Gambar 1. Pita energi

A. TEORI PITA ENERGI

Berdasarkan teori atom, diketahui bahwa suatu atom terdiri dari inti atom dan

elektron-elektron yang mengelilingi inti. Elektron yang berada pada kulit-kulit atom

ini memiliki tingkat-tingkat energi tertentu. Untuk tingkat-tingkat energi pada suatu

kristal dapat digambarkan dengan cara yang sama dengan atom tunggal. Interaksi

antar atom pada kristal hanya terjadi pada elektron di kulit terluar (elektron valensi),

sehingga tingkat energi untuk elektron pada kulit bagian dalam tidak berubah.

Berdasarkan azas Pauli, pada suatu tingkat energi tidak boleh terdapat lebih dari satu

elektron pada keadaan yang sama. Apabila terdapat lebih dari satu elektron pada

keadaan yang sama, akan terjadi pergeseran tingkat energi, sehingga tidak pernah

terjadi tingkat-tingkat energi yang bertindihan. Kumpulan garis pada tingkat energi

yang sama akan saling berhimpit dan membentuk suatu pita yang disebut sebagai

pita energi.

Gambar 1. Tingkat energi (a) pada atom tunggal (b) pada kristal

Sumber : http://blog.umy.ac.id/clasiccboy/2012/04/23/semikonduktor/

Pada sebuah atom tunggal elektron-elektronnya hanya boleh menempati tigkat-

tingkat energi tertentu seperti yang ditunjukkan oleh gambar 1 (a). Sedangkan untuk

kristal yang memiliki atom yang tersusun secara periodik dan teratur sehingga atom-

atomnya saling berdekatan. Hal inilah yang menyebabkan elektro-elektron yang

berada pada kulit terluar (elektron valensi) akan saling berinteraksi sehingga tingkat-

tingkat energinya akan saling berhimpit dan dianggap membentuk suatu pita energi

seperti pada gambar 1 (b).

B. JENIS-JENIS PITA ENERGI

Secara umum, pita energi ini akan terbagi menjadi 2 (dua) daerah besar, yaitu daerah

pita valensi (Valence Band) dan pita konduksi (Conduction Band). Atom-atom pada

daerah pita valensi terikat sangat erat dengan inti atom, sedangkan atom-atom pada

deerah pita konduksi mudah sekali terlepas dari inti atom.

Pada umumnya, antara pita valensi dan pita konduksi memiliki jarak tertentu yang

dikenal dengan istilah celah energi. Berdasarkan celah energi inilah sifat-sifat

material dapat dibedakan. Elektron-elektron tidak diperbolehkan menempati celah-

celah energi ini. Besarnya energi yang diperlukan untuk memindahkan elektron dari

pita valensi ke pita konduksi adalah sebesar energi pada pita terlarang.

3s

2p

2s

1s

Pita konduksi

Pita valensi

Celah energi

Gambar 2. Pita-pita energi pada atom natrium

Sumber : PPT Universitas Negeri Jakarta

Berdasarkan celah energinya suatu material dibagi menjadi tiga macam, yaitu :

1. Konduktor

Bahan yang bersifat konduktor ini biasaya berupa material logam dimana energy

gap (celah energi) nya saling tumpang tindih (overlap) sehingga atom-atom dari

pita valensi ini sangat mudah berpindah ke pita konduksi. Hal inilah yang

menyebabkan logam memiliki sifat konduktif (dapat menghantarkan arus listrik).,

dimana konduktivitas listriknya (σ) ≥ 105/Ωm. Gambar 3, mengilustrasikan pita

energi dan celah energi pada konduktor.

Gambar 3. Pita energi pada kondutor

Sumber : Dasar elektronika

2. Isolator

Untuk material-material non-logam ini biasanya memiliki celah energy yang

berjauhan sehingga atom-atom sulit untuk bergerak kea rah pita konduksi.

Sehingga material-material jenis ini memiliki sifat sulit untuk untuk

menghantarkan listrik atau isolator, dimana untuk bahan/material jenis ini

konduktivitasnya (σ) 10-5/Ωm. Berikut adalah gambar pita dan celah energi untuk

material isolator

Gambar 4. Pita energi pada isolator

Sumber : Dasar elektronika

3. Semikonduktor

Namun terdapat beberapa bahan/material yang memiliki celah energi yang

berdekatan. Oleh karena itu, pada kondisi normal atom-atom sulit bergerak ke

daerah pita konduksi sehingga bersifat isolator. Tetapi jika diberi sedikit

tambahan energi, atom-atom tersebut dapat bergerak ke daerah pita konduksi

sehingga menjadi bersifat konduktor. Untuk material/bahan jenis ini memiliki

konduktifitas listrik sebesar 10-5/Ωm ≤ σ ≥105/Ωm. Karena sifatnya yang

demikian, bahan/material tersebut dikenal sebagai semikonduktor. Gambar 5

menunjukkan ilustrasi dari pita energi dan celah energi yang dimiliki oleh bahan

semikonduktor.

Gambar 5. Pita energi pada semikonduktor

Sumber : Dasar elektronika

Material-material yang telah disebutkan sebelumnya, memiliki daya hantar

(konduktifitas) listrik yang berbeda-beda. Untuk dapat menerangkan sifat daya

hantar listrik zat padat diperlukan sebuah model. Model yang dikembangkan adalah

model elektron bebas terkuantisasi, namun pada model ini tidak dapat menjelaskan

rentang nilai konduktivitas listrik dari zat padat yang lebar. Pada model ini potensial

dari gugus ion diabaikan (V = 0).

Model yang kedua adalah model pita energi, dimana model ini dapat menjelaskan

rentang nilai konduktivitas listrik dari zat padat yang lebar. Pada model ini potensial

dari gugus ion tidak diabaikan atau terdapat potensial yang berkala pada suatu zat

padat. Namun ada beberapa hal yang harus diperhatikan pada model pita energi ini,

diantaranya :

Adanya energi potensial yang berkala (periodik) di dalam kisi kristal

Fungsi gelombangnya untuk kisi yang sempurna (tanpa vibrasi termal, cacat

geometri)

Merupakan teori elektron tunggal, hanya memperhatikan perilaku satu elektron

saja yang mana elektron ini dipengaruhi oleh potensial periodik yang

mempresentasikan semua interaksinya.

Menggunakan persamaan Schrӧndinger untuk mengkaji informasi yang ada pada

elektron tersebut dengan tetap mengikuti aturan distribusi Fermi-Dirac untuk

pengisian keadaan elektron. Persamaan Schrӧdinger untuk menjelaskan model

pita energi ini dituliskan pada persamaan berikut :

. . . (1)

Dimana pada persamaan (1) ini berlaku untuk koordinat bola. Persamaan yang

dapat digunakan untuk menguraikan bentuk dan sifat fungsi Schrӧdinger untuk

satu elektron dalam potensial berkala, adalah teorema bloch.

C. TEOREMA BLOCH

Persamaan Shrödinger untuk elektron yang bergerak dalam energi potensial yang

nilainya tetap (V 0 ) dan satu dimensi :

d2Ψ ( x )dx2 + 2m

ħ2 ( E−V 0 ) Ψ (x )=0 … (1)

Solusi untuk persamaan tersebut berupa gelombang bidang (datar) yang berbentuk :

Ψ ( x )=e±ikx . . . (2)

Dimana energi kinetiknya adalah : ( E−V 0 )=ħ2k2

2 m . . . (3)

Energi potensial dari V ( x ) ini bergerak secara periodik dengan periode sama dengan

konstanta kisi (a ).

V ( x )=V ( x+a ) . . . (4)

Solusi untuk persamaan Schrödinger diatas diatur oleh sebuah teorema, yaitu

teorema Bloch. Fungsi Bloch membuktikan perlunya teorema khusus untuk solusi

dari persamaan Schrödinger dengan  potensial periodik.

Ψ k (r )=uk (r ) e(ik .r ) . . . (5)

Dengan :

uk (r )=¿ periode kisi kristal, sehingga uk (r ) dapat dinyatakan dalam persamaan (6)

uk (r )=uk (r+T ) . . . (6)

Teorema Bloch :

“Fungsi eigen dari persamaan gelombang untuk suatu potensial periodik adalah

hasil kali antara suatu gelombang bidang e ik . r dengan suatu fungsi uk (r ) dengan

periode sifat kisi kristal.”

Fungsi Bloch berlaku ketika Ψ k tidak berdegenerasi, yaitu ketika tidak ada fungsi

gelombang lain dengan energi sama dan vektor gelombang sebagai Ψ k.

N merupakan kisi kristal pada lingkaran Na. Energi potensial dalam a, dimana

U ( x )=U ( x+sa ), dimana s adalah bilangan bulat. Maka solusi dari fungsi gelombang

adalah:

Ψ ( x+a )=CΨ ( x ) . . . (7)

Dimana C adalah konstanta, maka kejadian di sekitar lingkaran Na adalah:

Ψ ( x+ Na )=Ψ ( x )=CN Ψ ( x ) . . . (8)

Karena Ψ ( x ) harus bernilai tunggal.

C=ei 2 πs

N s=0 ,1 , 2 , …,N−1

Maka kita dapat melihat bahwa:

Ψ (k )=uk ( x )ei 2 πsx

Na . . . (9)

Dimana:

uk ( x )=uk ( x+a ), dengan k=2 πsNa

Fungsi gelombang elektron yang hampir bebas yang hampir bebas dinyatakan oleh :

Ψ k ( r )=U k ( r ) ei k . r . . . (10)

Fungsi Bloch merupakan teorema untuk menyelesaikan persamaan Shrödinger pada

potensial periodik

U k ( r+T )=U k ( r ) . . . (11)

Dimana : Ψ ( r+T )=f (T )Ψ ( r ) , untuk f (T )=eia (T )

Apabila : T=T 1+T 2

Maka : f ( T1+T 2 )=eia (T 1+T2 )=e

ia (T 1) . eia (T 2) , a merupakan fungsi (T 1+T2 )

Sehingga dapat dituliskan : a (T )=A T X+B T Y+C T Z

Jika k=A X+B Y +C Z dan T=T X X+T Y Y +T Z Z , maka :

k . T=A T X +B T Y+C T Z . . . (12)

Sehingga: (T )= k .T , maka: Ψ (k+ T )=e i k . T Ψ ( r )

Bukti bahwa U k periodik

Persamaan Bloch : Ψ ( r+T )=ei k .T Ψ ( r )

Ψ ( r+T )=U k ( r+ T ) . e i k . (r+T )

Ψ ( r+T )=U k (r )e i k . ( r+ T )

Apabila dibandingkan dengan Ψ ( r+T )=U k ( r+ T ) e i k . ( r+T ), maka :

Ψ ( r+T )=U k ( r+ T ) e i k . ( r+T )

Ψ ( r+T )=U k (r )e i k . ( r+ T )

U k ( r )=U k ( r+T ) terbukti U k fungsi periodik

D. MODEL KRONIG-PENNEY

Model Kronig Penney merupakan gambaran yang real tentang kisi kristal dalam

potensial periodik. Model ini mencari penyelesaian gelombang dalam potensial

periodik yang memberlakukan syarat batas dan syarat awal dalam kisi kistal yang

berbentuk sumur kuantum (Quantun well structures). Solusi yang diberikan dalam

model Kronig-Penney menggunakan teorema Bloch. Gambaran model Kronig-

Penney dapat dilihat pada Gambar 6. Pada gambar ini lebar sumur kuantum adalah a

yang merupakan fungsi dari energi.

Gambar 6. Kronig Dan Penney satu-dimensional pada Potensial berkala

Persamaan Shrödinger untuk model Kronig-Penney dinyatakan oleh persamaan (13)

d2Ψ ( x )dx2 + 2m

ħ2 ( E−V 0 ) Ψ (x )=0 … (13)

Solusi persamaan gelombang untuk gelombang bidang adalah :

ψ=uk ( x ) eikx. . . (14)

Dimana u(x) adalah suatu fungsi periodik dalam x dengan periode ( a+ b) dan a

adalah syarat batas yang digunakan. Dengan substitusi dalam persamaan (13) dan

(14) akan diperoleh:

d2ud x2 +2ik

dudx

+ 2mh2 ( E−Ek−V 0 ) u=0 . . . (15)

Dimana: W k=h2 k2

2 m

Untuk daerah 0< x< a persamaan (15) mempunyai solusi :

u=A ei ( α−k ) x+B e−i( α+k ) x

Dengan syarat, α=3√ 2m Eh2

Pada daerah a < x < a+b, solusinya adalah

u=C e i (β−k ) x+D e−i ( β−k ) x

Dengan syarat, β=[2 m (V 0−E )/h2 ]3 /2

Konstanta A, B, C, D dipilih sedemikian sehingga u dan du/dx adalah berlanjut pada

x= 0 dan x= a, dan oleh kecenderungan waktu tertentu memerlukan u(x) nilai-nilai

pada x=a juga pada x=-b, dengan demikian diperoleh empat persamaan linier yang

homogen.

A+B=C+D

A e i (α−k )a+B e−i (α+ k ) a=C ei ( β−k ) b+D e−i( β−k ) b

i (α−k ) A ei ( α−k ) a−i (α+k ) B e−i (α +k ) a=i ( β−k )C ei ( β−k ) b−i ( β−k ) D e−i( β−k ) b

Persamaan (16) mempunyai solusi jika faktor penentu koefisien dihilangkan, atau :

β2−α2

2 αβsinhβb sinαa+cosh βb cos αa=cos k ( a+b ) . . . (17)

Psin αa

αa+cosαa=coska . . . (18)

Persamaan (17) dan (18) merupakan persamaan transendental dan harus mempunyai

suatu solusi untuk suatu agar fungsi gelombang yang dinyatakan pada persamaan

sebelumnya dapat diselesaikan. Persamaan 18 dapat dinyatakan dalam gambar 7.

Gambar 8. Diagram pita energy

Dari persamaan (18) dapat diperoleh beberapa kesimpulan yaitu :

Jika nilai P kecil maka cakupan yang terlarang akan menghilang.

Jika P ∞ cakupan αa yang yang diijinkan akan menurunkan poin-poin energi (n

= ±1, ±2,..) dan spektrum energi menjadi terpisah. Sehingga nilai :

E= n2 h2

8 m a2

. . . (16)

DAFTAR PUSTAKA

Adriansyah, A. Tanpa Tahun. Dasar Elektronika : Modul 2 Semikonduktor. Pusat

Pengembangan Bahan Ajar : UMB.

Herliana, F., dkk. 2012. Pita Energi (online).

http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/195905271985031-

KARDIAWARMAN/Modul_UT/KB-1_modul_5_Fis_Zat_Padat.pdf. [Diakses

tanggal 7 Desember 2015].

Nasbey, H. 2010. Pertemuan 14 : Fisika Modern, Molecules and Solids (online). PPT

Universitas Negeri Jakarta, http://www.slideshare.net/jayamartha/fisika-modern-14-

molecules-andsolidcrystal-7174064. [Diakses pada 6 Desember 2015].

Prasetyowati, R. 2012. Pita Energi (online).

http://staff.uny.ac.id/sites/default/files/pendidikan/Rita%20Prasetyowati,%20M.Si./

PITA%20ENERGI_Rita.pdf. [Diakses pada 7 Desember 2015].

Rifqi, I. Semikonduktor (online).

http://blog.umy.ac.id/clasiccboy/2012/04/23/semikonduktor/ [Diakses pada 6

Desember 2015].