152

Indikator Hasil Belajar

1. Memahami konsep Fungsi Bloch

2. Menganalisis munculnya konsep pita

energi

3. Memahami pita energi dan energi

electron dalam atom

153

BAB VII

TEORI PITA ENERGI

A. Teori Pita Energi Dan Teorema Bloch

Daya hantar listrik (konduktivitas) zat padat merupakan salah satu besaran fisik

dengan selang harga yang terpanjang. Harga itu hampir meliputi 27, dari logam dengan

108 mho/m. sampai pada 1016 mho/m. tidak banyak besaran fisik yang mempunyai selang

harga sebesar itu. Pengklasifikasian zat padat berdasarkan daya hantar listriknya adalah

sebagai berikut.

1. Logam dan semi logam, dengan > 105 mho/m.

2. Semikonduktor, dengan antara 10-5 mho/m sampai dengan 105 mho/m.

3. Isolator dengan 10-5 mho/m

Secara umum untuk logam dan semi logam, tahanan jenis (resistivity : ohm)

meningkat dengan kenaikan suhu, Semikonduktor tahanan jenisnya menurun bila suhunya

dinaikkan, Isolator sama sifat perubahan tahanan jenisnya dengan suhu, tetapi tidak sekuat

semikonduktor. Hamburan komprehensif mengenai sifat listrik untuk tiga kategori zat padat

tersebut diatas, tentu sangan berfaedah.

Teori pita energi zat padat mengandaikan asumsi-asumsi sebagai berikut tentang

elektron dalam kristal :

a. Ada energi potensial periodik () yang tidak sama dengan hal didalam kristal

dengan keberkalaan kisi kristal

b. Fungsi gelombang () dibuat berdasarkan kisi yang sempurna, tidak mengenal

cacat geometrik, tidak mengenak ketidakmurnian, dan dimana dianggap bahwa

kisi tidak melakukan getaran termal.

c. Teori pita energi dikembangkan berdasrkan teori elektron tunggal, dimana

ditelaah perilaku satu elektron dibawah pengarah potensial periodik () yang

merepresentasikan semua interaksi, baik dengan ion-ion kristal, maupun semua

elektron lain.

d. Teori elektron tunggal berarti bahwa dapat dipergunakan persamaan

schroedinger untuk satu elektron :

154

2

20 2 (r) + v(r)(r) = (r)

e. Dengan ketentuan bahwa pengisian elektron status yang diperoleh

menggunakan distribusi Fermi-Dirac

Bloch mempelajari bentuk-bentuk solusi untuk persamaan Schoedinger elektron yang

berada dalam potensial berkala. Dalam penelahaanya itu potensial () merupakan

superposisi dari dua bagian :

a. Potensial berkala yang berasal dari kisi gugus-gugus atom

b. Potensial yang berasal dari semua elektron terluar atom-atom; dianggap bahwa

rapat muatan elektron-elektron termaksud mempunyai kerja rata-rata yang

identik untuk setiap sel satuan dalam kristal

Substitusi () yang diatas ke persamaan schroedinger untuk elektron tunggal memberikan

fungsi gelombang yang juga memiliki keberkalaan kisi :

() = ().

dengan () merupakan suatu fungsi yang yang juga memiliki keberkalaan kisi kristal

Metode Bloch ini dibahas secara sederhana, dengan menalaah suatu kristal linier

dengan ion-ion identik. Jarak antara ion-ion dalam kristal ini adalah a. Potensialnya

dinyatakan dengan v (x), sehingga energi potensial elektron adalah v(x). Sketsa tentang

potensial v (x) diberikan gambar 7.1:

Gambar 7.1 Potensial Kristal

155

Potensial v(x) mempunyai keberkalaan kisi dengan periode a, artinya untuk setiap haraga x

berlaku

V(x) = v(x+a)

Kita perhatikan persamaan schroedinger untuk satu elektron dalam potensial seperti diatas,

maka

2

20 2()

2+ v(x)(x) = (x)

Hal-hal berikut dapat disimpulkan mengenai solusinya:

a. Apabila (x) merupakan solusi persamaan Schroedinger untuk energi E, maka

mengingat bahwa v(x+a) = v(x), (x+a) juga merupakan solusi dengan energi E.

maka hubungan sederhananya yaitu

(x+a) = (x)

b. Apabila syarat batas siklus dari Born Von Karman diterapkan disini maka,

(x+Na) = (x) (x+Na) = N (x)

Untuk setiap harga x. Syarat batas siklus Born Von Karman menyatakan bahwa

harga akan berulang setelah N buah satuan. Maka mengingat butir a diatas:

N = 1 N = ei2n dengan n = 0, 1,2,.

Bataskan

k 2n/NA maka:

(x+a) = eika (x)

c. Untuk elektron yang bebas berlaku fungsi gelombang (x) = eikx

Karena v(x) 0 untuk potensial berkala kita, diinginkan pula suatu fungsi

gelombang yang mirip, yaitu :

(x+a) = eikx k(x)

dimana k(x) merupakan fungsi yang tidak berubahcepat dengan perubahan

Bagaimanakah sifat k(x)?

156

(x+a) = eika (x), menurut butir b

Tetatpi juga (x+a) = eik(x+a) k(x+a) menurut butir c

Oleh karena itu:

(x+a) = eik(x+a) k(x+a) = eixa eikx k(x)

dari mana dapat disimpulkan sifat k(x) yaitu dari :

k(x+a) = k(x)

d. Karena v (x) berharga riil, maka v(x) = v(x)

2

20

2

2 + v(x)(x) = E(x)

2

20

2

2 v(x)(x) = E(x)

Untuk setiap E senantiasa ada dua fungsi gelombang yang memenuhi persamaan

Schroedinger, yaitu *(x) dan (x). Untuk k = 0 0*(0) = 0(x),

karena *= = 1

(x) = eikx k(x)

* (x) = e-ikx k*(x)

sehingga

E(k) = E(-k)

e. Vektor gelombang k dan vektor kisi resiprok mempunyai dimensi dan ukuran

yang sama. Untuk kristal linier dengan jarak anatara tetangga terdekat sebesar a,

berlaku G.a = m 2 ; m = 0.1, 2, . . .

G = 2m/a

andaikanlah ada suatu elektron state dengan vektor vektor gelombang sebesar G,

maka dpat ditulis bahwa :

G(x+a) = eiGa G(x) = Gx)

Andaikan sekarang bahwa suatu elektron state mempunyai vektor gelombang :

k' = G + k

157

dengan G suatu vektor kisi resiprok, dan k suatu vektor gelombang yang lain.

Maka,

k(x+a) = ei(G+k)a k(x)

= eiGa eikak(x)

= eika k(x)

Ungkapan diatas menyatakan bahwa k(x) memenuhi teorema Bloch seolah-olah

vektor gelombangnya k. karena memenuhi hubungan diatas sesuai dengan butir b

adalah fungsi gelombang k(x)

k(x+a) = eika k(x)

Bagaimanakah dibataskan secara tunggal (unique) vektor gelombang suatu

elektron state?

Diketahui bahwa Gm = 2m/a, sedangkan :

k = Gm + k, jadi

k = 2m/a + k

Dibataskan letak k dalam daerah antara k = -/a dan /a, semua harga yang lain

dapat dikembalikan ke daerah /a k -/a tersebut. Selang ini dinamakan

daerah Brilloun Perrtama.

Teorema Bloch untuk satu dimensi,menyatakan ciri-ciri fungsi gelombnag untuk

suatu potensial berkala dalam ruang satu dimensi. Hal ini dapat diluaskan untuk ruang

dimensi tiga, jadi berlaku umum.

Teorema Bloch hanya menyatakan sifat (x), dan tidak menyelesaikan persamaan

schroedinger untuk elektron dalam suatu zat padat

B. Model Kronig-Penney

Model Kronig-Penney (1930) yang menelaah perilaku elektron dalam kristal linier

sederhana, memberikan ciri-ciri yang pokok tentang perilaku elektron dalam potensial yang

periodik. Modelnya sangat sederhana, tetapi essensi tentang gerak eleketron dalam potensial

berkala.

158

Pandang potensial periodic seperti pada gambar 7.2

Gambar 7.2 Potensial Periodik

V(x) mempunyai periode (a+b) , dengan perincian potensial sebagai berikut :

V = 0 didaaerah 0< x < a

V = v0 didarah b < x < 0

Persamaan Schroedinger untuk elektron tunggal adalah sebagai berikut :

2

20 2

2= (x) ; didaerah 0 < x < a

2

20 2

2+ V0(x) = (x) didaerah b < x < 0

Kita membatasi diri pada solusi dengan energi e < v0. Untuk dapat menelaah selajutnya kita

bataskan dua bilangan riil, dan :

2 20

2 , dan 2

20(0+ )

2

Teorema Bloch dapat diterapkan dengan solusi berbentuk :

(x) = eikx k(x), s

sehingga persamaan Schroedinger diatas menjadi :

2k2

+ 2ik x

+ (2 + k2)k

= 0 ; 0 < x < a

2k2

+ 2ik x

(2 + k2)k

= 0 ; -b < x < 0

159

yang mempunyai solusi

1 = A ei(-k)x+Bei(+k)x

2 = C e(-ik)x+De-(+ik)x

dengan A, B, C, dan D tetapan. Tetapan tetapan tersebut harus dipilih sedemikian rupa

sehingga :

I (0) = 2 (0) I (a) = 2 (-b)

I (0) = 2 (0) I (a) = 2 (-b)

Perangkat + persamaan diatas memberikan solusi hanya apabila determinan dari koefisien A,

B, C, dan D sama dengan 0. Penyelesaian determinan tersebut mempersyaratkan bahwa:

22

2sinhb sina + coshb cosa = cos k(+)

Untuk menagnani hal tersebut terutama menyederhanakannya, Kronis-Renney mengambil

kedaan dimana potensial penyekat (tinggi v0 dan lebar b) merupkan fungsi , dengan v0

menuju : dan b menuju 0, tetapi v0b = berhingga

Untuk keadaan sedemikian syarat bahwa determinan sama dengan 0, menjadi

(00

2) sina + cos a = cos ka

Dengan betanian (00

2), persamaan tersebut menjadi

+ cos a = cos ka

Hal mana secara grafik digambarkan dalam sketsa pada gambar 7.3

160

Gambar 7.3

dalam grafik diatas lengkung yang terlihat menggambarkan

sina + cosa sebagai fungsi

dari a, dan pula tertera dengan dengan garis putus-putus, harga maksimum yang dapat

dimiliki oleh cos ka adalah +1, sedangkan harga minimum yang dapat dimiliki oleh cos ka

adalah -1. Sehingga secara grafis dapat diperoleh daerah-daerah a untuk mana ada solusi

untuk :

sina + cosa = cos ka

dan daerah-daerah dimana tidak ada solusinya. Daerah untuk mana

sina + cosa = cos ka

Tidak mempunyai solusi, adalah daerah terlarang, daerah dimana persamaan

schroedinger tidak memberikan solusi (x). Energi yang sesuai dengan daerah a yang

terlarang itu, merupakan pula harga energi yang terlarang.

Dari gambar dapat ditarik kesimpulan-kesimpulan penting berikut:

a. spektrum energi elektron terdiri dari beberapa pita energi (daerah energi) yang

diperkenankan dan beberapa terlarang.

b. Lebar pita energi yang diperkenankan bertambah lebar dengan meningkatnya harga

a, jadi dengan energi yang meningkat.

c. Lebar pita energi tertentu yang diperkenankan mengecil apabila P bertambah,

artinya mengecil apabila energi ikatan makin naik.

161

Apabila P , maka hanya ada solusi apabila sina = 0, artinya a = n

karena =22

20 , maka

=22

2022, apabila P ini sama dengan enerhi partikel dalam kotak potensial.

Daerah pita yang diperkenankan dan yang dilarang diperlihatkan dalam gambar 7.4, untuk

elektron bebas v(x) 0, maupun elektron dalam potensial berkala satu dimensional

Gambar 7.4 Zone Brilioun dan Pita Energi

Model Kronig-Pnney meramalkan adanya pita-pita untuk harga energi elekron yang bergerak

dalam potensial berkala satu dimensional.

Elektron yang berada pada daerah zone Brillouin hanya mampu melakukan gerak

bebas pada daerah zone Brilloin tersebut. Kondisi inilah yang menghasikan pita-pita energi

yaitu merupakan kumpulan energi-energi elektron yang berada pada daerah yang diijinkan.

Anatar daerah-daearh energi yang diijinkan terdapat daerah energi yang tidak diijikan bagi

elektron untuk berada pada daerah energi tersebut, yang disebut energi gap.

Pita energi merupakan kumpulan elektron-elektron yang memiliki tataran energi yang

sama, sehingga lebih tepat dikatakan sebagai kelompok elektron dengan tataran energi yang

162

sama. Untuk menentukan kecepatan elektron dalam pita energi adalah lebih tepat

memperhitungkan dalam kecepatan kelompok yang dinyatakan dengan vg = d/dk dan E =

, maka kecepatan elektron dalam pita energi adalah

k

E1v

d

d

Kecepatan elektron dalam zone Brillouin pertama adalah berubah-ubah, seperti ditunjukkan

gambar 7.5.

v a

v = m/k

-/a 0 /a -/a /a

Gambar 7.5 Kecepatan Elektron Dalam Gambar 7.6 Percepatan yang dialami

Zone Brillouin Pertama Elektron Dalam Zone Brillouin

Gaya luar yang dialami elektron adalah F, usaha yang dikerjakan gaya tersebut adalah

Fv dt. Hasil ini mengubah energi elektron sebesar dE, sehingga dapat dituliskan F v dt = dE =

(dE/dk).dk. maka gaya yang bekerja pada elektron selama geraknya dalam Zone Brillouin

adalah

F = t

k

d

d

Gambar 7.5 dan gambar 7.6 menjelaskan bahwa dalam zone Brillouin saat harga k naik

kecepatan elektron mengalami kenaikan oleh percepatan tetap, tetapi begitu k mendekati

harga /a, elektron mengalami percepatan balik yang sangat besar sehingga kecepatan

elektron menjadi berlawanan arah dan begitu seterusnya sampai haga k mendekati harha -/a

elektron akan mengalami pembalikan arah gerak.

k k

163

Pada zone Brillouin kedua dilukiskan pada gambar 7.7 (a) dan (b) berikut.

a

v

-2/a -/a 0 -/a 2/a k -2/a -/a 0 /a 2/a

(a) (b)

Gambar 7.7 (a) Kecepatan elektron pada zone Brillouin kedua, (b) Percepatan elektron pada

zone Brillouin kedua

C. Pita Energi Dan Energi Elektron Dalam Atom

Dari model sederhana yang dipergunakan oleh Kronig dan Penny, diperoleh

gambaran tentang harga energi elektron dalam suatu potensial yang berkala. Ternyata bahwa

diperoleh daerah-daerah energi yang boleh dimiliki oleh elektron (pita yang diperkenankan)

dan daerah-daerah yang tidak diperkenankan untuk energi elektron. Yang terakhir ini

dinamakan pita-pita yang terlarang.

Gambar 7.4 merupakan pola harga energi elektron untuk sistem dengan potensial

berkala adalah keadaan antara model elektron bebas dan kotak potensial. Polanya terletak

antara harga energi elektron dalam logam dan atom yang terisolasi.

Andaikanlah kita mempunyai suatu susunan atom inti terisolasi. Maka hal itu dapat

kita gambarkan sebagai kumpulan atom-atom dengan jarak antar atom yang tidak terhingga

besarnya. Dalam keadaan seperti itu energi elektron dalam setiap atom diskrit, dan

sesungguhnya atom-atom dalam keseluruhannya tidak merupakan suatu sistem fisik. Setiap

atom merupakan sistem tersendiri, tanpa interaksi dengan atom lain. Apabila kemudian atom-

atom tersebut saling diinterkasikan, maka interaksi antar atom terjadi apabila jaraknya cukup

dekat. Maka kerja energi elektron dalam atom-atom tersebut juga dipengaruhi oleh atom-

atom yang lain.

164

Dalam keadaan yang demikian itu atom-atom secara keseluruhan tersusun menjadi

satu sistem fisik dan harus mengikuti kaedah-kaedah yang menyangkut sistem fisik. Antara

lain larangan Pauli, bahwa dalam satu sistem tidak ada 2 elektron atau lebih kerja energi

yang tepat sama. Oleh karena itu terjadi pelepasan dari kerja diskrit energi elektron (atom

terisolasi) menjadi pita-pita kerja energi elektron. Hal tersebut hal tersebut digambarkan

dalam sketsa gambar 7.7.

Gambar 7.7 Tingkat energy Atom Terisolasi dan Pita Energi

Atom-atom yang terisolasi satu dengan yang lain memiliki banyak elektron statis

yang sama energinya (tetapi diskrit). Apabila atom-atom tersebut menyebar meliputi suatu

daerah kerja energi. Pada setiap pita tersedia sejumlah elektron states yang sama banyaknya

dengan elektron states pada atom-atom yang terpisah

D. Metoda Linear Combination of Atomic Orbitals

Metode LCAO adalah cara menghitung tingkat energi elektron dalam kristal dengan

menganggap bahwa elektron terikat kuat pada atom. Pendekatan ini sangat berbeda dengan

pendekatan elektron bebas. Dalam pendekatan elektron bebas diandaikan bahwa energi

potensial elektron karena tarikan atom hanya merupakan bagian yang sangat kecil saja dari

energi potensialnya. Atom-atom dianggap demikian berdekatan sehingga fungsi gelombang

elektron dari atom yang berdekatan saling tumpah tindih. Interaksi atar atom yang

bertetangga cukup besar, sehingga tingkat-tingkat energi elektron untuk kristal secara

keseluruhan sangat berbeda dari tingkat energi elektron dalam atom-atom masing-masing.

165

Untuk beberapa macam kristal pendekatan elektron bebas cukup memadai untuk

menerangkan sifat-sifat fisiknya; tetapi untuk berbagai kristal lain pendekatan itu kurang

memadai.

Pendekatan ikatan kuat (strong binding approximation), atau pendekatan LCAO

adalah pendekatan yang digunakan untuk menentukan energi elektron kristal. Pendekatan

ikatan kuat beranjak dari pandangan yang sangat berbeda dari model elektron bebas. Dalam

pendekatan ini energi potensial elektron merupakan bagian yang dominan dari energi

totalnya. Sedangkan harga energi elektron yang diperkenankan merupakan pita-pita yang

sempit apabila dibandingkan dengan daerah-daerah harga yang tidak diperkenankan.

Fungsi gelombang elektron dari pendekatan ikatan kuat didasarkan pada fungsi

gelombang elektron dalam atom yang terisolasi dan disusun dari fungsi gelombang elektron

yang dimaksud. Andaikan potensial untuk suatu atom terisolasi adalah )(rvo . Maka solusi

untuk energi elektron dalam atom untuk memenuhi persamaan schrdinger;

Ervm

o

o

)(2

2

dengan; )(r = fungsi gelombang elektron

E = energi elektron

He = )(2

2 rvm

o

o

Apabila sejumlah atom seperti di atas disusun menjadi susunan kristal, tetapi

sedemikian rupa sehingga harga potensial di daerah tiap atom dimana o cukup besar tidak

dipengaruhi terlalu banyak, maka fungsi gelombang elektron di dalam kristal secara

keseluruhan dapat ditulis sebagai:

n

non rrar )()(

Penjumlahan dilakukan melalui semua posisi atom nr dalam kristal.

166

Gambar 7.6 Posisi Atom Dalam Kristal

Jadi )(r untuk elektron di seluruh kristal merupakan kombinasi linear dari fungsi

gelombang atom-ataom yang lain di titik r itu.

Karena potensialnya periodik maka berdasarkan teori Qoch fungsi gelombang elektron dalam

kristal tertulis sebagai:

)()( . non

rki

k rrern

dengan;

drrrred nomo

n m

rrki

kkmn )()(*).(*

Seluruh kristal = N (jumlah ataom dalam kristal)

Karena drrrr nomo )()(* tidak nol apabila mn rr karena tidak ada variabel t.

Potensial kristal adalah W( r ), maka persamaan schrdinger untuk elektron tunggal

adalah:

)()()()(2

22

rErrWrm

kkk

o

dengan; )(rk adalah fungsi gelombang dalam kristal. Untuk selengkapnnya:

)(2

22

rWm

Ho

P

r

nr

nrr

Atom ke-n

O

167

Tetapi H dapat pula ditulis sebagai:

)()()(2

22

nono

o

rrvrWrrvm

H

disingkat; H=Ho+ 'H

Untuk jelasnya maka potensial-potensial di atas ditunjukkan oleh Gambar 7.6.

Gambar 7.6. Variasi energi potensial sebuah elektron

)( no rrv adalah potensial atom terisolasi di nrr

)(rW adalah potensial kristal; jadi paduan dari potensial atom-atom.

Persamaan Schrdinger menjadi:

)()( rErH kk

Atau selengkapnya:

)()(')( rErHrH kkko

darimana didapat harga ekspetasi energi:

drErNE kk )()(

1 *

drHrNdrHr

Nkkkok )(')(

1)()(

1 **

Evaluasi integral-integral di atas:

a.

n

noomo

m

rrki

kok drrHrreN

drHrN

mn )()(1

)()(1 *)(..*

Ho 'H

nrr )( no rrv

)(rW

nmoE

168

n

nmo

m

EeN

mrnrki

)(..1

n

oo EEN

1

b.

n

nomo

m

rrki

kk drrrreN

drrN

mn )(')(1

)(')(1 *)(..*

Misalnya disederhanakan, ialah bahwa integralnya tidak nol hanya untuk tetangga terdekat

saja. Maka penjumlahan di atas hanya meliputi n=m, dan hanya meliputi tetangga terdekat

saja, yang diberi indeks j, sehingga:

n

nomo

m

rrki drrHrreN

mn )(')(1 *)(..

n

nojo

n

mono drrHrredrrHrrN

mrnrki

)(')()(')(1 ** )(..

drrHrredrrHrr nojon

nono

jrnrki

)(')()(')( **)(..

Buktikan;

drrHrr nono )(')(*

drrHrr njo )(')(*

Maka energi elektron dalam kristal adalah:

j

rrki

okjneEE)(.

)('

jr adalah kedudukan atom-atom di sekitar atom 'nr

dan positif karena H itu negatif

Tidak nol hanya untuk tetangga

terdekat saja

169

E. Refleksi Bragg Dan Jurang Energi

Daerah terlarang untuk energi elektron yang bergerak dalam suatu kristal memisahkan

dua pita yang diperkenankan. Jarak energi yang memisahkan dua pita yang diperkenankan

dinamakan jurang energi.

Andaikanlah ada suatu kristal linier mono atomik, dan sutau elektron yang bergerak

dalam sistem tersebut. Sebagaimana yang diperoleh dari model Kronig-Penney, maka jurang-

jurang energi terjadi pada kerja k = n/2; n = 1, 2, . . .

Dalam pembahasan moda getar kisi, diperoleh bahwa untuk kristal linier diatomik

besarnya kecepatan kelompok (Vg = grand velocity) menjdai sama dengan nol, masing-

masing dibatas zona (k = /2a), untuk cabang akustik maupun cabang optik

Hal yang sejalan juga berlaku untuk elektron yang bergerak dalam potensial berkala

pada batas-batas daerah batas. Ditempat-tempat itu (dalam ruang k), fungsi Bloch merupakan

gelombang tegak dan bukan gelombang berjalan, karena elektron dengan harga k sedemikian

rupa memenuhi syarat difraksi Bragg. Bahwa:

= +

Karena || = ||, maka syarat bragg tersebut dapat dinyatakan juga sebagai

. + 2. = 0

Dikembalikan kepada kristal linier mono-atomik dengan jarak atom a, hal ini menjadi

k = G/2 = /a

gelombang yang dipantukan oleh dua atom yang bersebelahan berbeda fase : , sehingga

superposisi gelombang datang dan terpantul:

e(x) = e(x) [eix/a + e-ix/a]

e(x) = 2e(x) cos (x/a)

Rapat arus listrik untuk masing-masing kasus diatas :

a. e(x), genap

170

-e| e |2 = -e|2e|2 cos2 (x/a)

yang berharga maksimum pada setiap saat k = am, m merupakan bilangan bulat,

jadi pada setiap lokasi atom kolom kristal

b. e(x), ganjil

-e| e |2 = -e|2ie|2 cos2 (x/a)

yang berharga nol pada setiap lokasi atom dalam kristal linier

Oleh karena itu, maka suatu elektron dengan harga vektor gelombang k = /a, dapat

direpresentasikan sebagai:

a. Fungsi gelombang yang selama sebagian besar dari waktunya berada didekat inti

atom ( = ma), atau

b. Fungsi gelombang yang selama sebagian terbesar dari waktunya berada dalam

ruang di antara inti-inti atom(jauh dari inti atom).

Energi potensial v(x) berharga positif disetiap kedudukan atom, tetapi karena muatan elektron

berharga negatif, maka dengan mengingat hasil a dan b diatas, dibuat kesimpulan sebagai

berikut

a. Energi yang diperlukan untuk elektron yang direpresentasikan oleh e(x) lebih

rendah daripada untuk elektron yang direpresentasikan oleh a(x).

b. Jadi potensial berkala v(x) menciptakan pemisahan energi elektron di kotak zona,

k = /a, yang tidak dijumpai dalam elektron bebas

Penggunaanya dalam kisi kubik sederhana

Dalam setiap kisi kubik sederhana, setiap titik kisi mempunyai 6 tetangga terdekat,

sehingga.

)( jn rr : a i , -a i , a j , -a j , a k , -a k

Maka:

AkAkAkEkE zyxo coscos(cos2)(

Kesimpulan yang dapat diambil:

)(kE periodic terhadap k

171

Harga maks. (xjz) )(kE tergantung dari dari harga cosines, oleh karena itu:

6 odasar EE

6 opuncak EE

dasarE dan puncakE masing-masing harga energi elektron pada dasar dan pada

puncak dari pita energi.

Untuk harga k sangat kecil:

226)( kAEkE o

Karena:

!1cos

22

z

akAkx

F. Kecepatan Kelompok Dan Massa Efektif

Andaikanlah dari suatu elektron yang bergerak dalam kristal diketahui energinya

sebagai fungsi dari vektor gelombang k , jadi:

),,( zyx kkkEE

Kecepatan kelompok Vg dari suatu gelombang dalam kristal dapat diperoleh dari hubungan

dispersinya:

)(kVg k

dengan

zk

yj

xik

Gerak suatu elektron dalam kristal tersebut dapat divisualisasikan sebagai suatu paket

gelombang yng merupakan superposisi gelombang dari berbagai frekuensi . Kecepatan

kelompok paket gelombang tersebut adalah:

)(kVg k

Untuk elektron termasuk energinya dan frekuensinya terlihat melalui hubungan Planck

172

hE

sehingga diperoleh bahwa:

)(1

kEVg k

Oleh karena itu perubahan Vg

dengan waktu t adalah:

)(1

kEdt

d

dt

Vgdk

Perhatikanlah vektor zyxAkAjAiA

, maka.

dt

kdA

dt

dA

dt

dk

k

A

dt

dk

k

A

dt

dk

k

A

dt

dA

xkx

z

z

xy

y

xx

x

xx

.

Ini berlaku untuk setiap komponen vektorA

, oleh karena itu :

dt

kdA

dt

Adk .

Setiap komponen perkalian vektor tersebut memberikan hubungan seperti untuk dt

dAx di atas.

Diterapkan pada dt

Vgd, maka penerapan hubungan vektor di atas akan menghasilkan:

kdt

Vgd

1

Sedangkan gaya luar F

cari melalui hubungan energi waktu t

pada elektron adalah :

VgFE

karena

tFk

kEE k

Darimana diperoleh hubungan yang sangat penting dalam dinamika elektron dalam Kristal,

yaitu bahwa:

dt

kdF

173

Harus diingat bafwa F

disini adalah gaya luar. Oleh karena itu maka ungkapan untuk dt

Vgd

menjadi:

FEdt

Vgdkk ).(

12

Hubungan diatas mengkaitkan percepatan elektron dan gaya luar yang bekerja padanya, jadi

dengan menarik analogi dengan hokum II Newton dapat kita definisikan massa ffektip m.

)(11

2E

mkk

atau

12 )]([)( Em kk

Dari hubungan diatas terlihat bahwa

m

1 adalah dasar simetrik, artinya:

mm

11

Jadi apabila )(kEE diketahui maka diperoleh

m

1. Gaya-gaya pada medan kristalyang

berasal dari atom-atom tidak dianggap sebagai gaya luar

Untuk elektron bebas dalam ruang, maka:

)(2

)( 2222

zyx

o

kkkm

kE

Maka menurut apa yang diperoleh diatas, maka

ooxz mmm

1112

2

01

xym

Menurut kesetangkapan :

ozzyyxx mmmm

1111

,

174

sedangkan ozxyzxy mmmm

1111

Sehingga :

m

m

m

m1

00

01

0

001

1

Persamaan Newton dalam hal ini menjadi,

Fz

Fy

Fx

maz

ay

ax

o100

010

0011

Yang dalam hal ini menjadi hubungan vektor, yang memang telah dikenal.

Gerak elektron dalam suatu kristal kubik sederhana, khusunya apabila k

sangat kecil

terhadap 1/a; a = rusuk kubus.

)(6 2222 zyxo kkkaEkE

Terlihat bahwa

*

1

m tidak mempunyai elemen di luar diagonalnya;

Sedangkan elemen-elemen diagonalnya adalah 2

22

a, jadi,

100

010

00121

2

2

a

m

Massa effektipnya ternyata isotropic, oleh karena itu dapat dipresentasikan dengan scalar:

2

2

2 am

175

Kasus elektron bebas, massa elektron sama dengan mo. masa elektron tersebut

diperoleh ari energi elektron bebas

22

2)( k

mkEE

o

Pada kasus yang kedua, yaitu elektron dalam kisi kristal yang berupa kubik sederhana, massa

effektifnya sebagai yang diperoleh dari )(kEE , adalah:

2

2

2 am

Karena sifat dari fungsi E vs

k

, maka massa effektif itu adalah sebuah scalar. Dalam hal ini

massa effektip itu adalah sebuah scalar. Dalam hal ini massa effektip

m

tidak perlu sama

dengan mo . ini dapat diterangkan sebagai berikut. Pada saat dibuat intepretasi dari:

FEdt

Vgdkk ).(

12

Yang dianalogikan dengan hukum II Newton:

Fm

a1

Diandaikan bahwa F

yang menghasilkan perubahan dari vektor gelombang k

,

dt

kdF

, adalah gaya luar yang bekerja pada elektron. Dalam gaya luar ini tidak termasuk gaya-gaya

yang dialami elektron dalam kisi kristal. Gaya-gaya dari kisi kristal sudah diperhitungkan

penjarahnya dalam penetapan )(kEE

. Jadi apabila dt

Vgd

adalah percepatan elektron yang

teramati (disebabkan oleh gaya luar F

dan gaya medan Kristal), sedangkan F

hanya gaya

luar saja, maka didapatkan bahwa

m

bukan massa yang sesungguhnya (mo) dari oleh karena

176

itu dipergunakan istilah massa efektif. Jelas bahwa untuk elektron bebas m* = m0, karena

tidak ada gaya kisi yang bekerja pada elektron.

Gerak elektron sangat ditentukan oleh permukaan-permukaan dengan harga yang

tetap untuk energi dalam ruang (kx, ky, kz). Ini terlihat dari hubungan:

= 1

()

Apabila permukaan dengan harga energi tetap itu berupa permukaan bola, maka arah

dalam ruang (kx, ky, kz) adalah radial. Apabila permukaan berenergi tetap bukan

merupakan bola maka tidak radial. Ilustrasi tentang hal itu diterangkan pada Gambar 7.7

di bawah:

Apabila suatu elektron dalam kristal tidak dipengaruhi gaya luar, maka dia bergerak dalam

suatu lintasan yang lurus dalam ruang nyata dengan kecepatan tetap . Dalam ruang (kx, ky,

kz) hal tersebut dipresentasikan dengan satu vector yang tetap, tidak berubah dengan

waktu. Apabila terjadi hamburan, maka karena baik energy maupun vector gelombang dapat

berubah, representasi elektron itu dalam ruang - pindah dari satu kedudukan (mula) ke suatu

kedudukan yang lain (akhir).

Energy elektron dalam kisi yang berbentuk kubik sederhana:

() = 0 2(cos cos + cos )

Ky

Kx

E1

Vg

Ky

Kx

E1

Vg

Gambar 7.7 radial dan tidak radial.

177

ky

a

a

a

a

kx

Untuk menggambarkan permukaan dengan energy elektron yang tetap dalam ruang - , untuk

ka

178

Lengkung-lengkung dengan energy tetap dalam zona Brilloum, pertama yang digunakan

adalah adalah fungsi gelombang dasar dan hanya memperhitungkan interaksi tetangga

terdekat.

G. Pengaruh Medan Listrik Pada Kecepatan Elektron Dalam Kristal

Apabila elektron-elektron valensi dari atom-atom suatu kristal mengisi pita energi

hingga penuh, maka kristal tersebut adalah suatu isolator. Suatu medan listrik luar dalam

kristal tersebut tidak akan menghasilkan rapat arus muatan netto. Kemudian apabila pita yang

penuh itu terpisah dengan jarak dE yang sangat besar, maka tak ada jaln yang dapat ditempuh

untuk mengubah momen kristal elektron-elektron tersebut.

FPdt

d

merupakan persamaan dua Newton, yang dalam hal elektron dalam kristal sebaiknya ditulis

sebagai:

Fdt

kd

Di bawah pengaruh gaya luar

F , momen kristal

k senantiasa akan meningkat sampai harga

k tersebut mencapai batas done Brilloun pertama. Pada saat itu terjadilah overlap. Gerak

kemudian mulai lagi dari batas baru zone. Hal tersebut dapat dilihat pada gambar 7.9.

ky

a

a

t 0

Gambar 7.9 Pergerakan

k Pada Zone Brillioun Pertama

179

Telah diketahui bagaimana Vg beda batas zona untuk suatu kristal linier dalam ikatan yang

lemah antara elektron dan atom-atom Kristal ( model elektron bebas).

Diperoleh bahwa Vg = 0 untuk kx =

. Diinterpretasikan bahwa kolom ini bisa

berhadapan dengan gelombang tesah. jarak antara atom yang bersebelahan adalah a.

Jika energy elektron berbentuk:

() = 0 2[cos + cos + cos ]

Dalam pendekatannya dianggap bahwa elektron hanya searah dalam arah x, sedangkan baik

kordinat y maupun z tetap. Dalam hal ini bentuk fungsi di atas menjadi:

() = 0 2 [ + ]

Dapat disingkat saja:

() = 0 2 cos

Kecepatan kelompok dalam arah x:

() = 1

=

2

sin

Terlihat bahwa pada kx =

, energy elektron besarnya maksimum dan (Vy)x juga

sama dengan nol. Ini hanya dapat diinterpretasikan sebagai gelombang tejah di batas zona.

Saat elektron mencapai batas zona maka terjadi unklopp, dan elektron muncul di sisi

yang dihadapkan dalam batas zona. Apabila medan listrik luar dalam kristal cukup besar,

maka tidak mustahil bahwa ketika elektron sampai di batas zona (satu azimuth) kx =

,

k

x a

a

iE

0

a

a

kx

0

Gambar 7.10 Kecepatan Group Pada Zone Brillioun Pertama

180

elektron dapat meloncat ke pita yang lebih tinggi. Andaikanlah bahwa jurang energy itu

adalah sebesar E.

Andaikan pula bahwa medan listrik luar itu kuatnya dan kita berhadapan dengan

gerak elektron dalam kristal linier. .Di bawah medan luar, vektor gelombang kx akan

berubah dengan Kristal. Sedangkan pada grafik E(k) elektron berubah energinya sesuai

dengan lintasan. 0 A B C dst. Dalam erfended scheme, atau 0 A Al 0

A dst dalam reduced bone scheme.

Dalam ruang nyata (satu dimensi x) perjalanan sebagai fungsi waktu t dapat digambarkan

sebagai berikut.

a

a

2

a

a

30

)(kE

Ex

c

k

A B

C D

xo

x

t

0

Gambar 7.11 Reduced Bone Scheme

Gambar 7.12 Perjalanan Vs Waktu

181

Dalam kristal linier itu elektron hanya bolak-balik antara x=0 sampai x=x0 setiap kali

elektron berada dikedudukan x=x0 energinya berada pada puncak peta konduksi di mana

kemudian terjadi refleksi Bragg. Titik-titik O,A,B,C dst dalam grafik x=x(t) hanya

menunjukkan situasinya dalam grafik E=E(k).

Apabila kuat medan Ek cukup besar, maka dapat terjadi loncatan elektron ke pita yang

di atasnya. Perhatikanlah sketsa dibawah ini.

Apabila elektron di A memperoleh energy sebesar E maka elektron dapat meloncat dari pita

konduksi ke pita yang di atasnya (dari A All). Ini dapat terjadi apabila pada saat elektron

sampai di A, ia tidak dipantulkan tetapi berkesempatan menempuh jarak ekstra d, sedemikian

hingga :

=

Dalam hal seperti inilah terjadi loncatan dari A ke All. Ini diramalkan tunneling

(tuned=terowongan); syaratnya adalah bahwa: d

182

SOAL-SOAL LATIHAN

Kerjakan soal-soal latihan di bawah ini:

1. Jelaskan konsep massa efektif dari dua sudut pandang!

2. a. Jelaskan terjadinya struktur pita energy dalam Kristal!

b. Apa makna fisis struktur pita tersebut!

3. Jelaskan konsep kekosongan atau hole yang juga berperan dalam proses konduksi listrik!

4. a. Apa sifat (x) menurut teorema Bloch ! dan

b. Bagaimana perilaku elektron dalam kristal linier sederhana menurut model Kronig-

Penney!

5. a. Jelaskan pengaruh medan listrik pada kecepatan electron dalam logam!

b. Jelaskan terjadinya efek tunneling dan apa syarat yang harus dipenuhi agar efek

tunneling dapat terjadi !