Teori Bilangan Bulat

5/26/2018 Teori Bilangan Bulat

1/70

Pertemuan ke 4


2/70

BAB V

ALGORITMA DAN BILANGAN BULATA. ALGORITMA

Sebuah masalahdipecahkan dengan mendeskripsikan

langkah-langkahpenyelesaiannya. Urutan penyelesaianmasalah ini dinamakanAlgoritma.

Definisi 5.1 :

Algoritma adalah urutan langkah-langkahlogispenyelesaian masalah yang disusun secara sistematis.

Misal : resep membuat masakan Rendang Padang


3/70

Kata algorismberasal dari nama penulis buku arab yang terkenal, yaitu

Abu Jafar Muhammad ibnu Musa al-Khuwarizmi(al-Khuwarizmi

dibaca orang barat menjadi algorism)Algorismalgorithm

Dalam bahasa Indonesiaalgorithmmenjadi algoritma.

Contoh-contoh algoritma yang lain dalam kehidupan sehari-hari

misalnya pola pakaian, panduan praktikum, papan not balok dan

pengisian voucher ditunjukkan pada tabel 5.1


4/70

Notasi untuk Algoritma

Algoritma dapat dituliskan dalam berbagai notasi, misalnya

dalam notasi kalimat-kalimat deskriptifseperti contoh resep

masakan rendang padang.Dengan notasi bergayakalimat ini, deskripsi setiap langkah

dijelaskan dengan bahasa sehari-hari secara gamblang.

Setiap langkahbiasanya diawalidengan kata kerjaseperti

baca, hitung, masukkan, bagi, ganti, dan sebagainya,sedangkan pernyataan bersyaratdinyatakan dengan

jika maka


5/70

Notasi untuk Algoritma

Contoh :

Jika kita akan menuliskan algoritma untuk mencari

elemen terbesar(maksimum) dari sebuahhimpunanyang beranggotakan n buah bilangan

bulat. Bilangan-bilangan bulat tersebut

dinyatakan sebagai a1, a2, a3,an. Elementerbesar akan disimpan di dalam peubah

(variabel) yang bernama maks.


6/70

Algoritma cari Elemen terbesar :

1. Asumsikan a1sebagai elemen terbesar sementara. Simpan a1ke

dalam maks.

2. Bandingkan maks dengan elemen a2, jika a

2> maks, maka nilai

maks diganti dengan a2

3. Ulangilangkah ke 2 untuk elemen-elemen berikutnya (a3, a4,

a5,an)

4. Berhenti jika tidak ada lagi elemen yang dibandingkan . Dalam

hal ini maks berisi nilai elemen terbesar.


7/70

Selaindengan notasi deskriptif, algoritma juga dapat

digambarkan dalam notasi bahasa komputer(lebih tepat

bahasa pemrograman), misalnya dalam bahasa PascalatauBahasa C.

Dalam bahasa Pascal, algoritma mencari elemen terbesar ditulis

pada Algoritma 5.1


8/70

Procedure CariElemenTerbesar (a:array_integer; n : integer;

varmaks : integer);

( Mencari elemen terbesar di dalam array a(1..n). Elemen terbesar akan

disimpan di dalam maks. Array_integer adalah tipe array yang sudah

didefinisikan di dalam program utama dengan pendeklarasian berikut :

constNmaks = 1000; ( ukuran maksimum array )

typearray_integer = array(1..Nmaks) of integer

vari : integer;

begin

maks : = a(1) ;

for i : = 2 ton doif a(i) > maks than

maks : = a(i) ;

end;

Algoritma 5.1


9/70

Selain dari pada itu, ada algoritma dengan notasi

pseudocode(semu)yang lebih praktismenuliskannya.

Notasi ini menyerupai notasi bahasa pemrograman tingkat tinggi,khususnya Bahasa Pascal dan C, tetapi tidak direpotkan dengan

tanda titik koma, indeks, format keluaran, kata-kata khusus

dan lain sebagainya sebagaimana bahasa pemrograman.


10/70

Keuntungan menggunakan notasipseudocodeadalah

lebih muda mengkonversinya atau mentranslasi ke bahasa

pemrograman, karena terdapat korespondensiantara setiap

pseudocodedengan notasi bahasa pemrograman.

Berikut ini contohalgoritma mencari elemen terbesar dengan

menggunakan notasi pseudocodedengan mengadopsi dalamBahasa Pascal, tetapi tidak benar-benar mematuhi

semua sintaks Pascal.


11/70

Procedure CariElemenTerbesar (input a1, a2, , an : integer,output maks : integer);

( Mencari elemen terbesar di antara elemen a1, a2, , an. Elementerbesar akan disimpan di dalam maks.

Masukan : a1, a2, , an

Keluaran : maks)

Deklarasi

i : integer

Algoritma :

maksa:for i2 to n do

if ai> maks thenmaksai

endif

endfor

Algoritma 5.2


12/70

Kata-kata yang digaris bawahadalah menyatakan kata kunci

yang nantinya berpadanandengan kata kunci pada

bahasa komputer yang akan digunakan untuk mentranslasikanalgoritma tersebut.


13/70

B. BILANGAN BULAT

Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak

mempunyai pecahan desimal.Misalnya 8, 21, 8765, -34, 0


14/70

Misalkan a dan b adalah 2 buah bilangan bulat

dengan syarat a 0. Kita menyatakan

bahwa ahabis membagibjika terdapatbilangan bulat c sedemikian sehingga b = ac

Notasi : a | b jika b = ac, c Z dan a 0

SIFAT PEMBAGIAN PADA BILANGAN BULAT.


15/70

Dengan kata lain, jika b dibagi dengan a, maka hasil

pembagiannya berupa bilangan bulat.

Kadang-kadang pernyataan

a habis membagi b ditulis juga b kelipatan a

Contoh :

4 | 12 karena 12 : 4 = 3 atau 12 = 4 x 3

12 : 4 memberi hasil bagi3dan sisa0

Tetapi 4 tidak habis membagi 13 karena 13 : 4 = 3,25

13 : 4 memberi hasil bagi3dan sisa1


16/70

TEOREMA EUCLIDEAN

Misalkan mdan nadalah dua buah bilanganbulat dengan syarat n > 0. Jika m dibagidengan

n (pembagi) maka terdapat dua buah bilanganbulat unik q (quotient = hasil bagi) dan r(remainder = sisa) sedemikian sehingga :

m = nq + r

dengan 0 r


17/70

1. 1987= 97. 20 + 47

( 1987 div97=20 dan 1987mod97= 47)

2. 24 = 3. 8 + 03. -22 = 3 (-8) + 2

Sisa pembagian tidak boleh negatif, jadi contoh ke 3

tidak dapat ditulis :-22 = 3 (-7)1

karena r = -1 tidak memenuhi syarat 0 r


18/70

PEMBAGI BERSAMA TERBESAR

Misalkan a dan b adalah dua buah bilangan bulat tidak nol.Pembagi bersama terbesar (PBB) dari a dan b adalahbilangan bulat terbesar d sedemikian sehingga da dandb. Dalam hal ini dinyatakan PBB (a,b) = d

45 memiliki faktor pembagi 1, 3, 5, 9, 15 dan 45

36 memiliki faktor pembagi 1, 2, 3, 4, 9, 12, 18, dan 36

faktor pembagi bersama dari 45 dan 36 adalah 1, 3, 9yang terbesar adalah 9

Sehingga disimpulkan PBB (45, 36) =9


19/70

Sifat-sifat dari pembagi bersama terbesar dinyatakan

dengan teorema-teorema berikut :

Misalkan a, b, dan c adalah bilangan bulat.

a. Jika c adalah PBB dari a dan b, maka c (a + b )

b. Jika c adalah PBB dari a dan b, maka c (a - b )

c. Jika c a , maka c abContoh 5.2 :

PBB dari 45 dan 36 adalah 9.a) 9 habis membagi 45 + 36 =81, atau 9 | (45 + 36)

b) 9 habis membagi 45 - 36 = 9 , atau 9 | (45 - 36)

c) 9 habis membagi 45x36=1620, atau 9 | (45 x 36)


20/70

Misalkan m dan n adalah dua buah bilangan

bulat dengan syarat n > 0 sedemikian sehingga :

m = nq + r , 0 r


21/70

Contoh 5.3 :

Jika 80 dibagi dengan 12 memberi hasil 6 dan sisa 8,

atau 80= 12.6 + 8. Menurut teorema 5.3PBB(80, 12) = PBB(12, 8) = 4


atau 12= 8.1 + 4PBB(12, 8) = PBB(8, 4) = 4


atau 8= 4.2 + 0. Menurut teorema 5.3

PBB(8, 4) = PBB(4, 0) = 4 4 = 0.0 + 4

Dari runtunan perhitungan di atas, kita memperoleh bahwa

PBB(80, 12) = PBB(12, 8) = PBB(8, 4) = PBB(4, 0) = 4


22/70

3. ALGORITMA EUCLIDEAN

1. Jika n = 0, maka

m adalah PBB (m,n);

stop.Tetapi jika n 0

lanjutkan ke langkah 2.

2. Bagilah m dengan n dan misalkan r adalah sisanya.3. Ganti nilai m dengan n dan nilai n dengan r, lalu ulang

kembali ke langkah 1.


23/70

Contoh 5.4 :

80 = 6.12+ 8

12= 1.8+ 4

8= 2. 4+ 0

Sisa pembagian terakhir sebelum 0adalah 4, maka PBB(80, 12) = 4

Menurut teorema 5.3

PBB dari mdan nadalah sisa terakhir yang tidak noldari runtunan

pembagian tersebut PBB(80, 12) = 4

sisa terakhir yang tidak nol


24/70

Teorema 5.4 :Misalkan adan badalah dua buah bilangan bulat positif, maka

terdapat bilangan bulat mdan nsedemikian sehingga

PBB(a, b) = ma + nb

Misalnya PBB(80, 12) = 4, dan 4= ( -1) . 80+ 7. 12.

disini m= -1dan n= 7


25/70

Contoh 5.5 :

Nyatakan PBB(312, 70) = 2 sebagai kombinasi lanjardari 312 dan 70

Terapkan algoritma Euclidean untuk memperoleh PBB(312, 70) = 2

312 = 4.70 + 32 (i) 32= 3124.70 (vii)

70 = 2.32 + 6 (ii) 6 =702.32 (vi)

32 = 5.6 + 2 (iii) 2 = 32 5.6 (v)

6 = 3.2 + 0 (iv)

(v) ke (vi)

2 = 325.(702.32)

2 = 1.32

5.70 + 10.322 = 11.325.70 (vii)

2 = 11.(3124.70)5.70 = 11.31249.70

Jadi PBB(312, 70) = 2 = 11.31249.70m a n b


26/70

RELATIF PRIMA

Dua buah bilangan bulat adan bdikatakan relatif prima

(relatively prime) jika PBB(a, b) = 1

ma + nb = 1

Contoh 5.6 :

Bilangan 20 dan 3 adalah relatif prima karena PBB(20, 3) = 1

2. 20 + ( -13) . 3 = 1

Bilangan 20 dan 5 tidakrelatif prima karena PBB(20, 5) = 5 1sehingga 20 dan 5 tidak dapat dinyatakandalam m.20+n.5=1


27/70

Pertemuan ke 5


28/70

4. ARITMETIKA MODULO

Misalkan a adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan

bulat > 0. Operasi a modm (dibaca a modulom)

memberikan sisa jika a dibagi dengan m.

Dengan kata lain :

amodm= r sedemikian sehingga a = mq + r,

dengan 0 r < m


29/70

Contoh 5.7 :

Berapa hasil operasi dengan operator modulo :

(i) 23 mod 5= 3 (karena 23 dibagi 5memberikan hasil = 4 dan sisa = 3,

atau ditulis 23 = 5.4 + 3)

(ii) 27 mod 3= 0 (27 = 3.9 + 0)

(iii) 6 mod 8= 6 (6 = 8.0 + 6)

(iv) 0 mod 12= 0 (0 = 12.0 + 0)

(v) - 41 mod 9= 4 (-41 = 9(-5) + 4)(vi) - 39 mod 13= 0 (-39 = 13(-3) + 0)

amodm= r a = mq + r


30/70

Kongruen

Jika dua buah bilangan bulat a dan b, mempunyai sisayang samajika dibagi dengan bilangan bulat positif m,maka a dan b kongruen dalam modulo m, dan

dilambangkan sebagai :

a b (mod m)

Jika a tidak kongruendengan b dalam modulus m,maka ditulis :

a b (mod m)/


31/70

Contoh :

38mod 5= 3, dan 13mod 5= 3

38/5=7 sisa 3 13/5=2 sisa 3

maka :

38 13 ( mod 5)


32/70

Contoh 5.8 :

17 2 (mod 3) ( 3habis membagi172= 1515 : 3 = 5 )-7 15 (mod 11) ( 11 habis membagi -715 = -22

-22 : 11 = -2)12 2 (mod 7) ( 7 tidak habis membagi 122 = 10 )

-7 15 (mod 3) ( 3 tidak habis membagi -715 = -22 )//

Definisi dari kongruen:

Misalkan a dan b adalah bilangan bulat dan

m adalah bilangan > 0 maka a b (mod m)jika mhabis membagi a - b


33/70

Kekongruenan a b (mod m)dapat pula dituliskandalam hubungan a = b + km yang dalam hal ini

sembarang kadalah bilangan bulat.


34/70

Contoh 5.9 :

38 13 (mod 5) dapat ditulis sebagai 38= 13+ 5. 517 2 (mod 3) dapat ditulis sebagai 17 = 2 + 5. 3-7 15 (mod 11) dapat ditulis sebagai -7 = 15 + (-2)11

a b k m

a = b + kma b (mod m)


35/70

Berdasarkan definisi aritmetika modulo (definisi 5.5), kita dapat menulis

amod m = r sebagai a r (mod m)

Contoh 5.10 :

23 mod 5 = 3 dapat ditulis sebagai 23 3(mod 5)27 mod 3 = 0 dapat ditulis sebagai 27 0 (mod 3)

6 mod 8 = 6 dapat ditulis sebagai 6 6 (mod 8)0 mod 12 = 0 dapat ditulis sebagai 0 0 (mod 12)

-41 mod 9 = 4 dapat ditulis sebagai -41 4 (mod 9)-39 mod 13 = 0 dapat ditulis sebagai -39 0 (mod 13)


36/70

Sifat-sifat pengerjaan hitung pada aritmetika modulo,

khususnyaperkaliandan penjumlahan,dinyatakan dalam teorema-teorema berikut :


37/70

Misalkan m adalah bilangan bulat positif.

1. Jika ab(mod m) dan cadalah sembarangbilangan bulat, maka :

(i) (a+ c) (b+ c)(mod m)

(ii) acbc(mod m)(iii) apbp (mod m) untuk suatu bilangan

bulat tak negatif p

Contoh 5.11 :

Misal: 172(mod 3) dan 10 4 (mod 3), maka :17+ 52+ 5(mod 3) 22 7 (mod 3) (teorema 5.5.1(i))17 . 5 2 . 5(mod 3) 85 10 (mod 3) (teorema 5.5.1(ii))


38/70

172(mod 3)17/3 = 5 sisa 2

2/3 = 0 sisa 2

227(mod 3)22/3 = 7 sisa 1

7/3 = 2 sisa 1

8510(mod 3)85/3 = 28 sisa 1

10/3 = 3 sisa 1

mempunyai sisa yang sama


39/70

2.Jika ab(mod m) dan cd(mod m) , maka :(i) (a+c) (b+d) (mod m)(ii) a c bd (mod m)

Contoh 5.11 :

Misal: 172(mod 3) dan 10 4 (mod 3), maka :

17 + 102 + 4(mod 3)27 6 (mod3) (teorema 5.5.2(i))17 . 10 2 . 4 (mod 3) 170 8 (mod 3) (teorema 5.5.2(ii))


40/70

172(mod 3) 104(mod 3)

172(mod 3)17/3 = 5 sisa 2

2/3 = 0 sisa 2

104(mod 3)10/3 = 3 sisa 14/3 = 1 sisa 1

276(mod 3)27/3 = 9 sisa 0

6/3 = 2 sisa 0

mempunyai sisa yang sama


41/70

Balikan Modulo( Modulo Invers)

Jika a dan m relatif prima dan m > 1, maka dapat

ditemukan balikan (invers) dari a modulo m.

Balikan dari a modulo m adalah bilangan bulatsedemikian sehingga a1 (mod m)

Di dalam aritmetika bilangan riil, inversi(inverse)

dari perkalianadalah pembagian

Misalnya inversi dari4 adalah 1/4


42/70

Contoh 5.12 :

Tentukan inversidari 4 (mod 9), 17 (mod 7), dan 18 (mod 10)

a m

PBB(4, 9) = 1, maka inversidari 4 (mod 9) ada.

9 = 2.4 + 1-2. 4+ 1.9= 1 p.a+ q.m= 1

Dari persamaan terakhir ini kita peroleh -2adalah inversi dari 4 modulo 9

-2.4 1 (mod 9) 9 habis membagi ( -2x4 ) -1 = -9

(a)


43/70

(b)

a m

PBB(17, 7) = 1, maka inversi dari 17 (mod 7) ada.

17 = 2.7 + 3 (i) 3 = 172.7 (v)7 = 2.3 + 1 (ii) 1 = 72.3 (iv)3 = 3.1 + 0 (iii)

(v) ke (iv) 1 = 72.(172.7) = 1.72.17 + 4.7 = 5.72.17

atau -2. 17 + 5 . 7 = 1 p.a+ q.m= 1

Dari persamaan terakhir ini kita peroleh -2adalah inversi dari 17 modulo 7

-2.17 1 (mod 7) 7 habis membagi (-2.17) -1 = -35.

Karena PBB(18, 10) = 2 1, maka inversi dari 18 (mod 10) tidak ada.(c)


44/70

Kekongruenan Linear/lanjar

Kekongruenan linear adalah kongruen yang berbentuk : ax b (mod m)

Dengan m adalah bilangan bulat positif, a dan b sembarang bilangan

bulat, dan x adalah peubah.

Bentuk kongruen linear berarti menentukan nilai-nilai x, yang memenuhi

kokongruenan tersebut.

ax b (mod m) dapat ditulis dalam hubungan ax = b + km

yang dapat disusun menjadi :

a

kmbx

a

kmbx


45/70

Contoh 5.13 :

Tentukan solusi dari 4 x 3 (mod 9)

Kekongruenan 4 x 3 (mod 9) ekivalen dengan menemukan k dan xbilangan bulat sedemikian sehingga

a

kmbx

3 + k. 9

4=

k= 1 x = 3

k = 5 x = 12

k = -3 x = -6

k = -7 x = -15

Jadi nilai-nilai x yang memenuhi 4 x 3 (mod 9)adalah 3, 12, . dan -6, -15, .


46/70

BILANGAN PRIMA

Bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1yang hanya habis

dibagi oleh 1 dan dirinya sendiri.

2, 3, 5, 7, 11, 13, ..

Definisi 5.7 :

Bilangan bulat positif p (p>1) disebut bilangan prima jika pembaginya

hanya 1 dan p

Bilangan selain bilangan prima disebut bilangan komposit.

20dapat dibagi oleh 2, 4, 5, dan 10, selain 1 dan 20 sendiri.


47/70

Teorema Fundamental Aritmetik

Setiap bilangan bulat positifyang lebih besar atau sama

dengan 2dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau

lebihbilangan prima.Misal :

9 = 3 x 3 ( 2buah faktor prima)

100 = 2 x 2 x 5 x 5 ( 4buah faktor prima)

13 = 13 X 1 ( 1buah faktor prima)


48/70

Faktor Prima dari n selalu lebih kecil

atau sama dengan nMisalkan a adalah faktor prima dari n,

dengan 1 < a < n, maka a habis membagi n dengan

hasil bagi b sedemikian sehingga n = ab.

Nilai a dan b haruslah n agar :

ab >n . n = n

Contoh 5.15 :

Tunjukkan apakah 171 dan 199 merupakan bilanganprimaatau komposit?


49/70

(i) 171= 13,077. Bilangan prima yang 171 adalah2, 3, 5, 7, 11, 13. Karena 171 habis dibagi 3,

maka 171 adalah bilangan komposit.

(ii) 199= 14,107. Bilangan prima yang 199 adalah2, 3, 5, 7, 11, 13. Karena 199 tidak habis dibagi2, 3, 5, 7, 11, 13

maka 199 adalah bilangan prima.

Contoh 5.16 :


50/70

Temukan semua faktor primadari 1617.

Contoh 5.16 :

Bagilah 1617berturut-turut dengan barisan bilangan prima, mulai dari2, 3, 5, 7, .

2 tidak habis membagi 1617

3 habis membagi1617, yaitu 1617/3 = 539

Selanjutnya, bagilah 539 dengan bilangan prima berturut-turut,dimulai dari 3, 5, 7, ..



7 habis membagi539, yaitu 539/7 = 77

Selanjutnya, bagilah 77 dengan bilangan prima berturut-turut,dimulai dari 7, 11, 7 habis membagi77, yaitu 77/7 = 11

Karena 11 adalah bilangan prima, maka pencarian faktor prima dari 1617 dihentikan.

Jadi, faktor primadari 1617adalah 3, 7, 7 dan 11, yaitu 1617 = 3 x 7 x 7 x 11.


51/70

6. KRIPTOGRAFI

Aritmetika modulo dan bilangan prima mempunyai

banyak aplikasi dalam ilmu komputer, salah satu

aplikasinya yang terpenting adalah kriptografi.

Kriptografiadalah ilmu sekaligus seni untuk menjaga

kerahasiaan pesan ( data atau informasi) dengan cara

menyamarkanmenjadi bentuk yang tidak mempunyaimakna.


52/70

Plainteks, Cipherteks, Enkripsi dan Dekripsi.

Plainteks: pesan yang dirahasiakan,

artinya teks jelas yang dapat dimengerti.

Cipherteks: pesan hasil penyamaran,

artinya teks tersandi.

Enkripsi : Proses penyamaran dari plainteks ke cipherteks.

Dekripsi: Proses pembalikan dari cipherteks ke plainteks.

enkripsi dekripsicipherteksplainteks plainteks asal


53/70

Sebagai Plainteks

uang disimpan di balik buku x

Disandikan menjadi Cipherteks

j&klopn&rknuy@swz$kvm$cpq


54/70

Sejarah Kriptografi

k

r

i

pt

o

g

ra

Kriptografisudah lama digunakan oleh tentara Sparta di Yunani

pada permulaan tahun 400 SM. Mereka menggunakan alat

yang disebut scytale. Alat ini terdiri dari sebuah pita panjang

dari daun papyrusyang dililitkan pada sebatang silinder.Pesan yang akan dikirim ditulis horizontal(baris per baris).

Bila pita dilepaskan, maka huruf-huruf di dalamnya telah

tersusun membentuk pesan rahasia.

Untuk membaca pesan, penerima melilitkan kembali silinderyang diameternya sama dengan diameter silinder pengirim.

Teknik kriptografi seperti ini dikenal dengan nama tranposisi

cipher, yang merupakan metode enkripsi tertua.


55/70


56/70


57/70


58/70

Kriptografer, Kriptanalis, dan Kriptologi

Kriptografer:orang yang menggunakan enkripsiuntukmerahasiakan pesan dan

mendeskripsikannya kembali.

Kriptanalis :orang yang mempelajari metode enkripsidancipherteksdengan tujuan menemukanplainteksnya.

Kriptologi :studi mengenai kriptografi dan kriptanalis.


59/70

Notasi Matematis

Jika cipherteksdilambangkandengan Cdan plainteksdilambangkandengan P, maka fungsi enkripsi Ememetakan P ke C,

E (P) = CPada proses kebalikannya, fungsi deskripsi Dmemetakan C ke P,

D (C) = P

Karena proses enkripsi kemudian dekripsi mengembalikan pesan kepesan asal, maka kesamaan berikut harus benar ,

D ( E (P) ) = P


60/70

Algoritma Kriptografi ( Cipher)

Algoritma Kriptografi(cipher) adalah fungsi matematika yangdigunakan untuk enkripsi dan dekripsi.

Kekuatansuatu algoritma Kriptografi diukur dari banyaknya kerjayang dibutuhkan untuk memecahkan data chiperteks menjadiplainteks.

Kriptografi moderntidak lagi mendasarkan kekuatan padaalgoritmanya. Jadi algoritma tidak dirahasiakan. Kekuatankriptografinya terletak pada kunci, yang berupa deretan karakteratau bilangan bulat yang dijaga kerahasiaannya.


61/70

Algoritmanyamempertukarkan pada setiap kata karakter pertama

dengan karakter kedua, karakter ketigadengan karakter keempat

dan seterusnya.

Contoh :

Plainteks : STRUKTUR DISKRIT

Cipherteks : TSURTKRU IDKSIRT


62/70

Kuncinya adalahjumlah pergeseranhuruf (yaitu 3).

Susunan alfabet setelah digesersejauh 3 hurufadalah :

Plainteks : A B C DE F G H I J K L M N O P Q R S T U V WX Y Z

Cipherteks : DE F GH I J K L M N O P Q RS T U V W X Y ZA B C

Pesan :

AWASI ASTERIX DAN TEMANNYA OBELIX

Cipherteks :

DZDVL DVWHULA GDQ WHPDQQBDREHOLA


63/70

Secara matematis, pada sistem kriptografi yang

menggunakan kunci K, maka fungsi enkripsi dan dekripsi

menjadi :

EK1( P ) = C dan DK2( C ) = P

Kedua fungsi ini memenuhi :

DK2(EK1( P )) = P

Jika K1 = K2, maka algoritma kriptografinya

disebut algoritma simetri ( kunci pribadi)Jika K1 K2 , maka algoritmanya disebutalgoritma nirsimetri ( kunci publik )


64/70

DES

(Data Encryption Standard)

DESdilakukan dalam 16 kali perulangan.

Panjang kunci DESadalah 8 karakter atau 64 bit.

Dari 64 bit tersebut, hanya 56 bitsaja yang dipakai dalam proses enkripsi.

56 bit terdapat 256 atau 72.057.594.037.927.936 kemungkinan kunci.

Jika orang yang tidak berhak mencoba keseluruhan kunci tersebut dengan

menggunakan satu juta prosesorkomputer yang bekerja secara paralel,

maka dengan asumsibahwa selama 1 detikdapat dicoba satu jutakemungkinan kunci, maka seluruh kemungkinan kunci tersebut memerlukan

waktu 2284 tahununtuk menemukan kunci yang benar.


65/70

Algoritma RSA(RivestShamirAdleman)

Algoritma RSA mendasarkan proses enkripsi dan

dekripsinya pada konsep bilangan primadan aritmetika

modulo.

Kunci enkripsi dan dekripsi merupakan bilangan bulat.

Kunci enkripsi tidakdirahasiakan, tetapi kunci dekripsi

bersifat rahasia.

Untuk menemukan kuncidekripsi harus memfaktorkansuatu bilangan non prima menjadi faktor primanya.


66/70

Secara ringkas, algoritma RSA adalah

sebagai berikut :

Pilih dua buah bilangan prima sembarang, a dan b, jagakerahasiaan a dan b.

Hitung n = a x b. Nilai n tidak dirahasiakan.

Hitung m = (a1) x (b1). Setelah nilai m diketahui, a dan bdapat dihapus.Pilih sebuah bilangan bulat e untuk kunci publik, dimana e relatifprima terhadap m.

Bangkitkan kunci dekripsi, d dengan kekongruenaned 1 (mod m)Proses dekripsi dilakukan dengan menggunakan persamaan pi =ci

dmod n, yang dalam hal ini d adalah kunci dekripsi.


67/70

(ISBN)

International Standard Book Number

Penerbit resmi selalu disertai dengan kode ISBN.

Kode ISBNterdiri dari 10 karakter, biasanya dikelompokkan dengan

spasi atau garis, misalnya 0-3015-4561-9.ISBNterdiri atas empat bagian kode : 1. kode identifikasi bahasa

2. kode penerbit

3. kode unik buku

4. karakter uji


68/70

ISBN0-3015-4561-8

0 adalah kode kelompok negara berbahasa Inggris3015 kode penerbit

4561 kode unik buku

8 karakter uji

Karakter uji didapatkan sbb :

1.0+ 2.3+ 3.0+ 4.1+ 5.5+ 6.4+ 7.5+ 8.6+ 9.1= 151

Jadi karakter ujinya adalah 151 mod 11 = 8

Dan 231 mod11 = 0 atau 231 0(mod11)

9

1

10

10

1

23181015110

i

i

i

i xixix


69/70

Contoh 5.20 :

Nomor ISBNsebuah buku terbitan penerbit Indonesia adalah

979-939p-04-5Tentukanp.

Diketahui karakter uji ISBN = 5

9

1

511mod

i

iix

9


70/70

pp

pixi

i

7191360754153627149

49087963594937291

9

1

Jadi

(191 + 7p) mod 11 = 5

Atau

7

18611

7

191511

kkp

Nilai-nilai k yang menghasilkanpbulat adalah k= , -6, 1, 8, 15, 22, 28,

Agar ISBNsah makap haruslah memenuhi 0 p 9.Untuk k= 22didapatkanp= 8

( 11 . 22 )1867

2421867

= =56

7= 8

Teori Bilangan Bulat

Documents

Transcript of Teori Bilangan Bulat