi ketiga. Jakarta:

Erlangga.

Suparno, P. (2009). Pengantar Termofisika. Yogyakarta: Universitas Sanata

Dharma.

Tarwidi, D. dan Pudjaprasetya, S.R. (2013). Godunov Method for Stefan

Problems with Enthalpy Formulations. East Asian Journal on Applied

Mathematics, 3(2): 107-119.

Thomas, G. B. (2010). Thomas’ Calculus Early Transcendentals. Boston: Pearson

Education.


61

LAMPIRAN

Berikut ini merupakan analisis syarat kestabilan metode beda hingga

skema eksplisit (FTCS) dan code program MATLAB metode beda hingga yang

digunakan dalam simulasi numeris untuk persamaan panas satu dimensi.

A. Syarat Kestabilan Metode Beda Hingga Skema Eksplisit (FTCS) untuk

Persamaan Panas

Pada bagian ini, kita akan menganalisis skema eksplisit metode beda hingga

untuk persamaan panas yang diperoleh dengan menggunakan beda maju terhadap

waktu dan beda pusat terhadap ruang. Disini, 𝐼 Referensi yang dipakai

adalah (Haberman, 2004).

Analisis Stabilitas Fourier-von Neumann

Persamaan (3.15) dapat ditulis menjadi

( )

( )

0 ( )

( )

( )

1

dengan syarat awal

( )

( ) 𝑓( ) 𝑓( )

dan syarat batas

( )

( )

( )

( )

dimana

Misalkan

( )

𝑒 𝑒

disubstitusikan ke persamaan (3.15), diperoleh

𝑒 𝑒 [𝑒 ( ) 𝑒 𝑒 ( ) ]


62

[𝑒 𝑒 𝑒 𝑒 𝑒 ]

𝑒 ( ) [𝑒 (𝑒 𝑒 )]

kemudian kedua ruas dikalikan dengan

diperoleh

(𝑒 𝑒 )

Perhatikan bahwa

𝑒 ( ) 𝐼 ( )

𝑒 ( ) 𝐼 ( )

𝑒 𝑒 ( ) sehingga

( ( ) )

( ( ))

Solusi dari persamaan (3.15) dengan syarat-syarat batas ( )

dan ( )

adalah

( )

𝑛

dimana

[ (𝑛

)]

dengan

𝑛

Syarat kestabilan solusi

Solusi dikatakan stabil jika

| |

| [ (𝑛

)]|


63

dengan menggunakan sifat nilai mutlak, diperoleh

[ (𝑛

)]

[ (𝑛

)]

[ (𝑛

)]

Perhatikan bahwa

(𝑛

)

sehingga

Jadi, syarat kestabilan solusi harus memenuhi pertidaksamaan

Sehingga jika diketahui, maka sebaiknya diambil sedemikian sehingga:

atau ditulis


64

B. Metode Beda Hingga Dengan

1. Contoh kasus dimana, ujung-ujung kawat logam homogen dipertahankan

pada suhu clc

clear dx=2; %lebar sel x=0:dx:20; %diskritisasi ruang n=length(x); %banyaknya elemen dalam ruang diskrit uL=0*x; % vektor penyimpanan nilai u lama uB=0*x; % vektor penyimpanan nilai u baru dt = 0.5*dx; % langka waktu k = 1; % konduktivitas termal s = k*dt/dx^2; % nilai awal u saat t=0 for i=1:n if x(i)<= 10 uB(i)=10*x(i); else x(i)> 10 uB(i)=-10*x(i)+200;

end end plot(x,uB) hold on ylim([0 100]) pause(0.1) %program akan berhenti setiap t detik tFinal =1; % waktu akhir Nt = tFinal/dt; for j = 1:Nt % hitung nilai u saat t=dt uL = uB; for i=2:n-1 uB(i) = s*(uL(i+1) -2*uL(i)+uL(i-1)) + uL(i); end uB(1) = 0; %kondisi batas uB(n) = 0; %kondisi batas plot(x,uB) title ('grafik persamaan panas satu dimensi') xlabel 'x' ylabel 't' hold on grid on ylim([0 100]) pause(0.1) t = j*dt end

2. Contoh kasus dimana, kawat logam homogen yang ujung-ujung kawatnya

dipertahankan pada suhu dengan kondisi suhu awalnya

clc clear


65

close all dx=0.25; %lebar sel x=0:dx:20; %diskritisasi ruang n=length(x); %banyaknya elemen dalam ruang diskrit uL=0*x; % vektor penyimpanan nilai u lama uB=0*x; % vektor penyimpanan nilai u baru dt = 0.025*dx; %langka waktu k = 1; %konduktivitas termal suatu bahan s = k*dt/dx^2;

% nilai awal u saat t=0

for i=1:n uB(i)= 100; end plot(x,uB) ylim([0 200]) pause(0.1)

tFinal =1; % waktu akhir Nt = tFinal/dt; for j = Nt = tFinal/dt;

% hitung nilai u saat t=dt

uL = uB; for i=2:n-1 uB(i) =c* s*(uL(i+1) -2*uL(i)+uL(i-1)) + uL(i); end uB(1) = 0; %kondisi batas uB(n) = 0; %kondisi batas plot(x,uB) title ('grafik persamaan panas satu dimensi') xlabel 'x' ylabel 't' hold on grid on ylim([0 200]) pause(0.1) t = j*dt end


66

C. Metode Beda Hingga dengan

1. Contoh kasus dimana, kawat logam heterogen yang ujung-ujungnya

dipertahankan pada suhu clc clear close all dx=2; %lebar sel x=0:dx:20; %diskritisasi ruang n=length(x); %banyaknya elemen dalam ruang diskrit uL=0*x; % vektor penyimpanan nilai u lama uB=0*x; % vektor penyimpanan nilai u baru dt = 0.0005*dx; %langka waktu k1 = 80; %konduktivitas termal untuk kawat besi k2 = 300; %konduktivitas termal untuk kawat emas s1 = c1*dt/dx^2; s2 = c2*dt/dx^2;

% nilai awal u saat t=0

for i=1:n if x(i)<= 10 uB(i)=10*x(i); else uB(i)=-10*x(i)+200; end end plot(x,uB) hold on ylim([0 100]) %membuat ukuran sumbu x

pause(0.001) %program akan berhenti setiap t detik tFinal =1; % waktu akhir Nt = tFinal/dt;

for j = 1:Nt % h itung nilai u saat t=dt uL = uB; for i=2:n-1 uB(i) = s1*(uL(i+1) -2*uL(i)+uL(i-1)) + uL(i); end uB(1) = 0; %syarat batas

plot(x,uB) title ('grafik persamaan panas satu dimensi

(dx=2,dt=0.0005*dx)') xlabel 'x (posisi)'

ylabel 't (waktu)' hold on grid on ylim([0 100]) %membuat ukuran pada sumbu y pause(0.001) %program akan berhenti setiap t detik


67

t = j*dt %waktu for i=6:n-1 uB(i) = s2*(uL(i+1) -2*uL(i)+uL(i-1)) + uL(i); end uB(n) = 0; plot(x,uB) title ('grafik persamaan panas satu dimensi

(dx=2,dt=0.0005*dx)') xlabel 'x (posisi)'

ylabel 't(waktu)' hold on grid on ylim([0 100]) %membuat ukuran pada sumbu y pause(0.001) %program akan berhenti setiap waktu t t = j*dt %waktu

end

2. Contoh kasus 2, kawat logam heterogen yang ujung-ujung kawatnya

dipertahankan pada suhu dengan kondisi suhu awalnya

clc clear dx=2; %lebar sel x=0:dx:20; %diskritisasi ruang n=length(x); %banyaknya elemen dalam ruang diskrit uL=0*x; % vektor penyimpanan nilai u lama uB=0*x; % vektor penyimpanan nilai u baru dt = 0.0005*dx; %langka waktu k1 = 80; %konduktivitas termal dari kawat besi k2 = 300; %konduktivitas termal dari kawat emas s1 = k1*dt/dx^2; s2 = k2*dt/dx^2;

% nilai awal u saat t=0 for i=1:n uB(i)=100; end plot(x,uB) hold on ylim([0 200]) pause(0.001) tFinal =1; % waktu akhir Nt = tFinal/dt;

for j = 1:Nt % hitung nilai u saat t=dt uL = uB; for i=2:n-1 uB(i) = s1*(uL(i+1) -2*uL(i)+uL(i-1)) + uL(i); end uB(1) = 0; %syarat batas


68

plot(x,uB) title ('grafik persamaan panas satu dimensi

(dx=2,dt=0.0005*dx' ) xlabel 'x (posisi)' ylabel 't (waktu)' hold on grid on ylim([0 200]) pause(0.001) t = j*dt

for i=6:n-1 uB(i) = s2*(uL(i+1) -2*uL(i)+uL(i-1)) + uL(i); end uB(n) = 0; %syarat batas plot(x,uB) hold on grid on title ('grafik persamaan panas satu dimensi

(dx=2,dt=0.0005*dx)') xlabel 'x (posisi)' ylabel 't (waktu)' ylim([0 200]) %membuat ukuran untuk sumbu y pause(0.001) t = j*dt %waktu end


PENYELESAIAN MASALAH KONDUKSI PANAS PADA MEDIA...

Documents

Transcript of PENYELESAIAN MASALAH KONDUKSI PANAS PADA MEDIA...