TEOREMA RING DAN BUKTINYA

Teorema 2 : Suatu Ring adalah tidak memiliki pembagi nol jika dan hanya jika hukum Kanselasi dipenuhi (berlaku) pada Ring tersebut.

Adib :() Ring TPN maka hukum Kanselasi dipenuhi() Kanselasi dipenuhi maka Ringnya TPN

Jika disimbolkan :Misal (R, , ) adalah Ring.(R, , ) adalah TPN a b = a c maka b = c ; a, b, c R(R, , ) adalah TPN b a = c a maka b = c ; a, b, c R

Adib :1. ()R adalah TPN a b = a c maka b = c Hukum Kanselasi kiri dipenuhiR adalah TPN b a = c a maka b = c Hukum Kanselasi kanan dipenuhi R adalah TPN Hukum Kanselasi dipenuhi

Bukti :

Adit : a b = a c b = c, dengan a I(a b) = (a c)(a b) (a c)-1 = I......................Sifat Invers(a b) (a c-1) = I......................Sifat ii (Teorema I)a (b c-1) = I......................Sifat Distribusi Kirib c-1 = I......................Sifat i (Teorema I)b= cJadi, hukum kanselasi kiri dipenuhi

Adit : b a = c a b = c, dengan a I(b a) = (c a)(b a) (c a)-1 = I......................Sifat Invers(b a) (c-1 a) = I......................Sifat ii (Teorema I)(b c-1) a = I......................Sifat Distribusi Kananb c-1 = I......................Sifat i (Teorema I)b= cJadi, hukum kanselasi kanan dipenuhi

2. ()Hukum Kanselasi kiri dipenuhi a b = a c maka b = c R adalah TPNHukum Kanselasi kanan dipenuhi b a = c a maka b = c R adalah TPN Hukum Kanselasi dipenuhi R adalah TPN

Bukti :Misal (R, , ) adalah Ring berlaku hukum Kanselasi ; a, b R dan a b = IAdit : Ring (R, , ) TPNa b = I a = I atau b = I

a I a b = Ia b = a I...........................Sifat i b = I...................................Hukum Kanselasi kiri dipenuhi

b I a b = Ia b = I b..............................Sifat i a = I....................................Hukum Kanselasikanan dipenuhi

Karena a b = I maka a = I atau b = I. Akibatnya R adalah ring TPN.

Contoh :(M5, +, x) merupakan Ring TPN.Buktikan hukum kanselasi berlaku pada (M5, +, x).

Adit : Hukum kanselasi berlaku pada M5.M5 = {0,1,2,3,4}Ambil a = 2 dan b = 3 dan c = 8Selanjutnya,(axb) = (axc)(2x3) = (2x8) 3 = 8 a dan b dapat dikanselasi (kanselasi kiri)

Teorema 3 :Suatu field tidak memiliki pembagi nol.

Note :Field adalah Ring Komutatif dan memiliki elemen satuan terhadap operasi kedua dan setiap unsur memiliki invers terhadap operasi kedua kecuali unsur identitas operasi pertama.

Bukti :Misal :(R, , ) adalah field maka (R, , ) adalah Ring Komutatif dan I adalah identitas dan a R, a I maka ada a-1 R sehingga a a-1 = a-1 a = iAdit : R (R, , ) TPNMaka misal: a, b R dan a b = I a = I atau b = I

Untuk setiap a R, a I maka a-1 R, sehinggaa a-1 = a-1 a = i.Maka :a b = Ia-1 (a b )= a-1 I..................Dioperasikan dengan a invers(a-1 a) b )= a-1 I..................Sifat Asosiatifi b = a-1 I..................Sifat Identitasi b= I.........................Sifat i (Teorema 1)b= I.........................Sifat i (Teorema 1)Sehingga a I dan a b = I maka b = I Selanjutnya, untuk setiap b R, b I maka b-1 R,sehingga b b-1 = b-1 b = iMaka :I b-1 = I..................(a b = I)(a b ) b-1 = I..................Sifat Asosiatifa (b b-1) = I..................Sifat Identitasa i = I..................Sifat i (Teorema 1)a = I..................Sifat i (Teorema 1)Sehingga b I dan a b = I maka a = I

Jadi jika a b = I maka a = I atau b = I berakibat R TPN.

Contoh :(M5, +, x) merupakan field. Buktikan bahwa (M5, +, x) adalah Ring TPN

Adit : Setiap unsur a, b dari M5 adalah Ring TPN(Jika axb = 0, maka a = 0 atau b = 0)

x01234

000000

101234

202413

303142

404321

Dari tabel di atas, terbukti bahwa (M5, +, x) merupakan Ring TPN (axb = 0 a = 0 atau b = 0)

Teorema 4 : Suatu integral domain terhingga adalah field.

Note :Integral Domain adalah Ring Komutatif dan memiliki elemen satuan yang tidak mempunyai pembagi nol.Field adalah Ring Komutatif dan memiliki elemen satuan terhadap operasi kedua dan setiap unsur memiliki invers terhadap operasi kedua kecuali unsur identitas operasi pertama.

D = { a x | x D, x I }a x = a y x = y

Adib : a x = i a = x-1 atau x = a-1 a x = ia-1 (a x ) = a-1 i..................Dioperasikan dengan a invers(a-1 a) x ) = a-1 i..................Sifat Asosiatifi x = a-1 i..................Sifat Identitasx= a-1

Contoh :(M7, +, x) adalah ID. Buktikan bahwa (M7, +, x) adalah field.

Adit : Setiap unsur di M7 yang tidak nol(bukan elemen identitas pada operasi +) punya invers terhadap operasi x.

x0123456

00000000

10123456

20246135

30362514

40415263

50531642

60654321

Dari tabel di atas dapat diketahui bahwa setiap unsur tak nol pada M7 punya invers terhadap operasi x.

1 memiliki invers 12 memiliki invers 4 3 memiliki invers 5 4 memiliki invers 2 5 memiliki invers 3 6 memiliki invers 6

Sehingga, terbukti bahwa (M7, +, x) adalah Field. Diposkan oleh khorida di 22.39