TEOREMA FAKTOR

Kelompok 5:

Azhira Permata

Deandra Prisila

Jessica Fransisca

M. Ahnaf Naufal

Teorema Faktor

Jika f(x) adalah suku banyak; (x-k) merupakan faktor dari P(x) jika dan hanyajika P(k) = 0

Artinya:

1.Jika (x-k) merupakan faktor, maka nilai

P(k) = 0

Sebaliknya,

2.Jika P(k) = 0 maka (x-k) merupakan

faktor

Contoh 1:

Tunjukkan (x + 1) faktor dari

Jawab :

(x + 1) faktornya, berarti P(-1) = 0

P(-1)

Jadi, (x + 1) adalah faktornya.

Cara lain untuk menunjukkan (x+1) adalah faktor dari

adalah dengan pembagian Horner:

1 4 2 -1

-1

* -1 -3 1 +

1 3 -1 0 P(-1) = 0

Berarti (x + 1) adalah faktornya.

124 23 xxx

01241

1)1(2)1(4)1( 23

124 23 xxx

Contoh 2:

Tentukan faktor-faktor dari

Jawab:

Misalkan faktornya (x-k), maka nilai k yang mungkin adalah pembagi bulat

dari 6, yaitu

±1, ±2, ±3, ±6. nilai – nilai k itu di substitusikan ke P(x), misalnya k = 1

diperoleh:

Oleh karena P(1) = 0, maka ( x – 1)

adalah salah satu faktor dari

Untuk mencari faktor yang lain, kita tentukan hasil bagi P(x) oleh (x – 1)

digunakan cara Horner:

2 -1 -7 6

1 * 2 1 -6

+

2 1 -6 0

Hasil baginya:

672)( 23 xxxxP

6)1(7)1()1(2)1( 23 P

0

6712

672)( 23 xxxxP

62)( 2 xxxH

Karena hasil baginya adalah

Maka

Dengan demikian

Jadi, faktor-faktornya adalah

62)( 2 xxxH

)2)(32(62)( 2 xxxxxH

)2)(32)(1(672

)62)(1(672

23

223

xxxxxx

xxxxxx

)2()32(),1( xdanxx

Pembagian Istimewa

nnx 4

ax

n

k

kknnnnn axaxaaxx1

11221 ...

Dengan suku ke-k dari hasil bagi 1 kkn ax

1.

2.nn ax 22

ax

n

k

kknknnnn axaxaaxx2

1

12112222212 )1(...

Dengan suku ke-k dari hasil bagi121)1( kknk ax

3. 1212 nn ax

ax

12

1

1121212122 )1(...n

k

kknknnnn axaxaaxx

Dengan suku ke-k dari hasil bagi1121)1( kknk ax

Contoh 1:

)( 33 ax

)( ax

22 axax

Contoh 2:

Hitunglah nilai dari

Jawab:

Jadi,

22

22

289807

)289807()289807(

)(

)()(22

22

ba

baba

Dengan a=807 dan b=289

2)(

)(222)()(22

22

22

2222

22

22

ba

ba

ba

abbaabba

ba

baba

2289807

)289807()289807(22

22

Persamaan Suku BanyakBentuk umum dari persamaan suku banyak dengan variabel

x adalah:

Akar-akar rasional dari persamaan tersebut adalah ,

dengan p adalah faktor bulat dari dan q adalah faktor

bulat dari

dan

Teorema Dasar Aljabar: persamaan suku banyak f(x)=0 yang

berderajat n mempunyai n akar bilangan kompleks.

Dari teorema aljabar tersebut dapat disimpulkan bahwa

persamaan f(x)=0 yang berderajat n mempunyai maksimal n

buah akar rasional. Akar- akar rasional tersebut mungkin

sama atau berbeda.

0...)( 01

2

2

2

2

1

1

axaxaxaxaxaxf n

n

n

n

n

n

q

p

0a ,na

0

q

pf

Contoh:

Himpunan penyelesaian dari persamaan

dapat ditentukan sbb:

Faktor – faktor bulat dari -15 = ±1, ±3, ±5, ±15

Faktor – faktor dari 2 = ±1, ±2

Akar-akar yang mungkin = ±1, ±3, ±5, ±15,

Untuk x = -3 maka diperoleh

2 15 22 -15

-3 * -6 -27 -15 +

2 9 -5 0

Jadi faktor-faktor dari f(x)=0 adalah:

Akar akar dari persamaan tersebut adalah: x+3=0 atau x+5=0 atau 2x-

1=0

Jadi, x=-3 atau x=-5 atau x= 1/2 . HP = {-5,-3,1/2}

01522152)( 23 xxxxf

2

15,

2

5,

2

3,

2

1

0)12)(5)(3(02

)12)(102()3(0)592)(3( 2

xxx

xxxxxx

Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar

Persamaan Suku BanyakJika akar-akar persamaan suku banyak:

adalah dan maka

023 dcxbxax

21, xx3x

a

dxxxxxxxxxxxx 321323121321 .....

Contoh 1:

Jumlah akar-akar persamaan adalah….

Jawab:

a=1, b=-3,c=0,d=2

023 23 xx

a

dxxx 321

31

3