Tindak ngasto Paak !

Inggiiih

BAB III. M A T R I K S

A. Pengertian matriks.

1. Pengantar

Banyak anggota keluarga

Nama Kakak Adik

Endang

Tarno

Nama Kakak Adik

Endang

Tarno

2 1

0 3

Nama Kakak Adik

Endang

Tarno

Nama Kakak Adik

Endang

Tarno

HasanHasan

0 3

1 1

HasanHasan

FOOT BALL WOLD CUP 2006

Grup C Babak I

Negara Main Menang Kalah

Argentina

Belanda

P.Gading

Negara Main Menang Kalah

Argentina

Belanda

P.Gading

3 3 0

2 2 0

3 2 1

Matriks adalah penyajian bilangan (unsur=

elemen) yang berbentuk persegi-panjang

dengan susunan baris dan kolom.

Matriks disamping terdiri 4 baris dan 3 ko-

lom. Jika matrlks itu dinamakan matriks

A, maka matriks A berukuran (berordo)4x3 ditulis A4x3.

A =P.Gading

Serbia M.

P.Gading

Serbia M.

3 2 1

2 0 2

4x3 ditulis A4x3.

Unsur-unsur pada baris pertama 3, 3, 0.

Unsur-unsur pada kolom kedua 3, 2, 2, 0

Sebutkan unsur-unsur pada baris dan

kolom yang lain.Elemen 0 terletak pada baris ke-4 kolom ke-2

Sebutkan elemen pada baris ke-2 kolom ke-3

Dimanakah letaknya unsur 1 ?

47

052

231

Ini contoh bukan matriks. Beri contoh matriks yang berordo :

2x2, 2x3, 1x3, 3x1, 2x1,

2. Jenis-jenis matriks :

( )521 −

7

2

3

a

34

21

a. Matriks baris

b. Matriks kolom

c. Matriks persegi

−

−

671

054

123

d. Matriks diagonal

−

4000

0200

0030

0001

h. Matriks nol

00

00( )0 ( )00

e. Matriks segitiga

−

4483

0561

0013

0002

f. Matriks satuan

10

01

100

010

001

g. Matriks singular

46

23

123

541

123

B. Operasi matriks

1. Penjumlahan.

=

43

21A

−=

12

05B

Contoh :

Diketahui matriks

Jumlah dari matriks A dan B adalah A + B =

43

21=

−+

12

05

35

26

−=

05

34

12

C ( )123−=D

−=

7

4

5

E

−=

89

43

03

F

A + C =

43

21

−+

05

34

12

= tidak dapat dijumlahkan

C + F =

=

++

++

sdrc

qbpa

C + F =

B + D =

E + F =

Kesimpulan : dua matriks dapat dijumlahkan dengan syarat . . .

Coba beri contoh beberapa matriks,

kemudian jumlahkan !

Dua matriks yang mana saja yang dapat dijumlahkan ?

Keadaan khusus.

=

+

00

00

43

21

=

+

43

21

00

00

00

00

dibalik �

Coba untuk sembarang matriks yang lain !

matriks = 0 disebut matriks identitas ordo 2x2 dalam operasi penjumlahan

Seperti dalam penjumlahan bilangan real :

3 + 0 = 3 5 + 0 = -53 + 0 = 3 5 + 0 = -5

0 + 3 = 3 0 + (-5) = -5

Bilangan 0 (nol) adalah unsur identitas dalam operasi penjumlahan bilangan real

Lawan dari suatu matriks :

=−+

−−

−=−→

−=

00

00)(:,

1

32,

1

32AAsebab

aAlawannya

aA

Kesamaan dari matriks : Jika A =

−

51

23dan B =

−

51

23maka A = B

3463

1

63

4==

−=

−

−danymakax

xyxJika

2. Pengurangan.

=

−−−

− 21

22

13

12

12

34

( ) ( ) ≠−− 01312

−

−

−

=

−

−

−

−

−

34

20

13

31

22

42

03

42

31

=

−−

−

−

32

21

1

4

13

24

y

x � 4 – x = 1 � x = 3

� -1 – y = 3 � y = - 4 − 32113 y � -1 – y = 3 � y = - 4

3. Perkalian bilangan real dengan matriks

=

=→

=

2015

105

4.53.5

2.51.55

43

21AA

−=−→

−=

3

4

2

1

6

8BB

−

−

=

−

−

−

−

−

=−→

−

−

−

=

−

=

278

77

1512

148

42

126

130

129

36

23

74

21

63

50

43

12

QPdanQJikaP

3. Transpos dari suatu matriks

42

31

43

21dan

−

−

−

−

05

42

13

041

523

dan

Amati pasangan matriks berikut :

631

Apa hubungannya ?

Elemen-elemen baris matriks kiri berubah menjadi elemen-elemen kolom matriks kanan

Hubungan itu adalah matriks kanan

−−

−

−

34816

25243

20351

dan

−

−

−

−

322

450

823

145

631

−

−

−

−

62

73

51

40

6754

2310dan

Hubungan itu adalah matriks kanan

merupakan transpos dari matriks kiri

Jika A =

fed

cba

maka transpos dari matriks A, adalah

==

fc

eb

da

AAT '

Please, make examples !

Santai dulu

Ya Paak .. !Ya...!!!

4. Perkalian matriks

1. Pengantar

Nama Tahu Bakwan Permen Tahu

Santoso Bakwan

Badrun Krupuk

Nama Tahu Bakwan Permen Tahu

Santoso Bakwan

Badrun Krupuk

H a r g a

3 4 2

2 1 2

300

200

100

.

B a r a n g

=

1000

1900

Santoso harus membayar = 3.300 + 4.200 + 2.100 = 1900

Badrun harus membayar = 2.300 + 1.200 + 2.100 = 1000

6

3( )24 ( ) ( ) ( )2412126.23.4 =+=+.

=

Contoh :

1.

2.

=

+

+=

+

+=

39

17

2415

125

6.45.3

6.25.1

6

5.

43

21

3. ( ) ≠

5

1

4

.23

4.

−−=

+−−−

+−=

+−−+−

+−+=

−

− 147

82

893215

26810

2.43.38.45.3

2.13.28.15.2

28

35.

43

12

5.

−

−

−

−

27

46.

354

312

= ? Why ?5. −

−

27354

= ? Why ?

6. ( )

=

86

4343.

2

1

7.

−−

−

=

+−−−+

+−+

−+−

=

+−−+−+−

+−++

−+−−+−+

=

−

−

−

41010

1385

71210

81228100

491950

815210100

4.23.41.22.45.20.4

4.13.31.13.35.10.3

4.23.51.22.55.20.5

415

320

.

24

13

25

Kesimpulan : dua matriks dapat dikalikan dengan syarat banyak kolom matriks

pertama sama dengan banyak baris matriks kedua

Amxn . Bnxp = Cmxp Beri contoh dua matriks sembarang,

kemudian kalikan !

Keadaan khusus :

=

10

01.

34

52

=

−

−

10

01.

76

83

=

34

52.

10

01

dibalik :

=

−

−

76

83.

10

01

Matriks

10

01

disebut matriks identitas ordo 2x2 dapam operasi perkalian�

=

10

01I

Jika bilangan (angka), maka bilangan mana yang memperoleh perhitungan seperti itu ?

5 . … = 5 … . ¾ = ¾

Jadi, 1 disebut elemen (unsur) identitas dalam operasi perkalian bil. real

4. Determinan dari matriks persegi

dc

bacbdaA .. −=

212104.35.254

32−=−=−=→

= AA

Jika matriks A = maka determinan dari matriks A =

Contoh :

1.

2. 0912

34=→

= BB matriks B disebut matriks singular

3. ===

−

−

= PPP det

635

140

321

635

140

321

−

−

35

40

21 −

= (1.4.6 + -2.-1.5 + 3.0.3) – (-2.0.6 + 1.-1.3 + 3.4.5)

= (24 + 10 + 0) – ( 0 - 3 + 60) = 34 – 57 = - 23

Coba beri contoh matriks persegi

dan hitung nilai determinannya

!

Penggunaan determinan untuk menyelesaikan persamaan linear.

D

Dx x=

Contoh :

1. Persamaan linear dua variabel.

3x + y = 9

5x + 2y = 16

Penyelesaian :

Persamaan tersebut diubah menjadi perkalian matriks, dengan menggunakan

matriks koefisien :

D adalah determinan matriks koefisien dari persamaan linear ybs.

D adalah determinan dari matriks koefisien dengan elemen kolom pertama

21

2

56

1618

25

13

216

19

16

9.

25

13==

−

−==→

=

x

y

x

31

3

56

4548

25

13

165

93

==−

−==y

Dx =

D

Dy

y=

Dx adalah determinan dari matriks koefisien dengan elemen kolom pertama

diganti elemen matriks konstan (B)

Dy adalah determinan dari matriks koefisien dengan elemen kolom kedua

diganti elemen matriks B

A . X = B

Coba beri contoh persamaan

seperti contoh itu, kemudian

selesaikan dengan cara yang

sama

Selesaikan persamaan linear tiga variabel berikut dengan cara tadi !

=

−

−

−

1

9

4

.

213

321

132

z

y

x

28634)666()1278(

213

321

132

=−=+−−−+=

−

−

−

=D

2x + 3y – z = 4

x – 2y + 3z = 9

3x + y - 2z = 1

�

564016)12542()9916(

211

329

134

=+=+−−−+=

−

−

−

=xD 228

56===→

D

Dx x

28291)6827()13636(391

142

=+−=+−−−−+−=

−

=yD 128

===→D

yy

A . X = B

28291)6827()13636(

213

391 =+−=+−−−−+−=

−

=yD 128

===→D

yy

84381)18324()4814(

113

921

432

=+=++−−++−=−=zD 328

84===→

D

Dz z

Himpunan Penyelesai =

H.P = {(2,1,3)}

Coba beri contoh seperti itu :

Cara membuat soal.

Tentukan dulu kuncinya = {(3, -2, 1)}

… x … y … z = …

… x … y … z = …

… x … y … z = …

Isilah … (koefisien dari x, y dan z) kemudian hitunglah dengan nilai ybs,

hasilnya tuilislah pada ruas kanan

c. Invers matriks ordo 2x2

=

−

21

53.

31

52

=

−

−

75

43.

35

47

=

−

−

−−

32

75.

52

73

Perhatikan perkalian matriks berikut :

=

−

−

34

1.

38

2623

Berapa nilai determinan matriks pertama ?

Amati unsur-unsur matriks kedua !

Apa hubungan unsur-unsur matriks kedua dengan

unsur-unsur matriks pertama

Apa hasil dari perkalian matriks-matriks itu ?

=

−

−

12.

56

2332

35

=

−

−

1

31.

52

155

52

Jika matriks A =

dc

bamaka invers dari matriks A =

−

−

−=

−

ac

bd

bcadA

11

Beri contoh matriks persegi ordo 2x2, kemudian tentukan inversnya !

Coba kalikan matriks semula dengan matriks inversnya ! Benarkah

hasilnya I (matriks identitas) ordo 2x2 ?

Jika P =

24

36

maka P -1 = … Mengapa ?

C. Penyelesaian sistem persamaan linear menggunakan matriks invers.

Ingat persamaan sederhana : 2 X = 6

X = ?

Menurut kaidah matematika :

1 . X = . . .

2 X agar menjadi 1 . X diapakan ?

Dari mana mendapatkan bilangan 3 ?

2 X = 6

½ itu apanya 2 ?

Dalam bentuk persamaan, ada ruas kiri dan ada ruas kanan

½ . 2 X = ½ . 6

1 . X = 3

X = 3

Langkah-langkah itu diterapkan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan menggunakan invers matriks ordo 2x2

Contoh :

1 Diketahui sistem persamaan linear : 2x + 3y = 9

2x + 4y = 10

Selesaikan dengan matriks !

Penyelesaian :

Persamaan itu dapat diubah (ditulis) menjadi :

=

10

9.

42

32

y

x

−

−=

−

−

− 10

9

22

34

2

1

42

32

22

34

2.34.2

1

y

x

−

−=

10

9.

22

34

2

1.

10

01

y

x

Persamaan itu dapat diubah (ditulis) menjadi :

=

=

1

3

2

6

2

1

y

x

x = 3 , y = 1 ���� H.P. = {(3,1)}Chek-lah (masukkan ke persamaan

semula ! Bagaimana hasilnya ?

Buatlah contohsendiri

A . X = B

Latihan :

Diketahui matriks

=

−

−=

35

2

21

106 xdamBA xx

Jika AT = B-1 dengan AT = transpos matriks A, maka nilai 2x = ….

a. - 8 b. – 4 c. ¼ d. 4 e. 8

Ulangan Harian

−

−

1097

183

642

.1

−

−−

−+

−

−

93

1810

136

814

115

143.2 Hitunglah

...95232

.3 danqadalahmakanilaippp

Jika

=

+

Dalam matriks di samping, sebutkan elemen yang

Terletak pada : a. Baris ke 2 kolon ke 2

b. Baris ke 1 kolom ke 3

...88354

.3 danqadalahmakanilaipq

Jika

=

+

...

434

323

212

.4 =

= AmakaJikaA

5. Diketahui sistem persamaan linear 2x + 3y = 13

3x + 2y = 12

Tentukan nilai x dan y dengan menggunakan determinan !