UNIVERSIDAD NACIONAL

“SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”

FACULTAD DE CIENCIAS

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA

“TEORIA DE LENGUAJES”

“TEORIA DE CONJUNTOS”

PRESENTADO POR:

Bustamante Silva, Kennet

Gutierrez Churata, Francis

Ciriaco Salirosas, Harol

Vergara Sigueñas, Roger

Morales Huaman, Adolfo

Docente

Ing. Silva Zapata, Miguel Angel

HUARAZ – PERU

2016

i

TEORÍA DE CONJUNTOS

I. DEFINICIONES1. Conjunto: Es un grupo de elementos u objetos especificados en tal forma

que se pueda afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no

a la agrupación. Para denotar a los conjuntos se usan letras mayúsculas.

Ejemplo:

Cuando un elemento x1 pertenece a un conjunto A se expresa de forma

simbólica como: x1 € A.

2. Elemento: Es cada uno de los objetos por los cuales está conformado un

conjunto.

3. Existen 4 formas de enunciar a los conjuntos :

a) Por extensión o enumeración: los elementos son encerrados entre

llaves y separados por comas, es decir, el conjunto se describe

listando todos sus elementos entre llaves.

b) Por Compresión: los elementos se determinan a través de una

condición que se establece entre llaves. En este caso se emplea el

símbolo “|” que significa “tal que”. En forma simbólica es:

Ejemplo:

A= {x| P(x)} = {x1, x2, x3,...}

Que significa que el conjunto A es el conjunto de todos los

elementos x tales que la condición P(x) es verdadera, como: x1,

x2, x3, etc.

c) Diagramas de Venn: son regiones cerradas que sirven para visualizar

el contenido de un conjunto o las relaciones entre conjuntos.

d) Por descripción verbal: es un enunciado que describe la característica

que es común para los elementos.

Ejemplo:

Dada la descripción verbal “el conjunto de las vocales” expresarlo es sus

tres formas:

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Por extensión: V={a, e, i, o, u}

Por comprensión: V={x | x es una vocal}

Por el diagrama de Venn:

II. CONJUNTOS CON NOMBRES ESPECÍFICOS

a. Un conjunto vacío o nulo: es aquel conjunto que no posee

elementos. Se denota por: φ o bien por { }. El conjunto vacío siempre

forma parte de otro, así que es subconjunto de cualquier conjunto.

Ejemplos.

φ = {x/x son los dinosaurios que viven en la actualidad}

{ }= {x/x son los hombres mayores de 300 años}

φ = {x/x son números positivos menores que cero}

b. Conjunto universal: es aquel que contiene a todos los elementos

bajo consideración. Se denota por U. Gráficamente se le

representará mediante un rectángulo.

Ejemplos.

A = {x/x son los días de la semana inglesa} = {lunes, martes,

miércoles, jueves, viernes}

B = {x/x son los días del fin de semana}= {sábado, domingo}

U = {x/x son los días de la semana}= {lunes, martes, miércoles,

jueves, viernes, sábado, domingo}

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a e i o u

c. Un conjunto finito: es aquel cuyos elementos pueden ser contados.

Ejemplos.

J = {x/x son los días de la semana} = {Lunes, Martes, Miercoles,

Jueves, Viernes, Sabado, Domingo}

L = {x/x la cantidad de días del mes de abril} = {30}

d. Un conjunto infinito: es aquel cuyos elementos no pueden ser

contados, es decir, la cantidad de sus elementos no están definidas.

Ejemplos.

N = {x/x son todos los números naturales positivos} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ⋅⋅⋅} M = {x/x son todos los números pares mayores a 0} = {2, 4, 6, 8, 10,

12, ⋅⋅⋅} Q = {x/x es la cantidad de puntos en una línea}

e. Conjuntos Iguales: Dos conjuntos son iguales si tienen

exactamente los mismos elementos. Se denota por el símbolo =.

Ejemplo.

R = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}

S = {x/x son todos los números positivos de un dígito}

R = S

f. Conjuntos desiguales: Dos conjuntos son desiguales si por lo

menos difieren en un elemento, es decir, si no tienen exactamente

los mismos elementos. Se denota por el símbolo ≠.

Ejemplo.

D = {2, 3, 4}

E= {2, 3}

D ≠ E

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g. Conjuntos Equivalentes: Dos conjuntos son equivalentes si tienen

la misma cantidad de elementos, es decir, si poseen la misma

cardinalidad. Se denota por el símbolo ≈.

Ejemplos.

W = {x/x son las estaciones del año}

Z = {x/x es un punto cardinal}

η(W ) = 4 ; η(Z) = 4 ; W ≈ Z

III. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSa. Unión De Conjuntos

Supongamos que tenemos los conjuntos M y N definidos como se

muestra en la siguiente figura:

Podemos crear otro conjunto conformado con los elementos que

pertenezcan a M o a N. A este nuevo conjunto le llamamos unión

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de M y N, y lo notamos de la siguiente manera: M∪N. En la

imagen de abajo puedes observar el resultado de unir los

conjuntos M y N.

Al elegir qué elementos estarán en la unión de nuestros conjuntos

M y N, debes preguntarte cuáles están en el conjunto M “o” en el

conjunto N. El resultado de la operación será el conjunto

conformado por todos los elementos del conjunto universal U, que

cumplan la condición de estar en uno o en otro. Tenemos en

este caso: M∪N= {a, c, b, g, e, 1}

b. Intersección De ConjuntosSigamos tomando como ejemplo los conjuntos M y N definidos

anteriormente. Podemos determinar un nuevo conjunto

conformado por los elementos que nuestros conjuntos M y N

tienen en común. A este nuevo conjunto le llamamos intersección

de M y N y lo notamos de la siguiente manera: M∩N.

6

Para determinar qué elementos pertenecen a la intersección de

los conjuntos M y N te puedes preguntar qué elementos están en

M “y” en N. Todos los elementos del conjunto U que cumplan

esta condición deberán estar en el conjunto M∩N. En la figura de

la arriba podemos ver la intersección de nuestros conjuntos M y

N, tenemos que M∩N= {b}.

c. Diferencia De ConjuntosAdemás de la unión y la intersección podemos realizar la

diferencia de conjuntos. En este caso se deben seleccionar los

elementos de un conjunto que no estén en el otro. Por ejemplo, si

realizas la operación M menos N, debes seleccionar los

elementos de M que no están en N. Representamos la diferencia

M menos N así: M \ N. Observa que en este caso M \ N= {a, c}.

d. Diferencia Simétrica De ConjuntosEn esta ocasión se deben escoger los elementos de M que no

están en N, y los elementos de N que no están en M. Puedes ver

el resultado de la diferencia simétrica entre M y N en la figura de

abajo. Representamos la diferencia simétrica a través del símbolo

Δ. En el caso de nuestros conjuntos M y N tenemos: M Δ N= {a,

c, g, 1, e}.

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e. Complemento De ConjuntosDecimos que el complemento de M es el conjunto conformado por

todos los elementos del conjunto universal U, que no pertenecen

al conjunto M. Es común usar los símbolos MC, M o M ' para

representar el complemento del conjunto M, nosotros usaremos el

símbolo MC. En nuestro caso tenemos MC= {j, f, g, 1, e, i, h}.

IV. PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS

4.1. Propiedad de Identidad

Dos conjuntos son idénticos si y solo si, tienen los mismos

elementos .La identidad se simboliza con el signo de igualdad, =. El

criterio de identidad de conjuntos es, por tanto, extensional.

Ejemplo:

A=B si los elementos de A y B son iguales

A={1,2,3,4,5,6,7} B={1,2,3,4,5,6,7}

4.2. Propiedad de idempotencia:

La impotencia es la propiedad para realizar una acción

determinada varias veces y aun así conseguir el mismo resultado

que se obtendría si se realizase una sola vez. Un elemento que

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cumple esta propiedad es un elemento idempotente, o un

idempotente. De esta manera, si un elemento al multiplicarse por sí

mismo sucesivas veces da él mismo, este elemento es

idempotente.

Ejemplo:

La unión de un conjunto A consigo mismo es el propio A :

Ejemplo:

A={1,2,3}

A U B = {1, 2,3} U {1,2,3} = {1,2,3}

4.3. Propiedad de complementoEl complemento de un conjunto o conjunto complementario es otro

conjunto que contiene todos los elementos que no están en el

conjunto original. Para poder definirlo es necesario especificar qué

tipo de elementos se están utilizando, o de otro modo, cuál es el

conjunto universal

Ejemplo:

Si se habla de números naturales, el complementario del conjunto

de los números primos P es el conjunto de los números no primos

C, que está formado por los números compuestos y el 1.

4.4. Propiedad asociativa

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Se basa en la unión de diversos conjuntos, demostrando que

cualquier sea el la asociación de los conjuntos, el resultado será el

mismo. La unión de los conjuntos A y B ∪ C es igual que la unión

de los conjuntos A ∪ B y C:

Ejemplo:

Ejemplo:

X= {1,2} ; Y= {4,5} ; Z= {7,8}

(X U B) U C = X U (B U C)

{1,2,4,5,7,8} ={1,2,4,5,7,8}

4.5. Propiedad ConmutativaBasado en la unión de conjuntos, demostrando que cualquiera sea

el orden de los conjuntos, el resultado será el mismo. La unión de

los conjuntos A y B es igual a la unión de los conjuntos B y A.

Ejemplo:

Ejemplo:

A={a,b,c} ; B={3,2,1}

A U B = B U A

{a,b,c,3,2,1}= {3,2,1,a,b,c}

4.6. Propiedad DistributivaLa propiedad distributiva de la multiplicación sobre la operación

de un conjunto, es igual a la unión de los productos de cada

operación.

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A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), y por tanto: A ∪ (A ∩ B) = A

Ejemplo: A= {1,2} ; B= {1,3} ; C= {a,b}

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)= {1,2,3} ∩ {1,2,a,b} = {1,2}

V. Algebra de conjuntos

Bajo las operaciones definidas en los apartados anteriores, los conjuntos

satisfacen varias leyes o identidades. Observaremos que existe una

dualidad entre las leyes que utilizan la intersección y las que utilizan la

unión.

a) Leyes Idempotentes Dado cualquier conjunto A en un universal arbitrario U, se verifica:

1. A ∪ A = A

2. A ∩ A = A

b) Leyes Conmutativas

Dados dos conjuntos A y B de un universal arbitrario U, se verifica:

1. A ∪ B = B ∪ A

2. A ∩ B = B ∩ A

c) Leyes Asociativas

Dados tres conjuntos A, B y C de un universal arbitrario U, se verifica:

1. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

2. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

d) Leyes Distributivas

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Dados tres conjuntos A, B y C de un conjunto universal arbitrario U, se

verifica:

1. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

2. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

e) Leyes de Identidad

Dado un conjunto cualquiera de un universal arbitrario U, se verifica:

1. A ∪ ∅ = A

2. A ∪ U = U

3. A ∩ ∅ = ∅

4. A ∩ U = A

f) Ley Involutiva

Dado un conjunto cualquiera A de un universal U, se verifica:

(A c) c = A

g) Leyes del Complemento

Dado un conjunto cualquiera A de un universal arbitrario U, se verifica:

1. A ∪ A c = U

2. U c = ∅

3. A ∩ A c = ∅

4. ∅ c = U

h) Leyes de de Morgan

Dados dos conjuntos A y B en un universal U, se verifica:

1. (A ∪ B) c = A c ∩ B c

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2. (A ∩ B) c = A c ∪ B c

3. A – B = Ac

i) Otras relaciones entre Conjuntos

A – A =

A ( B ∪ C ) = ( A B) ∩ ( A C)

A ( B ∩ C ) = ( A B) ∪ ( A C)

A A

( A B ) ( B C ) A C

( A B ) ( B A ) A = A

( A B ) A ∪ B = B A ∩ B = A

( A B ) A B =

Álgebra Proposiciones / Álgebra Conjuntos.

Álgebra de Proposiciones.

Álgebra de Conjuntos.

Leyes de idempotencia.

p∨p≡ p

p∧p≡ p

A∪A=A

A∩A=A

Leyes asociativas.

( p∨q )∨r≡p∨ (q∨r )

( p∧q )∧r≡p∧ (q∧r )

( A∪B )∪C=A∪ (B∪C )

( A∩B )∩C=A∩(B∩C )

Leyes conmutativas.

p∨q≡q∨p

p∧q≡q∧p

A∪B=B∪A

A∩B=B∩A

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Leyes distributivas.

p∧ (q∨r )≡( p∧q )∨(p∧r )

p∨ (q∧r )≡( p∨q )∧(p∨r )

A∪(B∩C )=( A∪B )∩(A∪C )

A∩(B∪C )=( A∩B )∪(A∩C )

Leyes de identidad.

p F p

p V V

p V p

p F F

A∪∅=A

A∪U=U

A∩U=A

A∩∅=∅

Leyes de complemento.

¬(¬ p )≡ p

p p V

p p F

V F

F V

( A' ) '=A

A∪A '=U

A∩A '=∅

U '=∅

∅'=U

Leyes de DeMorgan.

¬(p∧q )≡¬p∨¬q

¬(p∨q )≡¬p∧¬q

( A∩B )'=A'∪B'

( A∪B )'=A'∩B'

Ley de Absorción p (p q) p

p (p q) p

A U ( A B ) = A

A ( A U B ) = A

Ejercicios:

1. Mostrar que los siguientes conjuntos son vacíos:

a) (A U B)c (C U B c) c =

( A c B c ) ( C c ( B c) c ) Ley de DeMorgan

( A c B c ) ( C c B ) Complemento

A c B c C c B Asociatividad

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A c C c B B c Conmutatividad

A c C c ( B B c ) Asociatividad

( A c C c ) Complemento

Identidad

b) A [B c U (C A c) c] c

A {(B c ) c (C A c) c] c} Ley de DeMorgan

A { B (C A c) } Complemento

A B C A c Asociatividad

B C A c A Conmutatividad

( B C ) ( A c A ) Asociatividad

( B C ) Complemento

Identidad

2. Demostrar que:

( A C ) U ( B C) = A U B C

( A C c ) U (B C c ) = Definición

( A U B ) C c = Distribución

( A U B ) C A U B C Definición

 - B) 

(A  Bc)  B = 

A(Bc  B)  = 

             

        =     

- C)     =    A – (B C)(A c) Cc =    A – (B C)

A (Bc  Cc =    A – (B C)

(A ) c Cc) =   A – (B C)

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A        Cc          =    A – (B C)

A  –  (B      C)       =    A – (B C)

(A  A)  (A  Bc) = A

A   (A  Bc  )       = A

A                 = A

A                    = A

3. Simplificar

A   [ (B  (A  B) )  (A  (A  B) ) ]

      A   [ (B  A)  (B  B) ] (A  A)  (AB)

      A   [ (B  A)  (B  B) ]  A  (A  B)

      A  [B  A]  B= B

      (A  B)  (A  A)

      (A  B)  (A)

                A

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