TKS 4003 Matematika II

Turunan Parsial (Partial Derivative)

Dr. AZ

Jurusan Teknik Sipil

Fakultas Teknik

Universitas Brawijaya

Derivative Partial

Diketahui z = f(x,y) fungsi dengan dua peubah

(variabel) x dan y, karena x dan y merupakan

variabel bebas (independen) maka :

(i ). x berubah-ubah, sedangkan y tertentu.

(ii). y berubah-ubah, sedangkan x tertentu.

Derivative Partial (lanjutan)

Definisi :

i). Derivatif parsial terhadap peubah x

Jika x berubah-ubah dan y tertentu maka z

merupakan fungsi x , derivatif parsial z = f(x,y)

terhadap x adalah :

x

yxfyxxfyxf

xx

),(),(lim),(

0

Derivative Partial (lanjutan)

ii). Derivatif parsial terhadap perubah y

Jika y berubah-ubah dan x tertentu, maka z

merupakan fungsi y, derivatif parsial z = f(x,y)

terhadap y adalah :

Disebut derivatif parsial z = f(x,y) terhadap y.

y

)y,x(f)yy,x(f

0ylim)y,x(yf

y

z

Contoh

1. Menentukan nilai derivatif menggunakan limit

a. Tentukan derivatif parsial fungsi f terhadap x, jika

f(x,y) = x2 + 2y

Jawab : f(x,y) = x2 + 2y, maka :

x

)y,x()y,xx(lim)y,x(

0xx

fff

x

)y2x()y2)xx((lim

22

0x

)2(lim0

xxx

x2

Contoh (lanjutan)

b. Tentukan derivatif parsial fungsi f terhadap y , jika

f(x,y) = x2 + 2y

Jawab :

y

)y,x()yy,x(lim)y,x(

0Δyy

fff

2

2lim

)2())(2(lim

0Δy

22

0Δy

y

yxyyx

Contoh (lanjutan)

c. Jika z = ln(x2 + y2), tunjukkan bahwa :

Jawab :

Ditentukan terlebih dahulu :

Selanjutnya tentukan nilai :

2y

zy

x

zx

y

zdan

x

z

y

zy

x

zx

Contoh (lanjutan)

z = ln(x2 + y2), derivatif parsial terhadap x dan y :

dan

maka :

22

22

yx

x2

x

)yxln(

x

z

22

22

yx

y2

y

)yxln(

y

z

222

2222

yx

yy

yx

xx

y

zy

x

zx

Derivatif Parsial tingkat n

Jika fungsi z = f(x,y) mempunyai derivatif parsial di setiap titik (x,y) pada suatu daerah, maka : dan merupakan fungsi x dan y yang mungkin juga mempunyai derivatif parsial, yang disebut derivatif parsial tingkat dua. Derivatif parsial tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut :

)y,x(x

zxf

)y,x(

y

zyf

Derivatif Parsial tingkat n (lanjutan)

Contoh

Tentukan derivatif parsial tingkat dua untuk f(x,y) = x2y – 3xy + 2x2y2 Jawab : Derivatif parsial tingkat satu fungsi : fx(x,y) = 2xy – 3y + 4xy2 fy(x,y) = x2 – 3x + 4x2y Jadi derivatif parsial tingkat dua : fxx(x,y) = 2y + 4y2 fyy(x,y) = 4x2 fyx(x,y) = 2x – 3 + 8xy = 2x + 8xy – 3 dan fxy(x,y) = 2x – 3 + 8xy

= 2x + 8xy – 3

Derivative Total

Tinjau kembali fungsi z = f(x,y) x dan y peubah bebas. derivatif parsial fungsi tersebut terhadap x dan y : dan dengan mengambil dx = x dan dy = y diferensial total dari fungsi z dinyatakan dz didefinisikan sebagai berikut :

),( yxfx

zx

)y,x(yf

y

z

dyy

zdx

x

zdz

Diferensial Total n Variabel

1. Jika z = f(x1, x2, ..., xn ), maka :

2. Jika f(x1, x2, …, xn) = c, maka df = 0

catatan x1, x2, ..., xn bukan merupakan variabel

independen.

n

n

dxx

fdx

x

fdx

x

fdz

...2

2

1

1

Contoh

a. Tentukan diferensial total untuk :

r = s2θ + 3sθ2

Jawab :

karena r = s2θ + 3sθ2

maka :

dan

Jadi diferensial total z :

232

s

s

r

ss

r62

dssdssdr

dss

rdr 632 22

Contoh (lanjutan)

b. Tentukan diferensial total untuk :

Jawab :

karena

maka :

dan

Jadi diferensial total z :

22

2

1yx

ez

22

2

1yx

ez

22

2

1yx

xex

z

22

2

1yx

yey

z

22

2

1yx

eyxdyy

zdx

x

zdz

Latihan

1. Tentukan fx(x,y) dan fy(x,y), jika :

a. f(x,y) = x

2y

y

2x

b. f(x,y) = sin (3x + 2y)

c. f(x,y) = arc tan x

y

2. Tentukan derivatif parsial tingkat dua untuk z, jika : a. z = 22 yx

b. z = 2x2 – 5xy + y

2

c. z = yx

xy

3. a. Jika t

wtentukanmakatsytsxdenganxyxw

,,/ln 22

b. Jika ,cos;sinsin;sincos;22 zyxzyxw

2

;;2

saatpada

wtentukanmaka

Terima kasih dan

Semoga Lancar Studinya!