Teoria Ingenua de Conjuntos

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1 1 TEORÍA INGENUA DE CONJUNTOS Presentación ¿Porqué comenzar el curso de fundamentos por aquí? Antes de ensayar alguna respuesta analicemos la definición de límite finito de una función. Una opción puede ser: * * , , , , lim () / () a f a x a fx E E D x E fx E No bien nos fijamos en ella con cierto detenimiento vemos que está fuertemente “contaminada” de conceptos y notación propia de la teoría de conjuntos (los entornos que son conjuntos de reales, la inclusión, la pertenencia) Lo mismo nos ocurrirá si analizamos casi cualquier proposición matemática contenida en un libro o un curso posterior a 1950. Encontraremos que ellas se estructuran alrededor de conceptos elementales de la teoría de conjuntos y que además utilizan la notación conjuntista para registrarlos. La teoría de conjuntos le ha brindado a la matemática un lenguaje sencillo, preciso y elegante con el cual expresar las ideas más sofisticadas. Dicha teoría tal como la conocemos hoy, es relativamente reciente. Data del principio del siglo XX. Le sugerimos busque información al respecto. Aclaremos que presentaremos una aproximación intuitiva a la teoría de conjuntos habitualmente denominada “teoría ingenua de conjuntos” El desarrollo formal de dicha teoría en este momento, está fuera de alcance. La complejidad que tiene un tratamiento estricto del tema excede largamente los requisitos y objetivos de este curso. Introducción Ya que vamos a conversar sobre conjuntos parece pertinente preguntarnos en primer lugar: ¿Qué es un conjunto? Podemos contestar “Un grupo de elementos” Frente a esta respuesta tenemos derecho a preguntar ¿Y un grupo? A lo cual puede aparecer “Una colección” Y podemos preguntar: ¿Y una colección? Contestando “ Una familia………..Seguramente en algún momento diremos “Un conjunto” cerrando así el círculo vicioso. Este hecho es inevitable si intentamos definir explícitamente todos los conceptos con los cuales trabajaremos. Lo cual si se detiene a pensar, le debe haber ocurrido al buscar palabras en un diccionario. Una palabra le conduce a otra, esa otra a una tercera, …Hasta que al final vuelve a la primera palabra que buscó. Para no caer en este círculo vicioso tomaremos algunos conceptos sin definición explícita (los cuales suelen llamarse conceptos primitivos) y sí definiendo explícitamente todos los otros conceptos de la teoría (estos últimos pueden denominarse conceptos definibles).

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TEORÍA INGENUA DE CONJUNTOS

Presentación

¿Porqué comenzar el curso de fundamentos por aquí? Antes de ensayar

alguna respuesta analicemos la definición de límite finito de una función. Una opción puede

ser: * *

, , , ,lim ( ) / ( )a f ax a

f x E E D x E f x E

No bien nos fijamos en ella con cierto detenimiento vemos que está

fuertemente “contaminada” de conceptos y notación propia de la teoría de conjuntos (los

entornos que son conjuntos de reales, la inclusión, la pertenencia…)

Lo mismo nos ocurrirá si analizamos casi cualquier proposición matemática

contenida en un libro o un curso posterior a 1950. Encontraremos que ellas se estructuran

alrededor de conceptos elementales de la teoría de conjuntos y que además utilizan la

notación conjuntista para registrarlos.

La teoría de conjuntos le ha brindado a la matemática un lenguaje sencillo,

preciso y elegante con el cual expresar las ideas más sofisticadas. Dicha teoría tal como la

conocemos hoy, es relativamente reciente. Data del principio del siglo XX. Le sugerimos

busque información al respecto.

Aclaremos que presentaremos una aproximación intuitiva a la teoría de

conjuntos habitualmente denominada “teoría ingenua de conjuntos” El desarrollo formal de

dicha teoría en este momento, está fuera de alcance. La complejidad que tiene un

tratamiento estricto del tema excede largamente los requisitos y objetivos de este curso.

Introducción

Ya que vamos a conversar sobre conjuntos parece pertinente preguntarnos

en primer lugar: ¿Qué es un conjunto?

Podemos contestar “Un grupo de elementos” Frente a esta respuesta

tenemos derecho a preguntar ¿Y un grupo? A lo cual puede aparecer “Una colección” Y

podemos preguntar: ¿Y una colección? Contestando “ Una familia” ………..Seguramente en

algún momento diremos “Un conjunto” cerrando así el círculo vicioso.

Este hecho es inevitable si intentamos definir explícitamente todos los

conceptos con los cuales trabajaremos. Lo cual si se detiene a pensar, le debe haber

ocurrido al buscar palabras en un diccionario. Una palabra le conduce a otra, esa otra a una

tercera, …Hasta que al final vuelve a la primera palabra que buscó.

Para no caer en este círculo vicioso tomaremos algunos conceptos sin

definición explícita (los cuales suelen llamarse conceptos primitivos) y sí definiendo

explícitamente todos los otros conceptos de la teoría (estos últimos pueden denominarse

conceptos definibles).

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Al tratar con conceptos primitivos, podemos preguntarnos ¿Cómo trabajar con algo que no

aclaramos explícitamente que es? Permítaseme la siguiente imagen:

Referido al ajedrez, si nos preguntan: ¿Qué es una torre? No vamos a contestar que forma

tiene, ni de que material está construida, sino como se “mueve” Es más, si cambiamos la

ficha por una piedra y esta la movemos como una torre, es una torre. Con los conceptos

primitivos ocurre algo similar, quedarán caracterizados indirectamente por el resto de la

teoría.

En el caso de la teoría de conjuntos tomaremos como conceptos primitivos: conjunto,

elemento y pertenecer. El resto de los conceptos que aparezcan los definiremos

explícitamente.

Para empezar a conversar consideremos los siguientes conjuntos:

- A el conjunto formado por 6 y 8

- B el conjunto formado por a,b,c

- C el conjunto de los números naturales pares.

- D el conjunto de los naturales pares mayores que 5 y menores que 9

En primer lugar observemos que utilizamos dos estrategias diferentes para determinar

cada uno de los conjuntos (entendiendo por determinar brindar un criterio que nos permita

sin ambigüedad decidir si un elemento dado pertenece o no al conjunto). Para los dos

primeros nombramos todos y cada uno de sus elementos. Procedimiento que algunos

denominan determinación por extensión. En cambio para determinar los dos últimos

dimos una proposición que caracteriza al conjunto; en el sentido de que todo elemento del

conjunto verifica la proposición y recíprocamente todo elemento que verifica la proposición

pertenece al conjunto. En el caso del conjunto C, todo número natural par está en C y todo

elemento de C es un natural par. Este último procedimiento suele denominarse

determinación por comprensión.

El lector seguramente recuerda la notación:

6,8

, ,

/ 2

/ 2 5 9

A

B a b c

C x x

D x x x

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PRIMEROS COMENTARIOS SOBRE LÓGICA

Recién mencionábamos el término

proposición. Entendemos por tal a una oración o sentencia que puede ser verdadera o falsa

pero no ambas a la vez. Si decimos “El número 512 es par” “El 512 es múltiplo de 3”

ambas son proposiciones, en este caso verdadera la primera y falsa la segunda. Si en

cambio decimos ¿Qué hora es? Esta frase no es una proposición pues no tiene sentido decir

que es verdadera o falsa.

A las proposiciones las anotaremos con letras minúsculas (p,q,r etc.) y si son verdaderas

indicaremos (V) y en caso de ser falsas (F) Siendo V o F lo que llamamos valor de verdad.

Las proposiciones pueden clasificarse en simples o compuestas. Siendo estas últimas

compuestas por las primeras. Así por ejemplo la proposición que determina el conjunto D

( 2 y 5 9x x x

) puede descomponerse en 2 5 9x x x x

En este caso las cuatro proposiciones están vinculadas por la operación conjunción

definida formalmente a partir de su tabla de valores, que nos permiten determinar el

valor de verdad de la proposición compuesta a partir de los valores de verdad de las

proposiciones simples que la conforman.

Observemos que p q es verdadera si y solo si tanto p como q son verdaderas. Lo

podemos leer coloquialmente como un “y”

Otra operación que suele realizarse con proposiciones es la disyunción definida por la

siguiente tabla

p q p q

V V V

F V F

V F F

F F F

p q p q

V V V

F V V

V F V

F F F

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4

En este caso observemos que alcanza para que p q sea verdadera que una de las dos

proposiciones (p o q) lo sean. Y únicamente es falso cuando ambas lo son. Podemos leerlo

informalmente como y/o.

Presentemos también el condicional o implicación lógica definida por:

Seguramente le llama la atención que la única forma de que p q sea falsa es que p sea

verdadera y q falsa.

Analicemos las siguientes proposiciones: 1) , 4 3 6n n n

2) , 4 3 18n n n

Complete la siguiente tabla:

Justifique que 1) es verdadera y 2) falsa.

Al considerar p q la proposición p recibe el nombre de antecedente o premisa y q el de

consecuente.

Por último definimos la negación de una proposición p (que anotaremos p )

p q p q

V V V

F V V

V F F

F F V

n 4n

3 6n

3 18n

3

6

8

12

p p

V F

F V

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Igualdad de conjuntos

Volviendo a los ejemplos

6,8

, ,

/ 2

/ 2 5 9

A

B a b c

C x x

D x x x

Otra observación que podemos realizar es que los conjuntos A y D son iguales. Y esto lo

decimos pues tienen los mismos elementos. Así que es razonable la siguiente

Definición

Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos.

En otras palabras:

,

,

x x A x B

A B

x x B x A

Nota Acabamos de utilizar el símbolo “ ” el cual solemos leer “si y solo si”. Seamos un

poco más precisos: dos proposiciones p y q se dicen equivalentes cuando tienen los

mismos valores de verdad. Anotando: p q

En la definición de igualdad de conjuntos establecemos que la proposición A B

es equivalente a la proposición compuesta ,x x A x B x B x A

Nota

También aparece el símbolo “ ” que leemos “para todo” y se denomina en lógica

cuantificador universal. Símbolo que corresponde a una A invertida y proviene del

alemán “Algemanheit” (todo)

Ejercicios Comprobar utilizando tablas de verdad que:

i) p q p q

ii) (Ley de De Morgan)p q p q

iii) p p (Doble negación)

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6

De nuevo con los ejemplos, otra observación que podemos realizar es que todos los

elementos del conjunto A también lo son de C. Esto suele expresarse diciendo que A está

incluido o es un subconjunto de C. Concretamente:

INCLUSIÓN, SUBCONJUNTOS

Definición

Decimos que un conjunto A está incluido o es un subconjunto de un conjunto B

si y solo si todo elemento de A es también elemento de B. Anotamos A B

Sintéticamente: ,A B x x A x B

También suele anotarse: A B x A x B

Observemos

A B

A B

B A

Recuadramos esta proposición pues casi siempre que

hay que probar que dos conjuntos son iguales se demuestra la “doble” inclusión.

También podemos observar que todo conjunto es subconjunto de sí mismo A A

Acabamos de definir lo que también podemos llamar “inclusión amplia” en donde un

conjunto está incluido en si mismo. Si queremos excluir la posibilidad de la igualdad,

podemos hablar de inclusión estricta. Concretamente:

Definición

Decimos que el conjunto A está estrictamente incluido o es un subconjunto

propio del conjunto B Anotamos A B

A B

A B

A B

Algunas veces los elementos de un conjunto son a su vez conjuntos. En estos casos puede

generarse una confusión entre que un conjunto pertenezca o esté incluido en otro. Para

ejemplificar encaremos los siguientes

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Ejercicios

1) Consideramos:

7,8 , 2.3,4 , 9,10 7,8,2,3,4,9,10 7 , 8 , 2 , 3 , 4 , 9 , 10I J K

Analizar el valor de verdad de las siguientes proposiciones.

i) I J K ii) 7,8 I iii) 7,8 I iv) 7,8 J v) 7,8 J

vi) 7,8 K vii) 7,8 K viii) 7 I ix) 7 I x) 7 J

xi) 7 J xii) 7 K xiii) 7 K

2) Sabiendo que 1 y 1A B Analizar el valor de verdad de las siguientes

proposiciones.

i) 1 A ii) 1 B iii) 1 A iv) 1 B v) 1 B vi) 1 A

El conjunto vacío

Si se da una propiedad P de elementos de un conjunto X tal que por lo

menos un elemento x X tenga tal propiedad, queda determinado el subconjunto de X de

los elementos x que tengan la propiedad P. Pero si P es una propiedad que no es satisfecha

por ningún elemento de X se tiene el caso excepcional de una propiedad que no define a un

conjunto. Se conviene en evitar formalmente esta excepción introduciendo el signo X

que se denomina conjunto vacio de X y que se supone indica intuitivamente “el

subconjunto de X que no contiene ningún elemento” Este signo X puede someterse a las

relaciones y operaciones usuales de la teoría de conjuntos, combinándolos con conjuntos

propios (no vacíos) y se demuestra en una teoría axiomática de conjuntos que estas

combinaciones y operaciones son lícitas, desde el punto de vista de la lógica matemática.

Por ejemplo si X es el conjunto de los números naturales no es extraño considerar el

subconjunto / 2C x x

Ahora la propiedad de ser menor que cero no es cumplida

por ningún número natural. Por lo dicho / 0x x lo anotaremos

Definición

Consideramos X un conjunto. Llamamos subconjunto vacío de X y se anota

X , al conjunto /X x X x x

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Obs. Para definir el subconjunto vacío podríamos haber utilizado cualquier otra propiedad

que no fuera cumplida por ningún elemento de X. Como lo hicimos en . Elegimos

x x ya que esta última tiene la ventaja de ser aplicable a cualquier conjunto.

Teorema

X Y siendo X e Y dos conjuntos cualquiera.

Dem

Queremos probar: X Y lo que es equivalente a demostrar:

1) , 2) ,X Y Y Xx x x x x x

En cuanto a la proposición 1) esta es verdadera pues el antecedente Xx es falso.

Por el mismo motivo la proposición 2) también es verdadera. Y ya que 1) y 2) son

verdaderas, entonces 1) 2) lo es. Quedando probado que X Y

Según lo demostrado, existe un único conjunto vacio que por otra parte es subconjunto de

cualquier conjunto. Se lo designa simplemente con el símbolo , sin referirlo a ningún

conjunto en particular.

Ejercicios 1) Analizar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: i)

ii) iii) iv) v) vi)

2) Demuestre que:

A B

A C

B C

(Transitiva)

Nota

Volvamos a la definición de subconjunto: ,A B x x A x B

Intentemos escribir la negación A B

La proposición que define la inclusión de A en B x A x B podemos

considerarla compuesta por las proposiciones x A (a la que denominaremos p) y

la proposición x B (que llamaremos q)

Ahora:

p q p q

V V V

F V V

V F F

F F V

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Entonces la proposición p q es falsa (o sea A B ) solamente en el caso p

verdadera x A y q falsa x B . Nos queda “manejar” el cuantificador

universal . Parece razonable plantear: /A B x A x B

Entró en juego el símbolo “ ” (que leemos existe) denominado en lógica como

cuantificador existencial.

El cuantificador universal y el existencial se vinculan de la siguiente

manera: Sea ( )P x una proposición cuyo valor de verdad depende de x, la

proposición “ , ( )x P x ” es equivalente a la proposición “ , ( )x P x ”

Le sugerimos dé algún otro ejemplo de esta equivalencia.

Conjunto de partes

Definición

Dado un conjunto A, llamamos conjunto de partes de A (anotamos P(A) ) al

conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A.

Ejemplos: Si ,A a b P(A) , , , ,a b a b

Si , ,A a b c P(A) , , , , , , , , , , ,a b a b a c b c a b c

Nota - P(A) y A P(A) cualquiera sea el conjunto A.

- Demostraremos posteriormente que si A tiene n elementos, entonces P(A) tiene 2n

ALGO MAS SOBRE LÓGICA

Comencemos por algunas definiciones. Decimos que:

1) Una proposición compuesta es una tautología si y solo si es verdadera para todas las

asignaciones de valores de verdad de sus proposiciones componentes.

2) Una proposición compuesta es una contradicción si y solo si es falsa para todas las

asignaciones de valores de verdad de sus proposiciones componentes.

3) Una proposición compuesta es una contingencia si y solo si no es una tautología ni

una contradicción.

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Ejercicios 1) Analizar mediante tablas de verdad si las siguientes proposiciones son

tautologías, contradicciones o contingencias: i) p q r

ii) ( )p p

iii) p q q p

2) Probar utilizando tablas de verdad que las siguientes proposiciones son

tautologías. i) (Modus Ponens)p q p q

ii) (Modus Tollens)p q q p

iii) (Identidad)p p

iv) (Simplificación)p q p

v) (Adición)p p q

vi) (Silogismo disyuntivo)p q p q

vii) p q q r p r (Silogismo hipotético)

A estas tautologías se denominan reglas lógicas. Concretamente, llamamos regla lógica a

toda implicación que sea una tautología. Si p q es una regla lógica escribiremos p q

Presentemos una operación básica más. Consideramos p y q proposiciones, definimos

p q por la siguiente tabla

A la proposición p q la leemos “p implica doblemente a q” y se la denomina

bicondicional de las proposiciones p y q.

Si la proposición p q es una tautología la denominamos ley lógica y anotamos p q

Obsérvese que si p q , p y q tienen el mismo valor de verdad, o sea son equivalentes.

Por lo tanto es correcto utilizar la misma notación.

p q p q

V V V

F V F

V F F

F F V

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Ejercicios Probar que las siguientes proposiciones son leyes lógicas.

i) Idempotencia de la disyunciónp p p

ii) Idempotencia de la conjunciónp p p

iii) Conmutativa de la disyunciónp q q p

iv) Conmutativa de la conjunciónp q q p

v) Asociativa de la disyunciónp q r p q r

vi) Asociativa de la conjunciónp q r p q r

vii) Distrib. de la conj. resp a la disy.p q r p r q r

viii) Distrib. de la disy. resp a la conj.p q r p r q r

ix) ( ) siendo una tautologíap p t t

x) ( ) siendo una contradicción.p p c c

xi) siendo una tautologíap t p t

xii) siendo una contradicción.p c p c

xiii) siendo una contradicción.p c c c

xiv) Ley de De Morganp q p q

xv) Ley de De Morganp q p q

xvi) p q p q q p

Nota

Según lo probado en xix) tenemos que p q p q q p lo cual

justifica el nombre de bicondicional.

Seguramente alguna vez oyó: “recíproco” “contrarrecíproco” “condición necesaria”

“condición suficiente” “condición necesaria y suficiente”. Veamos de que se trata:

Como vimos la proposición p q es equivalente a la conjunción de las proposiciones

p q y q p . Si a la primera p q la denominamos directo, a la segunda q p

la llamaremos réciproco. Obsérvese que la segunda es recíproca de la primera y la primera

recíproco de la segunda. O sea son términos relativos y no absolutos.

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La proposición p q se le denomina contrario y a la proposición q p

contrarrecíproco del directo p q Volvemos a insistir en el carácter relativo de estos

términos.

Ejercicios

Comprobar mediante tablas de verdad:

1) El directo es equivalente al contrarrecíproco.

2) El directo no es equivalente al contrario.

En caso de que p q decimos que p es condición suficiente para q y q condición

necesaria para p. Entonces cuando p q , podemos afirmar que p es condición necesaria

y suficiente para q.

Por ejemplo: “ f continua en a” es condición necesaria pero no suficiente para “f derivable

en a” siendo f una función real de variable real y a . “ raíz de P” es condición

necesaria y suficiente para que “P divisible entre x ” siendo P un polinomio de

coeficientes reales y .

OPERACIONES CON CONJUNTOS

Unión e intersección

Definición Consideramos A y B subconjuntos de U. Denominamos:

1) A unión B (anotamos A B ) al conjunto formado

por los elementos que pertenecen a A y/o a B.

/A B x U x A x B

2) A intersección B (anotamos A B ) al conjunto

formado por los elementos que pertenecen a A y a B

/A B x U x A x B

Ejemplos

1) Si , , y . . . entonces: , , , .A a b c B b c d e A B a b c d e y ,A B b c

2) Si A es el conjunto de puntos del plano interiores a la primera curva y B el de

los puntos interiores a la segunda entonces el conjunto unión es el de los puntos

sombreados en la primera figura y la intersección los sombreados en la

segunda.

A B A B

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Habitualmente se utilizan este tipo de diagramas para “visualizar” los resultados de

operaciones con conjuntos. Son conocidos bajo el nombre de diagramas de Venn.

Tengamos en cuenta que no son más que casos particulares, estamos trabajando con

conjuntos de puntos en lugar de conjuntos de otros elementos. Este comentario está

motivado para no confundirnos y pensar que los diagramas de Venn permiten demostrar

propiedades de las operaciones con conjuntos. No es así. Solo nos permiten una cierta

visualización. Volvemos a insistir, son casos particulares y por lo tanto a partir de ellos no

podemos asegurar que tal o cual propiedad sea cierta para todos los conjuntos.

Ejercicios

1) En los siguientes diagramas de Venn sombrear la unión y la intersección.

2) Probar: y siendo , conjuntos cualesquieraA A B A B A A B

3) Demostrar: P(A) P(B) P(A B ) y P(A) P(B) P(A B )

¿ P(A) P(B) P(A B )?

Teorema

Siendo A,B y C conjuntos se cumple:

1) A B B A Conmutativa

2) A B B A “

3) A B C A B C Asociativa

4) A B C A B C “

5) A B A B B

6) A B A B A

A manera de ejemplo demostremos 5)

H) T) A B A B B

Queremos demostrar: A B B lo que es equivalente a probar:

1) x A B x B

2) x B x A B

A B A B

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Ahora demostremos efectivamente las proposiciones 1) y 2)

1)

como A Bx A x B

x A B x B

x B

2) (*)

x A

x B x A B

x B

(*) Si llamamos p a la proposición x A y q a la proposición x B , tenemos que

si q es verdadera, necesariamente p q x A x B también es verdadera.

H) A B B T) A B

En este caso debemos probar que A B o lo que es equivalente que

x A x B

Ahora: (**) y como x A x A B A B B x B

(**) Tengamos presente que A A B

Ejercicios

1) Demostrar otras dos propiedades, una correspondiente a la unión y otra a la

intersección.

2) Probar: i) A A A ii) A A A iii) A A iv) A

(Sugerencia: tenga en cuenta que y que A A A )

3) Siendo A,B y C tres conjuntos cualesquiera, demostrar que:

i) (Distrib. de la " " respec. de la " ")A B C A B A C

ii) (Distrib. de la " " respec. de la " ")A B C A B A C

Diferencia

Definición

Dados los conjuntos A y B, llamamos diferencia A menos B al

conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B.

Anotamos A B

Sintéticamente: /A B x A x B

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Ejemplos

1) Si , , , y , , , ,A a b c d B c d e f g entonces ,A B a b

2) Volviendo a los diagramas de Venn

A B corresponde a la zona sombreada.

Ejercicios

Siendo A,B y C tres conjuntos cualesquiera, demostrar:

1) A A

2) A A

3) A

4) A B B A A B

5) A B C A B C ¿ ?A B C A B C

6) A B C A B A C

7) A B C A B C

8) A B C A B C A

9) A B C A B A C

Complemento

Definición

Consideramos A y H dos conjuntos tales que A H .

Denominamos complemento de A con respecto a H, a la

diferencia H A Anotamos ( )HC A

( )

/HC A H A x H x A

Ejemplos

1) Si / 2 e / 2P x x I x x

Tenemos que ( )C P I

También ( )C I P

2) Nuevamente con los diagramas de Venn

( )HC A es la zona sombreada

A B

H A

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Nota

Al ( )HC A también lo podemos anotar C

HA y en el caso de que se desprenda del

contexto cual es el conjunto de referencia (nos referimos a H) se simplifica la notación

escribiendo solamente ó CA A Así volviendo al primer ejemplo e P I I P

Ejercicios

Consideramos A y B dos subconjuntos de H. Anotamos ( )H

A C A etc.

Completar: 1) .......A A

2) ......A A

3) .......A

4) ....A B A B

5) ....A B A B

Demostrarlas.

Nota Las últimas dos proposiciones se conocen bajo el nombre de Leyes de De-Morgan.

PAR ORDENADO, PRODUCTO CARTESIANO

Si estamos trabajando en un en un plano con un sistema de coordenadas cartesiano y

mencionamos los puntos de coordenadas 2,5 y 5,2 , nos estamos refiriendo a puntos

distintos. Asumimos que 2,5 5,2 ; importando en consecuencia el orden en que

aparecen el par de elementos 2 y 5. Entró en juego lo que denominamos habitualmente par

ordenado 2,5 y que anotamos 2,5 .

Es inmediato que , ,a b b a y por lo tanto , ,a b a b . Sin más preámbulos

Definición

Dados los elementos a y b denominamos par ordenado ab, al conjunto

, ,a a b Lo anotamos ,a b . En resumen: , , ,a b a a b

Observación , , , , , , ,a b a a b b a b a b

Si , , , , , ,a b a b a a b b a b a b b a

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Con lo cual comenzamos a ver la utilidad de la definición dada. La cual se completa con el

siguiente teorema.

Teorema

, ,

a a

a b a b

b b

Dem. , , ,a b a a b y , , ,a b a a b

Si ,a b a b a es un conjunto unitario que por hipótesis es igual al

conjunto , , ,a b a a b y por lo tanto este último también debe

serlo. De donde se desprende que ,a a b a b

En este caso tenemos que ,a b a , ,a b a y como por

hipótesis ambos pares ordenados son iguales tenemos que:

a a a a a a

Como en este caso a b y ya vimos que a b , entonces b b

Si , , ,a b a b a a b es un conjunto con dos elementos. Como por

hipótesis , , , ,a b a b a a b este último conjunto también

tiene dos elementos. Así que a b

Ahora: Como , pues a a b a b a a a a

También , , ,a b a a b teniendo en cuenta que ,a b a ya

que en este caso a b , podemos afirmar que , ,a b a b

,b a b Además a b a a b a .

En consecuencia b b

A cargo del lector.

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Definición

Consideramos los conjuntos A y B. Llamamos producto cartesiano A por B al

conjunto formado por todos los pares ordenados de primera componente en A y

segunda en B. Lo anotamos A B .

Así que , /A B x y x A y B

Ejemplos

1) Si , , y ,A a b c B d e

Entonces , , , , , , , , , , ,A B a d a e b d b e c d c e

2) 0 ,0 / 1 1, /x x y y

3) Siendo , y ,a b c d dos intervalos cerrados de reales

, , , /a b c d x y a x b c y d

Representar gráficamente los conjuntos de los ejemplos 2) y 3)

Ejercicios

1) Siendo 1,2,5,7 , 1,3,4 , 2,3,9 y 1,3,7A B C D Hallar:

i) A B C D ii) A B C D iii) B C D A D

2) Demostrar:

i) Si ,A B A B A B B A

ii) A B A B

iii) A B C A C B C

iv) A B C A C B C

v) A B C A C B C

Nota

Dados los conjuntos A,B y C llamamos producto cartesiano o simplemente producto

de A,B y C (anotando A B C ) al conjunto A B C . Cada uno de sus elementos

recibe el nombre de terna ordenada.

La notación A B C para el producto de tres conjuntos podría hacernos pensar que

A B C A B C Lo cual no es cierto pues los elementos del primer conjunto

Page 19: Teoria Ingenua de Conjuntos

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son pares ordenados de la forma , ,x y z y los del segundo , ,x y z .No obstante

no se hace distinción entre , ,x y z y , ,x y z Un desarrollo más detallado nos

permitiría ver que ambos pares ordenados a pesar de ser distintos se comportan como

si fueran iguales. Más adelante intentaremos aclarar este hecho.

De manera similar pueden definirse productos cartesianos con más de tres factores y

por lo tanto de enupla (también puede escribirse n-pla)

Ya que estamos con las notaciones, escribiremos nA en lugar de factores

...n

A A A

Bibliografía consultada para elaborar este material.

“Introducción a la teoría de conjuntos” de Lia Oubiñas por Editorial Eudeba

“Conjuntos, relaciones, funciones y lógica” de Franco, Olave, Ochoviet y Tosetti

Apuntes elaborados en el 2010 en el marco del departamento de matemática del IPA

Responsable

Daniel Siberio Marzo de 2012