Teoria de Conjuntos2 (1)
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Matemticas Discretas- FISI 2014-I Daniel A. Quinto Pazce
FISI Daniel A. Quinto Pazce
1
1
Teora de Conjuntos
CONJUNTOS:
Es una coleccin de objetos del mismo tipo.
A={a, b, c, d}
a A pertenencia
a A no pertenencia
DETERMINACIN:
a) POR EXTENSIN:
Cuando se nombran cada uno de sus elementos.
A={1, 2, 3, 4}
B={gato, perro}
C={rosa, clavel, margarita}
D={tringulo, cuadrado}
E[3]={5, 6, 7}
M[3][2]={{5, 6}, {1, 2}, {3, 4}}
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b) COMPRENSIN:
Cuando se expresa la propiedad o caractersticas
de los elementos.
A={Los animales domsticos}
B={Las figuras geomtricas}
C={ 75/ xZx }
D={1
1/
2
x
xNx }
E={2
/x
xNx }
CLASES DE CONJUNTOS
a) Conjunto finito:
Es el conjunto cuyos elementos se pueden
contar.
A={La provincia de Lima}
B={b1, b2, b3, ., bn}
E=n
i
iA1
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b) CONJUNTO INFINITO
Es el conjunto cuyos elementos son imposibles
de contar.
A={Las estrellas del firmamento}
B={La arena del desierto}
E=1i
iA
c) CONJUNTO VACIO
Es el conjunto que no tiene elementos.
A={}
A=
Todo conjunto vacio es subconjunto de
cualquier Conjunto.
CARDINAL DE UN CONJUNTO
Es el nmero de elementos del conjunto
n(A) = card (A)
A={ a, b, c, d}
n(A) = 4
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4
4
SUBCONJUNTOS
Son relaciones de inclusin.
BA o
A es subconjunto de B
A est incluido en B
A est contenido en B
A={Los meses del verano}
B={Los meses del ao}
BA
todo E
A Ejemplo 1: Generar todos los subconjuntos que
sea los vrtices adyacentes, en una figura
geomtrica del trapecio A, B, C, D con
interseccin de los diagonales en E.
E1={AB, AD, AE}
E2={BA, BC, BE }
E3={CB, CD, CE }
E4={DA, DC, DE}
E5={EA, EB, EC, ED}
A
CD
E
BA
-
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5
Ejemplo2: Hallar el nmero de subconjuntos que
sean cuadrilteros.
E1=para 1 fig.{a, e, f} =3
E2=para 2 fig.{bc, ef,} =2
E3=para 3 fig.{bcd,} =1
E4=para 4 fig.{abce} =1
E5=para 5 fig.{} =0
E6=para 6 fig.{abcdef}=1
Total = 8 subconjuntos
Ejemplo3: De una pila de 4 cubos donde cada
cara tenga distinto color; hallar todos los
subconjuntos de dicha pila de cubos cuyas caras
opuestas tenga distinto color, los colores son:
Verde (V), Rojo( R),, Amarillo (A ) y Blanco( B).
Un caso: E1= {VA, BR, BV}
ab
dc
e f
RAV
V
B
B
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6
DIAGRAMAS
1.- DIAGRAMA DE VENN EULER
(A B) U C = {d, x, w}
2.- DIAGRAMA SAGITAL
B
A C
a d y x w
b
1X2X
1 2X X1
X2
X3
X1
3
2
-
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3.- DIAGRAMA DE HASSE
4.- MEDIANTE EL DIAGRAMA DEL RBOL
ARBOL DE (DEWEY)
E1 E2
E3
E4 E5
A
B C
D E F G
1
1.1 1.2
1.1.1 1.1.2 1.2.1 1.2.2
B C
A
D E F G
-
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NOTACIN DEWEY
1A
1.1.B
1.1.1.D
1.1.2.E
1.2.C
1.2.1F
1.2.2.G
NOTACIN VECTORIAL
A ( B ( D, E), C ( F, G ) )
A B D E C F G CADENA
NOTACIN IDENTADA:
A
B
C
D
E
F
G
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9
DIAGRAMA DE VEITCH
E
E1 1E
E2
21 EE = 1 2E E EXOR
1 2 1 2 2 1 1 2
1 2 1 2 2 1
E E E E E E E E
E E E E E E
EXOR = 21 EE
EXNOR= 2121 EEEE = 1 2E E EXOR
NOTA 2 1 2 1E E E E ,
2E
0
1
2
3
2E
E2
1E
E1
E1 E2
-
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10
10
21 EE 1E 2E 21 EE
1E
2E
E1 E2 S
0 0 0 0
1 0 1 1
2 1 0 1
3 1 1 1
E1 E2 S
0 0 0 0
1 0 1 0
2 1 0 0
3 1 1 1
0
1
2
3
2E
E2
1E
E1
E1
E2
0
1
2
3
2E
E2
1E
E1
E1 E2
-
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11
A 2E
E1E2 = 2 1 2 1E E E E
+
E1E2 = 2121 EEEE
E1 E2 S
0 0 0 0
1 0 1 0
2 1 0 1
3 1 1 0
E1 E2 S
0 0 0 0
1 0 1 1
2 1 0 1
3 1 1 0
0
1
2
3
2E
E2
1E
E1
E1 E2
-
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12
12
2E
A partir del grafico obtener el EXOR
1 2 3 1 2 3E E E E E E
= EXOR
31 EE 32 EE
1E 1E
2E
3E 3E 3E
-
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13
Ejercicio
Represente mediante el diagrama de VEITCH
a) 21321321 EEEEEEEE
b) 321 EEE Exnor
EXNOR
DIAGRAMA DE KARNAUGHT
Formacin de la tabla de Karnagut, para simplificar
a)
A B S
0 0 0
1 0 1
2 1 0
3 1 1
0
1
2
3
B B
A
A
A
B
Posicin decimal
En la tabla de
Karnaught
-
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14
14
b)
A B C S
0 0 0 0
1 0 0 1
2 0 1 0
3 0 1 1
4 1 0 0
5 1 0 1
6 1 1 0
7 1 1 1
REGLA PARA SIMPLIFICAR
Para hacer el crculo
1. QUE SEA SIMTRICO Y MLTIPLO PAR
Para simplificar, buscar el comn de:
2. HORIZONTAL Y VERTICAL SIMULTANEO
BA
AB C
AB
BA
C
AB
C
__
0 1
2 3
4 5
6 7
Posicin decimal
En la tabla de
Karnaught
-
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15
15
c)
A B C D S
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
2 0 0 1 0
3 0 0 1 1
4 0 1 0 0
5 0 1 0 1
6 0 1 1 0
7 0 1 1 1
8 1 0 0 0
9 1 0 0 1
10 1 0 1 0
11 1 0 1 1
12 1 1 0 0
13 1 1 0 1
14 1 1 1 0
15 1 1 1 1
CD AB CD
AB
AB
BA
BA
CD DC DC
1 0 2 3
7
9
6
10
4 5
8 11
12 13 14 15
Posicin decimal
En la tabla de
Karnaught
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Ejemplos
a)
Simplificar
ABBABAS
Por Propiedades
BAS
BBAAABS
ABBAABBAS
b)
CAS
A B S
0 0 0 0
1 0 1 1
2 1 0 1
3 1 1 1
1
1
1
B B
A
A
A
B
1 1 1 1
1 1
BC
A
A
BC
A
CB CB CB
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c)
CDCDBS
BCDCDBS
d)
CABBDAZ
1
1
1
1
CD AB CD
AB
AB
BA
BA
CD DC DC
1 1
1 1
CD AB CD
AB
AB
BA
BA
CD DC DC
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Simplificar
SOLUCION S = A + CD
A B C D S
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 1
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
CD
AB
CD CD CD CD
AB 1
AB 1
AB 1 1 1 1
AB 1 1 1 1
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CONJUNTOS EQUIPOTENTES:
Cuando existe una biyeccin del uno sobre el otro y
tiene el mismo nmero de elementos.
A={a, b, c}
B={1, 2, 3}
a
b
c
1
2
3
A B
-
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20
LEY DE MORGAN
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
AA
AA
BABA
BABA
11
11
CONJUNTO POTENCIA (DE LAS PARTES)
Sea los subconjuntos 1 2, ,.... NA A A que forman
conjunto potencia de A.
Si, /A X X A , donde X P A
n(P(A))= 2n subconjuntos o elementos
Ejemplos
1) Sea A={A1}, 21=2 subconjuntos
P(A)={ , {A}}
2) Sea A={A1, A2}, tiene P(A) 22=4
subconjuntos
A1
-
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21
21
A1 A21
A31
A1,A2,A3
A2,A3 A1,A2
A1,A3
P(A)={ , {A1}, {A2}, {A1, A2}}
3. Sea A={A1,A2,A3} , P(A) tiene 23 = 8
subconjuntos.
1A
1 2A A
2A
-
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1. Sea A={A1,A2,A3, A4} , P(A) tiene 24 = 16
subconjuntos.
P(A)={ , {A1}, {A2}, {A3}, {A4}, {A1, A2},
{A1, A3}, {A2, A4}, {A3, A4}, {A1, A4}, {A2, A3,
A4}, {A1, A2, A4}, {A1, A2, A3}, {A1, A3, A4}, {A1,
A2, A3, A4} }
A1
A4 A3 A2
A3A4
A1A
2 A
3 A4
A1A
2
A1A
3
A1A
2 A
3
A2A
4
A2A
3 A
4
A2A
3
A1A
4
A1A
2 A
4
A1A
3 A
4
-
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RECUBRIMIENTO DE CONJUNTOS
Se dice que los subconjuntos A1, A2, A3, A4 forman
un recubrimiento del conjunto
Si
a) n
i
iAA1
b) ji AA
c) ji AA
Ejemplo
Dado el conjunto A={a, b, c, d, e, f, g}, formar 4
recubrimientos.
A1={a, c, d, e}
A2={b, c, d, e, f, g}
A3={a, b, c, f, g}
A4={b, c, d, e, g}
A5 A4
A1
A2
A7
A7
An
A3
A
-
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Ejemplo:
Sea A={0, 1, 2, , n}, formar 3 recubrimientos
A1={1, 3, 5, } impares
A2={1, 2, 3, 5, 7, } primos
A3={0, 2, 4, 6, } pares
PARTICIN DE CONJUNTO
Se dice que los subconjuntos A1, , An forman una
particin del conjunto A
Si
a) n
i
iAA1
b) ji AA
c) ji AA
A1
A2
An
A3
A
-
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CONJUNTO ORDENADO
Se dice que los subconjuntos A1, A2, ,, An forman
un conjunto ordenado, si sus elementos admiten un
valor posicional o direccin Interna Ej. El sistema de
codificacin. ASCII, el sistema de cdigo Hamming,
cdigo de Aiken, cdigo de Gray, etc.
A1={0, 1, 2, 3, 4, , 100}
A2={a, b, c, d, e, , z}
As={(a1, a1), (a1, a2), (a1, a3), (a2, a2), (a2, a3), (a3,
a3), (a4, a1), (a4, a2), (a4, a3), (a4, a4) }
a1 a2
a4 a3
-
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CONJUNTO BIEN ORDENADO
Se dice que los subconjuntos {A1, A2, A3, , An}
forman un conjunto bien ordenado si sus elementos
admiten una relacin mnima y una relacin mayor.
Ejemplo:
Sea A1={a1, a2, a3, a4, a5}, Encontrar todos los
elementos menores de la cadena: a5, a3, a4, a1, a2
1.MATRIZ DE ELEMENTOS DESORDENADOS
subconjuntos desordenados:
a1 a2 a3 a4 a5
a4
a2
a3
a4
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2.DIAGRAMA SAGITAL DESORDENADOS
3.MATRIZ CON SUBCONJUNTOS BIEN
ORDENADOS
4.DIAGRAMA SAGITAL DEL SUBCONJUNTO BIEN ORDENADO
a5 a3 a4 a1 a2
a1
a1 a1
a1 a1
a5 a3 a4 a1 a2
a1
a3
a4
a2
-
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5.TODOS LOS ELEMENTOS MENORES:
a2 es el elemento menor del subconjunto A
a1 es el elemento menor de A-{a2}
a4 es el elemento menor de A-{a1, a2}
a3 es el elemento menor de A-{a4, a1, a2}
a5 es el elemento menor de A-{a3, a4, a1, a2}
FIN DE LA CLASE
Ejercicio:
a)Sea el conjunto A1={a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8}
Hallar su grafo con todos los elementos menores de.
a7, a6, a4, a1, a2, a3, a5, a8
b)Sea el subconjunto A1={a4, a1, a3, a4, a6, a2, a5},
encontrar todos los elementos menores.
c) Por el diagrama de Hasse de particin de una
matriz 5x5,se pide encontrar todos los elementos
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29
menores de la concatenacin de la cadena de
subconjuntos de A5 A7 y A2 A1.
CADENA IDENTIFICADA: DE LA MATRIZ
A5, A4, A1 , A3 , A7 A2, A6, con la concatenacin se logra:
A5, A4, A1 , A3 , A7 , A2, A6 1. MATRIZ DE ELEMENTOS
DESORDENADOS
5 5 6 6 2
5 4 7 6 3
5 4 1 3 2
2 6 3 3 7
2 2 4 7 7
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30
2.GRAFO CON DEL DIAGRAMA SAGITAL
DE SUBCONJUNTOS DESORDENADOS
3.MATRIZ DE ELEMENTOS ORDENADOS
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31
4.DIAGRAMA SAGITAL DEL
SUBCONJUNTO BIEN ORDENADO
5.TODOS LOS ELEMENTOS MENORES BIEN
ORDENADOS:
A6 es el menor de los subconjuntos de A
A2 es el menor de los subconjuntos de A-{ A6 } A7 es el menor de los subconjuntos de A-{ A2, A6 }
A3 es el menor de los subconj. de A-{ A7, A2 ,A6}
A1 es el menor de los subconj. de A-{ A3, A7 ,A2, A6}
A4 es el menor de los subconj. de A-{ A1, A3, A7 ,A2, A6}
A5 es el menor de los sub. de A-{ A4,A1, A3, A7 ,A2, A6}
-
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32
d) Determine todos los elementos
menores de la relacin sombreada.
b c e e c b d a f
OTROS EJERCICIOS
Se utiliza 4 lneas de entrada A, B, C, D para representar un nmero binario de 4 dgitos
de ceros y unos, con A como el digito ms significativo y D el menos significativo,
Disear un modelo lgico a travs de compuertas lgicas, cuyas salidas de la funcin
produce 1 solo cuando el numero binario sea mayor que la secuencia 0110. (Use el
diagrama de Karnaught para simplificar) y disee un chip de un sumador completo de 8
bits de 4 entradas para la ALU de un procesador en base de semisumadores.
Solucin:
-
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33
TABLA DE VERDAD
A B C D S
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
-
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34
34
( )
( )
(1 1 1 1)
( )
.
0
S ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD
S ABCD A BCD BCD BCD BCD BCD BCD BCD BCD
S ABCD A BCD BCD BCD BCD BCD BCD BCD BCD
S ABCD A
S ABCD A
S A BCD A
S A A ABCD
S ABCD
S ABCD
S A BCD
-
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35
35
OTROS EJERCICIOS
1. Utilice el diagrama de Venn Euler para
demostrar:
a) 1AA
b) 0.AA
2. Disear un modelo lgico de conjuntos
de tres entradas A, B, C que tenga
como salida 1 slo cuando la mayora
de ellos sea tambin 1. a) BDADBAZ
BAZ
DDBAZ )(
1
A
1
A
1
A
1
A
-
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FISI Daniel A. Quinto Pazce
36
36
b) ))(( BABAZ
BZ
AABZ
BABBAZ
BABBAAZ
)1(
))(())((
c) BCDAACDZ
)(
)(
))((
)(
BACDZ
BACDZ
BAACDZ
BAACDZ
d) )(ACBAABCZ
)(
))(()(
)(
BCAZ
BBBCACBBBCAZ
CBABAABCCABAABCZ
e) CBACABABCZ
)(
)())((
)(
)(
BCAZ
CBACBCAZ
CBCACABACZ
CABBBACZ
f) CBACDBABDACAZ )(
)(
)(
)(
BCDACBZ
CBCDACBZ
CDBADCACBACBAZ
CBACDBADBACAZ
-
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FISI Daniel A. Quinto Pazce
37
37
g) )))((( BCBAZ
BCZ
ABCBCACBZ
BBCACZ
BCBABCBAZ
)1(
)(
))(())((
3. Disear un modelo lgico de conjuntos
de tres entradas A, B, C que tenga
como salida 1 slo cuando la mayora
de ellos sea tambin 1.
A B C S
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0 1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
BA 1
1 1
1
AB C
AB
BA
C C
AB
BCCBAS )(
-
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FISI Daniel A. Quinto Pazce
38
38
4. Se utiliza cuatro lneas de entradas A,
B, C, D para representar un nmero binario de cuatro dgitos de {0,1} en A
como el dgito ms significativo y D
como el dgito menos significativo.
Disear un modelo de conjuntos cuya
salida produce 1 slo cuando el nmero
binario sea mayor que la secuencia 0110.
A B C D S
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
BCDAS
1
1 1
1
1 1
1
1
1
CD AB CD
AB
AB
BA
BA
CD DC DC
-
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FISI Daniel A. Quinto Pazce
39
39
5. Simplificar mediante el mapa de
Karnaught.
a) CBAABCBCACBAZ
b) DABCABCDDCABCDABZ
C C
BA
BA
AB
AB
AB
C
CZ
CD DC CD DC
BA
BA
AB
AB
AB
CD
ABS
-
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40
40
c) ABCDDCABBCDADCBAZ
d) DCBADABCDCBACDABZ
e) CDBADBCADCABCDABZ
CD DC CD DC
BA
BA
AB
AB
AB
CD
BDS
CD DC CD DC
BA
BA
AB
AB
AB
CD
DAS
-
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41
41
e) DABCABCDDCABCDABDBCABCDADCBACDBAZ
6. A partir del diagrama de Veitch:
a) 1E
CD DC CD DC
BA
BA
AB
AB
AB
CD
)( ADADBS
CD DC CD DC
BA
BA
AB
AB
AB
CD
BS
E1 E2
-
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42
42
b) 2E
c) 21 EE
d) 21 EE
e) 21 EE
f) 21 EE
-
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43
43
g) 21 EE
h) 21 EE
i) 21 EE
j) 21 EE
k) 21 EE
l) 21 EE
-
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44
44
1E 1E
2E
3E 3E 3E
2E
7. A partir del diagrama obtener:
a) 31 EE
b) 32 EE
c) 321 EEE
-
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45
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CREACION DE CONJUNTOS
INICIO
A = [ ];
Para ( i = 1; i 10; i++)
Hacer
A = A + [ i ];
Fin
Escribir (A);
FIN A = {1, 2, 3, 4, 5, ..10}
ELIMINACION DE CONJUNTOS
INCIO
A = [1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ];
Para ( i = 1; i 10; i++)
Hacer
A = A - [ i ];
Fin
Escribir (A);
FIN A = [ ]
FIN DE LA PRCTICA