Georg Cantor

FUNDAMENTOS

PARA UNA TEORIA GENERAL

DE CONJUNTOS

#CLASICOS DE LA CIENCIA Y LA TECNOLOGlA

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Georg Cantor

FUNDAMENTOS

PARA UNA TEORIA GENERAL

DE CONJUNTOS

ESCRITOS Y CORRESPONDENCIA SELECTA

EDICION DE JOS£ FERREIROS

TRADUCCI6N CASTELLANA DE

Jose Ferreiros y Emilio Gomez-Caminero

Fundacion

CRJTICA IBERDROLABARCELONA

Coleccion dirigida por

Jose Manuel Sanchez RonCatedratico de historia de la ciencia (UAM)

y miembro de la Real Academia Espanola

Clasicos de la Ciencia y la Tecnologiaes una coleccion coeditada con la Fundacion Iberdola

Quedan rigurosamente prohibidas, sin laautomation escrita de los titulares del copyright,

bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproductiontotal o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento,

comprendidosla reprografia y el tratamiento informatico,y la distribution de ejemplares de ella mediante

alquiler oprestamo publicos.

Diseno de la cubierta:Jaime FernandezIlustracion de la cubierta: © Enciclopedia Catalana

Realization: Atona, S.L.

© 2006 de la introduccion, el epflogo y la anotacion:

Jose Ferreiros© 2006 de la presente edicion para Espana y America:

Editorial Critica, S. L.,Diagonal, 662-66408034 Barcelona

ISBN: 84-8432-695-0e-mail: editorial@ed-critica.es

http://wwvsced-critica.esDcposito legal: M. 40.857-2005

Impreso en Espana2006-BROSMAC, S. L., Poligono Industrial 1, Calle C, Mostoles (Madrid)

NOTA PRELIMINAR

En la historia de la matemdtica, Georg Cantor (1845-1918) ocu-pa un lugar privilegiado, como responsable de una de las creacio-nes mas sorprendentes y atrevidas en toda la historia de las mate¬mdticas: los numeros transfinitos. Antes que el, el infinito era,por mucha quefuese su peculiaridad, mas un objeto de reflexionfilosofica que matemdtica. Al mostrar que existen diferentes tiposde infinito y que es posible clasificarlos, Cantor convirtio a esteconcepto, hasta entonces mas intuitivo que cuantificable, en pro¬tagonista de una rama extraordinariamenteactiva y productiva delas matemdticas, y quefue, ademds, esencial en la «crisis defun-damentos» que se produjo a principios delsiglo XX, crisis que pro-tagonizaron, entre otros, David Hilbert, Ernst Zermelo y Kurt Go-del, y que revoluciono a las matemdticas. Como dijo Hilbert en1925: «Delparaiso que Cantor nos creo, nadie podrd expulsarnos».

Ypara acceder aunque sea a un pequeno rincon de ese parai-so, esta coleccion de «Clasicos de la ciencia y la tecnologta» acogeun pequeno, pero muy selecto, conjunto de escritos de Cantor, nosiempre faciles, es cierto, pero sifundamentals; incluyendo sudecisivo Fundamentos para una teorfa general de conjuntos(1883), asi como la celebre correspondence que sostuvo con Ri¬chard Dedekind, complementada con algunas cartas que dirigio aHilbert y a otros, una correspondencia que nospresenta de mane-ra mas directa resultados clave delgran matematico que pretenderecordar y honrar el presente volumen, incluyendo su descubri-miento (c. 1897) de las paradojas de la teoria de conjuntos, quetan dramaticas consecuencias tendrian para las esperanzas de al-gunos matematicosfiniseculares.

Cantor consiguio algo de lo que pocos en la historia del pen-samiento cientifico, mejor, del pensamiento a secas, pueden pre-sumir: que se pueda decir que debido a algunos de sus trabajos

INTRODUCCI6N

(los que dedico a los numeros transfinitos) se puede hablar de unantes y un despues en la historia de la matemdtica, y del pensa-mientofilosofico tambien. Por ello, mereceformarparte de ese re-

ducido panteon en que yace la memoria de los denttficos que mo-

dificaron radicalmente apartados basicos de nuestras formas deentender la naturaleza.

8

*

JOSE MANUEL SANCHEZ RON

J

INTRODUCCI6N1

Los numeros transfinitos van a celebrar su 123 aniversario. Eldia 5 de noviembre de 1882, Georg Cantor escribla a su colegaRichard Dedekind:

Precisamente desde nuestros ultimos encuentros en Harzburg yEisenach [septiembre de 1882], Dios Todopoderoso me haconcedido alcanzar las aclaraciones mas notables e inesperadasen la teorfa de conjuntos y la teoria de numeros, o, mas bien,que encontrara aquello que ha fermentado en mi durante anosy que he estado buscando tanto tiempo.2

La carta de la que se extrae esta cita es, junto a otras dirigidas aMittag-Leffler,3 nuestro mas antiguo testimonio del genial naci-miento. O quiza, siguiendo a Cantor, deberfamos decir que setrataba del «descubrimiento» de los numeros ordinales transfi¬nitos, que aquel, como escriba y fiel interprete de Dios o la Na-turaleza, no hatia sino recibir y copiar de la voz revelada.4

El resultado fue una de las mas grandes invenciones de laimagination matematica, comparable en este sentido a «obje-

1. Agradezco al profesor IgnacioJane sus valiosos comentarios a la prime-ra redaction de este trabajo, a Alejandro Garciadiego su ayuda y comprension,y aJose M. Sanchez Ron el estfmulo para impulsar la publication del libro.

2. Briefwechsel Cantor-Dedekind, ed. E. Noether y J. Cavailles (Paris,Hermann, 1937), 55. Indiquemos ya aquf que hay dos obras a las que nos re-feriremos mediante abreviatura: Abhandlungen remite a las obras de Cantoreditadas por Zermelo (1932); Briefe es la edition de sus cartas (1991) porMeschkowski y Nilson.

3. Del 17 y el 25 de octubre del mismo aiio. Ver Briefe, 88-91.4. Veanse los Beitrdge de 1895 (en Abhandlungen, 282), de donde toma-

mos todas esas expresiones.

10 josfi FERREIR6S

tos» o ideas del calado de los numeros reales y los complejos.Cantor pertenece al reducido grupo de matematicos que hanestablecido ideas y demostraciones tan originales e impactantespor su resultado, como simples por el metodo. David Hilbertdaba cuenta de ello con una anecdota notable que ofrecio a lahija del matematico, recien fallecido este:

Precisamente hace unos dias tuve ocasion de experimentar laintensidad con la que obran las teorias de su padre sobre unanaturaleza congenial. Al visitar a Einstein en Berlin le expuse elclasico procedimiento con el que su padre ha demostrado laimposibilidad de «enumerar» los numeros irracionales, etc.Y Einstein, que todo lo capta enseguida, estaba totalmente sub-yugado por lo magnificos que son esos pensamientos.5

Este resultado de 1874, pero sobre todo la gran invencion can-toriana de los numeros transfinitos, abrieron el camino al cele-bre paraiso que predico Hilbert:

Queremos investigar cuidadosamente, siempre que exista la me-nor perspectiva de exito, las construcciones conceptuales y for¬mas de inferencia fructiferas, para cultivarlas, afianzarlas y ha-cerlas susceptibles de aplicacion. Del paraiso que Cantor noscreo, nadie podra expulsarnos. (Hilbert 1926, 376-377.)

- El nacimiento de los numeros transfinitos llego, como vere-mos, unido a un autentico terremoto en la trayectoria y el pen-samiento de Cantor. Atreverse a enumerar y contar lo infinitorepresentaba un paso muy arriesgado, con claras implicacionesfilosoficas, contÿviniendo multiples advertencias previas. Al-gunos se habian anticipado con la admonicion de que «some-ter» lo infinito a tratamiento numerico constituiria un clarocaso de anatema. El matematico ruso-aleman fue consciente detodo ello, y decidio afrontar los riesgos con arrojo, tomando

—por decirlo al modo iberico— el toro por los cuernos.

5. Carta de Hilbert a Else Cantor, escrita tras la muerte de este el 6 deenero de 1918, citada por Meschkowski (1983, 176). La demostracion se ex-pone en el articulo de 1892 traducido mas abajo. Digamos de paso que Eins¬tein aun no era la celebridad internacional y popular que pronto devendrfa.

11INTRODUCCI6N

Asi surgio un texto unico en la historia de las matematicas,una mezcla inigualable de saber matematico y erudition histo-rico-filosofica, de riquisimas ideas nuevas y declaraciones deprincipios, de filosofia matematica y matematica filosofica. Paramarcar la importancia del escrito, Cantor no se contento conpublicarlo en forma de quinta entrega de una serie de articulosen los MathematischeAnnalen, sino que lo hizo editar separada-mente en Leipzig bajo los auspicios del celebre editor Teubner.

En este volumen, el mencionado texto de Cantor forma elcentro, pero viene acompanado por algunos otros articulos ycartas que ayudaran al lector a formarse una imagen global deCantor y su genial contribution. Las paginas que siguen no tie-nen otra intention que acompanar a sus hermosos textos, facili-tar en lo posible su lectura, y justificar algunos rasgos de la tra¬duction que ofrecemos, primera que se publica en esta lengua.

I . EL CONTEXTO DE LOS FUNDAMENTOS,

O LA GENESIS DEL «PARAISO»

Aunque la placa colocada en 1970 en la casa de Halle donde ha-bito Georg Cantor le califique de «fundador de la teoria de con-juntosÿ lo cierto es que no era el unico —ni el primeique investigaba cuestiones relacionadas con los conjuntos en lasdecadas de 1870 y 1880. En conexion con el analisis y los con-juntos de puntos trabajaban P. du Bois-Reymond, U. Dini,

J. Harnack y otros; en algebra, teoria de numeros algebraicos yfundamentos estaban tambien las contribuciones de R. Dede¬kind, solo o con H. Weber; y pronto vendrian las de G. Peano.Si las contribuciones de Hankel, Du Bois-Reymond, Cantor yotros impulsaron la introduction de conceptos conjuntistas enel analisis, Dedekind desempeno un papel muy especial en laconfiguration y fundamentacion de un estilo conjuntista dentrode la matematica moderna, no solo en analisis sino tambien enel algebra y la teoria de numeros.6 Pero, aunque hubiera una cier-

autor

6. En su obra, ya en 1871, se encuentra una serie de rasgos dave de este es¬tilo: el enfasis en el concepto mas abstracto de fundon o aplicadon (empleandoisomorfismos, homomorfismos, automorfismos); la aceptadon plena dd infinito

12 JOS£ FERREIR6S

ta sensacion de convergenciae incluso de competencia, al-gunos rasgos diferenciaban ne-tamente las preocupadonesde Cantor respecto a los de-mas autores.

Todos esos matematicosestaban directamente moti-vados por problemas del ana-lisis, del algebra, o de algunarama en desarrollo de la ma-tematica pura, pero Cantorencaminaba sus pasos hadacuestiones mas especulativas.Buscaba adaradones acerca

Cantor hacia 1870, cuando era un jo- del infinito en acto, de su filo-ven profesor reden llegado a Halle. soga y sus matematicas, de

como esta constituido el uni-verso de los conjuntos infinitos; adaradones acerca de lo que esel continuo —no una funcion continua, sino un continuo de nu-meros o de puntos— porque pensaba que sin ellas resulta impo-sible entender la realidad fisica; y buscaba particularmente acla-raciones acerca dd cruce entre ambos campos de problemas: laHipotesis dd Continuo. Ningun otro matematico le acompano,por entonces, en la investigation de cuestiones tan abstractascomo esa ultima o como la teorfa de los numeros transfinitos.

Todo habia comenzado diez anos antes de la publicacionde los fundamentos. Es verdad que Cantor habia introducidoya algun concepto conjuntista en un articulo sobre cuestionesdel analisis (series trigonometricas) publicado en 1872. Pero dacta de nacimiento de la teorfa de conjuntos transfinitos llevafecha del 7 de diciembre de 1873, cuando logro demostrar en

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actual en matematicas; el empleo caracteristico de demostraciones puramenteexistenciales, no construaivas; y la caracterizacion axiomatica de los sistemas o«estructuras» matematicas. Sobre este tema, vease Dedekind (1998) y Ferreiros(1999), que conviene complementar con el articulo de W. Sieg y D. Schlimm,«Dedekind’s analysis of number: Systems and axioms», de proxima publicacionenSynthese. El lector consultant tambien con provecho la reciente traduccion deDedekind, Theory ofAlgebraic Numbers (Cambridge University Press, 2004).

INTRODUCCI6N

una carta a Dedekind que el conjunto IR de los numeros realesno puede ponerse en correspondencia biunivoca con el conjun¬to N de los naturales: IR es un conjunto no-enumerable, en ex-presion que el mismo acuno unos anos mas tarde. Este resulta-do llevo a su autor a la conclusion de que cabe establecerdistinciones entre los infinitos: lejos de lo que pensara la tradi¬tion, hay diversos «tamanos» u «ordenes» del infinito, diversascardinalidades como decimos hoy.

Al publicar ese llamativo teorema en 1874, por respeto a lasadvertencias de su maestro Weierstrass y quiza de Kronecker,Cantor apenas se atrevio a incluir una breve indication de la po-sibilidad de establecer tales distinciones. El concepto general depotencia o cardinalidad de un conjunto solo quedo definido en1878, en un articulo que demostraba la existencia de correspon-dencias biunivocas entre IR y cualquier espacio euclideo IR” (vea-se la correspondencia con Dedekind de 1877). Dos conjuntos Ay B tienen la misma cardinalidad, ambos son equipotentes, si ysolo si existe una aplicacion/de A en B que es biyectiva (esto es,una correspondencia uno-a-uno entre los elementos de A y losde B). Por ejemplo, el conjunto de los numeros enteros es equi-potente a basta pensar en los enteros reordenados del si-guiente modo: 0, 1, -1, 2, -2, ... (esto da idea de como definir laaplicacion biyectiva /que se necesita); y ya antes de 1870 habiademostrado Cantor que, sorprendentemente, el conjunto Q delas fracciones o numeros racionales tambien es equipotente a N.

Ese resultado fue expuesto por Cantor, al parecer, en el se-minario de Weierstrass en Berlin hacia 1868. En una carta es-crita anos despues Cantor explica que, a fin de comprobar quelos numeros racionales positivos son enumerables, basta po-nerlos en el orden siguiente:7

1I' 2 I I12 3 4 1_ 5 1_ 2 3 4 5 6

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Esto es, se toman las fracciones m/n, m’/n’ en su forma irredu¬cible, y se ordenan de manera que la primera vaya antes o des-

7. Cantor a Goldscheider, 18 de junio de 1886. Citada en Meschkowski(1983), 27.

jos£ FERREIRPS

pues de la segunda segun que m + n sea menor o mayor que m’+ n’\ en cuanto a las fracciones para las que m + n = m’ + ri, seordenan de menor a mayor numerador.8

Estudiando conjuntos de puntos en la recta (o lo que vienea ser lo mismo, subconjuntos de R) y en el espacio, todos losejemplos que Cantor habia podido considerar durante los anos1870 le enfrentaban, o bien con conjuntos enumerables —equi-potentes a N—, o bien con conjuntos equipotentes a R. El con-junto de los numeros racionales, el de los numeros algebraicos,y muchos de los conjuntos de unicidad que Cantor habia consi-derado hacia 1872 (en sus celebres investigaciones acerca de se¬ries trigonometricas) son enumerables. En el articulo de 1878conseguia demostrar que el conjunto de los numeros irraciona-les es equipotente a R, y tambien —por increible que parezca—el conjunto de los puntos del espacio R" es equipotente a R. Unsegmento cualquiera, un cuadrado, un cubo, y un cutÿp de n di-mensiones9 jtienen todos ellos exactamente el mismo numerode puntos! (Se trata, obviamente, de un «numero transfinito».)

Cantor se atrevio pues a conjeturar la justamente famosaHipotesis del Continuo:

A traves de un proceso inductivo, en cuya exposicion no entra-

remos aqui, se hace plausible la proposicion de que la cantidadde clases de conjuntos lineales que surgen aplicando este prin-cipio de clasificacion es finita, y precisamente igual a dos.'°

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El principio de clasificacion mencionado no es otro que formarclases de equipotencia: poner los subconjuntos de R que son

8. Es notable que, vista desde un punto de vista superior, la sucesion an¬terior sigue una ley muy elegante. Las distintas secciones en que se divide lasucesion (con m + n = cte. = D guardan relacion con la funcion cp(/) que dala cantidad de numeros primos relativos a /. La section /-esima tiene cp(/+l)miembros, y los numeradores son los distintos numeros primos relativamentea l+\ en orden cretiente, los denominadores esos mismos numeros en ordendecreciente.

9. O para el casomensiones, siempre que sea un infinito enumerable.

10. Abhandlungen, 132. Cantor usa «conjuntos lineales» para referirse asubconjuntos de IR.

:omo tambien demostraba Cantor— de infinitas di-

INTRODUCCI6N

equipotentes entre si en una misma clase. Acabamos de leer laHipotesis del Continuo —en adelante, HC— en su version masdebil, restringida al caso de los numeros reales: todo subcon-junto de IR sera, o bien enumerable, o blen de la potencia delcontinuo.

Esta cuestion tan especulativa, decidir la verdad o falsedadde la HC, se convirtio a partir de entonces en el centro de losafanes de Cantor, el norte de su atrevida incursion en el labe-rfntico universo de los conjuntos transfinitos. Dado que basta-ba investigar las potencias que pueden encontrarse entre los«conjuntos lineales», pues al considerar subconjuntos de IR" noencontraremos representantes de nuevas potencias, Cantor co-menzo a publicar en los Mathematische Annalen (bajo los aus-picios del conocido matematico Felix Klein, actuando comoeditor) una serie de articulos titulados «Sobre variedades depuntos lineales e infinitas» —donde una «variedad» no es otracosa que un conjunto—. El quinto y mas importante numero deesta serie fueron justamente los Grundlagen.

El ano 1882 resulto especialmente notable en la produccioncientifica de Cantor: fue su annum mirabilis, a los 37 de edad.Las dos primeras entregas de «Sobre variedades de puntos» noofrecian grandes novedades, pero en 1882 Cantor redacto tresnuevas entregas en las que se encontraban resultados muy no-vedosos, entremezclados con reflexiones acerca de la teoria deconjuntos, su papel en la matematica y sus implicaciones. La se¬rie se cerrarfa en 1884, con un articulo donde se demostraba elteorema de Cantor-Bendixson y la equipotencia entre los con¬juntos perfectos y el continuo. Con estos resultados, la HC que-daba demostrada para una amplia clase de conjuntos de pun¬tos: los llamados conjuntos cerrados, que contienen todos suspuntos de acumulacion.11

Un rasgo que determina el caracter de los Fundamentos esla urgencia con la que Cantor redacto la obra. Las fechas, porcierto, pueden resultar muy confusas al lector no avisado: a lavista de las dos versiones del trabajo se pensaria que todo el tex-to (con las notas) estaba listo ya en octubre, y que en Navidades

15

11. Sobre este tema puede verse Ferreiros (1999). Una buena historia delProblema del Continuo puede encontrarse en G. H. Moore (1989).

16 JOSfi FERR.EIR.6S

el autor anadio un prefacio para la edition separada que publi-caria Teubner en Leipzig a comienzos de 1883.12 Pero sabemospor las cartas que Cantor enviaba a Klein y Mittag-Leffler quela realidad no fue esa: la fecha que lleva el articulo impreso, oc-tubre, es simplemente la del momento en que «Dios Todopo-deroso» tuvo a bien que Cantor encontrara «aquello que ha fer-mentado en mi durante anos y que he estado buscando tantotiempo».

Inmediatamente, y de manera febril, se puso a perseguir lasimplicaciones de la nueva idea, que consistia en concebir lostransfinitos como «verdaderos numeros», tan reales como los en-teros, y agrupados ademas en «clases numericas». Una larga ydedicada ocupacion con la teoria de conjuntos habia puesto ensus manos copiosos materiales matematicos y filosofico-cientifi-cos que ahora podian ser corregidos, aumentados y puestos enperspectiva. De octubre hasta finales de diciembre, Cantor fueredactando el cuerpo principal del trabajo; las notas parecenhaber sido ahadidas a lo largo de enero de 1883. El 7 de febre-ro enviaba a Felix Klein los ultimos retoques y le pedia queaceptara la obra entera en su revista, a pesar de la fuerte pre-sencia de contenidos filosoficos.'3

Sabiendo que el volumen de los Mathematische Annalen tar-

darfa unos pocos meses en aparecer, la urgencia que Cantor sen-tia le impulso a emprender una publicacion separada como libri-to, arrostrando los costes correspondientes. Estas prisas en laelaboration y publicacion se traslucen en algunas imperfeccionesdel escrito, tanto en lo relativo a la election de terminologfa, comoen la presentation de algunos conceptos. Un buen ejemplo es laprolija definition de los conjimtos bien ordenados (§2 dela obra).

El motivo de publicar separadamente los Fundamentos re-sulta claro, y lo indica el propio Cantor: la importancia del es-

12. El prefacio que se encontrara luego dice «Navidades de 1882», y elarticulo que aparecio en MathematischeAnnalen lleva al final de todo, tras lasnotas, la fecha «octubre 1882».

13. Briefe, 113. El5 de enero de 1883 enviaba a Mittag-Leffler unas prue-bas de imprenta que no induian las secciones 7, 9 y 10 —aunque las mencio-na conjo si estuvieran ya redactadas— ni tampoco las notas, que ni siquieramenciona (Briefe, 109; las notas en pruebas se las envio el 6 de febrero,p. 112).

INTRODUCCI6N

crito, su caracter verdaderamente fundamental, pues represen-ta nada menos que el momento de madurez y autonomfa de lateorfa de conjuntos transfinitos. Por eso, la nueva entrega a losAnnaleh era mucho mas que la quinta parte de una serie de ar-ticulos. Pero esto no basta para explicar la urgencia sentida porsu autor. Las sensaciones de urgencia o deserenidad tienen mu¬cho que ver, que duda cabe, con la personalidad de cada cual.De manera que el tema nos lleva al dominio de lo privado: a lavida de Cantor.

17

2. UN ESBOZO BIOGRAFICO14

Cantor no era un autor pausado y clasico, al estilo de Gauss oDedekind; lejos de el quedaba el lema gaussiano «Pauca sedmatura» [pocas obras, pero maduras]. Si, como dijo el noruegoAbel, Gauss era un zorro que esconde cuidadosamente sus hue-llas, ya que la version escrita de sus resultados no daba ningunapista sobre el proceso heurfstieo seguido, las huellas del proce-so creativo de Cantor estan a nuestra disposition y bien visiblesen sus arttculos. Era un hombre muy temperamental, con un ca¬racter mas cercano al del artista, romantico e impulsive. Pormuchas razones nos recuerda a aquellos romanticos de la Na-turphilosophie [filosofia de la naturaleza] idealista.

Georg fue hijo de un corredor de comercio adinerado deorigen danes, y una madre ruso-alemana aficionada al arte y lamusica. Nacio el 3 de marzo de 1845 en San Petersburgo, peroonce anos despues el padre se retiro de sus pingiies negocios enla casa «Cantor & Co.» por mala salud, y la familia se traslado aFrankfurt. Tras asistir Cantor a una escuela de formation pro-fesional, su vocation matematica triunfo y el padre otorgo el ne-cesario permiso. Georg le escribio en esta ocasion:

14, Para conocer en detalle su biografta, pueden consultarse las exposi-cioaes de Herbert Meschkowski (1981 y 1983) ok de Waiter Purkert y H.J.Ilgauds (1987); en castellano existe una biografia deJoseph Dauben publica-da porInvestigationy Ciencia, y el capftuJo correspondiente del libro deJesusMosterfn, Los logicos (Madrid, Espasa, 2000).

18 josfi FERREIRPS

jMi querido papa! Ya puedes imaginarte cuanto me ha alegra-do tu carta; ella determina mi futuro. ... Espero que aun tendrasocasion de vivir alegrias a mi costa, querido padre, ya que mialma y todo mi yo viven en mi vocation; lo que el hombre quie-re y puede, aquello a lo que le conduce una voz desconocida ymisteriosa, j eso lo llevara adelante!15

Una cuestion que se ha discutido a menudo acerca del ma-tematico es si era de origen judio, y el hecho de que empleara laprimera letra hebrea, alef (X), para los cardinales transfinitosciertamente ha estimulado el debate. En la epoca nazi se inves-tigo el asunto, pero un funcionario de Copenhague aseguro queen las actas disponibles no constaban antepasados judios de losCantor.16 Desde luego, aplicando ideas rabinicas estrictas, Can¬tor no era judio, ya que su madre era catolica y el padre habiasido bautizado luterano. Pero las leyes raciales nazis eran masestrictas: jbastaba con tener un abuelo judio de nacimiento!

Meschkowski (1983, 235), de acuerdo con un descendientedel propio Cantor, opina que «obviamente» el certificado expe-dido en Copenhague no es concluyente, aduce que algunos fun-cionarios bienintencionados protegian a los encausados, y anadeque la hija mayor de Cantor, Else, reconocida maestra de canto,

fue excluida del Reichmusikkammer por origenes no arios. Elhecho de que la familia de la mujer de Cantor, los Guttmann, es-tuviera explicitamente ligada a la causa de la integration de losjudios tambien es relevante. Pero, sobre todo, Cantor no escon-dio sus origenes a amigos y colegas. El documento principal esuna carta al matematico frances e historiador Paul Tannery, queademas de zanjar la cuestion incluye otra information de interes:

Mi difunto padre, muerto en Alemania el ano 1863, GeorgWoldemar Cantor, vino de nino a San Petersburgo con su madrey fue bautizado alii como luterano. Pero habia nacido en Copen-

15. Citada en Meschkowski (1983),5. El tono romantico del joven Cantor(17 arios) reflejaba el estilo de su padre; en 1861, este le habia escrito (ibid):

«Cuida y cultiva el amor a las ciencias tanto como el fuego sagrado de las ves-tales, cuya llama ardiente no debia nunca apagarse. Mas la llama eterna de laciencia, que nunca se extinguira, es un fuego aun mas sagrado que aquel...».

16. Grattan-Guinness (1971).

19INTRODUCCI6N

hague (no se con seguridad en que ano, entre 1810 y 1815) depadres israelitas, pertenecientes a la comunidad judia portuguesaall!establecida, y que por tanto eran con suma probabilidad deorigen hispano-portugues.

Mi madre, Marie Cantor, nacida Bohm, que vive ahora ydesde 1863 en Berlin, es petersburguesa de nacimiento, perte-nece a una familia catolica romana procedente de Austria.

Mi abuelo por parte materna Franz Bohm fue maestro con-certista del emperador de Rusia y virtuoso del violin en San Pe-tersburgo; tambien su mujer, mi abuela Maria Bohm, nacidaMorawek, era virtuosa violinista.

Un hermano de mi abuelo fue el maestro de conciertos vie-nes Joseph Bohm, fundador de una famosa escuela de violinis-tas, de la que han surgido muchos grandes virtuosos como Joa¬chim, Ernest, etc.17

Cantor estuvo siempre muy orgulloso de estas conexiones artis-ticas en su familia, asi como del caracter verdaderamente cos-mopolita y multi-religioso de sus orfgenes. Algunos comporta-mientos y aficiones suyos, que enseguida veremos, adquierencontornos nuevos al ser juzgados a esta luz. Ademas, Cantorconsideraba que el mismo estaba dotado de un verdadero tem-

peramento artistico.Los estudios universitarios, comenzados en Zurich, se de-

sarrollaron principalmente en Berlin. Por esa epoca, la ciudadprusiana no solo se convertiria en capital del Reich, sino quetambien se convertia en la meca de la matematica europea, bajola direction de Kummer y Weierstrass. Georg fue uno de losprimeros —y uno de los mas grandes— dlscipulos de esta es¬cuela enormemente influyente. La escuela de Berlin representa-ba la orientacion enormemente purista, y muy rigurosa, de lamatematica alemana en la epoca. Destaco sobre todo en el cam-po del analisis, y fue celebre especialmente por las lecciones deWeierstrass, verdadero maestro de la escuela.

17. Carta del 6 de enero de 1896. Publicada en P. Tannery, MemoiresScientifiques: Correspondance, ed. A. Dies, J.-L. Heiberg y H.-G. Zeuthen,vol. XIII (Paris: Gauthier-Villars, 1934). Agradezco a las discusiones del foroHistoria Matematica, coordinado por Julio Gonzalez Cabillon, el comodo ac-ceso a esta carta.

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Ernst E. Kummer (1810-1893) y Carl Weierstrass (1815-1897), los dos profesores que impul-saron la ensenanza de las matematieas en la Universidad de Berlin.

21INTRODUCCION

Aunque Cantor dedico sus trabajos de doctorado y habili-tacion a la teoria de numeros, sus primeros grandes trabajos vi-nieron precisamente en el mundo del analisis. En 1870 demos-tro, en colaboracion con Heine, que una serie trigonometricaconvergente representa una unica funcion de variable real. En1872 publico un importante articulo en el que extendia ese re-sultado a series trigonometricas que no convergen en ciertos«conjuntos de unicidad» infinitos. Tales conjuntos quedabancaracterizados con precision mediante el concepto de conjuntoderivado,ls y todo el asunto daba pie a que Cantor presentara sucelebre definition de los numeros reales (que simplifica la defi¬nition dada por Weierstrass en sus lecciones).

Para entonces, y ya desde 1869, Cantor era profesor en laUniversidad de Halle, que habia tenido un pasado importante,pero cuyo presente era de segundo nivel. Cantor aspiro ense-guida a ocupar un puesto de mayor nivel, en Gotinga o en Ber¬lin, pero sus intentos en esa direction fracasaron y tuvo quecontentarse con permanecer de por vida en aquel destino «pro-visional» (como profesor «ordinario» desde 1879). Fue uno delos tantos desenganos que sufrio, y que aprendio a ver como de-cisiones de la divinidad. Y es que su destino —llego a pensar—no era convertirse en un cientifico poderoso, sino algo de mu-cho mayor calado: desvelar la verdadera naturaleza del infinito,y abrir con ello nuevos campos a la matematica, la ciencia, la fi-losofia y la teologia. Nada menos.

Un detalle poco llamativo de su trabajo de 1872 merece ma¬yor discusion: Cantor lo publico en los MathematischeAnnalen,y no en el celebre journalde Crelle editado por los berlineses. Eldetalle parecera sin importancia a quien no conozca la epoca,pero es sumamente revelador del temperamento rebelde denuestro hombre. Las escuelas matematicas alemanas operabancomo grupos de influencia bastante cerrados, y los Annaleneran precisamente el organo de expresion de la escuela deClebsch, enfrentada con la de Berlin.

18. Dado un conjunto de puntos P,PcR, su conjunto derivado P’ cons-ta de todos los puntos de acumulacion de P (el teorema de Bolzano-Weiers-trass asegura la existencia de P’ siP es infinito y acotado). Como en general P’es infinito, la operacion puede iterarse definiendo P”, P”, ... e incluso P".

22 JOSE FERREIRAS

El espiritu de libertad intelectual que Cantor ponla de ma-nifiesto aqui se expresaba tambien en sus trabajos. En el campodel analisis, todo el final del siglo xix aleman estuvo atravesadopor la division entre los seguidores de Weierstrass, partidariosdel rigor a toda costa, y los partidarios de Riemann, motivadospor la busqueda de conceptos matematicos nuevos y muy preg-nantes (aunque ello les llevara a caminar por sendas nuevas,donde las vias del rigor no estaban claras). Es caracteristico dela contribution de Cantor a las series trigonometricas que com-binaba metodos de Riemann y de Weierstrass, desarrollandolosde manera precisa y moderna. Esta tendencia continuo en losanos siguientes, y Cantor se alejo cada vez mas de la ortodoxiaweierstrassiana, siguiendo la via que condujo a la matematicamas moderna.

Pretisamente en 1872 Cantor conocio por casualidad, du¬rante las vacaciones de verano, a Richard Dedekind (1831-

1916), distipulo aventajado de Riemann y proponente radicalde concepciones muy modernas, proto-estructuralistas, peroa la vez rigurosas. En aquel entonces las ideas conjuntistas de

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Cantor con su mujer Vally, durante los anos 1870.

23INTRODUCCION

Dedekind estaban muy avan-zadas, y las dos mentes en-contraron amplias zonas decontacto,entrando rapidamen-te en sinergia. Lastima quemuy poco mas tarde, en 1874,surgieran dificultades de re¬lation que impidieron unacolaboracion estrecha entrelos dos padres de la matema-tica conjuntista.19 De todos mo-dos, la correspondencia entreCantor y Dedekind, que ellector o lectora encontraratraducida, ha quedado comotestimonio celebre del naci-

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Richard Dedekind (1831-1916), im-

miento de la teoria de con- portante corresponsal de Cantor eim-pulsor de la matematica conjuntista.juntos entre 1872 y 1882.

En 1874, Georg se casocon Vally Guttmann, una mujer cuyas inclinaciones artfsticascasaban bien con las del propio Cantor. La habia conocido atraves de su hermana Sophie, y era especialmente aficionada ala musica: habia aprendido canto y piano, al parecer con granrendimiento. La aficion de Vally por la musica y el arte, su espi-ritu alegre, fueron un complemento importante al aire serio deGeorg y determinaron el ambiente en la casa, donde —comoera entonces natural para un Herr Professor aleman— se lleva-ba una activa vida social. Con ella tuvo seis hijos, cuatro ninas ydos ninos. Es importante mencionar que Vally perdio pronto asus padres y se crio en casa de su hermano mayor, el doctorPaul Guttmann, que fue director del Hospital Municipal deMoabit en Berlin.20 En este hospital trabajaban muchos medi-

19. El lector podra juzgar por si mismo esas dificultades sobre la base delmaterial que traducimos. En caso de que necesite ayuda adicional, le remiti-mos a Ferreiros (1993). Vease tambien Dedekind (1997).

20. Los moabitas eran una tribu judia que, segun el Genesis 19, 30-38,tuvosu origen cuando las hijas de Lot, sobrino de Abraham, embriagaron a supropio padre y durmieron con el. Es famosa la estela de Moab, losa del si-glo ix a.e.c., por ser uno de los primeros textos escritos con caracteres he-

24 JOSfi FERK.EIR.6S

cos y enfermeras judios, que naturalmente fueron victimas delnazismo desde 1933. Los Guttmann no eran judios, pero obvia-mente eran favorables a la integration plena de los judios; Paulrealizo algunos trabajos sobre malaria y tuberculosis con el ce-lebre medico judio Paul Ehrlich.

Fue en aquel mismo ano de 1874 cuando se publico, en elJournal de Berlin (tambien llamado «de Crelle» por el nombrede su fundador Leopold Crelle), la demostracion de que el con-junto de los numeros reales no es enumerable, mientras que elconjunto de los numeros algebraicos si lo es. Cantor concluia desus argumentos en dichas demostraciones que todo intervalo deR contiene numeros transcendentes, dando asi una nueva de¬mostracion del teorema de Liouville. A esto siguio en 1878,mediando de nuevo una fructifera discusion con Dedekind, elarticulo que demostraba la equipotentia entre IR y IR", que aca-baba con la conjetura de la hipotesis del continuo HC (ver masarriba).

A partir de aqui, Cantor decidio emplear los conceptosconjuntistas de que disponia (cardinaUdad, conjunto derivado,y alguna notion topologica) de manera combinada para atacarla HC y demostrarla. Esto le permitiria estudiar la topologia delos conjuntos de puntos y sus cardinalidades, y asi se vio con-ducido a los grandes resultados de los anos 1880. En particular,se vio llevado al teorema de Cantor-Bendixson, y el esfuerzopor demostrarlo le condujo de la mano hacia los numeros ordi-nales transfinitos.

Hay motivos para pensar que, por estos anos, Cantor sesentia inmerso en una competencia con otros matematicos (De¬

dekind, Du Bois-Reymond) por la elaboration y publication dela teoria de conjuntos. Esto explica tambien buena parte de laurgencia que sentia por publicar. Pero, ademas, hay otra hipo¬tesis respecto a los motivos de su prisa que resulta inevitable.En la primavera de 1884, una negra noche se cernio sobre el:fue la primera crisis maniaco-depresiva que sufrio, manifesta-

breos. Sin embargo, el nombre del hospital viene de la zona de Berlin dondeestaba situado, y al parecer fue un nombre que le dieron los hugonotes de ori-gen frances que alii se asentaron, de manera que la conexion con los judios esmenos directa de lo que pudiera parecer.

25INTRODUCClPN

cion de una enfermedad que le acompanarfa el resto de sus dias,especialmente en los anos finales, a partir de 1900. Pero ya en1884 cambio su modo de comportarse, su relacion con los cole-gas de profesion, e incluso su caligrafia. Este tipo de problemastienen causas endogenas, y suelen tener manifestaciones suavesmucho antes de las crisis severas. La urgencia y el nerviosismoque experimentaba Cantor ante la publication de sus escritos

—ya desde 1878— pueden ser una manifestation inicial de esetemperamento «nervioso» que acabo resultando enfermizo.21

Como ira intuyendo el lector, la personalidad de Cantor erallamativa: un hombre de gran intensidad, muy inteligente, decomentarios explosivos, a quien el rigor matematico no coartoun apice su libertad de pensamiento, sus ansias especulativas.Un colega suyo en Halle, el matematico Heine, comento ya ha-cia 1870 que «este Cantor» llegarfa a hacer algo grande, porqueen el se combinaban «una agudeza inusual y una fantasia real-mente extraordinaria».22 Todo ello venia acompanado por sugran figura, su voz profunda, su manera de hablar imponente(vease la anecdota al final de la section 6), su gran energia y suaficion a discutir asuntos matematico-cientificos de noche o dedxa. Schoenflies, que le conocio bien en persona, escribe:

Quien haya experimentado solo una vez el atractivo de la perso¬nalidad de Cantor, sabe que estaba llena de agudeza y de tempe¬

ramento, de ingenio y originalidad; era facilmente tendente a laexplosion, y se alegraba francamente de las propias ocurrencias.23

En otro lugar expone una de esas «explosiones»: la anecdota decomo Cantor, llevado por la intensidad de su entusiasmo por lateorxa de conjuntos, llego tan de mahana al hotel donde se hos-pedaban Hilbert y Schoenflies, que tuvo que esperarles muchi-

21. Lo mismo sucede con otros rasgos de su comportamiento: las manio-bras desacostumbradas (y sin duda perjudiciales para el mismo) que realizobuscando obtener una plaza en Berlin en 1875, y quiza tambien algunos as-pectos de su comportamiento para con Dedekind.

22. Citado en Purkert e Ilgauds (1987, 33).

23. A. Schoenflies, «Die Krisis in Cantor’s mathematischem Schaffen»,Acta Mathematica 50 (1927, 1). La anecdota siguiente viene de «Zur Erinne-rung an Georg Cantor»,]ahresber. derDMV31 (1922, 100-101).

26 JOSfi FERREIRAS

simo tiempo en la sala dedesayunos, para al fin hablar-les sobreexcitado, «como elera» (al menos en sus anostardios), y presentarles «unanueva refutation* de un su-puesto resultado que contra-decia una de sus creenciasmas firmes.

Ya en sus anos de estu-diante sentxa pasion por lametafisica, sobre todo la delfilosofo racionalista judio Spi¬noza. Esto es muy indicativo,y no solo por la cuestion reli-

Baruch Spinoza (1632-1677), el cele- giosa y los origenes peninsu-bre filosofo judio, de origen hispano- lares del gran filosofo: segunportugues, que inspiro a Cantor desde Spinoza la realidad enterasu juventud. esta transida de infinito; todo

fenomeno real (incluyendo-me a mi y a usted misma, lectora) es una manifestation particu¬lar de la unica sustancia real, Deus sive Natura, Dios o la Natu-raleza. Estas ideas salen a la luz en los Fundamentos de 1883.

Tambien fue hacia 1870 cuando Cantor sintio interes por latradition teologica catolica, con motivo del Concilio Vaticano, apesar de haber sido criado como protestante. Mas tarde se escri-biria con teologos y con cardenales, en una muestra mas deaquella rebeldia frente a las escuelas establecidas que demostrocon sus publicaciones (ver arriba) y que compartia con Spinoza.Incluso llegaria a redactar una carta para convencer al mismisi-mo Papa de la bondad y la necesidad de sus teorias sobre el infi¬nito. Pero esto no le impidio publicar interpretaciones poco or-todoxas acerca de Jose de Arimatea como verdadero padre deJesus (negando asi el dogma de la inmaculada concepcion, de-fendido entonces tanto por catolicos como por evangelicos).Quiza detras de este interes por los pensadores catolicos y judioshabia tambien un componente importante de curiosidad por lospropios origenes (recordemos que su madre nacio catolica y supadre, de creer a Cantor, judio).

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27INTRODUCCI6N

Los anos intermedios dela decada de 1880 fueron tanricos en ideas y resultadoscomo en experiencias difici-les. Los matematicos de Ber¬lin se habian ido haciendomas y mas influyentes, peroel audaz Cantor se habia ene-mistado con antiguos amigosintimos, sobre todo H. A.Schwarz. Leopold Krone-cker era cada vez mas influ-

J,a

yente en los circulos de po-der de la capital del SegundoReich. Sus opiniones deter-minaban las ideas de nume- Leopold Kronecker (1823-1891),

rosos matematicos alemanes, amigo y colaborador de Kummer y

ademas de armonizar con las Weierstrass, fue miembro de la Aca-

opiniones de algunos de los demia de Ciencias berlinesa y solo en1883 fue investido catedratico. Tam-bien paso de ser un apoyo de Cantoren su juventud, a tornarse su mayorenemigo.

franceses mas influyentes, ycada vez hablaba mas abier-tamente en contra de las ideasde Cantor, al que llego a 11a-mar corruptor de la juven¬tud. Conviene advertir que anos atras, en los 1870, amboshabian tenido buena relacion y colaboracion;24 Cantor proba-blemente habia puesto muchas esperanzas en el apoyo de los in¬fluyentes berlineses. El enfrentamiento posterior no fue un sim¬ple asunto de voluntad de poder, sino que Kronecker se habiaconvertido en partidario radical del constructivismo en mate-maticas, mientras Cantor se habia ido desviando mas y mas de

24. Claros ecos de esta relacion aparecen en la carta de Kronecker a Cantor,agosto de1884.Es probablequela amargura deCantor por el desencuentrose vie-ra incrementada por el hecho de tener ambos origenes judios, lo que dertamenteunfa en la sociedad de Berlin del momento (y exduia tambien de dertos ambien-tes, como la aristocrada de losJunkers). Kronecker era hijo de un rico hombre denegocios y ejercio como tal por unos anos, antes de establecerse en Berlin; viviocomo judio hasta los sesenta anos, en1883, momentoen el quesu conversion coin-ddio con el nombramiento de profesor de la Universidad de Berlin.

28 JOSfi FERR.EIR.6S

aquella posicion: comenzaba la disputa sobre los fundamentosde la matematica.

A la vista de todo ello, Cantor se contfencio de que nuncasaldria de Halle, y empleo su herencia en construir —al fin, trasquince anos— una hermosa casa propia. (Alii pasaba largas.ho-ras trabajando en la surtida biblioteca, donde a primerisimahora de la manana —dormia apenas seis horas— se dedicaba ala lectura de filosofos, teologos y literatos.) Pero su inmensaenergia exigia hacer algo, y la primera iniciativa fue convertir aHalle en un nuevo centro matematico que rivalizara con Berlin.La ocasion llego en 1881, cuando la muerte de su buen colegaHeine dejo una plaza vacante. Cantor hizo todo lo posible porconvencer a Dedekind de que aceptara esa plaza; juntos, debiopensar, podian irradiar las ideas modernas y la teorfa de con-juntos a toda Alemania, al mundo.25 Pero Dedekind rechazo laoferta, quiza movido en parte por temor al temperamento ines-table de su colega, pero tambien por arraigo a su ciudad natal ysu familia, con la que vivia su contemplativa vida de soltero enuna situacion muy comoda. Una nueva frustration, a la queCantor respondio desarrollando el sentimiento de que la comu-nidad matematica alemana le habia cerrado sus puertas.

Afortunadamente, el matematico sueco Mittag-Leffler estabaponiendo en marcha la nueva revista Acta Mathematica y conto

con Cantor para los primeros numeros. La relation entre amboscomenzo con intensidad y Mittag-Leffler desplazo a Dedekindcomo corresponsal privilegiado, pero la situacion no duraria.

La acumulacion de sinsabores y el enfrentamiento con Ber¬lin, que Cantor vivia en primera persona y desde una posiciondebil, acabarian haciendo mella en el. Kronecker era un hom-bre de opiniones fuertes y no perdia la ocasion de expresarlas.Por estos anos, ello le condujo a un desagradable enfrentamien¬to con su viejo amigo Weierstrass26 y al debate polemico con

25. No hemos incluido las numerosas cartas que Cantor y Dedekind secruzaron al respecto: vease el libro de Dugac (1976, 239-251).

26. Sobre este asunto puede verse, entre otros, el articulo de Bolling(1997, 71), donde se cita una carta de Weierstrass a Sofia Kowalewskaya en laque dice que Kronecker (y Fuchs tambien) «trabajan contra mi», el primerode ellos «con plena conciencia e intencion».

29INTRODUCCIPN

Dedekind, su principal rival en el campo de la teorfa de nume-ros y la geometria algebraica. Las ideas especulativas de Cantorse convirtieron en uno 'de sus principales objetos de critica ymofa, especialmente en conversaciones privadas. Una personamas equilibrada que Cantor habria juzgado la situation de otra

manera y habria sabido dar tiempo al tiempo. Pero nuestrohombre estaba hecho de otra pasta.

Como el lector o lectora vera, los Fundamentos induyen masde una pulla dirigida contra la vision de Kronecker: por primeravez salia a la luz, aunque velado, un debate que hasta entonces sehabia mantenido en privado. El mandarin de Berlin se fue con-virtiendo en su «bestia negra», y en 1884 Cantor tomo la decisionarriesgada de incomodarlo postulandose ante el ministerio parauna catedra en la capital. Entretanto, Kronecker solicitaba a Mit-tag-Leffler que Acta Mathematica dejara de ser organo de expre-sion para las ideas enfermizas dd nuevo analisis, y le prometia unarriculo critico en el que mostraria la inanidad de esos conceptos.

Cantor acabo cediendo a la tension, a la que tambien debiocontribuir su intensisimo ritmo de trabajo: de mayo a junio de1884 desarrollo su primera crisis grave, con un periodo de fuer-te depresion. Cuando la crisis cedio, aconsejado por su mujer ysu medico, realizo un intento de reconciliation con Kroneckerque dio lugar a las interesantes cartas que recogemos. El berli-nes, todo hay que decirlo, reacciono de manera honesta y ele¬gante; cabe pensar que, ademas de padecer engreimiento y uncierto autoengano, fruto de su excesiva influencia y poder, Kro¬necker simplemente no habia medido el efecto que sus declara-ciones podian tener en la personalidad del antiguo alumno.

Continuaremos revisando la biografia de Cantor en el apar-tado 5, pero antes debemos atender a las caracterfsticas de losFundamentos de 1883.

3. EL DOMINIO DE LO TRANSFINITO

Como ya he dicho, Grundlagen einer allgemeinen Mannichfal-tigkeitslehre es un trabajo quiza unico en la historia de la mate-

matica. Su riqueza en contenido matematico es indudable, y eneste sentido se trata de una obra clave de Cantor, escrita en pie-

30 josfi FERREIROS

na madurez. Pero, como reconocfa el propio autor en su co-rrespondencia con Gosta Mittag-Leffler, el mismo contenidopodia haberse comunicado en un trabajo mucho mas corto (eli-minando al menos 4 de las 14 secciones del escrito, asi como lasnotas). Con esto se habria perdido buena parte de su encanto einteres, que se encuentra en la mezcla profunda y densa del ma¬terial matematico con discusiones filosoficas y cientificas.

La decision de introducir los numeros transfinitos, la ne-cesidad de justificar ese paso no solo por razones tecnicas opragmaticas, sino tambien desde un punto de vista fundamen¬tal, llevaron a Cantor a ofrecer al publico una nueva vision de simismo y de la naturaleza de su obra. Puede decirse que losGrundlagen constituyen una autentica confesion del autor, quese quita la mascara de matematico estrictamente profesional,mantenida en todos sus articulos anteriores, y se revela como unhombre de talante muy especulativo. Las revelaciones conteni-das en los Fundamentos plantean incluso problemas de inter¬pretation del conjunto de la obra de Cantor.

Ese caracter de confesion filosofico-cientifica se muestra dediversos modos. En el tono de urgencia y gravedad que adoptaCantor ya en las primeras frases del trabajo, y que reapareceuna y otra vez a lo largo del escrito. En las frecuentes referen-cias a Aristoteles, a los escolasticos, pero muy en particular aLeibniz y Spinoza. En las crfticas, breves pero duras, a la Con¬

cepcion newtoniana y kantiana de la naturaleza y del conoci-miento humano. En los latinajos que salpican la obra y conta-minan la selection de terminologfa tecnica, como se adviertesobre todo en el original aleman:

...dass es nach dem Endlichen ein Transfinitum (welches manauch Suprafinitum nennen konnte), d.i. eine unbegrentzte Stu-fenleiter von bestimmten Modis giebt, die ihrer Natur nachnicht endlich, sondern unendlich sind...

AquI {Fundamentos, § 5) hace su primera aparicion el ter-mino «transfinito», que Cantor todavia no usara sistematica-mentpyla palabra aparece en latm, junto a «suprafinitum» y«modis», rodeada de citas latinas y de referencias a la traditionaristotelico-escolastica.

31INTRODUCCI6N

Lo mismo se trasluce, tambien, en la rica y compleja interre¬lation entre el texto principal y las notas al final originales. Di-gamos ya que estas anotaciones (como las llamaremos siempre)ofrecen claves importantisimas para comprender sus concepcio-nes fundamentales. Las tres ultimas contienen material matema-tico de gran importancia, anadido sin duda a vuelapluma cuan-do ya estaba compuesto el texto principal. Pero las primerasofrecen aclaraciones sobre el concepto de conjunto, sobre filo-sofia de la matematica, sobre posibles aplicaciones cientificas delas nuevas ideas, sobre la influencia de Platon, Leibniz y Spino¬za, sobre la relation entre lo transfinito y el Absoluto divino.

3.1. Los Fundamentos ofrecen una nueva conceptualizationdel infinito. La idea de que es posible establecer gradaciones ydistinciones en lo infinito era una novedad radical, en un cam-po que por su larguisima tradition y gran importancia pareciaya agotado. Ya hemos visto que esta idea comenzo a asentarsecon la demostracion, en el articulo de 1874, de que el conjun¬to IR de los numeros reales es no-enumerable. Cantor pasopronto a considerar las potencias o cardinalidades como grada¬ciones en lo infinito, pero solo conotia dos de ellas (HC). Enlos Fundamentos dio con la manera de establecer una enormemejora al respecto, creando una estructura fina para tales gra¬daciones.

La polemica sobre el infinito se retrotrae a los orfgenes dela filosofia y la matematica, con las celebres paradojas de Zenony las consideraciones de Aristoteles sobre el infinito actual y elpotential. Con su radical negation de la existencia de un infini¬to actual o en acto (que Cantor llamara infinito propio), y suafirmacion del infinito potencial (impropio), Aristoteles estable-cio una position muy coherente con la cosmovision griega, quedejo una prolongada secuela historica. Pero la polemica habiacontinuado a lo largo de las disquisiciones escolasticas sobre fi¬losofia y teologia. Las discusiones clasicas en torno al infinitono se limitan a la cuestion de la aceptabilidad del concepto, ni asi puede concebirse un numero infinito. En juego estaba tam¬bien la infinitud de Dios o incluso del alma, asi como las cues-tiones de si el mundo esta compuesto de infinitas partes, y si esinfinito en su extension espacial o temporal.

32 josfi FERREIR6S

Esos problemas, y otros puramente matematicos, proce-dfan a fin de cuentas del intento de conceptualizar rigurosa-mente la notion del continuo, esa «madre de todas las bata-llas» en torno a los fundamentos de la matematica. Desde el18 estuvo planteada la gran incognita de hasta que punto lascantidades infinitamente grandes («>) o infinitamente peque-nas (dx) eran imprescindibles para el desarrollo del calculo yel analisis. Con la rigorizacion del analisis en terminos de limi-tes, epsilons y deltas (siglo xix), esos problemas quedabanaparentemente superados, pero solo al precio de presuponercomo dado el conjunto de todos los numeros reales, un infini-to actual. Cantor y otros dieron definiciones satisfactorias delos numeros reales (Fundamentos, § 9), pero estas definicionessolo pueden formularse dentro de una teorfa de conjuntos in-finitos.

A menudo se ha ofrecido una reconstruction historica te-

rriblemente simplista, segun la cual la prohibition aristotelicahabria permanecido en pleno vigor —al menos entre los mate¬

maticos— hasta que Cantor defendio el infinito como algo ple-namente aceptable en matematicas. En varios lugares me heocupado de ofrecer evidencia en contra de esa simplification.27Mientras las discusiones se plantearon en los terminos de si esposible una cantidad o un numero infinito, hubo mucha confu¬sion;28 pero la cosa cambio cuando se empezo a pensar en ter

minos de conjuntos. Esto ultimo sucedio hacia 1850, y los nom-bres que es imprescindible mencionar son los de Bolzano yDedekind; de ambos tiene cosas que contarnos Cantor en losGrundlagen.

Cantor logra ofrecer una argumentation sumamente rigu-rosa y aclaratoria en torno a lo infinito y al continuo. Son mu-chas las cosas que alii se dicen, por ejemplo las incisivas consi-deraciones que permiten dar de lado a las paradojas elaboradaspor los filosofos en el intento de demostrar que no hay numeros

27. Especiaknente en mis libros El nacimiento de la teoria de conjuntos(Madrid, UAM, 1993) y Labyrinth of Thought (Ferreiras 1999).

28. Incluso Leibniz, partidario radical del infinito actual, dio argumentospara mostrar el caracter contradictorio del concepto de «numero o cantidadinfinita».

INTRODUCCteN

infinitos. Pero no se trata aqui de repetir las ideas que expresacon tanta claridad en el texto, sino de enfatizar la importancia ylas implicaciones de alguna de ellas.

En una consideration retrospectiva, tienen especial impor¬tancia los comentarios que realiza Cantor —§5 y anotacion 2—al distinguir dos generos de infinitud (propia o actual) muydiferentes. Es un punto en el que sus ideas matematicas entron-can de manera al parecer indisoluble con consideraciones teo-logicas, lo que resulta incomodo para muchos logicos y mate-maticos. Tradicionalmente se ha identificado el infinito actualcon Dios, de manera que mas alia de lo finito estaba ya el abso-luto. Cantor, en cambio, propone un esquema tripartite:finito,transfinito, absolutamente infinito, siendo estos dos ultimos losdos generos de infinitud que mencionabamos. Esta posicion seencuentra desarrollada en detalle en el articulo de 1886 que he-mos traducido. En conexion con el problema de las paradojas(que discutiremos en la section 7), es importante resaltar queanos mas tarde Cantor se vena forzado a cambiar un elementosutil pero importante de esa posicion filosofica: tras descubrirlos argumentos concretes que dan lugar a las paradojas conjun-tistas, tuvo que admitir que el infinito absolute no es actual,sino potenciaU'1

Pero volvamos a 1883 y la distincion primitiva entre dos in¬finitos actuales. Esa distincion permitia salir al paso de una ob-jecion de origen filosofico-teologico contra la matematica trans-finita. La identification traditional del infinito con Dios sugerfaque, al someter a consideration matematica el infinito actual,estariamos tratando de «determinar» lo divino mediante nues-tros conceptos. Y los teologos medievales, cristianos o no, habianafirmado que a Dios solo cabe representarlo mediante atributosnegativos (diciendo por ejemplo que es infinito, intemporal, oque su poder no conoce ningtxn limite —la omnipotencia se en-tiende tambien como un predicado negativo—). Determinar aDios de manera positiva, digamos, asignando un numero trans¬finito a su poder, serfa una terrible herejia.

Cantor se toma esta cuestion con toda seriedad, y elude laobjecion senalando que el dominio transfinito no agota el infi-

33

29. Como establece detalladamenteJane (1995).

jos£ FERREIR6S

nito actual. No debe nunca identificarse lo transfinito con loAbsolute. Los transfinitos son mas parecidos a lo finite, en lamedida en que admiten plena determinacion y son caracteriza-bles por el pensamiento humano. Lo Absolute elude en cambiotoda determinacion: lo divino puede a lo sumo reconocerse,pero nunca conocerse; lo Absoluto esta estrictamente mas aliade lo transfinito. (Anos mas tarde, cuando cambia de posicionrespecto a lo absolutamente infinito, Cantor podra insistir enese mismo argumento con mayor razon.)

Desde el punto de vista de la logica y la matematica, lo masllamativo es que esta posicion de Cantor le permitio estar pre-parado para dar una respuesta positiva a las celebres contradic-ciones o paradojas de la teorfa de conjuntos. La conexion es lasiguiente. En las anotaciones, Cantor senalo que los numerostransfinitos nos llevan mas y mas lejos, indefinidamente, condu-ciendonos a cardinalidades infinitas cada vez mayores. No hayun maximo en la progresion de los ordinales, ni en la de las po-tencias, por lo que debe decirse que la «totalidad» de los nu¬meros transfinitos (y la de las potencias) son de caracter abso¬lutamente infinito. Por eso son un simbolo adecuado de Diospero, inversamente, la indeterminabilidad de Dios habra deaplicarse tambien a esas totalidades absolutamente infinitas: lacoleccion de «todos» los ordinales transfinitos, como la de «to-

das» las potencias (o cardinales transfinitos), ya no son com-prensibles para el pensamiento matematico. Retomaremos estetema en la seccion 4.

34

3.2. Hay otro elemento especulativo en los Grundlagen que re-sulta sumamente llamativo. Por primera vez en su carrera, Can¬tor pone sobre el tapete una serie de cuestiones en torno a laconcepcion del mundo fisico, y manifiesta su conviccion de quela teorfa de conjuntos se convertira en instrumento fundamen¬tal de un cambio en la «metafisica». Aqui empleo esta palabra,como el, para referirme a cuestiones ontologicas acerca de loque hay en el mundo y de cuales son los principios basicos quelo rigen. Si nos tomamos en serio los Fundamentos —y su autornos invita a ello continuamente—, hay que pensar que estasaplicaciones metafisicas le importaban tanto o mas que las pro-piamente matematicas.

35INTRODUCClON

La cuestion aparece en el § 5 y en las anotaciones 2, 5, 6 y7; aparece tambien en el § 8, una section clave sobre filosofiay metodologia de la matematica. Los problemas principalesque preocupan a Cantor en estos parrafos pueden clasificarseen cuestiones epistemologicas (de teorfa del conocimiento) ycuestiones «metafisicas». En el § 5, habla de manera tiaray decidida en contra de la conception mecanicista de la natura-leza, defendida por la gran mayorfa de sus contemporaneoscientificos, comenzando por figuras de la talk de Hermannvon Helmholtz. En su opinion, esa conception debe ser com-plementada —o incluso sustituida— por una conception orga-nica, lo que constituye una tiara toma de position en contradel reduccionismo ffsico-quxmico habitual entre sus contem¬poraneos. La adecuada comprension de los fenomenos de lavida y de los fenomenos mentales exige, cree Cantor, princi-pios nuevos.

Si el mecanicismo ha contado desde tiempos de Newtoncon el potente apoyo del calculo matematico, Cantor cree quelas nuevas ideas conjuntistas van a convertirse en instrumentoclave para el organicismo. Sus planteamientos a este respectoparecen concordar, en cuanto a direction esencial, con las ideasdefendidas un siglo mas tarde por un Rene Thom. Y no deja deresultar notable que puedan advertirse conexiones entre esaconviction y alguna de las cuestiones «logico-matematicas» queCantor trata en su trabajo: concretamente, su manera de enfo-car la definition del continuo (Fundamentos, § 10).30

Varios de los trabajos publicados por Cantor en la decadade 1880, a partir de los Fundamentos, vuelven sobre la idea deque los conjuntos transfinitos estan representados en la natura-leza fisica y en la mental. Y esto no se encuentra solo en arficu-los filosoficos, sino de manera especial en los que preparo paraActa Mathematica. En 1885 proponia un refinamiento conjun-tista de la hipotesis del eter (esencial en la fisica de entonces):las particulas de eter constituirfan un conjunto con la potenciadel continuo, mientras que las de materia atomica formarfan un

30. Me refiero a que el nivel de generalidad que busca para la definicionde lo que es un continuo resulta adecuado al objetivo de aplicar dicha nociona los cuerpos organicos que se encuentran en la naturaleza.

36 jos£ FERREIROS

conjunto enumerable.31 Es en conexion con todo este complejode ideas que adquieren sentido las numerosas referencias deCantor a filosofos como Platon, Spinoza y Leibniz, y tambiensus criticas a Kant.

Las ideas metafisicas de Cantor se quedaron en meras suge-rencias, y desde luego no tuvieron ningun impacto sobre la fisicay la biologia de su tiempo. Pero esto no obsta para que debamospreguntarnos si, entre los motivos que le llevaron a desarrollar lateoria de conjuntos de puntos y la de conjuntos transfinitos, no seencontrarfan desde el principio los planteamientos especulativosque afloran por primera vez en los Fundamentos.32

3.3. La problematica que se plantea Cantor es un caso tipico dematematica pura, o mejor purisima. A1 deeir «pura» nos referi-mos a que los problemas abordados no provienen de otras cien-cias relacionadas, sino que surgen en el proceso interno de de-sarrollo del propio conocimiento matematico, como resultadode o en conexion con soluciones obtenidas para problemas an-teriores. El concepto de los numeros reales surge en un intentode analizar la idea del continuo, que resulta muy util para lacomprension de procesos fisicos; pero cuando nos planteamosla cuestion de cual es la cardinalidad o potencia del conjunto delos reales, estamos ante una pregunta intramatematica o «pura».Hay mucha evidencia de que los problemas que preocupaban aCantor eran tan puros y abstractos, que sus propios colegas

—a los que los historiadores no dudan en calificar como mate-

maticos puros— no veian el sentido de sus investigaciones.Eso nos consta por muchas de las reacciones registradas de

autores importantes de la epoca. Vale la pena ver algun ejemplo.En 1883, varios grandes matematicos franceses, del entorno deCharles Hermite, estuvieron ocupados revisando las traduccio-nes de articulos de Cantor que aparecerfan ese ano en Acta Ma-

31. Abhandlungen, 273-276. Se trata de un trabajo publicado en Acta Ma-thematica (1885) y Cantor proponfa tambien una partidon de esos dos con¬juntos que, especulaba, podrfa estar relacionada con distintos fenomenos yformas de energia.

32. Vease mi artfculo «The motives behind Cantor’s set theory» (2004), ola exposicion mas breve en (2003).

INTRODUCCI6N

thematica. Tras haber discutido algunos de esos trabajos con suscolegas, Hermite escribe a Mittag-Leffler en abril de 1883:

37

La impresion que las memorias de Cantor hacen en nosotros esdesastrosa. Leerlas nos parece a todos una completa tortura. ...Nos ha sido imposible encontrar, entre los resultados que pue-den entenderse, uno solo que tenga un interes real y presente.

Y esta crftica la aplica a la demostracion de que R y R" son equi-potentes. Segun cuenta Hermite, Emile Picard ha leido losGrundlagen «sin cesar de maldecir al autor», y solo Poincare,«si bien juzga [dichas ideas] muy prematuras en el estado actualdel analisis, cree como Ud. que tienen importancia».35

He aqui la opinion de Henri Poincare acerca de los Funda-mentos:

El senor Hermite me ha dicho que le ha solicitado Ud. al senorCantor suprimir de su memoria Grundlagen einer allgemeinenMannigfaltigkeitslehre toda la parte filosofica y traducir al francesla parte matematica. Me parece que lo que hara la lectura de latraduccion de esta bella memoria muy penosa, para los francesesque no estan familiarizados con la cultura alemana, es menos laparte filosofica, que uno siempre seria fibre de ignorar, que la fal-ta de ejemplos un poco concretos. Asi, esos numeros de la segun-da y sobre todo de la tercera clase tienen un poco el aire de unaforma sin materia, lo que repugna al espiritu frances. [...] Seria ne-cesario, para hacerla accesible, dar algunos ejemplos precisos acontinuacion de cada definition, y ademas poner las definicionesal comienzo en lugar de ponerlas al final. Sele permitirfa asi al lec¬tor frances que comprendiera este bello trabajo, pese a la igno-rancia en que esta de las investigaciones anteriores [del autor].54

Hoy leemos los Grundlagen con la conviccion de que es una con-tribucion capital al pensamiento matematico y una obra genial. Elgran Poincare nos recuerda cuales podian ser las sensaciones dellector que se aproximaba a la obra sin prejuicios sobre su valor.

33. En Pierre Dugac, «Georg Cantor et Henri Poincare», Bolletino diStoria delle Scienze Matematiche 4 (1984), 65-96; las citas son de las pp. 69-71.

34. A Mittag-Leffler, 16 de marzo de 1883, en Dugac, op. cit., 70.

38 JOSE FERREIR.6S

Y no hay que olvidarse, claro, de las consideraciones crfticasofrecidas por un matematico muy influyente, interesado tambienpor la filosofia, y muy preocupado por las cuestiones de funda-mentos: Leopold Kronecker. Nos lo cuenta el propio Cantor:

Kronecker, que me visito a principios de julio, me explico conlas risas mas amistosas que se habia escrito mucho con Hermitea proposito de mi ultimo trabajo, para demostrarle que todoello no son mas que «patranas». Como ya me he acostumbradoa semejantes deelaraciones, no me enfade por ese comentario,sino que tuve mi pizca de diversion. De los numeros suprafini-tos dijo, para entretenimiento mio, que «solo en el cielo espera-ba llegar al punto de lograr entenderlos». Pero, por mas graciaque me haga, la cosa no deja de ser seria, en la medida en queuna cantidad enorme de matematicos ven sus juicios determi-nados por las opiniones de Kronecker, quien, como bien sabe-mos, las lanza con el mayor enfasis y sans geneP

Durante los siguientes meses, Cantor se obsesionarfa cada vezmas con las crfticas y las «intrigas» que, segun creia, orquesta-

ban contra el Kronecker y sus seguidores.Todo esto nos recuerda que en los trabajos de Cantor no se

trata de una tendencia matematica «neutra», por asi decir, sinode una clara toma de partido por el enfoque abstracto que ibaconsolidandose precisamente en aquella epoca. El avance delenfoque abstracto resultaba especialmente visible en las contri-buciones de Riemann a la teorfa de fimciones, en las de Dede¬kind a la teorfa de numeros algebraicos, o en las del propioCantor a la teorfa de series trigonometricas y de conjuntos depuntos. Y las protestas no se hicieron esperar: surgieron vocesque recomendaban volver a los procedimientos mas calculisti-cos, tipicos de la matematica del siglo xvm. En Alemania, elmayor y mas influyente detractor de la matematica abstracta fueKronecker: todo debxa reconducirse a desarrollos algorftmicosbasados en los numeros naturales, lo que implicarfa una refor¬ma del analisis en sentido constructivista, comenzando con elrepudio de los numeros irracionales (vease Fundamentos, § 4).

Aunque Kronecker nunca habia criticado las ideas de Cantor

35. A Mittag-Leffler, 9 de septiembre de 1883, en Brie/e, 127.

39INTRODUCCIPN

por escrito, si lo habia hecho en privado; ademas, en 1882 habiapublicado una crftica directa a las contribuciones de Dedekind.

Cantor era muy consciente de esta situacion, sabia que Kro-necker tenia un elevado grado de influencia en la adjudicationde plazas universitarias y sobre las opiniones de sus colegas, a

traves de las multiples conversaciones y contactos que manteniacon ellos.36 La introduction de los numeros transfinitos no soloera un paso mas en la direccion abstracta, sino un paso suma-mente atrevido. Anticipando que Kronecker y sus seguidoresmostrarian publicamente —pero no por escrito— su oposicion,y que incluso le ridiculizarian por la direccion «incorporea»que tomaban sus ideas, Cantor decidio romper una lanza en fa¬vor de la matematica abstracta.

El § 8 de la obra presenta su alternativa: una descriptionmuy interesante, aunque especulativa y tenida de idealismo, dela filosofia subyacente a la matematica abstracta. Aqui se esta-blece una distincion clave entre la matematica y otras tiencias,37y se plantean como unicos requisitos a tener en cuenta en la in¬troduccion de conceptos matematicos:

— la consistencia interna o ausencia de contradicciones,— la coherencia con los conceptos matematicos previa-

mente aceptados, y

— el ser fructiferos, que tengan implicaciones de importancia.La matematica no es una ciencia empirica, y los conceptos

que maneja no tienen por que limitarse a lo «realmente existen-te» en el mundo fisico. De ahi que no haya necesidad de res-tringirlos segun criterios de realidad externa («transiente», diceCantor con lenguaje que probablemente es de origen teologi-co), bastando exigirles que sean coherentes logicamente y queresulten fructiferos.

Todo esto, la orientation abstracta y la tendencia purista, seresumen en la celebre frase:

36. Uno de los seguidores de Kronecker era H. A. Schwarz, el mejoramigo de Cantor en sus tiempos de estudiante, que desempeno un impor-tante papel en la obtencion de su plaza en la Universidad de Halle. Las rela-ciones entre los dos se habfan ido deteriorando hasta degenerar en francaenemistad.

37. De nuevo apoyada en sus ideas metafisicas y teologicas, de nuevo se¬parable de ellas.

40 josfi FERREIR6S

Das Wesen der Mathematik liegt gerade in ihrer Freiheit.La esencia de la matematica radica precisamente en su libertad.

El lector debe, claro esta, cuidarse de entender esto en unsentido libertario. La libertad de la que se habla no es de ningunmodo absoluta, sino que —como siempre en la libertad huma-na— esta sometida a rigidas constricciones (en este caso, lostres requisites de consistencia, etc.). Pero la matematica, masque una disciplina pura y abstracta, es para Cantor una discipli-na en la que se cifra la libertad del pensamiento humano en suexploration de posibles conceptos y estructuras. Todo un pro-grama, expuesto con tanto ardor como podia poner Schiller ensu Oda a la libertad. Las similitudes que encontramos entre elCantor del § 8 y los autores romanticos son numerosas, tanto anivel de estilo como al de presupuestos metafisicos y propues-tas cientificas.

Hay otro sentido en el que Cantor defendio la libertad delmatematico. Otras figuras menores que el tuvieron carreras aca-demicas mas exitosas que la suya, y esta experiencia le resultoenormemente amarga. Reaccionando con cierta mania persecu-toria, penso que le iban aislando y atacando cada vez mas. Aldiablo con los colegas matematicos, fue su primera reaction:desde 1885 establecio lazos cada vez mas cercanos con filosofosy teologos, pero luego supo rehacerse y sacar una lection maspositiva de su triste experiencia. Puso en marcha toda su capa-cidad epistolar y de conviction, que no era poca, para con laayuda de otros colegas estimular la creation de la Union de Ma¬tematicos Alemanes (DMV) en 1890 (hablaremos algo mas deello en la section 5). Libertad de pensamiento matematico, si,pero tambien libertad de action.

4- LA HELICE VIRTUOSA: ORDINALES Y CARDINALES

Cantor dedica no poco espatio de los Fundamentos a argumen-tar que en los numeros transfinitos no existe ninguna contra¬diction oculta. Pero lo verdaderamente notable es como en-cuentra en ellos lo que no dudo en calificar como una helicevirtuosa. Un circulo vicioso nunca nos hace avanzar: ya se sabe

INTRODUCCION

que las revoluciones completas nos devuelven al punto de par-tida. Pero si el movimiento de revolution vuelve sobre un pianodistinto, si se trata de una helice, entonces tiene lugar un avance.

41

4.1. Las ideas clave acerca de como justificar la introduccionde los ordinales transfinitos, y de como definir las closes nume-ricas, quedaron bien establecidas ya en octubre de 1882.38 Setrataba de dos «principios de generations que.permitian pro-seguir indefinidamente el proceso deformation de numeros ha-cia lo suprafinito, llegando a cifras nuevos numeros como losque siguen. Tras todos les numeros naturales vienen:

(0, (0+1, ... ©+«, ...

de acuerdo con el primer principio de generacion, que nos daun sucesor (a+1) para todo a, y tras todos estos, por el segun-do principio, viene ©-2:

©•2, ... ©-2+«, ... ©-3, ... ©•«, ...

y tras todos los (H-n+m, el proceso continua:

©2, ... ©2+©-«+w, ... ©3, ... (On+(£r'-m+...+r, ... ©“, ...,

y se prosigue con numeros tan fantasticos como © elevado a ©

omega veces, y mucho mas alia, adsuprafinitum y ad absolutum.Claro esta que estos dos principios, y especialmente el segun-

do, podfan despertar sospechas en los lectores. El primer princi¬pio de generacion nos garantiza la existencia de un sucesor, pocacosa. El segundo principio es mucho mas arriesgado: dada una su-cesion cualquiera de numeros, que crece sin tener un maximo,existe un nuevo numero ordinal que es el inmediatamente siguien-te a los de la sucesion. Este principio es la clave que nos «garanti-za» la existencia de ©, ©-2, ©-3, ... co2, oo3, ... ©“, ... y asf sucesiva-mente. Ni que decir tiene que estas ideas no tenian en realidadvalor probatorio, ni ofrecian una definicion —no digamos axio-matizacion— rigurosa del dominio de objetos pretendido. Eranmas bien la descripcion intuitiva de un proceso de creation quepodrfa llevar a cabo un demiurgo, un ser divino, en su vida eterna.

38. Cartas a Mittag-Leffler de 25 de octubre (Briefe, 90-92) y a Dedekindde 5 de noviembre (Briefwechsel, op. cit. en nota 1, 55-59).

42 JOS£ FERREIRAS

Ahora bien, ordinales como co, ®-2 y co2 no plantean ningunproblema: es sencillo establecer explicitamente ordenacionesno estandar del conjunto N de los numeros naturales, bajo lascuales le corresponden esos numeros. Por ejemplo, (0+« corres-ponde al conjunto ordenado:

[n+1, n+2, n+3, 1, 2, n—1, «};

y co-2 puede obtenerse de varias maneras, como puede ser:

{1,3, 5, ...,2,4, 6,...},

poniendo primero los numeros impares y despues los pares.39Esto quiere decir que, si aceptamos como dado en acto el con¬junto infinito N, debemos aceptar los ordinales cantorianos dela segunda clase numerica. De manera analoga, si estamos dis-puestos a aceptar como dado el conjunto IR de los numeros rea¬les, debemos aceptar los ordinales cantorianos de al menos latercera clase.40 Pero, <{puede llegarse mas alia? ({No entranaracontradicciones, superando los limites de la libertad matema-tica?

La respuesta se hace mucho mas clara y concreta cuandodisponemos de una axiomatizacion de la teoria de conjuntos,pero Cantor nunca dio este paso. Puede pensarse, entonces,

que su unica justification estaba en sus convicciones metafxsi-cas: la fe ciega en que todos los conjuntos transfinitos, los ordi¬nales y las potencias estan en el universo platonico de la mentedivina, y por ello en la naturaleza (Fundamentos, § 7, § 8 y ano-tacion 2). Pero no es tan simple: tenia tambien argumentos mu¬cho mas concretos y matematicos; basta considerar las funcio-nes de [R en IR para vernos llevados mas alia (Fundamentos,anotacion 10), de modo que, si estamos dispuestos a aceptarcomo dado el conjunto de todas las funciones reales, otra vezarribamos a nuevas clases numericas.

39. El lector no entrenado en teoria de conjuntos encontrara provechoso(y entretenido) pensar en otras reordenaciones de los numeros naturales,como por ejemplo de los tipos 05-3 y CO2.

40. Q y sus sucesores, en la notacion empleada en los Grundlagen, co, ennotation actual. Para justificar la afirmacion del texto con todo rigor, se re-quiere emplear el Axioma de Election. Detimos «al menos» la tercera clase,ya que esto es lo que se deduce de la Hipotesis del Continuo.

43INTRODUCClON

(-Hasta donde concretamente? <;D6nde acaba lo admisible,que supuestamente empieza en LJ y (R, y donde comienza lo in-consistente, que claramente ponen ante nosotros las paradojasconjuntistas? La solution a esto —en la medida que admite so¬lution— la darfan el propio desarrollo de la teoria axiomaticade conjuntos y los larguisimos debates en torno a los funda-mentos de la matematica.41

Vemos que al menos el proceso de formation de ordinaleseodificado mediante los dos «principios de generation;* tienecierta justification desde la mentalidad matematica clasica. Ensus prisas por publicar los Fundamentos, Cantor no argumentobien ese punto, que para el resultaba casi obvio; pero prontotuvo otro modo de presentar las ideas clave de los numerostransfinitos (veanse las cartas de 1884) que las hacian mas acep-tables para los matematicos contemporaneos.

Pero lo que asi obtenemos parece inutilizable: si el procesoes absolutamente interminable, dice Cantor, entonces no alcan-

nada que pueda dar rertdimientos matematicos concre-zamostos. La clave de todo el asunto, lo que da al edificio su belleza,es un tercer principio: el de restriction o limitation. Este esta-

blece, de una manera regular y armoniosa, conjuntos de ordina¬les a los que Cantor llama clases numericas, que a su vez permi-ten definir una serie de cardinalidades sucesivas.

La condition clave para definir las clases numericas es una

condition de cardinalidad. Los numeros de la primera clase sontodos aquellos tales que el conjunto de sus antecesores es finito; esdeck, los naturales. La potencia de esa primera clase es la prime¬ra potencia transfinita, N0 (lease: alef sub cero) en la terminologiaque Cantor establecerfa en 1895. Los numeros de la segunda claseson todos los que tienen un conjunto de antecesores enumerable(de la potencia X0); este es el caso de co, co“, etc. Y lo importantees que la potencia o cardinalidad de la segunda clase en su totali-dad es pretisamente la segunda potencia, N t, como Cantor de-muestra (Fundamentos, § 12 y §13). La tercera clase es la de los or¬dinales cuyos antecesores forman un conjunto de la potencia N ,,y esta clase tiene la potencia N2. Y asi sucesivamente.

41. Veanse, por ejemplo, Fraenkel, Bar-HiUel y Levy (1973), Lavine(1994).

44 jos£ FERREIRPS

Las clases numericas quedan definidas mediante una con¬dition de cardinalidad, y las cardinalidades se definen por me¬dio de las clases numericas. He aqui algo que podria parecer uncirculo vicioso a un lector poco cuidadoso, pero que en realidades helice virtuoso., y presta a la extraordinaria invention —<*0descubrimiento?— de Cantor un atractivo muy especial. Deeste modo se conseguia definir una escala transfinita de poten-cias sucesivamente crecientes. Esto constituyo un avance ex-traordinario, porque asi se podia precisar el problema del con-tinuo. Llamando c a la cardinalidad del continuo, la Hipotesisde Cantor dice exactamente que c es la potencia de la segundaclase numerical

C= X

4.2. (iComo Uego Cantor al principio de restriction o limita¬tion? No podemos aqui mas que dar una indication.42 Los Grund-lagen comienzan diciendo que su autor se ve incapaz de dar elmenor paso adelante en teorfa de conjuntos si no introduce losnumeros transfinitos. Esto no era una figura retorica, sino es-trictamente cierto. En la anterior entrega de la serie «Sobre va-riedades de puntos infinitas y lineales», Cantor habia prometi-do demostrar el siguiente teorema:

si el conjunto derivado Fal es vacio para algun a, entonces

el primer derivado P’ y el propio conjunto P son enume-rables.43

Y nuestro matematico buscaba tambien establecer la inversa deese teorema, lo que llamaremos el

Teorema a: si el primer derivado P’ —y por tanto P-— esenumerable, entonces existe algun a tal que el conjuntoderivado Ptal es vacio.

42. Para mas detalles vease Ferreiros (1995).

43. Sobre el concepto de conjunto derivado (y los «simbolos de infini-tud» mencionados mas abajo) vease la nota del editor n° 11, tras el texto delos Fundamentos. Por esta via llegaria al teorema de Cantor-Bendixson.

45INTRODUCClPN

Para demostrar esto se vio obligado a centrar su atencion en losindices a, ya que un resultado de existencia requerfa disponerde conceptos mas precisos al respecto, y la demostracion le lle-vo de forma natural a imponerles una condicion restrictiva.Esta condicion era exactamente la que corresponde a la defini¬tion de la segunda clase numerica: el conjunto de los anteceso-res de a debe ser enumerable.

Se trataba pues del principio de limitacion restringido alcaso particular mas simple. Segun comento Cantor a Mittag-Leffler:

La demostracion de este teorema [a] se encuentra bastante es-condida, de modo que he debido buscarla en vano desde haceliteralmente anos; mas ahora puede ser expuesta con bastantefacilidad.44

El resultado era generalization de otro mas simple que Cantorhabia dado por valido ya en su articulo de 1878, y es probableque anduviera buscandolo desde entonces. Pero solo tras la in¬troduction de los ordinales transfinitos le resultaba posible su-perar los escollos.

Ahora habia quedado definido de manera natural, y biencaracterizado, un conjunto de numeros que incluia todos los«simbolos de infinitud» previamente conocidos. Cantor se pre-gunto cual era la potencia de este conjunto, y ya el 25 de octu-

bre de 1882 era capaz de contestar que se trata justamente de lasegunda potencia infinita. Inmediatamente advirtio como se po¬dia desarrollar la idea, estableciendo el principio de limitacionen su forma general, para definir algo asi como una regia de me-dir transfinita, a cuya luz el problema del continuo tomaba unaforma matematica precisa. El avance era innegable.

4.3. Este esplendido logro quedaba supeditado a la posibili-dad de hablar de los ordinales transfinitos como objetos quepueden formar conjuntos, como verdaderos numeros. Tras cienanos de practica axiomatica moderna y de formalismo, el sen-

44. Carta de 17 de octubre de 1882, en Briefe, 88. Vease un precedentedel resultado en Abhandlungen, 120.

46 josfi FERRETS

tido de esta objecion les resultara opaco a muchos matemati-cos. Pero hay que pensar que Cantor pertenece a una genera-cion pre-formalista, y que en su opinion la matematica trabajacon objetos bien definidos y reales, que existen en alguna es-fera del pensamiento. Hay buenos motivos —creen Cantor ysus contemporaneos— para tratar como objetos a los puntosy rectas del espacio, a los numeros naturales y a los reales, alas funciones continuas e incluso a las discontinuas. (-Los haypara hacer lo propio con esos «simbolos», los ordinales trans-finitos?

Si recordamos lo que sucedio en el caso analogo de losnumeros complejos, nos resultara mas facil comprender elpunto de vista cantoriano. Los complejos fueron mirados congran desconfianza mientras parecian ser meros simbolos conlos que era posible operar, pero a los que no se podia asignaruna referencia clara. En su favor hablaba el hecho de que seles aplicaban exactamente las mismas reglas de calculo que alos otros numeros, en su contra que su interpretacion resulta-ba mas que oscura. Es la epoca en que eran llamados nume¬ros «imaginarios» por contraposition a los reales, numeros«imposibles».‘'5 Esto cambio cuando ellos y sus operacionesfueron interpretados en terminos de segmentos dirigidos so-bre el piano (vectores), o en terminos de puntos (pares denumeros reales). Se les habia asignado una referencia, y ya nohabia ninguna razon para ignorarlos o considerarlos mas«irreales» que los numeros irracionales. Por eso la denomina-cion cambio, de «imaginarios» a meramente «complejos». YGauss extendio a ellos la teoria de numeros: todo un vuelcohistorico.

Como nos recuerda Cantor, hasta 1882 los ordinales habiansido para el meros «simbolos de infinitude Lo real eran losconjuntos de puntos que estaba estudiando y las operaciones alas que se podian someter, entre ellas la operacion de formar elconjunto derivado. En el estudio de esta operacion sobre con-juntos de puntos, era necesario introducir indices que, sorpren-

45. Es importante tener en cuenta que la interpretacion usual de los nu¬meros reales, como cantidades o proporciones entre cantidades, no podia ex-tenderse a los imaginarios (tampoco a los negativos).

47INTRODUCCIPN

dentemente, continuaban hasta el infinito y mas alia. Pero, demomento, no habla razones para pensar que esos Indices o slm-bolos fueran numeros.

El argumento de Cantor a favor de que los numeros trans-finitos son verdaderos numeros consiste esencialmente en tres

puntos: 1°) entre ellos pueden definirse operaciones aritmeti-cas, las cuales siguen reglas analogas —aunque no identicas— alas del algebra habitual; 2°) son susceptibles de una interpreta-cion perfectamente natural e interesante, tienen una referenciaclara en terminos de conjuntos infinitos bien ordenados; y 3°) esposible extender la teoria de numeros a este nuevo dominio.Notese el paralelismo exacto entre este caso y lo antes dicho delos numeros complejos.

Conviene tambien recordar el enorme prestigio que teniaentre los alemanes la teoria de numeros: por influencia deGauss, este era quiza el campo matematico de mayor prestigioen aquel momento y lugar. Los primeros trabajos de Cantor(doctorado y habilitacion) fueron de teoria de numeros, y losFundamentos anudaron con ese viejo hilo al abrir el campoenorme e inexplorado de la teoria de numeros transfinitos.Cantor tenia, pues, razones para pensar que su nueva contribu-cion podia traerle fama inmortal y exito en su carrera, aunquesolo lo primero se cumplio.

No es necesario decir aqul nada mas sobre los puntos 1° y3°, abundantemente tratados en los Fundamentos (§§ 1-3, 14).

Pero si conviene decir algo mas sobre el 2°. Se trataba para Can¬tor de un punto capital, como no podia ser menos si tenemos encuenta que hablamos de cual es la referencia o la interpretationde los nuevos numeros. Respuesta: cada ordinal transfinito re-presenta el ordenamiento de los elementos de un conjunto bienordenado, es decir, un conjunto C ordenado de modo que tanto

C como cualquiera de sus subconjuntos tiene un primer ele-mento (Grundlagen, § 2).

A partir de una conferencia que dio en septiembre de1883,46 Cantor adoptarla un nuevo punto de vista en la intro-

46. En la Naturforscherversammlung [Reunion de cientfficos, matemati-cos inclusive] de Freiburg, con el titulo: «Sobre los verdaderos numeros ente-

ros infinitos y las relaciones entre ellos»; vease Briefe, 130.

48 jos£ FERREIR6S

duccion de los ordinales transfinitos. Abandono los principiosde generacion (seccion 4.1) y tomo como punto de partida

:omo el suelo firme sobre el cual se instalan los ordinales—los conjuntos bien ordenados:

Parto del concepto de «conjunto bien ordenado», llamo con-juntos bien ordenados del mismo tipo (o del mismo numero) aaquellos que permiten relacionar entre si sus elementos biuni-vocamente, salvaguardando la ordenacion [Rangfolge] en amboslados, y entiendo por numero el signo o el concepto para un tipodeterminado de conjuntos bien ordenados. Limitandonos a losconjuntosfinitos, se obtienen de esta manera los numeros ente-

ros finitos. Pero si pasamos a considerar todos los tipos de con¬juntos bien ordenados de la primera potencia, llegamos necesa-riamente a los numeros transfinitos de la segunda clase, ymediante ellos a la segunda potencia.47

Desde esta epoca, Cantor fue siempre de la opinion de que losnumeros son conceptos. En sus Beitrdge de 1895, dice que el«tipo de orden» de un conjunto es el «concepto general» que seobtiene al hacer abstraccion de las peculiaridades de los ele¬mentos, pero preservar las relaciones «de rango» entre ellos; siademas hacemos abstraccion de la ordenacion, se alcanza elconcepto de la potencia o cardinalidad del conjunto.

Cantor coincidio con Frege y Russell en entender los nu¬meros primariamente como cardinales: 2 o 3.000 son ante todocantidades de elementos.48 Sin embargo, al introducir los nume¬ros transfinitos se estaba situando en el punto de vista opuesto,ya que co y sus sucesores son numeros ordinales, representantesde tipos de (buen) orden. Solo pensando en los numeros comoordinales podemos llegar a afirmar que los transfinitos son «ver-daderos numeros». Hay razones para pensar que esta transitionfue facilitada por los encuentros que Cantor tuvo con Dedekinden septiembre de 1882.

47. Esta description resumida se toma de la carta a Kronecker del 24 deagosto de 1884; Meschkowski (1983), 251-252. Las palabras «el signo» sonsobre todo un guino a Kronecker, un intento de acercarse a la position queeste preferfa. Vease la anotacion 7 de Cantor a los Fundamentos.

48. Esto se encuentra en obras suyas de 1882, 1885, 1895.

49INTRODUCCION

Durante estos encuen-tros, Cantor conocio por vezprimera las ideas de su cole-ga sobre la fundamentaciondel numero natural. Durantela semana que ambos coinci-dieron en Harzburg (locali-dad vacacional en las monta-nas del Harz),49 Dedekind lepresto el manuscrito que ha-bfa ido escribiendo de 1872 a1878. Contenfa su celebre de-finicion de finito e infinito,empleada como base para unateoria puramente deductiva,y tambien su teoria de cade-nas, su definicion semi-axio-matica de la estructura delconjunto de los naturales, yel desarrollo de la aritmetica elemental (vease Dedekind, 1998).

El punto de vista de Dedekind habia sido siempre enten-der los numeros primariamente como ordinales: 2 o 3.000son ante todo ordinales, indicadores de position dentro de unordenamiento. Y su teoria de los numeros se basaba en laconsideration de lo que llamo «la cadena de un conjunto», yen particular en el recurso a las cadenas {n}0 (formadas por ny todos sus sucesores), que son conjuntos infinitos bien or-denados. Dedekind resaltaba asi que cada numero n estaasociado a dos conjuntos ordenados: el «segmento inicial» {1,2, ... n} y la «cadena» infinita {n, n+1, ...} = {n}0. El estudiode estos conjuntos ordenados infinitos {n}0 era la base de larigurosa fundamentacion conjuntista de la aritmetica queofrecio.

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Georg Cantor durante los anos 1880,epoca de su maxima creatividad ma-tematica.

49. La existencia de este encuentro queda confirmada por las cartas delpropio Cantor. Del 7 al 12 de septiembre Dedekind presto su manuscrito aCantor (Nachlass Dedekind, Cod. Ms. Dedekind III, 1, II, 40; y vease Cod.Ms. Dedekind I, 20). El texto del manuscrito —mencionado en Dedekind(1888, 336)— se encuentra en un apendice de Dugac (1976).

50 josfi FERREIR6S

La transposition de este tipo de consideraciones al caso delos «simbolos de infinitud» fue una de las claves de la innova-cion que Cantor advirtio —o recibio de la inspiration divina—en octubre de 1882. Inmediatamente despues de su encuentro enHarzburg, Cantor escribe cartas en las que discute, por primeravez en su carrera, ideas generales sobre conjuntos ordenados.50Y en el plazo de un mes da el paso clave hacia los ordinalestransfinitos. Hay pues motivos para pensar que el intercambiode ideas con Dedekind desempeno un papel heurfstico impor-tante.

4.4. Un aspecto llamativo de la obra de Cantor, ya comentado,es su tendencia a concentrarse en problemas especulativos.Desde 1874, y salvo casos mas bien aislados, centro su atencionen cuestiones «de principio» y desatendio sus posibles aplica-ciones en ramas bien establecidas de la matematica. Esto resul-ta tanto mas llamativo, cuanto que la aceptacion de sus ideas yel exito de su propia carrera como matematico se hubieran be-neficiado grandemente de un mayor enfasis en cuestiones de«interes real y presente» —por decirlo con palabras de Hermi-te—. Pero sin duda se trata de un rasgo caracteristico de laorientation mental del genial matematico.

Con todo, naturalmente Cantor era consciente de que susresultados tenian implicaciones, sobre todo en analisis. La teo-ria de conjuntos de puntos habia nacido dentro del analisis real(teoria de series trigonometricas), el campo matematico «estan-

dar» donde Cantor realizo contribuciones propias de mayorimportancia, de 1870 a 1872. El estudio de los conjuntos de uni-cidad de series trigonometricas fue precisamente lo que le llevoa introducir, en 1872, el concepto de conjunto derivado. En losanos siguientes, autores como P. du Bois-Reymond, U. Dini y

J. Harnack hicieron uso de la idea en diversos intentos de pro-fundizar en el concepto de integral.

Cantor mismo contribuyo en 1882 y 1884 a esa linea de in¬vestigation, que anos mas tarde desemboco en los estudios deBorel y Lebesgue sobre integration y teoria de la medida. Pero,ademas, Cantor estaba convencido de que el concepto de po-

50. Briefwechsel Cantor-Dedekind, op. tit. en nota 1, 52-54.

INTRODUCCIpN 51

tenda o cardinalidad resulta-ria de importanda capital enanalisis. Aqui su opinion so-bre una cuestion matematicaestaba en parte condicionadapor sus intereses especulati-vos, y puede decirse —conlas debidas precisiones— quesu juicio no fue muy acer-tado.51

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El estudio de los conjun-tos de puntos tiene impor-tancia tambien en teoria defunciones (complejas) y Can¬tor era bien consciente de al-3

El matematico sueco Gosta Mittag- guna de sus aplicaciones enLeffler ( 1 846- 1 927), fundador de la rc- este campo. En particular, avista Acta Mathematica, fue un apoyo Jo largo de la corresponden-clave para Cantor hacia 1883/1884. cia que mantuvo con Mittag-

Leffler en 1882 se discutecomo el Teorema a (seccion 4.2) permite avanzar en el estudiode las funciones analiticas. De hecho, la cuestion sale a reluciren el ultimo parrafo del § 3 de los Fundamentos, y efectivamen-te, en 1884 Mittag-Leffler consiguio demostrar su resultadomas importante, estableciendo la representacion de una fun-cion meromorfica en terminos de sus partes singulares.52 El teo¬rema de Mittag-Leffler constituia una conclusion natural paraun importante campo de investigacion abierto por Weierstrass.

En 1895 Minkowski escribia a su amigo Hilbert: «De nue-vo me he dado cuenta de que Cantor es uno de los mas geniales

51. A1 menos, si juzgamos la cuestion desde la perspectiva de 1900 y lasdecadas siguientes. Como se sabe, los axiomas de grandes cardinales tienenimplicaciones para la teoria descriptiva de conjuntos.

52. «Sur la representation analytique des fonctions d’une variable inde-pendante», Acta Mathematica, vol. 4 (1884). En el mismo campo, unos anosmas tarde llegarian contribuciones de A. Hurwitz. Pero ya en 1885 Poincarelogro resultados espectaculares aplicando ideas cantorianas en su estudio delas funciones automorfas («Sur les courbes definies par des equations diffe-rentielles», ]our. Math. Pares et Appl., 1885).

52 JOSfi FERREIRAS

matematicos vivos».'’ Una de las principales razones que lleva-ban a los matematicos a maravillarse de la profundidad y la ge-nialidad de Cantor, en tomo a 1900, es que su problematica ysus resultados, tan especulativos, reaparecfan de manera increi-ble como elementos clave para la obtencion de resultados tan¬gibles y bien comprensibles. Valgan las anteriores indicacionescomo muestra de ello.

5. LA DECADA DEL DISTANCIAMIENTO:

1885-1895, Y MAS ALLA

Hemos visto como Cantor sufrio en 1884 una crisis mental,producto de la tension que le provocaba su enfrentamiento conKronecker y su sensacion de ser «perseguido» entre los mate¬

maticos alemanes. La serie de sinsabores era ya larga: primero,el fracaso en conseguir una catedra en una universidad impor-tante, especialmente Berlin; segundo, el fracaso en su plan al¬ternative de hacer de la necesidad virtud, convirtiendo a Halleen un gran centro matematico;54 en suma, la experiencia de irperdiendo los apoyos relacionados con la escuela de Berlin, singanar otros a cambio, sabiendo lo que esto significaba en la po-litica academica del Imperio aleman.

Pero eso no fue todo, porque en 1885 vendrfa la culmina-cion de sus fracasos.

Las nuevas ideas acerca de los ordinales transfinitos y losconjuntos bien ordenados, plasmadas en los Fundamentos, mo-vieron a Cantor a una generalizacion, estudiando la teorla de lostipos de ordenes lineales (totales). Como era ya habitual en el,en lugar de madurar esa teorfa y esperar a que diera frutos —con-fiaba, como tantas veces, en que le permitirfa resolver la Hipo-tesis del Continuo—, Cantor se dio mucha prisa en publicar.A comienzos de 1885 el articulo estaba siendo compuesto pol¬

ios tipografos de Acta Mathematica, cuando Cantor recibio una

53. H. Minkowski, Briefean D. Hilbert (Berlin, Springer, 1973), 68.54. Aunque Dedekind habia rechazado la oferta, Cantor siguio insistien-

do y perdio con ello un tiempo precioso, hasta que finalmente los de Berlinimpusieron un candidato: Albert Wangerin.

53INTEODUCClbN

carta de Mittag-Leffler recomendandole que aplazase la publi¬cation hasta obtener resultados mas tangibles. El consejo teniamucho de sensato, pero Cantor creyo ver en ello los interesesegoistas de Mittag-Leffler, que habria temido enemistarse conlos berlineses al dar demasiado apoyo al de Halle. Probable-mente habia algo de verdad en esto, y el hecho es que Cantor sesintio definitivamente expulsado de la comunidad matematica.

Desde 1878 habia decidido no publicar en el Journal berli-nes; ahora Acta se sumaba a la lista; y en cuanto a los Annalende Klein, aunque le habian prestado una ayuda inestimable,Cantor no encontro en su editor ya sea la comprension intelec-tual, ya el apoyo politico que hubiera deseado. En los diez anossiguientes, Cantor renuncio a publicar en revistas matematicas.Se acerco mas aun a la filosofia y la teologia, e incluso propusoa su universidad que su campo de docencia se desplazara a laprimera (aunque el fracaso entre los alumnos de un primer cur-so sobre Leibniz le disuadio).55 Publico tres ensayos en el Zeits-chrift fur Philosophic und philosophische Kritik, notablementeuna publication de orientation fichteana que retomaba el teis-mo etico de Leibniz.

Hay que decir, en honor a la verdad, que las relaciones deCantor con sus colegas mas cercanos fueron mas bien tormen-tosas. El primer caso fue el de Schwarz, que paso de ser el granamigo de los anos de estudiante, valedor para la plaza de Halle,a enemigo directo. No sabemos bien cuales fueron las circuns-tancias, pero probablemente Schwarz no viera con buenos ojoslos «coqueteos» de Cantor con revistas como los Annalen en1872, ni tampoco su inusual actitud al postularse para una pla¬za en 1875, ni la direction cada vez mas especulativa de sus tra-bajos. En 1883 Kummer se retiro de su catedra en Berlin, yCantor decidio ofrecerse de nuevo como candidato para ocuparla catedra. En una llamativa carta a Mittag-Leffler, del 1 de ene-ro de 1884, explica sus motivos:

Entiende Ud. muy bien el sentido de mi solicitud; no he pen-sado ni de lejos que pudiera llegar a Berlin ahora. Pero como es

55. Vease Bolling (1997), 79-80, que cita cartas de Cantor y Kowalewskaya.

54 josfi FERREIRAS

mi intention llegar alii, y como se que Schwarz y Kronecker in-trigan terriblemente contra midesde haceanos, por miedo a quepudiera alcanzarlo, he considerado que era mi deber tomar yomismo la iniciativa y dirigirme al ministro. El efecto inmediatode ello lo habia previsto con mucha precision, a saber, que Kr.reaccionaria comosile hubiera picado un escorpion y lanzaria unalarido, junto con sus tropas de apoyo, que haria pensar que Ber¬lin se habia convertido en el desierto de Africa, con sus leones,tigres y hienas. Realmente he logrado este efecto, a lo que pa-rece.

El caso de Mittag-Leffler es llamativo, pero quiza tipico, por laintensidad con la que se establecio una amistad y complicidaden 1882/1883, y por lo pronto que quedo rota. Una vez queMittag-Leffler le escribio su carta recomendandole aplazar lapublication del articulo «Principios de una teorfa de los tiposde orden», la herida fue demasiado grande y el declive, inevita¬ble.56 Mittag-Leffler le habia escrito que publicar demasiado,sin presentar resultados tangibles, podria acarrear el descreditopara sus novedosas ideas, de modo que tendrfan que pasar quizamas de cien anos hasta que fueran redescubiertas. Estas pala-bras, reinterpretadas en el sentido de que sus ideas eran enor-memente prematuras, se quedaron bien grabadas en la memo-ria de Cantor.

Pero el caso quiza mas llamativo, por la complejidad de lasactitudes y sentimientos, fue precisamente el de Dedekind. Fueel matematico que mas comprension mostro para las nuevasideas de Cantor, cosa normal dado que el mismo contribuyoenormemente a la reorientation conjuntista de la matematicamoderna. Fue la gran apuesta en la que Cantor puso sus espe-ranzas al intentar hacer de Halle un centro importante, en 1881.Pero fue tambien una persona con la que sus relaciones se en-turbiaron desde 1874. En otro lugar he argumentado que pro-bablemente la ingratitud de Cantor hacia Dedekind, en aquelmomento, tuvo su origen en que el primero tenia sus esperanzaspuestas en el apoyo de los berlineses, que veian con malos ojos

56. Vease I. Grattan-Guinness, «An Unpublished Paper by Georg Can¬torÿ Acta Mathematica 124 (1970), 65-107.

Gcsellschft de livelier Naturforscher und tali,15, bis 20. September 1890.

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Kunge. Ik'IUrll. Kasli’is.Minkowski.

Kleinm. Until.Schilling. I'npperit*, Mtiller.

I.anipo, 0. Cnntor. Kiopert, Schubert.

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Fotograffa de los matematicos que participaron en la fundacion de la Asociacion Alemana de Matematicos (DMV) en 1890:Cantor es el cuarto por la derecha, sentado junto a su amigo Lampe; tras el, de pie, estan Hilbert y Minkowski; Felix Klein(1849-1925) es el quinto por la derecha, sentado.

56 JOSfi FERREIRbS

al segundo.57 Ademas, Dedekind no era sino un humilde profe-sor en la Escuela Tecnica de Brunswick, alguien que careciacompletamente del poder de influir en la vida academica y cien-tifica, salvo por sus escritos.

Tras el distanciamiento de los matematicos, en 1885, Can¬tor no solo comenzo una extensa correspondencia con teologosy filosofos, sino que se entrego con intensidad a defender

— frente a la incredulidad de los filologos— una tesis peregri-na, pero en boga por entonces: que el canciller Bacon era elverdadero autor de los dramas de Shakespeare. Fue la llamadapolemica Bacon-Shakespeare, que da prueba de los variados in-tereses de nuestro personaje, y constituyo una pasion duradera:Cantor invirtio una gran suma de dinero en comprar libros dela epoca isabelina, y al respecto publico el mismo tres libros en-tre 1896 y 1897. Hay dos aspectos de especial interes en este

episodio: la concepcion aristocratica que pone de manifiesto,pues se pensaba que un plebeyo como el actor Shakespeare nopodia dar frutos de semejante altura moral e intelectual, y lacreencia en un inmenso papel historico de los «grandes hom-bres»: hay motivos para pensar que Cantor se aplico a si mismoesta creencia.

Por eso, el inagotable torbellino que era Cantor hizo aunalgo mas en esos anos. Harto de que el ambiente matematicoaleman pudiera estar de tal modo manipulado por un grupo depoder, puso en marcha medidas para contrarrestarlo. Se necesi-taba una union matematica que sirviera para poner freno a lospoderosos, prestando apoyo y proteccion a la savia nueva, lasideas innovadoras de jovenes brillantes. De aqui surgio el pro-yecto de la Union Matematica Alemanes [DMV: Deutsche Ma-thematiker-Vereinigung\, que Cantor promovio con todas susfuerzas y para la que encontro apoyo en poderosos emergentes

57. Ferreiros (1993) y (1999, 185-186). El motivo de la actitud de Kro-necker y Kummer hacia Dedekind fueron los «celos» que les produjo la pu¬blication de su teorfa de los numeros algebraicos en 1871. Cantor mismo co-menta a menudo en sus cartas que Kronecker no se lo perdonaba (cosa quetambien dice Frobenius) y llega a explicar a Mittag-Leffler que en los Funda-mentos, § 8, le hace un cumplido a Kronecker, poniendo a su lado el nombrede Dedekind, precisamente para molestar al berlines (Briefe, 144).

INTRODUCCI6N 57

como el mismo Felix Klein, jCosto no poco trabajo con-vencer a sus colegas: aunque Ihabian pasado mas de quince Ianos desde la unification bismarckiana de Alemania, la Imayoria seguian acostumbra-dos a pensar en terminos re-gionales o locales, y tambien ? ya la influencia enorme de al-

*m

1gunos mandarines. La idea tu-vo exito, fraguando en 1890,y Cantor fue nombrado pre-sidente el mismo ano, siendoreelegido los tres siguientes(un honor nada frecuente). Fotografia de Cantor en 1894, epoca

El resultado contribuyo sin en que dejo la presidencia de la

duda al avance de la matema- DMV y empezo a redactar sus ulti-mos articulos.

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tica y a dar una mayor sensa-cion de autonomia a sus cul-tivadores.

Tambien decidio Cantor, por motivos similares, impulsarlos congresos matematicos internacionales, y en este sentidomantuvo de nuevo una intensa correspondencia, por ejemplocon matematicos franceses. Pero su papel en la gestacion de losCongresos Internacionales de Matematicos celebrados en 1897en Zurich y 1900 en Paris no fue tan central, sino que quedo re-legado a un segundo o tercer piano frente a la intervencion defiguras como Klein.

Al fin, hacia 1894, Cantor se sintio reconciliado con la nue-va situation. El desarrollo de la DMVse consolidaba y tomabacuerpo; Kronecker habia muerto en 1891, y aunque la universi-dad mas importante, Berlin, estaba solidamente en manos delos ortodoxos o conservadores, su mano ya no se extendia portodo el Reich como antes. Bajo el mando de Klein, Gotinga seconsolidaba como nuevo centro fuerte al que ahora (en 1895)se incorporaba David Hilbert, un hombre de tendencias mo-dernas, admirador de Dedekind y del propio Cantor, con quieneste hizo buenas migas. Todo ello le movio a publicar de nuevo

58 JOSfi FERREIR6S

en Mathematische Annalen, dando a la luz lo que seria su testa-mento matematico: una reposada presentacion de sus ideas fun-damentales sobre los numeros transfinitos (cardinales y ordina-les), los tipos de orden y los conjuntos bien ordenados, bajo eltftulo de «Contribuciones a la fundamentacion de la teorfa deconjuntos transfinitos» (1895 y 1897).58

Las Contribuciones de 1895 y 1897 constituyeron el testa-

mento cientffico de Cantor, y fueron la fuente en que bebieronlos que se convertirfan en los proximos grandes impulsores dela teorfa de conjuntos transfinitos: matematicos como ErnstZermelo en Gotinga y Felix Hausdorff en Leipzig. Eran ar-tfculos que, a diferencia de las contribuciones de Sturm undDrang en los anos 1880, habfan sido redactados con cuidadotras una larga meditacion de la cuestion. Presentaban resulta-dos clave sobre las cardinalidades, ahora bajo la figura de loscardinales transfinitos o alefs: X0, St, ... ...; sobre los tiposde orden, incluyendo el orden denso T| de los racionales y el or¬den continuo 0 de los numeros reales; y sobre los numeros ordi-nales transfinitos, especialmente una teorfa rigurosa de los ordi-nales enumerables de la segunda clase numerica.59 Pero encierto sentido eran artfculos decepcionantes, porque no abor-daban las grandes cuestiones abiertas de la teorfa cantoriana,muy en particular el problema del buen orden y la Hipotesis delContinuo (HC).

Como el lector podra ver por las cartas a Hilbert y Dede¬kind de 1897 y 1899, Cantor tenia muy en mente esos grandesproblemas. De hecho, su firme intendon era publicar una ter-

cera parte de las Contribuciones que discutirfa las paradojas dela teorfa de conjuntos, argumentando a partir de ellas que todoconjunto admite ser bien ordenado, y que por tanto toda cardi-nalidad infinita es un alef. La HC habrfa quedado de nuevo enel aire, pero el avance de la teorfa de conjuntos hubiera sido in-negable. Es de lamentar que Cantor no cumpliera su objetivo,

58. Vease la edicion alemana en Cantor, Abhandlungen, o la inglesa entraduccion deJourdain (Cantor 1915).

59. Una buena presentacion, muy compacta, de parte de estas ideas seencuentra en las cartas de finales de los 1890, especialmente la magnifica car¬ta a Dedekind del 3.08.1899.

59INTRODUCCION

pero hay que reconocer su capacidad de autocritica, y es que lasideas «fundamentales» con las que respondia a las paradojas noeran suficientemente claras. Hablaremos de ello en la seccion 6.Entretanto, fue Hilbert quien se encargd de recordar a la co-munidad matematica cuales eran los grandes problemas abier-tos por Cantor, al discutir la HC y el problema del buen ordenen su celebre conferencia de Paris (1900) sobre «Problemasmatematicos».

La dificultad definitiva que impidio esta ultima publicacionfue un recrudecimiento de la enfermedad maniaco-depresivade Cantor. En las ultimas cartas de 1899, recogidas en tra-duccion, podran ustedes advertir claras senales de ello. No sa-bemos con certeza hasta que punto Cantor pudo sufrir crisisimportantes entre 1884 y 1899; Grattan-Guinness (1971) se in-clina por pensar que no, y en todo caso parece que la actividaddocente del matematico no se vio afectada. En cambio, duranteel invierno de 1899/1900 fue necesario liberarle de dar clases, ylas repeticiones del problema condujeron a que fuera nombra-do emerito ya en 1905. La gota que habia colmado el vaso, yamuy lleno, fue la muerte de su hijo Rudolf el 16 de diciembre de1899. Cantor entro en una severa crisis, que duro hasta muy en-trado el ano 1900; desde entonces hasta su muerte en 1918, pa-sarfa largos periodos en la Nervenklinik de Halle.

Es interesante citar las reminiscencias del gran hombre queMeschkowski (1983, 173-174) pudo recoger de Alice, sobrinasuya que paso muchas semanas en casa de Cantor a lo largo deanos:

Mi tio permanecia encerrado en su cuarto de estudio, enor-memente grande, cuyas cuatro paredes estaban todas cubier-tas de libros desde el suelo hasta el techo. All! parecia vivir suvida, para si mismo, aislado en sus propios planetas, descono-cido para el resto de nosotros. Por mas que me hubiera gusta-do conocerle de verdad, el nunca estaba visible. En casa demis padres pude escuchar una y otra vez comentarios que in-dicaban como mi padre (su cunado)60 tenia en muy alto el ca-racter de mi tio, su pureza y su bondad, y como le impresio-

60. El doctor Paul Guttmann, de quien hemos hablado en la seccion 2.

60 JOSfi BER.REIR.6S

naba enormemente su grandeza de espiritu. Mi padre pareciadivinizar a mi tio. Tambien se hablaba de sus ausencias perio-dicas, durante dias, del hogar propio en Halle, el cual aban-donaba repentinamente y «de su propio pie», por asi decir.Luego era llevado a un hospital y mas tarde volvia a casa ytodo parecia volver a tomar su camino usual; hasta la proximavez. Me hice una imagen de sus estados de animo sobreexcita-dos, exaltados, pero no querria emitir un juicio al respecto, yen realidad no podria.

Si el doctor Guttmann divinizaba a Cantor, el propioGeorg aprendio a interpretar su enfermedad mental en clavesobrenatural. No es extrano que una persona de estas caracte-

rfsticas interprete las fases maniacas como algun tipo de «inter-vencion» superior en la propia mente. Ademas, las fases altas dela enfermedad pueden haber sido una ayuda para la explora¬tion mental de un territorio tan nuevo como el dominio de lotransfinito,61 lo cual intensificaria la impresion de realidad exte¬rior en esas ideas, y de ser en cierto modo un «enviado» paracomunicarlas. Las Contribuciones de 1895 van encabezadas porvarias citas, entre ellas el famoso «hypotheses non fingo» deNewton, y una cita en latin cuyo autor original es Bacon

—de nuevo el ingles Francis Bacon—:

Pues no damos leyes al intelecto o a las cosas a nuestro arbitrio,sino como escribas fieles las recibimos y copiamos de la voz re-velada de la misma naturaleza.62

Cantor, fiel escriba e interprete de la voz revelada de Dios o laNaturaleza (recordemos a Spinoza): nada podria ser mas ade-cuado a la interpretation realista, platonica, de las geniales teo-rias que defendio el matematico.

A pesar de las graves dificultades causadas por la enferme¬dad, Cantor aun tuvo tiempo de participar en algunos sucesosnotables. En 1904 estuvo presente en las sesiones del Congreso

61. Esta opinion, con la que concuerdan los expertos, fue compartida porun sobrino de Cantor, medico, y por el matematico Caratheodory.

62. Abhandlungen, 282.

INTRODUCCI6N 61

International de Matematicos celebrado en Heidelberg, en elcual —como habia ocurrido en los dos anteriores— la teorfa deconjuntos tuvo una importante presencia. Hilbert defendiode nuevo esta teorfa y el infinito actual, pese a la conciencia ge¬neral del grave problema que suponfan las paradojas, propo-niendo una manera de fundamentar la logica y la matematicaque guarda conexiones importantes con su famoso Programade los anos 1920, basado en la teoria de la demostracion. Sobretodo, un matematico renombrado y famoso por la precision desus trabajos, el hungaro G. Konig, prometio resolver el primerode los Problemas Matematicos de Hilbert, presentando una de-tallada y muy tecnica demostracion de que la potencia c delcontinuo ;no puede ser un alef! El asunto fue tan sonado que seanularon las otras sesiones para que todos los matematicos pu-dieran asistir a la exposition de Konig, y hay quien dice inclusoque la noticia salio en la prensa y el duque de Baden-Wurttem-berg fue informado en persona por Felix Klein.

Segun cierto matematico, Cantor tomo entonces la palabra ydio gracias a Dios por haberle permitido vivir la refutation desus errores. La anecdota es hermosa y parecerfa encajar con supersonalidad, pero aquel matematico no estaba presente, y lostestigos presenciales nos cuentan algo distinto. Segun Schoen-flies, Cantor en ningun momento acepto el resultado de Konig,«a pesar de sus demostraciones exactas»; le gustaba repetir debroma que «no sentfa ninguna desconfianza hacia el rey [Ko¬nig], solo hacia su ministro». El «Konig» al que se referfa Cantores, obviamente, Dios mismo, y —a diferencia de lo que sucedfaen su propio caso— el matematico hungaro no era un escriba ointerprete fiable. En cierto modo tenfa razon, pero —los desig-nios de Dios son enrevesados— el interprete poco fiable no ha-bfa sido Konig, sino otro matematico del que aquel tomo un re¬sultado formulado en su tesis doctoral con una generalidadexcesiva: se trata de Felix Bernstein, alumno del propio Cantorque presento su tesis en 1901 bajo la direction de Hilbert.

Este incidente hizo que el problema del continuo y la cues-tion relacionada del buen orden se convirtieran en una obsesionpara los jovenes matematicos interesados en la teorfa de conjun¬tos. Hausdorff dijo haber sufrido una «monomanfa» por aquellosmeses, pero consiguio dar con el error unos meses mas tarde: Ko-

62 JOSfi FERREIRAS

nig habla conseguido de-mostrar un importanteteorema (que la potenciaC del continuo no puedeser un alef de cierto tipo)bipero no habia echado portierra la creencia funda¬mental de Cantor. Tam-bien Zermelo, hombredel entorno de Hilbert,presto toda su atencion altema, y en septiembre delmismo ano redacto unacarta que contenla la de-mostracion general delTeorema del Buen Or-den, empleando para elloun nuevo postulado: elAxioma de Eleccion. La

Texto presentado a Cantor por los mate- publication de esta carta

maticos de Gotinga con ocasion de la ce- en los Mathematische An-nalen desato rios de tinta,un debate internacional

sobre los postulados aceptables en teoria de conjuntos que dionueva intensidad a la llamada «crisis de fundamentos».M Duran¬te dos o tres decadas, fue habitual tratar el postulado de Eleccioncomo si fuera mas hipotetico que el resto de los axiomas de lateoria de conjuntos, e incluso hubo grandes matematicos que se

esforzaron para no emplearlo en absolute.En 1912 Cantor fue nombrado doctor honoris causa por la

Universidad de St. Andrews, y consiguio realizar el viaje sinproblemas, acompariado de su hija. Cumplia con esto uno de

OEOm CANTORzu seinem 70. Geburtstage

am 3. Marz 1915.

Hochgeehrter Herr!\K/ir, die Mitglieder der mathematischen Gesellschafl

in Gottingen, die wir bei unserer Arbeit so oft die von

Ilmen gefertigten Werkzeuge erprobt haben, wollen Ihnen

den so lang geschuldefen Dank

lichen Tage aussprechen. Und auch fur die kommenden

Geschlechter sprechen wir: denn durch Ihre Arbeit ist

ein Grund bereitet worden, auf dem jeder bauen inufi,

der Sicheres und Dauerndes schaffen will.

am heuiigen Fest-

Dennoch wurden wir Ihren Werken niclit gerecht

an der GroBe ihrer Wirkungwerden, woliten wir sie

Oder als MittefNein! Wer in Ihre Lehre einzudringeu getrachtet hat,

der hat etwas an sich Erhabenes geschaut, das seinen

unermeBlichen Wert in sich selbst tragt.

Mehrung der Wissenschaft beurteilen.

Empfangen Sie unserer Ailer Huldigung.

lebracion de su 70° aniversario.

63. C * Xa si a es un ordinal lfmite (o sea, por hablar el lenguaje de losFundamentos, un ordinal obtenido mediante el segundo principio de genera-cion). Hausdorff explicaba que la formula = K - 2"“, que Bernstein ha¬bia creldo demostrar, no es valida cuando p es un ordinal limite.

64. Sobre todos estos sucesos de 1904 pueden verse mas detalles en Fe-rreiros (2004).

62 JOSE FERREIR6S

nig habla conseguido de-mostrar un importanteteorema (que la potenciaC del continuo no puedeser un alef de cierto tipof'pero no habia echado portierra la creencia funda¬mental de Cantor. Tam-bien Zermelo, hombredel entorno de Hilbert,presto toda su atencion altema, y en septiembre delmismo ano redacto unacarta que contenia la de-mostracion general delTeorema del Buen Or-den, empleando para elloun nuevo postulado: elAxioma de Eleccion. Lapublication de esta carta

en los MathematischeAn-nalen desato rios de tinta,un debate intemacional

sobre los postulados aceptables en teoria de conjuntos que dionueva intensidad a la llamada «crisis de fundamentos».M Duran¬te dos o tres decadas, fue habitual tratar el postulado de Eleccioncomo si fuera mas hipotetico que el resto de los axiomas de lateoria de conjuntos, e incluso hubo grandes matematicos que seesforzaron para no emplearlo en absoluto.

En 1912 Cantor fue nombrado doctor honoris causa por laUniversidad de St. Andrews, y consiguio realizar el viaje sinproblemas, acompanado de su hija. Cumplfa con esto uno de

GEORG CANTORzu seinem 70. Geburistage

am 3. Marz 1015.

Hochgeehrter Herr!

\X/ir, die Mitglieder der mathematischen Gesellscliaft

in Gottingen, die wir bei unserer Arbeit so oft die von

Ihnen gefertigten Werkzeuge erprobt haben, wollen Ihnen

den so lang geschuldeten Dank nun

lichen Tage aussprechen. Und auch fur die kommenden

Geschlechter sprechen wir: dcnn durch Ihre Arbeit ist

ein Grund bereitet wordeti, auf deni jeder banen muB,

der Sicheres und Dauerndes schaffen will.

heutigen test-

Dennoch wiirden wir Ihren Werken niclit gerecht

an der GroBe ihrer Wirkungwerden, wollfen wir sie

Oder als Mittel zur Mehrung der Wissenschaft beurteilert.

Nein! Wer in Ihre Lehre einzudringen getrachtet hat,

der hat etwas an sich Erhabenes geschaut, das seincn

unermeBlichen Wert in sich selbst tragt.

Empfangen Sie unserer Aller Huldigung.

Texto presentado a Cantor por los mate¬

maticos de Gotinga con ocasion de la ce¬lebration de su 70° aniversario.

63. c Na si a es un ordinal limite (o sea, por hablar el lenguaje de losVundamentos, un ordinal obtenido mediante el segundo principio de genera¬tion). Hausdorff explicaba que la formula K4"“ = Xj, •2K“, que Bernstein ha¬bia creido demostrar, no es valida cuando (i es un ordinal limite.

64. Sobre todos estos sucesos de 1904 pueden verse mas detalles en Fe-rreiros (2004).

63INTRODUCCltiN

sus suenos, visitar la Gran Bretana de la que tanto habia apren-dido a traves de su ocupacion literaria con la epoca isabelina, enrelation a la polemica Bacon-Shakespeare. Pero fue mas emoti-vo lo ocurrido en 1915, cuando los matematicos de Gotinga, li-derados por Hilbert, organizaron toda una celebracion en lacasa de los Cantor, en Halle, para festejar debidamente su 70°aniversario. Se hizo entrega de un hermoso busto de marmol,todavfa situado en la Universidad de Halle, y los conmovedoresdiscursos despertaron una gran emotion en el viejo Cantor. Amenudo habia dicho que los alemanes «no le conotian» a pesarde vivir y obrar entre ellos, y que sus esperanzas estaban en elextranjero. En esa ocasion debio sentirse reconciliado. En unacarta formal, redactada en nombre de toda la Sociedad Mate-matica de Gotinga, Caratheodory escribxa en un tono apropia-do para dirigirse al romantico Cantor:

...no harfamos justicia a su obra si solo quisieramos juzgarla porla magnitud de su influencia o como un medio para el creci-miento de la ciencia. [No! Quien se ha esforzado por penetraren su teoria, ese ha contemplado algo excelso en sx mismo, quelleva en su interior el valor inmenso que lo caracteriza.65

La celebracion tuvo lugar el 3 de marzo de 1915; menos de tresanos despues, el 6 de enero de 1918, el gran matematico moriade un fallo cardxaco.

Hilbert y su amigo Minkowski habian hecho de Cantorun heroe mas o menos desde 1895, forjando la imagen de todo uncampeon de la matematica moderna, vxctima de la persecutiondel villano Kronecker, caracterizado como un tirano de cortasvistas y acciones malintencionadas.66 La pregnancia del Proble-ma del Continuo creado por Cantor, su certera vision de las pa-radojas conjuntistas, su destino tragico de enfermo mental

—que reanimaba el viejo mito de que una excesiva proximidada la verdad se paga con la locura— y su importante papel en la

65. Citado en Meschkowski (1982, 175).

66. No pretendo decir que esta imagen sea enteramente falsa, pero si des¬de luego que es propia de una vineta de comic, mucho mas que una represen¬tation de la compleja realidad.

64 jos£ FERREIROS

creacion de la Union de Ma-tematicos Alemanes, todoello contribuyo mucho a en-grandecer su figura a los ojosde Hilbert y su gente. No escasualidad que a Cantor de¬dicase el primero de los pro-blemas que expuso en 1900en el Congreso de Paris: nose trataba solo de la induda-ble eleganeia y profundidaddel Problema del Continuo,sino tambien de que, al colo-carlo en primer lugar, Hil¬bert enfatizaba su apuesta

Un joven David Hilbert (1862- —la apuesta de Gotinga—1943), hacia la epoca en que conocio por los metodos mas moder-a Cantor y comenzo —animado por nos en matematicas. Les en-Minkowski— a desarrollar su gran a los dubitativos fran-

ceses una serial inequivocade por donde debian ir lascosas en el futuro.

Cuando veinticinco anos mas tarde Hilbert hablo con reto-

rica biblica del «paraiso de Cantor», presentandose como unAdan que se niega a ser expulsado, las poderosas imagenes dela leyenda de Cantor cumplian un gran papel en la defensa deun modo de hacer matematicas que Hilbert veia amenazado.Un matematico cercano a Hilbert y Klein, Schoenflies, contri-buia por aquellos anos a afianzar la imagen del Cantor victimadel tirano Kronecker (en articulos de 1922 y 1927, este segundopublicado en Acta Mathematica y basado en cartas a Mittag-Leffler), y llegaba incluso a sugerir que la enfermedad maniaco-depresiva habfa tenido dos causas: el intenso trabajo en vano aproposito de la Hipotesis del Continuo, y la malevola enemis-tad de su antiguo protector en Berlin.67 Al emplear el mito de

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admiracion por el.

67. Ambos puntos han sido puestos en duda, sobre la base de evidenciaque incluye informes de la dfnica de Halle, por los historiadores mas cuida-dosos: vease Grattan-Guinness (1971), Purkert e Ilgauds (1987). En mi opi-

INTRODUCCI6N

Cantor en los anos 1920, el objetivo principal de Hilbert eraevitar que los jovenes matematicos se fueran tras el peligrosoflautista de Hamelin que era el holandes Brouwer (como lo ha-bia hecho ya el mejor discipulo de Hilbert, Hermann Weyl).Cantor y Kronecker en paralelismo con Hilbert y Brower: la li-bertad de la matematica moderna frente a la reaction conserva-dora, casi dirfamos —recordemos la retorica del paraiso, y el fa-moso arbol— el Bien frente al Mai.68

65

6. LAS PARADOJAS DE LA TEORIA DE CONJUNTOS

En la literatura especializada existe bastante confusion sobrecuando descubrio Cantor las paradojas de la teorfa de conjun-tos, e incluso hay quien afirma que no descubrio tal cosa (ya quepara el no eran contradicciones de la «verdadera» teorfa deconjuntos). La selection de cartas de los anos 1897 y 1899 queustedes podran leer con detenimiento debe hacer transparenteel hecho de que Cantor no solo planted con precision esos ar-gumentos, sino que entendio con toda claridad que suponianuna contradiccion para la teorfa de los conjuntos defendida porautores como Dedekind y Frege. Ademas, hay buenos motivospara circunscribir al ano 1896 el momento en que debio de en-contrar las paradojas: fue solo a comienzos de 1897 cuando lascomunico a otros matematicos, principalmente a Dedekind yHilbert. Ya entonces sabia Cantor que la coleccion de todos losordinales transfinitos no puede ser un conjunto, pues suponer-lo nos lleva a una contradiccion estricta (la llamada paradoja de

nion, la importancia del factor Kronecker es indudable, pero bien entendidoque Cantor no puede ser presentado como una victima absolutamente ino-cente: la correspondence que traducimos y el propio texto de los Fundamen-tos (con nuestras notas) avalan esta afirmacion.

68. Lo triste es que, en los anos que siguieron, si hubo alguien que secomporto como el tirano Kronecker, no fue Brouwer, sino mas bien Hilbert,al organizar lo que Einstein llamo con desaprobacion «la guerra de las ranas ylos ratones» para expulsar a Brouwer del comite editorial de MathematischeAnnalen. Vease el articulo de D. van Dalen, «The War of the Frogs and theMice, or the Crisis of the Mathematische Annalen», Mathematical Intelligen¬cer 12 (1990, 17-31).

66 jos£ FERREIR6S

Burali-Forti), y que lo mismo pasa con la coleccion de todos loscardinales (la llamada paradoja de Cantor).69

6.1. Esto no quita para que la historia del descubrimiento y laaceptacion de las paradojas por la comunidad matematica fuerabastante complicada. Pues aunque Cantor planted sus respecti-vos argumentos a Bernstein, Dedekind, Hilbert y otros, no lie-go a cumplir su intencion de publicarlos. Las paradojas solofueron publicadas y anunciadas a bombo y platillo por Ber¬trand Russell en su obra The Principles ofMathematics (1903).70

Conviene anadir que entre la influyente comunidad matematicade Gotinga, las paradojas eran ya bien conocidas, y que en rea¬lidad la primera indication publica de su existencia, nada dra-matica y estimulada por el contacto con Cantor, tuvo lugar en

articulos de Hilbert del ano 1900:

Si quisieramos producir de un modo similar la demostracion dela existencia de una coleccion de todas las potencias (o de todoslos alefs de Cantor), este intento no alcanzarfa su objetivo: dehecho la coleccion de todas las potencias no existe, o —segun loexpresa G. Cantor— el sistema [System] de todas las potenciases un conjunto no consistente (no disponible).

La base en la que Hilbert apoyaba esta conviction no era otra

que las cartas recibidas de Cantor.Sin embargo, fue solo en 1903 que las paradojas se convirtie-

ron en centro de la atencion international. A ello contribuyo sinduda la paradoja de Russell, de caracter muy elemental porque in-volucra solo conceptos logicos basicos y la relation de pertenencia,G . (Se trata de la famosa contradiction de la totalidad de todos losconjuntos que no pertenecen a si mismos. Si suponemos que dichatotalidad es un conjunto, podremos llamarle Z = {x: x £ x}\y sa-bemos que los conjuntos son a su vez elementos de conjuntos, de

69. Fue Russell quien les dio esos nombres, alguno no muy justificado:veanse Moore y Garciadiego (1981), Garciadiego (1992).

70. Obra que ni lectoras ni lectores no deben confundir con los PrincipiaMathematica posteriores, escritos en elaboration con Whitehead. Si realizanla experiencia de leer ambos trabajos, uno discursivo, el otro plagado decalculos logicos, la confusion se les hara imposible.

67INTRODUCCIpN

manera que Z debe pertenecer o no pertenecer a si mismo. Pero siZ G Z, entonces —revisen los lectores la definition en la frase an¬terior— Zg Z; por otro lado, si Z € Z, entonces cae bajo la defi¬nicion anterior y se deduce que Z e Z. jContradiction!)

Curiosamente, es algo ya bien sabido que tambien esta pa-radoja habia sido anticipada por los de Gotinga y concretamen-te por Zermelo.71 Anos mas tarde rememoraba Hilbert que eldescubrimiento de la paradoja de Zermelo-Russell «tuvo unefecto verdaderamente catastrofico en el mundo matematico»;al menos lo tuvo en Gotinga, y desde luego en el, que por alguntiempo llego a pensar —[terrible desengano!— que la razon ha¬bia estado siempre del lado de Kronecker.72

Estas contradicciones o —como los gotinguenses gustabande llamarlas, kantianamente— «antinomias» fueron la desespe-racion de la mayorfa delos expertos en teorfa de conjuntos, pre-cisamente autores de la talk de Dedekind, Frege, Hilbert oRussell. Como explica el propio Cantor en sus ultimas cartas,Dedekind y quienes pensaban como el basaban la teoria de con-juntos en el principio de comprehension, que «ingenuamente»aceptaban como axioma. El principio de comprehension diceque un concepto bien definido (un enunciado \|/(x) con una va¬riable fibre, una «funcion proposicional» en terminos de Rus¬sell) determina un conjunto, en el sentido de que existe el con-junto {x: \[/(x)). Ese postulado no tan ingenuo, ni mucho menos«de sentido comun», quedo tocado en la linea de flotation porlas «antinomias». De ahf la desolation que demostraron los masreflexivos de aquellos autores: Dedekind se nego en 1903 a ree-ditar su librito (1888), y Frege abandono para siempre la posi¬tion logicista que llevaba mas de veinte anos desarrollando yafianzando.

71. B. Rang y W. Thomas, «Zermelo’s Discovery of the “Russell Para-dox”», Historia Mathematica 8 (1981), 15-22. No entraremos en mas detallesacerca de la rica historia de las paradojas para no recargar el texto (remito alos textos citados en nota y en la bibliografia), pero sx me gustaria expresarcon claridad mi opinion de que quien realmente puso la paradoja de Zerme¬lo-Russell en el lugar que le corresponde fue el logico G. Frege: antes de co-nocer su reaction, ni Russell ni Hilbert percibieron completamente lo «catas-trofico» de la situation.

72. Cita y referencias en Ferreiros (2004, 455).

68 JOSfi FERREIR6S

En cambio, nuestro especulativo personaje recibio las para-dojas sin problemas, mas bien con la sensation triunfal de queconfirmaban las intuitiones que venia desarrollando desde1883. Tan sin problemas, que enseguida buscola manera de ob-tener rendimientos propiamente matematicos a partir de ellas:concretamente, un intento de demostracion del teorema delBuen Orden, muy sugerente aunque no del todo satisfactory./5

6.2. La explication de esa diferencia entre Cantor y los otros esque la conception de la teorfa de conjuntos presentada en lasanotaciones a los Fundamentos, y concretamente los lazos quehabia establecido entre la matematica por un lado, y la metafisi-ca y la teologia por otro, hatian admisible para el lo que era inau-dito e intolerable para sus colegas.'4 Ya hemos visto que en laanotacion 2 establetia una analogia entre las totalidades absolu-tamente infinitas, como la de todos los ordinales, y nada menosque la divinidad. Resultado de esta analogia es que ninguno deesos «conceptos» debia considerarse accesible al conocimientohumano. El descubrimiento de las antinomias aportaba algomas, la imposibilidad de concebir esos infinitos absolutos comoun subgenero del infinite actual. Pero, de todos modos, Cantordisponia de un marco de ideas previo que le permitio reaccionarcon naturalidad ante lo que eran contradicciones estrictas, prue-bas de contradictoriedad, respecto a otros enfoques.

En una carta a Hilbert de 1897, Cantor afirmaba que ya«hace muchos anos» habia hecho referenda a esas «totalida-des» que no pueden ser consideradas como conjuntos, al hablarde totalidades «absolutamente infinitas».75 En anos recientes,varios autores han ofrecido argumentos en el sentido de que,efectivamente, Cantor habia previsto las antinomias ya en elmomento de redactar los Grundlagen.76 La reconstruction masconvincente es la de Tait, ya que utiliza solo ideas presentes en

73. Veanse las cartas y los comentarios de Zermelo citados en las notas

correspondientes.74. Dauben (1979), Purkert (1986); vease tambien Purkert e Ugauds (1987).

75. Carta de 26 de septiembre de 1897; solo puede referirse a Fundamen¬tos, anotacion 2.

76. Purkert (1986), Lavine (1994), Tait (2000).

69INTRODUCCI6N

los Fundamentos para montar una paradoja. Si la coleccion Ode todos los ordinales fuera un conjunto, no tendria un ultimoelemento, y el segundo principio de generation nos autorizarfaa hablar de un siguiente numero ordinal o. Segun esto, O es ma¬yor que todos los ordinales de O, pero a la vez es uno de ellos(porque O es el conjunto de todos los ordinales), de manera queo > O; y entonces tendrfamos una sucesion descendente infinitade ordinales:

o > o > o >

en contradiccion con el segundo teorema del § 13 de los Fun¬damentos.

Desde mi punto de vista, sin embargo, todas esas interpre-taciones son demasiado optimistas: se basan en evidencia suma-mente escasa y discutible, acompanada de interpretaciones singarantfas. Ese teorema del § 13 viene formulado solo para ordi¬nales de la segunda clase, y no es en absoluto evidente que Can¬tor se hubiera convencido ya de que es valido para numerostransfinitos con plena generalidad. Pero hay algo peor. La anti-nomia planteada por Tait hubiera inmediatamente arrojado du-das sobre la idea que expresa el segundo principio de genera¬cion, el cual interviene criticamente al obtenerla: no podemoscrear un nuevo numero siempre que tengamos delante una «su-cesion» de ordinales sin ultimo termino. Visto esto, y la necesi-dad de buscar alguna clausula restrictiva para el segundo prin¬cipio, Cantor habria encontrado motivos para detener lapublication de los Fundamentos.

Por otro lado, si Cantor tenia las antinomias a su disposi¬tion en los anos 1880, resulta muy raro que no las mencione enninguna de sus cartas o articulos filosoficos. Mas bien, algun es-crito sugiere que en 1888 aun no las conotia: en carta a Vivantide ese ano, Cantor habla del libro de Dedekind (1888) sin criti-car su tendencia «a fundamentar la aritmetica de manera pura-mente logica», sino considerandola «loable».77 Esto resulta inte-resante por contraste con su apreciacion de las cosas diez anosmas tarde: en la carta a Hilbert de noviembre de 1899, Cantorformula con gran clarividencia el caracter de contradiccion que

77. Brie/e, 302.

70 josfi FERREIR6S

las paradojas tienen para la teoria «logica» de Dedekind, insisteen la «oposition diametral* que hay entre dicho planteamientoy el del propio Cantor, y sugiere que reconocio el error de De¬dekind «inmediatamente despues» de la publicacion de su li-bro. Pero este tipo de implicaciones y aclaraciones no se en-cuentran en ninguno de sus escritos antes de 1896, y de hechoel enfoque ofrecido en los Grundlagen de 1883 parece ser toda-via el de una teoria «logica» de conjuntos.78

En su reminiscencia de 1897, Cantor no llega a afirmar quecatorce anos antes tuviera a su disposicion los argumentos de lasantinomias. Mas bien, el argumento que dio en los Fundamentosacerca del caracter absoluto de la coleccion de los ordinales pare¬ce refutar la idea de que conociera las paradojas. Dice en la ano-tacion 2 que «a cada numero suprafinito de cualquiera de las da-ses numericas superiores (II), (III), etc., por grande que sea, lesigue una coleccion de numeros y clases numericas que en lo re-lativo a potencia no se ve reducido en lo mas minimo, comparadacon la totalidad de la coleccion absolutamente infinita de nume¬ros comenzando por 1». Tait (2000) reconoce que este razona-miento «ultimately makes no sense», y es que, si hubiera captadolas antinomias, habrfa debido comprender que no tiene sentidohablar de la «potencia» del «conjunto» de todos los ordinales ma-yores que (0, o que otro ordinal cualquiera, ni compararla con la«potencia» del «conjunto» absolutamente infinito de todos ellos.

En un analisis sumamente detallado de las multiples mani-festaciones de Cantor n cartas y arriculos de todo el perio-do— con respecto a lo transfinito y lo Absoluto,Jane (1995) lle¬ga a la conclusion de que su posicion cambio en un matiz clavehacia 1896. Antes de esa fecha, Cantor concibe lo Absolutocomo un infinito actual, un dominio real de magnitud o poten¬cia maxima (coherentemente con lo que acabamos de ver en elparrafo anterior). Despues, pasa a entender lo Absoluto comoalgo irremediablemente potencial, abierto e incompletable. Estoconstituye buena evidencia independiente de que fue hacia

78. A1no desmarcarse de este enfoque, hay motivos para pensar que Can¬tor no habfa advertido las antinomias y sus implicaciones. Antes bien lo enfa-tiza mucho mas que el propio Dedekind, aunque ciertamente no en ningunaaplicacion practica, sino en dedaraciones generales como las de la anotacion 1.

INTRODUCCICN

1896 cuando encontro las antinomias. Por si hiciera falta masevidencia, en el articulo de 1892 que ustedes pueden leer, sedice que en los Fundamentos de 1883 habia demostrado «que lacoleccion de todas las potencias, si las imaginamos ordenadasconforme a su tamano, forman un «conjunto bien ordenado»».Una idea absurda, propia de algun «ingenuo» partidario de lateorfa logica de conjuntos.

Tanto en 1883 como en 1897 pensaba Cantor que lo abso-lutamente infinito no es determinable matematicamente, perosus razones iniciales eran solo teologicas, mientras que las finalesson tambien matematicas. Por insistir una vez mas: las tesis reco-gidas en sus anotaciones a Fundamentos ofrecieron a Cantor unpunto de apoyo para reaccionar frente a las paradojas y motivospara agradecerlas, pero eso no quiere decir que ya entonces lasconociera. La evidencia conservada en cartas y documentos seempena en sugerir que fue solo hacia 1896 cuando se hizo cons-ciente de esas tensiones bajo la forma concreta de las paradojas.

6.3. En una carta a Mittag-Leffler de mayo de 1883, hablandodel teorema de Cantor-Bernstein (y de como lo habia formula-do ya en 1878), decia nuestro hombre:

71

A1 escribirlo en aquel momento, estaba convencido de su co-rreccion gracias a una especie de intuicion indescriptible [eine

Art von unbeschreiblicher Intuition], aunque sabia muy bienque el teorema requerfa una demostracion; mas durante anoshe sido incapaz de encontrar esa demostracion. Solo desde quehe descubierto y encontradolos numeros suprafinitos, desde que hepodido definir las potencias sucesivamente crecientes, que sedan en la naturaleza, estoy en posesion de la demostracion.79

Si hubo alguna anticipation de las antinomias en los Funda¬mentos, parece que fue mas bien, en palabras de Cantor, «unaespecie de intuicion indescriptible».

79. Briefe, 119. Lo ultimo no era cierto: tenia una demostracion para ca-sos particulares —por ejemplo, para conjuntos equipotentes con (II), Funda¬mentos§ 13—, pero no una demostracion general; el mismo lo reconoceria enlas Contribuciones de 1895.

72 josfi FERREIRpS

Pero hay algo que debe quedar claro, tras la anterior discu-sion. A1introducir los numeros ordinales transfinitos, siquiera aun nivel intuitivo, Cantor disponia de un nuevo dominio dondeaplicar, desarrollar y explorar sus ideas conjuntistas. Este nue¬vo dominio, con su caracter abierto y radicalmente maximiza-dor, tenia el potential de generar graves tensiones dentro de lateoria de conjuntos. Hasta entonces Cantor solo podia pensaren conjuntos de numeros o de puntos o defunciones; pero al in-vestigar los ordinales acabaria haciendose patente la necesidadde imponer restricciones en teoria de conjuntos, so pena decaer en contradiction.

Ademas, las anotaciones a los Fundamentos muestran conclaridad que, tras haber escrito el texto principal de este escri-to, Cantor comenzo a alejarse de manera irreparable de la vision«logica» de los conjuntos, andando el camino hacia la concep¬tion plenamente realista o platonica que paso a convertirse en«el fundamento de su investigation conjuntista» (segun diceen la citada carta a Hilbert). La teoria de conjuntos no podiabasarse en ningun printipio meramente logico acerca de losconceptos o predicados como base para la formation de con¬juntos (el printipio de comprehension). La teoria de conjuntosera algo mucho mas elevado, y su base ultima estaba en la ver-dadera metafisica y teologia, que sigue la tradition de Platon,Leibniz y Spinoza.

Me gustaria terminar citando las palabras con las queBernstein aclaro a los editores de las obras de Dedekind comotranscurrio la visita que hizo a este, por Pentecostes del ano1897 (vease la carta de Dedekind, 29-08-1899):

La mencionada visita fue motivada por Cantor. Este habia en-contrado poco antes la paradoja del conjunto [sic] de todos losnumeros ordinales, concretamente al intentar demostrar quetodo conjunto puede ser bien ordenado —demostracion que in-tentaba llevar a cabo con reflexiones algo similares a las queZermelo empleo posteriormente, solo que evitando los conjun¬tos inconsistentes, en su primera demostracion del Buen Orden[1904]—. Cantor entendio perfectamente que la paradoja quehabia encontrado tambien se aplica al conjunto [sic] de todaslas cosas. Dedekind habia utilizado este en su escrito «<{Que sony para que sirven los numeros?» para demostrar la existencia de

INTRODUCClON

conjuntos infinitos, y de tal manera que, segun el desarrollode su escrito, la defxnicion de los numeros depende de la exis-tencia no contradictoria de esos conjuntos. Cantor le habia pe-dido ya por carta una toma de posicion al respecto, y, como estano llegaba, probablemente a causa de la severa enfermedad queDedekind padecio en el invierno de 1896/97, ahora me encar-gaba de dar lugar a ella tratando el asunto de palabra.

Sin embargo, Dedekind no habia llegado entonces a unatoma de posicion definitiva, y me confeso queen sus reflexioneshabia llegado casi a dudar si el pensamiento humano es plena-mente racional.

73

Palabras ciertamente llamativas en alguien tan ponderado y co-medido como el matematico de Brunswick... Pero el informe deBernstein no termina aqui; las palabras finales son especialmen-te interesantes en el contexto de la biografia de Cantor:

El episodio siguiente deberia ser de especial interes: respecto alconcepto de conjunto, Dedekind me manifesto que se imaginabatin conjunto como un saco cerrado, que contiene cosas completa-mente determinadas, pero de modo que uno no las ve, y no sabenada de ellas salvo que existen y estan bien determinadas. Alguntiempo despues Cantor dio a conocer su manera de imaginarse unconjunto: elevo bien alta su colosal figura, describio con el brazoextendido un gesto magnifico, y dijo con una mirada dirigida a loindeterminado: «Me imagino un conjunto como un abismo».

7. NOTA SOBRE LA TRADUCCION

Conviene comentar ciertos puntos tocantes a cuestiones termi-nologicas y de estilo en la traduccion que ofrecemos. Son bienconocidas las dificultades de traduccion que ofrece el aleman, yparticularmente cuando es de caracter filosofico. Nuestra ver¬sion ha huido intencionadamente de ser «germanizante», tra¬tando de ofrecer en un Castellano tan armonioso como hemospodido las ideas del autor. Se ha intehtado siempre recoger lasmatizaciones y los enfasis del original, pero no se ha buscadouna literalidad total. A quien desee realizar un analisis detalla-do o filologico de los textos, lo remitimos, como no podia sermenos, al original aleman.

74 JOSE FERREIR.6S

Con lo que acabo de decir esta muy relacionada la actitudque hemos adoptado ante la traduction de algunos terminosimportantes y/o dificiles. Me referire sobre todo al caso de losGrundlagen. En aquellos casos en los que el uso terminologicoresponde a una tradition en la obra del propio Cantor, se ha intentado ser fiel al original. Por el contrario, cuando se trata deun uso ocasional, presente solo en los Fundamentos, y especial-mente si resultaba dificil encontrar una traduction adecuada,nos hemos sentido libres de buscar una solution adecuada anuestro idioma.

Todos los estudiosos de los Grundlagen se tropiezan con elincomodo termino «Anzahl». Cantor le da el sentido tecnico denumero ordinal —curiosamente, por las fechas en que Frege ledaba el sentido opuesto de cardinal—, aunque a menudo lo em-plea en el sentido usual de cantidad, numero. La version al Cas¬

tellano es dificil, sobre todo teniendo en cuenta los derivadosdel termino, y aqui nos hemos decantado por «enumeracion».Algunos autores anglosajones dejan el termino sin traducir,pero nos ha parecido que esto no se justifica por la importanciade su empleo ni por su impacto en la interpretation del texto.

Otro caso incomodo es, curiosamente, el uso del adjetivo«real» en «reale ganze Zahl». No se puede traducir por «nume-ro real entero» porque la palabra «real» tiene un uso perfecta-mente establecido en matematica. Cantor salvaba este escolloporque numero real se dice en aleman «reelle Zahl», distin-guiendose entre «reell» y «real». Ya que no se puede hacer unjuego de palabras similar en Castellano, hemos optado por tra¬ducir «real» como «verdadero»: nuestro autor dice que lostransfinitos son «verdaderos numeros enteros», tan reales como1, 2 o 3.

En dos casos importantes nos hemos permitido simplificar.Para hablar de aplicaciones biunivocas, Cantor emplea una ex-presion compleja, diciendo que dos conjuntos pueden ser coor-dinados uno con otro «univocamente de modo redproco [ge-genseitig eindeutig], elemento a elemento». Nos ha parecidoque no se perdia nada al modernizar su lenguaje ligeramente ytraducir «biunivocamente», ya que el concepto aparece en suobra con toda nitidez. Por otro lado, hemos traducido «Theil»,no por el equivoco «parte», sino por el mas preciso «subcon-

75INTRODUCCI<5N

junto». Seguramente sabe el lector que las distinciones explici-tas respecto a esa nocion, como a proposito de pertenencia e in¬clusion, se deben a Peano y Frege.

En cambio, consideraciones acerca de la importancia y tra-dicion del termino en Cantor aconsejaban ser literal con la pa-labra «Machtigkeit», traducida como «potencia». Quiza hubie-ra sido mas facil para el lector actual haberla traducido por«cardinalidad», ya que estamos hablando del termino para re-ferirse a la cardinalidad de un conjunto; pero en todo caso re-sulta sencillo acostumbrarse al cambio. Sabemos que el terminofue adaptado a partir de escritos de Steiner sobre geometria,pero quiza no fueran ajenas a la decision de Cantor las reminis-cencias teologicas de la palabra: la omnipotencia divina se dice«allmachtigkeit».

Finalmente, hay que decir unas palabras sobre «Menge» y«Mannigfaltigkeit». Durante los anos 1880, Cantor se referfa ala teorfa de conjuntos empleando el termino —inspirado enRiemann— «Mannigfaltigkeitslehre». A la vez, como escribir«Mannigfaltigkeit» se hacia largo y tedioso, hablaba frecuente-mente de «Mengen» de puntos o de numeros, y esta ultima pa¬labra es la que acabo imponiendose en lengua alemana. Lo lite¬ral hubiera sido distinguir entre «variedad» (Mannigfaltigkeit)y «conjunto» (Menge),80 pero nos ha parecido innecesario man-tener esta distincion. Maxime cuando se debe a dificultades debuscar terminologia en la lengua alemana, que ni Cantor ni De¬dekind sentfan al pasar a lenguas romances.81 Solo en algun lu-gar aislado, donde resultaba particularmente adecuado, y porrecordar al lector que el uso linguistico de Cantor y otros seguiaen estado de flujo, hemos mantenido la expresion «teoria de va-riedades».

80. Aunque mejor, si hablamos de literalidad, serfa en este ultimo casoponer «monton».

81. Por esta epoca, ambos proponian usar «ensemble» en frances, tradu-ciendo con este termino los respectivos «Mannigfaltigkeit» y «System».

76 JOSE FERREIR6S

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William TAIT. 2000. «Cantor’s Grundlagen and the Paradoxes of SetTheory», en G. Sher y R. Tieszen, eds. Between Logic and Intui¬tion: Essays in honor of Ch. Parsons, Cambridge University Press,2000, p. 269-290.

Ernst ZERMELO. 1908. «Untersuchungen iiber die Grundlagen derMengenlehre», Mathematische Annalen 65, 261-281. Traduccioninglesa en Van Heijenoort (1967), 199-215.

SOBRE LA ORGANIZACI6NDE LOS TEXTOS

Lectoras y lectores encontraran, en lo quesigue, los textos y cartasde Cantor en un orden que no es estrictamente cronoldgico. Parafacilitar elacceso al material, hemos querido situar en primer lu-gar los Fundamentos para una teorfa general de conjuntos(1883), seguidos del pequeno articulo «Sobre una cuestion ele¬mental...» (1892), que constituye un complemento de gran im-portancia al texto anterior. Tras estos dos trabajos, que puedenconsiderarse como el «platofuerte» de la presente edicion, vienetoda la serie de cartas a Dedekind, Hilbert, Kronecker, etc., co-menzando con material de 1872 y finalizando con la celebre dis-cusion de las paradojas en 1899.

Debo prevenir al lector de que la estructura de anotaciones altexto de los Fundamentos es bastante compleja. El propio Can¬tor produjo un escrito en el que habia notas al pie y anotacionesalfinal (estasfueron aiiadidos de ultima bora); las primeras vanindicadas con asteriscos (*), las otras con numeros. Ahora se ana-den a todo esto las notas del editor, cuyas llamadas son numerosentre corchetes M —a excepcion de algunas aclaraciones pun-tuales, tambien con asterisco y al pie—> y que para facilitar sumanejo hemos impreso tambien alfinal del texto. Cuando hayque hacer referenda a unas y otras, distinguiremos las mnotacio-nes» de Cantor (unicas a las que asocio esa palabra) de las «no-tas» del editor.

Como ustedes verdn, entre las cartas se encuentra tambien latraduccion del articulo «Sobre una propiedad de la coleccion...»(1874), en elcualCantor demostro queelconjunto de los numerosreales tiene una potencia superior al de los naturales. Nos pareciopreferible dejarlo en esta situacion, ya que —segun comproba-rdn— guarda relacion muy directa con las cartas que intercambia-ron Dedekind y Cantor.

JOSE FERREIRAS

En resumen, los lectorespueden optar entre dos maneras dis-tintas de dirigir sus pasos: una posibilidad es la lectura siguiendoel orden en que les proponemos el material, comenzando in me-dias res, por asidecir; la otra es elegir un ordenamiento estricta-mente cronologico. En este ultimo caso, se comenzaria con las car¬tas a Dedekind de 1872/1873, y solo tras haber leido la carta denoviembre de 1882 se pasaria al contenido de los Fundamentos.Ni que decir tiene que las lectoras deben sentirse muy libres deelegir cualquiera de estas opciones, o suspropias vtas alternativas.

Los textos publicados por elpropio Cantor se ban tornado desus Gesammelte Abhandlungen (editadosporZermelo en 1932),cotejados siempre que ha sido posible con las versiones originalesde los articulos (especialmente empleando Cantor, 1984). Encuanto a las cartas, provienen de las siguientes obras: los propiosAbhandlungen; el Cantor-Dedekind Briefwechsel editado porNoether y Canailles (1937), complementado con la obra de Du-gac, R. Dedekind et les fondements des mathematiques (1976);los libros sobre Cantor de Meschkowski (Georg Cantor. Leben,Werk und Wirkung, Mannheim, Bibliographisches Institut,1983) y de Eurkert e Ilgauds (Georg Cantor 1845-1918, Basilea,Boston, Birkhduser, 1987); y finalmente, la copiosa —pero nocompleta— selection de cartas editada por Meschkowski y Nil-son, Georg Cantor: Briefe (1991).

Indicaremos aqut tambien alguna bibliografta bdsica a la quese hace referenda abreviada en las notas. Igual que en la intro¬duction, Abhandlungen denota las obras de Cantor editadas porZermelo (1932) y Briefe se refiere a la edition de cartas selectaseditada por Meschkowski y Nilson (1991). Tambien hay referen¬cesfrecuentes a la obra de Dugac (1976): Dedekind et les fon¬dements des mathematiques, y a mi edition de escritos de Dede¬kind (1998): iQue son y para que sirven los numeros?.

80

GRUJSTDLAGENEINER

ALLGrEMEINEN

MANNICHFALTIGKEITSLEHRE.

EIN

MATHEMATISCH-PHILOSOPHISCHER VERSUCH

IN DER

LEHRE DES UNENDLICHEN.

VON

DR. GEORG CANTOR,ORDENTLICRER PHOFESfiOR A. D. UHIVBRSITAT HALLE-WITTERBEBQ.

LEIPZIG,

COMMISSIONS-VERLAG VON B. G. TEUBNER.

1883.

Portada de los Fundamentos de Cantor en la edicion de Teubner, Leipzig,1883.

FUNDAMENTOSPARA UNA

TEORIA GENERAL DE CONJUNTOS.

UNA

INVESTIGACION MATEMATICO-FILOSOFICA

SOBRE LA

TEORIA DEL INFINITO

PREFACIO

El presente tratado aparecera en breve en los MathematischeAnnalen como el quinto numero de un articulo titulado «Sobrevariedades de puntos lineales e infinitas»; los primeros cuatronumeros se encuentran en los volumenes XV, XVII, XX y XXIde la misma revista. Todos estos trabajos estan conectados condos articulos que he publicado en los volumenes LXXVII yLXXXIV del Journal [fur die reine und angewandte Mathema-tik] de Borchardt, en los cuales se pueden ya encontrar las prin-cipales ideas que me han guiado en la teorfa de conjuntos.mPuesto que el presente ensayo lleva el asunto mucho mas lejos,y puesto que su tesis principal es independiente de los articulosprecedentes, decidi publicarlo separadamente bajo un titulomas adecuado a su contenido.

Ya que entrego estas paginas al publico, debo mendonarque las escribi principalmente para dos tipos de lectores: parafilosofos que han seguido el desarrollo de las matematicas hastalos tiempos mas redentes, y para matematicos que estan fami-

84 GEORG CANTOR

liarizados con los resultados mas importantes, antiguos y mo-demos, de la filosofia.

Se muy bien que el tema que discuto ha dado lugar en to-

dos los tiempos a las mas variadas opiniones y concepciones, yque ni matematicos ni filosofos han logrado un acuerdo sobretodos los puntos. Por eso no creo que, en un tema tan dificil,complicado y omniabarcante como el infinito, haya dicho yo laultima palabra. Pero, puesto que tras muchos anos de investigaren esta materia he llegado a convicciones definidas, y puestoque en el curso de mis estudios estas convicciones no han vaci-lado, sino que se han establecido mas firmemente, pense quetema la obligation de ponerlas en orden y darlas a conocer.

Quiza de esta forma haya encontrado y expresado la verdadobjetiva que he estado esforzandome en descubrir.

Halle, Navidades de 1882EL AUTOR

§ I-

La precedente exposition de mis investigaciones en teoria deconjuntos1 ha llegado a un punto en el que su continuation de-pende de una extension del verdadero concepto de numeromas alia de los limites conocidos, y esta extension va en una di¬rection que hasta donde yo se no habia sido explorada antespor nadie.

La dependencia en que me veo respecto a esta extension delconcepto de numero es tan grande, que sin esta ultima apenas meserfa posible dar sin violencia el menor paso adelante en la teoriade conjuntos; valga esta circunstancia como justification, o si esnecesario como excusa, por la introduction de ideas aparente-mente extranas en mis consideraciones. Pues se trata de una ex¬tension o prosecution de la serie de los verdaderos numeros masalia del infinito; por atrevido que esto pueda parecer, estoy encondiciones de expresar no solo la esperanza, sino la firme con¬viction de que con el tiempo esta extension habra de verse comoalgo totalmente simple, apropiado y natural. A1 hacerlo no meoculto en absoluto que con esta empresa me situo en una ciertaoposicion respecto a intuiciones ampliamente difundidas acercadel infinito matematico, y respecto a puntos de vista sobre laesencia de las magnitudes numerkas defendidos a menudo.

Por lo que hace al infinito matematico, en tanto que este haencontrado una aplicacion justificada en la ciencia y ha sido deutilidad para ella, me parece que hasta ahora ha aparecido prin-cipalmente en el papel de una cantidad variable que o bien cre-ce mas alia de todos los limites o bien se hace tan pequena comose desee, pero siempre continua siendo finita. A este infinito lollamo infinito impropio.

86 GEORG CANTOR

Pero en los ultimos tiempos se ha desarrollado, tanto engeometrfa como particularmente en la teorfa de funciones, otrotipo de conceptos del infinito igualmente justificado. Por ejem-plo, en la investigacion de una funcion analitica de variablecompleja se ha hecho necesario y habitual imaginar, en el pianoque representa la variable compleja, un unico punto situado enel infinito (esto es, un punto infinitamente distante pero defini-do) y examinar el comportamiento de la funcion en el entorno

de ese punto, igual que en el entorno de otro punto cualquiera.l2JResulta asi que en el entorno del punto infinitamente distante lafuncion muestra exactamente los mismos comportamientos queen cualquier otro punto situado en la region finita, de modoque en este caso estamos plenamente justificados para pensaren el infinito como situado en un punto completamente deter-minado.

Cuando el infinito aparece en esta forma definida lo llamoinfinito propio.

El infinito matematico, en ambas formas, ha llevado a losmas grandes progresos en geometrfa, en analisis y en fisica ma-tematica, pero esas dos formas de aparicion deben ser cuidado-samente distinguidas para comprender lo que sigue.

Bajo su primera forma, el infinito impropio, se presentacomo algo finito variable; en la otra forma, lo que yo llamo el in¬finito propio, aparece como un infinito completamente deter-minado. Los verdaderos numeros infinitos, que definire en loque sigue (y a los que me vi llevado hace muchos anos, sin lie-gar a ser claramente consciente de que se trataba de numerosconcretos con significado real)* no tienen absolutamente nadaen comun con la primera de estas dos formas, con el infinito im¬propio. Antes bien, poseen el mismo caracter de determinacionque encontramos en los puntos infinitamente distantes de lateorfa de funciones analiticas; esto es, pertenecen a las formas yafecciones del infinito propio. Pero mientras el punto en el infi¬nito del piano de los numeros complejos se encuentra solo fren-te a todos los puntos situados en la region finita, aquf obtene-

* Hasta ahora los llame «s£mbolos de infinitud definidos y determina-dos», comparese Math. Ann. vol. XVII p. 357, vol. XX p. 113, vol. XXI p. 54.[N. dela. Vease Ahhandlungen, pp. 147, 149, 160, respectivamente.]

FUNDAMENTOS PARA UNA TEORIA GENERAL DE CONJUNTOS 87

mos no ya un solo numero infinite, sino una secuencia infinitade numeros, los cuales estan claramente diferenciados unos deotros, y mantienen relaciones aritmeticas regulares tanto entre

ellos como con los enteros finitos. Estas relaciones no son talesque puedan ser reducidas esencialmente a las relaciones de losnumeros finitos entresi; efectivamente este fenomeno puede apa-recer frecuentemente, pero solo en las diferentes intensidades yformas del infinite impropio, por ejemplo en funciones de unavariable x que se hacen infinitamente grandes o infinitamente pe-quenas, en caso de que en su crecimiento infinite adopten orde-nes finitos determinados.151 Tales relaciones de hecho solo pue-den ser consideradas como relaciones encubiertas de lo finite, oen todo caso como inmediatamente reductibles a lo finite; por elcontrario, las leyes de los numeros enteros propiamente infinites,que definiremos, son diferentes desde la base de las dependen-cias que reinan en lofinite, mas con esto no se excluye que los nu¬meros reales finitos puedan recibir ciertas nuevas determinacio-nes con la ayuda de los numeros determinados infinites.

Los nuevos numeros infinites determinados seran defini-dos con la ayuda de dosprincipios de generation por cuya actioncombinada es posible traspasar cualquier barrera en la forma¬tion conceptual de los verdaderos numeros. Pero afortunada-mente, como ya veremos, se opone a ellos un tercer principio alque yo llamo principio de restriction o de limitation; este imponesucesivamente ciertas restricciones en el proceso absolutamen-te ilimitado de formation, de modo que obtenemos segmentosnaturales en la secuencia absolutamente infinita de enteros,segmentos a los que llamo clases numericas.

La primera clase numerica (I) es el conjunto de los numerosenteros finitos 1, 2, 3, ..., v, ...; le sigue la segunda clase numeri¬ca (II), consistente en ciertos numeros infinites que se siguenunos a otros en una determinada sucesion; tan pronto como lasegunda clase numerica ha sido definida, se llega a la tercera,luego a la cuarta, y asi sucesivamente.141

La introduction de los nuevos numeros enteros me parece,ante todo, de la mayor importancia para el desarrollo y refina-miento del concepto de potencia, que introduje en mis prime-ros articulos {Journalfur die reine und die angewandte Mathe-matik, vol. 77, p. 257, vol 84, p. 242) y que he aplicado con

88 GEORG CANTOR

frecuencia en los numeros precedentes de este ensayo. Confor-me a este concepto, a todo conjunto bien definido le corres-ponde una potencia determinada, de modo que dos conjuntostienen la misma potencia si se pueden coordinar uno con otro,elemento a elemento, biunivocamente.

Para conjuntos finitos, la potencia coincide con la enumera¬tion de los elementos;151 pues, como es sabido, tales conjuntosdan lugar a la misma enumeration de sus elementos bajo cual-quier ordenacion.

Para conjuntos infinitos, por el contrario, no se habia ha-blado en absoluto hasta ahora, ni en mis trabajos ni en otro lu¬gar, de una enumeration definida de sus elementos, aunque seles podia adscribir una potencia determinada, enteramente in-dependiente de su orden.

Fue facil mostrar que la potencia mas pequena de conjuntosinfinitos debe asignarse a aquellos que pueden ser coordinadosbiunivocamente con la primera clase numerica, y consecuente-mente tienen la misma potencia que ella. Pero careciamos hastaahora de una definition igualmente simple y natural de las po-tencias superiores.

Nuestras ya mencionadas clases numericas de verdaderosnumeros infinitos y determinados prueban ahora ser los repre-sentantes naturales, quela secuencia regular de potencias crecientes de conjuntos biendefinidos. Mostrare de la forma mas tiara que la potencia de lasegunda clase numerica (II) no es solo diferente de la potenciade la primera clase numerica, sino que es tambien de hecho la po¬tencia inmediatamente superior; podemos por tanto llamarla lasegunda potencia o la potencia de la segunda clase. Similar-mente, de la tercera clase de numeros resulta la definition de latercera potencia o potencia de la tercera clase, etc., etc.

ofrecen de forma unificada, denos

§2.

Otro gran beneficio atribuible a los nuevos numeros consiste,para mi, en un nuevo concepto que todavia no habia surgido, asaber, el concepto de la enumeration de los elementos de unconjunto infinito bien ordenado. Puesto que este concepto que-

FUNDAMENTOS PARA UNA TEORfA GENERAL DE CONJUNTOS 89

da expresado siempre por un numero completamente determi-nado de nuestro dominio numerico ampliado, con solo que laordenacion de los elementos del conjunto, que pronto definire-mos, este determinada; y puesto que, por otro lado, el concep-to de enumeracion recibe una representation inmediata con-creta [gegenstandlich] en nuestra intuition interna; asi, a travesde esta conexion entre enumeracion y numero, la realidad queyo afirmo para estos ultimos queda probada, incluso en el casode que sean infinitos y determinados.

Entenderemos por conjunto bien ordenado todo conjuntobien definido en el cual los elementos estan enlazados unos conotros por medio de una sucesion determinada, segun la cualexista un primer elemento del conjunto, y a cada uno de los ele¬mentos (supuesto que no sea el ultimo en la sucesion) le sigaotro elemento determinado, e igualmente a todo subconjuntoarbitrario de elementos, finito o infinito, le corresponda un ele¬mento determinado que es el inmediato sucesor a todos ellos enla sucesion (a menos que no haya absolutamente ninguno en lasucesion que los siga a todos ellos).M Diremos ahora que dosconjuntos «bien ordenados» tienen la misma enumeracion (con

respecto a las sucesiones dadas) cuando es posible una coordi¬nation biunivoca tal que, si E y F son dos elementos cuales-quiera de un conjunto, yE1yFl los correspondientes elementosdel otro, entonces la posicion de E y Fen la sucesion del primerconjunto siempre concuerda con la posicion de E1 y F{ en la su¬cesion del segundo conjunto; esto es, que cuando E precede a Fen la sucesion del primer conjunto, entonces E, precede tam-bien a F{ en la sucesion del segundo conjunto. Esta correlation,caso de que sea posible, esta siempre, como uno puede ver fa-cilmente, completamente determinada; y puesto que en la serieampliada de numeros hay siempre un numero a, y solo uno, talque los numeros que le preceden en la sucesion natural (de 1enadelante) tienen la misma enumeracion, sera necesario que laenumeracion de ambos conjuntos «bien ordenados» se pongaigual precisamente a a, cuando a sea un numero infinitamentegrande, e igual al numero oc-1, que precede inmediatamente aa, si a es un entero finito.

La diferencia esencial entre conjuntos finitos e infinitos re-sulta ser ahora que un conjunto finito presenta la misma enu-

90 GEORG CANTOR

meracion de elementos para toda sucesion que uno pueda dar asus elementos; por el contrario, un conjunto que consta de infi-nitos elementos dara lugar en general a distintas enumeracio-nes, dependiendo de la sucesion que uno de a sus elementos. Lapotencia de un conjunto es, como vimos, un atributo suyo inde-pendiente del orden; pero la enumeration del conjunto se mues-tra, tan pronto como tratamos con conjuntos infinitos, como unfactor que en general depende de una sucesion dada de los ele¬mentos. Con todo, incluso para conjuntos infinitos existe unacierta conexion entre la potencia del conjunto y la enumerationde sus elementos determinada por una sucesion dada.

Si tomamos en primer lugar un conjunto que tenga la poten¬cia de la primera clase y damos a sus elementos cualquier suce¬sion determinada, de modo que resulte un conjunto «bien orde-nado», entonces su enumeracion es siempre un determinadonumero de la segunda clase numerica, y nunca puede ser deter¬minada por un numero de ninguna otra clase que la segunda. Porotro lado, todo conjunto de la primera potencia puede ser orde-nado en una sucesion tal que su enumeracion, con respecto a estasucesion, resulte igual a cualquier numero previamente dado dela segunda clase numerica. Podemos expresar estas proposicio-nes como sigue: todo conjunto de la potencia de la primera clasees enumerable mediante numeros de la segunda clase numerica ysolo mediante tales numeros; y ademas al conjunto puede darse-le una sucesion de sus elementos tal que pueda ser enumerado enesta sucesion mediante un numero de la segunda clase numericaarbitrariamente elegido, el cual indicara la enumeracion de loselementos del conjunto con respecto a aquella sucesion.

Para conjuntos de potencias superiores resultan validas leyesanalogas. Asi todo conjunto bien definido de la potencia de la se¬gunda clase es enumerable mediante numeros de la tercera clasenumerica y solo mediante tales numeros, y ademas se puede daral conjunto una sucesion tal de sus elementos que sea enumera¬do en esta sucesion por un numero de la tercera clase numericaarbitrariamente elegido* el cual determina la enumeracion de loselementos del conjunto con respecto a aquella sucesion.

* Lo que en los primeros numeros de este articulo llame «enumerable»no es, de acuerdo con la definicion mas precisa y general que acabo de intro-

FUNDAMENTOS PARA UNA TEORfA GENERAL DE CONJUNTOS 91

§ 3-

El concepto de conjunto bien ordenado resulta ser fundamentalpara la entera teorfa de conjuntos. Siempre resulta posible po-ner cualquier conjunto bien definido en laforma de un conjun¬to bien ordenado; a esta ley del pensamiento, que en mi opiniones fundamental y rica en consecuencias, y especialmente nota¬

ble en razon de su validez general, retornare en un articulo pos-terior.[7) Aqui me limito a mostrar como del concepto de con¬junto bien ordenado resultan de la manera mas simple lasoperaciones fundamentales de los numeros enteros, ya sean es-tos finitos o infinitos determinados, y como las leyes que los go-biernan pueden ser derivadas de la inmediata intuicion internacon certeza apodktica. Sean dados por de pronto dos conjun¬tos bien ordenados My M1 cuyas enumeraciones correspondana los numeros a y |3, entonces M+M1 es tambien un conjuntobien ordenado, el cual surge si ponemos primero el conjunto My a continuacion de el el conjunto Mu y lo unimos con aquel.™A1 conjunto M+Mj le corresponde por tanto, con respecto a lasucesion resultante de sus elementos, un numero determinadocomo enumeracion; llamaremos a este numero la suma de a y (3y lo designaremos por a+(3. Vemos inmediatamente que si a y(3 no son ambos finitos, entonces a+|3 es en general diferente de|3+a. Ya con la adicion, la ley conmutativa deja pues de ser vali-da en general. Resulta tan simple ahora formar el concepto de lasuma de varios sumandos dados en una determinada secuencia,donde la secuencia misma puede ser propiamente infinita, queno necesito aqui entrar en mas detalles. Solo resaltare que la leyasociativa es valida en general, y tenemos en particular quea+(p+Y) = (a+p)+y.

Si se toma una sucesion, determinada por un numero [3, devarios conjuntos todos iguales y similarmente ordenados, y talesque la enumeracion de los elementos de cada uno de ellos seaigual a a, entonces uno obtiene un nuevo conjunto bien orde-

ducir, otra cosa que la enumerabilidad mediante numeros de la primera clase(conjuntos finitos) o mediante numeros de la segunda clase (conjuntos de laprimera potencia). [N. dela.]

92 GEORG CANTOR

nado cuya correspondiente enumeration suministra la defini¬tion del producto (3 a, donde |3 es el multiplicador y a es elmultiplicando;191 tambien aqui resulta que p a es en general di-ferente a a p, de forma que tambien para la multiplication denumeros la propiedad conmutativa es en general invalida. Porel contrario, encontramos que la ley asociativa de la multiplica¬cion se mantiene siempre reinante, asf que se tiene: a (P y)=(a p) y.

Algunos de los nuevos numeros se distinguen de los demasen que tienen la propiedad de ser numeros primos, si bien estapropiedad debe ser caracterizada aqui de una manera algo masprecisa. Entenderemos por numero primo un numero a para elcual la factorizacion a = p y, donde P es el multiplicador, soloes posible cuando p = 1o P = a; sin embargo, incluso para nu¬meros primos ael multiplicando tiene en general un cierto mar-gen de indeterminacion, que dada la naturaleza de las cosas nopuede ser alterado. Sin embargo, se mostrara en una futura pu¬blication que la factorizacion de un numero en sus factores pri¬mos siempre se puede conseguir en una forma esencialmenteunica, e incluso una forma determinada respecto al orden de losfactores (en tanto estos no sean numeros primos finitos queaparecen yuxtapuestos en el producto). Entretanto, surgen dostipos de numeros primos infinitos y determinados, de los cualesel primero esta mas cercano a los numeros primos finitos, mien-tras que los numeros primos del segundo tipo tienen un carac-ter enteramente diferente.

Ademas, con la ayuda de estos nuevos conocimientos, mesera posible ofrecer proximamente una fundamentacion riguro-sa de la proposition sobre los llamados conjuntos infinitos li-neales indicada al final del articulo «Una contribution a la teo-rfa de variedades» (BorchardtsJ[ournalfur die reine undangew.Mathematik\ , vol. 84, p. 257).1101

En la ultima entrega de este trabajo (vol. XXI, p. 54) de-mostre un teorema sobre conjuntos de puntos P contenidos enun dominio continuo que aplicando la nuevaterminologia, recien definida, puede ser expresado como sigue:«Si P es un conjunto de puntos cuyo derivado P,al desapareceidenticamente [= 0,JF], donde a es cualquier numero arbitra-rio de la primera o de la segunda clase numerica, entonces el pri-

FUNDAMENTOS PARA UNA TEORfA GENERAL DE CONJUNTOS 93

mer derivado Pu), y por consiguiente tambien el mismo P, es unconjunto de puntos de la potencia de la primera clase».[UI Meparece muy notable que esta proposicion admite ser invertidacomo sigue: «Si P es un conjunto de puntos cuyo primer deri¬vado Pa) tiene la potencia de la primera clase, entonces existe unnumero a perteneciente a la primera o a la segunda clase nume-rica, para el cual P<a) desaparece identicamente [= 0,JF], y detodos los numeros a para los que esto ocurre hay uno que es elmas pequeno».

La demostracion de esta proposicion se publicara proxima-mente, a consecuencia de una amigable invitacion de mi estima-do amigo, el senor Prof. Mittag-Leffler de Estocolmo, en el pri¬mer volumen de la nueva revista matematica que va a editar.1121En conexion con ello, el senor Mittag-Leffler publicara un ar-ticulo en el que mostrara como, sobre la base de este teorema, sepuede lograr una importante generalizacion de las investigacio-nes realizadas por el y por el senor Prof. Weierstrass sobre la exis-tencia de funciones analfticas univaluadas con singularidadesprescritas.

14-

La serie de numeros extendida puede, si asi lo requieren los fi¬nes perseguidos, ser completada sin mas en un conjunto conti-nuo de numeros anadiendo a cada numero entero a todos losnumeros reales x mayores que cero y menores que uno.

Quiza en este punto pueda plantearse la cuestion de si,

puesto que de esta manera hemos logrado una extension deter-minada del dominio de los numeros reales hacia lo infinitamen-te grande, no se podra definir con identico exito numeros de-terminados infinitamente pequenos, o, lo que viene a ser lomismo, numeros definidos finitos que no coincidan ni con losnumeros racionales ni con los irracionales (que aparecen comovalores limite de secuencias de numeros racionales), sino queestuvieran insertados en supuestos huecos entre los numerosreales, igual que los numeros irracionales se insertan en la cade-na de los numeros racionales o los numeros trascendentes en laestructura de los numeros algebraicos.

94 GEORG CANTOR

La cuestion de la production de tales interpolaciones, en lacual algunos autores han gastado mucho esfuerzo, solo puedeser contestada clara y distintamente, en mi opinion y como semostrara, con la ayuda de nuestros nuevos numeros, y en parti¬cular sobre la base del concepto general de enumeracion deconjuntos bien ordenados. Los intentos previos, segun creo, seapoyan en parte en una confusion del infinito impropio con elinfinito propio, y en parte han sido construidos sobre un fun-damento completamente inseguro e inestable.

El infinito impropio ha sido denominado a menudo por fi-losofos recientes un «mal» infinito, en mi opinion injustamente,puesto que ha probado ser un instrumento muy bueno y extre-madamente util en matematicas y en ciencias naturales. Por loque yo se, las cantidades infinitamente pequenas solo han sidodesarrolladas hasta ahora con utilidad en la forma del infinitoimpropio, y como tales son susceptibles de todas aquellas dife-rencias, modificaciones y relaciones que se encuentran en elanalisis infinitesimal y en la teorfa de funciones, y que se em-plean para establecer la rica profusion de verdades analiticas.Pero todos los intentos de transformar por la fuerza lo infini¬tamente pequeno en un infinito propio deben finalmente serabandonados por inutiles.[13] Si existen en absoluto las cantida¬des infinitamente pequenas en sentido propio, esto es, si sondefinibles, entonces ciertamente no mantienen ninguna rela-cion inmediata con las familiares cantidades que devienen infi¬nitamente pequenas.

En contraste con las mencionadas tentativas respecto a loinfinitamente pequeno, y con la confusion entre las dos formasde aparicion del infinito, existe una opinion frecuentementeadoptada sobre la esencia y el significado de las cantidades nu-mericas, de acuerdo con la cual los unicos numeros concebidoscomo reales son los verdaderos numeros enteros finitos denuestra clase numerica (I).

A lo sumo se concede una cierta realidad a los numeros ra-cionales, que emergen directamente de aquellos. Mas, en lo to-cante a los irracionales, se les deberfa asignar en matematicapura un significado puramente formal, y solo servirian comouna especie de marcas de calculo para fijar propiedades de gru-pos de numeros enteros y para describirlas de una forma simple

FUNDAMENTOS PARA UNA TEORlA GENERAL DE CONJUNTOS 95

y uniforme. Segun esta opinion, el verdadero material del anali-sis estaria formado exclusivamente por los verdaderos numerosfinitos, y todas aquellas verdades que se han encontrado en arit-metica y analisis, o cuyo descubrimiento esta aun pendiente, de-berian concebirse como relaciones de los numeros enteros fini¬tos entre si. El analisis infinitesimal, y con el la teorfa defunciones, mantienen su legitimidad solo en tanto sus proposi-ciones puedan demostrablemente ser interpretadas como leyesque rigen entre los numeros enteros finitos. Esta conception dela matematica pura, si bien no puedo estar de acuerdo con ella,tiene incontestablemente ciertas ventajas que me gustaria desta-car aqui. Mas aun, habla en favor de su signification la circuns-tancia de que una parte de los matematicos mas meritorios de laactualidad se cuentan entre sus defensores.

Si, como aqui se ha asumido, solo los numeros enteros fini¬tos son reales, mientras que los otros no son sino formas de re¬lation, entonces se puede requerir que las demostraciones delas proposiciones analiticas sean revisadas de acuerdo con su«contenido aritmetico», y que se rellenen todos los huecos quepuedan revelarse en ellas de acuerdo con los principios de laaritmetica; en la posibilidad de completarlas de tal modo severa la verdadera piedra de toque para la autenticidad y el com-pleto rigor de las demostraciones. No negaremos que de estamanera podemos perfeccionar la justification de muchos teore-

mas y tambien practicar algunas mejoras metodologicas en va-rias partes del analisis; en la observancia de los principios que sesiguen de esa intuition vemos tambien una salvaguarda contra

todo tipo de absurdos o errores.1141De esta manera se recomienda a todos como pauta un prin-

cipio definido, si bien un tanto prosaico y obvio, que se suponeindica los verdaderos limites al vuelo de las ansias de especula-cion y conceptuacion matematica, y muestra el dominio dentrodel cual no correran el peligro de caer en el abismo de lo «tras-cendente», donde, se dice para mayor miedo y terror sagrado,«todo es posible». Pero, dejando esto aparte, quien sabe si noserfa una simple actitud de conveniencia lo que decidio a loscreadores de esta doctrina a recomendarla a las fuerzas de altosvuelos, tan dadas a caer en el peligro de la arrogancia y la des-mesura, como un eficaz regulador, una protection contra todos

96 GEORG CANTOR

los errores, por mas que no se pueda encontrar en ella un prin-cipio fructifero. Pues la suposicion de que estos matematieospartieran de dichos principios al descubrir nuevas verdades que-da excluida para mi, pues si bien concedo que estas maximas tie-nen muchos aspectos buenos, las tengo estrictamente hablandopor erroneas. No les debemos ningun verdadero avance, y si sehubiera procedido realmente segun ellas, entonces la ciencia sehabrfa refrenado o habria quedado retenida en los mas estrechosconfines. Afortunadamente, en realidad las cosas no son tan gra¬ves, y estas reglas, utiles bajo ciertos supuestos y circunstancias,nunca han sido valoradas ni seguidas de forma enteramente lite¬ral; asombra tambien que hasta ahora, por lo que yo se, no hayahabido nadie que intentara formularlas mas completamente ymejor de lo que yo he intentado hacer aqui.

Si nos volvemos a la historia, encontramos que se han man-tenido mas a menudo opiniones similares, y que ya se encuen-tran en Aristoteles. Como es bien sabido, a lo largo de la EdadMedia la proposition «infinitum actu non datur»,* tomada deAristoteles, fue tenida por incontrovertible por todos los esco-lasticos. Pero si se consideran las razones que Aristoteles2 adu-ce contra la existencia real del infinito (vease p. ej. su Metafisi-ca, Libro XI, cap. 10), se encontrara que pueden retrotraerseprincipalmente a una presuposicion que envuelve una petitioprincipii, a saber, la presuposicion de que solo existen numerosfinitos, lo cual dedujo de que solo conocia enumeraciones [Zah-lungen] de conjuntos finitos. Creo haber probado mas arriba, yaparecera aun mas claramente en lo que sigue, que se puedenefectuar enumeraciones determinadas tanto para conjuntos in¬finites como para los finitos, supuesto que se de a los conjuntosuna determinada ley que los convierta en conjuntos bien or-denados. Que sin tal sucesion regular de sus elementos un con-junto no puede ser enumerado, eso esta en la naturaleza delconcepto de contar [Zahlung]. Tambien los conjuntos finitospueden ser contados solo si tenemos una sucesion determinadade los elementos enumerados; pero aqui encontramos una par¬ticular propiedad de los conjuntos finitos, a saber, que el resul-tado del contar —la enumeration— es independiente de la or-

* «No existe un infinito en acto.». [N. del ed.]

FUNDAMENTOS PARA UNA TEORtA GENERAL DE CONJUNTOS 97

denacion particular; mientras que para conjuntos infinitos,como hemos visto, tal independencia en general no se mantie-ne. Por el contrario, la enumeracion de un conjunto infinito esun entero infinito que esta codeterminado por la ley segun laque se cuenta; es precisamente aqui, y solo aqui, donde se loca-liza la diferencia esencial entre lo finito y lo infinito, fundada enla naturaleza misma y que por tanto nunca sera abolida. Nuncamas sera negada la existencia del infinito a causa de esta dife¬rencia, mientras que se mantiene la existencia de lo finito. Si serenuncia-a uno, entonces se debe suprimir tambien el otro; y

t-adonde nos llevarfa ese camino?Otro argumento usado por Aristoteles contra la realidad

del infinito consiste en la afirmacion de que si el infinito exis-tiera, entonces absorberia lo finito y lo destruirfa, pues el nu-mero finito serfa supuestamente aniquilado por un numero in¬finito. Pero, como veremos claramente en lo que sigue, lacuestion es en verdad asi: a un numero infinito, si es pensadocomo determinado y completo, se le puede muy bien anadir unnumero finito y unirlo a el sin efectuar de ese modo la cancela-cion de este ultimo (antes bien, el numero infinito es modifica-do por tal adicion de un numero finito). Es solo el procedi-miento inverso, la adicion de un numero infinito a uno finito,cuando este ultimo esta situado en primer lugar, el que efectuala cancelacion del ultimo sin que el primero sufra modification.Este verdadero estado de cosas concernientes a lo finito y lo in¬finito, enteramente desconocido para Aristoteles, deberfa darnuevos estimulos no solo al analisis sino tambien a otras cien-cias, particularmente las ciencias naturales.

Es en el transcurso de muchos anos de esfuerzos e investi-gaciones cientificas que me he visto impulsado logicamente,casi contra mi voluntad (pues se opone a tradiciones que habxanllegado a ser muy apreciadas por mi), al punto de vista de con-siderar lo infinitamente grande no solo en la forma de algo quecrece sin limites (y en la forma estrechamente relacionada de lasseries infinitas convergentes, introducidas por primera vez en elsiglo xvn), sino tambien fijarlo matematicamente por medio denumeros en la forma determinada de lo completamente infini¬to; y por ello no creo que se puedan hacer valer en contra razo-nes que yo no estuviera en condiciones de afrontar.

98 GEORG CANTOR

§ 5-

A1 hablar antes de tradiciones, no las entendia solamente en elsentido estrecho de lo vivido, sino que las remontaba a los fun-dadores de la filosofia y las ciencias naturales modernas. Convistas a un juicio acerca de la cuestion que aqui se trata, doy soloalgunas de las referencias mas importantes. Se deberfatener encuenta: (

Locke, Ensayo sobre elentendimiento humano, lib. II, cap. XVIy XVII.Descartes, Cartas y discusiones sobre sus Meditaciones metafisi-cas\ tambien Principia Philosophiae,1, 26.Spinoza, Carta XXIX, Cogitata Metaphysica partes I y II.Leibniz, [Obras] edition de Erdmann, pp. 138, 244, 436, 744.Edition de Pertz, II, 1 p. 209; III, 4 p. 218; III, 5 pp. 307, 322,389; HI, 7 p. 273.*

Incluso hoy, uno no puede encontrar argumentos mas fuertesque estos contra la introduction de numeros infinitos; exami-nense pues independientemente estos argumentos y comparen-se con los mios. Reservare para otra ocasion una detallada ycompleta discusion de estos pasajes, y en particular de la extre-

madamente importante y rica en contenido carta de Spinoza aL. Meyer, pero aqui me limitare a lo que sigue.

Por diferentes que puedan ser las teorias de estos escritores,en su juicio sobre lo finite y lo infinito dichos pasajes estan

esencialmente de acuerdo en que la finitud es parte del concep-to de numero, y que por otro lado el verdadero Infinito o Abso¬lute, que esta en Dios, no admite determination de ningun tipo.En lo tocante al ultimo punto, estoy completamente de acuerdocon el, y no podria ser de otra manera, pues la proposition«omnis determinatio est negatio»)** es para mi enteramente in-cuestionable. Pero, como ya he dicho antes en la discusion de

M

* Tambien es destacable: Hobbes, De corpore cap. VII, 11. Berkeley,Tratado sobre los principios del conocimiento humano, §§ 128-131. [N. dela.\

** «Toda determination es negation.* [N. del ed.]

FUNDAMENTOS PARA UNA TBORlA GENERAL DE CONJUNTOS 99

los argumentos aristotelicos contra el «infinitum actu», veo enel primer punto una petitio principii, y esto explica algunas con-tradicciones que se encuentran en todos estos autores, y espe-cialmente en Spinoza y Leibniz. No puedo encontrar ningunajustification para la asuncion de que junto a lo absoluto —queno es accesible por medio de ninguna determination— y lo fi-nito, no pueda haber modificaciones que, aun no siendo finitas,sean determinables por medio de numeros y por tanto sean loque yo llamo infinito propio. En efecto, en mi opinion estaasuncion es induso contradictoria con ciertas afirmaciones pro-puestas por los dos ultimos filosofos.

Lo que yo afirmo y creo haber probado en este trabajo, asicomo en mis escritos anteriores, es que tras lo finito hay untransfinito (que se podrfa llamar tambien suprafinito), esto es,una jerarquia ilimitada de modos determinados que segun sunaturaleza no son finitos sino infinitos, pero que, igual que lo fi¬nito, pueden ser determinados por numeros bien definidos ydistinguibles entre si. Estoy convencido pues de que el dominiode las cantidades definibles no se agota en las cantidades finitas,y que los limites de nuestro conocer pueden por consiguienteser extendidos, sin que con ello se ejerza ninguna violencia anuestra naturaleza. Por lo tanto, en lugar de la proposition aris-totelico-escolastica discutida en el § 4, propongo esta otra:

Omnia seu finita seu infinita definita sunt et excepto Deoab intellectu determinari possunt.3*

A menudo se aduce la finitud del entendimiento humanocomo la razon por la cual solo pueden ser pensados numeros fi¬nitos; pero de nuevo veo en esta asercion el circulo vicioso an¬tes mencionado. A saber, se entiende tacitamente por «finituddel entendimiento» que su capacidad para la formation de nu¬meros esta limitada a los numeros finitos. Pero si se mostraraque el entendimiento puede tambien en cierto sentido distin-guir y definir los numeros infinitos, esto es, suprafinitos, enton-ces o bien se debe dar un significado ampliado a las palabras«entendimiento finito», del cual no se pueda ya extraer aquellaconclusion; o bien el predicado «infinito» debe concedersele al

* «Todas las cosas, ya finitas ya infinitas, son definidas y, exceptuando aDios, pueden ser determinadas por el intelecto.» [N. del ed.]

100 GEORG CANTOR

entendimiento humano en ciertos respectos, que es en mi opi¬nion el unico procedimiento correcto. Las palabras «entendi-miento finito», que se oyen tan a menudo, en mi opinion no sonde ningun modo correctas; con todo lo limitada que en verdades la naturaleza humana, aun hay mucho de infinito en ella, e in-cluso afirmo que si no fuese ella misma en muchos respectosinfinita, la solida confianza y certeza en el ser'de lo Absoluto,sobre lo cual sabemos que estamos todos de acuerdo, seria in¬explicable. En particular, sostengo que el entendimiento huma¬no tiene una ilimitada capacidad para la formation progresivade clases numericas que guardan una determinada relacion conlos modos infinitos y cuyas potencias son de intensidad creciente.

Las principales dificultades en los sistemas de los dos ulti-mos pensadores mencionados, que en lo externo son diferentes,pero en lo interno estan estrechamente relacionados, puedensegun creo aproximarse a una solution siguiendo el camino queyo he trazado; de hecho, algunas de las dificultades pueden serya satisfactoriamente resueltas y explicadas. Aquellas dificulta¬des son las que han dado lugar al criticismo posterior, que contodas sus ventajas no ha producido, segun creo, un adecuadosustituto al desarrollo frustrado de las doctrinas de Spinoza yLeibniz.1161 Pues junto a, o en lugar de, la explication mecanicade la naturaleza, que en su propia esfera cuenta con todos losmedios y ventajas del analisis matematico, pero cuya unilatera-lidad e insuficiencia han sido tan acertadamente expuestas porKant, no ha habido hasta ahora ni siquiera el initio de una ex¬plication organica de la naturaleza que intentara ir mas alia y es-tuviera equipada con el mismo rigor matematico. Segun creo,solo se le podra abrir camino retomando y continuando los tra-bajos y esfuerzos de aquellos pensadores.

Un punto especialmente dificil en el sistema de Spinoza esla relacion de los modos finitos con los modos infinitos; perma-nece inexplicado como y bajo que circunstantias puede man-tener su independence lo finito con respecto a lo infinito, o loinfinito con respecto a un infinito todavia mas potente. El ejem-plo ya mencionado en el § 4 parece indicar en su sencillo sim-bolismo la manera en la cual tal vez podamos aproximamos a lasolution de esta cuestion. Si to es el primer numero de la segun-da clase numerica, entonces 1 + to = to, pero to + 1 = (to+1),

FUNDAMENTOS PARA UNA TEORlA GENERAL DE CONJUNTOS 101

donde (to+1) es un numero enteramente distinto de to. Por lotanto, como se ve aqui claramente, todo depende de la positionde lo finito respecto a lo infinito; si el primero va por delante,entonces se integra en lo infinito y desaparece en el; pero si seresigna a tomar su lugar tras lo infinito, es preservado y se unecon el formando un infinito nuevo, ya que modificado.

§ 6.

Si hubiera de ofrecer dificultades la conception de numeros en-teros infinitamente grandes, completos, comparables entre si ycon los numeros finitos, y ligados entre si y a los numeros finitospor medio de leyes fijas, entonces estas dificultades se relacio-naran con la observation de que, aunque los nuevos numerostienen en muchos aspectos el mismo caracter que los anteriores,en muchos otros aspectos tienen empero una naturaleza abso-lutamente singular; de hecho, ocurre a menudo que en uno y elmismo numero infinito se hallan unidas diferentes caracteristi-cas, aunque nunca se encuentran juntas en los numeros finitos.En uno de los pasajes citados en la section precedente se argu-ye asi que un numero entero infinito, si existiese, tendria queser tanto un numero par como impar, y puesto que estas dos ca-racterfsticas no pueden darse juntas, se sigue tales numeros noexisten.

Se asume aqui obviamente el supuesto tacito de que las ca-racteristicas que son mutuamente excluyentes para los numerostradicionales deberian mantener tambien esta relation para losnuevos numeros, de donde se sigue la imposibilidad de los nu¬meros infinitos. <JNO salta a la vista el paralogismo? estaunida toda generalization o extension de un concepto al aban-dono de particularidades, e incluso es impensable sin el? ,-Nose ha tenido recientemente la idea de introducir los numeroscomplejos,1171 un pensamiento de la mayor importancia para eldesarrollo del analisis y que ha Uevado a los mas grandes pro-gresos, sin ver ningun obstaculo en el hecho de que no puedenser considerados positivos ni negativos? Y es solo un paso simi¬lar el que aqui aventuro; incluso sera tal vez mucho mas facilpara la conciencia general seguirme a mi de lo que lo fue posi-

102 GEORG CANTOR

ble al pasar de los numeros reales a los complejos; puesto quelos nuevos numeros enteros, aunque se distinguen de los tradi-cionales por rina determination sustancial y mas intensa, encuanto enumefaciones tienen en comun con ellos una realidaddel mismo tipo; mientras que la introduction de cantidades com-plejas se enfrento a dificultades durante mucho tiempo hastaque, tras muchos trabajos, se hubo encontrado su representa¬tion geometrica por medio de puntos o segmentos en un piano.

Para volver brevemente a aquella consideration sobre lopar y lo impar, consideremos de nuevo el numero to para mos-trar como esas caracteristicas, que en los numeros finitos son in¬compatibles, se encuentran aqui juntas sin contradiction algu-na. En el § 3 se dieron las definiciones generates de la adicion y

la multiplication, y he resaltado que en estas operaciones la leyconmutativa no tiene en general ninguna validez; en esto veo youna diferencia esential entre los numeros infinitos y los finitos.Tengase en cuenta tambien que en un producto p-a entiendopor multiplicador P, y por multiplicand© a. Inmediatamentesurgen para (0 las dos siguientes expresiones: CO = CO-2 y CO =l+co-2. De acuerdo con ellas, co puede ser considerado tanto unnumero par como un impar. Pero desde otro punto de vista, asaber, cuando 2 se toma como multiplicador, se podrfa decirtambien que co no es cm numero par ni impar; puesto que, comose puede probar facilmente, co no se puede representar ni en laforma 2oc ni en la forma 2-a+l. Por consiguiente, el numero cotiene en efecto, en comparacion con los numeros tradicionales,una naturaleza completamente peculiar, ya que todas esas ca¬racteristicas y propiedades se encuentran unidas en el. Y aunmas peculiares son los restantes numeros de la segunda clasenumerica, como mostrare mas adelante.

§ 7-

En el §5 cite muchos pasajes de las obras de Leibniz donde ha-bla contra los numeros infinitos. Mientras que aqui afirma entre

otras cosas: «No hay ningun numero infinito, ni linea u otra

cantidad infinita, si se les toma por verdaderos Todos». «E1ver-dadero infinito no es una modification, es lo absoluto; por el

FUNDAMENTOS PARA UNA TEORfA GENERAL DE CONJUNTOS 103

contrario, en cuanto se modifica se esta limitando o formandoun £inito» (donde, en el segundo pasaje, concuerdo con la pri-mera de las afirmaciones, pero no con la segunda), estoy sin em¬bargo en la afortunada situation de poder presentar citas delmismo pensador en las cuales, contradiciendose en cierto modoa si mismo, se declara inequivocamente a favor del infinito pro-pio (diferente de lo Absoluto). Asi, en la p. 118 de la editionErdmann dice:

«Estoy en tal medida a favor del infinito actual, que en lugar de admitir que la naturaleza lo aborrece, como se dice vul-garmente, sostengo que la afecta por todas partes para mejormostrar las perfecciones de su Autor. Asi, creo, no hay ningunaparte de la materia que no sea, no digo ya divisible, sino actual-mente dividida; y en consecuencia, la menor particula debeconsiderarse como un mundo lleno de una infinidad de criatu-ras diferentes.»*ll8]

Pero el mas firme defensor del infinito propio, como se nospresenta por ejemplo en los conjuntos de puntos bien definidoso en la construction de cuerpos a partir de atomos puntuales,(no aludo pues aqui a los atomos quimico-fisicos, democriteos,porque no los puedo tener por existentes ni conceptualmenteni en la realidad, aunque con esta fiction se hayan alcanzadohasta cierto limite muchas cosas utiles), se encuentra en un fi-losofo y matematico de nuestro siglo sumamente perspicaz, enBernhard Bolzano, que ha desarrollado particularmente suspuntos de vista al respecto en el hermoso y sustancioso tratadoParadojas del infinito (Leipzig 1851), cuyo objetivo es demos-trar que las contradicciones que los escepticos y perpateticos detodos los tiempos han buscado en el infinito no se dan en abso¬luto, tan pronto como nos tomamos el trabajo (ciertamente nomuy ligero) de aceptar los conceptos de infinito con toda serie-dad y segun su autentico contenido. En ese tratado se encuen¬tra una discusion correcta en muchos aspectos sobre el infinitoimpropio matematico, tal y como aparece en la forma de dife-renciales de primer orden o de orden superior, o en la sumacionde series infinitas, u otros procesos de paso al limite. Este infi¬nito (llamado por algunos escolasticos infinito sincategoremati-

* Las tres citas de Leibniz aparecen en frances en el original. [N. del ed.]

104 GEORG CANTOR

co) es un mero concepto auxiliar,1” un concepto de relation denuestro pensamiento, en cuya definicion esta comprendida lavariabilidad, y del que por tanto el «datur» nunca puede serafirmado en sentido propio.

Es muy notable que, respecto a esta clase de infinito, no rei-na ninguna diferencia esencial de opinion aun entre los filoso-£os del presente, si puedo prescindir del hecho de que ciertasescuelas modernas de asi llamados positivistas o realistas4 o ma-terialistas creen ver en este infinito sincategorematico, del queellos mismos tienen que admitir que no tiene verdadero ser, elmas elevado de los conceptos.

Sin embargo, ya en Leibniz encontramos indicada en mu-chos lugares la situation esencialmente correcta; por ejemplo, elsiguiente pasaje de la edition de Erdmann (p. 436) alude al in¬finito impropio:

«Filosoficamente hablando, yo no establezco magnitudesinfinitamente pequenas en mayor grado que [magnitudes] infi-nitamente grandes, ni en mayor grado infinitesimos que infini-tuplos. En efecto, a ambas las tengo, por hablar de una maneraconcisa, por fictiones de la mente, aptas para el calculo, comolo son las raices imaginarias en algebra. He mostrado, por lo de-mas, que estas expresiones tienen una gran utilidad para la eco-nomia de pensamiento, y aun mas para el descubrimiento; y nopueden conducir a error, pues basta con sustituir lo infinita¬mente pequeno por [una cantidad] tan pequena como se quie-ra para que el error sea menor que [una cantidad] dada, dedonde se sigue que no puede darse error.»*

Bolzano es quiza el unico para el que los numeros propia-mente infinitos adquieren una cierta legitimidad, o al menostrata mucho de ellos; mas precisamente no estoy de acuerdo enabsoluto con la forma en que el los maneja, sin poder estableceruna correcta definicion de ellos, y considero por ejemplo los §§29-33 de su libro como infundados y erroneos.C0J Le faltan alautor, para una verdadera captation conceptual de los numerospropiamente infinitos, tanto el concepto general de potenciacomo el concepto preciso de enumeracion. Es verdad que en suescrito ambos aparecen en germen en pasajes aislados, bajo la

* En latin en el original. [IV. del ed.]

FUNDAMENTOS PARA UNA TEORfA GENERAL DE CONJUNTOS 105

forma de casos especiales, pero sin embargo no los desarrolla,segun me parece, con completa claridad y precision, lo que ex¬plica muchas inconsistencias e incluso algunos errores de estavaliosa obra.

Estoy convencido de que sin los dos conceptos citados nose puede avanzar en la teorfa de conjuntos, y lo mismo es vali-do, segun creo, para los campos que caen bajo la teorfa de con¬juntos o tienen con ella el mas intimo contacto, como por ejem-plo la moderna teorfa de funciones, por una parte, y la logica yla teorfa del conocimiento por otra. Cuando considero el infini-to tal como se hace aquf y en mis anteriores investigaciones, en-cuentro un verdadero placer, al que me entrego lleno de agra-decimiento, viendo como el concepto de numero entero, que enlofinito tiene solo el trasfondo de la enumeration, al ascender a loinfinito se desdobla en cierto modo en dos conceptos, el de po-tentia, que es independiente de la ordenacion que se de al con-junto, y el de enumeration, que esta necesariamente ligado auna ordenacion reglada del conjunto, en virtud de la cual seconvierte en un conjunto bien ordenado. Y cuando desciendo denuevo de lo infinito a lo finito, veo con igual claridad y bellezacomo ambos conceptos de nuevo se hacen uno y confluyen en elconcepto de numero entero finito.

§8.

Podemos hablar de la realidad o existencia de los numeros en-teros, tanto finitos como infinitos, en dos sentidos; aunque enrigor son las dos mismas relaciones en que puede ser consideradaen general la realidad de cualquier concepto o idea. En primerlugar, podemos considerar los numeros enteros como existen-tes en tanto que, al ocupar un lugar completamente determina-do en nuestro entendimiento, en virtud de las definiciones, que-dan perfectamente diferenciados de todos los demas elementosde nuestro pensamiento, guardan con ellos relaciones deter-minadas y pueden por consiguiente modificar la sustancia denuestra mente de una forma determinada; permitaseme llamara esta clase de realidad de nuestros numeros su realidad intra-subjetiva o inmanente? Pero ademas, se puede atribuir tambien

106 GEORG CANTOR

realidad a los numeros en tanto que deben ser tenidos por ex-presion o representation de eventos y relaciones del mundoexterior que se contrapone al intelecto, en tanto que ademas lasdiferentes clases numericas (I), (II), (III), etc. son representan-

tes de potencias, que ocurren actualmente en la naturaleza cor-porea o mental. A esta segunda clase de realidad la llamo reali¬dad transubjetiva o tambien transiente de los numeros enteros.

Dado el fundamento absolutamente realista, pero a la vezno menos idealista, de mis consideraciones, no me cabe dudaalguna de que estas dos clases de realidad siempre se dan jun¬tas,1211 en el sentido de que un concepto calificado como exis-tente respecto a la primera posee tambien en ciertos respectos,e incluso en infinitos respectos, una realidad transiente,6 cuyodescubrimiento esta con frecuencia entre las tareas mas labo-riosas y dificiles de la metafisica, y debe a menudo dejarse paraun tiempo posterior, cuando el desarrollo natural de una de lasdemas ciencias desvele el significado transiente del concepto encuestion.

Esta conexion entre ambas realidades tiene su verdaderofundamento en la unidad del todo, al cual nosotros mismos per-tenecemos. El hacer referencia a esta conexion, es con la inten¬tion de derivar de ella una consecuencia que en mi opinion esde gran importancia para la matematica; a saber, que para el de¬sarrollo de su material de ideas esta ultima tiene que considerarunica y exclusivamente la realidad inmanente de sus conceptos,

y no tiene por tanto ninguna obligation de comprobar su reali¬dad transiente™ Debido a esta position destacada, que la dis¬tingue de todas las demas ciencias y proporciona una explica¬tion del caracter relativamente facil y desenvuelto que elocuparse de ella tiene, merece especialmente el nombre de ma¬

tematica libre, una denomination a la que, si fuese mia la elec¬tion, darfa preferencia sobre la de matematica «pura», que hallegado a ser usual.

La matematica es enteramente libre en su desarrollo, y soloesta limitada por la consideration autoevidente de que sus con¬ceptos sean consistentes en si mismos, asi como que esten en re¬laciones fijas, determinadas por definiciones, con los conceptosconstruidos antes, ya presentes y acreditados.7 En particular,para la introduction de nuevos numeros solo esta obligada a

FUNDAMENTOS PARA UNA TEORlA GENERAL DE CONJUNTOS 107

dar definiciones de ellos mediante las cuales se les conferira taldeterminacion y, bajo ciertas circunstancias, tales relacionescon los antiguos numeros, que puedan ser distinguidos unos deotros con precision en cada caso. En cuanto un numero satisfa-ce todas estas condiciones, puede y debe ser considerado enmatematicas como existente y real. En esto veo yo la razon, in-dicada en el § 4, por la cual los numeros racionales, los irracio-nales y los complejos deben ser considerados como absoluta-mente existentes, tanto como los numeros enteros positivosfinitos.

No es necesario, creo yo, temer que estos principios repre-senten peligro alguno para la ciencia, como les ocurre a mu-chos; por una parte, las condiciones senaladas, unicas bajo lascuales puede practicarse la libertad de formar numeros, son ta¬les que dejan un margen extremadamente pequeno a la arbitra-riedad. Ademas, todo concepto matematico lleva en si mismo elcorrectivo necesario; si resulta esteril o inconveniente, se com-probara muy pronto debido a su inutilidad y sera entoncesabandonado, por falta de exito. Mas, por el contrario, me pare-ce que toda limitacion superflua del impulso de investigationmatematica lleva consigo un peligro mucho mayor, tanto mayorporque no es posible extraer de la esencia de la ciencia ningunajustification real para ello; puesto que la esencia de la matema¬tica radica precisamente en su libertad.

Aun si no hubiese llegado a captar esta condition caracte-ristica de la matematica partiendo de las razones mencionadas,todo el desarrollo de la ciencia misma, tal como lo observamosen nuestro siglo, me hubiera llevado exactamente a las mismasopiniones.

Si Gauss, Cauchy, Abel, Jacobi, Dirichlet, Weierstrass,Hermite y Riemann hubiesen estado obligados a someter conti-nuamente sus nuevas ideas a un control metafisico, ciertamenteno disfrutariamos de la grandiosa estructura de la moderna teo-rfa de funciones; la cual, a pesar de haber sido proyectada y lo-grada en completa libertad y sin ulteriores propositos, sin em¬bargo manifiesta ya su significado transiente en su aplicacion ala mecanica, la astronomia y la fisica matematica, tal y como erade esperar. No habrfamos visto el gran auge de la teoria deecuaciones diferenciales originado por Fuchs, Poincare y mu-

108 GEORG CANTOR

chos otros, si estas excelentes energias hubiesen sido refrenadasy encorsetadas por influencias extranas. Y si Kummer no se hu-biera tornado la fructifera libertad de introducir los llamadosnumeros «ideales» en la teorfa de numeros, no estarxamos hoyen situation de admirar los trabajos algebraicos y aritmeticos deKronecker y Dedekind, tan importantes y excelsos.

La matematica esta pues legitimada para moverse comple-tamente libre de trabas metafisicas, mas por otra parte no pue-do conceder el mismo derecho a la matematica «aplicada»,como por ejemplo la mecanica analftica y la fisica matematica.En mi opinion, estas disciplinas son metafisicas tanto en susfundamentos como en sus objetivos; si tratan de librarse de ello,como ha propuesto recientemente un renombrado fisico, dege-neraran en una «descripcion de la naturaleza»,[2i,] que ha de ca-recer tanto del fresco aliento del pensamiento matematico librecomo del poder de explication y profundization en los funda¬mentos [Ergriindung] de los fenomenos naturales.

[23]

§ 9-

Dada la gran importancia que adquieren en la teoria de conjun-tos los llamados numeros reales, racionales e irracionales, noquiero dejar de decir aqui lo mas importante sobre sus defini-ciones. No tratare mas de cerca la introduction de los numerosracionales, ya que se han elaborado multiples presentacionesaritmeticas rigurosas de esta cuestion; entre las que me resultanmas proximas destacaria las de H. Grassmann (Lehrbuch derArithmetik, Berlin 1861) yj. H. T. Muller (Lehrbuch der allge-meinen Arithmetik, Halle 1855). En cambio, quiero discutircon brevedad pero en cierto detalle las tres principales formasde presentation aritmetica rigurosa de los numeros reales en ge¬neral que me son conocidas, que probablemente son tambienen lo esencial las tres unicas. Se trata primero del modo de in¬troduccion del que se ha valido durante muchos anos el senorProf. Weierstrass en sus lecciones sobre funciones analiticas ydel cual se pueden encontrar algunas indicaciones en el «pro-grama» del senor E. Kossak (Die Elemente derArithmetik, Ber¬lin 1872).[25] En segundo lugar, el senor R. Dedekind ha publi-

FUNDAMENTOS PARA UNA TEORfA GENERAL DE CONJUNTOS 109

cado una forma singular de definicion en su escrito: Continui-dad y numeros irracionales (Braunschweig 1872), y en tercer lu-gar, yo indique en el ano 1871{Math. Annalen, tomo V, p. 123)

una forma de definicion que guarda superfitialmente cierto pa-recido con la de Weierstrass, de forma que el senor H. Weberpudo confundirla con ella {Zeitschrift fur Mathematik undPhysik, ano 27, Section historico-literaria, p. 163). Pero en miopinion esta tercera forma de definicion, desarrollada tambienmas tarde por el senor Lipschitz (Grundlagen der Analysis,Bonn 1877), es la mas simple y natural de todas, y encontramosen ella la ventaja de que se adapta de forma mas inmediata alcalculo analitico.

La definicion de un numero real irrational presupone siem-pre un conjunto bien definido de numeros rationales, infinito yde la primera potencia; en esto consiste lo comun a todas estasformas de definition, radicando su diferentia en el momentoproductivo a traves del cual el conjunto se vincula con el nume¬ro definido gracias a el, y en las condiciones que el conjunto tie-ne que satisfacer para ser apropiado como fundamento de ladefinicion en cuestion.

En la primera forma de definicion se toma como base unconjunto de numeros rationales positivos av que se designacomo (av) y que cumple la condition de que, si se suma cual-quier cantidad finita de numeros av, elegidos a voluntad, esta

suma siempre permanece por debajo de un limite especificable.Si tenemos ahora dos de tales agregados (av) y (a\), se demues-tra rigurosamente que se pueden presentar tres casos; o biencada fraction 1In de la unidad esta comprendida en ambosagregados con identica frecuencia, al sumar sus elementos enuna cantidad finita suficiente, que puede aumentar; o bien, apartir de un cierto n, 1In esta siempre contenido mas veces enel primer agregado que en el segundo; o, en tercer lugar, a par¬tir de un cierto n, 1In esta comprendido mas veces en el segun¬do que en el primero. Correspondiendo a estas situaciones, si hy b' son los numeros definidos por los dos agregados {av) y (a\),estipularemos en el primer caso que b = b’; en el segundo, queb > b' y en el tercero, que b < b\ Si se unen ambos agregadospara formar uno nuevo (av, a\), este aporta el fundamento parala definicion de b I b’\ pero si de los agregados (<2V) y (a’v) se for-

110 GEORG CANTOR

ma el nuevo agregado (av -aÿ), en el que los elementos son losproductos de cada av por cada a\, este nuevo agregado se to-

mara como fundamento para la definition del producto bb\Se observa que en este caso el momento productivo que

vincula el conjunto con el numero definido por el se halla en laformation de sumas; pero debe destacarse como esencial quesolo se emplea la suma de una cantidad siempre finita de ele¬mentos rationales, y que el numero a definir b no se identificade antemano con la suma D«v de la serie infinita (av); esto hu-biera constituido un error logico, porque, antes bien, la defini¬tion de la suma JLav solo se obtiene por equiparacion con el nu¬mero dado b, que necesariamente debe haberse definido conanterioridad. Creo que este error logico, evitado por vez prime-ra por el senor Weierstrass, fue cometido en el pasado de formapracticamente general; y la razon de que no se haya percibido esque es de los raros casos en que un verdadero error no puedecausar ningun perjuicio significativo en el calculo. Pese a todo,es mi conviction que todas las dificultades que se han encon-trado en el concepto de los irracionales estan relacionadas conel mencionado error, mientras que, evitando este error, el nu¬mero irrational se establece en nuestro espiritu con la mismaprecision, distincion y claridad que el numero racional.

La forma de definition del senor Dedekind toma por base latotalidad de los numeros rationales, pero divididos en dos gru-pos de tal manera que, si los numeros del primer grupo se deno¬tan por Av y los del segundo grupo por Bv, siempre es Av < Bÿ; auna tal division del conjunto de los numeros rationales la llamael senor Dedekind una cortadura del mismo, la designa por (AvI BJJ) y le hace corresponder un numero b. Si se comparan ahoraentre si dos de tales cortaduras, (Av I Bj y (A\ I B’u), se encuen-tran tres posibilidades en total, al igual que en la primera formade definition, correspondiendo a las cuales los dos numeros b yb’ representados por ambas cortaduras se consideran iguales en¬tre si, o bien b > b' o b < b\ El primer caso tiene lugar, prescin-diendo de ciertas excepciones facilmente regulables que suce-den en caso de que los numeros a definir sean racionales, solocuando se da una completa identidad de ambas cortaduras, y enesto se advierte la decidida e innegable ventaja de esta forma dedefinition sobre las otras dos: que a cada numero b le corres-

FUNDAMENTOS PARA UNA TEORl'A GENERAL DE CONJUNTOS 111

ponde solo una unica cortadura; pero a esta circunstancia se

contrapone el gran inconveniente de que en el analisis los nume-ros nunca se presentan bajo la forma de «cortaduras», en la quesolo pueden ponerse con gran artificio y prolijidad.[261

A continuacion vienen, tambien en este caso, las definicio-nes de la suma b + ti y del producto bb\ sobre la base de nue-vas cortaduras resultantes de las dos dadas.

El inconveniente que llevan consigo la primera y la tercera

formas de definicion —a saber, que se presentan con infinitafrecuencia los mismos numeros, es decir, numeros identicos, yque por tanto no se obtiene de forma inmediata una vision ine-quivoca de la totalidad de los numeros reales— puede ser supe-rado con la mayor facilidad por especializacion de los conjuntos(av) que se toman por base, recurriendo a tma de las conocidasconstrucciones sistematicas univocas, como el sistema decimalo el simple desarrollo en fracciones continuas.[27]

Llego ahora a la tercera forma de definicion de los numerosreales. Tambien aqui se toma como base un conjunto infinito denumeros racionales (<zv) de la primera potencia, al que sin em¬bargo se le exige una propiedad adicional, como en la forma dedefinicion de Weierstrass. Yo pongo como requisite que, admi-tido un numero racional arbitrariamente pequeno e, pueda se-pararse una cantidad finita de miembros del conjunto, de talmodo que los restantes tornados de dos en dos presenten unadiferencia que en valor absolute es menor que £. A todo con¬junto semejante (aw), que puede ser tambien caracterizado porla exigencia de que

\im{av+iraÿ) = 0 (para un p arbitrario),

lo llamo una sucesion fundamental, y le asigno un numero b de-finido por ella, para el cual incluso se puede usar de forma con-

veniente el propio simbolo (av), como ha propuesto el senorHeine, quien se ha adherido a mi en esta cuestion despues demuchas aclaraciones verbales (comparese Jlournalfur die reineund angewandte Mathematik] de Borchardt, vol. 74, p. 172).

Una tal sucesion fundamental presenta tres casos, como puedeser rigurosamente deducido de su concepto; o bien sus elemen-tos av son, para un valor suficientemente grande de v, menores

112 GEORG CANTOR

en valor absoluto que cualquier numero dado arbitrariamente; obien a partir de un cierto v son mayores que un numero racionalpositivo p que puede determinarse con precision; o a partir deun cierto V son menores que una cantidad negativa racional -pque puede determinarse con precision. En el primer caso digo queb es igual a cero, en el segundo, que b es mayor que cero o posi¬tivo; en el tercero, que b es menor que cero o negativo.

Vienen ahora las operaciones elementales. Si (av) y (a’v) sondos sucesionesfundamentales que determinan los numeros b yb\ se demuestra que tambien (av +a\) y (av •a\) son sucesionesfundamentales, que determinan por tanto tres nuevos numerosque me sirven como definicion de la suma y la diferencia b±b’y del producto b-b\

Si ademas b es diferente de cero, lo cual ha sido definido

anteriormente, se demuestra que tambien es una sucesion

fundamental, cuyo numero correspondiente proporciona la de¬finicion del cociente.

Las operaciones elementales entre un numero b dado me-diante una sucesion fundamental {av) y un numero racional adado directamente estan comprendidas en lo que se acaba deestipular, haciendo a\-a y b' = a.

Solo ahora vienen las definiciones del ser igual que, mayorque y menor que para dos numeros byb’ (de los cuales b' pue¬de ser tambien -a); a saber, se dice que b = b’ o b> b’ o bien b< b' segun que b-b' sea igual a cero, o mayor o menor que cero.

Despues de todos estos prolegomenos, se obtiene como pri-mera proposicion rigurosamente demostrable que, si b es el nu¬mero determinado por la sucesion fundamental (av), entonces,con v creciente, b-av se hace menor en valor absoluto que cual¬quier numero racional concebible, o lo que es lo mismo, que:

lim av = b.

Prestese mucha atencion a este punto cardinal, cuya importan-cia puede ser facilmente pasada por alto: en la tercera forma dedefinicion el numero b no se define como el limite de los termi-nos av de una sucesion fundamental («v); ya que esto serfa un

FUNDAMENTOS PARA UNA TEORlA GENERAL DE CONJUNTOS 113

error logico semejante al destacado en la discusion de la prime-ra forma de definition, es decir, porque estarfamos presupo-niendo la existencia del limite Km av\ el procedimiento es masbien el contrario, de modo que el concepto de b ha sido esta-blecido sobre los numeros racionales mediante nuestras defini-ciones precedentes con tales propiedades y relaciones, que deellas puede extraerse con evidencia logica la conclusion de quelim av existe y es igual a b. Ruego que se me disculpe la proliji-dad en este punto, motivada por la observacion de que la ma-yorfa de las personas pasa por alto esta insignificante menuden-cia y por ello se enredan facilmente en dudas y contradiccionesrespecto a los irracionales, de las que se hubieran visto comple-tamente libres observando las circimstancias que hemos desta¬cado aquf. Entonces comprenderian con claridad que el nume-ro irracional, en virtud de las caracteristicas que le confieren lasdefiniciones, tiene una realidad tan definida en nuestra mentecomo los numeros racionales, e incluso los racionales enteros, yque no necesitamos obtenerlos por un proceso de paso al limite;sino que mas bien, al contrario, por su posesion nos convence-mos de la posibilidad y la evidencia de los procesos de paso allimite en general;8 pues la proposition que acabamos de citar seextiende ahora con facilidad a lo siguiente: Si (bv) es un conjun-to de numeros racionales o irracionales cualesquiera con la ca-racteristica de que hm (bv+ll — bv) — 0 (cualquiera que sea p), en¬tonces existe un numero b determinado por una sucesionfundamental (av), tal que:

lhn (bv) = b

Se muestra por tanto que los mismos numeros b, definidossobre la base de sucesiones fundamentales (av) —a las que 11a-mo sucesiones fundamentales de primer orden— de tal modoque resultan ser los limites de los aV! se pueden representar tam-bien de multiples maneras como limites de sucesiones (bv), don-de cada bv viene definido por medio de una sucesion funda¬mental de primer orden (a[f) (con v fijo).

A un conjunto (bv) tal, si tiene la propiedad de que lim (bv+fl- b) = 0 (para un p cualquiera), lo llamo en consecuencia unasucesion fundamental de segundo orden.

114 GEORG CANTOR

Del mismo modo se forman sucesiones fundamentales detercer, cuarto,... n-esimo orden, pero tambien sucesiones funda¬mentales de a-esimo orden, donde a es un numero cualquierade la segunda clase de numeros.

Todas estas sucesiones fundamentales tienen exactamente elmismo alcance, para la determinacion de un numero real b, quelas sucesiones fundamentales de primer orden, y la diferencia ra-dica solo en la forma mas amplia y complicada en que vienen da-das. Me parece sin embargo que, tan pronto como nos situemosen el punto de vista de la tercera forma de definition, resulta su-mamente conveniente fijar esa diferencia de la manera indicada,como hice ya de manera similar en el lugar citado {Math. Ann.,tomo V, p. 123). Por ello me sirvo ahora de la siguiente forma deexpresion: la cantidad numerica b viene dada por una sucesionfundamental de orden n-esimo o a-esimo, respectivamente. Sise decide aceptar esto, se obtiene con ello un lenguaje extraordi-nariamente flexible y comprensible para describir de la maneramas simple y expresiva la riqueza del multiforme tejido del ana-lisis, tan complicado a menudo, con lo que se consigue en miopinion una ganancia en claridad y transparencia nada despre-ciable. Con esto me opongo a las reservas expresadas por el se-nor Dedekind respecto a estas distinciones en el prefacio de suescrito Continuidad y numeros irracionales-, no estaba en mi ani-mo, ni mucho menos, introducir mediante las sucesiones funda¬mentales de segundo, tercer orden, etc., nuevos numeros que nofueran ya determinables por medio de sucesiones fundamentalesde primer orden, sino solamente tenia en mente la forma con-ceptualmente distinta de determinacion; lo cual se sigue clara-mente de diversos pasajes aislados de mi propio trabajo.

Quisiera llamar aqui la atencion sobre una notable circuns-tancia, a saber, que en estos ordenes de sucesiones fundamen¬tales, distinguidos por mi mediante numeros de la primera y dela segunda clases numericas, se agotan por completo todas lasformas con el caracter usual de sucesiones que cabe pensar enel analisis, descubiertas ya o aun por descubrir, en el sentido deque no existen en absoluto sucesiones fundamentales cuyo nu¬mero de orden se pueda designar con un numero de digamos latercera clase numerica, como demostrare rigurosamente en otraocasion.t28]

FUNDAMENTOS PARA UNA TEORfA GENERAL DE CONJUNTOS 115

Intentare ahora explicar brevemente las ventajas de la ter-cera forma de definition.

Para simbolizar que un numero b esta dado sobre la base deuna sucesion fundamental (<?v), de un orden cualquiera n o a,utilizo la formula:

b ~ (ev) o (ev) ~ b.

Dada por ejemplo una serie convergente cuyo termino ge¬neral es cv, la condition necesaria y suficiente para la conver-gencia es, como se sabe, esta: que lim (cv+1 + ... + cv+lL) = 0 (paraun p. arbitrario).

La suma de la serie se define por tanto mediante la formula:

n=0 x «=0 '

Si, por ejemplo, todos los cn estan definidos sobre la base de su-cesiones fundamentales de £-esimo orden, lo mismo es valido

2c„, y la sumaS c„ se nos presenta aqui definida por«=0 «=0

para

medio de una sucesion fundamental de orden (£+l)-esimo.

Si se ha de describir, por ejemplo, el contenido conceptual

del teorema sen( ) = 1, entonces se pueden considerar y

sus potentias como dados por las formulas:

JC \2w-r 1K

~2 ~ (av). \Y ~ (av2"+1)

donde por abreviar hemos usado:

ib (-1)"2X = av-

n=o 2n+l

Se cumple ademas que:

116 GEORG CANTOR

/ /7I\2»+1

sen(y)~ (z(-i)vÿ(2m+l)\m=0

jt

es decir, sen!

mental de segundo orden, y con aquel teorema se expresa la

igualdad entre el numero racional 1 y un numero, senÿy j, ex-

se define sobre la base de una sucesion funda-.2

presado por medio de una sucesion fundamental de segundoorden.

De forma similar, el contenido conceptual de formulas mascomplicadas, como por ejemplo las de la teorfa de las funcionestheta, se puede describir de forma precisa y relativamente sim¬ple; mientras que es un asunto extremadamente engorroso re-ducir las sucesiones infinitas a otras formadas puramente porterminos racionales, especialmente si el signo debe ser siempreigual, y que converjan absolutamente. En contraposition con laprimera forma de definicion, esta dificultad se evita absoluta¬mente por medio de la tercera forma de definicion, y es mani-fiesto que puede ser evitada en tanto no se trate de una aproxi-macion numerica de las sumas de sucesiones mediante numerosracionales, sino solo de definiciones absolutamente claras deaquellas. La primera forma de definicion no me parece tan facilde utilizar cuando se trata de la definicion precisa de sumas desucesiones que no convergen absolutamente, sino que el ordende sus terminos tanto positivos como negativos es uno previa-mente determinado. Incluso para sucesiones absolutamenteconvergentes, la obtencion de la suma, aunque esta sea inde-pendiente del orden, solo es efectivamente realizable para unaordenacion determinada; por ello, tambien en tales casos nossentimos tentados a dar preferencia a la tercera forma de defini¬cion sobre la primera. Finalmente, pienso que habla a favor dela tercera forma de definicion que puede ser generalizada a nu¬meros suprafinitos, mientras que tal desarrollo es completamen-

FUNDAMENTOS PARA UNA TEORfA GENERAL DE CONJUNTOS 117

te imposible con la primera forma de definition.1291 Esta diferen-cia se debe simplemente a que la ley conmutativa no es valida engeneral para numeros suprafinitos, ya en el caso de la adicion;pero la primera forma de definition esta inseparablemente liga-da a esta ley, y se sostiene o cae con ella. Mas para todos los ti-pos de numeros para los que es valida la ley conmutativa de laadicion, la primera forma de definition resulta excelente, abs¬traction hecha de los puntos senalados.

§ to.

El concepto del «continuo» no solo ha desempenado un im-portante papel en todo el desarrollo de las ciencias, sino tam-bien ha suscitado las mayores diferencias de opinion e inclusolas mas vehementes disputas. Esto se debe tal vez a que la ideasubyacente a aquel, tal como aparecia en las concepciones en-frentadas, adoptaba contenidos distintos, por no haberse trans-mitido una definition exacta y completa del concepto; quiza in¬cluso, y esto me parece lo mas probable, la idea del continuo nofue concebida por aquellos griegos —que pudieron ser los pri-meros en pensarla—- con la claridad y completitud que hubie-ran sido necesarias para excluir la posibilidad de diferentes in-terpretaciones entre sus sucesores. Asi vemos que Leucipo,Democrito y Aristoteles consideran el continuo como un com-puesto que consta «ex partibus sine fine divisibilibus»,* Epicu¬re y Lucretio en cambio lo hacen compuesto de sus atomos, entanto cosas finitas, lo cual ha dado lugar a una gran controver¬sy entre los filosofos, algunos de los cuales han seguido a Aris¬toteles y otros a Epicure. Aun otros, para mantenerse alejadosde esta polemica, sostuvieron con Tomas de Aquino9 que elcontinuo no se compone ni de infinitas partes ni de una canti-dad finita de ellas, sino que no consta de partes en absolute-, estaultima opinion me parece que encierra menos una explicationdel asunto, que una tacita confesion de que no se ha alcanzadoel fondo de la cuestion y se prefiere eludirla con elegancia. Aquivemos el origen escolastico-medieval de una opinion que aun se

* «De partes divisibles sin fin.» [N. del ed.]

118 GEORG CANTOR

defiende hoy en dia, segun la cual el continuo seria un concep-to no analizable o bien, como se expresan otros, una intuicionpura a priori que apenas seria susceptible de determinacion me-diante conceptos. Todo intento de determinacion aritmetico deeste misterio se considerara como una intromision ilicita y serarechazado con el debido vigor. Los naturales tfmidos recibencon esto la impresion de que con el «continuo» no se trata deun concepto logico-matemdtico sino mas bien de un dogma reli-gioso.

Esta muy lejos de mi intention volver a suscitar estas con-troversias, y careceria ademas de espacio para discutirlas condetalle en este estrecho marco; solo me siento obligado a desa-rrollar el concepto del continuo con la sobriedad logica que re-sulta indispensable para su comprension y para su empleo en lateoria de conjuntos, tan brevemente como sea posible, y tenien-do en consideracion solo la teoria matematica de conjuntos.Tratarlo de esta forma no me ha resultado facil, por la razon deque ni uno solo de entre los matematicos cuya autoridad invo-caria de buen grado se ha ocupado del continuo en el sentidopreciso que yo necesito aqui.[30)

Es verdad que, tomando como base una o mas cantidadescontinuas reales o complejas (o, como yo creo mas correcta-

mente expresado, conjuntos numericos continuos), se ha elabo-rado lo mejor posible, en las mas variadas direcciones, el con¬cepto de un continuo dependiente de una o varias de ellas, esto

es, el concepto de funcion continua, y de esta forma surgio lateoria de las llamadas funciones analiticas, asi como de las fun-ciones mas generales con sus propiedades sumamente notables(como la no diferenciabilidad y otras semejantes). Pero el pro-pio continuo independiente solo ha sido presupuesto por aque-llos autores matematicos en su forma de aparicion mas simple,y no ha sido objeto de ninguna consideracion detallada.

Por de pronto, debo explicar que en mi opinion no es co-rrecto traer a eolation el concepto o la intuicion del tiempo en ladiscusion del concepto mucho mas primitivo y general del con¬tinuo; el tiempo es a mi parecer una representacion [Vorstel-lung] cuya explicacion clara presupone el concepto de conti-nuidad, independiente de ella, e incluso con su ayuda no sepuede considerar ni como una sustancia, algo objetivo, ni como

FUNDAMENTOS PARA UNA TEORfA GENERAL DE CONJUNTOS 119

algo subjetivo, una forma a priori necesaria de la intuition.[iU

No es otra cosa que un conceptoauxiliary relacional, a traves delcual se constata la relation entre diferentes movimientos queocurren en la naturaleza y son percibidos por nosotros. Algo asicomo un tiempo objetivo o absolute) no se da nunca en la natu¬raleza, y por tanto el tiempo no puede ser considerado comomedida del movimiento\ mas bien este podrfa ser consideradocomo medida del tiempo, si no se opusiera a esto ultimo que eltiempo, incluso en el modesto papel de forma a priori de la in¬tuition subjetivamente necesaria, no ha llevado a ningun resul-tado provechoso e indiscutido, a pesar de que desde Kant no lehaya faltado tiempo para ello.

Estoy igualmente convencido de que no es posible en abso¬lute partir de la llamada forma de la intuicion del espacio paraobtener una aclaracion del continuo, pues solo con la ayuda deun continuo ya disponible conceptualmente adquieren el espa¬cio y las figuras concebidas en el aquel contenido gracias al cualpueden convertirse en objeto no meramente de contemplationestetica, de agudeza filosofica o de comparaciones imprecisas,sino de investigaciones matematicas sobrias y exactas.

No me queda pues sino buscar, con la ayuda del conceptode numero real definido en el § 9, un concepto puramente arit¬metico de continuo de puntos, tan general como sea posible.Me sirve de fundamento para esto, como no podia ser de otro

modo, el espacio aritmetico piano G„, esto es, lacoleccion de todos los sistemas de valores

(Xj I X2 I ... I Xn)

donde cada x puede tomar, independientemente de las otras,

todos los valores numericos reales de -*» hasta +<*>. A cada unode tales sistemas de valores en particular lo llamo punto aritme¬tico de G„. La distancia entre dos de tales puntos se define me-

, diante la expresion:

+d(x\-xly + (x’2-x2r + ... + (xiI~x„r

y se entiende como conjunto aritmetico de puntos P compren-dido en G„ toda coleccion de puntos del espacio G„ dados pormedio de una ley. La investigation se dirige ahora, por tanto, a

120 GEORG CANTOR

establecer una definicion nftida y al mismo tiempo lo mas ge¬neral posible de bajo que condiciones Pha deser llamado un con-tinuo.

He demostrado en el journal \fiir die reine und angew. Ma¬thematik] de Borchardt (vol. 84, p. 242) que todos los espaciosG„, por grande que sea el llamado numero de dimensiones n,tienen la misma potencia y son por lo tanto de la misma poten-cia que el continuo lineal, como digamos la coleccion de todoslos numeros reales del intervalo (0 ... 1). De ah! que la investi-gacion y determinacion de la potencia de G„ se reduzca a lamisma cuestion restringida al intervalo (0 ... 1), y espero serpronto capaz de contestarla, mediante una prueba rigurosa, enel sentido de que la potencia que buscamos no es otra que la denuestra segunda clase de numeros (II)P21 De lo cual se sigueque todos los conjuntos infinitos de puntos P tienen o bien lapotencia de la primera clase de numeros (I) o la potencia dela segunda clase de numeros (II). Aun se puede extraer unaconsecuencia adicional, que la coleccion de todas las funcionesde una o mas variables representables en forma de una serie in-finita, no importa cual, posee tambien solo la potencia de la se¬gunda clase de numeros (II), y es por tanto contable mediantenumeros de la tercera clase numerica (III).10 Por consiguiente,esta proposicion se aplicara, por ejemplo, a la coleccion de to¬das las funciones «analxticas», esto es, funciones de una o masvariables obtenidas de series de potencias convergentes porcontinuacion, o al conjunto de todas las funciones de una omas variables reales representables mediante series trigonome-tricas.

Para aproximarme al concepto general de un continuo lo-calizado en el interior de G„, recordare ahora el concepto delderivado P11 de un conjunto de puntos P dado arbitrariamente,tal como se halla desarrollado por vez primera en Math. Ann.,vol. V, y luego en los vols. XV, XVII, XX y XXI, ampliado alconcepto de un derivado PY), donde J puede ser cualquier nu¬mero entero de las clase numericas (I), (II), (III), etc.

Los conjuntos de puntos P se pueden clasificar ahora endos clases de acuerdo con la potencia de su primer derivado Pl}.

Si Pl> tiene la potencia de (I), como ya dije en el § 3 de este ar-ticulo, puede mostrarse que existe un primer numero entero a

FUNDAMENTOS PARA UNA TEORIA GENERAL DE CONJUNTOS 121

de la primera o la segunda clase de numeros (II) para el cual Pta)

se anula. Pero si Pl‘ tiene la potencia de la segunda clase de nu¬meros (II), entonces P11 se puede descomponer siempre y deuna unica manera en dos conjuntos RyS tales que

RvÿR + S,

donde RySson de indole extremadamente diferente:t33JR esta constituido de tal modo que es susceptible de conti-

nua reduccion mediante el proceso reiterado de derivacion has-ta su aniquilacion, de forma que existe siempre un primer nu-mero entero y de las clases numericas (I) o (II), para el cual

R(*= 0;

a tales conjuntos de puntos R los llamo reductibles.Por el contrario,S esta constituido de tal modo que el pro¬

ceso de derivacion no produce en este conjunto de puntos ab-solutamente ninguna modification, siendo

y por consiguiente tambien

S=Sÿ,

a tales conjuntos5los llamo conjuntos de puntos perfectos. Po-demos decir por lo tanto: si Pl) es de la potencia de la segundaclase de numeros (II), se descompone en un determinado con-junto de puntos reductible y un determinado conjunto de pun¬tos perfecto.

Aunque estos dos predicados, «reductible» y «perfecto»,no son compatibles en un mismo conjunto de puntos, no es sinembargo lo mismo irreductible que perfecto, y tampoco imper-fecto es exactamente lo mismo que reductible, como se ve facil-mente si se presta un poco de atencion.

Los conjuntos de puntos perfectos no son siempre inter-namente, de ningun modo, lo que yo, en el trabajo que aca-bo de citar, he denominado «densos por doquier»;u a causade ello no son adecuados por si solos para una completa de-finicion de un continuo de puntos; si bien hay que concederacto seguido que este ultimo debe ser siempre un conjuntoperfecto.

122 GEORG CANTOR

Para definir el continuo se precisa de un concepto adicio-nal, que habra de unirse al anterior, a saber, el de conjunto depuntos T conexo.

Llamamos a T un conjunto de puntos conexo si para cadados puntos del mismo, t y f , supuesto un numero £ arbitraria-mente pequeno, existe sietupre y de multiples modos una canti-dadfinita de puntos tu tfi-J., tv de T, de tal manera que las dis¬tances ttu t1t2, t2t}, ..., tj’son todas menores que £.[}41

Todos los continuos de puntos geometricos conocidos pornosotros caen ahora bajo este concepto de conjunto de puntosconexo, como es facil de ver. Creo pues descubrir en estos dospredicados, «perfecto» y «conexo», las caracteristicas necesa-rias y suficientes de un continuo de puntos, y por lo tanto defi-no un continuo de puntos en el interior de G„ como un conjun¬

to perfecto-conexo.'2 «Perfecto» y «conexo» no son aqui meraspalabras, sino predicados completamente generales del conti¬nuo, caracterizados conceptualmente de la forma mas precisapor las definiciones precedentes.

La definition del continuo de Bolzano (Paradoxien § 38)

ciertamente no es correcta.[35] Expresa unilateralmente solo unapropiedad del continuo, satisfecha tambien por conjuntos queresultan de G„ al pensar que se elimina de G„ cualquier conjun¬to «aislado» de puntos (comparese Math. Ann., vol. 21, p. 51);

queda igualmente satisfecha por conjuntos compuestos de va-rios continuos separados. Es evidente que en ninguno decasos hay continuo alguno, aunque segun Bolzano asi deberfaser. Vemos pues que aqui se contraviene la proposition: «A laesencia de cualquier cosa pertenece aquello que, dada la cosa,se afirma necesariamente y, quitada la cosa, se niega necesaria-mente; o aquello sin lo cual la cosa —y retiprocamente, que sinla cosa— no puede ni existir ni ser concebido».*

Me parece igualmente que en el escrito del senor Dedekind{Continuidad y numeros irracionales) solo se destaca unilateral¬mente otra de las propiedades del continuo, a saber, aquellaque tiene en comun con todos los conjuntos «perfectos».136J

* En latfn en el original. [N. del ed.]

FUNDAMENTOS PARA UNA TEORlA GENERAL DE CONJUNTOS 123

§ II.

Mostraremos ahora como se llega a las definiciones de los nue-vos numeros y de que manera surgen los segmentos naturalesque yo llamo clases numericas en la serie absolutamente infinitade los verdaderos numeros enteros. A esta explication quieroanadir solamente los principales teoremas sobre la segunda da-se numerica y su relation con la primera. La sucesion (I) de losverdaderos numeros enteros positivos 1, 2, 3, v, ... tiene suprincipio de formacion en la repetida posicion y union de uni-dades que se toman por base y son consideradas como iguales;el numero v es la expresion tanto de una determinada cantidadfinita de tales posiciones, como de la union en una totalidad delas unidades puestas. La formacion de los verdaderos numerosenteros finitos se basa pues en el principio de agregar una uni-dad a un numero ya formado y disponible; a este momento, quedesempena tambien, como enseguida veremos, un papel esen-cial en la generation de los numeros enteros superiores, lo lla¬mo primer principio de generation?1' La cantidad de numeros vde la clase (I) asi formados es infinita y no hay ninguno que seael mayor de ellos. Aunque seria por tanto contradictorio hablardel mayor numero de la clase (I), no hay por otra parte nada ob-

* jetable en concebir un nuevo numero, al que llamaremos (0,*que sera expresion de que la coleccion (I) completa esta dadaregularmente conforme a su sucesion natural. (Similarmente acomo v expresa que una cierta cantidad finita de unidades hansido unidas en una totalidad.) Es admisible incluso consideraral recien creado numero (0 como el limite al cual tienden losnumeros v, siempre y cuando no se entienda por esto sino queco ha de ser el primer numero entero que sigue a todos los nu¬meros V; esto es, ha de ser considerado mayor que cualquiera delos numeros v. Al hacer que la posicion del numero co venga se-guida de la posicion de unidades adicionales, se obtienen con

* De ahora en adelante sustituyo por to el signo °°, que he usado en el n°2 de este arttculo (vol. XVII, p. 357 [Abhandlungen, 147]), puesto que el sig¬no °° se ha empleado ya multiples veces para designar infinitos indetermina-dos. [N. dela.]

124 GEORG CANTOR

ayuda del primer principio de generation los numeros subsi-guientes:

(0 + 1, 0) + 2, , (0 + v, ... ;

puesto que nuevamente no se llega a un mayor numero,cebira uno nuevo, que podemos llamar 2coDSI y que debe ser elprimero que sigue a todos los numeros anteriores v y ro+V; si seaplica reiteradamente el primer principio de generacion sobre elnumero 2ro, se obtiene la continuation de los numeros prece-dentes:

se con-

2o) + 1, 2w + 2, ... , 2(0 + v, ... .

La funtion logica que nos ha proportionado los dos nume¬ros (0 y 2(0 es manifiestamente distinta del primer principio degeneracion; la llamare segundo principio de generacion de verda-deros numeros enteros y la defino mas detalladamente asx: dadauna determinada sucesion de verdaderos numeros enteros defi-nidos, entre los cuales no hay uno que sea el mayor de ellos, envirtud de este segundo principio de generacion se crea un nue¬vo numero al que se concibe como el limite de aquellos nume¬ros, esto es, se define como el numero inmediatamente mayorque todos ellos.

Asi pues, mediante la aplicacion combinada de ambos prin-cipios de generacion se obtienen sucesivamente las siguientescontinuationes de los numeros obtenidos hasta el momento:

3(0,3(0+ 1, ..., 3(0 + V, ...

JIG), (1(0 + 1, ..., (i(0 + v, ...

Pero tampoco con esto se llegara a un fin, puesto que en¬tre los numeros |X(0 + v no hay tampoco ninguno que sea elmayor.

El segundo principio de generacion nos induce por tanto aintroducir un sucesor inmediato de todos los numeros jl(0 + V,

al que podemos llamar (02. Siguen a este en sucesion determina¬da los numeros:

Axo2+ pro + v,

FUNDAMENTOS PARA UNA TEORlA GENERAL DE CONJUNTOS 125

y observando los dos principios de generacion se llega obvia-mente a numeros de la siguiente forma:

VoCtf + VjOy1 ... + vÿ_ i(0 + VJJ.

Pero el segundo principio de generacion nos empuja entonces aponer un nuevo numero, que debe ser inmediatamente superiora todos esos numeros y que sera oportunamente designado por:

co“.

Como puede verse, la formacion de nuevos numeros no tiene fin; observando ambos principios de generacion se obtienenuna y otra vez nuevos numeros y series numericas, en una suce-sion completamente determinada.

Por esta razon, la primera apariencia es que con este modode formacion de nuevos numeros enteros infinitos determina-dos habriamos de perdernos en lo ilimitado, y que serfamos in-capaces de dar a este proceso sin fin una cierta termination pro¬visional, para conseguir asi una limitation semejante a la queexistia de hecho, en cierto sentido, respecto a la antigua clasenumerica (I); alii se hatia uso solo del primer principio de gene¬racion y era por tanto imposible salirse de la sucesion (I). Peroel segundo principio de generacion no solo tenia que conducir-nos fuera del anterior dominio numerico, sino que se muestraen efecto como un medio que, en union con el primer principiode generacion, nos capacita para traspasar toda frontera en laformacion conceptual de verdaderos numeros enteros.

Pero observemos ahora que todos los numeros obtenidoshasta el momento, y los que les siguen inmediatamente, satisfa-cen una cierta condition; si se establece como requisito para to¬dos los numeros que se formen a continuation, esta conditionse muestra como un nuevo principio, el tercer principio, que seanade a los otros dos. Lo llamo principio de restriction o de li¬mitation y tiene por efecto, como mostrare, que la segunda cla¬se numerica (II), definida con su ayuda, no solo tiene una po-tencia superior a la de (I), sino precisamente la inmediatamentesuperior, y por tanto la segunda potencia.

La mencionada condition, que cumple cualquiera de losnumeros infinitos a definidos hasta el momento, como nos con-

126 GEORG CANTOR

vencemos enseguida, es: que el conjunto de todos los numerosque le preceden en la sucesion numerica tiene la potencia de laprimera clase numerica (I). Tomemos por ejemplo el numeroCD", entonces los que le preceden estan comprendidos en la for¬mula:

v0of + VjCiy + ... + Vÿ.iCO + ,

donde p, v0, v1; ... ,vÿ han de tomar todos los valores numericosenteros positivos y finitos, incluyendo el cero pero excluyendola combination: V0 = Vj = ... = = 0.

Como es sabido, este conjunto puede ponerse en la formade una sucesion infinita simple,1391 y tiene por consiguiente lapotencia de (I).

Puesto que ademas una sucesion cualquiera de conjuntoscada uno de los cuales tiene la primera potencia, si esta sucesionmisma es dela primera potencia, siempre produce nuevamente unconjunto que tiene la potencia de (I), resulta claro que continuan-donuestra sucesion numerica primeramentese obtienen una y otra

vez solo numeros tales que realmente cumplen aquella condition.En consecuencia, definimos la segunda clase numerica (II)

como la coleccion de todos los numeros aquesepueden construircon la ayuda de los dos principios de generacion y que se sucedenen sucesion determinada:

oo, to + 1, ... , v0ay* + ... + vv_,co + vÿ, ... , co", ... , a, ...

la cual esta sometida a la condicion de que todos los numeros quepreceden al numero a, de 1 en adelante, forman un conjunto dela potencia de la clase numerica (I).

§ i2.

Lo primero que hemos de establecer ahora es el teorema segunel cual la nueva clase numerica (II) tiene una potencia diferentede aquella de la primera clase numerica (I).

Esta proposition se sigue del teorema siguiente:«Siendo oc1; a2, ..., av, ... un conjunto cualquiera, que tenga

la primera potencia, de numeros diferentes de la segunda clase

FUNDAMENTOS PARA UNA TEORIA GENERAL DE CONJUNTOS 127

(de manera que estamos autorizados a suponerlos en forma desueesion (aj simple), entonces o bien hay uno que es el mayorde ellos, llamemosle y, o bien, si ese no es el caso, existe un cier-to numero p de la segunda dase de numeros (II) que no figuraentre los numeros oÿ, de modo que P es mayor que todo y talque, por el contrario, todo numero p’ < p es superado en mag-nitud por ciertos numeros de la sueesion (av); el numero y o P,respectivamente, puede ser legitimamente denominado el limi-te superior del conjunto (0Cv)».

La demostracion de este teorema es sencillamente la que si-gue: sea ocx2; el primer numero de la sueesion (dj que es mayorque oq; (Xp, el primero que es mayor que aÿ; y asi sucesivamente.

Se tiene entonces que:

1 <Z2<X3<X4< -a1<ocX2«xX3<ax4<...

y

av<axÿ

siempre que

v<Xv

Puede suceder ahora que a partir de un cierto numerotodos los que le siguen en la sueesion (ocj sean menores que el;entonces es evidentemente el mayor de todos y tenemos que y =aÿp. En el caso contrario, concebimos el conjunto de todos losnumeros enteros, a partir del 1, que son menores que oq; ana-damos primero a este conjunto el conjunto de todos los nume¬ros enteros > cq y < ocÿ, despues el conjunto de todos los nu¬meros > ax2 y < OCp, y asi sucesivamente. Se obtiene entonces uncierto subconjunto de numeros sucesivos de nuestras dos pri-meras clases numericas, y este conjunto es evidentemente de laprimera potencia,1401 y por lo tanto existe —conforme a la defi¬nition de (II)— un cierto numero P de la coleccion (II) que esinmediatamente mayor que aquellos numeros. Por lo tanto p >axx, y por ello tambien P > av, porque siempre se puede tomar

Xx tan grande que sea mayor que un v dado, y porque entonces

OCv < (%.

128 GEORG CANTOR

Se ve facilmente, por otra parte, que todo numero |3’ < (3 essuperado en magnitud por ciertos numeros con lo cual que-dan demostradas todas las partes del teorema.

De aqui se sigue ahora el teorema segun el cual la totalidadde los numeros de la segunda clase numerica (II) no tiene la po-tencia de (I); pues en caso contrario podrfamos imaginar la co-leccion completa (II) dada en la forma de una sucesion simple:

otj, a2, ... , a*, ...,

la cual, segun la proposition que acabamos de demostrar, obien tiene un termino y que es el mayor de todos, o bien todossus terminos av serian superados en magnitud por un cierto nu¬mero p de (II). El numero y+1 —perteneciente a la clase (II)—en el primer caso, o el numero |3 en el segundo caso, pertenecepor una parte a la clase (II), pero por otra parte no figura en lasucesion (cÿ); lo cual, dada la supuesta identidad entre el con-junto (II) y (av), es una contradiction. La clase numerica (II)

tiene por consiguiente una potencia distinta que la clase nume¬rica (I).

De un teorema que presentare y demostrare enseguida sesigue con certeza que de entre las dos potencias de las clasesnumericas (I) y (II), la segunda es en realidad la inmediata suce-sora de la primera, esto es, que entre ambas potencias no existeninguna otra.

Mas si previamente volvemos la vista atras y consideramoslos medios que nos han conducido no solo a una extension delconcepto de verdadero numero entero, sino tambien a una nue-va potencia de conjuntos bien definidos diferente de la prime¬ra, veremos que entraron en juego tres momentos logicos desta-cados, que deben ser distinguidos unos de otros. Se trata de losdos principios de generation definidos mas arriba, a los que seanade un printipio de restriction o limitation, que consiste en laexigencia de que solo se proceda a la creation de un nuevo nu¬mero entero con la ayuda de uno de los otros dos principios, sila totalidad de los numeros precedentes tiene la potencia de unaclase numerica definida, disponible ya en toda su extension. Deesta manera, observando estos tres principios se pueden alcan-zar con la mayor seguridad y evidencia clases numericas siem-pre nuevas, y con ellas todas las diferentes potencias sucesiva-

FUNDAMENTOS PARA UNA TEORIA GENERAL DE CONJUNTOS 129

mente crecientes que se dan en la naturaleza corporea y mental;y los nuevos numeros asf obtenidos tienen siempre absoluta-mente la misma determination concreta y realidad objetiva quelos anteriores. Por ello no sabrfa, en verdad, que podrfa dete-nemos en esta actividad de formation de nuevos numeros, entanto se demuestre que la introduction de una nueva entre es-tas innumerables clases numericas resulta deseable o inclusoimprescindible para el progreso de las ciencias.

§ i3-

Llego ahora a la prometida demostracion de que las potenciasde (I) y (II) se siguen inmediatamente la una a la otra, de modoque no hay ninguna otra potencia entre ellas.

Si se selecciona conforme a alguna regia un conjunto (a’)de numeros diferentes a’ de la coleccion (II), esto es, si se con-cibe un conjunto (a’) contenido en (II), entonces tal conjuntotiene siempre peculiaridades que pueden expresarse en las si-guientes proposiciones.

«Entre los numeros del conjunto (a’) hay siempre uno quees el menor.»

«Si se tiene en particular una sucesion de numeros de la co¬lection (II): oq, cq, ..., otp, ... que continuamente decrece en mag-nitud (de modo que otp > Otp- si (3’ > (3), entonces esta sucesion seinterrumpe necesariamente con un termino de orden finito, ytermina con el mas pequeno de los numeros. La sucesion nopuede ser infinita.»

Resulta notable que esta proposition, inmediatamente tia¬ra cuando los ap son numeros enteros finitos, puede demostrar-se tambien para el caso de numeros otp infinitos. En efecto, se-gun la proposition anterior —que se deduce facilmente de ladefinition de la sucesion numerica (II)— entre los numeros oq,tomando en consideration solo aquellos para los cuales el indi-ce v es finito, hay uno que es el mas pequeno; si este es, diga-mos, = a„, resulta obvio que, puesto que oq > tXv+1, la sucesionoq y por tanto tambien la sucesion completa otp debe constarexactamente de n miembros, y por consiguiente es una sucesionfinita.

MI

130 GEORG CANTOR

Se obtiene ahora el siguiente teorema fundamental:«Si (a’) es un conjunto numerico cualquiera contenido en

la coleccion (II), pueden ocurrir solo los tres casos siguientes: obien (a’) es una coleccion finita, esto es, consta de una cantidadfinita de numeros, o (a’) tiene la potencia de la primera clase o,en tercer lugar, (a’) tiene la potencia de (II); Quartum non da¬tura*

La demostracion se puede obtener de manera simple comosigue: sea Q el primer numero de la tercera clase numerica (III);todos los numeros a’ del conjunto (a’) son entonces menoresque Q, puesto que aquel esta incluido en (II).

Pensemos ahora en los numeros a’ ordenados segun sumagnitud; sea aw el mas pequeno de ellos, aw+1 el siguienteen magnitud, y asi sucesivamente. Asi se obtiene el conjunto(a’) en la forma de un conjunto «bien ordenado» ap, donde Precorre numeros de nuestra sucesion numerica ampliada a par-tir de to; evidentemente P se mantiene siempre menor o igualque Op, y puesto que Op < Q, tambien P < D. El numero P nopuede en consecuencia sobrepasar la clase numerica (II), sinoque permanece dentro del dominio de esta. De ahi que solopuedan suceder tres casos: o bien P se mantiene por debajo deun numero especificable de la sucesion (0 + v, y entonces (a’) esun conjunto finito; o P adopta todos los valores de la sucesionto + v, pero se mantiene por debajo de un numero especificablede la sucesion (II), y entonces (a’) es obviamente un conjunto dela primera potencia; o, en tercer lugar, P toma tambien valoresarbitrariamente grandes en (II), y entonces p recorre todos losnumeros de (II); en este ultimo caso la coleccion (ap), esto es, elconjunto (a’), tiene evidentemente la potencia de (II); comoquerfamos demostrar.

Como resultado inmediato del teorema que acabamos dedemostrar, resultan ahora los siguientes:

«Si se tiene un conjunto bien definido M de la potencia de laclase numerica (II) y se toma cualquier subconjunto infinito M'deM, entonces o bien la coleccion M’puede concebirse en la for¬ma de una sucesion infinita simple, o bien es posible estableceruna correspondencia biunivoca entre los dos conjuntos M y M'».

* «Sin que exista un cuarto.» [N. del ed.\

FUNDAMENTOS PARA UNA TEORlA GENERAL DE CONJUNTOS 131

«Si se tiene cualquier conjunto bien definido M de la se-gunda potencia, un subconjunto M’ de M y un subconjuntoM” de M’, y se sabe que este ultimo M” se puede poner en co-rrespondencia biunivoca con el primero, M, entonces tambiense puede siempre poner en correspondencia biunivoca el se-gundo, M’, con el primero, y en consecuencia tambien con eltercero.»

Formulo aqui este ultimo teorema, dada su conexion con elprecedente, bajo el supuesto de que M tiene la potencia de (II);obviamente, tambien es cierto cuando M tiene la potencia de(I); pero me parece sumamente destacable, y por ello lo resaltoexplicitamente, que esta proposition tiene validez general, sinimportar la potencia que pueda corresponder a M. Tratare esteasunto mas de cerca en un articulo posterior, y mostrare alii elpeculiar interes que entrana este teorema general.1421

§ i4-

Ahora, para concluir, sometere aun a consideration los numerosde la segunda clase numerica (II) y las operaciones realizablescon ellos, si bien en esta ocasion me limitare solo a lo mas in-mediato, reservandome para mas adelante la publicacion deinvestigaciones detalladas acerca del tema.[43]

En el § 1 defini en general las operaciones de adieion y mul-tiplicacion y mostre que, para los numeros enteros infinitos, noestan sujetas en general a la ley conmutativa, aunque si a la aso-ciativa; esto es valido tambien para los numeros de la segundaclase numerica en particular. Con respecto a la ley distributiva,solo es valida en general bajo la siguiente forma:

(a+p) y = ay + py(donde a+p, a, P actuan como multiplicadores),

como se reconoce inmediatamente mediante la intuicion interna.La sustraccion se puede considerar de dos maneras. Si a y

P son dos numeros enteros cualesquiera, a < P, se convenceuno con fadlidad de que la ecuacion

a + = P

132 GEORG CANTOR

admite siempre una solucion, y solo una, para donde, si oc y Pson numeros de (II), \ sera un numero de (I) o de (II). Diremosque este numero % es igual a p-a.

En cambio, si se considera la siguiente ecuacion:

+ a = Pnos encontramos con que a menudo no admite absolutamenteninguna solucion para este caso ocurre por ejemplo con la si¬guiente ecuacion:

£, + to = (0+1.

Pero tambien en los casos en que la ecuacion + a = p es

resoluble para ocurre a menudo que queda satisfecha por in¬finites valores numericos de aunque una de estas diferentessoluciones sera siempre la menor.

Para esta menor ralz de la ecuacion:

£ + a = p,en caso de que esta ultima sea de hecho resoluble, escogemos ladenominacion p_a, que en consecuencia ha de ser en generaldistinguida de p-a, numero este ultimo que siempre existe, consolo que a < p.

Si ademas entre los tres numeros enteros p, a, y se da laecuacion:

P = ycc

(donde yes el multiplicador), se convence uno con facilidad deque la ecuacion:

p =

tiene otra solucion para que % = y, y en este caso se desig-no

JLnaypor-ÿ-.Por el contrario, nos encontramos con que la ecuacion:

P-aÿ

(donde \ es el multiplicando), cuando es de hecho resolublepara tiene a menudo varias y hasta infinitas raices; pero unade ellas es siempre la menor. Designese a esta menor raiz que

FUNDAMENTOS PARA UNA TEORl'A GENERAL DE CONJUNTOS 133

satisface la ecuacion (3 = at,, si esta ultima es de hecho resolu¬ble, por:

Aa '

Los numeros a de la segunda clase numerica son de dos ti-pos: 1) a tales que tienen un termino inmediatamente prece-dente en la sucesion, que es entonces oc; a estos numeros los11a-mo del primer tipo. 2) a tales que no tienen un terminoinmediatamente precedente en la sucesion, para los cuales a noexiste; a estos numeros los llamo del segundo tipo. Los numerosto, 2co, (0v+(0, coM son por ejemplo del segundo tipo; por elcontrario, (0+1, co2+co+2, oo"+3 son del primer tipo.

En correspondencia con ello, tambien los numeros primosde la segunda clase, que defini en general en el § 1, se dividenen numeros primos del segundo y del primer tipo.

Numeros primos del segundo tipo son, en su orden de apa-ricion en la clase numerica (II), los siguientes:

to, co“, (if2, 0)“’, ...,

de modo que, entre todos los numeros de la forma:

<p = v0 of + Vj at1 + ... + vÿco + v„existe un unico numero primo del segundo tipo, co. Pero no sededuzca de esta distribucion relativamente escasa de los nume¬ros primos del segundo tipo que la coleccion de todos ellos tie-ne una potencia inferior a la de la misma clase numerica (II); di-cha coleccion resulta tener la misma potencia que (II).

Los numeros primos del primer tipo son, por de pronto:

(o+ 1, a? + 1, ..., of + 1, ...

fistos son los unicos numeros primos del primer tipo queocurren entre los numeros que acabamos de designar por <p; latotalidad de los numeros primos del primer tipo en (II) tieneigualmente la potencia de (II).

Los numeros primos del segundo tipo tienen una propie-dad que les confiere un caracter completamente aparte; si T] esuno de tales numeros primos (del segundo tipo), entonces siem-pre qa = r|, cuando a es un numero cualquiera mas pequeno

134 GEORG CANTOR

que T|; de aqui se sigue que, si a y (3 son dos numeros cuales-quiera, ambos mas pequenos que q, entonces el producto a|3tambien es siempre mas pequeno que T|.

Si nos limitamos de momento a los numeros de la segundaclase numerica que tienen la forma 9, encontramos para elloslas siguientes reglas de adicion y multiplicacion. Sean:

cp = v0cif + ViCi/-1 + ... +9 = p0cox + Pico*-1 + ... + px,

donde v0 y p0 se suponen diferentes de cero.

Adicion.

1) Si p < X, se tiene entonces:

9 + 9 = 9.

2) Si |_l > X, se tiene entonces:

9 + ¥ = VoW1 + ... + Vÿjtoÿ1 + (vÿ_x + p0)®x + Pi®vi+ p2cox-2 + ... + px.

3) Para p = X resulta:

9 + V = (v0 + polco1 + p,ww + ... + Px-

Multiplicacion.

1) Si vM es diferente de cero, se tiene entonces:

99 = v0(j?*x + Vitiyÿ-1 + ... + vv_,cnUI + vÿp0(Ox + pj®ÿ' + ... + px.

En caso de que X = 0, el ultimo termino de la derecha es: VVp0.

2) Si = 0, se tiene entonces:

99 = v0®“+x + VjOfÿ + ... + vMwx+1 = 9®\

FUNDAMENTOS PARA UNA TEORI'A GENERAL DE CONJUNTOS 135

La descomposicion de un numero (p en sus factores primoses como sigue. Si se tiene:

9 = Cody + c1oy + C2COM- + ... + CoGy0

donde

y

cth <M>

son numeros finitos positivos diferentes de cero, entonces:

(p = c0(or»' + Dcÿafr* +1) c2 ... C'niaf"*’+ 1)c0a?°-,

si ademas concebimos a c0, c,, ... caÿ, ca descompuestos en fac¬tores primos segun las reglas de la primera clase numerica, te-nemos entonces la descomposicion de cp en factores primos;pues los factores oy+1 y to son ellos mismos, como se observoarriba, numeros primos. Esta descomposicion de los numerosde la forma tp esta determinada de manera unica tambien res-pecto al orden de los factores, si se hace abstraccion de la con-mutatividad de los factores primos dentro de los distintos c, y sise establece que el ultimo factor debe ser una potencia de to oigual a uno, y que to solo aparecera como factor en la ultima po-sicion. En una ocasion posterior escribire sobre la generaliza-cion de esta descomposicion en factores primos a numeros acualesquiera de la segunda clase numerica (II).

ANOTACIONES

AL § I.

1. Teona de variedades [Mannigfaltigkeitslehre]. Con esta palabra de-signo el concepto de una doctrina muy amplia, que hasta ahora solohe tratado de elaborar bajo la forma especial de una teoria de conjun-

tos aritmeticos o geometricos. A saber, entiendo en general por varie-dad o conjunto toda multiplicidad que puede ser pensada como uni-dad, esto es, toda coleccion de elementos determinados que puedenser unidos en una totalidad mediante una ley.M Y creo haber defini-do con ello algo semejante al ei8oc, o iSea platonicos, como tambiena lo que Platon llama pt%'t6v en su dialogo «Filebo, o el bien supre¬mos A este opone el ooieipov, esto es, lo ilimitado, indeterminado,que yo denomino infinito impropio, asi como el Ttepaq,* esto es, el li-mite, y lo explica como una «mezcla»ordenada de ambos. Platon mis-mo indica que estos conceptos son de origen pitagorico; vease A. Bo-eckh, Philolaos des Pytbagoreers Lehren [Doctrinas de Filolao elpitagorico]. Berlin 1819.

AL§4.

2. Aristoteles. Vease la exposition de Zeller en su gran obra: Die Phi¬losophic der Griechen [La filosofia de los griegos], 3a edition, parte II,section 2, p. 393 hasta 403. La conception platonica del infinito escompletamente diferente de la de Aristoteles; vease Zeller, parte II,section 1, pp. 628-646. Tambien encuentro puntos de contacto con

* Los terminos griegos se leen, respectivamente: eidos (forma), idea (idea),mikton (mezcla), apeiron (ilimitado, infinito), perns (limite). [N. del ed.]

138 GEORG CANTOR

mi concepcion en la filosofia de Nicolas de Cusa. Vease: R. Zimmer-mann, «Der Cardinal Nicolaus von Cusa als Vorganger Leibnizens»[El cardenal N. de C. como antecesor de Leibniz]» (Sitzungsbericbteder Wiener Akademie der Wissenschaften, ano 1852). Lo mismo digorespecto a Giordano Bruno, el sucesor de Nicolas. Vease Brunnhofer,Giordano Bruno’s Weltanschauung und Verhangniss [La cosmovisiony la fatalidad de G. B.], Leipzig 1882.

Ahora bien, existe una diferencia esencial en el hecho de que yo

he fijado en su concepto, de una vez y para siempre, las diferentes gra-

daciones del infinito propio mediante las clases numericas (I), (II),

(III), etc., y solo entonces considero como tarea no solo investigar ma-

tematicamente las relaciones entre los numeros suprafinitos, sino tam¬

bien perseguirlos y mostrarlos dondequiera que ocurran en la natura-

leza. No admite para ml ninguna duda que siguiendo este camino

Ilegaremos siempre mas alia, sin encontrar ningun lxmite insuperable,pero sin conseguir tampoco una captation siquiera aproximada de loAbsoluto. Lo Absoluto solo puede ser reconocido, pero nunca cono-

cido, ni siquiera aproximadamente conocido. Pues asi como dentrode la primera clase numerica (I) todo numero finito, por grande que

sea, tiene ante si la misma potencia de numeros finitos mayores que el,

asi tambien a cada numero suprafinito de cualquiera de las clases nu¬

mericas superiores (II), (III), etc., por grande que sea, le sigue una co-leccion de numeros y clases numericas que en lo relativo a potencia no

se ve reducido en lo mas minimo, comparado con la totalidad de la co-

leccion absolutamente infinita de numeros comenzando -por 1. Suce-de con ello algo parecido a lo que Albrecht von Haller dijo de la eter-

nidad: «Yo lo retiro [el numero inmenso] y tu [la eternidad]

permaneces entera ante mi». Por eso la sucesion absolutamente infi¬nita de numeros me parece en tierto sentido un simbolo adecuado delo absoluto; mientras que la infinidad de la primera clase numerica(I), la unica que hasta ahora ha servido para ello, me parece disolver-se por completo en la nada en comparacion con aquella, justamente

porque la considero como una idea (no una imagen) concebible.Tambien me parece destacable esto: que a cada una de las clases nu¬mericas, y tambien por tanto a cada potencia, corresponde un nume¬

ro completamente determinado de la coleccion absolutamente infini¬ta de numeros, y de tal modo que para cada numero suprafinito yexiste tambien una potencia que llamamos la y-esima; las diferentespotencias forman tambien, por lo tanto, una sucesion absolutamente

FUNDAMENTOS PARA UNA TEORIA GENERAL DE CONJUNTOS 139

infinita.1451 Esto es tanto mas sorprendente cuanto que el numero yque indica el orden de una potencia (en caso de que y tenga un pre-decesor inmediato) esta en una relation de magnitud tal con los nu-meros de la clase numerica que tiene esa potencia, que su pequenezdesafia toda description, y tanto mas cuanto mas grande suponga-mos y.

AL § 5.

3. determinari possunt. No puedo atribuir ningun ser a los infinitosimpropios, indeterminados, variables, sea cual sea la forma en que se

presenten; ya que no son sino conceptos relacionales o bien represen-taciones puramente subjetivas (respectivamente, intuiciones, imagina-ciones), pero en ningun caso ideas adecuadas. Por tanto, podria sus-cribir la frase «infinitum actu non datur» si se refiriese solo al infinitoimpropio, pero entonces seria una pura tautologia. El sentido de esta

frase en las fuentes indicadas parece expresar mas bien la imposibili-dad de poner conceptualmente una infinitud determinada, y con este

sentido la considero falsa.

AL § 7.

4. Realistas. El punto de vista positivista y realista respecto al infini¬to se encuentra explicado por ejemplo en Diihring, Natiirliche Dia-lectik [Dialectica natural], Berlin 1865, pp. 109-135 y en Von Kirch-mann, Katechismus der Philosophic [Catecismo de filosofia], pp.124-130. Comparense tambien las notas de Ueberweg al Tratado so-bre los principios del conocimiento humano de Berkeley, en la biblio-teca filosofica de Von Kirchmann. Solo puedo repetir que coincidoesencialmente con todos estos autores en la apreciacion del infinitoimpropio; la diferencia radica solo en que este infinito sincategore-

matico es considerado por ellos como el unico infinito concebiblemediante «expresiones» o conceptos, y en este caso conceptos mera-mente relacionales. Las demostraciones de Diihring contra el infinitopropio podrfan ser expresadas en muchas menos palabras y equiva-len, segun me parece, bien a que el numero finito determinado, porgrande que lo concibamos, nunca puede ser un numero infinito, lo

140 GEORG CANTOR

cual se sigue inmediatamente de su concepto; o bien a que no se pue-de concebir con el predicado de la determinacion el numero finitovariable ilimitadamente grande, y por tanto tampoco con el predica¬do de la existencia, lo que de nuevo resulta inmediatamente de laesencia de la variabilidad. No me cabe duda de que con esto no que-da afectada en lo mas mlnimo la inteligibilidad de los numeros deter-minados suprafinitos, y sin embargo estas demostraciones se tienenpor pruebas contra la realidad de los numeros suprafinitos. Esta ar-gumentacion me parece como si se quisiera concluir que, puesto quehay innumerables intensidades de verde, no puede haber rojo. Resul¬ta extrano, sin embargo, que el mismo Diihring admita en la p. 126de su tratado que para explicar la «posibilidad de una sintesis ilimi-tada» debe haber un fundamento, que el califica como «comprensi-blemente, desconocido por completo». A mi parecer, hallamos aquiuna contradiccion.

Pero nos encontramos con que tambien los pensadores proximosal idealismo o que incluso le rinden franco homenaje niegan toda legi-timidad a los numeros infinitos determinados.

Chr. Sigwart, en su excelente obra Logik, vol. II, Die Methoden-lehre [Doctrina del metodo] (Tubingen 1878), argumenta exactamen-

te igual que Diihring y dice en la pagina 47: «un numero infinito esuna contradictio in adjecto»*

Algo semejante encontramos en Kant yJ. F. Fries; de este ultimo,comparese: System der Metaphysik [Sistema de metafisica] (Heidel¬

berg 1824) §§ 51 y 52. Tampoco los filosofos de la escuela hegelianaadmiten los numeros propiamente infinitos; citare solo la meritoriaobra de K. Fischer, su System der Logik und Metaphysik oder Wissens-

chaftslehre [Sistema de logica y metafisica, o doctrina de la cien-cia] 2“ ed. (Heidelberg 1865), p. 275.

al§8.

5. Lo que aqui llamo realidad intrasubjetiva o inmanente de concep-tos o ideas podrla concordar con la determinacion «adecuada», en elsentido en que Spinoza usa esta palabra cuando dice (Etica, parte II,def. IV): «Por idea adecuada entiendo la idea que, considerada en si

* «Contradicci6n en los terminos.» [N. del ed.]

FUNDAMENTOS PARA UNA TEORfA GENERAL DE CONJUNTOS 141

misma sin relation con el objeto, tiene todas las propiedades o deno-minaciones intrlnsecas de una verdadera idea».

6. Esta conviction coincide esencialmente tanto con los princi-pios del sistema platonico como con un rasgo esencial del sistema deSpinoza; respecto al primero remito a Zeller, Die Philosophie der Grie-cben,y ed., parte II, secc. 1, pp.541-602. Al principio de la section sedice: «Solo el saber conceptual da acceso (segun Platon) a un verda-dero conocimiento. Pero en tanto a nuestras representaciones les co-rresponde la verdad —este presupuesto lo comparte Platon con otros

(Parmenides)— a su objeto debe igualmente corresponderle realidad,y viceversa. Lo que se puede conocer, es; lo que no se puede conocer,

no es; y en la misma medida en que algo es, es tambien cognoscible».En cuanto a Spinoza, me basta recordar su proposition de la ETI-

CA, parte II, prop. VII: «E1orden y la conexion de las ideas es el mis-mo que el orden y la conexion de las cosas».*

Tambien en la filosofia de Leibniz puede demostrarse el mismoprincipio epistemologico. Tan solo a partir del empirismo, sensualis-mo y escepticismo modernos, asi como del criticismo kantiano nacidode ellos, se creyo que la fuente del conocimiento y de la certeza esta lo-calizada en los sentidos o bien en las llamadas formas puras de la in¬tuition del mundo representational, y que a ellos debemos limitar-nos!461 En mi opinion, estos elementos no suministran absolutamenteningun conocimiento seguro, ya que este solo se puede obtener me-

diante conceptos e ideas que a lo sumo son sugeridos por la experien-

tia externa, pero que en lo esencial se forman por induction y deduc¬tion internas, como algo que de algun modo estaba ya en nosotros y

solo es despertado y traido a la conciencia.

al§8y §9.

7. y 8. A mi parecer, el proceso de formation correcta de conceptos

es siempre el mismo; se pone un objeto carente de propiedades, que alprincipio no es otra cosa que un nombre o un signo A, y se le asignanordenadamente varios predicados inteligibles, o incluso una cantidad

* Las dos citas de Spinoza aparecen en latin en el original. [N. del ed.~\

142 GEORG CANTOR

infinita, cuyo significado es conocido en base a ideas ya disponibles, y

que no pueden contradecirse entre si. De este modo quedan determi-nadas las relaciones de A con los conceptos ya disponibles, y particu-larmente con los que estan emparentados con el. Una vez llevado esto

hasta el final, se dan todas las condiciones para despertar el concepto

A, que dormia en nuestro interior, y este accede listo a la existencia,

dotado de realidad intrasubjetiva, unica que debe exigirse siempre alos conceptos; constatar su significado transiente es entonces asunto

de la metafisica.

al§10.

9. Tomas de Aquino, Opuscula, XLII de natura generis, cap. 19 et 20;

LII de natura loci; XXXII de natura materiae et de dimensionibus in-terminatis. Comparense: C. Jourdin, La Philosophic de Saint Thomasd’Aquin, pp. 303-329; K. Werner, Der heilige Thomas von Aquino(Regensburg 1859), vol. 2, pp. 177-201.

10. Incluso la coleccion de todas las funciones continuas, y tambien lade todas las funciones integrables de una o mas variables,'481 deberfan te-

ner solo la potencia de la segunda clase numerica (II); sin embargo, si se

abandonan todas las restricciones y se considera la coleccion de todaslas funciones continuas y discontinuas de una o mas variables, este con-junto tiene la potencia de la tercera clase numerica (III).

11. Acerca de los conjuntos perfectos se puede demostrar el siguien-te teorema: que nunca tienen la potencia de (I).

Como ejemplo de un conjunto de puntos perfecto que no es densopor doquier en ningun intervalo, por pequeno que este sea, mencionola coleccion de todos los numeros reales comprendidos por la formula:

Cl c2z = — + — + ... + — +

3 yCy

3'

donde los coeficientes cn han de tomar uno de los dos valores 0 y 2 avoluntad, y la serie puede constar de una cantidad tanto finita comoinfinita de terminos.'491

FUNDAMENTOS PARA UNA TEORfA GENERAL DE CONJUNTOS 143

12. Observese que esta definicion de un continuo esta libre de todareferenda a lo que se denomina la dimension de una configuracioncontinua; en particular, la definicion abarca tambien continuos for-mados por fragmentos conexos de diferentes dimensiones, como lineas,superficies, cuerpos, etc. En una ocasion posterior mostrare como se

llega ordenadamente de este continuo general a los continuos espe-

ciales con dimension determinada. Se muy bien que la palabra «conti-

nuo» no ha recibido hasta la fecha ningun significadofijo en matema-

tica, por lo cual mi definicion sera juzgada por unos como demasiadoestrecha y por otros como demasiado amplia\ yo espero haber logradoencontrar el justo termino medio.

A mi parecer, solo se puede entender por continuo una configura¬cion perfecta y conexa. Segun esto, por ejemplo, un segmento de recta ca-

rente de uno o de ambos extremos, asi como una superficie circular dela que se exduye su frontera, no son continuos completos. Llamo a talesconjuntos de puntos semicontinuos.

En general, entiendo por un semicontinuo un conjunto de puntos

imperfecto, conexo y perteneciente a la segunda clase™ constituido detal forma que todo par de puntos del mismo puede unirse medianteun continuo completo que forma parte del conjunto de puntos. Asi,

por ejemplo, es un semicontinuo el espacio que he designado por A enel vol. XX, p.119 de Math. Annalen* que se origina al eliminar de Gncualquier conjunto de puntos de la primera potencia.

El derivado de un conjunto de puntos conexo es siempre un con¬tinuo, resultando indiferente que el conjunto de puntos conexo tenga

la primera o la segunda potencia.Si un conjunto de puntos conexo es de la primera potencia, en-

tonces no puedo calificarlo ni como continuo ni como semicontinuo.Mediante los conceptos que he situado en la cuspide de la teoria

de conjuntos, adquiero el compromiso de investigar en todas sus posi-

bilidades la totalidad de las configuraciones de la geometria algebraicaasi como de la trascendente, y cabe esperar que la generalidad y el ri¬

gor de los resultados no sean superados por ningun otro metodo.

* Abkandlungen, 154. [N. del ed.]

NOTAS DEL EDITORA LOS FUNDAMENTOS PARA UNA TEORIA

GENERAL DE CONJUNTOS*

[1] Los dos ultimos artfculos son «Sobre una propiedad de la coleccion detodos los numeros reales algebraicos» (1874) y «Una contribution a la teorfade variedades» (1878), en Abhandlungen, 115-133. Los cuatro primeros nu¬meros de la serie en la que aparecieron los Fundamentos pueden verse en Ab¬handlungen, 139-164. Todos estos trabajos se encuentran ademas, en repro¬duction facsimil con la pagination original, en el volumen fiber unendliche,lineare Punktmannigfaltigkeiten, ed. G. Asser (Leipzig, Teubner, 1984).

[2] La introduction de un punto en el infinito, considerando el pianocomplejo como una variedad bidimensional cerrada, se debe a Bernhard Rie-mann (1826-1866) en su obra «Theorie der Abel’schen Funktionen» (Journalfur die reine undangewandteMathematik 54, 1857). Puede verse una traduc¬tion al espanol en Riemanniana selecta, ed. J. Ferreiros (Madrid, CSIC,2000).

[3] El estudio de los ordenes del «devenir infinitas» de las funciones re¬ales —Infinitdrcalcul— fue obra de Paul du Bois-Reymond (1831-1889), ma-tematicocontemporaneo de Cantor y hermano de un famoso fisiologo, que en

1882 era profesor en la Universidad de Tubinga. Du Bois realizo tambiencontributiones a la teoria de conjuntos de puntos y se vio envuelto en algunapolemica con Cantor. En el contexto del Infinitdrcalcul y considerando suce-siones de funciones, Du Bois fue el primero en utilizar, hatia 1873, el metodode diagonalizacion que suele atribuirse a Cantor (vease H. Wang, «The con¬cept of set», en Philosophy of mathematics, ed. P. Benacerraf y H. Putnam,Cambridge University Press, 1983, p. 570).

[4] Eh las presentaciones axiomaticas delos ordinales transfinitos, cadaordinal suele identificarse con el conjunto de sus antecesores. Asf, C00 repre-senta a la vez el primer numero transfinito y la primera «clase numerica» de

* La palabra «anotation» remite siempre a las notas finales de los Funda¬mentos, originales del propio Cantor. Cuando escribimos «nota» es remitien-do a alguna de las presentes notas del editor. Usamos las mismas abreviaturasque en la introduction, vease alii la nota 2 al pie (p. 9).

146 GEORG CANTOR

Cantor: el conjunto de los ordinales finitos; CDj representa el primer ordinal no

enumerable y la segunda clase numerica: el conjunto de los ordinales enume-rables y los finitos; y asi sucesivamente.

[5] La palabra «enumeracion» se emplea aqui para resolver el dificilproblema de traducir el termino Anzahl, que Cantor emplea en un sentidotecnico muy alejado de su significado usual. El lector vera facilitada su tarea

de interpretacion si tiene en cuenta que por AnzahlCantor entiende el nume-ro ordinal (finito o transfinito) de un conjunto bien ordenado. Tengase encuenta tambien que, en toda la obra, cuando habla de «numeros enteros infi-nitos» Cantor se refiere siempre a los ordinales transfinitos. (Todavia no con-sideraba las potencias como numeros cardinales, idea que introducing en susBeitrdge de 1895, y con ella los celebres alefs: K0, X „ ...)

[6] Esta definicion, aunque precisa, es prolija y poco elegante. Poste-riormente se ha preferido emplear como definicion el primer teorema formu-lado por Cantor en el § 13 —todavia restringido a numeros de la clase (II)—.Decimos asi que un conjunto C esta bien ordenado, o que se ha establecido unbuen orden sobre C, si esta dado un orden total < sobre C, tal que todo sub-conjunto S no vacio de C tiene un menor elemento: un elemento r e S tal quer<s para todo s e S (siendo r&s).

[7] Esta frase resulta sumamente significativa, ya que en ella Cantor for¬mula el Teorema del Buen Orden, si bien lo considera como un principio logicoo «ley del pensamiento» [Denkgesetz]. Ahos mas tarde intentaria ofrecer una

demostracion, como sabemos por las cartas a Hilbert y Dedekind: en 1897-1899planeaba escribir una tercera parte de Beitrdge dedicada a este asunto. Sin em¬

bargo, ese articulo no llego a publicarse, de modo que el teorema del Buen Or¬den no volvio a ser mencionado por Cantor despues de 1883. Lo planted nueva-

mente David Hilbert (1862-1943) en el primero de sus celebres «MathematischeProbleme» de 1900. Ernst Zermelo (1871-1953) ofrecio dos demostraciones en

1904 y 1908, sobre la base del Axioma de Election, con lo que susrito un inten-

so debate en torno a la teoria de conjuntos y los metodos abstractos.[8] Aqui hay que suponer que My M’ son disjuntos, de modo que M +

M’ denota la union disjunta.[9] Cantor emplea aqui una notacion distinta de la actual: su p-a lo de-

notamos hoy, en orden inverso, a-p. Fue Cantor mismo quien propuso este

cambio en sus Beitrdge de 1897, y el motivo del cambio es guardar analogiacon la operation suma: igual que 2+to = (0 (y distinto de CO+2), con la notacionposterior 2-co = CD (y distinto de w-2). Esto es especialmente importante (vea-

se la carta n° 47) al considerar potencias of de numeros transfinitos.[10] La proposition a que se refiere no es otra que la Hipotesis del Con¬

tinue (vease el § 1de la introduction y Abhandlungen, 132); ni que decir tie¬ne que en esta frase se expresa una esperanza que Cantor no logro cumplir.Tampoco lo han logrado sus sucesores; lo unico que sabemos es que la HC es

FUNDAMENTOS PARA UNA TEORlA GENERAL DE CONJUNTOS 147

independiente de los axiomas de Zermelo-Fraenkel (Paul J. Cohen, 1963),

aunque compatible con ellos (Kurt Godel, 1939). Como veremos, la HC apa-

rece de nuevo en otros lugares del trabajo, e induso se encuentra una genera¬

lization suya, presupuesta en la anotacion 10.[11] El teorema que aqui se formula es el que hemos llamado en la pre¬

sentation «Teorema a», y supuso un paso esencial hacia el Teorema de Can-tor-Bendixson. Para comprender el enunciado, es necesario introdudr dconcepto de conjunto derivado, que Cantor habla presentado en 1872, en dcontexto de su investigacion sobre conjuntos de unicidad de series trigono-

metricas. El conjunto derivado de Pc R, simbolizado por P‘o P'\ consta detodos los puntos p que son puntos de acumulacidn de P; es dedr, todos los ptales que en todo entorno de p hay infinitos puntos de P. (Un par de ejemplos:

el conjunto de los puntos de coordenada 1In, para n entero, tiene por deriva¬do el conjunto unitario (0); el conjunto de los puntos de coordenada racionalsobre la recta tiene por derivado toda la recta real.) En general P' puede tener

infinitos elementos —y por tanto tener puntos de acumulacion—, de manera

que consideraremos iteraciones de esa operacion: P", P’", ...; induso pueden

existir derivados de orden transfinito, Ptol, F'“*u ..., P”1..., definiendo P““ como

la interseccion de todos los derivados de orden finito. Fue de esta manera

como Cantor se encontro por vez primera, hada 1872, con los «slmbolos deinfinitud», aunque de momento estos simbolos no tenian ninguna entidadpropia: solo representaban ciertas operaciones que pueden realizarse sobre elsoporte general de la recta real. Aquellos simbolos fueron presentados al pu¬

blico en la segunda entrega (1880) de «Sobre variedades de puntos...».[12] El primer volumen de Acta Mathematica contenia, en version fran-

cesa, todos los articulos citados en la anterior nota [1] y una version resumidade los Grundlagen. Pero la demostracion prometida se encuentra en la sexta

entrega de «Sobre variedades de puntos lineales e infinitas»; vease Abhan-dlungen, 220-223. El articulo de Gosta Mittag-Leffler (1846-1927) que Can¬tor anuncia mas abajo aparedo en el volumen 4 (1884) de Acta, bajo el titulo«Sur la representation analytique des fonctions d’une variable independan-te». El teorema de Mittag-Leffler constituia una culmination natural para una

importante linea de investigacion iniciada por Weierstrass.[13] La negativa radical a los intentos de desarrollar ideas sobre siste-

mas numericos no-arquimedianos (planteados en aquella epoca por autores

como J. Thomae, O. Stolz y P. du Bois-Reymond) es un tema recurrente encartas y trabajos de Cantor a partir de este momento. El asunto es celebre,porque quien tuvo que luchar contra los prejuidos de sus contemporaneos a

fin de introducir los numeros transfinitos, parece tener prejuicios igualmenteinfundados (e igualmente comprensibles, quiza) con respecto a los infinitesi-mos. Zermelo, por ejemplo, escribio que Cantor cometia aqui tma petitio

principii similar a la que reprochaba a los enemigos de los numeros infinitos:

148 GEORG CANTOR

presuponiendo la continuidad del dominio, demostraba que el axioma de Ar-quimedes es necesariamente valido (Abhandlungen, p. 439). Hacia 1960Abraham Robinson (1918-1974) pudo definir —empleando metodos de lateoria de modelos— una extension no-arquimediana del cuerpo de los nume-

ros reales, en la que se encuentran elementos infinitesimales («cantidades in-

finitamente pequenas» bajo la «forma del infinito propio»). Ideas similaresfueron propuestas por D. Laugwitz, y sobre esa base se logra construir el ana-lisis no estandar.

[14] Se refiere aqui, aunque cuidandose mucho de nombrarlo, a Leo¬pold Kronecker (1823-1891), influyente miembro de la Academia de Berlin a

cuyas clases habia asistido Cantor, que precisamente en 1883 se convirtio encatedratico de la Universidad. Las opiniones de Kronecker, su negativa aaceptar los metodos abstractos y su propuesta de una reforma radical de lamatematica pura —empezando por eliminar los irracionales—, eran muy bienconocidas entre los matematicos alemanes. Por esta epoca llevaba ya anos cri-

ticando el analisis de Weierstrass y otros desarrollos (como los ofrecidos porCantor) en sus conversaciones privadas, cartas y clases. En prensa solo habiaformulado criticas al enfoque del algebra y de la teoria de numeros algebrai-cos caracteristico de Richard Dedekind (1831-1916) y de la matematica mo-

derna. En este § 4, el berlines sale malparado: su enfoque es tildado de «pro-saico y obvio», se le compara con los antiguos escepticos, y se afirma que eldesarrollo de la matematica en el siglo xix hubiera sido imposible de seguir

sus recomendaciones. Ademas, Cantor le reprocha que no intenta formularsus opiniones de manera precisa. Vease tambien la nota 23 mas abajo.

[15] Entre 1886 y 1888, Cantor publico sendos articulos acerca del infi¬nito —basados en cartas y de caracter filosofico-teologico— en el Zeitschriftfur Philosophic und philosophische Kritik [Periodico de filosofia y critica filo-sofica], una revista inspirada en J. G. Fichte; resulta caracteristico que eligie-ra un medio de expresion de filosofos idealistas, y no una revista de corte maskantiano. Esos articulos se publicaron reunidos en el volumen titulado ZurLehre vom Transfiniten [Sobre la teoria del transfinito] (Halle, 1890); ver

tambien las cartas n° 47 y 48, y los Abhandlungen, pp. 370-439.[16] Como queda claro aqui y en lo que sigue, Cantor se siente herede-

ro de las filosofias de Spinoza y Leibniz. Su interes por Baruch Spinoza (1632-

1677) surgio en la epoca de estudiante. Este judio holandes, de ascendenciaiberica, es catalogado como pensador racionalista, y tambien como panteistao materialista. Su obra mayor, Etica demostrada segun el orden geometrico(Madrid, Editora Nacional, 1980), es un tratado cuya estructura axiomaticaanalizo y critico Cantor en 1867. Spinoza defiende que Dios o Naturaleza es

la unica substancia y que todos los seres son «modos o afecciones» de los mul¬tiples «atributos» de Dios (dos ejemplos de atributos: el Pensamiento, lo men¬tal, y la Extension, lo material). En la primera parte de la Etica encontramos

FUNDAMENTOS PARA UNA TEORlA GENERAL DE CONJUNTOS 149

la definition: «Por Dios entiendo un ser absolutamente infinito, esto es, unasubstancia que consta de infinitos atributos, cada uno de los cuales expresauna esencia eterna infinita» (op. cit.,51). Estas ideas resuenan en diversos lu-gares de los Fundamentos.

[17] En efecto, la introduction plena de los numeros complejos eraasunto retiente: hasta el siglo xix estos «anfibios entre el ser y el no ser»(Leibniz) habian sido tratados como curiosidades matematicas, o a lo sumocomo expedientes heurfsticos. Carl F. Gauss (1777-1855) se convencio de suplena validez ya hatia 1799, pero se guardo sus opiniones hasta 1831, cuandoempezaban a ser bien conotidas ideas similares de otros autores. En cuanto alanalisis de variable compleja, aunque A. L. Cauchy (1789-1857) habfa ido rea-lizando importantes contribuciones, puede decirse que solo a partir de 1850

:on Riemann y Weierstrass— se desarrolla en serio.[18] Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) es el conocido racionalista

que invento el calculo infinitesimal y hablo de una «armonia preestablecida»y de nuestro universo como «el mejor de los mundos posibles». En todos suscampos de trabajo supo obtener gran rendimiento de aplicar el metodo axio-matico, que comprendio mejor que nadie en su epoca. En su Monadologta(Madrid, Aguilar, 1968) concibe el mundo como compuesto de monadas, queson elementos indivisibles en numero infinito; no son substancias materiales,sino mas bien espirituales: las monadas son esencialmente activas y su activi-dad consiste en percibir, apetecer y razonar. Ideas acerca de como el univer¬so es infinito en acto, cointidentes con la cita que ofrece Cantor, se encuen-tran en los §§ 65 y ss. de la Monadologta.

[19] Los escolasticos llamaban «sincategoremas» a terminos como «y» o«no» que no representan ningun objeto, por oposicion a los «categoremas».

Consideraron el infinito potential como sincategorematico, lo que implicaque no tiene ningun referente real, y a la vez reconocieron un infinito catego-

rematico o actual, que se darfa solo en Dios. La infinitud de los numeros o delos puntos sobre la recta seria siempre sincategorematica, potential.

[20] Bernard Bolzano (1781-1848) mostro en sus escritos como las «pa-radojas» del infinito son solo aparentes, y trato de elaborar una teoria de lascolecciones y los conjuntos infinitos (incluyendo una «demostracion» de queel reino de las verdades en sf es, de hecho, actualmente infinito). Por desgra-cia, su obra pionera solo fue conocida por Cantor y Dedekind cuando ya ha-bfan alcanzado y superado sus puntos de vista. Las secciones de su libro a lasque remite Cantor tratan de como, en su opinion, existe un calculo precisocon los infinitamente grandes (muy alejado del calculo transfinito cantoriano)

y tambien con los infinitesimos —introducidos como valores recfprocos delos infinitamente grandes—, y de como evitar falsas concepciones al respecto.

Vease Paradoxien des Unendlichen, ed. F. Prihonsky (Leipzig, Meiner, 1920;orig. 1851) y los comentarios de Hans Hahn en pp. 145-146.

150 GEORG CANTOR

[21] En este principio especulativo e idealista resuenan el pantefsmo deSpinoza y tambien la teodicea de Leibniz. Los conjuntos transfinitos existenen la mente divina, ya que gozan de realidad inmanente, y a la vez en la Natu-raleza, ya que —segun Leibniz— Dios es omnipotente y tiende a producirtodo lo posible, pues desea un mundo perfecto. Razonando con Spinoza di-riamos que los transfinitos, puesto que estan en el universo del pensamiento,deben darse tambien en el mundo material, y la razon es que ambos —pensa¬

miento y materia— son «atributos» de Dios o Naturaleza entre los que reinaun perfecto paralelismo. Es facil tambien conectar con todo esto el celebreplatonismo matematico de Cantor, que se advierte especialmente en las ano-taciones 1 y 2: tenia plena confianza en la realidad de los transfinitos, de todogenero y potencia, como entes existentes en ese mundo platonico que es lamente divina. Aqui resuena tambien la adaptacion de ideas de Platon al cris-tianismo que realizo san Agustfn.

[22] Cantor se opone aquf, de nuevo, a las concepciones de Kronecker,ya que este consideraba la matematica como una ciencia empfrica, idea que noera infrecuente en una epoca dominada por el positivismo. Al hablar de «rea-lidad inmanente»se considera solo una especie de existencia intelectualo ideal,uno de cuyos requisitos esenciales —vease el parrafo siguiente— es que losconceptos sean «consistentes en sf mismos». Cantor esta pues prefigurando lacelebre tesis de Hilbert, segun la cual la existencia matematica equivale sim-plemente a la consistencia del entramado conceptual (sistema axiomatico) delque se trate.

[23] En una carta a Mittag-Leffler de noviembre de 1883 escribe Cantorque en los parrafos precedentes (y en § 4) se critican ideas de Kronecker: «Siha lefdo usted mi obra Grundlagen con atencion, encontrara que en las pp. 9,

10, 11 y en las pp. 19 y 20 juzgo y ataco con todo rigor precisamente esas ideasde Kronecker; en la p. 20 y en otro contexto le hago un cumplido, aunque jun¬to a Dedekind (lo que le enfada mucho), pero solamente por concederle unpoco de balsamo para las heridas infringidas en esos lugares.— Al escribirlo,sabfa ya que el pequeno sujeto nunca me lo perdonarfa y que intrigarfa de to-

das las formas posibles contra mi trabajo; por ello no me sorprende nada loque oigo acerca de sus [ilegible: contra mf» (Brie/e, p. 144). Eltono de inquina hacia el poderoso Kronecker, que efectivamente era bajito,iria creciendo en los meses siguientes, y mas tarde el propio Cantor vena enello la principal causa de su crisis nerviosa de 1884 (vease la correspondenciade 1884 entre Cantor y Kronecker).

[24] El «renombrado f!sico» no era otro que Gustav R. Kirchhoff(1824-1887), a la sazon profesor de ffsica teorica en la Universidad de Berlin.En su obra Vorlesungen uber Mechanik (Leipzig, 1876), Kirchhoff establecfacomo tarea de la mecanica «describir de la forma mas simple y completa losmovimientos que acontecen en la naturaleza». Nuevamente encontramos que

)

FUNDAMENTOS PARA UNA TEORfA GENERAL DE CONJUNTOS 151

Cantor critica un enfoque relacionado con las tendencias positivistas del mo-mento, y defiende una vuelta a la metafisica como instrumento para penetrar

en los secretos de la naturaleza.[25] El propio Karl Weierstrass (1815-1897) expreso muchas reservas

sobre esta presentation de sus ideas, la primera publicada: en una carta a Mit-tag-Leffler dice que su introduction habia sido «echada a perder» por ErnstKossak. Hoy contamos con versiones mucho mas fiables, basadas en redac-ciones manuscritas realizadas por alumnos, que circularon por Alemania en laepoca: Einleitung in die Theorie der analytischen Funktionen (Braunschweig,Vieweg, 1988; redaccion de Killing, 1868), Ausgewdhlte Kapitelaus der Funk-tionenlehre (Leipzig, Teubner, 1988; redaccion de Thieme, 1886). Pero ten-

gase en cuenta que Cantor habia conocido esas lecciones de primera mano, enlos anos 1860.

[26] En la practica no resulta mas inconveniente basar el desarrollo teo-

rico en las cortaduras de Dedekind, que en las sucesiones fundamentales deCantor. Lo que si es cierto es que las dos definiciones resultan diferentes a lahora de generalizarlas, ya que Dedekind presupone la existencia de un ordenlineal denso, mientras que Cantor se basa en propiedades metricas del con-junto de los racionales. De ahi que el segundo enfoque sea mas fructifero enel campo de la topologia. Existe una version castellana de la obra de Dede¬kind en el volumen {Que son y para que sirven los numeros? y otros escritos,

ed. J. Ferreiros (Madrid, Alianza, 1998).

[27] Cantor nunca dio el paso de considerar dases de sucesiones funda¬mentales equivalentes (en el sentido de la presente definicion de «ser igualque»), que es la manera en que hoy se presenta su enfoque. En lugar de ello,considera que para cada sucesion fundamental se «crea» un numero b, e indi-ca bajo que condiciones dos sucesiones corresponden al mismo numero.

[28] Esto es una consecuencia simple de que la segunda clase numerica

sea no-enumerable. Ademas, el supremo de una sucesion enumerable y cre-ciente de ordinales de la segunda clase es, a su vez, un ordinal de esta clase.

[29] Esta afirmacion puede resultar muy sorprendente, pero es caracte-

ristica de las ideas de Cantor en la decada de 1880. Consideraba los numerostransfinitos como una extension del conjunto de los numeros reales, de modoque oo > r, para todo r e IR. Y pensaba que a continuation valia la pena consi¬derar la completion del conjunto de los ordinales enumerables (II), emplean-do el metodo de sucesiones fundamentales; en 1884 y 1885 intento buscar poresta via una manera de demostrar la Hipotesis del Continuo.

[30] Esto no es del todo cierto: la primera definicion del continuo, co-rrecta y presentada explicitamente como tal, se debe a Dedekind en su obraantes citada (nota [26]). Pero Dedekind solo define el continuo lineal, mien¬tras que Cantor queria tener una definicion mas general, aplicable a todo sub-conjunto continuo del espacio El tema se discute ya en cartas

152 GEORG CANTOR

que ambos se cruzaron en septiembre de 1882, y aquf leemos: «No he tenidoexito con un intento degeneralizar su concepto de cortadura y emplearlo parauna definicion general del continuo. Por el contrario, mi punto de partida enlas “sucesiones fundamentales” enumerables parecio acomodarse facilmentea ello».

[31] A1hablar del tiempo como forma a priori de la intuicion, se esta ha-ciendo referenda a la doctrina kantiana expuesta en Critica de la razon pura(igual que sucede en el parrafo siguiente respecto al espacio). Immanuel Kant(1724-1804) habia defendido que espacio y tiempo no tienen realidad exte¬

rior, sino que son formas de la sensibilidad del sujeto, a las que debe ajustar-se necesariamente todo acto de percepcion; sin dar detalles, Kant sugeria quela intuicion temporal es el origen de la aritmetica y concretamente del con¬cepto de numero real. Cantor senala que en lugar de servir la intuicion deltiempo como fuente de la idea del continuo, la relacion es la inversa: el con¬cepto del continuo numerico sirve para darificar la nocion del tiempo, masoscura. Otra referenda filosofica contenida en este parrafo se encuentra al ha¬blar del tiempo como medida del movimiento: parece referirse a la definicionde Aristoteles, «el tiempo es el numero del movimiento segun d antes y el des-pues» (Ft'sica IV, II, 219 b 2).

[32] He aqui, de nuevo, la Hipotesis dd Continuo bajo la forma: el in-tervalo (0, 1) —o lo que es lo mismo, R— y la clase numerica (II) son equipo-tentes. Anos mas tarde, en los Beitrdge de 1895, Cantor introdujo sus cdebresalefs o numeros cardinales transfinitos para denotar las potencias infinitas: X 0

es la potencia de los conjuntos enumerables; X t la de la segunda clase nume¬rica (II) y conjuntos equipotentes; etc. Si llamamos C a la potencia del conti¬nuo, con esta notacion la HC se expresa bajo la forma simple: C = X

Lo que no requiere la HC es d resultado de que el conjunto de las fun-ciones analiticas tiene la potencia C, como tambien el conjunto de las funcio-nes representables mediante series de Fourier, od de las funciones continuas.Tampoco es necesaria para demostrar que d conjunto de todas las fundonesreales tiene la potencia 2°, y de esto habia la anotacion 10.

[33] Encontramos formulado aqux, por vez primera, el Teorema deCantor-Bendixson, si bien de una forma defectuosa. Es cierto que todo con¬junto derivado puede descomponerse: P' = R U S, donde R y S son disjun-tos, S es un conjunto perfecto (por tanto de la potencia del continuo, si noes vacio) y R es finito o enumerable. Pero no es cierto que R sea «reducti-ble», segun la definicion que se da mas abajo. Un alumno de Mittag-Leffler,Ivar Bendixson (1861-1935), localizo el error y dio un contraejemplo en unacarta a Cantor y luego en un articulo publicado en Acta Mathematica 2(1883); tambien advirtio que la propiedad que si cumple R es que R n R'“’

= 0 para algun ordinal a de la primera o segunda clase. Cantor recogio es-tos resultados y reconocio la contribucion de Bendixson en la sexta y ultima

FUNDAMENTOS PARA UNA TEORlA GENERAL DE CONJUNTOS 153

entrega de «Sobre variedades de puntos lineales e infinitas» (Abhandlungen,222-224).

[34] El concepto de conjunto «conexo» ha cambiado mucho desde esta

primera definicion de Cantor, que no es muy satisfactoria intuitivamente, enla medida en que el mismo conjunto Q de los numeros racionales resulta serconexo. Las definiciones actuales enlazan con las que propuso Felix Haus-dorff (1868-1942) en 1914: un espacio topologico es conexo cuando no es re¬presentable como union de dos subconjuntos suyos (no vacios) disjuntos y

abiertos. En cuanto a la definicion de «continuo», las que se emplean actual-mente en topologia tambien se desvian de la de Cantor, aunque esto no anulani mucho menos el valor de su intento pionero. Lo habitual hoy es entenderpor continuo un conjunto de puntos C compacto y cerrado de un espacio co¬nexo (y se dice que un conjunto es compacto cuando todo subconjunto infini¬te suyo posee un punto de acumulacion en el correspondiente espacio).

[35] Bolzano entendia por «continuo» cualquier conjunto denso (en unespacio ambiente indeterminado): «alll, pero solo alii, se encontrara un conti¬nuo, donde exista una coleccion deobjetos simples (de puntos en el tiempo oen el espacio o tambien de substancias [monadas]) que estan situados de talmodo que cada uno de ellos tiene al menos un vecino de dicha coleccion entodo entomo, por pequeno que sea» (op. cit. nota [20], 73). Cantor entiendepor conjunto aislado aquel conjunto de puntos P que no contiene ninguno desus puntos de acumulacion, esto es, tal que P n P* = 0. Su objecion a Bolza¬no es que, digamos, el subconjunto de IR3 formado por los puntos cuyas coor-

denadas son todas racionales (o todas algebraicas) es un «continuo» de Bol¬zano.

[36] Dedekind localiza la propiedad caracteristica del continuolineal en

que toda cortadura del mismo (Ax, A2) es «producida» por un elemento c delcontinuo, en el sentido de que A, es el conjunto de todos los a < c (o bien a <c) y A2 el conjunto de todos los a > c (o bien a > c). Cantor tiene razon al de¬ar que todo subconjunto perfecto de IR o R" satisface esa propiedad conside-rada aisladamente. Sin embargo, deberfa advertir al lector de que Dedekind(op. cit. nota [26]) presupone que el conjunto en cuestion es ya un cuerpo or-denado denso; con esta precision, su definicion es correcta para el continuo li¬neal, aunque no admite generalization a espacios «-dimensionales. (Lo curio-so es que esta cuestion habia sido tratada por ambos con detalle en las cartas

del ano 1877, y que Cantor se habia declarado conventido por las aclaracio-nes de Dedekind, aunque ahora vuelve sobre la misma critica.) El propio Can¬tor, en los Beitrdge de 1895 y con el fin de caracterizar el continuo linealC, re-

emplazaba la condition de ser conexo por la existencia de un subconjuntoenumerable de C, que sea denso en C (Abhandlungen, 310).

[37] El primer principio de generation consiste, pues, en el paso al nu-mero siguiente o sucesor; Cantor lo concibe como la «creacion» del sucesor.

154 GEORG CANTOR

Es algo peculiar la terminologia que emplea, por ejemplo cuando habla de es-tos principios como «momentos» que intervienen en la generation de los nu-meros (la palabra tiene resonancias de la filosofia idealista), o cuando habla dela «posicion» [Setzung], esto es, del poner una unidad. Estos rasgos de su len-guaje parecen deberse a la influencia de la filosofia.

[38] Como ya se ha dicho, desde los Beitrage del propio Cantor, losproductos se escriben en el orden inverso: co-2, co-n.

[39] Este resultado puede obtenerse empleando un metodo, sugeridopor Dedekind, que Cantor utilizo ya en su articulo de 1874 precisamente parademostrar que el conjunto de los numeros algebraicos es enumerable (Abhan-

dlungen, 116). Dado el numero oc = Voto’' + vlcd'~' + ... + vÿCO + vÿ, entendemospor «altura» de a el numero natural « = p- l+v0 + v, + ...+ vp_, + vM. Paracada «altura» solo puede haber una cantidad finita de ordinales a, asi que or-denando losa en funcion de su altura obtenemos una sucesion infinita simple,de tipo co, en la que estan contenidos todos los numeros menores que Of.

[40] Quiza este «evidentemente» requiera una aclaracion, al no serlotanto para el lector. De la primera sucesion (av), Cantor obtiene una segunda(axl) que es estrictamente creciente; la sucesion (oO es enumerable, de modoque su subsucesion (axJ tambien es enumerable o finita. El paso siguiente es«rellenar» la sucesion (alX) con todos los numeros ordinales de la clase (II)

que estan entre elementos sucesivos. Esto significa que, para cada elemento

axX, se anadira una cantidad enumerable o finita de numeros ordinales. El to¬

tal de los elementos anadidos es la union de una familia enumerable de con-juntos enumerables, y por tanto un conjunto enumerable (la demostracion deeste resultado es sencilla y puede hacerse del mismo modo que demostramosque los numeros racionales positivos forman un conjunto enumerable). Poreso es por lo que Cantor afirma que «evidentemente» el conjunto de numeros

ordinales que obtenemos es de la primera potencia.[41] Los dos teoremas que vienen a continuation son propiedades fun-

damentales de los conjuntos bien ordenados Oen general, sea cual sea su car-dinalidad. (1) Todo subconjunto no vacfo de O contiene un (unico) menorelemento. (2) Toda sucesion estrictamente descendente de elementos de Oesfinita.

[42] Cantor formula aqux por vez primera el Teorema de Cantor-Berns-tein: si dos conjuntos cualesquiera son tales que cada uno es equipotente a unsubconjunto del otro, entonces ambos son equipotentes entre si (a veces 11a-mado de Schroder-Bernstein, si bien la demostracion que dio Ernst Schroderen 1896 era incorrecta). Aunque tras la introduction de los ordinales transfi-nitos Cantor creyo que pronto lograrfa demostrarlo, resulto no ser asi, y en susBeitrage de 1895 llamaba la atencion sobre la necesidad de probarlo. La pri¬mera demostracion satisfactoria fue obtenida por Felix Bernstein (1878-1956)

en el seminario de Cantor en Halle (1897), y publicada por Emile Borel en su

FUNDAMENTOS PARA UNA TEORlA GENERAL DE CONJUNTOS 155

famoso libro Lemons sur la theorie desfonctions (Paris, 1898). Dedekind habiaobtenido una demostracibn ya en 1887, aunque no la publico (sobre las cir-

cunstancias de este curioso hecho, vease mi libro Labyrinth of thought, op. cit.

en la introduction, 239-241).

[43] El esbozo de las leyes algebraicas validas para los ordinales transfi-nitos, contenido en este § 14, resulta a veces insuficientemente justificado, sebasa en la intuition. Cantor retomo el asunto en sus Beitrdge de 1897, emple-ando una nueva definition de los ordinales (como tipos de orden de conjuntos

bien ordenados) y ofreciendo un desarrollo mucho mas detallado y riguroso.[44] Literalmente, Cantor escribe: conjunto es «todo Muchos que pue-

de ser pensado como Uno», lo que recuerda el lenguaje de los filosofos grie-

gos. Debe notarse que en esta definition asigna un papel central a la «ley»[Gesetz] que reune los elementos en un todo: hay que pensar que Cantor to-

davia no se habia distanciado del punto de vista «logico» o «ingenuo» en teo-

rfa de conjuntos (basado en el axioma de comprehension: toda ley o propie-

dad bien definida determina un conjunto). Tambien es digna de nota laasociacion que establece con ideas de Platon (427-347 a. C.), concretamente

con el Filebo, uno de los ultimos dialogos del filbsofo ateniense, donde se ha¬bia del placer, el bien y la sabiduria, pero tambien de la relacion entre multi-plicidad, unidad y numero. La referencia un tanto oscura al mikton puede in-

terpretarse asl: los conjuntos transfinitos son una «mezcla» o combinacionarmoniosa entre lo ilimitado (en tanto son infinitos) y lo limitado (en tanto es-

tan perfectamente determinados y definidos). Lo Absoluto, en cambio, seria

puramente ilimitado, al menos para nuestro entendimiento.[45] Es llamativo que Cantor sacase enseguida la conclusion de que de-

ben existir potencias tan grandes como o N£i, y asi hasta lo absolutamenteinfinito. Ciertamente lo sugieren sus dos printipios de generacion, pero resul¬ta tan vago como el segundo de estos («paso al limite» transfinito) y todo pa-rece colgar en el vacio. Cabe pensar que aqui, una vez mas, le ayudaron su pla-tonismo y sus convicciones teologicas y metafisicas. En cuanto a la ultimafrase de esta anotacion, destacar que establece correctamente el requisito deque yno sea un ordinal lxmite: sobre la base de la teoria de las «funciones nor-males», Hausdorff demostro que existen ordinales limite (singulares) y, talesque y= CDY, es decir, que yes el primer ordinal de la clase cuya potencia es Sr

[46] Como vemos, Cantor piensa que la filosofia kantiana es hija del es-cepticismo y absolutamente incorrecta. En uno de sus articulos filosoficos de-cia (refiriendose a las celebres «Antinomias de la razon pura») que «jamas

—incluso teniendo en cuenta el escepticismo pirronico y academico, con elque Kant tiene tantos puntos de contacto— se ha hecho mas para desacredi-tar la razon humana y sus facultades» y que todo se basaba en un empleovago, acritico y carente de distinciones del concepto de infinito. A esto res-pondia su sucesor y editor Ernst Zermelo diciendo que Cantor no hacia de

156 GEORG CANTOR

ningun modo justicia a la doctrina kantiana de las antinomias: «Incluso aquelque, como el editor, rechace de raiz la teoria kantiana de la matematica, segunla cual todas las proposiciones matematicas deberian basarse en la “intuicionpura”, habra de conceder sin embargo que en esta doctrina de las “antino¬mias” se expresa una comprension mas profunda, una vision de la naturaleza“dialectica” del pensamiento humano. Y un peculiar destino dispuso que pre-cisamente las “antinomias de la teoria de conjuntos”, cuya analogia al menos

formal con las kantianas no puede negarse, se interpusieran durante toda unageneracion a la difusion y el reconocimiento de las contribuciones de Cantor»(Abhandlungen, 375 y 377).

[47] Una vez mas, igual que en la anotacion 6, Cantor reafirma su afini-dad con una doctrina especificamente platonica como es la del conocimientocomo reminiscencia: todo conocer es recordar, despertar aquello que ya esta

en nosotros y que hemos visto en la otra vida. Por cierto, conviene anadir queen sus ultimos dialogos (Filebo, Timeo) Platon tiende a ligar matematica y te-

ologia, hasta el punto de entender que el intelecto divino esta constantemen-

te entregado a la geometrfa, y que el cuerpo y el alma del Universo estan cons-tituidos matematicamente.

[48] Aqui hay un error en lo que se dice del conjunto de las funcionesintegrables, porque ya las funciones integrables de Riemann forman un con-junto de mayor potencia. Es notable que, al afirmar que el conjunto de todaslas funciones reales (continuas y discontinuas) tiene la potencia X2> Cantoresta ya estableciendo una primera generalization de la HC; la Hipotesis delContinuo Generalizada afirma que siempre 2"“ = XH+1. Pero hay algo quiza

mas llamativo en el contenido de esta anotacion. Lo que Cantor afirma presu-pone que esta en condiciones de demostrar que el conjunto de todas las fun¬ciones tiene una potencia mayor que C, y concretamente la potencia 2°. Paraello, tendrfa que haber empleado ya el celebre e importantxsimo metodo dediagonalizacion, que publico por vez primera en el articulo de 1892. Ver lacarta a Hilbert, 11 de octubre de 1897.

[49] He aqui el famoso conjunto temario, tambien llamado el disconti¬nue de Cantor. Lo que hace es trabajar con los numeros del intervalo [0, 1] re-presentados en el sistema de base tres, y eliminar todos los puntos cuya ex¬pansion ternaria lleve la cifra 1. Para visualizar el resultado, basta pensar queal eliminar el 1 de la primera posicion tras la coma, se excluye el intervalo(1/3, 2/3); al eliminarlo de la segunda posicion, se excluyen los intervalos(1/9, 2/9) y (7/9,8/9); y asi sucesivamente. Por tanto, al conjunto temario per-tenecen todos los puntos extremos que nos van surgiendo: 0, 1/3, 2/3, 1, 1/9,2/9, 7/9, 8/9, etc.; si llamamos S al conjunto de esos puntos, el discontinue deCantor es precisamente su derivado S'; y resulta que este conjunto no es den-so en ninguna parte (es el complemento de un conjunto de abiertos distribui-do densamente en [0, 1]). Cantor demostro un ano despues que puede esta-

FUNDAMENTOS PARA UNA TEORl'A GENERAL DE CONJUNTOS 157

blecerse una aplicacion biunivoca entre el conjunto ternario y el intervalo [0,

1] completo.[50] La referenda a la segunda clase presupone, una vez mas, que la HC

es verdadera. Notese como Cantor vuelve al tema una y otra vez, y siempre

con plena conviccion de que su hipotesis resultara correcta.

SOBRE UNA CUESTION ELEMENTALDE LA TEORIA DE CONJUNTOS (1892)

En el articulo titulado «Sobre una propiedad de la coleccion detodos los numeros reales algebraicos» (Journ.fur Math. vol. 77,p. 258) se encuentra por primera vez una demostracion de laproposition de que hay conjuntos que no se pueden relacionarbiunivocamente con la totalidad de los numeros enteros finitos1,2,3tienen la potencia de la serie numerica 1, 2, 3, v,... De lo de-mostrado en el § 2 se sigue sin mas que, por ejemplo, la totali¬dad de los numeros reales de un intervalo cualquiera (a...(5) nose puede representar en forma de sucesion:

cov, ...

v, ...; o, como yo acostumbro a expresarme, que no

C0i,0)2,

Se puede dar, sin embargo, una demostracion mucho massimple de ese teorema, que es independiente de la considera¬tion de los numeros irracionales.

Sean my w dos caracteres cualesquiera mutuamente exclu-yentes, consideremos la coleccion M de elementos

E = (Xj, x-2, ...,xv, ...),

que dependen de infinitas coordenadas xv X2, ...,xv,cada una de estas coordenadas es o m o w. Sea M la totalidadde los elementos E.

A los elementos de M pertenecen por ejemplo los tres si-guientes:

donde

E1 = (m, m, m, m, ...),En = (w, w, w, w, ...),Em = {m, w, m, w, ...).

Afirmo ahora que tal conjunto M no tiene la potencia de la su¬cesion 1, 2, 3, ..., v, ... .

160 GEORG CANTOR

Esto se sigue de la siguiente proposicion:«Si Elf E2) Ev, ... es una sucesion simple cualquiera de

elementos del conjunto M, entonces hay siempre un elementoE0 de M que no coincide con ningun Ev».

Para demostrarlo, sean

Ei = (au,E2- (a2,l, a22,

ai,v> •••)

a2,v> •••)

Eu (an,i> •••> aÿv> ...)

Aqui los aÿu son de forma determinada o m o w. Deflnase aho-ra una sucesion bj, b2, ..., bv, ... de tal modo que bv sea igualtambien solo a m o a w y distinto de av>v.

Por consiguiente, si av v = m, bv = w; y si av v =-w, entonces

Consideremos ahora el elemento de Mbv = m.

EQ — (bj, b2, b3, ...)

se ve sin mas que la igualdad

EQ- EMno puede ser satisfecha por ningun valor numerico entero posi-tivo de p, ya que de lo contrario seria, para el p en cuestion ypara todo valor numerico entero de v,

bv = aÿv

y tambien en particular

bn = an,n-

lo cual queda excluido por la definicion de bv. De esta pro¬posicion se sigue inmediatamente que no se puede poner latotalidad de los elementos de M en forma de sucesion: E1;

Ev, ... ya que de lo contrario nos enfrentarfamos a lacontradiccion de que una cosa E0 seria y no seria elementode M.

E2)

UNA CUESTI6N ELEMENTAL DE LA TEORlA DE CONJUNTOS 161

Esta demostracion resulta digna de atencion no solo por sugran sencillez, sino tambien particularmente por la razon deque el principio que en ella se sigue se puede extender sin masa la proposition general de que las potencias de conjuntos biendefinidos no tienen un maximo, o lo que es lo mismo, que acualquier conjunto dado L se le puede adjuntar otro M que esde potenda superior a L.

Sea por ejemplo L un continuo lineal, digamos la eoleccionde todas las cantidades numericas reales que son > 0 y < 1.

Se entendera por M la coleccion de todas las funciones[um'vocas]1 /(x) que toman solo los dos valores 0 o 1, mientrasque x recorre todos los valores reales que son > 0 y < 1.

Que M no tiene una potenda menor que L se sigue de quese pueden indicar subconjuntos de M que tienen la misma po¬tenda que L; por ejemplo, d subconjunto que consta de todaslas fundones de x que tienen el valor 1 para un unico valor x0 yel valor 0 para todos los demas valores de x.

Pero M no tiene tampoco la misma potenda que L, ya quede lo contrario d conjunto M se podrfa poner en relation biu-nivoca con la variable z, y se podrfa pensar M en la forma deuna funcion [unfvoca] de las dos variables xyz

<p(*> z)»

de modo que para cada valor particular de z se obtendra un ele-mento f(x) = <p(x, z) de M, y tambien, a la inversa, cada demen-tof{x) de M resulta de (p(x, z) mediante un unico y determina-do valor particular de z.

Pero esto conduce a una contradiction, pues si se entiendepor g(x) la funcion unfvoca de x que toma solo los valores 0 o 1y que es diferente de cp(x, x) para todo valor de x, entonces, poruna parte, g(x) es un elemento de M; por la otra, g(x) no puederesultar de <p(x, z) mediante ningun valor particular z = Zo, por-que (p(zo, ZQ), es distinto de g(z0).

1. Cantor anade esta palabra porque en su epoca era habitual aceptartambien «funciones» pollvocas, o sea, con varios valoresf(a) para un mismoargumento a. [N. del ed.\

162 GEORG CANTOR

La potencia de M no es por tanto ni menor ni igual a la deL, se sigue asi que es mayor que la potencia de L (cf. Journal deCrelle, vol. 84, p. 248).

En los «Fundamentos para una teorfa general de conjun-tos» (Leipzig 1883; Math. Ann., vol. 21) demostre ya por me-dios muy distintos que las potencias no tienen un maximo; in-cluso se probo alii que la coleccion de todas las potencias, si lasimaginamos ordenadas conforme a su tamano, forman un «con-junto bien ordenado», de modo que para cada potencia hay enla naturaleza una inmediatamente mayor, pero tambien a cadaconjunto creciente y sin fin de potencias les sigue una inmedia¬tamente mayor.

Las «potencias» representan la unica y necesaria generali¬zation de los «numeros cardinales» finitos, no son otra cosa quelos numeros cardinales infinitamente grandes actuates, y les co-rresponde la misma realidad y determination que a aquellos;solo que las relaciones formales entre ellas, la «teoria de los nu-meros» relativa a ellas, es en parte distinta que en el dominio delo finito.

La exploration ulterior de este campo es tarea del futuro.

CORRESPONDENCEDE CANTOR

CON DEDEKIND, HILBERTY OTROS

Ifjjlf ACTUALITfiSmi

SCIENTIFlQUES ET INDUSTRIELLES

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CANTOR-DEDEKIND

HERAUSGEGEBEN VON

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HERMANN & C* EDITEURS

Portada de la edicion 1937 de la correspondencia Cantor-Dedekind, edi-tada por la alemana E. Noether y el frances J. Cavailles.

CORRESPONDENCE CONRICHARD DEDEKIND (1872-1874)

1. CANTOR A DEDEKIND:

Halle a/S., 28 abril 1872Le manifiesto mis mas cumplidas gracias por el amable en-

vfo de su tratado sobre continuidad y numeros irracionales. Se-gun he podido ya convencerme, la concepcion del tema que yomismo me forme hace unos anos, partiendo de trabajos sobrearitmetica, coincide en contenidos con la suya; solo se encuen-tra una diferencia en la introduction conceptual de las magnitu¬des numericas. Respecto a que la esencia de la continuidad con-siste en lo que Ud. ha resaltado como tal, no puedo sinoaprobarlo con conviccion.

2. CANTOR A DEDEKIND:

Halle, 17 julio 1873...Nuestro encuentro casual en Gersau [Suiza, canton de

Schwytz] fue para mi tanto mas valioso, cuanto que me permi-tio conocer a un representante especialmente distinguido denuestra ciencia matematica. ...

Le deseo que disfrute de la tranquilidad necesaria para de-sarrollar la exposition detallada de su teoria de las irracionali-dades algebraicas en el caso del cubo [se refiere al estudio de lasclases de ideales en cuerpos cubicos], que propone Ud. en unarecension de la obra de Bachmann sobre la ciclotomia.1

1. Vease la resena de P. Bachmann, Die Lehre von der Kreisteilung undihre Beziehungen zur Zahlentheorie, en Dedekind, Werke, tomo III (1932),408-419. Este respondj'a en carta del 23 de julio mencionando una errata en laresena y anadiendo: «quiero hacerle notar que por largo tiempo no he podidosuperar todos los escollos y dificultades que se oponen a la determinacion del

166 GEORG CANTOR

El requisite) que fue establecido por vez primera, si no meequivoco, por Ud. y por mi, de incluir en el concepto geometri-co de la linea recta (y con ello, naturalmente, en el de toda va-riedad geometrica continual un determinado axioma que ca-racterizamos de manera completa y univoca, ha sido adoptadorecientemente por un geometra (F. Klein), si bien al modo untanto escurridizo de la nueva geometria {Math. Annalen, tomo VI,2a entrega). Me parece muy probable que ambos, por mas queno se nos mencione, seamos los causantes inocentes de estatoma de position.

Con el ruego de que continue honrandome tambien en elfuturo con su consideration amistosa, quedo siempre con lamas alta estima

Suyo humildementeG. CANTOR

3. CANTOR A DEDEKIND:

Halle, 29 nov. 73Permitame2 plantearle un problema que tiene para mi cier-

to interes teorico, pero que no alcanzo a resolver; quiza puedaUd., y sea tan amable de escribirme al respecto. Se trata de lo si-guiente.

Tomemos la coleccion de todos los individuos enteros posi¬tives n y designemosla por {ri)\ ademas pensemos en la colec¬cion de todas las magnitudes reales positivas x y designemoslapor (x); la cuestion es simplemente, <*resulta posible coordinar(«) con (x) de tal modo que a cada individuo de una coleccionle corresponda uno y solo uno de la otra? A primera vista unose dice a si mismo, no, no es posible, ya que («) consta de par¬tes discretas mientras que (x) forma un continuo; mas con estaobjecion nada se gana, y por mas que me inclino a la opinion de

numero de clases de ideales, en el caso general de cuerpos cubicos arbitrarios;pero espero que lo lograre cuando vuelva a tener tiempo para ello». La teoriasolo fue publicada en 1900 (Dedekind, Werke, tomo II [1931], 148-233). [N.deled.]

2. Respecto a las cartas del 29.11.1873 al 27.12.1873, veanse los comen-tarios de Dedekind en p. 5, que obviamente fueron escritos con posteriori-dad. [Nota de Noether y Cavailles.]

167CORRESPONDENT CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS

que (n) y (x) no admiten ninguna coordination um'voca, no lo-gro encontrar la razon tal como se pretende, pero quiza sea muysimple.

({No nos inclinariamos tambien, a primera vista, a afirmarque (n) no puede ser coordinado umvocamente con la colec-cion (p/q) de todos los numeros racionales positivos p/q? Y sinembargo no resulta dificil mostrar que (n) puede coordinarseumvocamente no solo con aquella coleccion, sino tambien conla mas general

(«n nv)1* n2» -donde nu n2, ..., nv son una cantidad cualquiera V de indices en-teros positivos tan grandes como se quiera.

4. CANTOR A DEDEKIND:

Halle, 2 diciembre 73Hoy me ha reportado una alegria muy singular recibir su

respuesta a mi ultima carta. Le plantee mi pregunta por la razonde que ya hace anos que me la hice como tal, pero siempre mehe encontrado en la duda de si la dificultad que me presentabaera subjetiva, o si mas bien estaba en el asunto. Puesto que Ud.me responde que tampoco Ud. esta en situation de responder-la, puedo suponer lo segundo. Me gustarfa anadir que nuncame he ocupado en serio del tema, dado que no tiene ninguninteres practico especial para mi, de modo que me adhiero ple-namente a Ud. cuando dice que por dicho motivo no merecegrandes esfuerzos. Mas resultaria hermoso que se pudiera res¬ponder; por ejemplo, suponiendo que la respuesta fuera no,con ello se habria dado una nueva demostracion del teorema deLiouville sobre la existencia de numeros trascendentes.

La demostracion que da Ud. de que (n) puede coordinarseumvocamente con el cuerpo de todos los numeros algebraicos,es mas o menos la misma con la que corroboro mi afirmacion dela ultima carta. Tomo n{2 + n22 + ... nv2 = N y ordeno segun ellolos elementos.

cNo es de por si bueno y comodo que, tal como Ud. ha en-fatizado, se pueda hablar del enesimo numero algebraico, demanera que cada uno aparezca solo una vez en la sucesion?

168 GEORG CANTOR

Tal como Ud. senala muy adecuadamente, nuestro proble-ma admite la siguiente formulacion: «ÿpuede {n) ser coordina-do univocamente con una coleccion

(ÿn|,ti2,donde nu n2, ..., «v son una cantidad infinita de indices enteros

positivos tan grandes como se quiera?».

5. CANTOR A DEDEKIND:

Halle, 7 diciembre 73En los ultimos dias he tenido el tiempo para perseguir con

algo mas de persistencia la conjetura que discuti con Ud.; solohoy creo haber acabado con el tema; pero si me equivocara, se-guro que no encontraria ningun juez mas indulgente que Ud.Me tomo pues la libertad de someter a su juicio lo que acabo deponer sobre el papel en la forma incompleta de un primer es-bozo.

Supongamos que se pudieran poner todos los numeros po¬sitivos co < 1 en la sucesion:

GOI, C02, C03,

Sea CDa el miembro inmediatamente mas grande que sigue a ©by sea ©p el siguiente que es inmediatamente mas grande, y asisucesivamente. Pongamos: ©t = ©/, ©a = ©j2, ©p = ©/ y asi su-cesivamente, y extraigamos de (I) la sucesion infinita:

(I) ©n, ...

©/, ©ÿ ©/, ..., ©ÿ ...

En lo que resta de aquella sucesion, denotemos el primermiembro por ©j1, el siguiente mas grande ©22, etc., y extraiga¬mos la segunda sucesion:

©21, ©22, ©25, ..., ©2n, ...Si se continua con esta forma de pensar, reconocemos que la su¬cesion (I) puede ser descompuesta en las infinitas sucesiones:

©I1, ®12, Wi3, Win,©21, ©22, ©23, ..., ©2n, ...©31, (O,2, ©3J, ..., ©3n, ...

(1)(2)(3)

169CORRESPONDENCE CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS

Mas en cada una de ellas, los miembros crecen siempre de iz-quierda a derecha; tenemos que:

(Ok" < o\"+1.Ahora tomese un intervalo (p...q) de manera que ningun

miembro de (1) caiga en el; esto es, por ejemplo dentro de(tOj1,..(Oj2). Ahora podria suceder que todos los miembros de lasegunda sucesion, o de la tercera, cayeran fuera de (p...q); peroen algun momento debe llegar una sucesion en la que no todoslos miembros caen fuera de (p...q), digamos la &-esima; (ya queen otro caso, los numeros que estan dentro de ip...q) no estariancontenidos en (I), contra el supuesto). Entonces podemos fijarun intervalo {p’...q’) dentro de (p...q), de manera que todos losmiembros de la &-esima sucesion caigan fuera del mismo; es evi-dente que entonces (p’...q’) se comporta del mismo modo en re¬lation a todas las sucesiones anteriores; mas en el desarrollo ul¬terior debe aparecer una sucesion £'-esima, cuyos miembros noesten todos fuera de (p’...q’), y entonces tomemos dentro deip’...q’) un tercer intervalo (p”...q”), de manera que todos losmiembros de la sucesion k’-esima caigan fuera de el.

Vemos asf que es posible formar una sucesion infinita de in-tervalos:

(p...q), (p’...q'), (p”...q"’),-cada uno de los cuales comprende a los siguientes, y que secomportan respecto a nuestras sucesiones (1), (2), (3), ... comosigue:

Los miembros de la sucesion primera, segunda, ... &-l-esimacaen fuera de ip...q).

“ “ “ £-esima, ... k -1-esima “ “ {p‘...q ).

“ “ “ ... i;”-1-esima “ “ {p”...q”).

Ahora se puede siempre pensar al menos un numero, quellamare t|, que cae en el interior de cada uno de los intervalos;de este numero t|, que obviamente es se ve enseguida queno puede estar contenido en ninguna de nuestras sucesiones(1), (2), (3), ... Y asi, partiendo del supuesto de que todos losnumeros esten contenidos en (I), se llegaria al resultado

170 GEORG CANTOR

opuesto de que un cierto numero q no se encuentra bajo (I);por consiguiente, la hipotesis era incorrecta.

De este modo creo haber llegado por fin a la razon de porque la coleccion que en mi carta anterior designe con (x) no sepuede coordinar univocamente con la designada por in).

6. CANTOR A DEDEKIND:

Halle, 9 diciembre 73He encontrado ya una demostracion simplificada para el te-

orema recien demostrado, en la cual no resulta necesaria la des-composicion de la sucesion (I) en (1), (2), (3), ...

Muestro directamente que, si parto de una sucesion

(I) (Oi, 0)2, CO3,

en todo intervalo dado (a...|3) puedo determinar un numero T|

que no esta contenido en (I). De ahi se deduce sin mas que lacolec. (x) no puede ser coordinada univocamente con la colec¬cion («), y de ello deduzco que entre las colecciones y conjun-tos [Mengen] de valores existen diferencias esenciales, que has-ta hace poco no habia podido advertir.

Le pido ahora mil disculpas por haber requerido tanto desu tiempo con esta cuestion.3

7. CANTOR A DEDEKIND:

Halle, 10 diciembre 73Acusando recibo de sus amistosas lineas del 8 del presente,

le pido con determinacion que tenga en cuenta que nada podriaalegrarme mas que el interes, que he sido tan afortunado de es-timular en Ud. para ciertos problemas del analisis. Permxtameanadir que nada podria estimularme mas que esto para em-

3. El lector observara que Cantor pide a menudo excusas por robar eltiempo de su colega. Esto tiene una explication muy concreta: en 1872 y has-ta 1875 Dedekind se convirtio en el primer director electo del CollegiumCarolinum de Brunswick, que bajo su direction realizo las gestiones para con-vertirse en Escuela Tecnica [Herzoglich Technische Hochschule], constru-yendose ademas un edificio nuevo. De ahi su gran carga de trabajo en estos

afios. [N. del ed.]

171CORRESPONDENCIA CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS

prender nuevos esfuerzos, por lo cual debo pedirle que tambienen el futuro me permita solicitarle sus comentarios. se des-prendera algo bueno para su teoria de los numeros algebraicosa partir de la sinopsis bajo la forma (0,, co2> •••> 0)n, ...?4

... Las vacaciones navidenas las pasare, como es habitual,con mis familiares en Berlin.

Con los mejores deseos,Suyo humildemente

G. CANTOR

8. CANTOR A DEDEKIND:

Berlin, 25 diciembre 73Aunque inicialmente no pretendia publicar el tema que he

discutido por vez primera con Ud. hace poco, de modo impre-visto me han animado a ello. Comunique mis resultados al se-iior Weierstrass el dia 22; mas no hubo tiempo suficiente paraentrar en ello con mas precision. El dia 23 tuve la gran alegriade recibir una visita suya, durante la cual pude exponerle las de-mostraciones; fue de la opinion de que deberia publicar el asun-to, en la medida en que tiene que ver con los numeros algebrai¬cos. Tras ello escribi un pequeno tratado bajo el titulo: Sobreuna propiedad de la coleccion de todos los numeros reales alge¬braicos, y lo envie al senor profesor Borchardt para considera¬tion del Journalfjiir die reine und angewandte]Mathjematik].

Al hacerlo, me parecio adecuado adoptar, como Ud. veraen el futuro, sus comentarios y sus expresiones, tan valiosaspara mi. De ahi que me haya permitido comunicarle lo anterior.

4. De hecho Dedekind aplico el teorema en su trabajo [de 1901] Ueberdie Permutationen [=automorfismos] des Korpers aller algebraischen Zahlen(Obras completas, tomo II, p. 278); mientras que para cuerpos finitos de nu¬meros algebraicos [extensiones finitas de Q] la existencia de una base finitahace dispensable el buen orden. [Nota de Noether y Cavailles.] En dicho lu-gar, Dedekind remite en nota al artfculo de Cantor y se limita a afirmar, conmucha elegancia, que «tambien el» habia establecido ese teorema por aquellaepoca [hatte ich ebenfalls gefunden...]. [N. del ed.]

172 GEORG CANTOR

9. CANTOR A DEDEKIND:

Berlin, 27 diciembre 73A lo largo de la correspondence que hemos cultivado en

los ultimos tiempos se me ha hecho tan natural escribirle, quetengo en manos mis respuestas sin mucha reflexion, y casi olvi-do pedirle disculpas por la frecuencia de las mismas; quiza la ra-zon de ello se encuentre en la similitud de nuestros intereses, yen que a ambos nos preocupa en igual medida el desarrollo dela ciencia para el bien comun.

La limitacion que he dado a mis investigaciones, para supublication, se fundamenta en parte en las circunstancias queaqui rigen, de las cuales quiza le informe oralmente algun dia enel futuro, y en parte en que he creido que convenia primeroaplicar mis ideas en un unico caso (como es el de los numerosreales algebr.). Las extensiones de las mismas, respecto a lasque puedo ya advertir un monton [Menge] de posibilidades, nodeberian luego exigir demasiado esfuerzo, y no resultara esen-cial si las doy yo mismo o algun otro. Por ello he redactado, trasuna corta introduction, dos secciones; en la primera se muestraque la coleccion de los numeros reales algebraicos puede ser co-ordinada univocamente con la coleccion de los numeros ente-ros positivos, en la segunda que, dada una sucesion eoj, to2, ...,

se pueden definir en todo intervalo numeros ri que no es-tan contenidos en ella.

Segun me ha comunicado el senor Borchardt hoy mismo,va a ser tan amable de incluir este trabajo proximamente en eljournal.

Habria incluido de buen gusto el comentario sobre la dis-tincion esencial de las colecciones, pero lo omiti siguiendo elconsejo del senor Weierstrass; sin embargo, mas tarde, al corre-gir las pruebas, pude incluirlo de nuevo como anotacion adi-cional.

...Con los mejores deseos de mi hermana, ... quedo humil-demente suyo

G. CANTOR

173CORRESPONDENCIA CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS

10. APUNTES DE DEDEKIND SOBRE LAS CARTAS DE 1873:

29.11.1873El senor G. Cantor (Halle) me plantea el problema de si la

coleccion (n) de todos los individuos enteros positivos n (nu-meros naturales) admite ser coordinada con la coleccion (x) detodos las magnitudes reales positivas x, de modo que a cada in-dividuo de una coleccion le corresponda uno y solo uno de laotra. Termina con las palabras: «,;No nos inclinariamos tam-bien, a primera vista, a afirmar que (n) no puede ser coordina-do unlvocamente con la coleccion (p/q) de todos los numerqsracionales positivos p/q? Y sin embargo no resulta diffcil mos-trar que (n) puede coordinarse unlvocamente no solo con aque-11a coleccion, sino tambien con la mas general

Wn nv)l.n2,-

donde nu n2, ..., nv son una cantidad cualquiera v de indices en¬teros positivos tan grandes como se quiera».

A esto respond!inmediatamente que no podia decidir la pri¬mera cuestion, pero a la vez formule y demostre completamenteel teorema de que incluso la coleccion de todos los numeros alge-braicos puede ser coordinada con la coleccion (n) de los numerosnaturales bajo la forma indicada. (Este teorema y su demostracionpasaron poco despues casi literalmente, incluso empleando el ter-mino tecnico altura, al tratado de Cantor publicado en [elJournalde] Crelle tomo 77, con la unica desviacion, mantenida contra miconsejo, de que solamente se considera la coleccion de todos losnumeros algebraicos reales.) Sin embargo, la opinion que yo habiaexpresado de que la primera cuestion no merecia mucho esfuer-zos, ya que no tenia ningun interes practico especial, fue contra-dicha contundentemente por la demostracion, ofrecida por Can¬tor, de la existenda de numeros trascendentes (Crelle tomo 77).

2.12.1873C. indica la importancia del primer problema, pues en caso

de ser negado es posible demostrar la existencia de numerostrascendentes (Liouville) de un modo nuevo. Continua: «La de¬mostracion que da Ud. de que (n) puede coordinarse univo-

174 GEORG CANTOR

camente con el cuerpo de todos los numeros algebraicos, es maso menos la misma con la que corroboro mi afirmacion de la ul¬tima carta. Tomo

n? + «22 + ... «v2 = N

y ordeno segun ello los elementos. (-No es de por si bueno y co-modo que, como Ud. ha resaltado adecuadamente [bezeich-nend], se pueda hablar del enesimo numero algebraico, de ma-nera que cada uno aparezca solo una vez en la sucesion? Talcomo Ud. senala muy adecuadamente, nuestro problema admi-te la siguiente formulation: “<fpuede {n) ser coordinado univo-camente con una coleccion

n2> —donde nu n2, ..., nv son una cantidad infinita de indices enterospositivos tan grandes como se quiera?”».

7.12.1873C. me comunica una demostracion rigurosa, encontrada el

mismo dia, del teorema: la coleccion de todos los numeros po¬sitivos to < 1 no puede ser coordinada univocamente con la co¬leccion (n).

A esta carta, recibida el dia 8 de diciembre, respondo en elmismo dia congratulandome del hermoso exito, a la vez quedoy un «reflejo especular» muy simplificado del nucleo de lademostracion (que era todavia bien compleja); de nuevo, esta

exposition paso casi literalmente al articulo de Cantor (Crelletomo 77), jsi bien el giro que yo habia empleado, «de acuerdocon el principio de continuidad», fue evitado en el lugar co-rrespondiente! (p. 261, lineas 10-14).3

5. La mencion del principio de continuidad hubiera constituido una re-ferencia implicita al articulo de Dedekind Continuidad y numeros irracionales(1872). Aparecia en la carta porque, en su version sitnplificada, Dedekind de-muestra el principio (Bolzano-Weierstrass) de los intervalos encajados, en quese apoya Cantor, sobre la base de su propio principio de continuidad (corta-duras). [N. deled.]

175CORRESPONDENCE CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS

9.12.1873C. me escribe apresuradamente que ha encontrado una de-

mostracion simplificada del teorema. Dado que no mencionami carta, esta deberia haber llegado mas tarde.

10.12.1873C. acusa recibo de mi carta del 8 de diciembre, sin mencio-

nar la exposition simplificada de la demostracion que se conte-

nia en ella, y agradece mi interes por el asunto.

25.12.1873C. escribe (desde Berlin) diciendo que ha redactado (anima-

do por Weierstrass) un pequeno articulo con el titulo:Sobre unapropiedad de la coleccion de todos los numeros reales algebraicos.«A1 hacerlo, me parecio adecuado adoptar, como Ud. vera en elfuturo, sus comentarios y sus expresiones, tan valiosas para mi.»

Respondo a vuelta de correo aconsejandole que suprima lalimitation al cuerpo de los numeros reales algebraicos.

27.12.1873C. escribe (desde Berlin): «La limitation que he dado a mis

investigaciones, para su publication, se fundamenta en parte enlas circunstancias que aqui rigen, de las cuales quiza le informeoralmente algun dia en el futuro, y en parte en que he creidoque convenia primero aplicar mis ideas en un unico caso (como

es el de los numeros reales algebraicos)».

Nunca he recibido explicaciones acerca de las «circunstan-tias de Berlin»; tampoco hemos discutido nunca, con posterio-ridad, acerca del articulo (Crelle tomo 77).

11. CANTOR A DEDEKIND:

Halle, 5 enero 74;Muy estimado senor Profesor!Al regresar aqui ayer por la tarde, encontre la conferencia

del senor Klein que habia mencionado Ud. y hoy la he leido.6

6. La referenda es a F. Klein, Uber den allgemeinen Funktionsbegriff unddessen Darstellung durch eine willkurliche Kurve (1873), reimpreso en Math.

176 GEORG CANTOR

En coincidencia con sus comentarios, no puedo encontrar enella ningun aspecto favorable; nada llega a ofrecer de importan-cia, todo sugiere que el autor aun no ha alcanzado los proble-mas nucleares del analisis aritmetico, y que incluso en el campode la geometrfa, que hasta ahora ha cultivado, tiene perspecti-vas sumamente inseguras. Tanto mas deplorable me resulta quese nos presente con el tono de quien habrfa conocido todas lasdificultades por experiencia propia y habrfa logrado superarias.

Si mereciera la pena, se podrfa mostrar alii un error trasotro; quiza el mismo llegue a descubrirlos.

En lo tocante a los problemas con los que me he ocupadoen los ultimos tiempos, se me ocurre que siguiendo la misma li-nea de pensamiento se nos plantea lo siguiente:

<<Es posible hacer corresponder univocamente una superfi-cie (digamos un cuadrado incluyendo su frontera) con una linea(digamos un segmento de recta incluyendo sus puntos extre-mos), de manera univoca tal que a cada punto de la superficie lecorresponda un punto de la linea, e inversamente a cada puntode la linea un punto de la superficie?

En este momento tengo la impresion de que la respuesta aesta pregunta —si bien uno se ve aqui tan inclinado al «o, quepodrfa parecerle casi superflua la demostracion— ofrece gravesdificultades.

12. CANTOR A DEDEKIND:

Halle, 28 enero 74En los Comptes rendus del ano pasado encuentro un trata-

do de Hermite donde, manipulando el analisis con suma habili-dad, se trata un desarrollo simultaneo de n magnitudes expo-nenciales (T, eh\ ..., ehx, y lo que parece mas importante, en ellofundamenta una demostracion plenamente segura de la tras-cendencia del numero e. Hermite confiesa haberse ocupado in-tensamente de la trascendencia del numero TC, mas respecto aeste numero se resigna a comentar que le alegraria mucho quealgun otro lo lograse.

Annalen (1883); vease Klein, Abhandlungen, tomo II (Berlin, Springer, 1922),214-224. [N. deled.]

CORRESPONDENCE CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS 177

13. CANTOR A DEDEKIND:

Halle, 8 marzo 74He recibido con agradecimiento su amable carta del 30 de

enero y, aunque a dia de hoy apenas tengo nada interesanteque comunicarle, no quisiera suscitar la impresion de que hedejado desatendida su invitation a continuar escribiendole. Ha-biendo terminado hoy mis lecciones, pienso desplazarme aBerlin al dia siguiente; nunca he permanecido aqui muchotiempo en las vacaciones, pues lo unico que me une en tiertomodo a Halle desde hace cinco anos es la profesion universita-ria que un dia abrace.7

14. CANTOR A DEDEKIND:

Halle, 18 mayo 74La necesidad de desahogarme con Ud. en cuestiones cien-

tificas y de permanecer cerca de Ud. a nivel personal, hace quesurja en mi el deseo de visitarle quiza este verano en Bruns¬wick.

Si podre llevar a cabo este deseo, resulta aun dudoso, yaque el plan es de momento totalmente indeterminado; seria po-sible siempre que partiera de aqui un sabado y me encontraracon Ud. el sabado siguiente; mas todo depende tambien de siresultaria de su agrado recibir mi visita este verano. Por Pente-costes no sera posible, ya que entonces estare en Berlin con miprometida; mas despues de Pentecostes quiza lo fuera.

En caso de que quisiera responderme acerca de ello, megustaria tener noticias de si encuentra Ud. la misma dificultadque yo respecto a la cuestion que le comunique en enero, sobrela coordination de una superficie y una linea, o si con ello me heentregado a una ilusion. En Berlin un amigo mio, al que habia

7. Desde Berlin envia otra carta el 16 de abril, que debio quedar sin res-puesta, como quiza tambien la anterior, y sin duda la siguiente. Cantor y De¬dekind se encontraron el verano de 1874 en Interlaken, pero todo apunta aque la entrevista fue tensa (vease la carta del 10.10.1876, en op. cit., 229, queconfirma una laguna de dos anos sin comunicadon, pero tambien constataque Dedekind ha enviado dos trabajos suyos). [N. del ed.~\

178 GEORG CANTOR

expuesto la misma dificultad, la declaro en cierto modo absur-da, ya que se entiende de suyo que dos variables independien-tes no pueden ser reducidas a una.

...Saludos de corazon,suyo humildemente

G. CANTOR

c

SOBRE UNA PROPIEDAD DE LA COLECCIONDE TODOS LOS NUMEROS REALES

ALGEBRAICOS (1874)

Se entiende por numero real algebraico, en general, una canti-dad real (0 que satisface una ecuacion no identica de la forma:

a0af + + ... + a„ = 0,

donde n, a0, au ... a„, son numeros enteros; podemos aqui con-siderar los numeros nya0 como positivos, suponer que los coe-ficientes a0, ax, ... a„ no tienen divisores comunes, y que la ecua¬cion (1) es irreductible. Bajo estas estipulaciones se lograra, deacuerdo con conocidas proposiciones basicas de la aritmetica yel algebra, que la ecuacion (1) sea unica para cada numero realalgebraico; inversamente, es bien sabido que a cada ecuacion dela forma (1) le corresponden a lo sumo tantos numeros reales al-gebraicos © que la satisfacen, como indica su grado n. Los nu¬meros reales algebraicos en su totalidad forman una coleccionde cantidades que designaremos con (GO). Dicha coleccion tiene,segun resulta de consideraciones simples, la propiedad de queen las proximidades de cualquier numero a que consideremosyacen infinitos numeros de (co). Tanto mas llamativo debera re-sultar, a primera vista, la consideracion de que es posible coor-dinar univocamente con la coleccion (co) la coleccion de todoslos numeros enteros positivos v, que designaremos con el sim-bolo (v), de tal manera que a cada numero algebraico © le co-rresponda un cierto entero positivo v, e inversamente a cadanumero entero positivo v le corresponda un numero real alge¬braico © plenamente determinado; de tal manera que, por de-cirlo con otras palabras, la coleccion (©) puede pensarse dadabajo la forma de una sucesion infinita determinada por una ley

©i, <»2> — ®v» —

(1)

(2)

180 GEORG CANTOR

en la que aparecen todos los individuos de (to), y cada uno deellos se encuentra en una cierta position de (2) que viene indi-cada por el correspondiente indice. Tan pronto como se hayaencontrado una ley segun la cual quepa pensar que esta dadadicha coordination, resultara posible modificarla a voluntad;bastara pues que comunique en el § 1 aquel modo de organiza¬tion que, segun creo, trae consigo menos complicaciones.

A fin de ofrecer una aplicacion de esta propiedad de la co¬leccion de todos los numeros reales algebraicos, anadire al § 1otro § 2, en el cual mostrare que, dada una sucesion cualquierade cantidades reales de la forma (2), resulta posible determinaren todo intervalo prescrito (a...p) numeros r|, que no estan con-tenidos en (2). Si se combina el contenido de ambos paragrafos,se obtiene una nueva demostracion del teorema demostradoprimeramente por Liouville, que en todo intervalo prescrito(a...(3) existen infinitos numeros reales trascendentes, esto es,que no son algebraicos. Ademas, el teorema del § 2 se nosmuestra como la razon por la cual las colecciones de cantidadesreales que constituyen lo que se llama un continuo (digamos,todos los numeros reales que son > 0 y < 1) no se pueden rela-cionar untvocamente con la coleccion (v). Y de este modo heencontrado la tiara distincion entre el llamado continuo y unacoleccion del tipo de la totalidad de los numeros reales alge¬braicos.

§ i.

Si volvemos a la ecuacion (1) que satisface un numero algebrai-co to, y que segun las estipulaciones anteriores esta totalmentedeterminada, podemos llamar altura del numero co a la suma delos valores absolutos de sus coeficientes, mas el numero n-1,donde n indica el grado de co, designando a dicho valor con N;asi pues, empleando un simbolismo que se ha hecho habitual:

N = n—1 + I UQ I + I a1 1 + ... + I an I.

La altura N es pues, para todo numero real algebraico co, uncierto entero positivo; inversamente, para cada valor entero po-sidvo de N hay solo una cantidad finita de numeros reales alge-

(3)

181CORRESPONDENCE CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS

braicos de altura N; llamemos (p(N) a dicho numero, de modoque por ejemplo cp(1) = 1, cp(2) = 2, cp(3) = 4. Entonces es posi-ble ordenar los numeros de la coleccion (to), a saber, todos losnumeros reales algebraicos, de la siguiente manera: tomesecomo primer numero a>j el numero que tiene altura N = 1; ha-gase seguir por los cp(2) = 2 numeros reales algebraicos cuya al¬tura es N = 2, en orden de magnitud creciente, y denotense por(02, oi3; situense a continuacion los <p(3) = 4 numeros cuya altu¬ra es N = 3, en orden de magnitud creciente. En general, unavez que se hayan enumerado de este modo, y situado en un lu-gar determinado, a todos los numeros de (co) hasta una cierta al¬tura N = N1( se les pueden adjuntar los numeros reales algebrai¬cos cuya altura es N = N1 + 1, siempre en orden de magnitudcreciente; y asi se habra obtenido toda la coleccion (to) de losnumeros reales algebraicos bajo la forma:

G>!, (02, ... G>v, ...

resultando posible hablar, por relacion a este ordenamiento, deln-esimo numero real algebraico, sin que se haya olvidado niuno solo de la coleccion (co).

§ 2.

Estando dada, segun una ley cualquiera, una sucesion infinitade cantidades reales distintas entre si

©1, co2, ... cov,

es posible determinar en todo intervalo prescrito (a...|3) un nu¬mero ri (y por lo tanto, infinitos numeros) que no consta en lasucesion (4); esto es lo que hemos de demostrar.

Con ese fin, partimos del intervalo (a...(3), que se nos habraprescrito a voluntad, y sea a < p; denotense por a’, P’ los dosprimeros numeros de nuestra sucesion (4) que caen dentro delintervalo (excluyendo sus extremos), y sea a’<(3’; del mismomodo, denotense por a”, P” los dos primeros numeros de nues¬tra sucesion que caen dentro del intervalo (a’...p’), y sea a” <P”; y de acuerdo con esta misma ley, construyase a continuacionun intervalo (a”\..p”’), y asi sucesivamente. Asi pues, por defi-

(4)

182 GEORG CANTOR

nicion, a’, a”, ... son numeros bien determinados de nuestra su¬cesion (4), cuyos indices son siempre crecientes, y lo mismo valede los numeros P’, P”, ...; ademas, los numeros a’, a”, ... vancreciendo en magnitud, y los numeros (3’, P”, ... van decrecien-do en magnitud; entrelos intervalos (a...p),(a’...p’), (a”...p”), ...cada uno de ellos incluye a todos los siguientes. En estas condi-ciones, cabe pensar dos casos.

O bien el numero de los intervalos asi formados es finito.Sea el ultimo de ellos (a<v>...p(v>); como en el interior del mismopuede encontrarse a lo sumo un numero de la sucesion (4), esposible tomar en este intervalo un numero T[ que no esta conte-nido en (4), con lo cual el teorema esta demostrado para estecaso.

O bien el numero de los intervalos que se han formado esinfinitamente grande. Entonces los numeros a’, a”, a’”, ...,dado que van creciendo siempre en magnitud, sin crecer al infi-nito, tienen un cierto limite a"; y lo mismo vale para los nume-

dado que van decreciendo siempre en magni¬tud, siendo su limite p". Si a" = P" (lo cual sucede siempre quese trate de la coleccion (co) de todos los numeros reales alge-braicos), es facil convencerse de que el numero rj = a" = P“ nopuede estar contenido en nuestra sucesion, con solo recordar ladefinicion de los intervalos;' mas si a" ¥= P“, entonces todo nu¬mero en el interior del intervalo {a ... P") o incluso en los limi-tes del mismo satisface la condicion descrita, de no estar conte¬nido en la sucesion (4).

Los teoremas demostrados en este articulo admiten exten-siones en diversas direcciones, de las cuales baste aqui conmencionar una:

«Si C0j, o>2, «)„, ... es una sucesion finita o infinita de nu¬meros linealmente independientes entre si (de modo que no esposible una ecuacion de la forma a](£>1 + a2(S)2 + — + — 0>con coeficientes enteros que no sean todos nulos) y si se piensaen la coleccion (£2) de todos aquellos numeros Q que son re-

ros P’, P”, P’”,

1. Si el numero t| estuviera contenido en nuestra sucesion, tendriamosque t) = (Op, siendo p un determinado indice; mas esto no resulta imposible,dado que cop no cae dentro del intervalo (a<I’)...p(pl); , mientras que el numero t|

por definicion esta situado dentro de dicho intervalo. [N. dela.]

183CORRESPONDENCIA CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS

presentables como funciones rationales con coeficientes ente-

ros de dichos numeros co, entonces en todo intervalo (a...(3) hayinfinitos numeros que no estan contenidos en (£2).»

De hecho es facil convencerse, mediante un argumento si¬milar al del § 1, de que la coleccion puede concebirse dada enforma de sucesion

D2, ... £2n, ...,

de lo cual, considerando el presente§2, se deduce la correctiondel teorema.

Un caso muy especial de la mencionada proposition (en elcual la sucesion a>b (02, ... con, ... es finita, y el grado de las fun¬ciones racionales que determinan la coleccion (£2) cumple cier-tas condiciones) ha sido demostrado por el senor B. Minnigero-de reduciendolo a los principios de Galois. (Veanse los Math.Annalen, Tomo 4, p. 497.)

CORRESPONDENCECON DEDEKIND (1877-1882)

15. DEDEKIND A CANTOR:

Brunswick, 11 mayo 1877La objecion del senor I[lligens] que Ud. me comunica no

puede aplicarse a mi exposicion, si es que la entiendo correcta-

mente; naturalmente que el principio de continuidad estableci-do en el § 3 p. 18 debe entenderse como el complemento nece-sario para las leyes I, II, III [orden denso de 0] resaltadas en el§ 2 p. 15, y en II se dice precisamente aquello [la propiedad dedensidad] que Ud. o el senor I. echan de menos. Aparentemen-te esa objecion no se habria planteado si hubiera antepuesto alprincipio en p. 18 el numero IV, tal como se hace en realidadpara las leyes analogas en el § 5 p. 25. lO es que he entendidomal la objecion? En cuyo caso le ruego aclaraciones.

16. CANTOR A DEDEKIND:

Halle, 17 mayo 1877Agradeciendole su respuesta, debo admitir que en la pagi-

na 25 de su escrito sobre los numeros irracionales, bajo I, II, III,IV [orden denso y continuo], presenta Ud. propiedades que

totalmente caracterfsticas del dominio de todos los nume¬ros reales, de modo que ningun otro sistema de valores realescomparte con ellos todas esas propiedades.

Con todo me permito hacerle el comentario de si quiza elenfasis que Ud. pone en diversos lugares de su escrito expresa-mente sobre la propiedad IV como la esencia de la continuidad,no podrfa dar ocasion a malentendidos, los cuales en mi opi¬nion no podrian darse sin ese enfasis sobre IV (como la verda-dera esencia) en su teoria. En particular, dice Ud. en el prologoque el axioma indicado por mi coincide plenamente con aque-

son

186 GEORG CANTOR

llo que Ud. ofrece en el § 3 como la esencia de la continuidad.Mas por esto entiende Ud. la propiedad que viene indicada enla pagina 25 bajo IV; y esta propiedad conviene tambien al sis-tema de todos los numeros enteros, que sin embargo puedeconsiderarse como el prototipo de discontinuidad.

En interes de este asunto, que tan valioso es para mi, le rue-go que si dispone de tiempo entre con mas detalle en mis obje-ciones.

P.S.Me explico por que pone Ud. especial enfasis en IV consi-

derando que en esta propiedad yace aquello que diferencia eldominio numerico completo del dominio de todos los numerosracionales; y sin embargo me parece que, por las razones ante-

riores, no es posible adjudicarle a la propiedad IV el nombreempleado por Ud.: «esencia de la continuidad».

17. DEDEKIND A CANTOR:

Brunswick, 18 mayo 1877Tras su ultima carta me parece que corremos el peligro de

disputar mas acerca de las palabras que de las cosas. Todo lec¬tor atento de mi escrito debera ciertamente entender mi opi¬nion sobre la continuidad como sigue: los dominios que pre-sentan unas interrelaciones y una completitud en sus elementoscomo la que viene expresada por I y II en § 1 p. 14, § 2 p. 15,§ 5 p. 25 (III es una consecuencia de I y solo se indica a fin depreparar la formulacion de IV) no son aun necesariamente do¬minios continuos; tales dominios reciben la propiedad de lacontinuidad al anadirse la propiedad IV (en p. 18 sin numero, yen p. 25) y solo a traves de esta propiedad. Y en esta medida sedesigna dicha propiedad como la esencia de la continuidad.

Me comunica Ud. en su tarjeta del 10 del presente que midefinicion de la continuidad no es completa, y me hace unapropuesta de mejora a fin de remediar esa carencia. En res-puesta yo rechazo esa propuesta, llamando su atencion sobre II,donde esta contenido lo que Ud. echaba en falta. Tras ello con¬cede Ud. en su ultima carta que en mi definicion no se ha des-atendido nada; por ejemplo si digo: «los dominios que poseen

187CORRESPONDENCIA CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS

las propiedades I y II se llaman continuos si asimismo poseen lapropiedad IV», no tendra Ud. nada que objetar, si es que com-prendo bien su ultima carta, contra la completitud de tal defini¬tion. Mas al parecer verfa Ud. mejor que la propiedad II pasarade la subordinada relativa a la conditional: «los dominios cuyoselementos estan interrelacionados segun la propiedad I se lla¬man continuos si asimismo poseen las propiedades II y IV», yteme Ud. que mi enfasis exclusivo sobre IV como la propiedadque expresa la esencia de la continuidad, puede conducir a ma-lentendidos. No comparto este temor; estoy firmemente con-vencido de que todo lector atento de mi escrito comprende miopinion del modo en que la he expresado arriba en la introduc¬tion, y con ello queda descartado totalmente, como es natural,el ejemplo que Ud. aduce del sistema de todos los numeros ra¬tionales enteros como motivo para una objecion. Por lo querespecta a la transformation antes dada de la definition, nopuedo decir que me guste, y deduzco de su postscriptum queUd. mismo me concederfa sin duda, en cuanto hiciera una solavez el intento de reorganizar mi escrito en tal sentido, que dichoescrito —cuyo tema principal es la transition de la aritmetica delos rationales a los irracionales— perderfa en lo relativo a la ex-presion nitida de su punto clave, que consiste unicamente enenfatizar IV, dado que II ya esta disponible en el dominio dis¬continue de los rationales. Pero si alguien tiene preferencia porla definition transformada, no tengo nada que objetar a su de-recho de hacerlo asf, y menos aun en el caso de que para algunaotra investigation ofreciera ventajas. En cuanto a mi, prefierocon creces la forma original, y considero mas apropiado ponerel enfasis sobre IV exclusivamente como la esencia de la conti¬nuidad, discutiendo la propiedad II ya antes, cuando todavfano se trata de discontinuidad ni continuidad. En todo caso, nie-go la necesidad de transformar la definition absolutamente; sialguien fuera a exigir esto, podrfa igualmente plantearse la pre-gunta, de la cual tambien me he ocupado, de si no serfa conve-niente pasar tambien la propiedad I de la subordinada relativaa la conditional, en la medida en que se pueda. No es en abso¬lute una pregunta sin interes, pero nos llevarfa demasiado lejossi quisiera entrar en el asunto. Creo en verdad que solo somosde opiniones diferentes en lo relativo a que es conveniente, no

188 GEORG CANTOR

en lo que es necesario, y por ello no creo que fuera a obtenersegran cosa de proseguir el debate.

18. CANTOR A DEDEKIND:

Halle, 20 junio 1877Agradeciendo su escrito del 18 de mayo, con cuyo conteni-

do estoy plenamente de acuerdo, y reconociendo que la dife-rencia en nuestras opiniones era solo externa,1 hoy comparezcode nuevo con una petition. Advertira Ud. que los intereses teo-ricos que nos unen tienen para Ud. el inconveniente de que lemolesto mas a menudo de lo que quiza fuera su deseo.

Me gustarfa saber si considera Ud. aritmeticamente riguro-so un procedimiento demostrativo que he aplicado.

Se trata de mostrar que las superficies, cuerpos, e inclusolos dominios continuos de dimension p pueden ser coordina-dos univocamente con lineas continuas, esto es, con dominiosde solo una dimension; y que por tanto las superficies, cuerpos,e incluso los dominios de p dimensiones, tienen la misma po-tencia que las curvas. Esta consideration parece oponerse a laque reina de modo general entre los representantes de la nuevageometrfa, ya que hablan de dominios simplemente infinitos,doblemente, triplemente, ... p-uplemente infinitos, e incluso enocasiones se encuentra la idea de que la infinitud de los puntosde una superficie se lograria como si fuera por cuadratura, la deun cuerpo por cubatura de la infinitud de los puntos de una li-nea.

Dado que los dominios de igual dimension pueden ser in-terrelationados analiticamente, me parece que aquellas cuestio-nes generales pueden ponerse en la siguiente forma puramentearitmetica:

1. Sin embargo, quiza si se hubiera ganado algo en caso de que Cantorhubiera expresado mejor su dificultad: la cuestion era —o acabaria siendo—que Cantor deseaba una definicion de continuo que pudiera aplicarse de for¬ma inmediata a cualquier conjunto en el espacio «-dimensional R" (de estetipo es la que da en los Fundamentos, § 10). La definicion de Dedekind solopuede aplicar en el caso de ordenes totales, y su aplicacion a variedades n-di-mensionales es retorcida, debiendo pasar a traves de la introduction de coor-denadas locales o globales. [N. del ed.]

189CORRESPONDENCE CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS

«Sean xu x2, ... xp p magnitudes reales variables indepen-dientes, cada una de las cuales puede tomar todos los valoresque son > 0 y < 1. Sea y una magnitud real variable p+l-esima,con el mismo campo de juego (0 < y < 1).

<;Es entonces posible coordinar las p variables xu x2, ... xpcon la y, de modo que a cada sistema de valores concreto (xb x2,

... xp) le corresponda un cierto valor y, y tambien a la inversa, acada valor concreto y le corresponda un y solo un sistema de va¬lores (xi, x2, ... xp)?».

Esta cuestion debe responderse en la afirmativa, segun creoahora, aunque duranteanosconsidere lo contrario como correcto,por las siguientes razones:

Todo numero x > 0 y < 1 puede ser representado de un ysolo un modo bajo la forma de una fraccion decimal infinita, demodo que:

X = (Xj • + a2 + 0ÿ10210 10v

donde son numeros enteros que son > 0 y < 9. Cada numerox determina pues una sucesion infinita aI; a2, ... e inversamente.

Por tanto podemos escribir:

Xi = an — + ai2 • ; + ... + alv1 1.1 10 1.2 102 l.V 10v

*2 = + aw.X + .„ + (ÿIQV

•i +.X -+«p,v1(r= aPii 10

+ ap'2102

De estos p numeros se puede derivar un p+l-esimo numero y:

y = 8, •— + B2 •—, + ... + Bv — + ...10 102 10v

si se toma:

P(n-lip+l ®l,n> P(n-l)p+2P(n-I)p+<J — ®o,n> ••• P(n-l)p+p — ®p,n •

Dado que cada numero entero positivo v puede ponerse de uny solo un modo en la forma:

(I)

V = («-l)p + <7 donde G H",

190 GEORG CANTOR

se observa que mediante la ecuacion (I) la sucesion (31; (32, ... estaperfectamente determinada, y por tanto tambien y;mas tambien a la inversa, partiendo del numero y y por tanto dela sucesion p1? (32, la ecuacion (I) determina umvocamente lasp sucesiones:

«i,i. •••'

ao,l> ••

®p,l> ®p,2» •••

y por consiguiente tambien los p numeros xx, x2, ... xp.

19. DEDEKIND A CANTOR:

Brunswick, 22 junio 1877La unica objecion que por el momento puedo elevar contra

su interesante argumentation, y que quiza Ud. pueda dar delado sin dificultad, es la siguiente. Dice Ud.: «Todo numero x(> 0 y < 1) puede ser representado de cm y solo un modo bajo laforma de una fraction decimal infinita, de modo que:

x = a/10 + a2/102 + ... + av/10v + ...

donde 0ÿ son numeros enteros que son > 0 y < 9. Cada numerox determina pues una sucesion infinita a,, 02, ... e inversamen-te». El subrayado de la palabra «infinita» me conduce a sospe-char que pretende Ud. excluir el caso de una fraction finita, enel que tras un Ov distinto de 0 seguirfa unicamente la cifra 0 =Ov+1 = Ov+2 = etc.; y que por tanto en lugar de

x = a/10 + a/102 + ... + av/10v + 0/10v+i ++ 0/10v+2 + ... + 0/10v+v’ + ...

querria Ud. escribir siempre

a/10 + O2/102 + ... + av.1/10v + 9/10v+1 ++ 9/10v+2 + ... + 9/10v+v' + ...,

a fin de excluir toda posibilidad de una representacion doble deun mismo numero x (si bien el propio numero 0 deberfa ser re¬presentado bajo la forma 0,0000...; pero x = 3/10 bajo la forma0,29999...).

x =

191CORRESPONDENCIA CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS

Si esta es su opinion (como es natural, uno podrfa igual-mente excluir el caso de que a partir de una cierta posicion apa-rezca solo la cifra 9; pero entonces sucederfa algo analogo), en-tonces mi objecion es como sigue.2 Me limitare por simplicidadal caso p = 2 y pondre:

x = cq/10 + <x2/102 + = 0,a1a2...av.»y = PJ/10 + p2/102 + ... = 0,p1p2»-Pv"

para formar, tal como Ud., a partir de los dos numeros x, y encada caso el tercer numero

z = O.YffeY?...donde

Yi = ab y2 = p!, y3 = a2, y4 = p2, ... y2v_! = a,, y2v = pv, ...,

entonces z es siempre una funcion plenamente definida de lasdos variables continuas x,yy esta contenida en el mismo inter¬val (0 < T < 1). Pero entonces existen infinitas fracciones legi-timas a las que z no sera nunca igual, por ejemplo,

0,478310507090oc70a80a90...av0...como tambien toda fraccion Oÿyÿ... en la cual de una ciertaposicion en adelante sea o bien y2v_j o bien y2v siempre = 0; yaque al derivar inversamente x, y a partir de un tal z nos verfamosllevados a un x o un y no disponible (excluido).

No se si mi objecion tiene una significacion esencial parasus ideas, mas no queria dejar de formularla.

20. CANTOR A DEDEKIND, TARJETA CON ESTAMPA DEL 23.6.77:

Por desgracia tiene Ud. toda la razon en su objecion; afortu-nadamente, solo afecta a la demostracion y no al asunto; pues de-muestro en cierto modo mas de lo que pretendia, ya que he pues-to en relacion univoca un sistema xu x2, ... xp de variables realesilimitadas (que son > 0 y < 1) con una variable y, contenida en el

2. Se encuentra en el artfculo de Cantor «Ein» Beitrag zur Mannigfaltig-keitslebre §7 (J. Crelle 84, Ges. Abhandl. p. 130). [N. de Noether y Cavailles.]

192 GEORG CANTOR

mismo intervalo pero que no toma todos los valores del mismo,sino todos con la exception de algunos y”. Mas cada uno de losvalores que le corresponden y’lo toma solo una vex, y esto es se-gun creo lo esential. Ya que ahora puedo poner a y’ en relationumvoca con otra variable t, que recibe todos los valores > 0 y < 1.

Solo me queda alegrarme de que, por lo demas, hasta el mo-mento no haya encontrado Ud. nada que objetar; proximamenteme permitire escribirle mas detalladamente acerca de este tema.

21. CANTOR A DEDEKIND:

Halle, 25 junio 1877En una tarjeta postal que le dirigf anteayer, reconocia la

laguna que Ud. ha descubierto en mi demostracion y menciona-ba tambien que me encuentro en situation de llenarla, si bien nopuedo reprimir un lamento al ver que no resulta posible despa-char el asunto sin considerationes mas complicadas. Mas estodebe residir en la naturaleza del asunto y debo consolarme; qui-za posteriormente se encuentre que el elemento que faltaba enaquella demostracion se puede suplir mas facilmente de lo queesta al alcance de mis fuerzas en este momento. Mas como, aho¬ra mismo, lo que mas me concierne es convencerle a Ud., si esposible, de la correction de mi resultado, a saber, del teorema:

(A) «Una variedad continua extendida en e dimensiones sepuede coordinar univocamente con una variedad continua deuna dimension; o bien (lo que solo representa una version dife-rente del mismo teorema): los puntos (elementos) de una varie¬dad extendida en p dimensiones se pueden determinar por me¬dio de una coordenada real t, de manera que a cada valor de ten el intervalo (0...1) le corresponda un punto de la variedad, ytambien a la inversa, a cada punto de la var. le corresponda unvalor determinado de t en el intervalo (0...1).»

me permito presentarle otra demostracion del mismo,3 con lacual di incluso antes que con aquella.

3. Publicado en una version similar en el trabajo de Cantor «Ein Beitragzur Mannigfaltigkeitslehre», J. Crelle 84 (1878), Ges. Abhandl. pp. 122 y ss.

CORRESPONDENCIA CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS 195

Parto del teorema que dice que todo numero irrationale admite representation de manera completamente determi-nada bajo la forma de una fraction decimal infinita:

1= (a,, a2, av, ...)e =

1a,+

a2 + . 1

«v+:

donde Oy es un numero racional entero positivo. A cada nume¬ro irrational le corresponde una cierta sucesion infinita GCy einversamente a cada sucesion infinita oty le corresponde un de-terminado numero irrational e

Si ahora eu e2, ... ep son p magnitudes independientes entresi, cada una de las cuales puede tomar todos los valores nume-ricos irracionales del intervalo (0...1) y solo dichos valores, pon-gamos:

ei - au> — ai,v> — )

e2 = (O24, tx22, a2iV, ...)

— l®p,l> ®p,2> •" ®p,v> •••)

y determinemos a partir de ellos el p+l-esimo numero irrational:

- (Pi> p2> •••> Pv> •••)

merced al sistema de ecuaciones:

(D Pin—l)p+l — ••• P(n-l)p+<j — ®c,n> ••• Pnp —entonces tambien, a la inversa, todo numero irrational d en-gendrara un determinado sistema ex, e2, ... ep en virtud de (I).

[Nota de Noether y Cavailles.] Resulta interesante ver como en el teorema (A)

Cantor sigue exactamente la terminologia de la famosa leccion de Riemannsobre geometria. Tambien es interesante ver el efecto que las reformulacionesofrecidas por Dedekind en su carta anterior tienen sobre la notacion y la ter-minologia de Cantor en la presente. En esencia, puede decirse que la carta del20 de junio esta redactada estilo Berlin (Weierstrass), la del 25 estilo Gotinga(Riemann-Dedekind). [N. del ed.]

194 GEORG CANTOR

En este caso no se encuentra, segun creo, el impedimentoque Ud. hizo notar en relacion a mi anterior demostracion.

Y ahora se trata de demostrar el siguiente teorema:

(B) «Un numero variable e, que puede tomar todos los va-lores numericos irracionales del intervalo (0...1), se puede coor-dinar umvocamente con un numero x que recibe todos los valo-res de ese intervalo, sin excepcion».

Pues una vez que esta proposicion (B) este demostrada, po-dremos hacer corresponder biunivocamente a las variables de-signadas antes con eu e2, ... ep y 3, respectivamente:

Xi, x2, ... xp, y,

de modo que estas otras variables tengan un campo de juego ili-mitado en el intervalo (0...1). Con ello se habra establecido unarelacion univoca y reciproca entre el sistema

(*1. *2> - Xp)

de un lado, y la variable y del otro, lo cual conduce a la demos¬tracion del teorema (A).

Ahora, para demostrar (B), ponganse primeramente todoslos numeros rationales del intervalo (0...1) (los extremos inclui-dos) en forma de sucesion; sean:

ru r2, ... rv, ...Los valores que puede tomar la variable e son, por tanto, todoslos del intervalo (0...1) con la exception de los numeros rv.

Ademas tomese en el intervalo (0...1) una sucesion infinitaarbitraria sv de numeros irracionales, con la unica condicion deque satisfagan £v < £„+! y de que lim (£v) = 1 para V = «=, y deno-tese por / una cantidad variable que puede tomar todos los va¬lores 5i> exceptuados los valores £v. Es posible ahora poner alas dos cantidades e y /, que varfan de manera limitada, en unarelacion univoca y reciproca entre si, por medio de las siguien¬te definiciones:

si/no es igual a ningun rv, sea el correspondiente

e=fi

195CORRESPONDENCIA CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS

pero si/= rv, entonces sea el correspondiente e = £,,; entonces esfacil convencerse de que tambien, inversamente: si e no es iguala ningun el correspondiente/= e, y si e = e*, entonces/= rv.

El teorema (B) queda ahora reducido a la siguiente propo¬sition:

(C) «Un numero/ que puede tomar todos los valores delintervalo (0...1) con la excepcion de ciertos £v, ligados por lacondition de que £v < £v+1 y lim (€y) = 1, puede coordinarse biu-nivocamente con una variable continua e que toma todos los va¬lores del intervalo (0...1) sin exceptions

Aqui nos corresponde establecer que los puntos eu e2, ...forman una sucesion y por tanto el intervalo (0...1) queda divi-dido por ellos en una cantidad infinita de subintervalos.

Por tanto, cosa que no puede escaparsele a Ud., dicho teo¬rema (C) puede demostrarse por aplicacion sucesiva de la si¬guiente proposition:

(D) «Un numero y que puede tomar todos los valores delintervalo (0...1) con la unica excepcion del valor 0, puede sercoordinado biunivocamente con un numero x que toma todoslos valores del intervalo (0...1) sin exceptions

Podemos reconocer la verdad de este ultimo teorema (D) con-templando la notable curva que se adjunta (p. 192).

Las coordenadas de un punto m que recorre la curva sonmis cantidades x, y, de las cuales una es funcion univoca de laotra; mas si bien x toma todos los valores del intervalo (0...1), elcampo de juego de y es aquel con la unica excepcion del valor 0.

La curva esta compuesta de infinitos segmentos de recta pa-ralelos ab, a’b’, a”b”, .... que se van haciendo cada vez mas pe-quenos, y del punto c. Los extremos b, b’, b”, ... se consideran nopertenecientes a la curva. Las longitudes son:

op = pc — 1; ob = '/2; bbx = ‘/4, bxb2 = '/8, b2bx = V16, ...oa = V2; a’d’ = V4; a”d” = V8; a”’d”‘ = V16, ...

196 GEORG CANTOR

X 'bT

d” ,b”

d’ Va

/

Pb b, 4 b3b40

Desde hace anos he seguido con interes los esfuerzos reali-zados, en relation con Gauss, Riemann, Helmholtz y otros, poraclarar todas aquellas cuestiones que tocan a los primeros pre-supuestos de la geometria. A1 hacerlo me llamo la atencion quetodas las investigaciones convincentes que se han realizado eneste campo parten a su vez de un presupuesto no demostrado,el cual no me parecio evidente sino mas bien necesitado de fun-damentacion. Me refiero al supuesto de que una variedad con-tinua de p dimensiones requiere,4 para la determinacion de suselementos, p coordenadas reales independientes entre si, y quedicho niknero de coordenadas no puede ser aumentado ni re-ducido para una misma variedad.

4. Tanto en esta carta como en las siguientes (tambien de Dedekind) seemplean expresiones muy tfpicas de Riemann, como: variedad continua «p-uplemente extensa» [p fach ausgedehnte], o dominio «p-uple» [p fach]. Parahacer mas legible la traduccion, las evitamos y decimos siempre «de p dimen-siones». Recuerdese tambien que Cantor suele escribir «variedad» para decirconjunto, como sucede muy especialmente en los Fundamentos de 1883, aun-que de nuevo hemos decidido no reflejarlo en la traduccion. [N. del ed.]

197CORRESPONDENCE CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS

Dicha suposicion se me habia convertido a mi tambien encuestion de opinion, y estaba casi convencido de su correction;mi punto de vista solo se distinguia de todos los demas en queyo consideraba ese supuesto como una proposition que reque-ria en alto grado una demostracion, y para enfatizar ese puntode vista le di la forma de una pregunta que plantee a varios co-legas, especialmente con ocasion de la conmemoracion deGauss en Gotinga [1877], a saber la pregunta siguiente:

«<[Se puede relacionar univocamente un dominio continuode p dimensiones, donde p > 1, con un dominio continuo deuna dimension, de manera que a cada punto del uno corres-ponda un y solo un punto del otro?».

La mayorfa de aquellos a los que plantee esta pregunta semaravillaban de que hubiera llegado a formularla, ya que se en-tiende de suyo que para determinar un punto en una exten¬sion de p dimensiones han de emplearse siempre p coordena-das independientes. Pero el que penetraba en el sentido de lacuestion se veia obligado a confesar que al menos exigia una de¬mostracion por que habia que contestarla con un «evidente-mente» no. Como he dicho, yo mismo pertenecia a aquellos queconsideraban lo mas probable que la pregunta se responderiacon un no... hasta que hace muy poco tiempo alcance la convic¬tion, a traves de una serie de pensamientos bastante complica-da, de que la pregunta debia contestarse sin ninguna limitationcon un si. Poco despues encontre la demostracion que hoy veUd. ante si.

Vemos ahi que fuerza maravillosa hay en los numeros realesracionales e irracionales, para que uno logre determinar conellos univocamente los elementos de una variedad continua dep dimensiones mediante una sola coordenada. Y me apresuro aanadir que su fuerza va aun mas lejos, ya que, como no se le es-capara a Ud., mi demostracion puede generalizarse sin un par¬ticular aumento de las dificultades a variedades con un numerode dimensiones infinitamente grande, supuesto que las infinitasdimensiones tomen la forma de una sucesion infinita simple.

Ahora meparece que todas las deducciones filosoficas o ma-tematicas que hacen uso de aquella suposicion erronea son in-admisibles. Mas bien habra que buscar la distincion que existeentre dominios de diferente numero de dimensiones en aspec-

198 GEORG CANTOR

tos [Momenten] totalmente diferentes, y no en el numero decoordenadas independientes tornado como caracterfstica.

22. CANTOR A DEDEKIND:

Halle, 29 jun. 1877Sea Ud. benevolo y perdone mi afan por esta cuestion, al

exigir tanto de su amabilidad y sus esfuerzos. Lo que le he co-municado recientemente es para mi mismo tan inesperado, tannuevo, que por asf decir no podre alcanzar una cierta tranquili-dad de animo hasta haber obtenido de Ud., muy estimado ami¬go, una decision sobre si es correcto. Hasta que no me de Ud.su aprobacion, solo puedo decir: je le vois, mats je ne le croispas? Le ruego que tenga la bondad de escribirme en una tarjetapostal, cuando podrfa Ud. haber completado la comprobaciondel asunto, si es que puedo contar con que mi ruego, cierta-mente exigente, se cumpla.

La demostracion del teorema (C) se ve muy simplificadaempleando el simbolismo siguiente:

Si a y b son dos cantidades variables que pueden ser coor-dinadas univocamente entre si, escribiremos:

a ~ b.

Por tanto, si a ~ b y b ~ c, entonces tambien:

a ~ c.

Si ademas a’, a”, ... son una sucesion finita o infinita de variableso constantes bien definidas, que no toman ningun valor en co-mun dos a dos, pero cuyo campo de juego, tornado conjunta-mente, es exactamente el mismo que el de una variable a, en¬tonces pongamos:

a = {a’, a”, ...).

Entonces tenemos el siguiente teorema:

(E) «Si: a = (a\ a”,...)b = (b\ b”, ...)

5. Lo veo, pero no lo creo. [N. del ed.]

199CORRESPONDENCIA CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS

y si ademas:

a’ ~b’a” ~ b”a’” ~ b’”

entonces tambien:

a ~ b».

De (D) se obtiene en primer lugar, mediante las sustituciones:z-a u-a

y = X =P-a ’

la siguiente generalization de (D):

(F) «Un numero z que puede tomar todos los valores de unintervalo (a...p) con la unica excepcion del valor a, puede sercoordinado univocamente con un numero u que toma todos losvalores del intervalo (a...p) sin exception:*.

De ahi se deduce en primer lugar el siguiente teorema:

(G) «Un numero w que recibe todos los valores del inter¬valo (a...p) con la excepcion de ambos valores extremos a, p,puede ser coordinado univocamente con un numero variable uque toma todos los valores del intervalo (a...p).»

Demostracion. Sea y un numerow una variable que toma todos los valores del intervalo

(oc...y) con la excepcion dea y y, w” una variable que toma todoslos valores del intervalo (y...p) con la excepcion del extremo p.

Entonces es:

(1) to ={w\ w”).

Si ahora se designa con u” una variable que adopta todos los valoresdel intervalo (y...p) sin excepcion, con z una variable que toma todoslos valores del intervalo (oc...p) con la excepcion dea, tenemos:

w” ~ u”,(2)

200 GEORG CANTOR

y de acuerdo con (1) y (E):

w ~ (w\ u”).

Pero tambien: {w\ u”) = z, de modo que:

w ~ z.

Segun (F), tenemos tambien:

y por tanto tambien:q. e. d.

Ahora, para demostrar (C) descomponemos /en las varia¬bles/,/', ... y el valor aislado 1, donde/ toma todos los valoresdel intervalo (()...£,) con la excepcion de £i,/<v) todos los valoresdel intervalo (8ÿ...ÿ) con la excepcion de los extremos8ÿ y 8v-Entonces tenemos:

z~ u,w ~ u,

/= .... i).

Sea x” una variable que adopta los valores de (e1...82),

(e3...84)(£2v-)--e2v)

-xiv —— xCv) —sin excepcion,

entonces a consecuencia de (G) es:

/’~ x"

f~xT

y*(2v) ~

y por tanto:

i).

Pero tenemos:

(/,*",/",**, -/(2v"1), x(2v), 1)

con lo cual:

f~x.

CORRESPONDENCE CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS 201

23. DEDEKIND A CANTOR:

Brunswick, 2 jul. 1877He revisado una vez mas su demostracion y no he encon-

trado ninguna laguna; estoy seguro de que su interesante teore-ma es correcto, y le felicito por el. Pero me gustarfa, tal como leanuncie en la tarjeta postal, expresar una consideration que sedirige contra las consecuencias que relaciona Ud. con la demos¬tracion en su carta del 25 de junio y que tienen que ver con elconcepto de variedad continua de p dimensiones. Sus palabraspodrian dar la impresion —aunque mi lectura puede ser inco-rrecta— de que sobre la base de su teorema quisiera Ud. poneren duda la signification o la importancia de dicho concepto.Por ejemplo, al final de esa carta dice Ud.: «Ahora me pareceque todas las deducciones filosoficas o matematicas que hacenuso de aquella suposicion erronea» [que el numero de dimen¬siones es fijo] «son inadmisibles. Mas bien habra que buscar ladistincion que existe entre dominios de diferente numero de di¬mensiones en aspectos totalmente diferentes, y no en el numerode coordenadas independientes tornado como caracteristica».

Contra esto quiero expresar mi conviction o mi creencia (a

pesar de su teorema, o mas bien a causa de las consideracionesmotivadas por su teorema, si bien aun no he tenido tiempo dehacer siquiera un intento de demostracion) de que el numerode dimensiones de una variedad continua es, ahora igual queantes, el primer y mas importante invariante de la misma, yquiero poner bajo mi protection a todos los autores que han es-crito previamente acerca de este asunto. Sin dudar le concedoque dicha constancia del numero de dimensiones esta muy ne-cesitada de prueba, y mientras no se haya realizado esta demos¬tracion puede uno dudar de ella. Mas yo no dudo de su inva-riancia, por mas que parezca haber sido anihilada por suteorema. Es obvio, sin embargo, que todos los escritores hanhecho el supuesto implicito, tan natural, de que al determinarlos puntos de una variedad continua mediante coordenadasnuevas estas ultimas deben tambien (en general) ser funcionescontinuas de las viejas coordenadas, para que aquello que segunla primera determination de lugar aparece como continuamen-te conexo, se mantenga continuamente conexo en la segunda

202 GEORG CANTOR

determination de lugar. De manera provisional, creo en la si-guiente proposition: «Si se logra establecer una corresponden-cia unfvoca por ambas partes y completa entre los puntos deuna variedad continua A de a dimensiones, y los puntos de unavariedad continua B de b dimensiones, entonces necesariamen-te esta misma correspondencia es totalmente discontinua, si a y bson desiguales». Este teorema explicarfa tambien el fenomenoque se ha puesto de manifiesto en su primera demostracion, asaber, precisamente que la demostracion era incompleta; la re¬lation que pretendia establecer Ud. entonces (mediante frac-ciones decimales) entre los puntos de un dominio de p dimen¬siones y los puntos de un «uni-segmento» habrfa sido continua(si no estoy equivocado), de haber abarcado a todos los puntosdel uni-segmento. Del mismo modo, me parece que en su de¬mostracion actual la correspondencia inicial entre los puntosdel p-segmento, cuyas coordenadas son todas irracionales, y lospuntos del uni-segmento, tambien de coordenadas irracionales,es en cierto sentido (pequenez de las variaciones) tan continuacomo es posible; pero a fin de rellenar los huecos se ve Ud. for-zado a introdutir una horrenda discontinuidad en la corres¬pondencia, que causa vertigo, con la cual todo se ve disuelto enatomos, de manera que toda parte continuamente conexa de undominio, por pequena que sea, aparece en su imagen totalmen¬te desgarrada, discontinua.

Espero haberme expresado con suficiente nitidez. La inten¬tion de este escrito es solamente pedirle a Ud. que no polemicepublicamente contra los articulos de fe que vienen teniendosepor verdaderos en la teorfa de variedades [teorfa de conjuntos],sin antes realizar una comprobacion cuidadosa de mi objecion.

24. CANTOR A DEDEKIND, TARJETA FECHADA EL 2.7.77:

Me alegro mucho de que haya Ud. comprobado la cuestiony la haya encontrado correcta. Le ruego que mantenga su pro-yecto inicial y me comunique mas detallada y extensamente susconsideraciones sobre el sentido del resultado. Me gustarfa te-nerlos en cuenta antes de formarme un juicio acerca de comoproseguir con el asunto.

203CORRESPONDENCIA CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS

25. CANTOR A DEDEKIND:

Halle, 4 jul. 1877Me ha alegrado mucho su carta del 2 de julio, y le agradez-

co sus comentarios detallados y extraordinariamente apropia-dos.

Con las palabras finales de mi carta del 25 de junio he dadola impresion, contra mi intencion, de que quisiera oponermefrontalmentecontinua de p dimensiones, cuando todo mi esfuerzo se dirigemas bien a clarificar dicho concepto y conducirlo al punto devista correcto. Al decir: «me parece que todas las deduccionesfilosoficas o matem. que hacen uso de aquella suposicion erro-nea», me referia no a la suposicion de que «el numero de di¬mensiones es fijo», sino a que lo es el numero de coordenadasindependientes; numero que ciertos autores suponen igual alnumero de dimensiones bajo todas las circunstancias, mientrasque, si se toma el concepto de coordenada en general, sin hacerningun supuesto sobre la naturaleza de las funciones que inter-vienen, es posible, segun he mostrado, hacer que el numero decoordenadas independientes, univocas y completas, sea cual-quier numero prescrito. Yo tambien soy de la misma opinionque Ud., que si se establece la condition de que la correspon¬dence debe ser continua, entonces solo es posible relacionar

mi demostracion al concepto de variedadcon

entre si univocamente los dominios que tienen las mismas di¬mensiones, y que de esta manera el numero de coordenadas in¬dependientes establece un invariante que deberia conducir a ladefinicion del numero de dimensiones de un dominio con-tinuo.

No he logrado sin embargo saber hasta que grado alcanzanlas dificultades a superar por este camino (para llegar al con¬cepto de numero de dimensiones), ya que no se si estamos encondiciones de delimitar el concepto de correspondencia conti-

general. Y me parece que todo depende de la posibilidadde una tal delimitation.

Me parece reconocer una dificultad adicional en que estecamino deberia fallar en cuanto el dominio dejase de ser com-pletamente continuo; y sin embargo uno quisiera tener tambienen este caso algo correspondiente al numero de dimensiones,

nua en

204 GEORG CANTOR

tanto mas cuanto que parece dificil establecer la completa con-tinuidad de las variedades que se dan en la naturaleza.

Con estas lineas me gustaria solo indicarle que estoy muy le-jos de querer utilizar mi resultado sin mas contra los artfculosde fe de la teorfa de variedades, antes bien me llena el deseo decontribuir algo gracias a el, en la medida de lo posible, a esta¬blecer y asegurar aquellas proposiciones. No quiero hoy exigirmas de su tiempo, y solo le pido que, si encontrara tiempo paraello, investigue las cuestiones que se nos proponen, que no lasdesprecie, y que tenga a bien hacerme participe entonces de susresultados.

26. CANTOR A DEDEKIND:

Halle, 23 oct. 1877En relacion con la investigation desarrollada el verano pa-

sado, el senor Borchardt [editor delJournal de Crelle] tiene des-de hace un cuarto de ano una redaction mia con el titulo: unacontribution a la teoria de variedades [teorfa de conjuntos].Espero que aparecera proximamente. Dado que al prepararlahe sacado provecho de sus amables consejos, quiza le interesesaber que he encontrado una demostracion mas simple parauno de mis teoremas. Si dos conjuntos bien definidos se puedencoordinar entre si, univoca y completamente, elemento a ele-mento, empleo la forma de expresion siguiente: ambos tiene lamisma potencia [Machtigkeit], o tambien son equivalentes-, tam-bien digo que dos variables reales ay b son equivalentes cuandose pueden coordinar entre si univoca y completamente, y eneste caso escribo, como Ud. sabe:

a ~ b.

Se trata ahora del siguiente teorema:«Si e es una variable que ha de tomar todos los valores irra-

cionales x una variable que recibe todos los valores raciona-les e irracionales que son > 0 y < 1, entonces:

e ~ x».

Demostracion. Sea cpv el termino general de una sucesionque consiste en todos los numeros racionales > 0 y < 1; sea T]v el

205CORRESPONDENCIA CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS

termino general de una sucesion formada por cualesquiera nu-meros irracionales desiguales por ejemplo:

Tlv = VVaT;designemos con h la variable que toma todos los valores del in-tervalo (0...1) con excepcion de los (pv y los T|v.

Entonees:

xs{h, Tlv, 9vle ={h, riv}.

Para la ultima formula podemos tambien escribir:

e ={h, T|2v_Jl, T|2v}-

Si se comparan las formulas (1) y (2) y se percibe que:

<Pv ~ B2v,

(1)

(2)

h ~ hr, Tlv ~ Tl2v-D

entonees se sigue que:

c. q. d.£>~X,

(iQuiza ha investigado Ud. mas el problema de si, al deter-minar conceptualmente las variedades continuas de n dimen-siones, basta la condicion de que la correspondencia sea conti-nua para que el concepto se vuelva fijo en si mismo y segurofrente a toda contradiccion?

P.S. He estado hojeando el nuevo manual de analisis deLipschitz, gusta a Ud.?

27. DEDEKIND A CANTOR:

Brunswick, 27 oct. 1877Le doy a Ud. mis mas cumplidas gracias por su carta y por

la amable recepcion de mi tratado [sobre funciones modulareselipticas]. Me alegra saber que pronto apareceran en el Journalde Borchardt sus investigaciones tan interesantes sobre la teoriade variedades: durante un viaje en las vacaciones a Konigsbergle he comunicado el resultado principal de las mismas a H. We¬ber, espero que sin haber cometido una indiscrecion; el ya ha-bia sabido de Ud. mismo, durante la celebracion del centenario

206 GEORG CANTOR

de Gauss en Gotinga, quese ocupaba de este asunto, yse alegro desaber que desde entonces habia obtenido Ud. una demostra-cion rigurosa del sorprendente resultado. Su comunicacion dehoy contiene una simplification muy notable, y por tanto muyagradable, de la demostracion; a posteriori uno se sorprende deno haber caido en ello antes. En cuanto a mi, desde nuestra ul¬tima correspondencia no me he ocupado mas de este asunto;pero sigo creyendo que el concepto del numero de dimensionesrealmente mantiene su caracter de invariante bajo la conditionde la correspondencia continua.

La obra de Lipschitz contiene mucho de bueno e intere-sante, hasta donde la he podido mirar de momento; conformea mi natural crftico, tengo algunos reparos que poner en algunpunto, pero encuentro muy satisfactorio el que se haya realiza-do un intento serio de hacer reinar el rigor matematico tam-bien en un manual [Lehrbuch]. En lo relativo a la fundamen-tacion de la teorfa de los irracionales, donde se circunscribecasi completamente a su exposition de Ud., publicada por vezprimera por el senor Heine, a lo sumo tengo que objetar que(en p. 46) se presenta un supuesto que realmente es muy nuevo(«Entonces el valor limite G cae ...») como si fuera una conse-cuencia evidente de lo anterior; ademas, no puede concederque el comentario final sobre los griegos, en el § 14, sea co-rrecto.6

28. CANTOR A DEDEKIND:7Halle, 10 nov. 1877

La impresion del trabajo mio que Ud. conoce en el journalde Borchardt se esta retrasando de una manera que resulta sor¬prendente e inexplicable, a pesar de que lo envie ya el 11 de ju-lio y poco despues recibi la promesa de que serfa impreso lomas rapidamente posible.

6. Vease la correspondencia entre Dedekind y Lipschitz, en Dedekind,Werke, tomo III (1932), 469-479, o bien en la traduccion castellana en Dede¬kind (1998), 159-169. [N. deled.]

7. Carta tomada de Grattan-Guinness (1974),112; por error aparece muyincompleta en Dugac (1976), 231. [N. deled.]

207CORRESPONDENCE CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS

Hoy he recibido, a traves de mi viejo amigo Lampe, quedesde hace anos se ocupa de revisar pruebas del Journal, la no-tieia de que B[orchardt] ha vuelto a retrasar mi nuevo trabajo,alterando con ello el orden previamente fijado, con lo que de nue¬vo se deja en el aire indeterminadamente la publication de mitrabajo. Tambien me escribio que, por su parte, esta intentandofrustrar esas intenciones mediante una habil maniobra.

Quiero pensar que lo lograra, pero en segundo lugar debocontar con la posibilidad de que no lo consiga; y en tal caso ten-go la intention de retirar el trabajo totalmente de las manos delsenior B. y hacerlo imprimir en algun otro lugar.

Tengo una pregunta que hacerle en relation con este casoaun inseguro, pero posible, y es si estaria Ud. dispuesto even-tualmente a recomendar el tratado, que abarca unos dos plie-gos, a la imprenta de Vieweg e hijos, empleando su influenciapara que la publication comience enseguida.

La demora por parte delJournal me resulta tanto mas inex¬plicable, cuanto que hace poco, durante mi estancia en Berlin,discuti detalladamente el contenido del trabajo con nuestroscolegas de mas edad, los cuales son tan cercanos alJournal, y noencontre en ninguna parte una objecion a su contenido. Por elcontrario, a todos les resulto nueva la cuestion y se asombraronmucho del resultado, que tambien para mifue inesperado, peroreconociendo plenamente la correction del procedimiento de-mostrativo.

Como he dicho, aun no se con seguridad si llegara a resul-tar necesario que abuse de su amabilidad en la direction indi-cada; me gustaria solo saber de antemano si puedo encargarle lacuestion en su caso.

P.S. jLe ruego que considere el contenido de esta cartacomo algo totalmente confidential!

29. DEDEKIND A CANTOR:

Brunswick, 14 nov. 1877En el caso de que retirase Ud. su trabajo delJournalfiir Ma-

thematik y lo quisiera hacer publicar como separata, sin dudaestare dispuesto a esforzarme para que Vieweg lo acepte como

208 GEORG CANTOR

artfculo de imprenta. Pero se de antemano que encontrare difi-cultades: hace ya anos escuche a Vieweg o a sus representantesexpresar la mayor oposicion a admitir en su imprenta escritosde tan pequena extension. El saberlo me movio a hacer impri-mir enteramente a mis expensas mi tratado sobre continuidad ynumeros irracionales, a pesar de haberle hecho a Vieweg innu-merables favores. Y la distribution ha sido, segun parece, ex-tremadamente dejada; es posible que ni siguiera se hayan dadoel trabajo (y yo tampoco) de enviar el escrito a ninguna revistacrftica, y no he advertido que el escrito se anunciara en los fo-rros de los libros de Vieweg...

Por estas razones, y espetialmente a causa de la distribu¬tion sumamente pequena que experimentaria su tratado, supo-niendo que Vieweg lo tratara de la misma manera, no puedoaconsejarle demasiado que se aventure a ello. Pero tan prontocomo lo decida Ud., hare todo lo posible por obtener para Ud.las condiciones mas ventajosas por parte de Vieweg. Resultamuy desagradable que la publication en el Journal se retrase;sin embargo, esta revista garantiza mas que ninguna otra la cer-teza de que un pensamiento reflejado en ella experimentara ladistribution mas amplia. Por ello, y tambien en consideration acasos futuros, preferirfa aconsejarle que no retire su tratado. Entodo caso, puede Ud. confiar en mi completa discretion.

30. CANTOR A DEDEKIND, TARJETA POSTAL SIN FECHA:

jMuchas gracias! Acabo de recibir de Lampe la promesamas segura de que el trabajo en cuestion aparecera en el proxi¬mo numero del Journal, tal como se habia determinado origi-nalmente.8

8. De hecho, el artfculo aparece publicado antes de uno que tiene fechaprecedente: quiza esta fue la «habil maniobra» de Lampe, amigo de estudiosde Cantor. Es mas que probable que Kronecker haya estado detras del abor-tado retraso, seguramente con la intencion de convencer a Cantor del nulosentido que tienen esos resultados matematicos «modernos». Conviene ana-dir que el famoso artfculo de Dedekind y Weber, que se considera iniciadorde la geometrfa algebraica moderna, acumulo polvo por espacio de dos anos

209CORRESPONDENCIA CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS

31. CANTOR A DEDEKIND:

Halle, 29 die. 1878No quiero dejar que el ano se acabe sin enviarle de nuevo

mis mejores deseos; espero que en algun momento sabre porUd. como se encuentra. Entre nosotros todo es alegre: los dosninos se desarrollan a plena satisfaction.9

Seguramente habra llegado a su poder la obra Fondamentiper la teorica dellefunzioni di variabili reali di Ulisse Dini, Pisa1878. Me parece que ha sido compuesta con conocimiento delasunto y mucha habilidad; para la introduction de los numeroshace uso de su metodo. Aunque estoy plenamente de acuerdocon este, sigo creyendo que es equivalente al que yo sugeri enun trabajo sobre series trigonometricas,10 y que la distincion for¬mal de magnitudes numericas de diversos ordenes —mediantela cual solo quise dar expresion a las diferentes maneras en quepueden venir dadas mediante sucesiones infinitas simples (cu-

yos miembros se aproximan infinitamente entre st al crecer elindice)— no conlleva el peligro de que uno pudiera creer queyo habria pretendido expandir el dominio de los numeros rea¬les. Nunca he tenido en mente tal desacierto, ni aun de lejos, ydigo expresamente en mi trabajo que cada uno de los numerosque designo con c puede ser considerado igual a un numero b.Aunque algun otro ha incurrido en ese desacierto, por increi-ble que esto pueda parecer; no se si conoce Ud. el Abriss einer

antes de ser publicado (en el mismo volumen que los Grundzuge de Kronec-ker, y aqul estuvo la causa del retraso; vease Dugac (1976, 252-253). En unacarta del 20.01.1882 donde se habla de este asunto, Cantor escribe: «Kronec-ker hace lo que quiere, Weierstrass se preocupa muy poco de ello, al parecer,y no podemos tomarnos esto a mal ya que esta sumamente ocupado a causa dela edition de las obras deJacobi y de Steiner ... Si tan solo el seiior Kr. quisie-ra saldar su deuda de gratitud con Dirichlet aproximadamente de la mismamanera, jpero el asunto no corre prisa! Si dejara la cuestion en manos de al¬gun otro, ya podrfamos estar contentos; pero tampoco eso quiere hacerlo»(Cantor a Dedekind, en Dugac 1976, 252). [N. del ed.\

9. Dedekind contesto el 31 de die., como sabemos por la respuesta deCantor (Dugac 1976, 232), donde este se alegra mucho de haber retomado lacorrespondencia «que habia quedado paralizada». [N. del ed.\

10. Cantor , «Generalizacion de un teorema de la teoria de series trigono¬metricas:*, Math. Annalen 5 (1872), en Abhandlungen, pp. 92-101. [N. del ed.]

210 GEORG CANTOR

Theorie der complexen Functionen und der Fhetafunctionen deThomae; en la segunda edicion, p. 9, se encuentran numerosque son (horribile dictu)11 mas pequenos que todo numero realy sin embargo distintos de cero.

Sobre la cuestion de si las variedades continuas con distin-to numero de dimensiones pueden ser coordinadas entre si uni-voca y continuamente, o mas bien sobre el teorema de que esto

no es posible, han escrito desde la publication de mi trabajo so¬bre teoria de variedades Thomae, Liiroth, Jurgens, y hace unosdias Netto en elJournalde Borchardt;12 sin embargo, me pareceque la cuestion aun no ha quedado completamente resuelta.

32. CANTOR A DEDEKIND:

Halle, 17 ener. 1879Creo haber resuelto de la manera mas simple y mas riguro-

sa el problema de la representacion [Abbildung] univoca y con-tinua de variedades, que habia quedado abierta con mis investi-gaciones; la reduzco al conocido teorema fundamental delanalisis segun el cual:

(I) una funcion continua de una variable continua t, quepara t = t0 toma un valor negativo y para t = tx un valor positivo,se hace cero al menos una vez en medio de ambos valores.

Los intentos al respecto de Thomae y Netto adolecen de serincompletos, como quiza haya notado Ud.; asi por ejemploThomae se apoya en una proposition de Riemann indemostra-ble para el (Gesammelte Werke, p. 450, (1): Un multisegmentode menos de n-1 dimensiones, etc., etc.); si bien, como he visto

11. Se trata de ordenes de anulacion de una funcion, y al exponerlos

—como un dominio no arquimediano— Thomae se topa de una manera muynotable con las investigaciones de Du Bois-Reymond publicadas poco antes{AnnalidiMat. IV, 1871). [N. de Noether y Cavailles.]

12. Thomae, «Satze aus d. Funct. Theorie», Gottinger Nachrichten 1878;Liiroth, «Abbildung v. Mannigfaltigk. verschied. Dimens, auf einander, Er-langen», Phys. Med. Soc., Sitz.-Berichte 10 (1878); Jurgens, «Ueber eindeuti-ge und stetige Abbildung von Mannigfaltigkeiten», Tagebl. d. Versamml.Deutsch. Naturforscher undAertze in Cassel 1878; Netto, «Zur Mannigfaltig-keitslehre», Jour, reine und angew. Mathematik 86 (1879). [N. de Noether yCavailles.]

211CORRESPONDENCIA CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS

ahora con nitidez, dicha proposition de Riemann es en ciertomodo equivalente con la que habremos de demostrar, para elcaso v = n-1; pero como n-1 es tan general como n, la demos¬tracion de Thomae se mueve en cierto modo en drculos.

La demostracion general que enseguida aducire me es co-nocida desde hace ya tiempo, a saber, mas de un ano; pero has-ta ahora no la consideraba rigurosa y por ello me guardaba dehablar de ella. El descubrimiento que he realizado hace unosdias consiste pues, esencialmente, solo en que es rigurosa. Elerror en que me encontraba tenia que ver con el hecho de quelas relaciones que se plantean en la demostracion no son univo-cas por ambos lados. Pero la polivocidad que se nos plantea no esdanina, dado que siempre aparece unicamente al pasar de do-minios superiores a inferiores.13

En lo sucesivo entiendo por esfera de orden p el dominiocontinuo de orden p que se obtiene de una variedad de p+1 di-mensiones, con coordenadas xly x2, ... xp+l, mediante una ecua-cion:

(*i- a-i)2 + (x2-a2f + ... + (xp+1-ap+1f = Y,

de manera que, por ejemplo, la circunferencia sobre el piano se-rfa una esfera de orden 1.

Ahora, el teorema a demostrar toma la siguiente forma ge-neralizada:

«Una [variedad] continua y una [variedad] continua Mvno se pueden coordinar entre si, en caso de que |X < v, conti-nuamente de modo que a cada elemento de le correspondaun unico elemento de Mv, y a cada elemento de Mv uno o maselementos de Mÿ.

13. Como es bien sabido, sin embargo, la proposition es falsa en caso depolivocidad, cosa que ya muestra la curva de Peano. La demostracion de arri-ba esta publicada: «Ueber einen Satz aus d. Theorie d. stetigen Mannigfaltig-keiten», Gotting. Nachrichten, 1879 (GesammelteAbhandlungen, p. 134). [N.de Noether y Cavailles.] [Zermelo comenta en p. 138: «Es totalmente objeta-ble el recurso a funciones continuas infinitamente polivocas, en cuyo caso ...ni siquiera es valido el teorema fundamental* del valor intermedio. La prime-ra demostracion rigurosa del teorema de invariancia de la dimension fue la deBrouwer en 1911.]

212 GEORG CANTOR

El teorema es inmediatamente claro para el caso v = 1. A finde demostrarlo en general suponemos que es valido para v =n-1y mostramos que entonces es verdadero tambien para v

Para ello suponemos dada una correspondencia continuade una con una Mn, donde jl < n, de modo que en la transi¬tion de a Mn reine la univocidad\ y mostramos que a esta su-posicion le subyace una contradiction interna, o mas bien secontradice el teorema fundamental I aducido mas arriba.

= n.

Sean ay b dos puntos interiores de Mp A y B los puntos co-rrespondientes de M„.

En torno a A como punto medio construimos en M„ una es-fera de orden n-1, E„_u que ha de ser tan pequena como paraque el punto B quede fuera del espacio delimitado por ella.

En torno a a como punto medio construimos igualmente en

Mu una esfera de orden jx-1, Eu_i, que sera lo bastante pequenapara que 1) el punto b quede fuera de ella, y tambien

2) que el dominio continuo de orden pi—1, Dÿ, correspon-diente a esta esfera en M„, caiga totalmente en el interior del es¬pacio delimitado por la esfera Eÿ, lo cual puede lograrse a cau¬sa de la continuidad de la correspondencia en el entorno de lospuntos ay A.

Sea z un punto cualquiera de Eÿ, C el punto correspon-diente de Dÿ,; tiramos el rayo recto A£, y prolongado en estadirection encuentra a la esfera E„_j en un unico punto Z biendeterminado.

Asi pues, por medio de esta construccion a cada punto z deE4_J le corresponde un punto Z de E„_1; el cual varfa continua-mente con z.

Pero de esta manera el punto Z no puede alcanzar todos lospuntos de E„_b ya que esto chocaria con nuestra proposicion parael caso v = n-1que se supone demostrado.

Por ello concluimos con certeza que existen puntos P de laesfera E„_[ que no son alcanzados por el punto Z; si se tira el rayoAP de A a uno de tales puntos P, este no corta al dominio Du_i.

Si ahora unimos P con el punto B, que cae fuera de E,ÿ, pormedio de una curva continua que recorra el espacio M„, obte-nemos

(II) una linea continua compuesta APB, que no tiene ningunpunto en comun con eldominio [•

CORRESPONDENCIA CON DEDEKXND, HILBERT Y OTROS 213

De acuerdo con la correspondencia continua que estamospresuponiendo entre y M„, a esta lmea le corresponden unao mas curvas en Mp que marchan continuamente d<zaab,y quecon ello

(III) a causa del teorema fundamental I, deben necesaria-mente cortar a la esfera EM al menos una vex.

Estos dos hechos II y III se contradicen entre si; as!pues, elsupuesto de una relacion continua entre y Mv es incorrecto,y nuestro teorema esta demostrado para el caso v = n.

Estoy pensando en enviar esta demostracion a los Anzeigende Gotinga, ya que la Academia de Gotinga me ha nombradomiembro correspondiente hace poco, y dado que Thomae pu¬blico su demostracion alii; por ello me gustaria mucho escucharantes su opinion sobre esta cuestion.

33. DEDEKIND A CANTOR:

Brunswick, 19 ener. 1879He estudiado con atencion su demostracion, y solo he en-

contrado una pequenez en ella, la cual podrla causar dudas.Una vez que ha construido en torno al punto A de M„ una es¬fera E„_u y en torno al punto a de una esfera Eÿ_1; cuya ima-gen en M„ es designada con Dÿ, establece Ud. sobre esta baseuna aplicacion de EM en E„_,: al punto z de Eÿ le correspon-de un cierto punto L, de DM, y la intersection Z del rayo AL,con E„_j se considera como una nueva imagen de z. Pero ahoracabe pensar que £ coincida con A, ya que Ud. admite que va¬ries puntos de correspondan a un mismo punto de M„; ental caso la imagen Z serla en general indeterminada. La dificul-tad resultante es obviamente facil de superar si el numero delos puntos a’ en que corresponden a un mismo punto A enM„ esfinito, ya que basta con elegir el radio de la esfera EM tan

pequeno como para que los restantes puntos a’ queden masalia. Pero si el numero de los puntos a’ es infinitamente gran¬de, de momento veo en la mencionada circunstancia una ver-dadera dificultad, y esta se reproduce ademas en un segundolugar de su demostracion. Pues dice Ud. que a la linea APB lecorresponderan una o mas llneas en Mu, que llevan continua¬mente de a a b\ en mi opinion esto exigirla una explicacion y

214 GEORG CANTOR

fundamentacion mas detallada aun en el caso de que B sea laimagen de solo uno o de solo una cantidad finita de puntos b’en pero si son infinitos los puntos b’ de que tienen lamisma imagen B en M„, la existencia de una Iinea que llevacontinuamente de a a b, cuya imagen deberfa ser la Iinea APB,se hace aun mas dudosa. Por lo demas, creo que la propositionsigue siendo verdadera si se admite el supuesto de que cadapunto de M„ pueda ser la imagen de infinitos puntos distintosde MJJ. Quiza logre Ud. superar las dos dificultades menciona-das en un momento. En una publicacion me parece deseableque los nombres o expresiones tecnicas de la teoria de varieda-des (dicho sea de paso, yo daria preferencia sin dudarlo, por subrevedad, a la palabra «Gebiet» [dominio] que es tambien rie-manniana, antes que a la pesada palabra «Mannigfaltigkeit»[variedad, conjunto]) fueran definidos con toda precision; se-ria de gran merito que toda esta «teoria de dominios» se expu-siera ab ovo,u sin recurrir a la intuicion geometrica, y al hacer-lo seria necesario por ejemplo definir con nitidez y determinarplenamente el concepto de una Iinea que lleva continuamentedel punto a al punto b dentro del dominio D. Las definicionesde Netto (cuyo tratado me gusta mucho, y cuya demostracion,segun creo, puede hacerse plenamente adecuada con algunasmodificaciones) contienen una buena base para ello, pero meparecen susceptibles de simplificacion y tambien de ser com-pletadas. No me permitiria realizar un juicio asi, si no me hu-biera ocupado muy ampliamente de tales cuestiones hace mu-chos anos, cuando todavia pretendia editar las lecciones deDirichlet sobre el potencial y de paso fundamentar con mas ri¬gor el llamado principio de Dirichlet.15 Tengo unas cuantas de¬finiciones que me parecen dar un fundamento muy bueno,pero mas tarde deje a un lado todo ese asunto, ya que la adap-tacion de la teoria de numeros de Dirichlet exigio toda mi aten-

14. «Desde el huevo», desde el mismo inicio. [N. del ed.\15. Esto sucedla hacia 1865: la cuestion del principio de Dirichlet era cla¬

ve en conexion con la teoria de funciones de Riemann, muy atacada entoncespor los matematicos de Berlin; finalmente lo demostraria Hilbert en 1904. Las«definiciones» que menciona el texto aparecen en el fragmento de Dedekind«Allgemeine Satze iiber Raume» (Werke, t. II, 1931, p. 352), traducido en De¬dekind (1998), 156-157. [N. deled.]

215CORRESPONDENCIA CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS

cion,16 y en este momento solo podrfa ofrecer algo incompleto.Pero su comunicacion me ha interesado en gran manera, cosaque apenas tendre necesidad de asegurarle, y expresandole mismas sinceras gracias por ella, ...

34. CANTOR A DEDEKIND, TARJETA POSTAL, 20.01.1879:

En mi carta enviada el 17 del presente encuentro un puntoa mejorar, aunque no es considerable.

Es mejor comenzar con dos puntos Ay B de M„, a los quecorresponden puntos interiores de Mÿ.

Sea a uno de los puntos interiores que corresponden al pun¬to A, y sean b, b’, b”, ... todos los puntos correspondientes alpunto B. La esfera Eÿ en torno a a como centro se tomara tan

pequena como para que tanto caiga en el interior de Ecomo tambien que todos los puntos b, b’, b”, ... caigan fuera deEÿj. Esto puede lograrse gracias a la continuidad, la cual impi-de que los puntos b, b’, b”, ... se aproximen infinitamente al

n-1>

punto a.Ahora no deberia ya causar ninguna duda que una curva

correspondiente a la linea APB en conduce de a a uno de lospuntos b, b’, b”, ..., y que al hacerlo debe cortar a la esfera Eÿ

Terminada esta tarjeta, recibo su carta, por la que le doycumplidas gracias. La respuesta vendra luego, ya que debo asis-tir a una reunion.

1-1•

35. CANTOR A DEDEKIND, TARJETA POSTAL, 21.OI .1879:

Ayer tarde, cuando estaba a punto de enviarle mi tarjetarecien terminada, solo tuve tiempo de anadir un anuncio de larecepcion de su carta. Una de sus objeciones la he anticipadoen aquella tarjeta; en lo que respecta a la otra, segun la cual eldominio puede contener al punto A, me parece que de

16. Se refiere a la segunda edicion (1871), para la cual Dedekind preparoun apendice conteniendo la primera version de su famosa teorfa de ideales.[N. deled.]

216 GEORG CANTOR

hecho plantea una dificultad que por el momenta no estoy encondiciones de superar completamente, pero que quiza po-drfa evitarse eligiendo adecuadamente el punto A, para el quehay un espacio de juego tan grande. En todo caso era mi in¬tention admitir la polivocidad en la transition de la variedadsuperior a la inferior con tanta generalidad, que a un punto deM„ le pudieran corresponder infinitos puntos de Mÿ; por ellono me resultaria nada correcto el limitar este supuesto a fin desalvar mi demostracion. En todo caso, solo pienso en una pu¬blication para el caso de que lograse despachar tambien estepunto.

36. CANTOR A DEDEKIND:

Berlin, 15 oct. 1879Mi familia se encuentra, gratias a Dios, perfectamente, el

nino de solo siete meses se desarrolla esplendidamente.Estas vacaciones estuvimos cuatro semanas en Friedrichs-

rode; esta vez no he Uegado a viajar solo. Desde hace un tiempoestamos en Berlin para visitar a los familiares, y permanecere-mos aqui todavia una semana, luego volvemos a Halle.

Aqui no tengo mucha interaction cientifica, mis amigos deotros tiempos se han dispersado por el mundo, y los viejos se-nores no estan muy accesibles.

Kronecker, a quien visite hace unos dias, ha permanecidoen Italia varios meses por placer y ha llegado hasta Sicilia. Dauna impresion muy vigorosa.

Kummer esta muy bien, aunque segun parece se entregademasiado a la pereza de la edad. Weierstrass y Borchardt estanaun en el campo.

<fC6mo le va a Ud., y hasta donde ha llegado con la segun-da parte de la segunda edition de su teoria de numeros?17

17. Se refiere a los nuevos suplementos, incluyendo una nueva version dela teoria de ideales. [N. del ed.]

CORRESPONDENCIA CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS 217

37. CANTOR A DEDEKIND:

Halle, 22 die. 1879Habra recibido Ud. hace algun tiempo una pequeiia nota mia18

sobre una demostracion de un tal senor Appell. Quiza le interesela siguiente aclaracion. Appell emplea el siguiente teorema: «sifin, x) se hace, para cada valor especial de x > a y < p, °° pequeiiopara n = °°, y sifin, x) es una funcion continua de x, y B„ el maxi-mo absolute de esta, entonces Lim = 0 para n - «>». Que esta

proposicion es (en general) falsa, lo muestra el siguiente ejemplo:

/(«,*) = , paraO <x< 1,

bajo las condiciones adicionalesfin, 0) =fin, 1) = 0. Esta fun¬cion es continua en x para 0 < x < 1; ademas, para todo x espe¬cial que sea > 0 y < 1: Lim /(«, x) = 0 para n = «>. El maximo def(n, x) es, para cada n especial, = e~2, como es facil ver, por tanto:

B„ = e~2; por tanto aquiB„ no se hace °°pequeho. Que en el caso

j{n, x) = an sin nx + b„ cos nx, B„

se hace pequeiio al crecer n, se deduce de mi demostracion, perono debe ser presupuesto, porque entonces la demostracion se con-vierte en un circulus vitiosus, como de hecho sucede con Appell.

Me han gustado mucho los resultados sobre teorfa de fun-ciones publicados por Em[ile] Picard en los ultimos meses enlos comptes rendus [de la Academia de Paris]. Si este joven ma-tematico continua de esta manera, podemos esperar de el algu-nas cosas hermosas.

Segun veo con posterioridad, el ejemplo

nx (1-x)

n2x2 + (1 -x)2

para 0 x 1,

isatisfacelos mismos objetivos que el de arriba, y es mas simple!

fin, x) =

18. «Fernere Bemerkungen iiber trigonometrische Reihen», Math. Anna-len, XVI (1880) (Ges. Abhandlungen, p. 104). [N. de Noether y Cavailles.]

218 GEORG CANTOR

38. CANTOR A DEDEKIND:19Berlin, 7 abr. 1882

La cuestion de la catedra en Halle ha quedado decididahace poco, como quiza sepa Ud. ya; A. Wangerin vendra en elotono de este ano a Halle. Desde el punto de vista personal ydel propio asunto he quedado satisfecho con esta resolution,una vez que tuve que resignarme a ver que mi verdadero deseo,verle a Ud. trasladado a la universidad, no podia Uegar a rea-lizarse. La circunstancia de que no hayamos vuelto a tener lapalabra en relation a este nombramiento, ha conducido necesa-riamente a una disputa [Auseinandersetzung] entre Kr[onec-ker] y yo, que sin embargo se mantuvo en lo puramente objeti-vo, porque yo evite por principio entrar en el terreno de lopersonal, y tuvo como resultado que se me honro con garantiasde amistad de un modo algo excesivo.

(-No sera posible que le veamos aqui por Pascua?Mis vacaciones en Berlin las pasare como siempre realizan-

do trabajos a los que el semestre no me permite entregarme. Enparticular me permito hacerle notar lo siguiente, aunque quizaya lo haya advertido Ud. mismo.

Si se tiene un dominio y continuamente co-nexo A, y en el un conjunto de puntos (Mv) distribuido densa-mente, pero enumerable, entonces para n> 2 el dominio A queresta, tras eliminar de A el conjunto (Mv), es aun continuamen¬te conexo, en el sentido de que dos puntos cualesquiera NyN’del mismo pueden ser conectados por una cantidad infinita delineas continuas, definibles analiticamente, que discurren en elinterior de dicho dominio A y en las que por tanto no cae nin-gun punto del conjunto (Mv). El movimiento es pues posibletambien, en un sentido preciso, en tales espacios A.20

19. Entre la carta anterior, n.° 37, y esta de 1882 hubo una larga serie decartas que tienen que ver con el asunto de la catedra que quedo vacante enHalle por la muerte de Heine en 1881 (vease Dugac 1976, 239-255). El lectorencontrara alguna referencia al asunto en las cartas que siguen y en las notas.[N. deled.]

20. Teorema publicado en una formulation similar en «0ber unendlichelineare Punktmannigfaltigkeiten» § 3, Math. Ann. XX (Ges. Ahhandlungen,p. 154). [N. de Noether y Canailles.]

CORRESPONDENCE CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS 219

La validez general de esa proposition se reconoce del modomas simple a partir de mi teorema que dice que, dada una suce-sion de magnitudes reales:

co1; (fl2, coV)

en todo intervalo (a, P) se dan magnitudes r| que no son igualesa ninguno de los cov. De hecho supongamos que n = 2 y A espiano, entonces se puede primero conectar los puntos N, N'mediante una llnea continua L sin preocuparse de (Mv), y tomar

sobre esta llnea una cantidad finita de puntos Nu N2, ... Nk nopertenecientes a (Mv) de tal manera, que los segmentos NNUNjN* ... NkN' caigan enteramente en el interior de A, y ahora re-emplazar esos segmentos por arcos de clrculo con los mismosextremos, en los cuales no caiga ningun punto de (Mv).

Tomemos por ejemplo el segmento NNX; por ambos puntosN y Nj pasa un haz simplemente infinito de clrculos, cuyos cen-tros estan sobre una recta g y pueden ser fijados sobre esta me¬diante una coordenada u. Es posible determinar para u un in¬tervalo (a, P) de modo que todos los valores de u dentro delmismo correspondan a arcos de clrculo que discurren entera¬

mente en el interior de A. Aquellos arcos del haz que ademas depasar por Ny pasan tambien por los puntos

M„M2, ..., Mv, ...,

se corresponden con valores de u que podemos designar me¬diante:

COi, (02,

Tomemos ahora en el interior de (a, p) un valor T) que no esigual a ningun toV) y entonces obtenemos mediante la condicionu -r| un arco de clrculo que conecta los puntos N y N1( cae en¬teramente en A, y sobre el cual no cae ninguno de los puntos Mv,c. q. d.

<DV, ...

220 GEORG CANTOR

39- CANTOR A DEDEKIND:

Berlin, 15 abril 1882Me hubiera gustado recibir su respuesta al contenido mate-

matico de mi ultima carta, suponiendo que haya llegado a suposesion, cosa que pongo en duda.21

Mi interes por este asunto es el siguiente: tras las investiga-ciones y resultados sobre el concepto de mimero irracional y sunaturaleza ideal en el sentido de Kummer, a los que ambos lle-gamos hace mucho tiempo de manera independiente, esta claroque al formar el concepto de espacio no existe ninguna necesi-dad interna de representarselo continuo por todas partes; Ud.lo hace notar expresamente en su escrito sobre la continuidad.Por ello resultaba natural deducir la continuidad del espacio derazones externas, principalmente del hecho [Factum] de la va-riacion continua de lugar, esto es, del movimiento, y esta fue enrealidad mi opinion por largo tiempo.

Pero esa opinion queda sin validez debido al conocimientode que en un espacio tan sumamente discontinue como el quehe designado por A en mi escrito, son posibles variaciones con-tinuas de lugar de cada punto a otro punto cualquiera. Y portanto, pensar en una mecanica modificada, la cual fueravalida para espacios A?

40. CANTOR A DEDEKIND:

Halle, 15 sept. 1882Aunque sea una gran molestia, le pido que la soporte amis-

tosamente, si le pido que pregunte en la Media Luna sobre laposibilidad de tener un cuartito para mi el domingo antes demediodia, y en caso de que asi fuera que confirme el alquiler enmi lugar. Si no quedara nada libre en esa casa de huespedes, no

21. Es obvio que las cartas enviadas por Cantor este ano quedaron en sumayorfa sin contestar. Un factor importante en este sentido es que la madre deDedekind estaba enferma, y murio de hecho en octubre (vease el pesamede Cantor y su mujer, 14.10.1882, en Dugac 1976, 257). Quiza en estas con-diciones la insistencia de Cantor por discutir los asuntos matematicos desu in¬teres resulto molesta a Dedekind. [IV. deled.]

221CORRESPONDENCE CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS

se pierde nada, encontrare alojamiento en algun otro lugar. Entodo caso, tras llegar a Eisenach (11 horas 25 min.) y tras reco-ger en la estaeion de tren la tarjeta de miembro de la Reunion deCientlficos [Naturforscherversammlung], me dirigire ensegui-da a la Media Luna y vere si tienen lo que deseo.

Aparte [vease abajo] incluyo un intento de formular el pro-blema que me interesa desde hace mucho tiempo, que se ha deentender por un continuo-, por favor, juzguelo con indulgencia;si no le parece inutil, podemos discutir de palabra sobre este

asunto.Un intento de generalizar su concepto de cortadura y em-

plearlo para una definition general del continuo no quiso dar-me frutos. Por el contrario, mi punto de partida en las «su-cesiones fundamentales» enumerables (ahora llamo asi a lassucesiones en las que los elementos se aproximan infinitamenteentre si) se acomodo sin violencia a mi intention.

Para variedades de puntos lineales, esto es, contenidas enuna recta, puedo mostrar facilmente con ayuda de mis teoremas

que solo un intervalo completo satisface las condiciones A y B[ver abajo].22

Similarmente deberfa ser posible mostrar, para conjuntosde puntos que yacen en un piano, que si A y B se cumplen enellos, entonces o bien son segmentos de linea cerrados, o bien su¬perficies limitadas por tales segmentos.

P.S. Un conjunto enumerable no deberfa ser concebiblecomo continuo bajo ninguna ordenacion que se le de. Por elcontrario, es probable que todo conjunto no enumerable sepueda siempre contemplar como un continuo bajo ciertas or-denaciones.23

I.24 Sea M cualquier conjunto [Mannigfaltigkeit] bien defi-nido formado por infinitos elementos m, n, p.

22. Suponiendo que se entienda por [m,n] la distancia entre los dos pun¬tos m, n. [N. dela.]

23. De nuevo Cantor esta razonando aquf bajo el supuesto de que su Hi-potesis del Continuo es verdadera. [N. del ed.)

24. Hoja aparte, a la que se refiere C. al comienzo de esta carta y de la si-guiente. [N. de Noether y Cavailles.] El texto es llamativo, porque por prime-

222 GEORG CANTOR

A toda combinacion de dos elementos »y« del conjunto sele asignara de una manera determinada {pern completamente ar-bitraria) un numero real positivo (distinto de cero), que designa-remos con \m,n\\ se puede considerar en cierto modo comofuncion de la combinacion m, n. Inversamente, con esta fun-cion \m,ri\ se establecen ciertas relaciones entre los elementosde M, de manera que m, n, p que se encontraban antes unoal lado del otro sin relaciones entre si, aparecen ahora puestosen un cierto orden O; llamaremos a este ordenamiento O el or-den operado por la funcion [m,n\. Toda otra funcion \m,n\\ enla medida que sea diferente de la [m,n\ en al menos un miem-bro, opera un orden distinto O’ sobre la misma variedad M.

II. M sera llamado un continuo con relacion al ordena¬miento operado por la funcion [/»,»], si se cumplen las dos con-diciones siguientes:

A: Si m, n son dos elementos cualesquiera de M y e es unacantidad dada arbitraria, se puede indicar siempre una canti-dad finita de elementos mv ... mk de M, de manera que:

[fnI)m2i ... [mÿn]

sean todos menores que e.

B: Si mb mves un conjunto infinito enumerable cual-quiera de elementos de M con la caracteristica de que:

lim [mv+ll,mv] = 0

entonces existe siempre un y solo un elemento m de M, de ma¬nera que

para v = °°,

lim \m,mv] = 0 para v = <».

III. De ahi se deduce claramente que un mismo conjuntoM puede ser un continuo en relacion a un ordenamiento O, yun discontinuo en relacion a otro ordenamiento O’. Asi, un cua-

ra vez Cantor da el paso de iniciar sus consideraciones con conjuntos abs-tractos, y luego definir estructuras sobre ellos; el estilo abstracto de estas con¬sideraciones no tiene precedentes en su obra y sus cartas. [N. del ed.]

223CORRESPONDENCIA CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS

drado incluyendo su frontera es un continuo en relation a aquelordenamiento bajo el cual \m,n\ es la distantia en linea recta delos puntos my n; por el contrario, el mismo cuadrado es un dis¬continue en relation al ordenamiento que se obtiene, cuando seestablece una aplication univoca por ambos lados y completaentre aquel y un segmento, de manera que a los puntos m, n, p... les correspondan los puntos m’, n’, p’ ... del segmento, y setome \m,n\ igual a la distantia de los dos puntos correspon-dientes m’, ri.

Halle, 15 sept. 82.

41. CANTOR A DEDEKIND:

Halle, 30 sept. 1882...Tras mi partida de Eisenach paso Ud. todavia un par de

dias deliciosos con nuestros amigos y colegas; para mi, el cortotiempo de nuestra estancia comun alii fue verdaderamente sa¬tisfactory, un momento que se que recordare a menudo.

...Si cae en sus manos la hojita sobre el concepto del conti¬nuo, no olvide tachar el ultimo pasaje, ya que se basa en un error.

Obviamente el cuadrado con el ordenamiento en el que aliilo concibo es un continuo, si bien un continuo de solo una di¬mension. Por el contrario, seria facil establecer un ordenamien¬to distinto, con el que el cuadrado deviene un discontinue.

Los pensamientos fundamentales son la idea de que solo sepuede hablar de un continuo en relation a un ordenamiento de-terminado de los elementos, operado por una funcion [m,n]; yademas las dos caracteristicas del continuo indicadas bajo AyB,con relation a un orden dado. Espero que proximamente en-contrare tiempo para expandir estos pensamientos y quiza pu-blicarlos.

42. CANTOR A DEDEKIND, TARJETA POSTAL DEL 2.10.1882:

A las condiciones Ay B del continuo en relation a un orde¬namiento dado O se les debe anadir una C, segun descubro, queen general no es de ninguna manera una consecuencia de las an-teriores; a saber:

224 GEORG CANTOR

C: (Inversa de B,) Si m es un elemento de M, y mv un con-junto infinite enumerable de sus elementos, de manera que:

lim = 0

entonces tambien debe ser siempre: lim lmv+/J,mv\ = 0, para v =»=, cualquiera que sea fJ..

Con esto deberfa quedar agotado todo lo que puede exigir-se de un continuo.

para v = °°,

43. CANTOR A DEDEKIND:

Halle, 5 nov. 1882La circunstancia de no haber tenido noticias de Ud. por

tanto tiempo, y en particular tampoco la menor noticia desde ladesgraciada perdida [de su madre],25 me hace temer que Ud.mismo pueda no estar demasiado bien, y por ello comprenderaUd. que me permita rogarle que me tranquilice en ese sentido almenos con unas lineas.

Ese vacio es para mi tanto mas sensible, por haberme acos-tumbrado desde hace una serie de anos a someter a su madurojuicio mis experiencias matematicas intimas [inneren mathema-tischen Erlebnisse], y precisamente desde nuestros recientesencuentros en Harzburg y Eisenach, Dios todopoderoso me haconcedido alcanzar las aclaraciones mas notables e inesperadasen la teoria de conjuntos y la teoria de numeros, o, mas bien,que encontrara aquello que ha fermentado en mi durante anosy que he estado buscando tanto tiempo. (No se trata de la defi-nicion general del continuo de puntos, de la que hablamos y enla que creo haber avanzado, sino de algo mucho mas general ypor tanto mas importante.)

25. Vease la nota al pie de la carta del 15.04.1882. El bienintencionadointeres de Cantor viene seguido de una larga explicacion de las nuevas ide¬as matematicas que quiere publicar, lo cual probablemente no haria sinoconfirmar las malas impresiones que pudiera tener Dedekind. Notese comoen toda la correspondencia no hay muestras de interes por las investigacio-nes de Dedekind, mas alia de expresiones formales, y como el papel de este

—nunca agradecido publicamente— es sobre todo el de un corrector deideas previamente a la publication. En todo caso, la carta es sumamente in-teresante. [N. del ed.]

CORRESPONDENCIA CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS 225

Recordara Ud. que en Harzburg le dije que no me resulta-ba posible demostrar la siguiente proposition:

«Si M’ es parte de una variedad M, y M” parte de M’, y siMyM” admiten ser coordinadas entre si univocamente porambas partes, esto es, si M y M” tienen la misma potencia, en-tonces tambien M’ tiene la misma potencia que M y M”».

He encontrado al fin la fuente de este teorema y puedo de-mostrarlo rigurosamente y con la debida generalidad, con loque se llena una laguna importante en la teoria de conjuntos.26

Lo consigo a traves de una extension natural, o prosecution,de la serie de los numeros reales enteros, la cual me conduce su-cesivamente y con la mayor seguridad a las potencias crecientes,cuya definition precisa me habia faltado hasta ahora, fuera de laprimera potencia dada por la serie numerica 1, 2, 3, ... v, ...

Llamo a la serie 1, 2, 3, ... v, ... primera verdadera clase nu¬merica entera, y la designo mediante (v).

Accedo a la segunda verdadera clase numerica como sigue:asi como el numero v es la expresion de una cierta cantidad derepeticiones de la unidad y de su reunion, creo primeramenteun nuevo numero CD,27 que sera la expresion de que toda la co-leccion (v) esta dada; puedo pensar to como limite de los nume¬ros v, si con esto no se pretende indicar nada mas que © es elprimer numero creado tras todos los v, esto es, el primero queha de ser llamado mayor que todos los v.

Si aplico a © la adicion de una unidad, igual que antes a v,obtengo un nuevo numero ©+1, el cual expresa que primero se

26. Como indicamos en otros lugares, esto no era cierto, segun reconocioel mismo Cantor en las Contribuciones de 1895 (al final del § 2: Abhandlun-gen, 285): los ordinales transfinitos y las dases numericas no bastaron para de¬mostrar el teorema de Cantor-Bernstein. Dedekind si pudo demostrarlo en1887, pero desgraciadamente no se lo quiso comunicar a Cantor (cf. Dede¬kind (1998), 155, 63, y nota 20 en 186). Lo cual confirma que, por razones queno somos capaces de reconstruir plenamente, se habia cansado definitiva-mente de ejercer el papel que tuvo en los anos 1870 respecto a Cantor, sus pu-blicadones y el desarrollo de sus ideas. [N. del ed.\

27. Cantor emplea aqui el modo de hablar de Dedekind, quien siemprehabia considerado a los numeros «creaciones libres» de la mente humana.Tambien habia asi en las ultimas secciones de los Fundamentos. Mas abajo, eltermino «Gedankending», objeto mental, es tambien tipico de Dedekind.[N. deled.}

226 GEORG CANTOR

ha puesto co, luego se ha anadido la unidad y se ha reunido con(Oenun nuevo numero. Llamo a la transition de un numero v o coal inmediatamente siguiente el primer momento de generation;por el contrario, la transition de un conjunto sucesivo de nu-meros enteros, que no tiene ningun maximo, al inmediatamen¬te mayor que todos ellos, la llamo el segundo momento de gene¬ration.

La formation del numero co sucede pues gracias al segun¬do momento de generacion, la del numero co+1 gracias al pri-mero.

Si ahora se aplican repetidamente ambos momentos de ge¬neracion, se llega a una extension de nuestra serie numerica queavanza en sucesion determinada:

1, 2, 3, ... v, ... co, co+1, ... co+v, ..., 2co, 2co+l, ..., pco+v, ...... /Uo2+p<o+v, ..., acok+pcok-1 ...+pco+v, ...

... etc. etc. etc.

La primera impresion que esta sucesion causara en Ud. seraque uno no ve como se podria llegar al continuarla a algun tipode clausura, cosa que sin embargo serfa necesaria si es queaquello debe suministrarnos una nueva potencia determinada, yconcretamente la potencia de la segunda clase, inmediatamentesiguiente a la potencia de la primera clase.

Para lograr esa clausura, se ahade a los dos momentos degeneracion definidos arriba un tercer momento, al cual llamomomento de limitation, el cual consiste en el requisito de quesolo se emprendera la creation de un nuevo numero entero

con ayuda de uno de los dos otros momentos, si la totalidad delos numeros obtenidos previamente es enumerable medianteuna clase numerica conocida y disponible ya en toda su exten¬sion.

Por este camino, al observar estos tres momentos se puedenalcanzar con la mayor seguridad clases numericas siempre nue-vas, y sus potencias respectivas, y los nuevos numeros obteni¬dos de esta manera gozan siempre de la misma determinationconcreta y exactamente la misma realidad que los antiguos. Portanto no se que podria disuadirnos de la actividad de formarnuevos numeros enteros, siempre que se muestre que la intro¬duction de una nueva entre estas innumerables clases nume-

227CORRESPONDENCE CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS

ricas se ha vuelto deseable o incluso imprescindible para elavance de las ciencias. Y esto ultimo me parece ser el caso en lateorfa de conjuntos [Mannigfaltigkeitslehre], y aun podrfa serlomucho mas alia; pues al menos yo no puedo seguir adelante sinesta extension, pero con ella consigo muchas cosas bien inespe-radas.

Naturalmente, en primer lugar debemos detenernos en lasegunda clase numerica, que llamo (a), y que contiene al iniciola primera (v). Segun lo anterior, (a) esta caracterizada porquelos numeros 1, 2, 3, ... to, (0+1, ..., to2, ... que preceden a un de-terminado a forman siempre un conjunto que (al margen de suordenamiento natural) es enumerable en la primera clase.

Ahora se puede demostrar con pleno rigor que la propia co¬leccion (a) no es enumerable en la primera clase.

La coleccion de numeros (a) tiene pues una potencia dis¬tinta de (v), y concretamente la inmediatamente mayor; pues es-toy en condiciones de demostrar rigurosamente la siguienteproposicion:

«Si (a’) es cualquier parte de (a), entonces o bien (a’) es fi-nito, o es enumerable en la primera clase, o se puede coordinar(a’) biunfvocamente con la propia coleccion (a), esto es, (a’) esenumerable en la segunda clase; quartum non datur».

Ademas creo poder demostrar que la coleccion de nuestrosnumeros reales, racionales e irracionales, se puede relacionarunivocamente con (a), con lo cual, teniendo en cuenta el teore-ma anterior, queda demostrado el teorema de las dos clases para[conjuntos] infinitos lineales (y para los que son reducibles a es-tos mediante aplicacion).28

Quiza se asombre Ud. de mi atrevimiento al llamar a los ob-jetos to, to+1, ..., a, ... numeros enteros, y aun verdaderos nume¬ros enteros de la segunda clase, cuando previamente, alii dondeme he servido de ellos (en los [Math.] Annalen, t. 17, 20 y 21),los habfa Uamado modestamente «simbolos de infinitude

28. Se refiere, obviamente, a la HC. Una vez mas, los deseos de demostraresta hipotesis clave de Cantor se anteponen a la consideration crftica: Cantorpuso enseguida esperanzas en poder demostrar la HC por esta via, y siguiotrabajando en ello hasta el articulo de la disputa con Mittag-Leffler en 1885,pero tampoco este camino dio frutos. [N. del ed.]

228 GEORG CANTOR

Pero esta libertad mxa se explica por la observation deque entre los objetos mentales [Gedankendinge] a, que llamoverdaderos numeros enteros de la segunda clase, se dan rela-ciones que se puede reducir a las operaciones [aritmeticas]

basicas.Desde luego las leyes que reinan entre ellos son esencial-

mente distintas y mas complicadas, mas dificiles de encontrarpor induction, que las de nuestra teorfa de numeros en relationa los viejos numeros. Ya para la adicion se encuentra que la leyconmutativa no subsiste en general; en general a+p no es

= p+a.Es facil reconocer esto, ya que encontramos que 1+co = oo,

mientras que co+1 es bien distinto de CO.

La sustraccion se define, si p<a, por medio de la ecuacion:

a + (p-a) = P,

pero no mediante la ecuacion: (P-a) + a = P, que en general noresulta resoluble en (p-a). Si a es multiplicando y P multiplica-dor, entonces existe en (a) un determinado numero que es elproducto:

ap;mas tambien aquise encuentra que en general /3a es diferente dea/3.

Sin embargo, la ley asociativa es valida tanto para la adicioncomo para la multiplication en la segunda clase, tenemos:

a + (P+y) = (a+p) + ya-(p-y) = (a-p)-y.

Del principio distributive vale solo una mitad, tenemos:

(a+P) y= ay+ Py.

Entre los numeros (a) encontramos que existe una distin-cion natural entre aquellos numeros a formados con ayuda delprimer momento de generation, que por tanto tienen un inme-diato predecesor, al cual llamo a_x (es distinto en general dea-1, porque a-1 = a para a > co); y aquellos numeros a que notienen un inmediato predecesor en la serie, para los cuales a_tresulta carente de significado. Dentro del primer tipo se distin-

229CORRESPONDENCIA CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS

guen del resto los no descomponibles, que bien podemos 11a-mar numeros primos.

Hasta donde puedo ver, es relativamente facil determinarnuestros numeros irracionales finitos con la ayuda de los nume¬ros a, cosa que quiero aun investigar.

Entiendo por P la coleccion de los numeros contenidos enla formula:

*29

11 1z = OLX — + a, •— + ... + av •— +

323 3'

en la cual (Xy solo recibe los valores 0 y 2.P tiene entonces las dos propiedades:1) P = V2) P no es denso en ningun intervalo.

Problema. Sea M un conjunto de elementos cualquiera; seauna parte propia de M, y M2 una parte propia de Mg supo-

nemos que hay una relation umvoca por ambas partes entre M

* Me parece (aunque todavia no estoy seguro) que todo numeroa se pue-de representar de una unica manera bajo la siguiente forma:

a= <r0 a • •tC •C2 •K” ... nf*41 •cv p

donde c0, c1; ... cu_,, c„ son numeros enteros positivos de (v), Jt, it’, n”, ... sonnumeros primos de (a), y finalmente p es un numero de (a) del segundo tipo(para el que por tanto e_, no existe) tal que no es divisible por ningun numerodelprimer tipo. Estos numeros del segundo tipo tienen un caracter sumamen-te especial, dado que por ejemplo (0 = cn-v, donde v es un numero de (v). Porello con respecto a p no puede hablarse de una descomposicion determinada.Y por esto es que no puede hablarse propiamente de numeros primos del se¬gundo tipo.

Tambien es digno de notarse que si digo que a es divisible por p estoyafirmando la posibilidad de la ecuacion:

a=Py

donde P es el multiplicando. Esta manera de fijar el concepto de divisibilidadme parece licita en la clase numerica (a). [N. dela.]

29. Como es bien sabido, esta descomposicion [indicada en la nota ante¬rior] fue establecida y demostrada por primera vez en el trabajo publicado en1897 «Contribuciones a la fundamentacion de la teorfa de conjuntos transfi-nitos» (Ges. Abhandlungen, p. 343). [N. de Noether y Cavailles.\

230 GEORG CANTOR

y M2; hay que mostrar que tambien M y M1; y por tanto tambienMj y M2 tienen la misma potencia.

Disculpeme Ud., querido amigo, si le cuento de manerapreliminar todo esto, para lo cual tendra Ud. de momento pocointeres; pero si es asi, pongalo a un lado y vuelva a estas lineaspasado un tiempo.

En todo caso me complacera Ud. si me escribe diciendocomo se encuentra. Con mis amistosos respetos a su senora her-mana,

Suyo humildementeGEORG CANTOR

44. CANTOR A DEDEKIND, TARJETA POSTAL, 6.11.82:

Creo que en mi exposition de ayer comet! una errata, lacual podrfa dar ocasion a un error.

En el producto:

a = Py

(3 es para m!el multiplicador, yel multiplicando, y digo que a esdivisible por (3, si a puede ser representado como un productoen el cual (3 es el multiplicador.

En este sentido debe tambien entenderse la descomposi-cion que he conjeturado valida en general:

a = c0it cpz’ ... cv_li?v~l) cv p.

CORRESPONDENCE CON KRONECKER,LASSWITZ Y ENESTROM (1884-1885)

45. KRONECKER A CANTOR:

Kammer am Attersee [Austria], 21 agos. 1884

Estimado senor colega,Acabo de recibir su querida carta del 18, reenviada aqui, y

me apresuro a confirmar su recepcion con agradecimiento.Pienso encontrarme de vuelta en Berlin ya a finales de septiem-bre, pues esta vez be comenzado mi viaje de reposo nada masacabar las lecciones el 5 del presente. De modo que en octubreme encontrara Ud. en casa, y me alegrare si —de acuerdo con laindication en su carta— me visita entonces en Berlin y sostieneuna conversation cientifica conmigo, tal como ha sucedido yacon frecuencia en el pasado.

Dice Ud. en su carta que, «a consecuencia de cierta acrituden la valoracion de sus trabajos, se ha visto Ud. envuelto en unantagonismo conmigo, del que anhela Ud. con la mayor inten-sidad verse libre». Naturalmente me agrada mucho esto ultimo,pero debo confesarle francamente que no conocia en absolutolo primero. Me acuerdo bien de que hace unos anos, antes deque WEangerin] ocupase la catedra alii,1 tuve ocasion de que-jarme de las declaraciones que hacia Ud. respecto a mi por car¬ta dirigida a K[ummer] y Weierstrass, y ello lo hice abierta y di-rectamente en una carta dirigida a Ud. Mas desde entonces noha faltado ocasion de que volvieramos a encontrarnos en perso¬na —por ejemplo antes de que transcurriera un ano, en Halle—,y a juzgar por nuestro encuentro de entonces me parecio quehabia desaparecido cualquier resto de amargura. jRecordara

1. Wangerin tomo posesion de su catedra en Halle en 1882; vease la car¬ta n° 38 a Dedekind, 7 abr. 1882. IN. del ed.]

232 GEORG CANTOR

Ud. muy bien la parte no pequena que tuve en su desarrollo du¬rante la epoca de estudiante, y tambien mas tarde en el desarro¬llo feliz de su carrera academical Por ello es que no pude sinosentirme sorprendido al encontrar que de repente estaba Ud. lle-no de algun recelo contra mi. Mas una vez que me enfrente porescrito libremente con Ud., para mt la cuestion habia acabado.

jCosa bien distinta es nuestra divergencia en algunas cues-tiones cientificas! Mas no veo ninguna razon por la que nuestras

relaciones personales debieran verse perturbadas de ningunmodo por esas divergencias. Cuando hace poco hable con laSra. Kowalewski de estas cosas, ella opino con mucha razon queera como si se hablara de religion. Los asuntos en los que am-bos tenemos puntos de vista diferentes quedan casi igual de le-jos respecto a la matematica concreta {sit venia verbo) como lareligion, y si nosotros tres: K[ummer], Weierstrass y yo, repre-sentamos desde hace casi treinta anos un modelo de unidad pa-cifica y podemos alegrarnos de una obra comun feliz y rica enexitos, casi nunca perturbada, con ello se demuestra que la per-tenencia a tres confesiones distintas no constituye ningun obs-taculo a la mas intima union personal y cientifica. Tampoco ladivergencia en algunos planteamientos cientificos ha causadonunca la menor ruptura en nuestras relaciones. <<Por que en-tonces se deja Ud., mi querido colega, conducir a un antagonis-mo conmigo por divergencias tales?

Dado que Ud. escucho hace mas de veinte anos mis leccio-nes y que tambien despues, permanedendo en reladones casi in-interrumpidas conmigo, ha escuchado a menudo mis opiniones,conoce Ud. mejor de lo que podria ahora expresar que, tras ha-ber profundizado en estudios filosoficos muy pronto siguiendoa K., reconoci luego al igual que el mismo la incertidumbre detodas esas especulaciones y me refugie en el puerto seguro de laverdadera matematica. Que podria haber mas natural, sino queme haya esforzado por establecer los fenomenos o las verdadesde esta matematica lo mas libres posible de aquellos conceptosfilosoficos. Por eso he partido de la idea de reducir todo lo quehay en la matematica pura a la teoria de los numeros enteros, ycreo que esto se lograra plenamente. Mas de momenta esto essolo mi creencia. Pero donde se ha logrado efectivamente, veoalii un verdadero avance, a pesar de que —o quiza porque— es

233CORRESPONDENCE CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS

un paso atras hacia lo simple, pero mas aun porque ello de-muestra que los nuevos conceptos [Begriffsbildungen] cuandomenos no son necesarios. Pronto hare que se conozca a traves dela imprenta lo esencial de mis opiniones, y formulare entoncesmis objeciones contra aquella deduction de Stolz —que Ud. co-noce por comunicaciones mias en conversation—. ;Entoncespodremos aclarar estas cosaspublicesine ira et studio\ Mas, cporque en el mundo entero deberia una tal aclaracion perjudicar anuestras relaciones personales? Si solo en ocasiones expreso esasobjeciones, ello se debe a que no les doy mas que un valor muysecundario. Solo reconozco un autentico valor cientifico —en elcampo de la matematica— a las verdades matematicas concretas,o por decirlo con mas agudeza, «solo a las formulas matemati-cas». Solo ellas son lo imperecedero, como lo muestra la historiade la matematica. ;Las distintas teorfas sobre los fundamentosde la matematicas (como la de Lagrange) han desaparecido delmundo, pero la resolvente de Lagrange permanece!

Con los mejores deseos, tambien de mi mujer, a Ud. y lossuyos, asi como a Heine, de su viejo amigo

KRONECKER

46. CANTOR A KRONECKER:

Friedrichroda, 24 agos. 1884

j Estimadisimo Senor Profesor!Su benevola carta del 21, por la que le doy repetidas gra-

cias, me ha llenado de felicidad, ya que entiendo por ella queresponde Ud. de la manera mas amigable a los deseos que yoexprese en mi escrito del 18.

Me alegro de escuchar que este otono planea Ud. volver aBerlin ya a finales de septiembre, y espero encontrar asi ocasionde discutir con Ud. estos y aquellos asuntos cientificos, igualque tuve la suerte de hacer tan a menudo en anos pasados y quetanto me ayudo.

Me alegro de saber que tiene Ud. intention de hacer publi¬co lo mas esencial de sus opiniones sobre cuestiones polemicas[del analisis].

234 GEORG CANTOR

Soy de la opinion de que la mayor parte de aquello que meha ocupado cientificamente en los ultimos anos, y que reunobajo la denominacion de teoria de conjuntos, no esta tan aleja-do de los requisites que Ud. impone a la matematica «concre-ta» como Ud. parece creer. Habra que culpar a la exposicion nodemasiado clara de que no haya Ud. advertido lo concreto ma-tematico en mis investigaciones tanto como lo demas, a saber, elcontenido filosofico.

Son problemas concretes y, segun creo, verdaderamentematematicos los que me han surgido con los denominados con-juntos de puntos, problemas que en parte he resuelto pero queen su mayoria todavia me ocupan. Estan mtimamente ligados ala teoria de funciones y tambien, creo, a la teoria de numeros.Aquello en lo que mas me agradaria lograr un entendimientocon Ud., es lo que he denominado los numeros transfinitos dela segunda clase numerica.

Se trata de conceptos, resp. signos o caracteres, que me re¬sultan imprescindibles para la caracteristica de los conjuntos depuntos. Mi opinion de que dichos conceptos han de concebirsecomo numeros se funda en la concreta determinacion de sus re-laciones reciprocas, y en que pueden ser concebidos bajo unmismo punto de vista con los numeros finitos habituales. Dis-pongo desde hace ya largo tiempo de una fundamentacion deestos numeros que es algo diferente de la que he dado por es-crito en mis trabajos, y que sera sin duda mas del agrado de Ud.

Parto del concepto de un «conjunto bien ordenado», y 11a-mo conjuntos bien ordenados del mismo tipo (o mismo ordinal\AnzahVf) a aquellos que es posible correlacionar entre si uni-voca y reciprocamente, respetando la jerarquta de rango por am-bas partes-, y ahora entiendo por numero el signo o el conceptopara un tipo concreto de conjunto bien ordenado. Si nos limita-mos a los conjuntos finitos, obtenemos de esta manera los nu¬meros enteros finitos. Mas si pasamos a tener en cuenta la tota-lidad de los tipos de conjuntos bien ordenados de la primerapotencia, nos vemos conducidos necesariamente a los numerostransfinitos de la segunda clase numerica, y por su mediation ala segunda potencia. Seria muy de mi agrado poder exponerletodo esto en detalle, ya que estoy convencido de que en tal casono se le escaparia a Ud. el aspecto matematico concreto del

235CORRESPONDENCE CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS

asunto. Esto me parece tanto mas de desear, cuanto que enaquel campo permanecen sin resolver un gran numero de cues-tiones, para cuya solucion se requerirfa en mi opinion de susuperioridad matematica.

Concluyo por hoy repitiendole mi agradecimiento sincero

G. CANTOR

NOTA: Cantor envio a Mittag-Leffler el 26 de agosto, «confi-dencialmente», copias de la carta de Kronecker y su respuesta,comentando:

No quiero que piense Ud. que voy a humillarme, se trata parami solo de restablecer las anteriores relaciones personales cor-diales, quese habian perdido no sin culpa mia. Me alegro de co-razon de que haya sido yo quien diera el primer paso para laaproximacion.

Como podra Ud. ver claramente en su escrito, Kr. y Kum-mer han caido en un punto de vista muy sesgado, casi diria queprimitive), a la hora de juzgar la matematica, y mantengo todo loque de concreto y objetivo he dicho contra este punto de vista enmis Fundamentos.

47. CARTA AL PROF. KURD LASSWITZ (GOTHA):215 febr. 1884

Entiendo por potencia o numero cardinal de un conjunto C(que consiste en elementos c, c, ... bien diferenciados y concep-tualmente separados, y que ademas ha de ser determinado yacotado) el concepto general o generico (universal) obtenido alhacer abstraction de las caracterfsticas de los elementos delconjunto asi como de todas las relaciones que puedan guardarlos elementos, ya sea entre si, ya con otras cosas, y en especial alabstraer del ordenamiento que pueda reinar entre los conjun-

2. Publicada en «Mittheilungen zur Lehre vom Transfiniten», Zeitschriftfur Philosophic und philos. Kritik, 91 (1887). Cantor anotaba que «Esta cartareproduce en lo esencial el contenido de la conferencia que di en septiembrede 1883 para la section matematica de la Reunion de Cientificos [Naturfors-cherversammlung} celebrada en Friburgo (Baden)». [N. deled.]

236 GEORG CANTOR

tos, y al reflexionar solo sobre lo que tienen en comun todos losconjuntos que son equivalentes con C. Y digo que dos conjun-tos C y D son equivalentes cuando admiten ser coordinados en-tre si univoca y reciprocamente, elemento a elemento. (Vease elJournal de Crelle, t. 84, p. 242). Para ello empleo tambien la ex-presion mas breve Valencia, en lugar de potencia o numero car¬dinal. De los conjuntos con igual Valencia, digo que pertenecena la misma clase de potencia. La Valencia de un conjunto C espues el concepto general bajo el cual se encuentran todos losconjuntos de la misma clase que C, y solo estos.

Una de las tareas mas importantes de la teorfa de conjuntos,que creo haber resuelto en lo esencial en el tratado Fundamen-tos para una teoria general de conjuntos, Leipzig 1883, consisteen el requerimiento de determinar las diferentes valencias o po-tencias de las variedades [conjuntos] que se encuentran en todala Naturaleza, en la medida que se revela a nuestro conocimien-to. Lo he conseguido formando el concepto general de enume¬ration [Anzahl] de un conjunto bien ordenado, o lo que es lomismo, el concepto de numero ordinal*

La definition de aquello que entiendo por un conjunto Cbien ordenado se encuentra en los Fundamentos, p. 4.

A dos conjuntos bien ordenados C y D los Uamo del mismotipo o tambien similares entre si cuando se pueden relacionarentre si biunivocamente de tal modo que, si c y c’ son dos ele-mentos cualesquiera del primero y n, n los elementos corres-pondientes del otro, entonces la relacion de rango de c’ a c essiempre la misma que la relacion de rango de n a n. Digo tam¬bien de dos conjuntos bien ordenados C y D que satisfacen esacondition, que son enumerables entre si.

Asi por ejemplo, los conjuntos bien ordenados

{a,a’,a”)y{b,b’, b’j

* El concepto de numero ordinal es un caso particular del concepto detipo de orden, el cual se aplica a todo conjunto ordenado simplemente o multi-plemente, del mismo modo que el numero ordinal a un conjunto bien ordena¬do. El senor C. Gutberlet ha induido algunas ideas relativas a esto, siguiendomis deseos y segun un manuscrito mfo, en su trabajo del Zeitschr. Philos, u.philos. Kritik 88, p. 183. [N. del autor, anadida sin duda con posterioridad ala fecha de la carta original.]

237CORRESPONDENCE CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS

son del mismo tipo o, lo que significa lo mismo, son enumera-bles entre si; e igualmente los conjuntos bien ordenados

(a, a’, a” ... aM ...) y (b, b\ b”... bM ...)

y tambien los siguientes:

(a, a\ a" ... aM ... c, c\ c”) y (b, b\ b”... bM ... d, d\ d”).

Entiendo por enumeration o numero ordinal de un conjun-to bien ordenado C el concepto general (concepto generico, uni¬versal) que se obtiene al abstraer de las caracterfsticas y las de-nominaciones de los elementos del conjunto bien ordenado C,y al reflexionar solo sobre el orden de rango en el que se en-cuentran relacionados los elementos; asf pues, el ordenamientoo numero ordinal de C es comun a todos los conjuntos bien or¬denados del mismo tipo, en cierto modo es aquello que es inma-nente a todos ellos. Y aqui nos encontramos con el problema dedeterminar los numeros ordinales o enumeraciones que se danen la Naturaleza, y diferenciarlos merced a determinados sim-bolos de un modo adecuado al asunto. A ello conducen las si¬guientes definiciones y teoremas:

Sean € y D dos conjuntos bien ordenados cualesquiera, a y

P los numeros ordinales que les corresponden;

C unido con D, siguiendole este,

es siempre un conjunto bien ordenado de determinado tipo, sea yel numero ordinal correspondiente. Definimos que y es la sumade a y P, y = a + P, y llamamos a a el augendo, a p el adendo deesta suma. Si a y P son dos numeros ordinales diferentes cua¬lesquiera, esto es, correspondientes a diferentes tipos, entonces

puede demostrarse que o bien la ecuacion P = a + £,, o bien laecuacion a = p + q es resoluble en (o sea, en el adendo) y solode una manera. En el primer caso llamamos a a menor que P,en el segundo a es mayor que p; a i; se le llama la diferenciade ambos numeros; en el primer caso t, = p-a, en el segundo

= a- p.Se demuestra facilmente que si a < p, P < y, entonces tam¬

bien a < y. Ademas es posible mostrar que la ley asociativasiempre es valida:

(a + p) + y=a + (p + y).

238 GEORG CANTOR

De modo similar se define el producto de dos numeros or-dinales, donde sin embargo es preciso diferenciar entre el mul-tiplicador y el multiplicand#, ya que en general a • (3 es diferen-te de (3 •a.Por el contrario demostramos aqui, casi dirfa que deuna mirada, que

(a •(3) •y = a •((3 •y) (ley de asociacion),

y tambien que

a ({3 + y) = <x|3 + ay (ley de distribucion cona como multiplicando).

En los Fundamentos he escrito el multiplicador a la izquier-da, el multiplicando a la derecha-, pero he podido advertir que eluso contrario, con el multiplicando primero a la izquierda y lue-go a la derecha el multiplicador, es el mas conveniente y casi in¬dispensable para el desarrollo ulterior de la teoria de los nume¬ros transfinitos; por esta razon, de ahora en adelante inviertosiempre la notacion de los Fundamentos en la medida que tieneque ver con productos. Se convence uno de la importancia deesta modificacion tan pronto como toma en consideration nu¬meros transfinitos de la forma ap, para los cuales es valida, se-gun esta notacion, la ley general: ap •ccY = apn. Pero esta mismaley, siguiendo la notacion de los Fundamentos, tomarfa la formaobjetable:

a13 •ar = aYA

Resaltare aun lo siguiente: si en un conjunto bien ordena-do C dos elementos cualesquiera eye intercambian sus pues-tos en el orden de rango, el tipo no cambia por ello, ni por tan-to la «enumeracion» ni el «numero ordinal». De ahi se deduceque las transformaciones de un conjunto bien ordenado quepueden reducirse a una sucesion finita o infinita de transpo-siciones de dos elementos, o sea, todas las alteraciones quesurgen por permutation de los elementos, dejan invariante laenumeracion del mismo. Ahora bien, como en el caso de unconjuntofinito, si la coleccion de sus elementos permanece lamisma, toda transformacion puede reducirse a una sucesion detransposiciones, aqui esta la razon de por que en los conjuntos

CORRESPONDENCE CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS 239

finitos el numero ordinal y el numero cardinal coinciden encierto modo, pues en este caso los conjuntos de la misma Va¬

lencia tienen siempre un mismo numero ordinal, en cualquierforma que sean pensados como conjuntos bien ordenados.Con los conjuntos infinitos, en cambio, la distincion entre nu¬mero cardinal y numero ordinal resalta de la manera mas deci-dida. Igualmente dependen de aquella circunstancia las leyesconmutativas de la adicion y la multiplicacion en los conjuntosfinitos, ya que a partir de ella es muy facil demostrar que, si p yv son dos numeros ordinales finitos, entonces siempre p+v =v+p y p-v = v-p.

Es preciso adoptar un nuevo sfmbolo para el numero ordi¬nal transfinito mas pequeno, que es aquel que corresponde a losconjuntos bien ordenados de tipo

(a,a\a”, ... aM, ...);

para ello he elegido la ultima letra del alfabeto griego, to.

Por numeros ordinales de la segunda clase numerica entien-do aquellos numeros que corresponden a conjuntos bien or¬denados de la potencia de la primera clase numerica 1, 2, 3;v, dicha coleccion de numeros ordinales constituye una nue-va Valencia, concretamente la inmediatamente siguiente a la Va¬

lencia precedente, tal como he mostrado rigurosamente (Fun-damentos, pp. 35-38). Y el mismo proceso de pensamiento nosconduce a clases numericas superiores y a las valencias superio-res que les corresponden. He ahf una maravillosa armonia, con-ducente a lo mas grande, cuyo desarrollo preciso es el tema dela teoria de numeros transfinitos.

He creido que debia anteponer todo esto, aunque fueracom la mayor brevedad, para poder entrar en algunos comenta-

rios que encuentro en su escrito. Primero quiero hacerle notar

la generalidad, precision y determination de mis definiciones delos numeros; tienen identica formulation, ya se apliquen a losconjuntos finitos o a los infinitos. Por ejemplo, todo numerotransfinito de la segunda clase numerica tiene, segun su defi¬nition, la misma determination, es igualmente completo en st,

como todo numerofinito.A modo de ejemplo, el concepto to no contiene nada fluc¬

tuate, nada indeterminado, nada variable, nada potential, no es

240 GEORG CANTOR

ningun apeiron, sino un aphorismenon,3 y lo mismo vale de to-dos los demas numeros transfinitos. A1 igual que cualquier nu-mero finito, digamos 7 o 3, se contrapone a los simbolos inde-terminados x, a, b del algebra literal, con los cuales comparaUsted en su escrito de manera inapropiada a los numeros trans¬finitos. Con ello se aleja Ud. del sentido que tienen para mi losnumeros transfinitos, del mismo modo que lo ha hecho el senorWundt en la conception que ofrece de este asunto en su Me-thodenlehre, Logik, t. II, pp. 126-129. La discusion de Wundtmuestra que no se ha hecho consciente en forma clara y precisade la distincion fundamental entre infinito impropio = finito va¬riable = infinito sincategorematico (apeiron)4 por una parte, einfinito propio = transfinito - infinito complete = ente infinito[Unendlichseiendem] = infinito categorematico (aphorisme¬non.) por otra parte. De otro modo no hubiera caracterizado delimite tanto a aquelcomo a este\ limite es siempre algofijo en si,invariable, de ahi que de ambos conceptos del infinito solo eltransfinito pueda ser pensado como un ente [seiend] y, bajociertas circunstancias y en cierto sentido, como un limite fijo.Por ello yerra Wundt tambien al creer que el transfinito no tie-ne ninguna signification fisica, mas si el infinito potencial; enpuridad, lo correcto es lo contrario, porque el infinito potenciales solo un concepto auxiliar y relacional, remitiendo siempre aun transfinito que esta en el trasfondo, sin el que aquel no po-dria ser ni pensarse. La distincion entre el infinito propio e im¬propio fue reconocida por los filosofos muy pronto, ya entre losantiguos griegos, si bien no siempre con la misma claridad; tam¬bien se encuentra expresada con nitidez entre los modernos,con la exception quiza de Kant, Herbart y los materialistas,empiristas, positivistas, etc. Mas aqui Hegel no merece mentionespecial, como parece pensar Wundt, pues con Hegel todo escontradictorio, oscuro y confuso, y el mismo llega incluso a ele-var la contradiccion a elemento destacado de su filosofia y pro-piedad caracteristica de su manera de pensar, cosa en la que yo

3. Ambos terminos en griego en el original: apeiron designa lo «ilimita-do», aphorismenon denota lo «separado» y «modificado», lo delimitado.

4. En latin y griego, resp., en el original; del mismo modo que luego apa-recen en latin «Transfinitum» y «kategorematice infinitum».

241CORRESPONDENCE CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS

al menos no le envidio. A esto se anade que lo que Hegel puedahaber dicho de adecuado acerca de la distincion que hemos dis-cutido, como tantas otras cosas en su caso, lo ha tornado de Spi¬noza. Pero entre los filosofos se echa en falta el principio de di-ferenciacion en lo transfinito, que conduce a distintos numerostransfinitos y a distintas potencias. La mayorfa confunde inclu-so lo transfinito con el Uno supremo, que por su naturaleza escarente de diferencias, con el Absolute, el maximo absolute, quenaturalmente no es susceptible de ninguna determinacion y portanto no puede someterse a la matematica.

En la crftica de Wundt, tambien es completamente inade-cuado que ponga en el mismo piano mis trabajos con las mo-dernas especulaciones llamadas «metamatematicas»,5 cuandono tienen ninguna similitud, ningun autentico punto de contac-to, y lo transfinito tampoco debe ser llamado «trascendente»(cuando esto significa mas bien algo allende las facultades delentendimiento humano).

...Segun Herbart, \Werke\ t. IV, p. 88 y ss.,6 el concepto delinfinito descansarfa «sobre un Umite variable, que en cada ins-tante puede, o debe, ser llevado mas alla». «Prescindir de estamovilidad del limite, significa anular el concepto del infinito,significa pensar algo que no es infinito, sino finite. ...» ha es-capado completamente a la memoria de estos senores que, pres-cindiendo de los viajes que se tiene a bien realizar en la fantasiao los suenos, para que uno pueda desplazarse o moverse con se-guridad es absolutamente imprescindible un suelo firme, asicomo un camino llano, que nunca se corte, sino que este dispo-nible permanentemente alia a donde conduzca el viaje? ... Elamplio viaje que Herbart prescribe a su <dimite movible», segunconfiesan sus mismas expresiones, no esta restringido a un ca-

5. En esta epoca era habitual llamar asi a las investigaciones sobre geo-metrfas no euclideas de Lobachevskii, Riemann, Helmholtz, Klein y otros.

6. Este parrafo es un extracto de una larga nota. Cantor entra en unaagria polemica contra los «senores herbartianos», y habla incluso del «terro-rismo del guia de la escuela [Terrorismus der Schulfiihrer]». Esto contrastanotablemente con la admiracion que Riemann le profeso, si bien Riemannpreferfa francamente los escritos de juventud de Herbart —en los cuales, enparticular, habla muy a favor del infinito actual— y no los escritos de madu-rez que son los citados por Cantor.

242 GEORG CANTOR

mino finito; de modo que su camino debe ser infinito, y en rea¬lidad, dado que no puede a su vex ser nada variable, sino quedebe permanecer siempre fijo, ha de ser un camino actualmenteinfinito. Con lo cual todo infinito potencial (el limite movible)

exige un transfinito (el camino seguro a recorrer) y no puede serpensado sin este ultimo. Mas ya que nosotros hemos aseguradocon nuestros trabajos el amplio camino real [Heerstrasse] de lotransfinito, estableciendolo firmemente y empedrandolo consumo cuidado, lo abrimos ahora al trafico y lo ponemos debuen grado a disposition de todos los amigos del infinito po¬tencial —y muy en particular el «limite» herbartiano, tan amigode desplazarse— como fundamento ferreo y util para ellos. Consumo gusto dejamos a este [limite] sin descanso entregado a lamonotonia de su destino nada envidiable; que se desplace siem¬pre mas alia, de ahora en adelante no habra de desvanecersenunca el suelo bajo sus pies. jSuerte en el camino!

...No debe requerir pues ninguna otra excusa el que yo hayadiferenciado en el mismo initio de los Fundamentos dos con-ceptos diferentes entre si toto genere, que llame el infinito im-propio y el infinito propio; deben considerarse no susceptiblesen absolute de union y no relacionados entre si. La union o con¬fusion de estos dos conceptos absolutamente diferentes, admi-tida tan a menudo en todas las epocas, es eh mi firme opinion lacausa de innumerables errores; en particular es aqui donde veola causa de que los numeros transfinitos no hayan sido descu-biertos anteriormente.

Para excluir de antemano una tal confusion, he designadoel menor numero transfinito con un simbolo diferente del sim-bolo usual cuyo significado es el infinito impropio, a sabercon co.

En cierto sentido co puede ser considerado como el limite alque tiende el numero variable entero y finito v, pero solo en elsentido de que co es el menor numero ordinal transfinito, estoes, el menor numero determinado yfijo que es mayor que todoslos numeros finitos v. Exactamente igual que v2 es el limite deciertos numeros racionales variables y crecientes, si bien aquisucede ademas que la diferencia entre v2 y estas fracciones quelo aproximan se hace arbitrariamente pequena, mientras que co-ves siempre igual a CO; pero esta diferencia no cambia nada en el

243CORRESPONDENCE CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS

hecho de que co es tan determinado y completo como V2, y tam-poco cambia nada en el hecho de que co tiene en si tan pocashuellas de los numeros v que se le aproximan, como V2 pudieratenerlas de sus aproximaciones mediante fracciones racionales.

Los numeros transfinitos son en cierto sentido nuevas irra-cionalidades, y de hecho, a mi entender, el mejor metodo paradefinir los numeros irracionales finitos es perfectamente simi¬lar, y aun diria que es en principio el mismo metodo que he des-crito arriba para la introduccion de los numeros transfinitos. Sepuede decir sin reparos: los numeros transfinitos se sostienen ocaen con los numeros irracionales finitos; son analogos en suesencia mas intima; pues tanto aquellos como estos son confi-guraciones o modificaciones (aphorismena), delimitadas conprecision, del infinito actual.

.748. CARTA AL SENOR G. ENESTROM EN ESTOCOLMO, 4 NOV. 1885:

...Su carta del 31 de oct. de este ano, que hoy ha llegado amis manos, contiene la siguiente cuestion: «ÿHabeis visto y es-tudiado el escrito del abate Moigno intitulado: Imposibilidaddel numero actualmente infinito; la ciencia en sus relaciones conla fe (Paris, Gauthiers-Villars, 1884)?».8 Justamente hace unassemanas que me procure este escrito. Lo que Moigno dice aquisobre la supuesta imposibilidad de los numeros actualmente in-finitos, y la provechosa aplicacion que hace de esta falsa propo-sicion para fundamentar ciertas doctrinas de la fe, me era cono-cido ya en lo esencial gracias a Cauchy: Siete lecciones deftsicageneral (Paris, Gauthier-Villars, 1868). Cauchy parece habersido conducido a esta especulacion, sumamente inusual en unmatematico, por el estudio del padre Gerdil. Este (Jacinto Se-gismundo, 1718-1802)

bien establecida, un filosofo notable, activo como profesor porcierto tiempo en Turin, luego educador del futuro rey Carlos

una personalidad muy respetable yera

7. Publicada como «Sobre los distintos puntos de vista en relation al infi¬nito actual», Zeitschriftfur Philosophic undphilos. Kritik, 88 (1886). [N. deled.]

8. Cita en Frances en el original. Lo mismo vale para los titulos de lasobras siguientes. [N. del ed.]

244 GEORG CANTOR

Emanuel IV del Piamonte, posteriormente llamado a Roma porel papa Pfo VI en 1776, empleado para ciertos asuntos de laSanta Sede y finalmente elevado a obispo de Ostia y a cardenal.Quiza le resulte conocido como autor de algunos trabajos sobregeometria y sobre cuestiones historicas. En la p. 26, Cauchyhace referencia a un tratado de Gerdil que lleva por tftulo: «En-sayo de una demostracion matematica contra la existencia eter-na de la materia y del movimiento, deducido de la probada im-posibilidad de una sucesion actualmente infinita de terminos,ya sea permanentes, ya sucesivos» {Opere edite ed inedite delcardinale Giacinto Sigismondo Gerdil, t. IV, p. 261, Roma 1806).

El mismo tema se encuentra expuesto por el en «Memoria delinfinito absoluto considerado segun la magnitud» {ibid, t. V, p.1, Roma 1807).

No me encuentro en oposicion de principio a estos autoresen la medida en que se afanan por una armonia entre la fe y elsaber, mas considero el medio del que hacen uso para ello comoalgo completamente erroneo.

Si las doctrinas de la fe requiriesen para su apoyo una pro¬position tan falsa de raiz como aquella de la imposibilidad denumeros actualmente infinitos (que es antiquisima bajo la co-nocida formulation «numerus infinitus repugnat»; reciente-mente se encuentra por ejemplo en Tongiorgi: «Instit. philos.,t. II, 1.3, a. 4, pr. 10», bajo la forma: «Multitudo actu infinita re

pugnant»; tambien puede encontrarse entre otros en Chr. Sig-wart, «Logik, t. II, p. 47, Tubinga 1878» y en K. Fischer, Systemder Logik und Metaphysik oder Wissenschaftslehre, p. 275, Hei¬delberg 1865), entonces estarfa muy mal encomendada con ella,y me parece muy digno de notarse que santo Tomas de Aquinoen I p., q. 2, a. 3 de su Summa theologica, donde demuestra concinco argumentos la existencia de Dios, no hace ningun empleode esta proposition erronea, si bien por otra parte no es contra-rio a ella; en todo caso le parecio demasiado incierta para estefin. (Comparese Constantin Gutberlet: Das Unendliche me-taphysisch und mathematisch betrachtet, Mainz 1878, p. 9.) Poralta que sea mi consideration de Cauchy como matematico y fi-sico, por simpatica que me resulte su devotion religiosa, y pormucho que en particular me gusten aquellasSiete lecciones defi-sica general, al margen del error que estamos discutiendo, me

245CORRESPONDENCIA CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS

veo obligado a protestar decididamente contra su autoridad allidonde ha errado.

Hace ahora justamente dos anos que el senor Rudolf Lip-schitz (Bonn) me hizo notar un paso de la correspondencia en-tre Gauss y Schumacher, donde el primero se manifiesta encontra de todo empleo del mfinito actual en la matematica (cartade 12 de julio de 1831); le he respondido extensamente y he re-chazado en este punto la autoridad de Gauss, que por todos losrespectos tengo en tan alta estima, del mismo modo que hoy re-chazo el testimonio de Cauchy, y que en mi escrito Tundamen-tos para una teoria general de conjuntos, Leipzig 1883, he recha-zado entre otras la autoridad de Leibniz, quien en esta cuestioncometio una notable inconsecuencia.

Si quisiera Ud. revisar con mas detalle el escrito recien men-cionado (no la traduction en las Acta mathematica, t. II, dondesolo se imprime una parte de el) encontraria Ud. que en los§§ 4-8 he respondido en lo esencial a todas las objeciones quese han realizado contra la introduction de numeros actualmen-te infinitos. Si bien entonces no me eran conocidos los mencio-nados escritos de Gerdil, Cauchy y Moigno sobre nuestro tema,con todo las razones aparentes que dan estos autores se venafectadas tanto como las petitiones principii de los filosofos quehe citado alii tan ampliamente.

Todas las denominadas demostraciones contra la posibilidadde numeros actualmente infinitos son erroneas en lo esencial,como se puede mostrar concretamente en cada caso y tambien de-ducir de razones generates, debido a que —y aqui radica su pro¬ton pseudos—9 piden de antemano o mas bien imponen a los nu¬meros en cuestion que cumplan todas las propiedades de losnumerosfinitos, mientras que los numeros infinitos por su parte,sies que han de ser pensables bajoforma alguna, deben constituirun genero de numeros totalmente nuevopor contraste con los nu¬merosfinitos, cuyas caracteristicas dependen plenamente de la na-turaleza de las cosas y han de ser objeto de la investigacion, masno de nuestro arbitrio o de nuestros prejuicios.

Segun he visto recientemente, ya Pascal reconocio lo discu-tible, si no lo absurdo, de deducciones tales como las que en-

9. En griego en el original: «falsa premisa» (en un silogismo). [N. del ed.]

246 GEORG CANTOR

contramos en los escritores mencionados, y por ello hablo a fa¬vor de los numeros actualmente infinitos, al igual que su amigoAntoine Arnauld, solamente que por otra razon rebatible, en laque no quiero entrar con mas detalle aqui, tuvo en demasiadopoco al espiritu humano en cuanto a su capacidad de concebirel infinito actual. (C/. Pascal, Oeuvres completes, 1. 1, pp. 302-303, Paris, Hachette & Co. 1877; y ademas: Logica [_o el arte depensaf] de Port-Royal, ed. por C. Jourdin, parte 4a, cap. 1, Pa¬ris, Hachette & Co. 1877.)

Si nos proponemos agrupar en forma sinoptica los diferen-tes puntos de vista que a lo largo de la historia se han hecho va-ler con respecto a nuestro tema, el infinito actual (en lo sucesivodenotado I. A. para abreviar), se nos ofrecen diversas manerasde hacerlo, entre las cuales hoy quisiera resaltar solo una.

Se puede poner en cuestion el I. A. en tres respectos princi-pales’. primero, en la medida en que se da in Deo extramundanoaeterno omnipotenti sive natura naturantef donde lo llamo loabsoluto-, segundo, en la medida en que se da in concreto seu innatura naturata, donde lo llamo transfinito; y tercero se puedehacer cuestion del I. A. in abstracto, esto es, en la medida en quepuede ser concebido por el conocimiento humano bajo la for¬ma del infinito actual o, como tambien lo he llamado, de los nu¬

meros transfinitos, o aun bajo la forma mas general de los tiposde orden transfinitos (arithmoi poetoi o eidetikoi).11

Si en primer lugar prescindimos del primero de estos pro-blemas y nos restringimos a los dos restantes, surgen de suyocuatro puntos de vista diferentes, los cuales pueden encontrarse

realmente sustentados en el pasado o en el presente.Primero, se puede rechazar el I. A. tanto in concreto como

in abstracto, tal como sucede con Gerdil, Cauchy, Moigno enlos escritos citados, con el senior Ch. Renouvier (veanse su Es-quisse d’une classification systematique des doctrines philosophi-ques, t. I, p. 100, Paris, Bureau de la Critique philosophique,1885), y con todos los llamados positivistas y su parentela.

10. Expresion de Spinoza: Dios en tanto que distinto del mundo es la «na-tura naturans», la sustancia activa y creadora; mientras que la «natura naturata»es lo creado, las formas concretas de lo material, lo mental, etc. [N. del ed.]

11. En griego en el original: «numeros creados o ideados». [N. del ed.]

247CORRESPONDENCEA CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS

Segundo, se puede afirmar el I. A. in concrete pero rechazarloin abstractor esta posicion se encuentra, tal como resalte en misYundamentos, p. 16, en Descartes, Spinoza, Leibniz, Locke y mu-chos otros. Por nombrar aqui a otro autor reciente, mencionare aHermann Lotze, quien en su articulo titulado: «L’infini actuelest-il contradictoire? Reponse a Monsieur Renouvier», en la Re¬vuephilos. de Ribot, t. DC, 1880 defiende el I. A. in concrete; la re¬plica de Renouvier se encuentra en el mismo tomo de esta revista.

Es posible, tercero, afirmar el I. A. in abstracto pero negarloin concrete; en esta posicion se encuentra una parte de los neo-escoldsticos, mientras otra parte, quiza la mayor, estimulada po-derosamente por la enciclica de Leon XIII, de 4 agosto de 1879:De philosophia Christiana ad mentem Sancti Thomae AquinatisDoctoris Angelici in scholis catholicis instauranda, trata aun dedefender la primera de estas cuatro posiciones.

Por fin, cuarto, resulta posible afirmar el I. A. tanto in con¬crete como in abstractor en este terreno, que considero el unicocorrecto, se encuentran bien pocos; quiza soy el primero en eltiempo que defiende la posicion de forma plenamente determi-nada y en todas sus consecuencias, pero se con toda certeza quejno sere el ultimo que la defienda!

Si se quiere tener en cuenta tambien la posicion de los filo-sofos sobre el problema del I. A. in Deo, se obtiene una clasifi-cacion de las escuelas en ochos puntos de vista, que notable-mente parecen tener todos representacion. Solo podrfan surgirdificultades para clasificar a un autor en estas ocho clases enaquellos casos en que no han tornado posicion clara respecto auna o mas de las tres cuestiones referentes al I. A.

El llamado infinite potential o sincategorematico (Indefini-tum) no da lugar a una division semejante, y esto se debe a quesolo tiene significado como concepto relational, como una re¬presentation auxiliar de nuestro pensamiento, pero de por si nodesigna ninguna idea; si bien ha demostrado, bajo esa forma, sugran valor como medio de conocimiento e instrumento denuestra mente, a traves del calculo diferencial e integral inven-tado por Leibniz y Newton, aquel concepto no puede de por siaspirar a una significacion mayor.

Quiza le haya conducido a su pregunta un comentario mioen el articulo «Sobre varios teoremas de la teoria de conjuntos

248 GEORG CANTOR

de puntos» en Acta Mathematica, t. VII, p. 123, donde cito en-tre otros a Cauchy como fiador para mi punto de vista respectoa la constitution de la materia; al hacerlo tenia en considerationespecialmente aquella parte de mi hipotesis en que afirmo la es-tricta puntualidad espatial o el caracter inextenso de los elemen¬ts ultimos, tal como ha sido ensenada siguiendo a Leibniz porel padre Boscovicen su escrito Theoria philosophiae naturalis re-dacta ad unicam legem virium in natura existentium, Venecia,1763; y esta consideration se encuentra defendida magistral-mente por Cauchy en sus Siete lectiones y antes de el por AndreMarie Ampere (Curso del College de France 1835-1836), tras elpor Saint-Venant (ver su «Memoire sur la question de savoir s’ilexiste des masses continues, et sur la nature probable des der-nieres particules des corps», bulletin de la Societe philomatiquede Paris, 20 enero 1844; tambien su trabajo mas extenso en losAnnales de la Societe stientifique de Bruselas, ano 2°), entre no-sotros en Alemania ante todo por H. Lotze (Mikrokosmos, 1. 1)y por G. Th. Fechner (ver su Uber die physikalische und philo-sophischeAtomenlehre, Leipzig 1864). Por contra no puedo de¬jar de mencionar que Cauchy polemiza, al menos en aquel es¬crito (y tambien lo hacen los restantes autores que acabo demencionar, con la exception de Leibniz), contra la segundaparte de mi hipotesis, que el numero de los elements ultimos esactualmente infinito; mas arriba he mostrado con que derecholo hacen. Algun dia mostrare que, sin embargo, Cauchy no per-manecio fiel a dicha opinion relativa al I. A. en otras ocasiones,como no podia ser menos...

Pese a la diferencia esencial entre los conceptos del infinitopotential y actual —ya que el primero designa una cantidad fi-nita variable, que crece mas alia de todo limite, mientras el ulti¬mo denota un cuantofijo y constante en si, pero que esta masalia de toda cantidad finita— se encuentra demasiado a menu-do el caso de que uno y otro son confundidos. Asi, por ejemplo,descansa en la confusion de ambos conceptos la conception delos diferenciales que encontramos a menudo, segun la cual se-rian cantidades determinadas infinitamente pequenas12 (cuando

12. Por esta epoca Cantor insistio una y otra vez en la imposibilidad deconcebir infinitesimos en sentido estricto, cosa que ha sido considerada como

249CORRESPONDENCE CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS

no son mas que cantidades auxiliares variables, que se puedensuponer tan pequenas como se quiera, desaparecen totalmentedel resultado final de los calculos, y por ello ya fueron califi-cadas de puras ficciones por Leibniz, cf. la edition Erdmann,p. 436). Si debido a un rechazo justificado de semejante I. A.ilegitimo ha tornado forma en amplios estratos de la ciencia,bajo el influjo de las modernas tendencias epicureas y materia-listas, un cierto horror infiniti —el cual encuentra su expresionclasica y su mayor apoyo en el mencionado escrito de Gauss—,el concomitante rechazo acrftico del I. A. legitimo no me pare-ce un delito pequeno contra la naturaleza de las cosas, que hande tomarse en lo que son. Y cabe concebir dicho comporta-miento como una forma de cortedad de miras que nos roba laposibilidad de ver el I. A., a pesar de que en forma de su maxi-mo portador, el Absoluto, nos ha creado y nos mantiene, y bajola forma secundaria del transfinito nos tircunda por todas par¬tes e incluso es inherente a nuestro espiritu.

Otra confusion frecuente tiene lugar entre las dos formasdel infinito actual, pues se mezcla lo transfinito con lo absoluto,cuando en realidad estos dos conceptos estan nitidamente dife-renciados, en la medida en que el primero es por cierto infinito,pero es aun susceptible de aumento, pero el ultimo debe pensar-se esencialmente como no aumentable y por tanto no determi¬nable matematicamente.13 Encontramos este error por ejemploen el panteismo, y constituye el talon de Aquiles de la Etica deSpinoza, de la que por cierto afirmo F. H.Jacobi que no es po-sible contradetirla con argumentos de la razon. Tambien sehace notar que, desde Kant, ha tornado carta de naturaleza en¬tre los filosofos la falsa idea de que el Absoluto es el limite idealde lo finito, cuando en realidad ese limite solo cabe pensarlocomo un transfinito, y por cierto el minimo de todos los transfi-

una incoherencia palmaria; los infinitesimos hicieron entrada por estas mis-mas fechas con el estudio de los sistemas no arquimedianos realizado por Ve¬ronese y otros, y en el siglo 20 darfan lugar al analisis no estandar.

13. A estas consideraciones subyace la conception de la matematicacomo ciencia de las cantidades, que era aun habitual hacia 1800, pero que a fi¬nales de siglo estaba francamente superada. Una cantidad se definia precisa-mente como aquello susceptible de aumento y disminucion, de ahi que lo queno lo fuera no caerfa bajo el pensamiento matematico.

250 GEORG CANTOR

nitos (correspondiente al menor numero suprafinito, que desig-no con £o). En su Critica de la razon pura, dentro del capitulo so-bre las «Antinomias de la razon pura», Kant aplica el conceptodel infinito, sin la menor consideracion critica previa, a cuatrocuestiones, con el fin de mostrar que pueden con igual rigor sertanto afirmadas como negadas. Quiza nunca (incluso conside-rando el escepticismo pirronico y academico, con el que Kanttiene tantos puntos de contacto) se ha hecho mas por desacre-ditar la razon humana y sus facultades, que con esta seccion dela «filosofia trascendental crftica». En su momento mostrareque dicho autor solo ha logrado hacer valer sus antinomias mer-ced a un empleo vago y carente de distinciones del concepto delinfinito (si es que bajo circunstancias tales se puede hablar aunde conceptos), y esto solo lo ha logrado entre aquellos que, aligual que el, prefieren eludir un tratamiento matematico riguro-so de tales problemas.14

14. Por su interes historico, incluimos la nota de Zermelo, quien respon-de a Cantor en un tono no menos cargado de emotividad: «Cantor no pareceaqui hacer justicia, en absoluto, a la doctrina kantiana de las “antinomias de larazon pura”. Para Kant no se trataba de un rechazo o refutation del conceptodel infinito, sino de aplicarlo al todo del mundo, para establecer el hecho deque la razon humana se ve impulsada por su naturaleza interna tanto a consi-derar el mundo limitado como ilimitado, finito tanto como infinito —hechocon el que no lograra acabar una teoria matematica como la teorfa de conjun-tos cantoriana, ni tampoco consideraciones polemicas como las suyas, cierta-mente no muy profundas—. Aun aquellos que, como el editor [Zermelo], re-chazan de piano la teoria kantiana de la matematica, segun la cual los teoremasmatematicos se fundarfan en la “intuition pura”, habran de conceder que ensu doctrina de las “antinomias” alcanza expresion una vision mas profunda,una captation de la naturaleza “dialectica” del pensamiento humano. Quiso undestino peculiar que, pretisamente, las “antinomias de la teoria de conjun-tos”, cuya analogia al menosformalcon las kantianas no puede negarse, se pu-sieran en el camino de la difusion y reconocimiento de los logros de Cantorpor espacio de toda una generations [N. del ed.]

CORRESPONDENCE CON DEDEKINDY HILBERT (1897-1899)

49. CANTOR A HILBERT:

Harzburg, 26 sept. 1897Dado que me ha contado Ud. que ha entrado en la redac¬

tion de los Math. Annalen, me gustarfa recibir su opinion sobrela publication del tercer articulo de mi tratado en curso «Con-tribuciones a la fundament, de la teorfa de conjuntos transfin.»Confio en dejar listo el manuscrito durante estas mismas vaca-ciones; se trata solamente de la cuestion, <mo resultarfa conve-niente publicar antes en los Nachrichten de Gotinga los resulta-dos mas importantes del mismo?

tendra lugar la primera sesion de su Sociedad deCiencias (a la que pertenezco desde hace veinte anos comomiembro correspondiente)?

Por desgracia, anteayer en el Politecnico de Brunswick mevi obligado a interrumpir nuestra conversation sobre la teoriade conjuntos, debido a que avanzaba la tarde, en el punto enque precisamente surgia en Ud. la duda de si todos los numerostransfinitos o potencias estan contenidos en los alefs, o conotras palabras, si todo a o b determinado es tambien un ciertoalef.

Es posible demostrar rigurosamente que esta pregunta deberesponderse afirmativamente.

Pues la totalidad de todos los alefs es tal que no puede serconcebida como un conjunto disponible [fertig] bien definidoy concreto. Si ese fuera el caso, a dicha totalidad deberfa suce-der en magnitud un determinado alef, que por tanto deberfa a lavez pertenecer a la totalidad (como elemento) y deberfa no per-tenecer, lo que constituirfa una contradiction.

Elio supuesto, puedo demostrar rigurosamente:«Si un con-junto disponible, bien definido y concreto, hubiera de tener un

252 GEORG CANTOR

numero cardinal que no coincidiera con ninguno de los alefs,entonces el mismo deberfa contener subconjuntos cuyo nume¬ro cardinal serfa cualquier alef, o con otras palabras, el conjun-to deberia llevar en si la totalidad de los alefs».

De ahi es facil concluir que bajo el supuesto que acabamosde hacer (un conjunto concreto cuyo numero cardinal no serfaningun alef) tambien la totalidad de los alefs serfa concebiblecomo un conjunto disponible, bien definido y concreto. Peroarriba hemos demostrado que tal no es el caso. Por tanto, todoa es siempre un cierto alef.

En particular, tambien la potencia o del continuo lineal esigual a un cierto alef (y espero demostrar que o = K j).

Y ya de esto se deriva que el continuo lineal, desligado desu interconexion, resulta enumerable en un sentido superior,esto es, puede ser representado como un conjunto bien ordena-do.

Hace ya muchos anos que denomine, a las totalidades queno podemos concebir como «conjuntos», totalidades «absolu-tamente infinitas» (ejemplo de ellas es la totalidad de los alefs,segun demostramos arriba), y las diferencie nitidamente de losconjuntos transfinitos.

IDispone Ud. de mi coleccion de cartas sobre la teorfa deltransfinito, que aparecio hace unos 7 anos y fue publicada enel Zeitschrift zur Philosophic?l Si no es asi, me gustarfa enviarleun ejemplar de la misma.

Con los mejores deseos de mi mujer y miosSuyo humildemente

GEORG CANTOR

50. CANTOR A HILBERT:Halle, 2 oct. 1897

Volviendo a su carta del 27 sept, observo que en ella diceUd. con pleno derecho:«La coleccion de los alefs puede ser con-cebida como un conjunto bien definido y concreto, pues dada

1. Cantor, Abhandlungen, pp. 370-439 (veanse las cartas n° 47 y 48). Losartfculos de 1886 a 1888 fueron publicados separadamente en forma de librocomo Zur Lehre vom Transfiniten (Halle, 1890). [N. deled.]

253CORRESPONDENCIA CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS

una cosa cualquiera podra en todos los casos determinarse si talcosa es un alef o no; y nada mas puede exigirse de un conjuntobien definido».

All right.Pero no tiene Ud. en cuenta que en mi escrito de Harzburg

emplee tambien un caracteristico «disponible» y dije:

Teorema«La totalidad de los alefs no puede ser concebida como un

conjunto determinado y a la vez disponible».

Aqui es donde debe verse el punctum saliens, y aun tiendo aver en este teorema plenamente seguro, demostrable rigurosa-mente a partir de la definition de la «totalidad de los alefs», laproposition mas elevada e importante de la teoria de conjuntos.

Solo es necesario comprender adecuadamente la expresion«disponible».

Digo de un conjunto que puede ser pensado como disponi-ble, y llamo a tal conjunto, en caso de que contenga infinitoselementos, conjunto «transfinito» o «suprafinito», cuando re-sulta posible sin contradiction (como es el caso con los conjun¬tos finitos) pensar todos sus elementos como coexistentes [zu-sammenseiend], y por tanto pensar el conjunto mismo comouna cosa en sicompuesta; o tambien (en otras palabras) cuandoresulta posible pensar el conjunto como actualmente existentecon la totalidad de sus elementos.2

5 I. CANTOR A HILBERT:

Halle, 11 oct. 1897En su escrito del 27 sept, se ofrece Ud. amablemente a pre-

sentar ante la Sociedad Real de Ciencias, para su publication en

2. En una carta del 6 oct. 1898, donde esencialmente se repiten estas ideas,anade: «de modo que un “C disponible” puede eventualmente ser consideradocomo elemento de otro conjunto*. En esa carta (Briefe, pp. 393-395) desarrollacon mayores detalles la paradoja de Cantor o de la totalidad de los alefs, y ajuzgar por escritos del ano siguiente debe de haber logrado al fin convencera Hilbert. [N. deled.]

254 GEORG CANTOR

los Nachrichten, comunicaciones sobre mis trabajos. Me gusta-ria hacer uso de su invitacion, disponiendo en primer lugar,para una de las proximas sesiones de su Sociedad, parte de loque aparecera en el tercer articulo de mi trabajo en curso de pu¬blication en los Annalen.

la primera sesion el 23 o el 30 de octubre? cuandoes la segunda?

tHa recibido Ud. mi carta del 2 de oct., asi como el fas-ciculo «Sobre la teoria del transfinito»?

Veo que aun debo responder una cuestion contenida en sucarta del 27 sept.

La proposition que afirma que la coleccion de todas lasfunciones continuas, pero tambien la de todas las integrables,3de una o mas variables, tiene la potencia o del continuo lineal,

ya en mis Fundamentospara una teoria gen. de con-juntos, p. 46 {Math. Annalen, tomo XXI, p. 596), si bien for-mulada con timidez (con un «debiera»).

Hace ya muchos anos que poseo una demostracion rigurosade dicho teorema, basada por un lado en la teoria de las series deFourier, y por otro en el teorema que se contiene bajo la formula

oKo = o {Math. Annalen, tomo 46, p. 488,journal de Crelle, tomo 84, p. 257).

Para darle a Ud. una idea de dicha demostracion, y a fin deser breve, me limitare a demostrar una proposition similar massimple, a saber:

se encuentra

«La coleccion de todas las funciones analiticasf(u) de unavariable compleja u tiene la potencia o.»

Demostracion-. Cada una de las funciones analiticasf(u) enparticular surge, segun la definition de Weierstrass, de infinitos«elementos de funcion» con la forma

S = (a0+b0i) + {aÿbÿu-lc+di)) + ... + {a„+bj){u-{c+di))" + ...

3. Aquf Cantor se equivocaba: ya el conjunto de las funciones integrablesde Riemann tiene una potencia mayor que o (ver Fraenkel, Einleitung in dieMengenlehre (1928), 113). [N. del ed.\

CORRESPONDENCIA CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS 255

donde i — V-l y donde c, d, a„, b„ son magnitudes reales some-tidas a la condicion de que la serie S converge en un cierto en-torno de u -c+di, por lo demas arbitrario.

Por tanto la coleccion

\f(u)}

de todas las funciones analfticas no tiene, en todo caso, una po-tencia mayor que la coleccion de todos los complejos

e = (c, d, a0, b0, au bu ... a„, b„, ...),

donde c, d, a„, b„ pueden tomar todo valor real sin ninguna li¬mitation, independientemente unas de otras.

Pero esta coleccion {e} tiene la potencia:

(e) = os° = o.

Y como, por otro lado, resulta evidente que la potencia de [f(u)}no puede ser menor que o, se deduce:

\fiu)\ = o, c. q. d.

52. CANTOR A HILBERT:

Halle, 10 oct. 1898A lo quele escribiel dla 6 de oct., me gustaria anadir aun algo

mas, con el ruego de que someta a crftica todo lo que le escribo.De la definition:

«Se entiende por conjunto disponible toda multiplicidad enla cual todos los elementos pueden ser pensados sin contradic¬tion como coexistentes, y por tanto como una cosa en st.»

se derivan multiples teoremas, entre ellos los siguientes:4

4. Estas proposiciones son notables precedentes de axiomas de la teorfade conjuntos posterior, producto del esfuerzo de Cantor por hacer algo masrigurosas sus intuiciones sobre los conjuntos «consistentes» e «inconsisten-tes». Son especialmente llamativas las dudas que tuvo sobre el axioma delconjunto potencia p(C), el conjunto de todos los subconjuntos de C (vea-

se IV y la carta siguiente). [N. del ed.\

256 GEORG CANTOR

I «Si C es un conjunto disponible, entonces tambiencada subconjunto de C es un conjunto disponible.»

II «Si en un conjunto disponible se sustituyen conjuntosdisponibles en el lugar de los elementos, entonces lamultiplicidad resultante es un C disponible.»

III «Si de dos multiplicidades equivalentes una es un Cdisp., entonces tambien lo es la otra.»

IV «La multiplicidad de todos los subconjuntos de un con¬junto disponible C es un conjunto disponible.» Pues to-dos los subconjuntos de C estan contenidos en C «a lavez»; la circunstancia de que se recubren parcialmenteno es obice.

Que las multiplicidades «enumerables» {av} son conjuntosdisponibles, me parece una proposicion axiomdticamente vdli-da, en la que descansa toda la teorfa de funciones.

Por el contrario, creo que el teorema

«E1 continuo lineal es un conjunto disponible»

es una proposicion demostrable, a saber, del modo siguiente:El continuo lineal es equivalente al conjunto

S = {/(v)J

dondefly) puede tomar los valores 0 o 1.Por comodidad, jdescartemos la funcionfly) que es igual a

Oparatodov!Afirmo pues que S es un «conjunto disponible».

Demostracion. Si denotamos con v’ los valores de v para loscuales /(v) = 1, entonces {v’l es un subconjunto de {v}, e inver-samente, a cada subconjunto{v’} de {v}le corresponde una cier-ta funcionfly), es decir, un cierto elemento de S.

La multiplicidad de todos los subconjuntos {v’} de {v} espues equipotente a S.

Pero segun la proposicion IV, la multiplicidad de los sub¬conjuntos de{v} es un conjunto disponible; por tanto, lo mismovale segun la proposicion III tambien para S, y para el continuolineal.

CORRESPONDENCE CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS 257

Del mismo modo, el predicado «disponible» deberia ser de-mostrable para los conjuntos K1; S2, ...

Antes de proseguir, esperare a sus observaciones u objecio-lo dicho hoy y hace cuatro dias.nes a

53. CANTOR A HILBERT:

Halle, 12 oct. 1898En referenda a mi escrito del 10, resulta de una considera¬

tion mas minudosa que la demostracion del teorema IV no esde ningun modo tan simple. La eircunstancia de que los ele-mentos de la «multiplicidad de todos los subconjuntos de unconjunto disponible» se recubren en parte, la convierte en ilu-soria. En la definition de conjunto disponible, resulta esencialestablecer el supuesto de la separation o existentia independien-te de los elementos.

Confiemos en que nuestra discusion conduzca a una aclara-cion progresiva de las dificultades.

54. CANTOR A DEDEKIND:

Halle, 28 jul. 1899jEstimadisimo amigo!Su querida carta con deseos cordiales para nuestras dos pa-

rejas de novios nos ha alegrado a todos tanto, y a mi en especialme hizo tanto bien recibir nuevamente un signo de vida porparte de Ud. y de su querida hermana, que no puedo menos decomunicarle enseguida esas sensaciones. Que alegria da escu-char que tambien este verano respira Ud. el aire puro y vigoro-so de Harzburg, que se recrea en las viejas sendas queridas y fa-miliares del bosque, donde tantas veces he tenido la alegria deacompanarle. En Pentecostes de este ano estaba alii yo tambien,con mi hermana menor Margarethe; habitamos cinco dias en elhotel Bellevue. Ud. no habia llegado aun, perquienes pregunte, le esperaban al cabo de una semana.

Me gustaria que de ahora en adelante permanecieramos encorrespondencia regular, tanto tiempo como nos sea concedi-do; pues con los 54 anos que tengo ya tras de mi, uno comienzaa pensar en el final; jcuantos han llegado al fin mucho antes!

o sus caseros, a

258 GEORG CANTOR

Para satisfacer este deseo amargamente sentido desde hace tan-tos anos, me gustarfa ser yo quien comenzara, si es que esta Ud.de acuerdo en ello, a darle cuenta de los progresos de mis pen-samientos en la teoria de conjuntos y a pedir su opinion respec-to a ciertos puntos capitales.

Sabe Ud. que hace ya muchos anos que me vi llevado a unasucesion bien ordenada de potencias o numeros cardinalestransfinitos, que llamo los «alefs»:

K0, Ki,... K,-N0 denota la potencia de los conjuntos «enumerables» en elsentido usual, X x el numero cardinal inmediatamente mayor,

X2 el inmediatamente mayor, etc.; N m es el que sigue inmedia¬tamente a todos los Nv (esto es, el inmediatamente mayor) y esigual a

SQ + + ... + Kv +

etcetera.La gran cuestion es, si fuera de los alefs existen tambien

otras potencias de conjuntos; hace ya dos anos que estoy en po-sesion de una demostracion de que no existe ninguna otra; demodo, por ejemplo, que al continuo lineal aritmetico (la totali-dad de los numeros reales) le corresponde un cierto alef comosu numero cardinal.

Por el contrario, para mi la cuestion Bacon-Shakespeare seha calmado completamente; me ha costado mucho tiempo y di-nero; para llevarla mas lejos deberia hacer sacrificios aun mu¬cho mayores, viajar a Inglaterra, estudiar los archivos alii, etc.5

Con los mejores deseos para Ud. y su Sra. hermana, suyohumildemente

GEORG CANTOR

5. Es notable como Cantor espera que Dedekind se pregunte enseguidapor el asunto Bacon-Shakespeare, por el que se intereso tanto desde los amar-gos sucesos de 1884/1885. Precisamente en los anos 1896 y 1897 Cantor ha-bfa hecho publicar tres escritos sobre el tema: Resurrectio Divi Quirini Fran-cisciBaconi ConfessiofideiFrancisciBaconi...; y Die RawleyscheSammlungvon ztveiunddreissig Trauergedichten auf Francis Bacon. [N. del ed.]

259CORRESPONDENCE CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS

55. CANTOR A DEDEKIND:

Halle, 3 agos. 1899Tal y como le escribi hace una semana, es para mi muy im-

portante conocer su juicio acerca de ciertos puntos fundamen-tales de la teorfa de conjuntos, y le ruego que me disculpe el tra-bajo que con ello le causo.

Si partimos del concepto de una multiplicidad determinada(un sistema, una coleccion) de cosas, se me ha hecho evidente lanecesidad de distinguir dos tipos de multiplieidades (y me re-fiero siempre a multiplieidades determinadas).

Pues una multiplicidad puede ser de tal naturaleza que elsupuesto de una «coexistencia» de todos sus elementos conduz-ca a una contradiccion, de manera que es imposible concebir lamultiplicidad como una unidad, como «una cosa disponible».A tales multiplieidades las denomino multiplieidades absoluta-mente infinitas o inconsistentes.

Resulta facil convencerse de que, por ejemplo, la «colec-cion de todo lo pensable» es una de esas multiplieidades; masabajo se nos presentaran otros ejemplos.

Si en cambio la totalidad de los elementos de una multipli¬cidad puede ser pensada sin contradiccion como «coexistente»,de manera que sea posible reunirlos en «una cosa», la denomi¬no una multiplicidad consistente o un «conjunto». (En frances yen italiano este concepto puede expresarse acertadamente pormedio de las palabras «ensemble» e «insieme».)

Dos multiplieidades equivalentes son o bien ambas «con-juntos», o ambas inconsistentes.

Toda submultiplicidad de un conjunto es un conjunto.Todo conjunto de conjuntos, si se resuelve estos ultimos en

sus elementos, es de nuevo un conjunto.Dado un conjunto C, llamo a aquel concepto general bajo

el que cae C y ademas solo los conjuntos equivalentes con el, sunumero cardinal o tambien su potencia, y lo denoto por c. Nosvemos conducidos al sistema de todas las potencias, del quemas tarde se mostrara que es una multiplicidad inconsistente,de la manera siguiente.

Se dice que una multiplicidad esta «ordenada simplemen-te» cuando entre sus elementos se da una jerarquizacion tal, que

260 GEORG CANTOR

de dos cualesquiera de sus elementos uno es el anterior y el otroel posterior, y de tres cualesquiera de sus elementos uno es elanterior, otro el medio, y el restante es el ultimo en rango de en-tre ellos.

Si la multiplicidad ordenada simplemente es un conjunto,entonces entiendo por su tipo |X el concepto general bajo el quecae, junto con todos y solo los conjuntos ordenados similares ael. (Empleo el concepto desimilaridaden un sentido mas limitadode lo que sucede en su caso; llamo similares a dos multiplici-dades ordenadas simplemente, cuando se pueden relacionar en-tre si biunivocamente de tal manera que el rango jerarquico deelementos correspondientes es siempre el mismo.)

Una multiplicidad se llama bien ordenada cuando satisfacela condicion de que toda submultiplicidad tiene un primer ele-mento; para abreviar, llamo a tal multiplicidad una «sucesion».

Toda parte de una «sucesion» es una «sucesion».Si ahora una sucesion S es un conjunto, llamo al tipo de S su

«numero ordinal» o brevemente su «numero»\ de modo que, sien lo sucesivo hablo sin mas de numeros, solo tendre en mentenumeros ordinales, esto es, tipos de conjuntos bien ordenados.

Pongo ahora la vista en el sistema de todos los numeros y lodesigno por £2.

En los Math. Annalen, tomo 49, p. 216,6 quedo demostradoque de dos numeros cualesquiera a y p siempre uno es el me-nor, el otro el mayor, y que si de tres numeros es a < (3, (3 < y,entonces tambien a < y.

Por tanto £2 es un sistema ordenado simplemente.Mas de los teoremas demostrados en el § 13 sobre conjun¬

tos bien ordenados se deduce tambien con facilidad que todamultiplicidad de numeros, esto es, toda parte de £2 contiene unmenor numero.

El sistema £2forma pues, en su orden natural de magnitud,una «sucesion».

Si a dicha sucesion le anadimos como elemento el 0, ponien-dolo en el primer lugar, entonces obtenemos una sucesion £2’:

0, 1,2,3,... (00,co0+l, y,...

6. Beitrage (1897), en losAbhandlungen (Cantor 1932), p. 320. [N. deled.]

261CORRESPONDENCIA CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS

respecto a la cual es facil convencerse de que todo numero y queaparece en ella es el tipo de la sucesion de todos los elementosque lepreceden (incluyendo al 0). (La sucesion Cl solo tiene esta

propiedad a partir de <flo+l.)Cl’ no puede ser una multiplicidad consistente (ni por tanto

Cl tampoco); si Cl’ fuera consistente, al ser un conjunto bien or-denado le corresponderfa un numero 8 que serfa mayor que to-dos los numeros del sistema Cl; pero en el sistema Cl debe constartambien el numero 8, dado que contiene a todos los numeros;de manera que 8 serfa mayor que 8, lo que constituye una con¬tradiction. Asf pues:

A. El sistema Cl de todos los numeros es una multiplicidadinconsistente, absolutamente infinita.

Dado que la similaridad de conjuntos bien ordenados esta-blece al mismo tiempo su equivalencia, a todo numero y le co-rresponde un determinado numero cardinal X (y) = y, a saber, elnumero cardinal del conjunto bien ordenado cuyo tipo es y.

A los numeros cardinales que corresponden a los numeros

transfinitos del sistema Q en este sentido, los denomino «alefs»,y llamo al sistema de todos los alefs n {taw, la ultima letra del al-fabeto hebreo).

Al sistema de todos los numeros y que corresponden a unoy el mismo numero cardinal c lo denomino una «clase numeri-ca», la clase numerica Z(c). Es facil ver que en toda clase nume-rica hay un menor numero y0, y que existe un numero yj que caefuera de Z(c), tal que la condicion

YoÿY<Yi

dice lo mismo que la pertenencia de y a la clase numerica Z(c).

Toda clase numerica es pues una determinada «seccion» de lasucesion Cl.'

Ciertos numeros del sistema Cl forman cada uno por simis¬mo una clase numerica, son los numeros «finitos» 1, 2, 3, ...,

7. Aqui se emplea nuevamente el teorema ya mencionado de que toda co-leccion de numeros, o sea toda submultiplicidad de £2, tiene un mmimo, unmenor numero. [N. dela.]

262 GEORG CANTOR

v, a los que corresponden los diferentes numeros cardinales«finitos» 1, 2, 3, V, ...

Sea co0 el menor numero transfinito, su alef correspondien-te lo denomino X0, de modo que:

x0 = ®o;

X0 es el menor alef y determina la clase numerica

Z(X0) = Q0.

Los numeros a de Z( X0) satisfacen la condicion

co0 < a < tOj

y quedan caracterizados por ella; aquf (Oj es el menor numerotransfinito cuyo cardinal no es igual a X 0. Si ponemos

d>i = N i,

entonces no solo X 1 es distinto de X0, sino que es el alef inme-diatamente mayor, ya que es posible demostrar que no hay ab-solutamente ningun numero cardinal que estuviera entre X0 yX 1. Y asf se obtiene la clase numerica = Z( X x) que sigue in-mediatamente a Q0; abarca todos los numeros (3 que satisfacenla condicion

«>! < P < co2,

donde 0)2 es el rnenor numero transfinito cuyo numero cardinales diferente de X0 y X j.

X2 es el alef que sigue inmediatamente a X„y determina laclase numerica que sigue a £2X inmediatamente, Q2 = Z(X2), lacual consta de todos los numeros y que son > ©2 y < siendo©3 el menor numero transfinito cuyo numero cardinal es dife¬rente de X0, X j y X2, etc. Resaltare todavia que:

Q0 — j, Qi = X2, QV — Sv+1>I xv.= xv,

v’ = 0, 1,2, ... v

todo lo cual es facil de demostrar.De los numeros transfinitos del sistema Q a los que no les

corresponde como numero cardinal ninguno de los Xv [con v

CORRESPONDENCE CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS 263

finito], de nuevo hay uno que es el menor, y que llamaremosXÿ, con el cual obtenemos un nuevo alef

=que tambien es definible por medio de la ecuacion

I Kv = 0,1,2, ,..v

y que reconocemos como el numero cardinal inmediatamentemayor que todos los Xv.

Uno puede convencerse de que este proceso de formacionde los alefs, y de las clases numericas del sistema Q. que les co-rresponden, es absolutamente ilimitado.

B. Elsistema n de todos los alefsX0) X „ ... X..,. X

“o+l’

constituye, en su orden de magnitud, una sucesion similar al sis¬tema £2 y por tanto igualmente una sucesion inconsistente, abso¬lutamente infinita.

“o’

Surge ahora la cuestion de si en este sistema n estan conte-

nidos todos los numeros cardinales transfinitos. Con otras pala-bras, existe un conjunto cuya potencia no sea ningun alef.?

Esta pregunta debe responderse negativamente, y la razonde ello esta en la inconsistencia que hemos reconocido en los sis-temas Q y n.

Demostracion. Tomemos una cierta multiplicidad M y su-pongamos que no le corresponde ningun alef como numero car¬dinal, de ahi podremos deducir que M debe ser inconsistente.

Pues resulta facil advertir que, bajo el supuesto que hemosestablecido, todo el sistema £2 debera ser proyectable sobre lamultiplicidad M, esto es, que debe existir una submultiplicidadM’ de M, que es equivalente al sistema £2.s

8. En sus notas editoriales, Zermelo indicaba que aquf estriba la debili-dad de la «demostracion» de Cantor: no demuestra que Q es proyectable so¬bre M, «sino que lo toma de una vaga “intuition”. ... Se aplica aqui pues la in-

264 GEORG CANTOR

M’ es inconsistente, porque Q lo es, de manera que lo mis-mo debe afirmarse de M.9

Con lo cual, toda multiplicidad consistente transfinita, todoconjunto transfinito, debe tener un determinado alef como nu-mero cardinal. Asi pues,

C. El sistema n de todos los alefs no es otra cosa que el siste¬ma de todos los numeros cardinales transfinitos.

Todos los conjuntos son por tanto, en un sentido ampliado,«enumerables», y en particular lo son todos los «continuos».

Ademas podemos advertir a partir de C la correction de laproposition formulada en Math. Annalen, tomo 46:10

«Si a y b son numeros cardinales cualesquiera, entonces obien a = b, o bien a < b, o a > b».

Pues los alefs tienen, tal como hemos visto, el caracter demagnitudes.

56. CANTOR A DEDEKIND:

Berlin, 16 agos. 1899encontrado Ud. tiempo para considerar mi reciente

comunicacion por carta sobre el sistema de todas las potencias

tuition temporal para un proceso que va mas alia de toda intuition, y se ima-gina un ser que podrfa realizar elecciones arbitrarias sucesivas para con ellasdefinir un subconjunto M’ de M que precisamente no es definible en las con-diciones establecidas. Solo aplicando el “Axioma de Election”, que postula laposibilidad de una election simultanea, y que Cantor emplea por todas partesde modo inconsciente e instintivo, si bien nunca lo formula expresamente, se-ria posible definir a M’ como subconjunto de M. Pero incluso entonces se-guiria en pie la objecion de que la demostracion opera con multiplicidades“inconsistentes”, quiza incluso con conceptos contradictorios, y ya por estoresultarfa inadmisible. Objeciones de este tipo fueron las que determinaron aleditor, pocos afios mas tarde, a establecer su propia demostracion del teore-ma del buen orden (Math. Annalen, 59, p. 514; 1904) unicamente sobre labase del Axioma de Election sin emplear multiplicidades inconsistentes»{Abhandlungen,A51). [N. deled.]

9. Veanse los principios establecidos al comienzo de esta misma carta otambien en la n°52 a Hilbert. [N. deled.]

10. Beitrage (1895), en Abhandlungen (Cantor 1932), p. 285. [N. deled.]

CORRESPONDENCIA CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS 265

transfinitas? Espero con impaciencia el reflejo que este asuntopueda experimental: en su espmtu.

Quiero mencionar aun que, implfcitamente, donde trato demultiplicidades tengo siempre a la vista multiplicidades de cosasno ligadas [unverbundener], esto es, multiplicidades tales quela eliminacion de cualquiera de sus elementos, o de varios, notiene ninguna influencia sobre la subsistencia de los restanteselementos.

Pero ante todo, cque piensa Ud. sobre la distincion entremultiplicidades «consistentes» e «inconsistentes» de cosas noligadas?

57. CANTOR A DEDEKIND:

Hahnenklee [Harz], 28 agos. 1899En la esperanza de que haya encontrado Ud. tiempo para

sumergirse en mis comunicaciones sobre el sistema de todos losnumeros cardinales transfinitos, o potencias, y de sopesar y so-meter a prueba en su mente el contenido de las mismas, me per-mitire tocar aun un punto esencial en el que intentionadamen-te no entre en la primera entrega, pero que sin duda se le habrahecho notar por si mismo (por su ausencia, como si dijeramos).Se debe plantear la cuestion de como es que puedo saber quelas multiplicidades o sucesiones bien ordenadas a las que les ad-judico los numeros cardinales

Ko, *»ÿÿÿ K«v- -son realmente «conjuntos» en el sentido de la palabra que heexplicado, esto es, «multiplicidades consistentes». <;No cabriapensar que ya estas multiplicidades fueran «inconsistentes»,que solo la contradiction en la asuncion de una «coexistenciade todos sus elementos» aun no se habria hecho notar'} Mi res-puesta a esto es que la pregunta debe extenderse igualmente alas multiplicidadesfinitas, y que una consideration precisa con¬duce al siguiente resultado: incluso para las multiplicidades fi¬nitas no es posible llevar a cabo una demostracion de su «con-sistencia». Con otras palabras, el hecho de la «consistencia» delas multiplicidades finitas es una verdad simple e indemostra-ble, es «elaxioma de la aritmetica» (en el viejo sentido de la pa-

266 GEORG CANTOR

labra). Y del mismo modo, la «consistentia» de las multiplici-dades a las que adjudico los alefs como numeros cardinales es«el axioma de la aritmetica ampliada transfinita».

58. DEDEKIND A CANTOR:

Brunswick, 29 agos. 1899Su visita nos resultara siempre bienvenida tanto a mi como

a mi hermana, mas estoy lejos de estar preparado para la discu-sion de su comunicacion, j de momento seria de lo mas infruc-tuosa! Sin duda lo comprendera Ud. si le reconozco sin amba¬ges que, aunque he leido varias veces su carta del 3 de agosto,aun no he logrado aclararme respecto a su division de las colec-ciones en consistentes e inconsistentes; no entiendo que quiereUd. decir con la «coexistencia de todos los elementos de unamultiplicidad» ni con lo opuesto. No albergo dudas de que unestudio mas cuidadoso de su carta pudiera brindarme algunaluz al respecto, ya que tengo una gran confianza en sus profun-das y agudas investigaciones. Mas hasta el momento me ha fal-tado el ocio mental necesario para sumergirme en estos asuntos,ante el flujo ininterrumpido de pruebas de imprenta que debodespachar. Ahora solo tengo ante mi revisiones, pero prometoque cuando llegue una tranquilidad mayor la empleare para esa«profundizacion».

Durante la visita del joven Felix Bernstein en Harzburg,Pentecostes de 1897, me hablo de la proposicion B. en la p. 7 dela traduccion de Marotte, y se sorprendio un poco cuando yo diexpresion a mi convencimiento de que aquella es facil de de-mostrar con mis medios icQue son y para que sirven los nume¬ros?)-, pero no llegamos a hablar mas de su demostracion ni de lamia. Cuando partio, me puse a ello y construi la demostracionque le adjunto de la proposicion C., que es obviamente equiva-lente a la B.u Con respecto a si la proposicion A se deja obtener

11. No traducimos aqui la demostracion, ya que otra casi identica —re-dactada doce anos antes, en 1887— puede encontrarse en Dedekind (1998),155; vease tambien la p. 115 y la nota 20 en p. 186. Los teoremas citados apa-recen en los Beitrage (1895), 285, articulo del que Dedekind menciona la ver¬sion francesa de 1899: A es el que mencionaba Cantor mismo el 3 de agosto:

267CORRESPONDENCIA CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS

con la misma facilidad por mis medios, todavia no lo he investi-gado. Desde hace anos solo me he ocupado de estas cosas tan in-teresantes en muy pocas ocasiones, y como mi entendimiento-escalera [Treppen-Verstand] ha sido siempre muy lento, no meresultara ahora facil introducirme en sus investigaciones.

[Seguia una pagina con el «teorema de la teoria de siste-mas» C. Vease la nota al pie y Cantor (1932), 449.]

59- CANTOR A DEDEKIND:

Hahnenklee, 30 agos. 1899Muchas gracias por su amable escrito, que recibi ayer mis-

mo por la tarde, y en especial por la anotacion con la demostra-cion elemental que ha desarrollado Ud., con los medios de suescrito: Que son y para que sirven los numeros, para el teoremaC (y con ello tambien para el teorema B) de mi tratado. Apartecuestiones de forma, la misma coincide (si no me equivoco) conla demostracion que comunico por vez primera Schroder en elotono de 1896 durante la Reunion de Cientfficos [Naturfors-cherversammlung] en Frankfurt a. M., publicada ano y mediodespues en un tratado de la [Academia] Leopoldina, demostra¬cion que fue reproducida independientemente hacia la Pascuade 1897 por el joven senor Felix Bernstein en el seminario deHalle.12 Serfa realmente muy valioso si pudiera Ud. demostrar

«Si a y b son numeros cardinales cualesquiera, entonces o bien a = b, o bien a< b, o a > b». B es el teorema de Cantor-Bemstein: «Si dos conjuntos C y Dson tales que C es equipotente a una parte propia D, de D, y D es equipoten-te a una parte propia C, de C, entonces C y D son equipotentes». C es el lema:«Si C2cC, cC, y C2 es equipotente con C, entonces tambien C, es equipo¬tente con C2 y con C». [N. del ed.]

12. En esto Cantor se equivocaba: la demostracion de Schroeder no solono era la misma que la de Dedekind, sino que estaba incompleta (razon por lacual hoy ya no se tiende a Ilamar a este teorema «Schroeder-Bernstein»).Treinta y tantos anos mas tarde, Zermelo enfatizaba la importancia de la de¬mostracion de Dedekind, basada puramente en su teoria general de cadenas,e indicaba que el mismo la habia reencontrado y publicado en 1908: «Por queni Dedekind ni Cantor se decidieron entonces a publicar esta demostracion,en todo caso importante, es algo que hoy no resulta facil de comprender» (Ab-handlungen, 451). [N. deled.']

268 GEORG CANTOR

con los mismos medios tambien el teorema fundamental A (del

que se deducen facilmente como corolarios los restantes: B, C, D).

jPongamos en claro lo que resultaria necesario para obte-ner ese fin, fuera de la demostracion ya lograda para B!

Dos conjuntos cualesquiera M y N ofrecen, desde un pun-to de vista logico, cuatro casos mutuamente excluyentes:

I. Existe una parte de N que es equivalente (o «similar»en su manera de expresarse) con M, pero no existe nin-guna parte de M que sea equivalente con N.

II. No existe ninguna parte de N que fuera equivalentecon M, sin embargo existe una parte M, de M que esequivalente con N.

III. Existe una parte Nj de N que es equivalente con M, yexiste tambien una parte Mj de M que es equivalentecon N.

IV. No existe ni una parte de N que fuera equivalente conM, ni una parte de M equivalente con N.

Designando con a y b los numeros cardinales [de] M y N,tenemos de acuerdo con la definition que yo he establecido de«menor» y «mayor»:

En el caso I:En el caso II:

a < ba > b.

Sin embargo, queda por demostrar que tanto en el caso III,como tambien en el caso IV, los conjuntos M y N son equiva-lentes, de modo que a = b. Para el caso III esto ya lo han logra-do Ud., el senor Schroeder y el senor Bernstein por medio de lademostracion directa del teorema C. Queda pues establecer lademostracion de la siguiente proposicion: «Si dos conjuntos M yN estan constituidos de tal manera que ni M es equivalente conuna parte (en su lenguaje, “parte propia”) de N, ni N es equi¬valente con una parte de M, entonces M y N son equivalentes (ypor tanto ambos son conjuntos finitos).»

Schroeder declara expresamente que no esta en condicio-nes de demostrar esta proposicion, y en cuanto a mi, tampoco helogrado su demostracion con los medios elementales que Ud. ha

269CORRESPONDENCE CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS

empleado para demostrar C y B; solo puedo demostrarla indi-rectamente a partir de A, proposition de la que he esbozado lademostracion en mi carta del 3 de agosto.

60. CANTOR A DEDEKIND:

Hahnenklee, 31 agos. 1899Habra recibido Ud. mi carta de ayer. Si me ve Ud. tan celo-

so por convencerle de la necesidad de la division que estamosdiscutiendo de los «sistemas» [en dos clases], espero que conello quede probado mi agradecimiento por los multiples estimu-los y las ricas ensenanzas que he recibido de sus escritos clasicos.

Reconocera Ud. de la manera mas rapida la distincion esen-cial, profunda y rica en significado entre los sistemas «consis-tentes» e «inconsistentes», si admite Ud. que le conduzca en lasiguiente consideration simple, que es enteramente indepen-diente del aparato descrito el 3 de agosto.

Vamos a asignar los «eonjuntos» equivalentes a una mismaclase de potencia, y los conjuntos no equivalentes a distintas cla¬ses, y vamos a considerar el sistema

S de todas las clases pensables.

Entiendo por a tambien [ademas de la clase misma] el nu-mero cardinal o potencia de los conjuntos de la clase de que setrate, ya que es uno y el mismo para todos esos conjuntos.

Sea Ma cualquier conjunto concreto de la clase a.Afirmo que el sistema S, completamente determinado y

bien definido, no es ningun «conjunto».

Demostracion. Si S fuera un conjunto, tambien serfa un con-junto

T = IMa,

realizando esta suma sobre todas las clases a; de manera que Tdeberfa pertenecer a una cierta clase, digamos la clase a0.

Pero tenemos el siguiente teorema:«Si M es cualquier conjunto de numero cardinal a, de el

puede siempre derivarse otro conjunto M’ cuyo numero cardi¬nal a’ es mayor que a».

270 GEORG CANTOR

He demostrado este teorema para los dos casos que nos re¬sultan mas inmediatos, que a sea igual aS0 (enumerabilidad enel sentido habitual de la palabra) y que sea igual a c, donde c de-nota la potencia del continuo aritmetico, por un procedimientouniforme en el primer tomo de las noticias de la «Deutsche Ma-thematiker-Vereinigung». Dicho procedimiento admite sertranspuesto sin dificultad de ningun tipo a un a arbitrario. El sig-nificado de este metodo puede expresarse simplemente me-diante la formula:

2” > a.

Sea pues a0’ cualquier numero cardinal mayor que a0. T quees de potencia a0 contiene pues como parte el conjunto Ma , quetiene la potencia mayor a0’, lo que constituye una contradiction.

El sistema T, y con ello tambien el sistema S, no son puesconjuntos. Existen por tanto determinadas multiplicidades quenoson tambien unidades, esto es, multiplicidades tales que en sucaso una verdadera «coexistencia de todos sus elementos» re-sulta imposible. Estas son las que llamo «sistemas inconsisten-tes», y las otras en cambio «conjuntos».

6l. CANTOR A HILBERT:

Halle, 15 nov. 1899Muchas gracias por su amable carta de ayer. Hace ya mu-

cho que le habria enviado el prometido numero III del trabajoen curso para los Annalen, «Contribuciones a la fundamenta-cion de la teoria de conjuntos transfinitos» (numero que esta

fijo y listo salvo en detalles insignificantes), si hubiera recibidouna respuesta del senor Dedekind a las 3-4 cartas que le escriblen los meses de agosto y septiembre de este ano.

jComprendera Ud. el valor que debo poner en sus respuestas!Pues veo en su valioso escrito,13 para mi alegrfa, que reco-

noce Ud. la signification que debe tener precisamente para el, el

13. Todo indica que la carta de nov. 1899 respondi'a al envfo por parte deHilbert de su conocido articulo conteniendo un sistema axiomatico para losnumeros reales. Las conversaciones con Hilbert animaron el interes de Can¬tor por buscar axiomas, pero el giro que tomo esta idea en la mente de Cantor

271CORRESPONDENCE CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS

autor del escrito <;' Que son y para quesirven los numeros?, la pu¬blication abierta del fundamento de mi investigation conjuntis-ta (fundamento que puede encontrar Ud. en los Grundlagenpublicados el ano 1883, especialmente en las notas alfinal, ex-presado de un modo bastante claro pero intentionadamentealgo oculto).

Y es que este fundamento mio esta en oposicion diametral alpunto clave de sus investigaciones, que debe verse en el su-puesto ingenuo de que todas las colecciones bien definidas o sis-temas son tambien «sistemas consistentes».

Se ha convencido Ud. pues de que el mencionado supuesto deDedekind es erroneo, cosa que naturalmente yo adverti nadamas aparecer la primera edition de su escrito antes mencionado,ano 1887. Pero, como es comprensible, no queria enfrentarmecon un hombre de tan grandes meritos en la teorfa de numerosy el algebra, sino que prefer! esperar una ocasion para discutirla cuestion con el mismo, \afin de que el mismo pudiera realizary publicar las necesarias correcciones en sus investigaciones!

Solo en este otono me ofrecio la ocasion, ya que por razonesque desconozco me ha guardado rencor durante anos, y casi rom-pio la vieja correspondencia que tuvimos de 1871 hasta 1874.14

Quiero hacer una copia para Ud., querido colega, de la car¬ta principal que le dirigi el 3 de agosto de este ano, para enviar-sela enseguida. Entonces tenga a bien darme su opinion respec-

era bien distinto de lo que pretendia Hilbert: en una carta de febrero de 1900formula axiomas que postulan la «consistencia» de ciertos conjuntos finitos, o(en otros lugares) del conjunto de los numeros reales. [N. del ed.]

14. Hasta donde podemos juzgar, estas manifestaciones de Cantor mez-clan lo verdadero y lo falso, dando una muy mala impresion de Dedekind ynegando la evidencia de comportamiento impropio por parte de Cantor mis¬mo (ver las cartas de 1873 y el n° 10). Seguramente, en la mente de Cantor semezclaban los recuerdos de 1874 con los de 1882 (veanse las notas a las cartasn° 39 y 43). Todo ello, y el parrafo que sigue a esta nota (con su retorno a la«mania» Bacon-Shakespeare), sugiere que Cantor se encontraba en una fasemaniaca de su enfermedad (cf. los comentarios del editor en Briefe, 415). Lacrisis se agravarfa debido a la muerte de su hijo pequeno Rudolf el 16 de die.,y duro hasta muy entrado el ano 1900; durante ese inviemo se libero a Cantor dedar clases. En conjunto, la historia de las relaciones entre Cantor y Dedekindno puede sino causarnos pena, cierto disgusto, y un sentimiento de piedad porlas dificultades personales del genial matematico de Halle. [N. del ed.]

272 GEORG CANTOR

to a como debo comportarme en este asunto desde ahora. Eneste invierno estare muy ocupado, lo que me conviene mucho y

corresponde perfectamente a mi natural. Podra Ud. ver en lapagina principal del Vossiche Zeitung, domingo 12 de nov., queen este invierno impartire cinco lecciones en Berlin; igualmentecinco lecciones en Leipzig sobre el mismo tema [el asunto Ba-con-Shakespeare], donde he llegado alfondo mismo de la cues-

tion\ los senoresfildlogos quedaran maravillados.jMe he propuesto no faltar en Paris, en agosto de 1900!Pronto le visitare en Gotinga.

EPILOGO: ECLIPSE Y RESURGIRDE LOS NUMEROS TRANSFINITOS

El tema que ha constituido el nucleo de esta coleccion de tra-bajos de Cantor es su gran contribution creativa al conocimien-to matematico: la introduccion de los numeros transfinitos.Como el lector ha tenido ocasion de ver, a mediados de los anos1870 (carta a Dedekind n° 18) Cantor manejaba el concepto depotencia o cardinalidad de un conjunto infinite, concepto queacabo dando origen a los cardinales transfinitos, los alefs X0,K j, ... etc. Pero antes de que se decidiera a considerar el con¬cepto de cardinalidad infinita como base para un sistema nu-merico y una aritmetica (cosa que solo alcanzo la luz publica enlas Contribuciones de 1895), vino la introduccion de los ordina-les transfinitos en 1883. Fue esto lo que le llevo a trascender laidea de numero tradicional, extendiendo el proceso de contar alcampo de los conjuntos infinites por medio de la idea de con-junto bien ordenado, e introduciendo los numeros to, Cfl+1, ...to“, ... con su aritmetica.

Hemos tenido ocasion tambien de ver como estas nuevasideas, extendiendo y —por asi decir— tensando el enfoque con-juntista hasta el limite, dieron origen a las primeras paradojasde la teorfa de conjuntos. Y el caso es que las paradojas, juntocon la posterior axiomatizacion de la teorfa, causaron un eclip¬se de los numeros transfinitos. Concluiremos analizando la se-rie de acontecimientos ligada a ese eclipse y a su resurrection.

Como es bien sabido, la historia de las paradojas fue com-plicada, como lo fueron, y mucho, las dudas y reflexiones quemotivaron entre los matematicos y filosofos de la epoca. Es ha¬bitual distinguir —siguiendo una propuesta de Ramsey en losanos 1920, con precedentes en Peano— entre paradojas seman-ticas o lingmsticas (como la del mentiroso o la de Richard), quetienen su origen en la flexibilidad del lenguaje ordinario, y que

274 jos£ FERREIR6S

en general se dieron por resueltas mediante la introduction delenguajes formales; y paradojas propiamente conjuntistas, comolas de Cantor, Burali-Forti y Russell. Los historiadores hanpuesto de manifiesto que fue sobre todo Russell quien, en su li-bro de 1903, identified publicamente las paradojas como tales yles dio esos nombres. Tambien han senalado que Burali-Fortino dio en realidad con la paradoja que lleva su nombre.

En las cartas de 1897 a 1899, dirigidas a Hilbert y Dede¬kind, hemos visto como la contribution de Cantor al tema fuemuy profunda y mas matizada de lo que suele pensarse. Ya des-de los Fundamentos de 1883 Cantor llego al convencimiento deque la totalidad de los alefs o la totalidad de los ordinales trans-

finitos no pueden formar un conjunto. O mas bien, llego a pen-sar que forman «conjuntos» absolutamente infinitos, a los cua-les no puede aplicarse el razonamiento matematico (como nopuede aplicarse a Dios mismo). En aquel momento, sin embar¬go, no disponia de argumentos concretos que mostraran como elsupuesto de que tales «multiplitidades» son conjuntos lleva acontradiction. En este sentido, si una primera intuition funda¬mental le habia llegado en 1883, todo indica que fue solo 13 anosmas tarde cuando formulo las paradojas. Nos consta que el mo¬mento preciso en que las dio a conocer fue el ano 1897, pidien-do a Bernstein que visitara a Dedekind para discutir el tema ydiscutiendo el asunto en cartas a Hilbert.

Si la obra de Russell fue clave para que el gran publico ma¬tematico supiera de las paradojas, las cartas de Cantor a Hilberthicieron que el tema fuera bien conocido en Gotinga. La para¬doja llamada «de Cantor» se discute en varias cartas desde1897, y la carta del 3.08.1899 a Dedekind (n° 59) es una pre¬sentation muy cuidada —digna sin duda de publication comoarticulo— de la paradoja llamada «de Burali-Forti». Estas cosasfueron conocidas en Gotinga, y llevaron a que el mismo Zerme-lo descubriera en 1901 la paradoja llamada «de Russell», un anoantes que el logico ingles, aunque no la publico.

Vale la pena comentar tambien otro punto. Se ha dichoque, en puridad, no puede afirmarse que Cantor descubriera lasparadojas, ya quepÿra el no eran contradicciones de la teoria deconjuntos: simplemente mostraban que ciertas cosas que otros,

ingenuamente, estaban dispuestos a llamar conjuntos no lo eran

275EPlLOGO

ni podian serlo. Desde los Fundamentos de 1883 Cantor desa-rrollo una concepcion de la teorfa de conjuntos realista o meta-fisica: si Dedekind, Frege o Russell veian en los conjuntos unaherramienta puramente logica, Cantor estaba convencido deque la teorfa de conjuntos estudiaba objetos que estan aht, tan-to en la realidad fisica como en la mente divina. Y las leyes delos conjuntos no eran para el una aplicacion simple de princi-pios logicos establecidos, sino leyes mas sutiles, ligadas a aspec-tos profundos de la realidad fisica y, mas aun, de la naturalezade Dios mismo.

Es por esto que para el las paradojas no eran tales. Sin em¬bargo, las cartas hacen transparente la claridad con la que Can¬tor entiende que las paradojas son contradicciones estrictaspara el enfoque logicista de Dedekind y otros (carta n° 65 aHilbert). Cantor supo ver con mucha precision (y para estocontaba con mas datos de los que hoy disponemos los historia-dores) como el principio fundamental que inspiraba el enfoquede Dedekind —igual que el de Frege o el de Russell— era elprincipio de comprehension: dado un concepto cualquiera, o

—recurriendo a la terminologia precisa de la logica moderna—dado un enunciado (p(x) con una variable libre, existe el con-junto de todas las cosas que satisfacen el concepto, existe {x:(p(x)}. Pero este «axioma», formulado con tal generalidad, essimplemente contradictorio, como lo muestra de la manera masclara y directa la paradoja de Russell y Zermelo.1Luego, aunquelas paradojas no eran contradicciones para el, Cantor era per-fectamente consciente de que lo eran para sus colegas interesa-dos en la teorfa de conjuntos: la carta a Hilbert de nov. 1899 nopuede ser mas explicita a este respecto.

Y esto nos faculta para afirmar que Cantor sique descubriolas contradicciones o paradojas de la teorfa de conjuntos. Lasdescubrio antes que ningun otro y las planted con mayor clari¬dad que ningun otro, hasta las obras de Russell y Frege publi-

En la paradoja de Russell tomamos (p(x) = x g x, de manera que el prin¬cipio de comprehension nos brinda el conjunto R = {x: x i x }. El propio R esuna de las cosas que pueden o no ser miembros de R, y si R e R, entonces Rdebe satisfacer el enunciado cp(x) = x € x que define a R, o sea: R t R; de don-de es facil ver que Re R si y solo si R g R.

1.

276 josfi FERREIRPS

cadas en 1903. Motivo, de hecho, que Hilbert aludiera a las pa-radojas en sus trabajos de 1900, especialmente a la paradoja deCantor o del «conjunto» de los alefs, por mas que no entrara enuna discusion detallada del problema.

Pero las paradojas planteaban tambien la necesidad de daruna salida teorica al desarrollo de las investigaciones conjuntis-tas. Cantor tuvo una buena intuition al respecto, la idea de di-ferenciar entre «multiplicidades consistentes» o conjuntos, y«multiplicidades inconsistentes» (que hoy suelen llamarse cla-ses en el lenguaje tecnico de la teorfa axiomatica de conjuntos,clases propias). Y buscando la manera de hacer precisa y mane-jable esta idea se vio llevado a varios principios muy interesan-tes, precursores de la teorfa de conjuntos de Zermelo y la deVon Neumann. Sin embargo, esta claro que no consiguio unaarticulation teorica suficiente, no consiguio responder a suspropias dudas respecto a la consistencia del enfoque que tendiaa desarrollar. Las cartas ofrecen abundante evidencia de ello, apesar de las declaraciones retoricas en el sentido de que todo loesencial estaba fijo y bien preparado. Esas dudas de Cantor,fundadas, fueron la causa de que la prometida tercera entregade las Contribuciones a la fundamentacion de la teorfa de con¬juntos transfinita no viera nunca la luz.

Es transparente tambien en las cartas que Cantor esperabamucho de la elaboration de Dedekind a la hora de resolver unproblema basico tan delicado. «;Comprendera Ud. el valor quedebo poner en sus respuestas!», escribia enfaticamente a Hil¬bert, cuya admiration por las ideas de Dedekind conotia bienel de Halle. Pero la relation con Dedekind se habia roto tiempoatras, a traves de una serie de avatares que solo parcialmente so-mos capaces de reconstruir: la ruptura en 1874 a raiz de la pu¬blication impropia del arrfculo de Cantor, el restablecimientode relaciones dos anos despues, las nuevas muestras de excesi-vo interes propio por parte de Cantor en 1878, que debieron dealimentar nuevos recelos; y las consecuencias negativas de todoello, como el fracaso de los planes de Cantor para traer a su co-lega a Halle en 1881, o la imposibilidad de discutir mas acercade teorfa de conjuntos desde 1882. Aqui es donde da la sensa¬tion de que puede haber otros elementos que seamos incapacesde reconstruir: si en 1897 Cantor no veia otro recurso para es-

277EPfLOGO

tablecer contacto con Dedekind que la intermediation de sualumno Bernstein, es que la situation habia empeorado muchocon respecto a quince anos antes; que?2 En todo caso, noes en absoluto descartable quelas tensiones que todo esto debiocausar en Cantor, las consecuencias a largo plazo del desdicha-do comportamiento que habia tenido en su juventud, tuvieranque ver con la grave crisis mental que le afecto en el inviemo de1899/1900.

Sabemos que Cantor y Dedekind se vieron por ultima vez el4 de septiembre de 1899, dia en que el primero acudio de visitaa Brunswick. Tenemos noticias de ello por una divertida coin-cidencia: cinco anos mas tarde el Calendario Matematico deTeubner daba aquel dia como fecha de la muerte de Dedekind,y este contesto de buen humor diciendo que quiza dia y mesfueron correctos, pero el ano seguro que no:

Segun mis propias notas, ese dia lo pase con plena salud y enconversation muy animada sobre teoria y conjuntos con mi in-vitado a comer y estimado amigo Georg Cantor (de Halle), queen dicha ocasion asesto el golpe de muerte no a mi mismo, sinomas bien a un error mio.3

El error era, claro esta, la conception logica de los conjuntosque habia acompanado a Dedekind durante media vida: queda-ba demostrado que el principio de comprehension era inconsis-tente. En 1903 Dedekind rechazo reimprimir su librito, y al res-

2. Mencionare aqui una hipotesis y un dato: la hipotesis es que quiza De¬dekind tuvo una parte relevante en la «reveIacion» de los numeros transfini-tos en 1882 (vease Ferreiros (1995), pero cabria incluso que las cosas hubie-ran ido mas alia); el dato viene de una carta de Dedekind a Weber en 1888(Dedekind 1998, 174): tras la publication de su librito sobre los naturales,Cantor le habia hecho notar que ya en 1877 habia resaltado la distincion en-tre lo finito y lo infinito, «pero que no piensa hacer ninguna reclamation deprioridad»; a lo que Dedekind respondia: «tampoco yo tengo la menor gana

de una disputa de prioridad». <;Quiza este cruce en 1888 agravo todavia maslas cosas? Muy probablemente. Pero lo que nunca sabremos es en que pensa-ba Dedekind exactamente, fuera de lo relativo al articulo de 1874.

3. Citado en E. Landau, «Richard Dedekind - Gedachtnisrede»,Nachrichten der Kon.Gesellschaft der Wissenscbaften zu Gottingen (1917),

p. 54.

278 josfi FERREIR6S

pecto comentaba ocho anos mas tarde, a la respetable edad deochenta anos:

Todavia hoy no me oculto el significado y la legitimidad parcialde esas dudas [sobre la seguridad de importantes fundamentos demi concepcion], Pero esto no ha quebrantado mi confianza enla armonia interna de nuestra logica; creo que una investigationrigurosa de la capacidad creativa de nuestra mente —que a par-tir de ciertas cosas le permite crear un nuevo objeto definido, suconjunto, necesariamente distinto de cada uno de esos elemen-tos— conducira sin duda a establecer los fundamentos de miescrito de manera irreprochable. (Dedekind 1998, 104)

Los descubrimientos de Cantor ponian patas arriba todo elcampo de la teoria de conjuntos y los fundamentos de la mate¬

matica. El grave problema era como reconstruir el magnfficoedificio elaborado hasta entonces, sobre fundamentos nuevos yfirmes.

Esta cuestion se convirtio en motor de las actividades de unbuen numero de matematicos: el logico Russell, que trabajo parareordenar la fundamentation logica de Frege, manteniendo elprincipio de comprehension pero restringido mediante la teoriade tipos; heterodoxos como Brouwer y otros, que decidieronrechazar buena parte de la matematica conjuntista para formu-lar una matematica pura mas estricta y libre de problemas; di-versos autores menos conocidos, como puede ser el caso de Ju¬lius Konig, por citar uno importante; el propio Hilbert, quecomenzo a buscar maneras de reorganizar las bases de la arit-metica y la teoria de conjuntos de tal manera que cupiera de-mostrar su consistencia; y su alumno Zermelo, que centro suatencion en resolver alguno de los problemas fundamentales le-gados por Cantor.

Ernst Zermelo llego a Gotinga para habilitarse en 1897, ha-biendo sido previamente ayudante del celebre fisico Max Plancken Berlin. Curiosamente, su campo de actividad era entonces lafisica matematica: teoria cinetica de los gases, hidrodinamica,etc., temas todos a los que se dio mucho impulso en Gotinga

279EPlLOGO

gracias al empuje de FelixKlein. Fue solo bajo la in-fluencia de Hilbert que Zer-melo se intereso por la teoriade conjuntos, a raiz de escu-char las vivas discusiones so-bre fundamentos planteadasen las reuniones de la Socie-dad Matematica de Gotinga:

y i >&

cuando era Privatdozent en Go¬tinga comence —bajo la in-fluencia de D. Hilbert, al que hede agradecer la mayor parte demi desarrollo cientifico— a ocu-parme de las cuestiones de fun¬damentos de la matematica, yen particular los problemas fun-damentales de la teoria de con-

.

\ juntos cantoriana, que solo en-tonces se me hizo consciente en

Ernst Zermelo (1871-1953), figura toda su signification gracias alclave en el desarrollo de la teoria de trabajo comun de los matemati-conjuntos durante el siglo 20. cos de Gotinga, tan fructifero

en aquel tiempo.4

Asx fue como en 1901/1902 impartio uno de los primeroscursos universitarios dedicados a la teoria de conjuntos, en estecaso siguiendo muy de cerca el material de las Contribucionesde Cantor. Luego vendrfan varias aportaciones relevantes, so-bre todo en 1904, ano en el que redacto una carta a Hilbert, convistas a su rapida publication en los Math. Annalen, donde de-mostraba el Teorema del Buen Orden. Recuerdese que, si todoconjunto puede ser bien ordenado, entonces todos los cardina-les transfinitos son alefs. Hilbert habia recordado la importan-

4. Citado en G. H. Moore, «Beyond first-order logic: The historical in¬terplay between mathematical logic and axiomatic set theory», History andPhilosophy of Logic1 (1980), p. 130.

280 josfi FERREIR6S

cia de esta cuestion abierta en su celebre conferencia de Parissobre «Los problemas futuros de la matematica» (Hilbert 1900;problema 1). Zermelo logro establecer que el Axioma de Elec-cion y el Axioma del Conjunto Potencia bastan para garantizarla existencia de buenos ordenes para cualquier conjunto dado.Pero la resolution de este problema no trajo sino debates aunmas encendidos sobre las cuestiones de fundamentos, dado quemuchos no estaban dispuestos a aceptar el Axioma de Election.

Esto movio a Zermelo, gran amante de las polemicas, a de-dicarse plenamente al tema y buscar una solucion rigurosa: si-guiendo el estilo del trabajo de Hilbert en aquellos anos, de loque se trataba era de encontrar un sistema axiomatico para lateoria de conjuntos. Veamos como lo plantea el propio Zerme¬lo en su artfculo capital de 1908:

La teoria de conjuntos es la rama de las matematicas cuya tareaconsiste en investigar matematicamente las nociones fundamen-tales de «numero», «orden» y «funcion», tomadas en su formamas simple y primitiva, y desarrollar a partir de ellas los funda¬mentos logicos de la aritmetica y el analisis; asi pues, constituyeun componente indispensable de la ciencia de las matematicas.Mas, en el presente, la existencia misma de esta disciplina pare-ce amenazada por ciertas contradicciones, o «antinomias», quepueden ser derivadas de sus principios —los cuales, al parecer,gobiernan necesariamente nuestro pensamiento— y a las que nose ha encontrado todavia una solucion enteramente satisfactoria.En particular, a la vista de la «antinomia de Russell» del conjun¬to de todos los conjuntos que no pertenecen a si mismos, hoy yano parece admisible el asignar a un concepto arbitrario, logica-mente definible, un conjunto o clase como su extension. Portanto, la definition original de conjunto dada por Cantor, como«una coleccion de objetos determinados y bien distinguidos denuestra intuition o de nuestro pensamiento formando un todo»,requiere ciertamente alguna restriction; pero no ha sido reem-plazada con exito por otra que sea igualmente simple y que node lugar a tales reservas. En estas circunstancias, hoy en dia noqueda otra option que seguir el camino inverso: buscar, a partirde la «teoria de conjuntos» tal como nos viene dada historica-mente, los principios necesarios para la fundamentacion de estadisciplina matematica. ... excluytendo] todas las contradiccio¬nes, pero ... manten[iendo] todo lo valioso de esta teoria.

281EPILOGO

En el presente trabajo pretendo mostrar como toda la teo-

ria creada por G. Cantor y R. Dedekind puede ser reducida aunas pocas deflniciones y a siete «principios», o «axiomas»,aparentemente independientes entre si. La cuestion ulterior,mas filosofica, acerca del origen de estos principios y la exten¬sion de su validez no sera discutida aqui. No he sido capaz aunde probar rigurosamente que mis axiomas son consistentes,aunque ciertamente esto es esencial; en su lugar, he tenido quelimitarme a senalar, aqui y alia, que las antinomias descubiertashasta ahora se desvanecen todas ellas cuando se adoptan comobase los principios aqui propuestos. (Zermelo 1908, 200-201)

El trabajo de Zermelo fue magistral: a traves de un analisislogico detallado de las contribuciones previas de Cantor y De¬dekind, y de su propia contribucion en 1904, rastrea un con-junto de principios suficientes y coherentes. Investigo su de-mostracion del teorema del Buen Orden, las teorias de Cantorsobre los cardinales y los ordinales transfinitos, la teorfa de De¬dekind sobre los numeros naturales; busco una lista de propo-siciones basicas que fueran suficientes para recuperar todosesos resultados. Su labor fue todo un exito, porque en efecto losaxiomas de Zermelo son suficientes para fundamentar la mate-matica clasica en su conjunto.5

Vale la pena indicar brevemente cuales son los siete axio¬mas originales de Zermelo. En primer lugar, 1. el axioma de Ex-tensionalidad-. ya Cantor y Dedekind habian enfatizado que laidentidad de un conjunto viene dada estrictamente por sus ele-mentos, de manera que si dos conjuntos M y N tienen los mis-mos elementos, entonces M = N. Ese principio no necesitabatransformaciones, pero en cambio era esencial reemplazar dealgun modo el postulado contradictorio de comprehension.Como senalo Hilbert en una conferencia de 1904, existia la ne-cesidad de restringir de algun modo el alcance de la particulalogica «todos», cuando se pasa de un concepto (enunciado conuna variable libre) al conjunto de todos las cosas que lo satisfa-

5. Como es sabido, el sistema de Zermelo-Fraenkel incorpora uno o dosaxiomas mas, aparte de ser un sistema plenamente formalizado en el marco dela logica modema.

282 JOSE FERREIROS

cen. Zermelo lo resolvio de la manera mas simple y directa consu axioma 3. de Separation: solo podremos formar conjuntospor comprehension dentro del marco de un conjunto preexis-tente; o en su formulation:

dada una propiedad P(x) «bien definida» para los miembros deun conjunto M, existe un subconjunto MP de M que consta detodos los elementos de M que satisfacen P(x).6

Pero este movimiento tiene un coste esencial: a diferenciadel postulado de comprehension, que es excesivamente poten-te (contradictorio), el axioma de Separacion es mas bien impo-tente; comprehension permitia generar conjuntos a voluntad,dado por ejemplo el concepto de numero natural, suministrabaya un conjunto infinito, etc. El axioma de Separacion necesitaser complementado con otros principios independientes deexistencia de conjuntos. (Por enfatizarlo de otro modo: con elpostulado de comprehension se tenia la sensation de sacar de lanada conjuntos a traves de una mera operation logica, sobrela base de la simple definition de un concepto; pero el axiomade Separacion es impotente para generar un universo de con¬juntos, y es preciso hacerlo habitar en un entorno conjuntista lobastante rico.)

Zermelo fue muy consciente de ello, y se preocupo de for-mular otros cinco axiomas que aseguran la existencia de con¬juntos; dos de ellos pueden denominarse axiomas basicos deexistencia, y los tres restantes axiomas condicionales. Empece-mos mencionando estos: los axiomas del Conjunto Potencia, deUnion y de Election; en los tres casos se presupone la existen¬cia de cierto conjunto y se establece la existencia de otro. Elaxioma 4. del Conjunto Potencia nos dice que, dado un conjun¬to M, existe el conjunto p(M) que contiene todos y solo lossubconjuntos de M. Esta operation es tremendamente potente,tal como nos muestra el teorema de Cantor: el paso de M a(p (M) es un salto a una cardinalidad mayor. Pensemos que en

6. No entramos aqui a discutir el problema logico de precisar que es unapropiedad «bien definida», problema que se resuelve con la formalizacionplena del sistema, tal como propuso Skolem en 1922.

EPfLOGO 283

el primer caso matematicamente interesante, cuando M es elconjunto N de los numeros naturales, somos ya perfectamenteincapaces de inspeccionar uno por uno los elementos de £?(N).El hecho de que es posible tener dudas serias sobre la admisibi-lidad de este axioma queda abundantemente establecido ante laevidencia de que jel propio Cantor las tuvo! (carta a Hilbertn°57, 12 oct. 1898).

El axioma 5. de Union es mucho menos controvertido:afirma que, dada una familia de conjuntos M, existe un con-junto UM que contiene todos y solo los elementos de los ele¬mentos de M; es aquello a lo que Cantor se referia hablando dereunir los conjuntos de la familia M y «resolverlos» en sus ele¬mentos.

El ultimo axioma de existencia condicional es especialmen-te celebre, aunque como principio abstracto quiza debiera sus-citar menos dudas que el 4. Se trata del axioma 6. de Eleccion:dado un conjunto M cuyos elementos son conjuntos no vacios ydisjuntos entre si, su union UM contiene al menos un subcon-junto Sj que tiene un y solo un elemento en comun con cadaelemento de M.7 Como digo, resulta muy intuitivo razonar deesta manera. Pensemos por ejemplo en un conjunto C dentro delcual se establece una particion en clases disjuntas (digamos, elconjunto de los animales terrestres, dividido en especies): cual-quiera razona enseguida que el numero de clases (especies) esmenor o igual que el numero de elementos total de C; pero esteargumento, en el caso infinite, requiere ya una aplicacion delaxioma de Eleccion. La razon de por que este axioma levantotanto revuelo es la aplicacion que Zermelo dio de el, usandolopara establecer una proposition muy poco intuitiva y de una ma¬nera sorprendente. Zermelo habia demostrado en 1904 que elconjunto IR de los numeros reales tiene un buen orden, pero nodaba ni la menor indication de como bien-ordenarlo efectiva-mente. {Era esto hacer matematicas, o mas bien metafisica?

Por ultimo, tenemos los dos axiomas basicos de existenciade conjuntos. Uno de ellos es sumamente modesto: el axioma 2.de Conjuntos Elementales afirma que existe el conjunto vacio, y

7. Este axioma ha recibido aqui una reformulacion en terminos de con¬juntos disjuntos, encaminada a hacerlo mas intuitivo.

284 JOSfi FERREIR6S

que dadas dos cosas ay b existen los conjuntos {a} y \a,b\. Elotro es muy ambicioso, aunque el entrenamiento en la matema-tica moderna consiste, entre otras cosas, en volverse incapaz dever lo atrevido que es. Se trata del axioma 7. del sistema, el axio-ma del Infinite? existe al menos un conjunto Z que contiene elconjunto vaci'o, y que con cada elemento a contiene tambien elconjunto {a}. Basta un momento de reflexion para darse cuentade que este postulado exige que el conjunto Z contenga al me¬nos los siguientes elementos:

0, (0), {{0}}, {({0}}}, ...

que de acuerdo con el axioma de Extensionalidad son todosdistintos. No es dificil darse cuenta de que el subconjunto de Zformado solo por esos elementos puede sin ningun problemahacer el papel de los numeros naturales, al menos dentro delsistema axiomatico.

Existe una tension entre el desarrollo conceptual de una teorfa ysu formulation axiomatica: el esfuerzo por sentar las bases axio-maticas de la manera mas simple y economica induce una ciertaartificiosidad en la elaboration de la teorfa. Esto es facil de ad-vertir en el caso de la teorfa de conjuntos, si comparamos elmodo de trabajar de Zermelo con las elaborationes previas deCantor y Dedekind.9 El ejemplo mas a mano nos lo da el propioaxioma del Infinito de Zermelo, que acabamos de formular. De¬dekind habia elaborado una aproximacion sumamente general yfrancamente conceptual, indicando que un conjunto C cual-quiera es infinito si existe una aplicacion (p y un subconjuntopropio C’ c:C, tales que (p: C —> C’ es una biyeccion. El axiomade Zermelo no hace mas que dar un ejemplo absolutamente par¬ticular de ello, un ejemplo adecuado a la economia del sistemaaxiomatico: la aplicacion (p sera a H-> {a}, que es biyectiva graciasal axioma de Extensionalidad, y el conjunto Z incluira a 0 paragarantizar que la imagen cp(Z) de aquella aplicacion es un sub-

8. Zermelo indica que este axioma se debe esencialmente a Dedekind(Zermelo 1908, 204).

9. De Cantor, vease de nuevo su carta del 3.08.1899, por ejemplo.

285EPlLOGO

conjunto propio de Z. Pero la ganancia en economia axiomaticaviene al precio de una perdida en penetracion conceptual.

Ese mismo fenomeno encontro expresion muy particularen el asunto del papel concedido a los numeros transfinitos den-tro de la teoria axiomatica. El hecho historico, por sorprendenteque pueda parecer, es que las paradojas y la axiomatizacion deZermelo motivaron un eclipse de los numeros transfinitos porespacio de aproximadamente dos decadas. El objetivo del siste-ma axiomatico de Zermelo era garantizar la existencia de undominio conjuntista lo bastante rico para que en el se pudierandesarrollar los resultados previos de la teoria de conjuntos. Eranecesario disponer de un conjunto equivalente al de los nume¬ros naturales, y de principios de formacion de conjuntos quepermitieran definir los numeros reales, etc. Era preciso que losprincipios permitieran el estudio de todo tipo de relaciones deorden, asi como la definition de toda la panoplia de funcionesdel analisis, etc. Zermelo lo logro, pero a un cierto precio. En suarticulo de 1908, desarrollaba analogos de los resultados canto-rianos sobre las potencias o cardinalidades transfinitas, pero lohacia sin alefs, sin numeros transfinitos: presentaba esos resul¬tados como propositions acerca de la equivalencia o equipo-tencia entre conjuntos. Del mismo modo, los resultados de lateoria de ordinales se obtenian directamente como proposicio¬nes acerca de las propiedades de los conjuntos bien ordenados,sin introducir los ordinales transfinitos.

Asi fue como los alefs y los omegas se quedaron fuera delsistema axiomatico que, andando los anos, muchos se acostum-

braron a considerar como «el fundamento» de toda la matema-tica.10 El triunfo de Cantor, al pasar por la criba de las parado¬jas, conllevaba un cierto fracaso: sus queridas criaturas G) y co“,X 0 y X i (que en puro lenguaje cantoriano deberiamos llamarsus «magnos descubrimientos», revelados por la voz de Dios ola Naturaleza) se quedaban en el terreno de los conceptos inte-resantes pero imprecisos, que tienen correlatos precisos pero en

1922, el gran logico Skolem no podia ocultar su asombro de quetantos buenos matematicos vieran el sistema de Zermelo como el fundamen-to, de ahi que pasara a la carga con una critica rigurosa a las pretensiones dela axiomatica, basada en la logica matematica.

10. En

286 JOS£ FERREIRtiS

un lenguaje mucho mas en-gorroso, el de la teoria axio-matica. La situacion llegaba aser incluso un tanto inquie-tante para los matematicosmas cuidadosos, ya que esosnumeros y la induction trans-finita eran muy empleadosen el algebra moderna de losanos 1920. Kuratowski llegoa titular un largo y cuidadosoartfculo, «Une methode d’e-limination des nombres trans¬finis des raisonnements mathe-matiques» (1922); unos anosmas tarde, en 1935, las trazasde los transfinitos desapare-cerian del algebra merced alconocido lema de Zorn.

Pero una situacion tantriste no podia durar mucho.

Ya lo dijo Hilbert en 1925: «del paraiso que Cantor creo paranosotros, nadie podra expulsarnos», y los alefs y omegas son in-grediente esencial de dicho paraiso. Por eso vino al rescate unafigura legendaria de la matematica del siglo 20, Janos von Neu¬mann, que entonces era un jovencito de veinte anos, pero quepronto se moveria en el entorno de Gotinga colaborando con laescuela de Hilbert en temas de fundamentos. Von Neumannpreparaba su muy innovadora tesis conteniendo un nuevo sistemaaxiomatico para la teoria de conjuntos, distinto del de Zermelo.En 1923 la section cientifico-matematica de las Acta Litterarumac Scientiarum de la Universidad Regia de Francisco-Jose enHungria publicaba, en aleman, su articulo «Sobre la introduc¬tion de los numeros transfinitos».n

La novedad del trabajo de von Neumann fue establecer unmodo de incorporar la idea cantoriana de los numeros ordina-les directamente, sobre la unica base de los axiomas de la teoria

.

Un joven Janos von Neumann (1903-

1957), hacia la epoca de sus contribu-ciones clave a la teoria de conjuntos.

11. Traduction inglesa en Van Heijenoort (1967), 347-354.

EPfLOGO

de conjuntos. En su articulo de 1923 presentaba la cuestion almargen de sistemas axiomaticos, desde un punto de vista «in-genuo», pero era perfectamente consciente de que la importan-cia del asunto era su aplicabilidad a dichos sistemas (tanto al deZermelo-Fraenkel, como al original sistema nuevo en el que en-tonces trabajaba von Neumann). era la idea clave? Resul-ta sencillo exponerla.

Ya Cantor habia llamado la atencion sobre el hecho de que,si se toma el 0 como primer numero de la serie de los ordinales,cada ordinal ( representa el «tipo de orden» del conjunto de losordinales que le preceden: a es el ordinal de {x: x < a], consi-derado en su orden natural de magnitud. Por ejemplo, co+1 esel ordinal de {1, 2, 3, to}. Por otro lado, Zermelo habia iden-tificado los numeros naturales con los conjuntos 0,{0}, {{0)},... (Naturalmente, con esto no quiere decirse que el numero1 es«realmente» el conjunto{0}, idea que solo cabria calificar detonteria; lo que sucede es que la operation a —> [a] tiene las pro-piedades de la funcion sucesor, y por tanto puedetos del trabajo axiomatico— identificarse con la funcion sucesor.)

Pues bien, considerando las dos ideas, la de Cantor y la deZermelo, conjuntamente, surge la ingeniosa idea de von Neu¬mann. Partamos del ordinal 0, identificado a la Zermelo con 0,y decidamos que cada ordinal es el conjunto de todos los que lepreceden. De esta manera nos vemos llevados a la sucesion:

287

los efec-

0 = 0,1 = (01,2 = 10, {0}},3 = (0,{0}, {0,{0}}},

co = {0,{0}, {0,{0}},{{0, {0}, {0,{0}}}, ...}

co+1 = {0,1, 2, 3,..., co}12

La pequena modification de von Neumann tiene efectosmuy deseables dentro del artificioso orden axiomatico de las co-

12. Lo escribimos en esta forma abreviada para facilitar la lectura, pero ellector deberfa pensar aqui en 0, 1, ... co sustituidos por sus definiciones con-juntistas explfcitas, las que se dan arriba.

288 JOSfi FERREIROS

sas: los ordinales pueden considerarse como conjuntos bien or-denados (siendo su relacion ordenadora e, la simple pertenen-cia conjuntista), y cada ordinal a es a su vez un conjunto bienordenado de tipo a, o sea, un representante de toda una clasede conjuntos.15

Lo que tenemos ante nosotros ya no son los viejos numerosordinales de Cantor, que este insistfa en concebir como con-ceptos bajo los que «caen» los distintos tipos de conjuntos bienordenados. Nos encontramos ahora ante los ordinales de lateorfa de conjuntos axiomatica, a menudo Uamados ordinalesde von Neumann, que no son otra cosa que conjuntos (cuyaexistencia viene garantizada en cada caso por los axiomas de lateorfa), conjuntos especialmente adecuados para representaral concepto de Cantor por las razones antes indicadas. Conesta y otras innovaciones por el estilo, el matematico hungaro

—que acabarfa nacionalizandose estadounidense y contribu-yendo al desarrollo de los ordenadores, la bomba atomica, lateorfa cuantica, la carrera armamentfstica y la teorfa economi¬ca— hizo mucho por ayudar al surgimiento de la teorfa de con¬juntos actual.

Llegamos asi al final de este volumen. Sin embargo, pareceadecuado ponerle colofon con una ultima pieza de correspon-dencia: una carta fechada en Budapest, a 15 de agosto de 1923,donde el desconocido y genial von Neumann informa a su cole-ga de 52 anos Zermelo de las ideas que esta desarrollando parasu tesis.14 La carta es un verdadero ex ungue leonem:

jMuy estimado senor Profesor!Me permito enviarle el trabajo adjunto. Le ruego tenga a

bien leerlo, para comunicarme su opinion al respecto.El objeto de dicho trabajo es la axiomatizacion de la teorfa de

conjuntos. El estimulo para ello he de agradecerselo enteramentea su trabajo sobre los «fundamentos de la teorfa de conjuntos».

13. Conviene afiadir que los ordinales de von Neumann habian sido pre-figurados ya unos anos antes por el propio Zermelo, en trabajos de aprox.1915 que quedaron ineditos, y por el ruso afincado en Suiza Dimitry Mirima-noff (1917).

14. Bueno, a decir verdad, para una de las dos tesis doctorales que pre-sentaria en 1925, siendo la segunda en el campo de la ingenieria qulmica (!).

289EPfLOGO

Solo en los siguientes puntos esenciales me he separado de

1. El concepto de «definido» no se introduce explicita-mente. Pero se ofrecen los esquemas admisibles para laformacion de funciones y conjuntos.

2. Se anade el «axioma de reemplazo» de Fraenkel. Resul-ta necesario (entre otras cosas) para poder establecer lateorfa de los numeros ordinales.

3. Se admiten los conjuntos «demasiado grandes» (porejemplo, el conjunto de todos los conjuntos que no sepertenecen).

Creo que esto es necesario para poder formular el«axioma de reemplazo».

Mas para evitar las paradojas, se admite que todoslos conjuntos («definidos») sean elementos de conjun¬tos, pero se declara a los conjuntos «demasiado gran-des» incapaces de serlo.

aquel:

En las dos primeras partes del trabajo se discute toda esta axio-matica, y se lleva a cabo la derivacion de los elementos de la teo¬

rfa de conjuntos conocida.Esto se hace de manera bastante prolija y detallada, a fin

de ofrecer una discusion clara de los metodos empleados. Co¬mo en su mayor parte se trata solo de la derivacion formal deteoremas conocidos, fue necesario manejar muchas cosas tri-viales.

En la exposicion, solo resultan nuevos (si ignoramos algu-nas pequeneces) los siguientes puntos:

1. La teorfa delos numeros ordinales (parte dos, capitulo dos).He logrado establecer los numeros ordinales sobre

la unica base de los axiomas de la teorfa de conjuntos.La idea basica es la siguiente:

Cada numero ordinal es el conjunto de todos los prece-dentes. Demodo que (poniendo 0 para el conjunto vacio)

0 = 0,1 = 10},2 = {0, {0}},3 = {0, {0}, {0,{0}}},

290 josfi FERREIRAS

to = 10, {0}, {0,{0}}, {0,{0},{0,{0}}}, ...}

co+l = {0, (0}, {0,{0}}, {0,{0},{0,(0}}},{0,{0},{0,{0}}}, ...H

{0, {0}, {0,(0}}},

(Para los numeros positivos finitos, la regia dice pues:x + 1 = x + {x}.)

Esta teorfa tiene sentido tambien dentro de la «teo-rfa de conjuntos ingenua». (Tratada ingenuamente, apa-recera pronto en la revista de la Universidad de Szege-din.)

2. La manera de introducir el teorema del Buen Orden.(Axioma IV 2). Uno de los axiomas, el IV 2, establececuando un conjunto es «demasiado grande» (esto es, in-capaz de ser elemento) de la siguiente manera:

Un conjunto es «demasiado grande» cuando y solocuando es equivalente al conjunto de todas las cosas.

Este axioma abarca obviamente el «axioma de se-paracion» y el «axioma de reemplazo» de Fraenkel.Pero contiene tambien, cosa que en cierto modo resultaextrana, el teorema del Buen Orden.

La demostracion procede mas o menos asi: el con-jimto de todos los numeros ordinales (que se puede de-finir sin mas) conducirfa a la antinomia de Burali-Forti,por tanto es «demasiado grande».

Por tanto es equivalente al conjunto de todas las co¬sas. Pero esto nos da inmediatamente un buen ordenpara el conjunto de todas las cosas.

3. La definicion de lo finito (parte dos, capitulo tres, § 5a)

es, hasta donde yo se, nueva.Es independiente del concepto de orden, por una

parte, y del principio de eleccion, por la otra. En todocaso, ello resulta indiferente en esta exposicion, ya queaqui el principio de eleccion se introduce implicitamen-te (en el axioma IV 2, junto con otros requisitos). Poreso mismo en ningun caso aislo de los restantes los teo-remas que dependen de el.

EPILOGO

A diferencia de las dos primeras partes, las cuales creo po-der considerar como aproximadamente acabadas, la terceraparte entra en una serie de cuestiones cuya solucion todavia nome resulta clara.

Se trata de la estructura del sistema axiomatico, donde sur¬ge una buena cantidad de problemas inesperados, y creo quenada exentos de interes.

Le quedarfa muy agradecido, senor Profesor, si quisieraUd. dedicar su atencion tambien a esta parte, a fin de comuni-carme su opinion al respecto.

291

Agradeciendole de antemano, quedo

Respetuosamente suyoHANS VON NEUMANN

INDICE

NOTA PRELIMINAR, Jose ManuelSanchez Ron 7

INTRODUCTION

Jose Ferreiros

1 EL CONTEXTO DE LOS FUNDAMENTOS, O LA GENESIS DEL

«PARAISO»

2. UN ESBOZO BIOGRAFICO

3. EL DOMINIO DE LO TRANSFINITO

4. LA HELICE VIRTUOSA: ORDINALES Y CARDINALES

5. LA DECADA DEL DISTANCIAMIENTO: 1885-1895,Y MAS ALLA

6. LAS PARADOJAS DE LA TEORl'A DE CONJUNTOS7. NOTA SOBRE LA TRADUCCION

BIBLIOGRAFIA

SOBRE LA ORGANIZACION DE LOS TEXTOS

11172940

5265737679

FUNDAMENTOS

PARA UNA TEORIA GENERAL DE CONJUNTOS

83PREFACIO

85TEXTO

ANOTACIONES....NOTAS DEL EDITOR

137145

SOBRF. UNA CUESTION ELEMENTAL

DE LA TEORIA DE CONJUNTOS (1892) 159

294 fNDICE

CORRESPONDENCIA

DE CANTOR CON DEDEKIND, HILBERT Y OTROS

CORRESPONDENCIA CON RICHARD DEDEKIND (1872-1874). 165SOBRE UNA PROPIEDAD DE LA COLECCION DE TODOS LOS

NUMEROS REALES ALGEBRAICOS (1874) . .CORRESPONDENCIA CON DEDEKIND (1877-1882)

CORRESPONDENCIA CON KRONECKER, LASSWITZ

Y ENESTROM (1884-1885)CORRESPONDENCIA CON DEDEKIND Y HILBERT (1897-1899) 251

179185

231

EPILOGO:

ECLIPSE Y RESURGIR DE LOS NUMEROS TRANSFINITOS 273