TRANSFORMASI Peubah Acak
12
Transcript of TRANSFORMASI Peubah Acak
04/12/2023
2
Contoh Kasus
MA2513 Transformasi Peubah Acak
Seorang peneliti mengukur umur suatu komponen yang dihitung dalam minggu (X). Kemudian peneliti lain menyatakan umur komponen tersebut dalam hari, maka : g(X) = 7X
Misal X adalah peubah acak dan mempunyai fungsi peluang (fpp/fmp), kemudian ada suatu fungsi dari X, g(X), maka fungsi peluang dari g(X) dapat ditentukan berdasarkan fungsi peluang dari X
04/12/2023
3
Tujuan
MA2513 Transformasi Peubah Acak
Mendapatkan fungsi peluang (fpp/fmp) dari suatu fungsi peubah acak X, yaitu g(X)
Perhatian :Periksa, apakah transformasinya satu-ke-satu, atau dua-ke-satu
04/12/2023
4
Kasus Diskret
MA2513 Transformasi Peubah Acak
Misalkan X adalah p.a.d. Dengan fmp dan Y=g(X) adalah fungsi yang mendefinisikan transformasi satu-ke-satu. Persamaan y=g(x) dapat diselesaikan secara unik, yaitu :
Dan fmp Y adalah :
)(xpX
)(1 ygx
))(()( 1 ygpyp XY
04/12/2023
5
Contoh soal
MA2513 Transformasi Peubah Acak
Diketahui p.a.d. X mempunyai fmp
Tentukan fmp bagi a. Y = 2X +1b. Y =
lainnyax
xxxp
xx
X
,0
3,2,1,0,3
2
3
13
)(
3
2X
04/12/2023
6
Kasus Kontinu
MA2513 Transformasi Peubah Acak
1. Bila y = g(x) bersifat monoton naik jika , maka 21 xx )()( 21 xgxg
Y
X1x 2x
)( 1xg
)( 2xg
a
)(1 ag
))((
))((
))(;(
)()(
1
1
agF
agXP
axgXxP
aYPaF
X
Y
04/12/2023
7
Kasus Kontinu
MA2513 Transformasi Peubah Acak
Fungsi distribusi untuk p.a. Y = g(x) adalah :
yuntukygFyF XY ))(()( 1
Fungsi Padat Peluang peubah acak kontinu Y :
dy
ygdF
dy
ydFyf XY
Y
))(()()(
1
dy
ydgygf
dy
ydg
ydg
ygdF
X
X
)()).((
)(.
)(
))((
11
1
1
1
04/12/2023
8
Kasus Kontinu
MA2513 Transformasi Peubah Acak
Jadi
Karena y = g(x) monoton naik, maka
)(1 ygx juga monoton naik.
Yyuntukdy
ydg
,0)(1
Sehingga
dy
ydgJ
Jygfyf
dy
ydgygfyf
XY
XY
)(
))(()(
)())(()(
1
1
11
dimana
adalah Jacobi transformasi
04/12/2023
9
Kasus Kontinu
MA2513 Transformasi Peubah Acak
2. Bila y = g(x) bersifat monoton turun jika , maka 21 xx )()( 21 xgxg
X1x 2x
)( 1xg
)( 2xg
a
)(1 ag
Y
))((1
))((
))(;(
)()(
1
1
agXP
agXP
axgXxP
aYPaFY
04/12/2023
10
Kasus Kontinu
MA2513 Transformasi Peubah Acak
Karena X adalah p.a.k., maka Fungsi distribusi untuk p.a. Y = g(x) adalah :
yuntukxgFxF
agFaF
XY
XY
))((1)(
))((1)(1
1
Fungsi Padat Peluang peubah acak kontinu Y :
))]((1[)(
)( 1 ygFdy
d
dy
ydFyf X
YY
04/12/2023
11
Kasus Kontinu
MA2513 Transformasi Peubah Acak
dy
ydgygf
dy
ydg
ydg
ygdF
dy
ygdF
X
X
X
)()).((
)(.
)(
))((
))((
11
1
1
1
1
04/12/2023
12
Kasus Kontinu
MA2513 Transformasi Peubah Acak
Karena y = g(x) monoton turun, maka )(1 ygx juga monoton turun.
Jadi Yyuntukdy
ydg
,0)(1
atau Yyuntukdy
ydg
,0)(1
Sehingga
dy
ydgJ
Jygfyf
dy
ydgygfyf
dy
ydgygfyf
XY
XY
XY
)(
))(()(
)()).(()(
)()).(()(
1
1
11
11
dimana
adalah Jacobi transformasi
