ONTOLOGI PENGETAHUAN

Ontologi merupakan cabang teori hakikat yang membicarakan hakikat sesuatu yang ada

(wujud seperti karakteristik dasar dari seluruh realitas). Secara bahasa, kata ontologi berasal

dari perkataan Yunani, yaitu : Ontos berarti being, dan Logos berarti Logic. Jadi, dapat

dikatakan ontologi adalah the theory of being qua being (teori tentang keberadaan sebagai

keberadaan) atau bisa juga ilmu tentang yang ada (bakhtiar,2005:219).

Istilah ontologi pertama kali diperkenalkan oleh rudolf Goclenius pada tahun 1936 M,

untuk menamai hakekak yang ada bersifat metafisis. Dalam perkembangannya Christian

Wolf (1679-1754) dalam (bakhtiar,2005:219). membagi metafisika menjadi dua, yaitu

metafisika umum dan khusus.

Metafisika umum adalah istilah lain dari ontologi. Dengan demikian, metafiska atau

otologi adalah cabang filsafat yang membahas tentang prinsip yang paling dasar atau paling

dalam dari segala sesuatu yang ada. Sedangkan metafisika khusus masih terbagi menjadi

Kosmologi, Psikologi dan Teologi.

Masalah Ontologi

Dalam kajian ontologi ada beberapa masalah yang perlu dipahami dan dicermati, yaitu :

Jumlah dan ragam

Ontologi membahas tentang yang ada, yang tidak terikat oleh satu perwujudan tertentu.

Ontologi membahas tentang yang ada yang universal, menampilkan pikiran semesta

universal. Ontologi berupaya mencari inti yang termuat dalam setiap kenyataan. Kenyataan

itu baik dari pengalaman pribadi maupun dari sejarah pemikiran muncul persoalan tentang

kesatuan dan kebanyakan, tentang ketunggalan dan kegandaan, tantang keekaan dan

keanekaan, tentang kesamaan dan keberlainan

Pertentangan

Rasanya orang-orang harus memilih salah satu di antara dua kemungkinan tersebut (antara

kenyataan yang satu dan yang beragam), jikalau kenyataan itu bersatu, maka kiranya menjadi

satu, tunggal, esa dan tidak akan menjadi banyak, ganda dan aneka.

Hampiran

Untuk menolak pemecahan persoalan awal ini, ontologi harus menolak dari kenyataan

konkret menurut apa adanya. Tidak akan diusahakan menjawab pertanyaan:”Karena apa ada

suatu kenyataan?” keniscayaan mengada atau tidaknya itu mustahil diuraikan secara apriori.

1

A. ALIRAN-ALIRAN DALAM FILSAFAT

Mempelajari pemahaman ontologi muncul beberapa pandangan-pandangan pokok

pemikiran dalam pertanyaan yang kemudian melahirkan aliran-aliran dalam filsafat. Dari

masing-masing pertanyaan menimbulkan beberapa sudut pandang mengenai ontologi.

Sehingga lahir lima filsafat, yaitu sebagai berikut :

1. Monoisme : Paham ini menganggap bahwa hakikat yang berasal dari kenyataan adalah

satu saja, tidak mungkin dua. Haruslah satu hakikat saja sebagai sumber yang asal, baik

berupa materi maupun rohani. Paham ini terbagi menjadi dua aliran :

a. Materialisme

Aliran ini menganggap bahwa sumber yang asal itu adalah materi, bukan rohani.

Aliran ini sering disebut naturalisme. Menurutnya bahwa zat mati merupakan

kenyataan dan satu-satunya fakta yang hanyalah materi, sedangkan jiwa atau ruh

tidaklah merupakan suatu kenyataan yang berdiri sendiri

b. Idealisme

Sebagai lawan dari materialisme yang dinamakan spriritualismee. Dealisme

berasal dari kata ”Ideal” yaitu suatu yang hadir dalam jiwa. Aliran ini beranggapan

bahwa hakikat kenyataan yang beraneka ragam itu semua berasal dari ruh (sukma)

atu sejenis denganntya, yaitu sesuatu yang tidak terbentuk dan menempati ruag.

Materi atau zat ini hanyalah suatu jenis dari penjelamaan ruhani

2. Dualisme, Aliran ini berpendapat bahwa benda terdiri dari dua macam hakikat sebagai

asal sumbernya, yaitu hakikat materi dan ruhani, benda dan ruh, jasad dan spirit. Materi

bukan muncul dari benda, sama-sama hakikat, kedua macam hakikat tersebut masing-

masing bebas dan berdiri sendiri, sama-sama azali dan abadi, hubungan keduanya

menciptakan kehidupan di alam ini. Tokoh paham ini adalah Descater (1596-1650 SM)

yang dianggap sebagai bapak Filosofi modern)

3. Pluralisme, paham ini beranggapan bahwa segenap macam bentuk merupakan

kenyataan. Pluralisme tertolak dari keseluruhan dan mengakui bahwa segenap macam

bentuk itu semuanya nyata, tokoh aliran ini pada masa Yunani kuno adalah Anaxagoras

dan Empedcoles, yang menyatakan bahwa substansi yang ada itu terbentuk dan terdiri

dari empat unsur, yaitu tanah, air, api dan udara

4. Nihilisme, berasal dari bahasa Yunani yang berati nothing atau tidak ada. Istilah

Nihilisme dikenal oleh Ivan Turgeniev dalam novelnya Fadhers an Children yang

2

ditulisnya pada tahun 1862 di Rusia. Doktrin tentang Nihilisme sebenarnya sudah ada

sejak zaman Yunani kuno, yaitu pada pandangan Grogias (483-360 SM) yang

memberikan tiga proporsi tentang realitas

5. Agnostisime, berasal dari bahasa Grik Agnostos yang berarti unknow. A artinya not, Gno

artinya know. Paham ini mengingkari kesanggupan manusia untuk mengetahui hakikat

benda. Baik hakekat materi maupun hakekat ruhani. Timbulnya aliran ini dikarenakan

belum dapatnya orang mengenal dan mampu menerangkan secara konkret akan adanya

kenyataan yang berdiri sendiri dan dapat kita kenal. Jadi paham ini mengenai

pengingkaran tau penyangkalan terhada kemampuan manusia mengetahui hakekat benda

baik materi maupun ruhani. Aliran ini mirip dengan skeptisisme yang berpendapat bahwa

manusia diragukan kemampuannya mengetahui hakekatnya, namun tampaknya

agnotisisme lebih dari itu karena menyerah sama sekali.

EPISTEMOLOGI PENGETAHUAN

A. Pengertian Epistemologi

Epistemologi merupakan cabang filsafat yang menyelidiki asal, sifat, metode, dan

batasan pengetahuan manusia (a branch of philosophy that investigates the origin, nature,

methods, and limits of human knowledge).

Epistemologi jiga disebut teori pengetahuan ( theory of knowledge) berasal dari kata

Yunani episteme, yang berarti “pengetahuan”, “pengetahuan yang benar”, “ pengetahuan

ilmiah”, dan logos= teori. Epistemologi dapat didefinisikan sebagai cabang filsafat yang

mempelajari asal mula atau sumber, struktur, metode, dan sahnya (validitas) pengetahuan.

Dalam metafisika, pertanyaan pokoknya adalah “apakah ada itu?” sedangkan dalam

epistemology pertanyaan pokoknya adalah “apa yang dapat saya ketahui?”.

Dalam pembahasan filsafat ilmu, epistemologi dikenal sebagai sub sistem dari

filsafat. Epistemologi adalah teori pengetahuan, yaitu membahas tentang bagaimana cara

mendapatkan pengetahuan dari objek yang ingin dipikirkan.

B. Hubungan antara Epistemologi dengan Pedagogi Matematika

Epistemologi matematika adalah teori pengetahuan yang sasarannya adalah pengetahuan

matematika. Epistemologi merupakan pemikiran reflektif terhadap berbagai segi dari

pengetahuan seperti kemungkinan, asal mula, sifat-sifat alami, batas-batas, asumsi dan

landasan,validitas dan reliabilitas hingga kebenaran pengetahuan.

Kajian yang termasuk dalam epistemologi matematika antara lain : matematika termasuk

jenis pengetahuan apa (empirik ataupengetahuan pra- pengalaman) bagaimana ciri-ciri

3

matematika (deduktif, abstrak, hipotetik,eksak, simbolik, universal, rasional dan

kemungkinan ciri lainnya) lingkup dan pembagianpengetahuan matematika (matematika

murni, matematika terapan serta cabang lainnya)kebenaran matematika (sifat alaminya dan

semacamnya). Epistemologi matematika mempengaruhi pembelajaran matematika. Kinerja

guru yang ditunjukkan dalam pemecahan masalah, serta pendekatan pengajaranmereka,

tergantung pada keyakinan mereka tentang matematika.

SARANA BERPIKIR ILMIAH

Sarana berpikir ilmiah ini sangat berkaitan dengan metode ilmiah. Sarana merupakan

alat yang membantu kita dalam mencapai suatu tujuan tertentu, sedangkan sarana berpikir

ilmiah merupakan alat bagi metode ilmiah dalam melakukan fungsinya secara baik, dengan

demikian fungsi sarana berpikir ilmiah adalah membantu proses metode ilmiah, bukan

merupakan ilmu itu sendiri.

Sarana bepikir ilmiah juga menyandarkan diri pada proses logika deduktif dan proses

logika induktif, sebagimana ilmu yang merupakan gabungan antara berpikir deduktif dan

induktif. Implikasi proses deduktif dan induktif menggunakan logika ilmiah. Menurut

Endraswara (2012: 228) bahwa logika ilmiah merupakan sarana berpikir ilmiah yang paling

penting.

Untuk dapat melakukan kegiatan berpikir ilmiah dengan baik maka diperlukan sarana

berupa bahasa, logika, matematika dan statistika. Salah satu langkah ke arah penguasaan itu

adalah mengetahui dengan benar peranan masing-masing sarana berpikir tersebut dalam

keseluruhan proses ilmiah (Suriasumantri, 2009: 167-169). Namun dalam makalah ini sarana

berpikir ilmiah akan dikelompokkan menjadi tiga yaitu bahasa, matematika dan statistika,

sedangkan pembahasan logika dimasukan ke dalam ketiga sarana tersebut.

BAHASA DAN PERANNYA DALAM SARANA BERFIKIR ILMIAH

Bahasa merupakan alat komunikasi verbal yang dipakai dalam seluruh proses berpikir

ilmiah dan alat komunikasi untuk menyampaikan jalan pikiran tersebut kepada orang lain

(Suriasumantri, 2009: 167). Pendapat lain menjelaskan, bahasa merupakan pernyataan pikiran

atau perasaan yang terdiri dari kata-kata atau istilah-istilah dan sintaksis. Kata atau istilah

merupakan simbol dari arti sesuatu, sedangkan sintaksis merupakan cara menyusun kata-kata

menjadi kalimat yang bermakna (Tim Dosen Filsafat Ilmu UGM, 2010: 98).

4

Bahasa memegang peranan penting dalam suatu hal yang lazim dalam kehidupan

manusia. Kelaziman tersebut membuat manusia jarang memperhatikan bahasa dan

menganggapnya sebagai suatu hal yang biasa, seperti bernafas dan berjalan. Bloch & Trager

berpendapat bahwa bahasa adalah suatu sistem simbol-simbol bunyi yang arbitrer yang

dipergunakan oleh suatu kelompok sosial sebagai alat komunikasi. Peran bahasa disini adalah

sebagi alat komunikasi untuk menyampaikan jalan pikiran seluruh proses berfikir ilmiah dan

sebagai sarana komunikasi antar manusia.

Adapun ciri-ciri bahasa ilmiah yaitu :

1. Informatif yang berarti bahwa bahasa ilmiah mengungkapkan informasi atau

pengetahuan. Informasi atau pengetahuan ini dinyatakan secara eksplisit dan jelas untuk

menghindari kesalahpahaman informasi.

2. Reproduktif adalah bahwa pembicara atau penulis menyampaikan informasi yang sama

dengan informasi yang diterima oleh pendengar atau pembacanya.

3. Intersubjektif, yaitu ungkapan-ungkapan yang dipakai mengandung makna-makna yang

sama bagi para pemakainya.

4. Antiseptik berarti bahwa bahasa ilmiah itu objektif dan tidak memuat unsur emotif,

kendatipun pada kenyataan unsur emotif ini sulit dilepaskan dari unsur informatif.

AKSIOLOGI PENGETAHUAN

A. Definisi Aksiologi

Aksiologi berasal dari kata Yunani: axion (nilai) dan logos (teori), yang berarti teori

tentang nilai (Salam, 1997). Sumantri (1996) menyatakan aksiologi adalah teori nilai yang

berkaitan dengan kegunaan dan pengetahuan yang diperoleh. Menurut kamus bahasa

Indonesia, aksiologi adalah kegunaan ilmu pengetahuan bagi kehidupan manusia, kajian

tentang nilai-nilai khusunya etika.

Aksiologi merupakan cabang filsafat ilmu yang membicarakan tentang tujuan ilmu

pengetahuan itu sendiri dan bagaimana manusia menggunakan ilmu tersebut. Jadi hakikat

yang ingin dicapai aksiologi adalah hakikat manfaat yang terdapat dalam suatu pengetahuan.

Objek kajian aksiologi adalah menyangkut masalah nilai kegunaan ilmu karena ilmu harus

disesuaikan dengan nilai-nilai budaya dan moral sehingga nilai kegunaan ilmu itu dapat

dirasakan oleh masyarakat. Aksiologi disebut teori tentang nilai yang menaruh perhatian baik

dan buruk (good and bad), benar dan salah (right and wrong), serta tata cara dan tujuan

(mean and end).

5

B. Nilai dalam Aksiologi

Dalam aksiologi ada dua komponen yang mendasar, yakni Etika dan Estetika.

1. Etika

Istilah etika berasal dari bahasa yunani “ethos” yang berarti adat kebiasaan. Dalam

istilah lain dinamakan moral yang berasal dari bahasa latin “mores”, kata jamak dari mos

yang berarti adat kebiasaan. Etika adalah cabang filsafat aksiologi yang membahas masalah-

masalah moral. Kajian etika lebih fokus pada perilaku, norma, dan adat istiadat yang berlaku

pada komunitas tertentu.

2. Estetika

Estetika merupakan bidang studi manusia yang mempersoalkan tentang nilai

keindahan. Keindahan mengandung arti bahwa didalam diri segala sesuatu terdapat unsur-

unsur yang tertata secara tertib dan harmonis dalam suatu hubungan yang utuh menyeluruh.

Maksudnya adalah suatu objek yang indah bukan semata-mata bersifat selaras serta berpola

baik melainkan harus juga mempunyai kepribadian.

C. Kegunaan Aksiologi terhadap Tujuan Ilmu Pengetahuan

Berkenaan dengan nilai guna ilmu, baik itu ilmu umum maupun ilmu agama, tak

dapat dibantah lagi bahwa kedua ilmu itu sangat bermanfaat bagi seluruh umat manusia,

dengan ilmu sesorang dapat mengubah wajah dunia. Berkaitan dengan hal ini, menurut

Francis Bacon seperti yang dikutip oleh Jujun.S.Suriasumatri yaitu bahwa “pengetahuan

adalah kekuasaan” apakah kekuasaan itu merupakan berkat atau justru malapetaka bagi umat

manusia. Memang kalaupun terjadi malapetaka yang disebabkan oleh ilmu, bahwa kita tidak

bisa mengatakan bahwa itu merupakan kesalahan ilmu, karena ilmu itu sendiri merupakan

alat bagi manusia untuk mencapai kebahagiaan hidupnya, lagi pula ilmu memiliki sifat netral,

ilmu tidak mengenal baik ataupun buruk melainkan tergantung pada pemilik dalam

menggunakannya.

D. Hubungan antara Ontologi, Epistimologi, dan Aksiologi

Dari yang telah dipelajari sebelumnya tentang filsafat ilmu pendidikan, maka dapat

dibedakan antara ontologi, epistimologi, dan aksiologi, yaitu:

1. Ontologi : dasar untuk mengklasifikasi pengetahuan dan sekaligus bidang-bidang ilmu.

2. Epistimologi : cara/teknik/sarana yang membantu kita dalam mendapatkan pengetahuan

yang berupa ilmu.

3. Aksiologi : tujuan dari pengetahuan yang berupa ilmu itu dipergunakan.

6

ILMU DAN BUDAYA

A. Ilmu

Menurut Depdiknas (2003) kata ilmu berasal dari bahasa Arab yaitu alima yang berarti

pengetahuan. Dalam bahasa Inggris ilmu disebut science dan bahasa latin yaitu scientia scio,

scire, yang juga berarti pengetahuan (Tirtarahardja, 2008).

.Beberapa pakar ahli berpendapat seperti Asley Montagu (Fitri, 2012) menyatakan

bahwa ilmu adalah pengetahuan yang disusun dalam satu sistem yang berasal dari

pengamatan, studi dan percobaan untuk menentukan hakikat prinsip tentang hal yang dikaji.

John Warfield (Fitri, 2012) mengemukakan bahwa ilmu dipandang sebagai suatu proses.

Pandangan proses ini paling bertalian dengan suatu perhatian terhadap penyelidikan karena

penyelidikan adalah suatu bagian besar dari ilmu sebagai suatu proses. Sedangkan menurut

Charles Singer (Fitri, 2012), ilmu adalah proses membuat proses membuat pengetahuan.

Menurut Susanto (2011 : 112) ilmu adalah pengetahuan yang pasti, sistematik, metodik,

ilmiah dan mencakup kebenaran umum mengenai objek studi. Ilmu membentuk daya

intelegensi yang menghasilkan  keterampilan atau skill.

Jadi dapat disimpulkan bahwa ilmu adalah suatu kegiatan penelitian terhadap suatu

gejala ataupun kondisi pada suatu bidang dengan menggunakan berbagai prosedur, cara, alat

dan metode ilmiah lainnya guna menghasilkan suatu kebenaran ilmiah yang bersifat empiris,

sistematis, objektif, analisis dan verifikatif.

B. Kebudayaan

Menurut Widagho (2010), dalam bahasa Belanda Kebudayaan disebut cultuur dan

dalam Bahasa Inggris disebut culture. Pada dasarnya kebudayaan berasal dari bahasa Latin

“Colere” yang berarti mengolah, mengerjakan, menyuburkan dan mengembangkan, terutama

mengolah tanah atau bertani. Dari segi arti ini berkembanglah arti culture sebagai “segala

daya dan aktivitas manusia untuk mengolah dan mengubah alam”. Dilihat dari sudut bahasa

Indonesia, kebudayaan berasal dari bahasa Sansekreta “bddhayah” yaitu bentuk jamak dari

buddhi yang berarti budi atau akal. 

Kebudayaan didefinisikan untuk pertama kali oleh E. B. Taylor pada tahun 1871, lebih

dari seratus tahun yang lalu, dalam bukunya Primitive Culture dimana kebudayaan diartikan

sebagai keseluruhan yang mencakup pengetahuan, kepercayaan, seni, moral, hukum, adat

serta kemampuan dan kebiasaan lainnya yang diperoleh manusia sebagai anggota masyarakat

(Suriasumantri, 2009: 261).

7

Jadi dapat disimpulkan bahwa kebudayaan adalah kekuatan akal manusia, tindakan dan

hasil karya manusia untuk memenuhi kehidupannya dengan cara belajar, yang semuanya

tersusun dalam kehidupan masyarakat.

C. Hubungan Ilmu dan Budaya

Ilmu merupakan bagian dari pengetahuan dan pengetahuan merupakan unsur dari

kebudayaan. Ilmu dan kebudayaan berada dalam posisi yang saling tergantung dan saling

mempengaruhi. Pada satu pihak pengembangan ilmu dalam suatu masyarakat tergantung dari

kondisi kebudayaannya. Sedangkan di pihak lain, pengembangan ilmu akan mempengaruhi

jalannya kebudayaan.

Menurut Talcot Parsons, mereka saling mendukung satu sama lain baik dalam beberapa

tipe masyarakat ilmu dapat berkembang dengan pesat, demikian pula sebaliknya. Masyarakat

tersebut tak dapat berfungsi dengan wajar tanpa didukung perkembangan yang sehat dari

ilmu dan penerapan.

Semakin berkembangnya budaya maka semakin berkembangnya ilmu. Contohnya

adalah teknologi, majunya budaya maka teknologi berkembang, semakin berkembang

teknologi maka semakin berkembang ilmu.

ILMU DAN MATEMATIKA

A. Pengertian llmu

Kata ilmu berasal dari kata al-ilm dalam bahasa Arab kata al-ilm maknanya adalah

“idrokusy-syaii bi haqiqotihi”, yang artinya,” mengetahui sesuatu sesuai dengan hakekatnya.”

Al-ilm tergolong suatu pengetahuan. Ia merupakan pengetahuan yang benar, baik benar

dalam arti sesuai sebagaimana “ada”-nya (ash-shidq) maupun benar dalam arti berpahala

diakherat kelak jika diamalkan karena Allah semata (al-haqq). Dalam bahasa Inggris ilmu

disebut science dan bahasa latin scientia (pengetahuan). Beberapa pakar ahli antara lain

menurut Asley Montagu (Fitri, 2012) ilmu adalah pengetahuan yang disusun dalam satu

sistem yang berasal dari pengamatan, studi dan percobaan untuk menentukan hakikat prinsip

tentang hal yang dikaji. John Warfield (Fitri, 2012) ilmu dipandang sebagai suatu proses.

Sedangkan menurut Charles Singer (Fitri, 2012), ilmu adalah proses membuat proses

membuat pengetahuan. Sehingga dengan demikian, ilmu adalah kumpulan pengetahuan

secara holistik yang tersusun secara sistematis, teruji secara rasional dan terbukti secara

empiris.Kebenaran ilmu adalah rasionalisme dan empirisme sehingga kebenaran ilmu bersifat

empiris dan bersifat terstruktur yang diperoleh melalui metode-metode tertentu.

8

B. Sifat-Sifat Ilmu

1. Objektif. Ilmu harus memiliki objek kajian yang terdiri dari satu golongan masalah yang

sama sifat hakikatnya, tampak dari luar maupun bentuknya dari dalam. Objeknya dapat

bersifat ada, atau mungkin ada karena masih harus diuji keberadaannya. Dalam mengkaji

objek, yang dicari adalah kebenaran, yakni persesuaian antara tahu dengan objek, dan

karenanya disebut kebenaran objektif; bukan subjektif berdasarkan subjek peneliti atau

subjek penunjang penelitian.

2. Metodis adalah upaya-upaya yang dilakukan untuk meminimalisasi kemungkinan

terjadinya penyimpangan dalam mencari kebenaran. Konsekuensi dari upaya ini adalah

harus terdapat cara tertentu untuk menjamin kepastian kebenaran. Metodis berasal dari

kata Yunani “Metodos” yang berarti: cara, jalan. Secara umum metodis berarti metode

tertentu yang digunakan dan umumnya merujuk pada metode ilmiah.

3. Sistematis. Dalam perjalanannya mencoba mengetahui dan menjelaskan suatu objek, ilmu

harus terurai dan terumuskan dalam hubungan yang teratur dan logis sehingga membentuk

suatu sistem yang berarti secara utuh, menyeluruh, terpadu , mampu menjelaskan

rangkaian sebab akibat menyangkut objeknya. Pengetahuan yang tersusun secara

sistematis dalam rangkaian sebab akibat merupakan syarat ilmu yang ketiga.

4. Universal. Kebenaran yang hendak dicapai adalah kebenaran universal yang bersifat

umum (tidak bersifat tertentu).

C. Pengertian Matematika

Menurut Russeffendi (Gloria, 2012) bahwa matematika lebih menekankan kegiatan

dalam dunia rasio (penalaran), bukan menekankan dari hasil eksperimen atau hasil observasi

matematika terbentuk karena pikiran-pikiran manusia, yang berhubungan dengan idea,

proses, dan penalaran.Menurut Johnson dan Rising (Gloria, 2012), matematika adalah pola

berfikir, pola mengorganisasikan,pembuktian yang logik. Sedangkan menurut Kline bahwa

matematika itu bukanlah pengetahuan menyendiri yang dapat sempurna karena dirinya

sendiri, tetapi adanya matematika itu untuk membantu manusia dalam memahami dan

mengatasi permasalahannya. Matematika tumbuh dan berkembang karena proses berpikir,

oleh karena itu logika adalah dasar untuk terbentuknya matematika.

D. Aliran Filsafat Matematika

Mempelajari pemahaman ilmu dan matematika muncul beberapa pandangan-pandangan

pokok pemikiran dalam pertanyaan yang kemudian melahirkan aliran-aliran dalam

filsafat.Dari masing-masing pertanyaan menimbulkan beberapa sudut pandang mengenai

9

filsafat matematika.Sehingga lahir beberapa filsafat.Menurut Suriasumantri (Mediaharja,

2012) beberapa aliran dalam filsafat matematikayaitu :

1. Aliran Logistik

Pelopornya : Immanuel Kant (1724 – 1804)

Berpendapat bahwa matematika merupakan cara logis (logistik) yang salah atau benarnya

dapat ditentukan tanpa mempelajari dunia empiris. Matematika murni merupakan cabang dari

logika, konsep matematika dapat di reduksikan menjadi konsep logika.

2. Aliran Intuisionis

Pelopornya : Jan Brouwer (1881 – 1966)

Berpendapat bahwa matematika itu bersifat intusionis. Intuisi murni dari berhitung

merupakan titik tolak tentang matematika bilangan. Hakekat sebuah bilangan harus dapat

dibentuk melalui kegiatan intuitif dalam berhitung dan menghitung.

3. Aliran Formalis

Pelopornya : David Hilbert (1862 – 1943)

Berpendapat bahwa matematika merupakan pengetahuan tentang struktur formal dari

lambang. Kaum formalis menekankan pada aspek formal dari matematika sebagai bahasa

lambang dan mengusahakan konsistensi dalam penggunaan matematika sebagai bahasa

lambang.

Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan bahwa matematika adalah cara atau metode

berpikir dan bernalar. Matematika adalah cara berpikir yang digunakan untuk memecahkan

semua jenis persoalan.

E. Hubungan Ilmu Dan Matematika

Matematika sangat penting bagi keilmuan, terutama dalam peran yang dimainkannya

dalam mengekspresikan model ilmiah. Mengamati dan mengumpulkan hasil-hasil

pengukuran, sebagaimana membuat hipotesis dan dugaan, pasti membutuhkan model dan

eksploitasi matematis. Cabang matematika yang sering dipakai dalam keilmuan di antaranya

kalkulus dan statistika, meskipun sebenarnya semua cabang matematika mempunyai

penerapannya, bahkan bidang “murni” seperti teori bilangan dan topologi. Tanpa matematika

maka pengetahuan akan berhenti  pada tahap kualitatif yang tidak memungkinkan untuk

meningkatkan penalaran lebih jauh. Oleh karena maka dapat dikatakan bahwa ilmu tanpa

matematika tidak berkembang dan sebaliknya matematika tanpa ilmu tidak ada keteraturan

(Gunawan, 2014).

Beberapa orang pemikir memandang matematikawan sebagai ilmuwan, dengan anggapan

bahwa pembuktian-pembuktian matematis setara dengan percobaan.Sebagian yang lainnya

10

tidak menganggap matematika sebagai ilmu, sebab tidak memerlukan uji-uji eksperimental

pada teori dan hipotesisnya. Namun, dibalik kedua anggapan itu, kenyataan pentingnya

matematika sebagai alat yang sangat berguna untuk menggambarkan/menjelaskan alam

semesta telah menjadi isu utama bagi filsafat matematika.

ILMU DAN AGAMA

A. Ilmu Pengetahuan

Ilmu pengetahuan adalah suatu sistem pengetahuan dari berbagai pengetahuan,

mengenai suatu lapangan pengalaman tertentu, yang disusun sedemikian rupa menurut asas-

asas tertentu, hingga menjadi kesatuan atau sistem dari berbagai pengetahuan. James

menjelaskan, ilmu pengetahuan adalah rangkaian konsep dan kerangka konseptual yang

saling berkaitan dan telah berkembang sebagai hasil percobaan dan pengamatan.Ilmu

pengetahuan tidak dipahami sebagai pencarian kepastian, melainkan sebagai penyeledikan

yang berkesinambungan.

Ilmu pengetahuan juga bisa merupakan upaya menyingkap realitas secara tepat

dengan merumuskan objek material dan objek formal.Upaya penyingkapan realitas dengan

memakai dua perumusan tersebut adakalanya menggunakan rasio dan empiris atau

mensintesikan keduanya sebagai ukuran sebuah kebenaran (kebenaran ilmiah). Penyingkapan

ilmu pengetahuan ini telah banyak mengungkap rahasia alam semesta dan

mengeksploitasinya untuk kepentingan manusia.

Dewasa ini, ilmu pengetahuan yang bercorak empiristik dengan metode kuantitatif

(matematis) lebih dominan menduduki dialektika kehidupan masyarakat. Hal ini besar

kemungkinan karena banyak dipengaruhi oleh perkembangan pemikiran positivistiknya

Auguste Comte yang mengajukan tiga tahapan pembebasan ilmu pengetahuan. Pertama,

menurut Auguste Comte ilmu pengetahuan harus terlepas dari lingkungan teologik yang

bersifat mistis. Kedua, ilmu pengetahuan harus bebas dari lingkungan metafisik yang bersifat

abstrak. Ketiga, ilmu pengetahuan harus menemukan otonominya sendiri dalam lingkungan

positifistik.

B. Bentuk Ilmu Pengetahuan

Menurut beberapa pakar, ilmu pengetahuan didefinisikan sebagai rangkaian aktifitas

berfikir dan memahami dengan mengikuti prosedur sistematika metode dan memenuhi

langkah-langkahnya. Dengan pola tersebut maka akan dihasilkan sebuah pengetahuan yang

11

sistematis mengenai fenomena tertentu, dan mencapai kebenaran, pemahaman serta bisa

memberikan penjelasan serta melakukan penerapan.

Secara garis besar, ilmu pengetahuan dibagi menjadi dua bentuk, yakni ilmu eksakta

dan ilmu humaniora. Ilmu eksakta adalah spesifikasi keilmuan yang menitikberatkan pada

hukum sebab akibat. Penilaian terhadap ilmu-ilmu eksakta cenderung memakai metode

observasi yang digunakan sebagai cara penelitiannya dan mengukur tingkat validitasnya.

Dengan model tersebut, penelitian terhadap ilmu-ilmu eksakta sering mendapatkan hasil yang

objektif. Sedangkan ilmu humaniora merupakan spesifikasi keilmuan yang membahas sisi

kemanusian selain yang bersangkutan dengan biologis maupun fisiologisnya. Hal-hal yang

berkaitan dengan kemanusiaan ini lebih tertitik tekan dalam masalah sosiologis dan

psikologisnya.

C. Pengertian Agama

Kata agama dalam bahasa inggris disebut “Religion”, dalam bahasa belanda disebut

“Religie”. Kedua kata tersebut terambil dari bahasa induk yaitu bahasa latin yang memiliki

arti “Religare”, to treat carefully (Ciicero), Relegere, to bind together (Lactantius), atau

Religare, to recover (Agustinus). Dalam bahasa Arab, kata Agama disebut dengan “al-Di>n”

yang terambil dari akar kata “Da>na-Yadi>nu” yang berarti :

(1). Cara atau adat kebiasaan;

(2). Peraturan;

(3). Undang-undang;

(4). Ta’at atau patuh;

(5). Menunggalkan Tuhan;

(6).Pembalasan;

(7). Perhitungan;

(8). Hari kiamat;

(9). Nasihat.

Menurut Fachruddin alkahiri, kata agama dalam bahasa indonesia berasal dari bahasa

sangsekerta yang terdiri dari dua kata, yaitu: “a” yang berarti “Tidak” dan “Gama” yang

berarti “berantakan”. Jadi kata “Agama” adalah tidak berantakan, atau dalam pengertian lain

berarti teratur. Yang dimaksud agama adalah suatu peraturan yang mengatur keadaan

manusia, maupun sesuatu yang gaib, ataupun mengenai budi-pekerti, pergaulan hidup

bersama dan lainnya.

12

D. Hubungan Ilmu dan Agama

Menurut Muhammad Abduh, agama merupakan sebuah produk Tuhan. Tuhan juga

mengajarkannya kepada umat manusia, dan membimbing manusia untuk menjalankanya.

Agama merupakan alat untuk akal dan logika, bagi orang-orang yang ingin kabar gembira

dan sedih. agama menurut sebagian orang merupakan sesuatu hal yang menyangkut hati;

suatu hal yang sangat berarti; suatu hal  yang menuntun jiwa untuk menemukan keyakinan.

Agama dengan eksistensinya telah membuatnya berbeda dengan segala apa yang pernah ada,

membuatnya berbeda dengan dengan segala yang pernah dimiliki manusia. Agama membuat

orang melakukan aktifitas yang harus bersesuaian dengan apa yang diajarkannya, baik

tuntunan itu berat ataupun ringan. Agama menjadikan kehidupan manusia lebih teratur dalam

kehidupannya, karena segala dorongan dan keinginannya menjadi lebih terarah. Agama

menjadi pemimpin roh jiwa manusia. Ia juga berperan aktif membimbing manusia untuk

memahami ajaran-ajaranya. Diibaratkan seorang manusia layaknya seorang yang berada

diujung pedang, jika salah maka orang tersebut mati olehnya, tetapi agama agama datang

sebagai penyelamat. Apapun yang terjadi pada manusia, ia tidak akan bisa terlepas dari

agama. Sangat mustahil memisahkan kehidupan manusia dari agama. Seperti halnya

menghilangkan luka bekas operasi dari kulit manusia. 

    

ILMU DAN BAHASA

A. Pengertian Ilmu

Menurut kamus Besar Bahasa Indonesia, ilmu diartikan sebagai pengetahuan tentang

suatu bidang yang disusun secara bersistem menurut metode tertentu, yang dapat digunakan

untuk menerangkan gejala tertentu di bidang (pengetahuan) itu; atau pengetahuan atau

kepandaian tentang soal duniawi, akhirat, lahir, batin, dan sebagainya. Dalam Wikipedia

Indonesia, ilmu adalah seluruh usaha sadar untuk menyelidiki, menemukan dan

meningkatkan pemahaman manusia dari berbagai segi kenyataan dalam alam manusia.

B. Asal Mula Bahasa

Apabila kita menelusuri jejak kehidupan nenek moyang manusia di muka bumi sejak

lima ratus ribu tahun yang silam, kita tidak pernah menemukan bukti-bukti langsung

mengenai bahasa nenek moyang kita tersebut.

Cerita dari Mesir, bahwa sekitar abad ke-17 SM Raja Mesir Psammetichus mengadakan

eksperimen terhadap bayi yang dibesarkan di hutan belantara dengan pola pengasuhan yang

tanpa bersentuhan dengan pemakaian bahasa apapun. Setelah berusia dua tahun, bayi tersebut

13

dilaporkan oleh pengasuh suruhan istana dapat mengucapkan kata pertamanya “becos” yang

berarti “roti”, dalam bahasa Phrygia (bahasa Mesir kuno). Dan cerita ini, banyak orang Mesir

yang mempercayai bahwa bahasa Mesirlah yang merupakan bahasa yang pertama dikuasai

manusia, sekaligus diklaim sebagai bahasa yang pertama kali ada di muka bumi.

C. Pengertian Bahasa

Bahasa adalah media (sarana) yang digunakan untuk berbicara, menulis, dan berpikir.

Bahasa merupakan alat yang paling penting dalam hidup manusia. Bahasa membuat manusia

mampu mendominasi mahluk lain dimuka bumi, baik yang berada didarat, laut, maupun

udara.

Joseph Broam dalam Bakhtiar (2005:176) juga mengatakan bahwa “a language is a

structured system of arbitrary vocal symbol by means of wich members of social grup

interact (bahasa adalah suatu sistem yang berstruktur dari simbol-simbol bunyi arbitrer yang

dipergunakan oleh para anggota sesuatu kelompok sosial sebagai alat bergaul satu sama

lain)”. Bahasa pada dasarnya berupa lisan, tulisan, dan isyarat.

Berikut ini adalah pengertian dan definisi bahasa menurut para ahli:

1. Menurut Wittgenstein, bahasa merupakan bentuk pemikiran yang dapat dipahami,

berhubungan dengan realitas, dan memiliki bentuk dan struktur yang logis

2. Ferdinand De Saussure, bahasa adalah ciri pembeda yang paling menonjol karena dengan

bahasa setiap kelompok sosial merasa dirinya sebagai kesatuan yang berbeda dari

kelompok yang lain

3. Plato, bahasa pada dasarnya adalah pernyataan pikiran seseorang dengan perantaraan

onomata (nama benda atau sesuatu) dan rhemata (ucapan) yang merupakan cermin dari ide

seseorang dalam arus udara lewat mulut.

4. Carrol, bahasa adalah sebuah sistem berstruktural mengenai bunyi dan urutan bunyi

bahasa yang sifatnya manasuka, yang digunakan, atau yang dapat digunakan dalam

komunikasi antar individu oleh sekelompok manusia dan yang secara agak tuntas memberi

nama kepada benda-benda, peristiwa-peristiwa, dan proses-proses dalam lingkungan hidup

manusia.

Sehingga dari uraian diatas, dapat disimpulkan bahasa adalah alat untuk berinteraksi atau alat

untuk berkomunikasi, dalam arti alat untuk menyampaikan pikiran, gagasan, konsep atau

perasaan.

Jujun, S (2010: 300) berpendapat bahwa “Bahasa pada hakikatnya mempunyai dua

fungsi utama yakni, pertama sebagai sarana komunikasi antarmanusia dan kedua, sebagai

14

sarana budaya yang mempersatukan kelompok manusia yang mempergunakan bahasa

tersebut”.

D. Peran Bahasa Dalam Ilmu

Ilmu dan bahasa merupakan dua hal yang tidak terpisahkan.Bahasa berperan penting

dalam upaya pengembangan dan penyebar luasan ilmu. Setiap penelitian ilmiah tidak dapat

dilaksanakan tanpa menggunakan bahasa, matematika(sarana berpikir deduktif) dan statistika

(sarana berpikir induktif) sebagai sarana berpikir.

Melalui bahasa bukan saja manusia dapat berpikir secara teratur namun juga dapat

mengkomunikasikan apa yang sedang dia pikirkan kepada orang lain. Namun, bukan itu saja,

dengan bahasa kita pun dapat mengekspresikan sikap dan perasaan kita. Seorang yang

berbakat sastra mungkin akan mengekspresika perasaannya dengan cara lain, menulis novel

yang tebal mencakup puluhan ribu kalimat atau menulis puisi yang terdiri dari beberapa bait.

Dengan adanya bahasa maka manusia akan hidup dalam dunia yakni dunia pengalaman yang

nyata dan dunia simbolik yang dinyatakan dengan bahasa.

E. Hubungan Bahasa dan Matematika

Matematika adalah bahasa, disebut dengan bahasa matematika. Matematika adalah

bahasa yang melambangkan serangkaian makna dari serangkaian pernyataan yang ingin kita

sampaikan. Lambang-lambang matematika bersifat artifisial, maksudnya baru mempunyai

arti setelah sebuah makna diberikan kepadanya. Tanpa itu matematika hanya sebuah

kumpulan rumus-rumus yang mati. Matematika mengembangkan bahasa numerik yang

memungkinkan kita untuk melakukan pengukuran secara kuantitatif. Sifat kuantitatif dari

matematika ini meningkatkan daya prediktif dan kontrol dari ilmu. Matematika

memungkinkan ilmu mengalami perkembangan dari tahap kualitatif ke tahap kuantitatif.

SEJARAH PERKEMBANGAN BILANGAN

A. Sejarah Perkembangan Teori Bilangan

Pada mulanya di zaman purbakala banyak bangsa-bangsa yang bermukim sepanjang

sungai-sungai besar. Bangsa Mesir sepanjang sungai Nil di Afrika, bangsa Babilonia

sepanjang sungai Tigris dan Eufrat, bangsa Hindu sepanjang sungai Indus dan Gangga,

bangsa Cina sepanjang sungai Huang Ho dan Yang Tze. Bangsa-bangsa itu memerlukan

keterampilan untuk mengendalikan banjir, mengeringkan rawa-rawa, membuat irigasi untuk

mengolah tanah sepanjang sungai menjadi daerah pertanian untuk itu diperlukan pengetahuan

praktis, yaitu pengetahuan teknik dan matematika bersama-sama. Sejarah menunjukkan

15

bahwa permulaan Matematika berasal dari bangsa yang bermukim sepanjang aliran sungai

tersebut. Mereka memerlukan perhitungan, penanggalan yang bisa dipakai sesuai dengan

perubahan musim. Diperlukan alat-alat pengukur untuk mengukur persil-persil tanah yang

dimiliki. Peningkatan peradaban memerlukan cara menilai kegiatan perdagangan, keuangan

dan pemungutan pajak. Untuk keperluan praktis itu diperlukan bilangan-bilangan.

Bilangan dahulunya digunakan sebagai simbol untuk menggantikan suatu benda

misalnya kerikil, ranting yang masing-masing suku atau bangsa memiliki cara tersendiri

untuk menggambarkan bilangan dalam bentuk simbol diantaranya :

Simbol bilangan bangsa Babilonia.

Simbol bilangan bangsa Maya di Amerika pada 500 tahun SM.

Simbol bilangan menggunakan huruf Hieroglif yang dibuat bangsa Mesir Kuno.

Simbol bilangan bangsa Arab yang dibuat pada abad ke-11 dan dipakai hingga kini oleh

umat Islam di seluruh dunia.

Simbol bilangan bangsa Yunani Kuno.

Simbol bilangan bangsa Romawi yang juga masih dipakai hingga kini.

1. Teori Bilangan pada Masa Prasejarah (Sebelum Masehi)

Konsep bilangan dan proses berhitung berkembang dari zaman sebelum ada sejarah

(artinya tidak tercatat sejarah kapan dimulainya). Mungkin bisa diperdebatkan, tapi diyakini

sejak zaman paling primitif pun manusia memiliki “rasa” terhadap apa yang dinamakan

bilangan, setidaknya untuk mengenali mana yang “lebih banyak” atau mana yang “lebih

sedikit” terhadap berbagai benda.

Hal ini dibuktikan dengan ditemukannya benda matematika tertua, yaitu tulang

Lebombo di pegunungan Lebombo di Swaziland dan mungkin berasal dari tahun 35.000 SM.

Tulang ini berisi 29 torehan yang berbeda yang sengaja digoreskan pada tulang fibula

baboon. Terdapat bukti bahwa kaum perempuan biasa menghitung untuk mengingat siklus

haid mereka; 28 sampai 30 goresan pada tulang atau batu, diikuti dengan tanda yang berbeda.

Selain itu, ditemukan juga artefak prasejarah di Afrika dan Perancis, dari tahun 35.000 SM

dan berumur 20.000 tahun, yang menunjukkan upaya dini untuk menghitung waktu. Tulang

Ishango, ditemukan di dekat batang air Sungai Nil (timur laut Kongo), berisi sederetan tanda

lidi yang digoreskan di tiga lajur memanjang pada tulang itu. Tafsiran umum adalah bahwa

tulang Ishango menunjukkan peragaan terkuno yang sudah diketahui tentang barisan bilangan

prima.

16

a. Teori Bilangan pada Suku Bangsa Babilonia

Matematika Babilonia merujuk pada seluruh matematika yang dikembangkan oleh

bangsa Mesopotamia (kini Iraq) sejak permulaan Sumeria hingga permulaan peradaban

helenistik. Dinamai "Matematika Babilonia" karena peran utama kawasan Babilonia sebagai

tempat untuk belajar. Pada zaman peradaban helenistik, Matematika Babilonia berpadu

dengan Matematika Yunani dan Mesir untuk membangkitkan Matematika Yunani. Kemudian

di bawah Kekhalifahan Islam, Mesopotamia, terkhusus Baghdad, sekali lagi menjadi pusat

penting pengkajian Matematika Islam.

b. Teori Bilangan pada Suku Bangsa Mesir Kuno

Matematika Mesir merujuk pada matematika yang ditulis di dalam bahasa Mesir. Sejak

peradaban helenistik matematika Mesir melebur dengan matematika Yunani dan Babilonia

yang membangkitkan Matematika helenistik. Pengkajian matematika di Mesir berlanjut di

bawah Khilafah Islam sebagai bagian dari matematika Islam, ketika bahasa Arab menjadi

bahasa tertulis bagi kaum terpelajar Mesir.

Tulisan matematika Mesir yang paling panjang adalah Lembaran Rhind (kadang-

kadang disebut juga "Lembaran Ahmes" berdasarkan penulisnya), diperkirakan berasal dari

tahun 1650 SM tetapi mungkin lembaran itu adalah salinan dari dokumen yang lebih tua dari

Kerajaan Tengah yaitu dari tahun 2000-1800 SM. Lembaran itu adalah manual instruksi bagi

pelajar aritmetika dan geometri. Selain memberikan rumus-rumus luas dan cara-cara

perkalian, pembagian, dan pengerjaan pecahan, lembaran itu juga menjadi bukti bagi

pengetahuan matematika lainnya, termasuk bilangan komposit dan prima; rata-rata

aritmetika, geometri, dan harmonik; dan pemahaman sederhana Saringan Eratosthenes dan

teori bilangan sempurna (yaitu, bilangan 6). Lembaran itu juga berisi cara menyelesaikan

persamaan linear orde satu juga barisan aritmetika dan geometri.

c. Teori Bilangan pada Suku Bangsa India

Sulba Sutras (kira-kira 800-500 SM) merupakan tulisan-tulisan geometri yang

menggunakan bilangan irasional, bilangan prima, aturan tiga dan akar kubik; menghitung

akar kuadrat dari 2 sampai sebagian dari seratus ribuan; memberikan metode konstruksi

lingkaran yang luasnya menghampiri persegi yang diberikan, menyelesaikan persamaan

linear dan kuadrat; mengembangkan tripel Pythagoras secara aljabar, dan memberikan

pernyataan dan bukti numerik untuk teorema Pythagoras.

Panini (kira-kira abad ke-5 SM) yang merumuskan aturan-aturan tata bahasa Sanskerta

menggunakan notasi yang sama dengan notasi matematika modern, dan menggunakan

aturan-aturan meta, transformasi, dan rekursi. Pingala (kira-kira abad ke-3 sampai abad

17

pertama SM) di dalam risalah prosodynya menggunakan alat yang bersesuaian dengan sistem

bilangan biner. Pembahasannya tentang kombinatorika bersesuaian dengan versi dasar dari

teorema binomial. Karya Pingala juga berisi gagasan dasar tentang bilangan Fibonacci.

2. Teori Bilangan pada Masa Sejarah (Masehi)

Awal kebangkitan teori bilangan modern dipelopori oleh Pierre de Fermat (1601-1665),

Leonhard Euler (1707-1783), J.L Lagrange (1736-1813), A.M. Legendre (1752-1833),

Dirichlet (1805-1859), Dedekind (1831-1916), Riemann (1826-1866), Giussepe Peano (1858-

1932), Poisson (1866-1962), dan Hadamard (1865-1963). Sebagai seorang pangeran

matematika, Gauss begitu terpesona terhadap keindahan dan kecantikan teori bilangan, dan

untuk melukiskannya, ia menyebut teori bilangan sebagai the queen of mathematics.

B. Definisi Bilangan

Bilangan adalah suatu konsep matematika yang bersifat abstrak yang digunakan untuk

pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu

bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Misalnya, tulisan atau ketikan : 1

yang terlihat saat ini bukanlah bilangan 1, melainkan hanya lambang dari bilangan 1 yang

tertangkap oleh indera penglihatan berkat keberadaan unsur-unsur kimia yang peka cahaya

dan digunakan untuk menampilkan warna dan gambar. Demikian pula jika kita melihat

lambang yang sama di papan tulis, yang terlihat bukanlah bilangan 1, melainkan serbuk dari

kapur tulis yang melambangkan bilangan 1.

GEOMETRI EUCLID

A. Tentang Euclid

Euclid merupakan salah satu ahli ilmu ukur Yunani yang besar. Namun hampir tak

ada keterangan terperinci mengenai kehidupan Euclid yang bisa diketahui. Misalnya, kita

tahu dia pernah aktif sebagai guru di Alexandria, Mesir, di sekitar tahun 300 SM, tetapi kapan

dia lahir dan kapan dia wafat betul-betul gelap. Bahkan, kita tidak tahu di benua apa dan

dikota apa dia dilahirkan. Meski dia menulis beberapa buku dan diantaranya masih ada yang

tertinggal, kedudukannya dalam sejarah terutama terletak pada bukunya yang hebat mengenai

ilmu ukur yang bernama The Elements.

Kebanyakan teorema yang disajikan dalam buku The Elements tidak ditemukan

sendiri oleh Euclid, tetapi merupakan hasil karya matematikawan Yunani awal seperti

Pythagoras (dan para pengikutnya), Hippocrates dari Chios, Theaetetus dari Athena, dan

Eudoxus dari Cnidos. Akan tetapi, secara umum Euclid dihargai karena telah menyusun

18

teorema-teorema ini secara logis, agar dapat ditunjukkan (tak dapat disangkal, tidak selalu

dengan bukti teliti seperti yang dituntut matematika modern) bahwa cukup mengikuti lima

aksioma sederhana. Euclid juga dihargai karena memikirkan sejumlah pembuktian jenius dari

teorema-teorema yang telah ditemukan sebelumnya.

B. Buku The ElementAdapun isi dari 13 buku Elemen menurut (Artmann, 1999:3) adalah sebagai berikut:

1. Buku 1: Pondasi Geometri Bidang

Buku ini diawali dengan kumpulan defenisi. konsep dasar titik, garis, sudut secara umum

dan penggunaan sudut dalam mendefenisikan jenis-jenis segitiga, segiempat, dan lain-

lain. Defenisi yang terakhir menggambarkan garis parallel (sejajar) dalam ilmu ukur

sebagai garis tanpa titik umum. setelah definisi kita menemukan apa yang disebut

postulat, yang merupakan aksioma dalam geometri, kelima dan terakhir ini adalah

postulat paralel terkenal. Common notions adalah aksioma mengenai besaran pada

umumnya, misalnya, " Sesuatu akan sama dengan sesuatu atau sesuatu yang sama akan

sama satu sama lainnya”.

2. Buku II: Geometri dari peregi Panjang

Dibandingkan dengan buku I, buku kedua ini sangat jauh berbeda. Sebagian besar

teorema dalam buku II menjelaskan materi aljabar tentang variasi pada tema identitas

binomial (suku dua):

(a+b )2=a2+2 ab+b2

Hasil ini selalu dinyatakan dalam bahasa geometri subdivisi persegi panjang dan daerah

dari berbagai bagian dari subdivisi. Teorema II.l2 dan 13 menggeneralisasi teorema

Pythagoras (1,47) dengan hukum cosinus, dan Proposisi II.l4 memberikan solusi dari

masalah penting membangun persegi sama (dalam luas) untuk sosok bujursangkar

diberikan.

3. Buku III: Geometri dari Lingkaran

Buku III menjelaskan tentang fakta-fakta dasar tentang geometri lingkaran, garis

singgung, dan lingkaran dalam persegi. Bagian kedua Buku III membahas segiempat dan

lingkaran, termasuk Proposisi III.2I, yang menegaskan kesetaraan semua sudut di daerah

sama dalam lingkaran.

4. Buku IV: Poligon (Segibanyak) beraturan

Dalam buku IV, kita akan menggunakan istilah umum "poligon beraturan" (atau n-gon)

Euclid panggilan dalam kasus-kasus tertentu yang “Poligon sama sisi dan sudut sama.

Ada empat masalah yang dibahas, yaitu:

19

a. Cara menuliskan bujur sangkar

b. Menentukan batas lingkaran

c. Menuliskan lingkaran

d. Menentukan batas bujur sangkar

Masalah-masalah ini diselesaikan untuk:

a. segitiga secara umum (IV. 2-5)

b. persegi (segiempat beraturan) (IV. 6-9)

c. segilima beraturan (IV. 10-14);

d. segienam beraturan (IV. 15);

e. segilimabelas beraturan (IV.16)

5. Buku V: Teori Umum Dari Besaran Perbandingan

Buku V adalah buku yang paling abstrak dan independen dalam Elements dari buku-buku

sebelumnya. Jika buku-buku lain prihatin dengan benda geometris atau angka, buku ini

mempelajari “besaran” yang menurut Aristoteles meliputi angka, garis, muatan, dan waktu.

Dalam VI.33 sudut diperlakukan sebagai besaran, dan luas daerah gambar sebagai besaran di

VI.1, XII.1, dan XII.2 (area lingkaran), serta dibanyak tempat yang lain. Teori umum ini

membuat teori proporsi yang berlaku di seluruh matematika, hubungan ini membuat teori

proporsi berlaku diseluruh bidang matematika, hal ini membuktikan pernyataan dari

Eratosthene (sekitar tahun 275-194 SM) ilmuan yang pertama kali yang menghitung keliling

bumi secara akurat, “lithe unifying bond of the mathematical sciences” artinya “ikatan

pemersatu ilmu matematika”.

Berbagai sumber menunjukkan bahwa Eudoxus (sekitar 400-350) merupakan penulis teori

dalam buku V.

a :b=c :d⟹a : c=b :d

6. Buku VI: Geometri bidang dari gambar yang sama

Buku VI ini secara garis besar hampir sama dengan Buku I. Sebenarnya Buku I, II, dan III

menyajikan inti dari geometri bidang dan secara keseluruhan organisasi memberikan

kesan standar perlakuan geeometri yang telah dikerjakan berulang-ulang sebelumnya.

Seluruh bangunan dari Buku VI didasarkan pada Teorema VI.1, Teorema VI.2 merupakan

teorema dasar pada proporsionalitas dari segmen garis.

20

Salah satu teorema utama dalam buku ini yaitu menghubungkan garis dan bidang segitiga

yang serupa (dan Poligon) (VI 19,20), jika segitiga serupa dengan kesamaan faktor k

untuk garis, maka faktor untuk sesuai daerah adalah k2. Dibagian penutup dari Buku VI

menyajikan aplikasi dari luas. yang dalam istilah modern sama saja dengan solusi

geometris masalah kuadrat. Hal ini dapat diterjemahkan ke dalam penerapan persamaan

kuadrat. Karena alasan ini Buku VI disebut "aljabar geometri" oleh beberapa penulis.

7. Buku VII: Aritmatika Dasar

Dalam buku VII euclides memulai sesuatu yang baru, materi dalam buku VII tidak berasal

dari buku-buku sebelumnya. Definisi pada awal Buku VII ditujukan untuk membantu

memahami Buku VII-IX. Aritmatika Euclidean didasarkan pada algoritma Euclidean

untuk menentukan faktor prima dari dua buah bilangan(VII.l4). Algoritma Euclide

memberikan Faktor Persekutuan terbesar (FPB) dari dua bilangan a, b. Bagian selanjutnya

pada buku ini yaitu penggunaan defenisi 20 untuk membangun sifat-sifat dasar dari

proporsi dari bilangan. Inti dari buku VII adalah teori FPB (VII.20-32), yang berhubungan

dengan kelipatan persekutuan terkecil KPK (VII.33-39).

8. Buku VIII: Bilangan dalam Perbandingan Lanjutan

Bilangan dalam perbandingan lanjutan akan menjadi fokus utama dalam buku ini.

Dibagian kedua buku ini (VIII.11-27). Perhatian lebih akan diberikan dalam materi jenis

bilangan “dalam bentuk geometri,” seperti persegi dan kubus. Satu pertanyaan penting

dalam konteks ini adalah bagaimana karakteristik bilangan a, b yang terdapat dalam

perbandingan berikut:

a : x=x :b

9. Buku IX : Bilangan dalam Perbandingan lanjutan; Teori dari bilangan genap dan bilangan

ganjil, Bilangan Sempurna.

Pada bagian A sampai E, bahasan yang dibahas dalam buku ini adalah mengenai konsep

perbandingan. Yang paling special dalam buku ini adalah setelah teorema IX.20 yaitu

mengenai teori dari bilangan genap dan bilangan ganjil (“the even and the odd” as Plato

says), yang tidak memiliki hubungan dengan yang mendahuluinya, tetapi hanya bertumpu

pada Definisi 6-10 dari Buku VII. Puncak dari teori ini adalah tentang bilangan genap

sempurna (IX.36).

21

10. Buku X: Perbandingan ruas garis

Buku X adalah buku yang paling tebal dari Elemen. Dalam buku ini, algoritma Euclidean

Buku VII diterapkan untuk mendapatkan criteria besaran yang sepadan: X.5. Besaran

sepadan memiliki rasio satu sama lain yang sama. X.6. Jika dua besaran memiliki satu

sama lain rasio yang sama, besaran akan sepadan. Dalam X.9 Euclid menyatakan sebagai

konsekuensi langsung yang sisi dari persegi luas n adalah dapat dibandingkan dengan sisi

persegi dari area 1 ketika n bukan bilangan persegi. Sebagian besar materi Buku X, hingga

Proposisi 115, terdiri dalam studi yang cermat dari berbagai jenis garis dapat dibandingkan

dan di luar lingkup tujuan. Secara historis, penemuan perbandingan garis, atau, seperti kita

akan mengatakan hari ini, bilangan irasional.

11. Buku XI: Dasar-dasar geometri Ruang

Buku XI diawali dengan defenisi-defenisi yang akan digunakan pada buku XII dan XIII.

Dalam buku ini terdapat postulat-postulat dari Buku I. berikut bagian dari buku XI:

a. (XI.l-19) Dasar-dasar geometri ruang (garis, bidang, kesejajaran, dan orthogonality).

b. (XI.20-23) sudut dalam ruang, sifat dan konstruksinya.

c. (XI.24-37) kesejajaran dalam ruang

12. Buku XII: Luas dan Volume; Metode Eudoxus tentang “Exhaustion”

Beberapa metode diperlukan untuk menentukan daerah lingkaran dalam kaitannya dengan

persegi, atau volume piramida. Metode exhaustion yang dipakai Euclides pertama kali

diciptakan oleh Eudoxus. Metode pembuktian sangat berbeda dan jauh lebih rumit daripada

buku-buku sebelumnya, kecuali buku V.

13. Buku XIII: Polyhedra beraturan

Buku ini membahas tentang Polyhedra. Polihedra adalah suatu bidang tiga dimensi yang

tersusun atas sisi-sisi berbentuk poligon. Kata Polyhedra diambil dari kata yunani kuno,

yaitu poli atau banyak dan edon.

GEOMETRI NON EUCLID

A. Perkembangan Geometri Non Euclid

1. Matematikawan Arab

Bangsa Arab mengembangkan keilmuan Geometri yang bersumber dari India dan

Yunani di bidang matematika. Mereka dikenal sangat luar biasa dalam mengungkap

permasalahan matematika terutama yang berkaitan dengan Trigonometri dan juga beberapa

masalah yang tak terpecahkan dalam hal teori kesejajaran. Salah satunya, yang cukup populer

22

adalah Omar Khayyam (Nishapur – sekarang Iran, 1048 – 1131). Omar Khayyam mencoba

untuk membuktikan postulat kesejajaran Euclid dengan hanya memanfaatkan postulat yang

pertama dari empat postulat lainnya yang dikemukakan oleh Euclid. Di mana, dengan

menggunakan postulat-postulat tersebut ia memberikan kejelasan mengenai teorema

kesejajaran Euclid berdasarkan pada birectangular quadrilateral.

Satu tokoh matematikawan Arab lainnya yang juga berkontribusi terhadap

perkembangan keilmuan bidang Geometry adalah Nasîr Eddîn (1201-1274). Salah satu

hipotesisnya yang berkenaan dengan Postulat Ke-5 Euclid adalah ‘if two straight lines r and s

are the one perpendicular and the other oblique to the segment AB, the perpendiculars drawn

from s upon r are less than AB on the side on which s makes an acute angle with AB, and

greater on the side on which s makes an obtuse angle with AB’. Hipotesisnya ini,

menuntunnya untuk menyimpulkan bahwa jumlah sudut dari suatu segitiga adalah sama

dengan dua kali sudut siku. Dan segitiga siku-siku merupakan setengah bagian dari suatu

segiempat yang ‘dipotong’ mengikuti diagonalnya.

2.Matematikawan Eropa

Beberapa matematikawan Eropa kemudian juga mencoba membuktikan kebenaran

Postulat Ke-5 Euclid, yang beberapa diantaranya adalah:

1. John Wallis (1616-1703), seorang profesor dari Oxford University.

Ia membuat pembuktian terhadap Postulat Ke-5 Euclid dengan berdasarkan pada aksioma

‘to every figure there exists a similiar figure of arbitrary magnitude’.

2. C. S. Clavio (1573 - 1612)

Ia mencoba untuk memunculkan model pembuktian baru terhadap hipotesis Euclid dengan

berlandaskan pada teorema ‘the line equidistant from a straight line is straight line’.

Dalam banyak hal, ternyata apa yang dihasilkannya memiliki kemiripan dengan karya

Nasîr Eddîn.

3. Jonh Playfair (1748-1819)

Postulat Playfair. Untuk suatu garis l dan setiap titik P yang tidak terletak pada garis l,

terdapat suatu garis m yang melewati P dan sejajar dengan l. Dengan postulatnya, Playfair

mencoba untuk mengkonstruksi postulat kesejajaran yang dikemukakan oleh Euclid agar

lebih mudah dipahami.

4. Adrien Marie Legendre (1752-1833)

Ia tidak sepenuhnya mengakui kebenaran hipotesis Saccheri, terutama yang berkenaan

dengan sudut tumpul (obtuse angle). Ia membuktikan bahwa ‘jumlah sudut dari suatu

segitiga adalah kurang dari atau sama dengan dua kali sudut siku’. Pada teorema ke-

23

2nya, Legendre mengungkapkan bahwa ‘jika jumlah sudut pada suatu segitiga kurang

dari atau sama dengan dua kali sudut siku dalam suatu segitiga maka ianya juga akan

berlaku sama pada segitiga-segitiga lainnya’

B.Dasar Geometri Non Euclid

Girolamo Saccheri (San Remo, 1667-1733). Ia adalah seorang profesor di Pavia

University. Ia-lah yang mempublikasikan keberadaan Euclides ab Omni Naevo Vindicatus

dan kemudian mencoba untuk membuktikan Postulat Ke-5 Euclid. Saccheri menggunakan

Absurd Method dalam pengkonstruksian Postulat Ke-5 Euclid. Hasil temuannya kemudian

menjadi dasar bagi perkembangan Geometri Non-Euclid.

Selama sekian abad lamanya, para ahli matematika pada akhir abad 18 hingga awal

abad 19, beberapa dari para matematikawan mencoba menjawab pertanyaan tersebut. Tapi

apa yang kemudian mereka hasilkan ternyata tidak cukup memuaskan. Namun beberapa

diantaranya ternyata berhasil membuat kemajuan, mereka adalah :

Ferdinand Karl Schweikart (1780-1859). Ia yang kemudian membagi keilmuan

Geometri ke dalam dua kutub yaitu Geometri euclid dan Geometri yang menolak kebenaran

Postulat Ke-5 Euclid (atau Geometri Non-Euclid). Franz Adolf Taurinus (1728-1779). Ia

adalah sepupu dari Schweikart, yang secara otomatis juga berperan sebagai rekan kerja

Schweikart. Johann Heinrich Lambert (1728-1779). Ia yang mengajukan konsep Geometri

pada bola nyata dan radius tak berhingga dari sebuah bola.

Selama sekian abad lamanya, para ahli matematika pada akhir abad 18 hingga awal

abad 19, beberapa dari para matematikawan mencoba menjawab pertanyaan tersebut. Tapi

apa yang kemudian mereka hasilkan ternyata tidak cukup memuaskan. Namun beberapa

diantaranya ternyata berhasil membuat kemajuan, mereka adalah :

Ferdinand Karl Schweikart (1780-1859). Ia yang kemudian membagi keilmuan

Geometri ke dalam dua kutub yaitu Geometri euclid dan Geometri yang menolak kebenaran

Postulat Ke-5 Euclid (atau Geometri Non-Euclid). Franz Adolf Taurinus (1728-1779). Ia

adalah sepupu dari Schweikart, yang secara otomatis juga berperan sebagai rekan kerja

Schweikart. Johann Heinrich Lambert (1728-1779). Ia yang mengajukan konsep Geometri

pada bola nyata dan radius tak berhingga dari sebuah bola.

C. Kelahiran Geometri non Euclid

Selama sekian abad lamanya, para ahli matematika pada akhir abad 18 hingga awal

abad 19, beberapa dari para matematikawan mencoba menjawab pertanyaan tersebut. Tapi

apa yang kemudian mereka hasilkan ternyata tidak cukup memuaskan. Namun beberapa

diantaranya ternyata berhasil membuat kemajuan, mereka adalah :

24

Ferdinand Karl Schweikart (1780-1859). Ia yang kemudian membagi keilmuan

Geometri ke dalam dua kutub yaitu Geometri euclid dan Geometri yang menolak kebenaran

Postulat Ke-5 Euclid (atau Geometri Non-Euclid). Franz Adolf Taurinus (1728-1779). Ia

adalah sepupu dari Schweikart, yang secara otomatis juga berperan sebagai rekan kerja

Schweikart. Johann Heinrich Lambert (1728-1779). Ia yang mengajukan konsep Geometri

pada bola nyata dan radius tak berhingga dari sebuah bola.

Para ahli matematika dunia sadar bahwa Postulat Ke-5 Euclid tidak dapat dibuktikan

dengan menggunakan aksioma-aksioma yang terdapat pada Geometri Euclid. Terdapat

banyak fakta yang mengindikasikan penolakan ini. pada waktu yang hampir bersamaan, tiga

orang matematikawan ternyata berhasil menemukan solusi dari perdebatan panjang mengenai

keberadaan Postulat Ke-5 Euclid. Mereka adalah :

Karl Friedrich Gauss di Jerman (Brunswick 1777 – Gotinga 1855)

Nicolai Ivanovitsch Lobatchevski di Rusia (Novgororod, sekarang Gorki, 1792-

1856)

János Bolyai di Hungaria (Kolozxvar, sekarang Napoca Rumania, 1802-1860)

D. Geometri Hiperbolik

Pada kajian Geometri Hiperbolik ini objek-objek kajianya yang berupa titik, garis, bidang

dan segmen tidak sama dengan titik, garis, bidang dan segmen pada Geometri Parabolik.

Pada Geometri Hiperbolik Ini bidang direpresentasikan oleh sebuah lingkaran O

(Prenowitz,1965: 91).

E. Geometri Eliptik

Geometri Eliptik berbeda dengan Geometri Euclid hanya pada postulat kesejajarannya

saja, Postulat kesejajaran dari Riemann adalah sebagai berikut (Moeharti, 1986: 5.17): “Tidak

ada garis-garis sejajar dengan garis lain”.

Berdasarkan pada Postulat diatas, pada Geometri Eliptik ini dua garis selalu

berpotongan dan tidak ada dua garis sejajar. Pada Geometri Eliptik terdapat dua macam

pengkhususan yang pertama Geometri “single elliptic” dan yang kedua Geometri “double

elliptic”.

Kata Eliptik didasarkan atas klasifikasi Geometri Proyektif, karena tidak ada dua garis

yang dapat dibuat sejajar garis tersebut. Untuk dapat memudahkan dalil-dalil berikut, maka

sebagai model dari Geometri “double elliptic” ialah bola dan untuk Geometri “single elliptic”

adalah setengah bola.

PI (π)

25

A. Sejarah Penggunaan Simbol π

Dalam sejarah matematika, perbandingan keliling dan diameter lingkaran

diungkapkan dalam berbagai simbol di berbagai belahan dunia. Penggunaan huruf Yunani

π juga menyatakan beragam hal dalam sejarah matematika. Perbandingan keliling

dengan diameter lingkaran atau tepatnya 3,14159... disimbolkan dengan huruf π pertama

kali dilakukan oleh William Jones (1675-1749) tahun 1706. Namun pemakaian simbol ini

secara luas hingga kini setelah dipopulerkan oleh matematikawan Leonhart Euler (1707-

1783).

William Jones sendiri sebelumnya kurang dikenal, tetapi setelah korespondensinya

dengan Newton diketahui oleh para sejarawan, ia mulai dikenal dalam sejarah matematika.

Ia antara lain pernah menjadi anggota the Royal Society (suatu perhimpunan ilmuwan

ternama di Inggris) tahun 1711. Simbol huruf Yunani π sendiri telah digunakan dalam

matematika jauh sebelum Jones. Simbol ini antara lain telah digunakan oleh

matematikawan William Oughtred (1574-1660), Isaac Barrow (1630-1677), dan David

Gregory (1661-1701).

Menurut sejarawan Cajori, penggunaan simbol tunggal untuk menyatakan

perbandingan keliling terhadap diameter mungkin pertama-tama dilakukan oleh J.

Christoph Sturm dalam bukunya Mathesis enucleata tahun 1689. Hanya ia menggunakan

simbol tunggal e bukan π. Tetapi klaim Cajori ini mungkin saja salah, sebab jauh sebelum

Eropa mengenal perbandingan keliling terhadap diameter lingkaran, peradaban Asia baik

India, Cina, Arab, Persia maupun Mesir telah mengenal perbandingan ini. Sebut saja al-

Kashi sekitar abad ke-15 telah menggunakan simbol tunggal berupa huruf Arab “tho”

untuk menyatakan bilangan 3,1415... .

"There are various other ways of finding the Lengths or Areas of

particular Curve Lines, or Planes, which may very much facilitate the

Practice; as for instance, in the Circle, the Diameter is to the

Circumference as 1 to

, &c. = 3.14159, &c. = . This series

(among others for the same purpose, and drawn from the same

Principle) I received

from the Excellent Analyst, and my much esteem'd Friend Mr. John

Machin; and by means thereof, Van Ceulen's Number, or that in Art.

26

64.38 may be Examin'd with all desirable Ease and Dispatch."

B. Pengertian Pi

Pi adalah suatu tetapan yang dipakai untuk mencari luas lingkaran. Di

sekolah, kita diajarkan bahwa nilai π (Pi) adalah 22/7. Sejak dulu, para ahli matematika

telah mencari nilai π (Pi) yang benar. Pi (π) adalah sebuah konstanta dalam matematika yang

merupakan perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya. Huruf π adalah aksara

Yunani yang dibaca pi dan pi juga bisa dipakai dalam penulisan. Nilai π yang lazim

digunakan adalah 3,14 atau 22/7 namun untuk lebih tepatnya, sudah dicari sampai >

1,241,100,000,000 tempat desimal. Nilai π sampai 10 tempat desimal adalah

3,14159265358.

C. Sejarah Nilai Pi

1. Abad ke-19 SM bangsa Babilonia menetapkan bahwa π = 25/8 = 3,125.

2. Abad ke-17 SM, pakar matematika dari Mesir Ahmes menghitung bahwa π = 256/81 =

3,1605.

3. Abad ke-9 SM, astronom India Yajnavalkya menghitung bahwa π = 339/108 =

3,1389.

4. Abad ke-3 SM, Archimedes dari Yunani menyatakan bahwa 3 + 10/7 < π < 3 + 1/7,

atau π (Pi) itu terletak antara bilangan 3,1408 dan 3,1428.

5. Tahun 263, matematikawan China Liu Hui menghitung bahwa π = 3,141014.

6. Abad ke-15, Ghyath ad-din Jamshid Kashani dari Persia telah menghitung nilai π

yang akurat sampai 16 digit.

7. Tahun 1600, matematikan Jerman Ludolph van Ceulen menghitung π dengan akurasi

sampai 32 digit. Ia sangat bangga atas hal ini sampai di pahatkan dibatu nisannya.

8. Tahun 1873, seorang matematikawan amatir William Shanks menyelesaikan 20 tahun

menghitung phi dengan akurasi sampai 707 digit.

9. Tahun 1910, matematikawan India Srinivasa Ramanujan, merumuskan deret π yang

digunakan matematikawan saat ini untuk menghitung nilai π.

D. Fakta – fakta menarik mengenai Pi

1. Pada tahun 1706, seorang ahli Matematika bahasa Inggris memperkenalkan abjad Yunani

pi untuk mewakili nilai yang dikatakan.

2. Pada tahun 1737, Euler resmi mengadopsi simbol π ini untuk mewakili bilangan.

3. Pada tahun 1897, legislatif dari Indiana mencoba menentukan nilai pi yang paling

akurat. Namun ternyata kebijakan ini tidak berhasil. Sebagian besar orang pada waktu itu

27

tidak mengetahui fakta bahwa lingkaran memiliki jumlah sudut yang tak terbatas.

Nilai dari pi adalah 22/7 dan ditulis sebagai π = 22/7 atau = 3,14. Nilai pi dengan

100 tempat desimal pertama adalah:

3,141592653589793238462643383279502884197169399375

1058209749445923078164062862089986280348253421170679.

E. Sejarah lampau tentang π dari abad ke abad

Dari berbagai sabak/tablet lempung, kayu, dan batu yang pernah ditemukan,

disimpulkan catatan-catatan bahwa bangsa Babilonia telah menggunakan π = 3 sejak tahun

4000 SM (Sebelum Masehi), kemudian π = 25/8 = 3,125 pada 1900–1600 SM. Bangsa Mesir

telah telah melakukan perhitungan luas lingkaran dengan menggunakan π = (16/9)^2 ≈

3,1605 sejak tahun 1850 SM. India menggunakan π = (9785/5568)^2 ≈ 3.088 sejak tahun 600

SM. Bangsa Indian menggunakan π = sqrt(10) ≈ 3.1622 sejak tahun 150 SM.

Definisi π sebagai ratio keliling lingkaran terhadap diameternya dan metode

pendekatan yang lebih jelas ditemukan dari catatan tahun 250 SM milik Archimedes dari

Syracuse Yunani. Perhitungan keliling lingkaran dilakukan oleh Archimedes dalam

pendekatan bentuk lingkaran sebagai suatu polygon, yaitu bentuk segi-banyak sama sisi.

Archimedes menghitung keliling lingkaran berdasarkan panjang sisi polygon segi-96 sama

sisi yang digunakan sebagai perimeter dalam dan perimeter luar suatu lingkaran, sehingga

dihasilkan nilai batas bawah dan batas atas 223/71 < π < 22/7 (3.1408 < π < 3.1429).

Di Persia, pada tahun 1424 dipublikasikan Risala al-Muhitiyya (“Treatise on the

Circumference”) oleh Jamshid Masud al-Kashi al-Kashani yang mengemukakan perhitungan

berdasarkan struktur polygon 3 x 228 sisi dengan hasil π = 3,1415 9265 3589 7932 5… yang

memberikan ketelitian 17 digit desimal. Dengan nilai tersebut oleh Al-Kashani dikatakan

bahwa perhitungan keliling suatu lingkaran berdiameter 600.000 kali diameter bumi (rataan

jejari bumi 6.370 km) akan memberikan kesalahan yang kurang dari “ketebalan rambut ekor

kuda”, suatu ukuran Persia kuno yang setara dengan sekitar 0,7 millimeter. Al-Kashani telah

memberikan pemahaman dengan baik mengenai ketakbermaknaan deretan panjang angka

desimal.

F. Napak tilas π a-la Archimedes

Dengan menggunakan pendekatan hexagonal, diperoleh keliling hexagon dalam

adalah 3 dan keliling hexagon luar adalah 2 sqrt(3) = 3,46410161513776. Jika kita kembali

ke definisi π sebagai ratio keliling lingkaran terhadap diameternya (π = C /d), maka diperoleh

nilai-nilai batas bawah dan batas atas 3,0 < π < 3,46410161513776. Nilai batas bawah π = 3

adalah penggunaan awal nilai π yang pernah digunakan oleh bangsa Babilonia tahun 4000

28

SM dan hingga saat ini digunakan pada sekolah-sekolah dasar di Jepang untuk pengenalan

awal tentang penggunaan π.

Dengan cara seperti itulah, semakin tinggi orde polygon yang digunakan sebagai

pendekatan untuk menghitung keliling lingkaran, maka nilai batas bawah dan batas atas yang

makin konvergen. Konvergensi nilai tersebut seperti yang dihasilkan oleh Archimedes 223/71

< π < 22/7 (3 + 10/71 < π < 3 + 10/70  atau 3,1408 < π < 3,1429) dengan menggunakan 96-

gon, oleh Liu Hui π = 3.1416 dengan menggunakan 3.072-gon, dan oleh Zu Chongzhi π =

355/113 = 3,1415929204… dengan menggunakan 12.288-gon.

Sifat-sifat  π :

Beberapa sifat π yang penting adalah sebagai berikut

1. Nilai π adalah bilangan irasional, artinya tidak dapat secara tepat dinyatakan dengan ratio

bilangan integer terhadap bilangan integer. Pernyataan nilai π = 22/7 atau 355/113

merupakan suatu nilai pendekatan rasionaliasi yang sangat populer. Pernyataan nilai

π dalam angka desimal akan memiliki panjang angka desimal di belakang koma dengan

panjang tak-berhingga.

2. Nilai π juga merupakan bilangan transendental, artinya tidak menjadi solusi bagi

persamaan polinomial tak-konstan yang memiliki koefisien-koefisien rasional.

Transendensi pada π memiliki dua konsekuensi, yaitu: pertama, π tidak dapat dinyatakan

sebagai kombinasi bilangan-bilangan rasional maupun sebagai akar kuadrat dan akar

integer dari suatu bilangan integer; kedua, tidak mungkin dibuat suatu segi empat

bujursangkar dengan luasan yang sama dengan luas lingkaran yang sesuai (squaring a

circle), dengan sisi segi empat bujur sangkar sqrt (π) seperti pada gambar di bawah ini.

3. Digit-digit desimal pada π tidak memiliki pola keteraturan dan telah dibuktikan memiliki

keacakan secara statistik, termasuk dalam uji normalitas dengan hasil yang tidak

konsisten. Suatu bilangan irasional dikatakan memenuhi sifat normalitas jika semua angka

yang muncul dalam deretan angka desimalnya memiliki tingkat keseringan muncul yang

sama.

4. Meskipun bersifat irasional dan transendental dengan pola desimal tak beraturan, terdapat

pula upaya para matematikawan untuk melakukan pendekatan fraksional kontinu

(continued fractional) dengan pola tertentu.

29