Tindak ngasto Paak !

Inggiiih

BAB III. M A T R I K S

A. Pengertian matriks.

1. Pengantar

Banyak anggota keluarga

Nama Kakak Adik

Endang

Tarno

Hasan

Nama Kakak Adik

Endang

Tarno

Hasan

2 1

0 3

1 1

Nama Kakak Adik

Endang

Tarno

Hasan

Nama Kakak Adik

Endang

Tarno

Hasan

FOOT BALL WOLD CUP 2006

Grup C Babak I

Negara Main Menang Kalah

Argentina

Belanda

P.Gading

Serbia M.

Negara Main Menang Kalah

Argentina

Belanda

P.Gading

Serbia M.

3 3 0

2 2 0

3 2 1

2 0 2

Matriks adalah penyajian bilangan (unsur=elemen) yang berbentuk persegi-panjangdengan susunan baris dan kolom.

Matriks disamping terdiri 4 baris dan 3 ko-lom. Jika matrlks itu dinamakan matriks A, maka matriks A berukuran (berordo) 4x3 ditulis A4x3.

Unsur-unsur pada baris pertama 3, 3, 0. Unsur-unsur pada kolom kedua 3, 2, 2, 0

Sebutkan unsur-unsur pada baris dan kolom yang lain.

Elemen 0 terletak pada baris ke-4 kolom ke-2Sebutkan elemen pada baris ke-2 kolom ke-3Dimanakah letaknya unsur 1 ?

47

052

231

Ini contoh bukan matriks. Beri contoh matriks yang berordo :2x2, 2x3, 1x3, 3x1, 2x1,

A =

2. Jenis-jenis matriks :

521

7

2

3

a

34

21

a. Matriks baris

b. Matriks kolom

c. Matriks persegi

671

054

123

d. Matriks diagonal

4000

0200

0030

0001

e. Matriks segitiga

4483

0561

0013

0002

f. Matriks satuan

10

01

100

010

001

g. Matriks singular

46

23

123

541

123

h. Matriks nol

00

00 0 00

B. Operasi matriks

1. Penjumlahan.

43

21A

12

05B

Contoh :

Diketahui matriks

Jumlah dari matriks A dan B adalah A + B =

43

21

12

05

35

26

05

34

12

C 123D

7

4

5

E

89

43

03

F

A + C =

43

21

05

34

12

= tidak dapat dijumlahkan

C + F =

B + D =

E + F =

Kesimpulan : dua matriks dapat dijumlahkan dengan syarat . . .

Coba beri contoh beberapa matriks, kemudian jumlahkan !

Dua matriks yang mana saja yang dapat dijumlahkan ?

sdrc

qbpa

Keadaan khusus.

00

00

43

21

43

21

00

00

00

00

dibalik

Coba untuk sembarang matriks yang lain !

matriks = 0 disebut matriks identitas ordo 2x2 dalam operasi penjumlahan

Seperti dalam penjumlahan bilangan real :

3 + 0 = 3 5 + 0 = -50 + 3 = 3 0 + (-5) = -5

Bilangan 0 (nol) adalah unsur identitas dalam operasi penjumlahan bilangan real

Lawan dari suatu matriks :

00

00)(:,

1

32,

1

32AAsebab

aAlawannya

aA

Kesamaan dari matriks : Jika A =

51

23dan B =

51

23maka A = B

3463

1

63

4

danymakax

xyxJika

2. Pengurangan.

21

22

13

12

12

34

01312

34

20

13

31

22

42

03

42

31

32

21

1

4

13

24

y

x 4 – x = 1 x = 3

-1 – y = 3 y = - 4

3. Perkalian bilangan real dengan matriks

2015

105

4.53.5

2.51.55

43

21AA

3

4

2

1

6

8BB

278

77

1512

148

42

126

130

129

36

23

74

21

63

50

43

12

QPdanQJikaP

3. Transpos dari suatu matriks

42

31

43

21dan

05

42

13

041

523

dan

34816

25243

20351

Amati pasangan matriks berikut :

dan

322

450

823

145

631

62

73

51

40

6754

2310dan

Apa hubungannya ?

Elemen-elemen baris matriks kiri berubah menjadi elemen-elemen kolom matriks kanan

Hubungan itu adalah matriks kanan merupakan transpos dari matriks kiri

Jika A =

fed

cba

maka transpos dari matriks A, adalah

fc

eb

da

AAT '

Please, make examples !

Santai duluYa Paak .. ! Ya...!

!!

4. Perkalian matriks

1. Pengantar

Nama Tahu Bakwan Permen Tahu

Santoso Bakwan

Badrun Krupuk

Nama Tahu Bakwan Permen Tahu

Santoso Bakwan

Badrun Krupuk

H a r g a

3 4 2

2 1 2

300

200

100

.

B a r a n g

Santoso harus membayar = 3.300 + 4.200 + 2.100 = 1900

Badrun harus membayar = 2.300 + 1.200 + 2.100 = 1000

=

1000

1900

6

3 24 2412126.23.4 . =

Contoh :

1.

2.

39

17

2415

125

6.45.3

6.25.1

6

5.

43

21

3.

5

1

4

.23

4.

147

82

893215

26810

2.43.38.45.3

2.13.28.15.2

28

35.

43

12

5.

27

46.

354

312

= ? Why ?

6.

86

4343.

2

1

7.

41010

1385

71210

81228100

491950

815210100

4.23.41.22.45.20.4

4.13.31.13.35.10.3

4.23.51.22.55.20.5

415

320

.

24

13

25

Kesimpulan : dua matriks dapat dikalikan dengan syarat banyak kolom matriks pertama sama dengan banyak baris matriks kedua

Amxn . Bnxp = Cmxp Beri contoh dua matriks sembarang,

kemudian kalikan !

Keadaan khusus :

10

01.

34

52

10

01.

76

83

34

52.

10

01

dibalik :

76

83.

10

01

Matriks

10

01

disebut matriks identitas ordo 2x2 dapam operasi perkalian

10

01I

Jika bilangan (angka), maka bilangan mana yang memperoleh perhitungan seperti itu ?

5 . … = 5 … . ¾ = ¾

Jadi, 1 disebut elemen (unsur) identitas dalam operasi perkalian bil. real

4. Determinan dari matriks persegi

dc

bacbdaA ..

212104.35.254

32

AA

Jika matriks A = maka determinan dari matriks A =

Contoh :

1.

2. 0912

34

BB

3.

PPP det

635

140

321

635

140

321

35

40

21

= (1.4.6 + -2.-1.5 + 3.0.3) – (-2.0.6 + 1.-1.3 + 3.4.5)

= (24 + 10 + 0) – ( 0 - 3 + 60) = 34 – 57 = - 23

matriks B disebut matriks singular

Coba beri contoh matriks persegi

dan hitung nilai

determinannya !

Penggunaan determinan untuk menyelesaikan persamaan linear.

21

2

56

1618

25

13

216

19

16

9.

25

13

x

y

x

31

3

56

4548

25

13

165

93

y

D

Dx x

Contoh :1. Persamaan linear dua variabel.

3x + y = 9 5x + 2y = 16

Penyelesaian :Persamaan tersebut diubah menjadi perkalian matriks, dengan menggunakanmatriks koefisien :

D

Dy y

D adalah determinan matriks koefisien dari persamaan linear ybs.Dx adalah determinan dari matriks koefisien dengan elemen kolom pertama diganti elemen matriks konstan (B) Dy adalah determinan dari matriks koefisien dengan elemen kolom kedua diganti elemen matriks B

A . X = B

Coba beri contoh persamaanseperti contoh itu, kemudianselesaikan dengan cara yangsama

Selesaikan persamaan linear tiga variabel berikut dengan cara tadi !

1

9

4

.

213

321

132

z

y

x

28634)666()1278(

213

321

132

D

2x + 3y – z = 4 x – 2y + 3z = 93x + y - 2z = 1

564016)12542()9916(

211

329

134

xD 228

56

D

Dx x

28291)6827()13636(

213

391

142

yD 1

28

28

D

Dy y

84381)18324()4814(

113

921

432

zD 328

84

D

Dz z

Himpunan Penyelesai =

H.P = {(2,1,3)}

Coba beri contoh seperti itu :Cara membuat soal.Tentukan dulu kuncinya = {(3, -2, 1)}

… x … y … z = …… x … y … z = …… x … y … z = …

A . X = B

Isilah … (koefisien dari x, y dan z) kemudian hitunglah dengan nilai ybs, hasilnya tuilislah pada ruas kanan

c. Invers matriks ordo 2x2

21

53.

31

52

75

43.

35

47

32

75.

52

73

Perhatikan perkalian matriks berikut :

34

1.

38

26 23

12

.56

23 32

35

1

31.

52

155

52

Berapa nilai determinan matriks pertama ?

Amati unsur-unsur matriks kedua !

Apa hubungan unsur-unsur matriks kedua denganunsur-unsur matriks pertama

Apa hasil dari perkalian matriks-matriks itu ?

Jika matriks A =

dc

bamaka invers dari matriks A =

ac

bd

bcadA

11

Beri contoh matriks persegi ordo 2x2, kemudian tentukan inversnya !

Coba kalikan matriks semula dengan matriks inversnya ! Benarkah

hasilnya I (matriks identitas) ordo 2x2 ?

Jika P =

24

36

maka P -1 = … Mengapa ?

C. Penyelesaian sistem persamaan linear menggunakan matriks invers.

Ingat persamaan sederhana : 2 X = 6

X = ?

Menurut kaidah matematika :

1 . X = . . .

2 X = 6

2 X agar menjadi 1 . X diapakan ?

½ itu apanya 2 ?

Dalam bentuk persamaan, ada ruas kiri dan ada ruas kanan

½ . 2 X = ½ . 6

1 . X = 3

X = 3

Dari mana mendapatkan bilangan 3 ?

Langkah-langkah itu diterapkan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan menggunakan invers matriks ordo 2x2

10

9.

42

32

y

x

10

9

22

34

2

1

42

32

22

34

2.34.2

1

y

x

10

9.

22

34

2

1.

10

01

y

x

Contoh :

1 Diketahui sistem persamaan linear : 2x + 3y = 9 2x + 4y = 10

Selesaikan dengan matriks !

Penyelesaian :Persamaan itu dapat diubah (ditulis) menjadi :

1

3

2

6

2

1

y

x

x = 3 , y = 1 H.P. = {(3,1)}Chek-lah (masukkan ke persamaan semula ! Bagaimana hasilnya ?

Buatlah contoh sendiri

A . X = B

Latihan :

Diketahui matriks

35

2

21

106 xdamBA xx

Jika AT = B-1 dengan AT = transpos matriks A, maka nilai 2x = ….a. - 8 b. – 4 c. ¼ d. 4 e. 8

Ulangan Harian

1097

183

642

.1

93

1810

136

814

115

143.2 Hitunglah

...88

95

3

23

54

2.3 danqadalahmakanilaip

q

ppJika

Dalam matriks di samping, sebutkan elemen yang

Terletak pada : a. Baris ke 2 kolon ke 2

b. Baris ke 1 kolom ke 3

...

434

323

212

.4

AmakaJikaA

5. Diketahui sistem persamaan linear 2x + 3y = 13 3x + 2y = 12 Tentukan nilai x dan y dengan menggunakan determinan !