Soal 2 (Minimalisasi)Sebuah toko “TO MING SE” menyediakan dua merk pupuk, yaitu Standard dan Super. Setiap jenis mengandung campuran bahan nitrogen dan fosfat dalam jumlah tertentu.

JenisKandungan Bahan Kimia

Nitrogen (kg/sak) Fosfat (kg/sag)Standar 2 4Super 4 3

Seorang petani membutuhkan paling sedikit 16 kg nitrogen dan 24 kg fosfat untuk lahan pertaniannya. Harga pupuk Standar dan Super masing-masing $3 dan $6. Petani tersebut ingin mengetahui berapa sak masingmasing jenis pupuk harus dibeli agar total harga pupuk mencapai minimum dan kebutuhan pupuk untuk lahannya terpenuhi.

Jawab :

1. Variabel

X1 = Standar

X2 = Super

2. Fungsi Tujuan

Zmin = 6X1 + 3X2

3. Fungsi Kendala

a. 2X1 + 4X2 ≥ 16

b. 4X1 + 3X2 ≥ 24

X1 , X2 ≥ 0

4. Grafik

a. 2X1 + 4X2 ≥ 16

X1 = 0 , X2 = 4

X2 = 0 , X1 = 8

b. 4X1 + 3X2 ≥ 24

X1 = 0 , X2 = 8

X2 = 0 , X1 = 6

(a) 2X1 + 4X2 ≥ 16 | x 3

(b) 4X1  + 3X 2 ≥   24  _ | x 4

6X1 + 12X2 ≥ 48

16X1  +   12X 2 ≥   96  _

-10X1 = - 48

X1 = 4,8

Subtitusi X1 kedalam (a)

(a) 2X1 + 4X2 ≥ 16

2(4,8) + 4X2 ≥ 16

9,6 + 4X2 = 16

4X2 = 16-9,6

X2 = 1,6

Zmin = 6X1 + 3X2

Z = 6.(4,8) + 3.(1,6) = $138.24

Sebuah toko “MAKMUR JAYA” menyediakan dua merk pupuk, yaitu Standard dan Super. Setiap jenis mengandung campuran bahan nitrogen dan fosfat dalam jumlah tertentu.Seorang petani membutuhkan paling sedikit 16 kg nitrogen dan 24 kg fosfat untuk lahan pertaniannya. Harga pupuk Standar dan Super masingmasing 3000 dan 6000. Petani tersebut ingin mengetahui berapa sak masing-masing jenis pupuk harus dibeli agar total harga pupuk mencapai minimum dan kebutuhan pupuk untuk lahannya terpenuhi?Perumusan Model (Formulasi) Matematis :Fungsi Tujuan :Standart = A ; Super = BZ mak = 3000 A + 6000 BFungsi Kendala : Kendala BB II dan BB IINitrogen = A; Fosfat = B1) 2 A + 4 B = 162) 4 A + 3 B = 24Penyelesaian :2A + 4B = 16 x 2 ( 4A + 8B = 324A + 3B = 24 x 1 ( 4A + 3B = 24------------------- -5B = 8 ; B = 1,6Jika B = 1,6 maka 2A + 4(1,6) =16 ( 2A = 16 – 6,4 = 9,6A = 4,8Besarnya Z mak = 3000 (4,8) + 6000 (1,6) = 24.000,-

merk pupuknitrogen fosfat VAR

standart 2 4 Rp 3000 X1

super 4 3 Rp 6000 X2

BAHAN YANG TERSEDIA

16kg 24kg

2. Persamaan matematis suatu program linier adalah sebagai berikut :

Minimasi : Z = 6X1 + 7,5X2

Dengan pembatas :7X1 + 3X2 ≥ 2106X1 + 12X2 ≥ 1804X2 ≥ 120X1, X2 ≥ 0Carilah harga X1 dan X2 ?

JAWABANPada kasus ini kita akan menggunakan metode simplex M (BIG – M), hal ini dikarenakan pada kasus ini pertidk samaan pembatasnya menggunakan ≥ (lebih dari sama dengan).Persamaan Tujuan : Z - 6x1 - 7,5X2 - 0S1 - 0S2 - 0S3 = 0 Baris 0Persamaan Kendala : 7x1 + 3x2 - S1 +A1 = 210 Baris 16x1 + 12x2 - S2 +A2 = 180 Baris 24x2 - S3 + A3 = 120 Baris 3Bagi kendala pertidaksamaan jenis ≤, maka variabel slack ditambahkan untuk menghabiskan sumber daya yang digunakan dalam kendala. Cara ini tidak dapat diterapkan pada kendala pertidaksamaan jenis ≥ dan kendala persamaan (=) persamaan diatas diperoleh karena tanda ≥ harus mengurangi variable surplus.Untuk mengarahkan artifisial variabel menjadi nol, suatu biaya yang besar ditempatkan pada A 1, A2, dan A3 sehingga fungsi tujuannya menjadi :Z = 6x1 + 7,5X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + MA1 + MA2 + MA3

Table simplex awal dibentuk dengan A1, A2, dan A3 sebagai variable basis, seperti table berikut :

Basi

s

X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 A3 NK RASIO

Z 13M-6 19M-7,5 -M -M -M 0 0 0 510M

A1 7 3 -1 0 0 1 0 0 210 210 : 3 = 70

A2 6 12 0 -1 0 0 1 0 180 180 : 12 = 15

A3 0 4 0 0 -1 0 0 1 120 120 : 4 = 30

Dari table diatas kita ketahui bahwa semua BFS belum optimal. Hal ini dikarenakan seluruh NBV masih mempunyai koefisien yang berharga positif. Oleh karena itu Untuk x2 terpilih sebagai entry variable karena x2 memiliki nilai koefisien positif yang paling besar, dan A3 menjadi Leaving Variable. Dan yang akan menjadi pivot adalah baris 2 karena memiliki rasio paling kecil.Langkah-langkah ERO Iterasi Pertama :ERO 1 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 1 pada baris 2½ x1 + x2 - 1/12 S2 +1/12 A2 = 15ERO 2 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 0 pada baris 0Z = 9/4 x1 + 0S1 + 15/24 S2 + 0S3 + MA1 + [ M - 15/24]A2 + MA3 + 112,5ERO 3 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 0 pada baris 111/2 x1 + ¼ S2 + A1 - 1/4 A2= 165

ERO 4 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 0 pada baris 3-2x1 + 1/3 S2 - S3 - 1/3 A2 + A3 = 60Konversi bentuk standard iterasi Pertama :Z = 9/4 x1 + 0S1 + 15/24 S2 + 0S3 + MA1 + [ M - 15/24]A2 + MA3 + 112,511/2 x1 + ¼ S2 + A1 - 1/4 A2 = 165-2x1 + 1/3 S2 - S3 - 1/3 A2 + A3 = 60½ x1 + x2 - 1/12 S2 +1/12 A2 = 15Tabel Iterasi Pertama

Basis X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 A3 NK RASIO

Z -13/2M-6 0 0 7/12 -15/24 -M 0 1/24 - M 0 225M – 112,5 *

A111/2 0 0 1/4 0 1 -1/4 0 165 165 : 5,5 = 30

A3 -2 0 0 1/3 -1 0 -1/3 1 60 *

X2 ½ 1 0 -1/12 0 0 1/12 0 15 15 : 0,5 = 30

Pada fungsi tujuan masih terdapat variable dengan nilai koefisien positif, oleh karena itu lakukan iterasi kedua.Langkah-langkah ERO Iterasi Kedua:ERO 1 : Menjadikan nilai koefisien x1 berharga 1 pada baris 1x1 + 1/22 S2 + 2/11A1 - 1/22 A2 = 30ERO 2 : Menjadikan nilai koefisien x1 berharga 0 pada baris 0Z = 0S1 + 0,725 S2 + 0S3 + MA1 -0,4A1 + [ M – 0,725]A2 + MA3 + 180ERO 3 : Menjadikan nilai koefisien x1 berharga 0 pada baris 20.5 A2 = 0ERO 4 : Menjadikan nilai koefisien x1 berharga 0 pada baris 30,39 S2 - S3 +0,36A1 + 0,21 A2 + A3 = 120Konversi bentuk standard iterasi kedua :Z = 0S1 + 0,725 S2 + 0S3 + [M -0,4]A1 + [ M – 0,725]A2 + MA3 + 180x1 + 1/22 S2 + 2/11A1 - 1/22 A2 = 300.5 A2 = 00,39 S2 - S3 + 0,36A1 + 0,21 A2 + A3 = 120Tabel Iterasi Kedua

Basi

s

X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 A3 NK

Z 0 0 0 -0,725 0 -M+0,4 -1/2M+0,725 M -180

x1 1 0 0 1/22 0 2/11 -1/22 0 30

A3 0 0 0 0 0 0 ½ 0 0

X2 0 0 0 0,39 -1 0,36 0,21 1 120

Iterasi kedua adalah optimum karena koefisien pada persamaan Z semuanya non positif, dengan x1 = 30, x2 = 120 dan z=-180.

3. PT Unilever bermaksud membuat 2 jenis sabun, yakni sabun bubuk dan sabun batang. Untuk itu dibutuhkan 2 macam zat kimia, yakni A dan B. jumlah zat kimia yang tersedia adalah A=200Kg dan B=360Kg.

Untuk membuat 1Kg sabun bubuk diperlukan 2 Kg A dan 6 Kg B. untuk membuat 1 Kg sabun batang diperlukan 5 Kg A dan 3 Kg B. bila keuntungan yang akan diperoleh setiap membuat 1Kg sabun bubuk = $3 sedangkan setiap 1 Kg sabun batang = $2, berapa Kg jumah sabun bubuk dan sabun batang yang sebaiknya dibuat ?

JAWABANPemodelan matematika :Maksimumkan : Z = 3x1 + 2x2

Pembatas : 2x1 + 5x2 = 2006x1 + 3x2 = 360Persamaan Tujuan : Z - 3x1 - 2x2 = 0 Baris 0Persamaan Kendala : 2x1 + 5x2 + A1 = 200 Baris 16x1 + 3x2 + A2 = 360 Baris 2Untuk mengarahkan artifisial variabel menjadi nol, suatu biaya yang besar ditempatkan pada A 1, A2, dan A3 sehingga fungsi tujuannya menjadi :

Z = 3x1 - 2X2 + MA1 + MA2

Basis x1 x2 A1 A2 NK Rasio

Z 8M-3 8M+2 0 0 560M

A1 2 5 1 0 200 200:5=40

A2 6 3 0 1 360 360:3=120

Dari table diatas kita ketahui bahwa semua BFS belum optimal. Hal ini dikarenakan belum seluruhnya NBV mempunyai koefisien yang berharga positif. Oleh karena itu Untuk x2terpilih sebagai entry variable karena x2 memiliki nilai koefisien negatif, dan A1 menjadi Leaving Variable. Dan yang akan menjadi pivot adalah baris 1 karena memiliki rasio paling kecil.Langkah-langkah ERO Iterasi Pertama :ERO 1 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 1 pada baris 10,4x1 + x2 + 0,2A1 = 40ERO 2 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 0 pada baris 0Z = 3,8x1 + [M-0,4]A1 + MA2 - 80ERO 3 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 0 pada baris 24,8x1 – 0,6A1 + A2 = 240Konversi bentuk standard iterasi pertama :Z = 3,8x1 + [M-0,4]A1 + MA2 - 800,4x1 + x2 + 0,2A1 = 404,8x1 – 0,6A1 + A2 = 240

Basis x1 x2 A1 A2 NK Rasio

Z 4,8M-3,8 0 0,4-0,4M 0 240M+80

X2 0,4 1 0,2 0 40

A2 4,8 0 0,6 1 240

Iterasi pertama adalah optimum karena koefisien pada persamaan Z semuanya positif, dengan x1 = 40, x2 = 240 dan z=240M+80.

BAB IPendahuluan

A.     Latar BelakangDunia usaha dewasa ini semakin pesat, ditandai dengan banyaknya perusahaan yang

bermunculan dengan berbagai macam usaha bahkan dengan usaha sejenis sehingga persaingan yang terjadi diantara pengusaha semakin ketat. Pada dasarnya setiap perusahaan baik perusahaan besar maupun perusahaan kecil bertujuan untuk mencari keuntungan yang sebesar – besarnya dalam menjalankan kegiatan perusahaan, lebih – lebih dalam era globalisasi sekarang ini., maka setiap organisasi dalam dunia bisnis dituntut untuk senantiasa memanfaatkan sumberdaya yang dimiliki seoptimal mungkin. Ketatnya persaingan pada perusahaan yang memproduksi produk yang sejenis akan membuat perusahaan tersebut terpacu untuk menciptakan inovasi – inovasi yang lebih menarik dan beragam serta selektif dalam kualitas produk yang diproduksi. Oleh karena itu, perusahaan dituntut untuk semakin tanggap dalam melihat apa yang diinginkan konsumen.

Hal – hal yang perlu perusahaan perhatikan didalam faktor – faktor produksi yang ada seperti kulit, penjahitan, finishing. Faktor – faktor produksi ini tersedia dalam jumlah terbatas sehingga pengalokasiannya harus direncanakan sebaik mungkin. Perusahaan harus merencanakan dan mengelola perusahaannya dengan baik agar perusahaan dapat memperoleh hasil yang baik dengan memanfaatkan sumberdaya. sumberdaya yang terbatas secara efektif dan efisien serta tercapainya tujuan perusahaan. Dalam penelitian ini, menitik beratkan pada masalah penentuan kombinasi produk yang paling tepat di suatu perusahaan, dalam hal ini adalah perusahaan Cemerlang, sehingga dapat memberikan keuntungan yang maksimal kepada perusahaan tersebut, selain itu juga manajemen perusahaan harus dapat menggunakan kapasitas produksi sebaik baiknya agar dapat memenuhi kebutuhan – kebutuhan konsumen, maka dengan demikian laba atau keuntungan yang optimal dapat ditentukan oleh kombinasi produsen sesuai dengan kapasitas yang ada dalam perusahaan.Sebab dengan mengetahui seberapa besar produksi yang harus dihasilkan dalam kombinasi produk maka perusahaan dapat merencanakan laba yang akan diperolehnya.

Bab IIDasar teori

Metode simplex digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi yang melibatkan tiga variabel atau lebih yang tidak dapat diselesaikan oleh metode grafik. Metode simpleks adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang memiliki lebih dari dua variabel. Metode simpleks didefinisakan sebagai cara menyelesaikan permasalan yang memiliki variabel keputusan minimal dua dengan menggunalkan alat bantu tabel. Metode simpleks dibedakan menjadi dua yaitu, metode simpleks maksimasi untuk mencari keuntungan maksimal dan metode simpleks minimasi untuk mencari biaa minimal.

A.     PermasalahanContoh Kasus

Perusahaan “CEMERLANG” merupakan perusahaan yang memproduksi dompet, tas, dan tas punggung, untuk membuat 1 dompet diperlukan 2 meter kulit dan 3 jam proses penjahitan, sedangkan untuk membuat 1 tas diperlukan 3 meter kulit dan 1 jam finishing dan untuk membuat tas punggung diperlukan penjahitan selama 2 jam dan finishing selama 5 jam. Dalam satu hari kerja di sediakan 1000 meter kulit, 2100 jam penjahitan, dan 1500 jam finishing. Jika dijual, setiap 1 dompet menghasilkan keuntungan sebesar 50 sedang untuk tas menghasilkan keuntungan 20 dan tas punggung menghasilkan keuntungan sebesar 30.

Ringkasan data perusahaan “CEMERLANG” ada pada tabel berikut:

Sumber daya

Kebutuhan Sumber Daya per unitKapasitas

HarianDompet

(x1)Tas(x2)

Tas punggung(x3)

Kulit (meter) 2 3 0 1000

Penjahitan (jam) 3 0 2 2100

Finishing (jam) 0 1 5 1500

Harga Jual ($) 50 20 30Berapa jumlah kombinasi antara dompet, tas, dan tas punggung yang harus di

produksi oleh perusahaan “CEMERLANG”untuk memperoleh keuntungan yang paling maksimal?

B.      Penyelesaiana.      Dengan Manual

Untuk menyelesaikan masalah optimasi dengan metode simplex ini terlebih dahulu kita rumuskan fungsi tujuan dan kendala-kendalanya.

         fungsi tujuan : Z = 50x1 + 20x2 + 30x3.         Fungsi batasan

2x1 + 3x2 ≤ 10003x1 + 2x3 ≤ 2100 x2 + 5x3 ≤ 1500

Untuk menyelesaikan masalah di atas dilakukan langkah-langkah dibawah ini :1.      Mengubah fungsi tujuan.

Z - 50x1 - 20x2 - 30x3 = 02.      Mengubah fungsi batasan

2x1 + 3x2 + 0x3 + S1 = 10003x1 + 3x2 + 2x3 + S2= 21003x1 + x2 + 5x3 + S3 = 1500

3.      Masukkan setiap koefisien variabel ke dalam tabel simplex. Sehingga :

Variabel Dasar x1 x2 x3 S1 S2 S3 Nilai Kanan Nilai IndeksZ -50 -20 -30 0 0 0 0S1 2 3 0 1 0 0 1000S2 3 0 2 0 1 0 2100

S3 0 1 5 0 0 1 15004.      Menentukan kolom kunci.

Lihat baris Z lihat nilai yang terkecil.Pada contoh di atas nilai negatif yang tebesar adalah -50 pada kolom X1jadi,kolom X1 adalah kolom kunci sehingga :

Variabel Dasar

x1 x2 x3 S1 S2 S3 Nilai KananIndeks

Z -50 -20 -30 0 0 0 0S1 2 3 0 1 0 0 1000S2 3 0 2 0 1 0 2100

S3 0 1 5 0 0 1 1500

Kolomkunci

5.      Menentukan Baris Kunci (BK)Baris kunci diketahui dari nilai indeks yang terkecil

=500=700

Jadi nilai terkecil adalah 500, sehingga baris kuncinya ada pada S1.

Variabel Dasar

x1 x2 x3 S1 S2 S3Nilai Kanan

Nilai indeks

Z -50 -20 -30 0 0 0 0 0→baris kunci

S1 2 3 0 1 0 0 1000 500S2 3 0 2 0 1 0 2100 700

S3 0 1 5 0 0 1 1500tak terhingga

Angka kunci

Kolom kunci

6.      Mencari angka KunciAngka kunci diperoleh dari perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci.Jadi angka kunci diperoleh adalah 2

7.      Membuat Baris Baru Kunci (BBK)Karena nilai kunci berada pada kolom x1, maka baris S1 kita ubah namanya menjadi x1, dan nilai-nilai pada baris S1 kita ubah pula dengan cara membagi nilai baris dengan angka kunci.

Sehingga :

Maka kita mendapat nilai baris kunci yang baru (baris x1) :

Variabel Dasar x1 x2 x3 S1 S2 S3 Nilai Kanan Nilai indeksZx1 1 1,5 0 0,5 0 0 500S2

S3

8.      Mencari baris baru selain baris kunci (BK)Baris baru : baris lama – (angka kolom kunci X nilai baru baris kunci)Misalnya :

Pada baris Z lama :

Variabel Dasar x1 x2 x3 S1 S2 S3 Nilai Kanan Nilai Indeks

Z -50 -20 -30 0 0 0 0x1

S2

S3

Sedangkan baris kunci yang baru :

Variabel Dasar x1 x2 x3 S1 S2 S3 Nilai Kanan Nilai IndeksZx1 1 1,5 0 0,5 0 0 500S2

S3

Sehingga baris Z yang baru :x1 = (-50) – ((-50) X 1) = -50 + 50 = 0x2 = (-20) – ((-50) X 1,5) = 55x3 = (-30) –((-50) X 0) = -30S1 = 0 – ((-50) X 0,5) = 25S2 = 0 – ((-50) X 0) = 0S3= 0 – ((-50) X 0) = 0Nilai kanan baru = 0 – ((-50) X 500) = 25000

Untuk baris S2, angka kolom kuncinya adalah 3. Sehingga baris S2 baru :x1 = 3 – (3 X 1) = 0x2 = 0 – (3 X 1,5) = -4,5x3 = 2 – (3 X 0) = 2S1= 0 – (3 X 0,5) = -1,5S2 = 1 – (3 X 0) = 1S3 = 0 – (3 X 0) = 0Nilai kanan baru = 2100 – (3 X 500) = 600

Untuk baris S3, angka kolom kuncinya adalah 0. Sehingga baris S3 baru :x1 = 0 – (0 X 1) = 0x2 = 1 – (0 X 1,5) = 1x3 = 5 – (0 X 0) = 5S1 = 0 – (0 X 0,5) = 0S2 = 0 – (0 X 0) = 0S3 = 1 – (0 X 0) = 1Nilai kanan baru = 1500 – (0 X 500) = 1500

9.      Masukkan nilai-nilai tersebut ke dalam tabel simplex yang baru.

Variabel Dasar x1 x2 x3 S1 S2 S3 Nilai KananZ 0 55 -30 25 0 0 25000x1 1 1,5 0 0,5 0 0 500S2 0 -4,5 2 -1,5 1 0 600S3 0 1 5 0 0 1 1500

10.  Perhatikan kembali tabel di atas, bila pada baris Z masih ada variabel yang bernilai negatif, maka fungsi tujuan belum maksimal. Sehingga untuk menghilangkan nilai negatif kita ulangi lagi langkah-langkah sebelumnya. Ini kita lakukan terus-menerus hingga tiada variabel Z yang negatif.

Variabel Dasar

x1 x2 x3 S1 S2 S3Nilai Kanan

Nilai Indeks

Z 0 55 -30 25 0 0 25000 -83,333

→ baris kunci

x1 1 1,5 0 0,5 0 0 500 Tidak terdefinisi

S2 0 -4,5 2 -1,5 1 0 600 300

S3 0 1 5 0 0 1 1500 300

Menentukan baris kunci :

Baris kunci dipilih S3

Nilai baris kunci yang baru (x3) dihitung dengan membagi semua angka baris kunci dengan angka kunci Baris x3 baru :

Nilai baris kunci yang baru :

Variabel Dasar x1 x2 x3 S1 S2 S3 Nilai KananNilai Indeks

Zx1

S2

x3 0 0,2 1 0 0 0,2 300

Baris Z lama :

0 55 -30 25 0 0 25000

↓ Angka kolom kunci = -30

Baris Z baru :

0 61 0 25 0 6 34000

Baris x1 lama :

1 1,5 0 0,5 0 0 500

↓ Angka kolom kunci = 0

Baris x1 baru :

1 1,5 0 0,5 0 0 500

Baris S2 lama :

0 -4,5 2 -1,5 1 0 600

↓ Angka kolom kunci = 2

Baris S2 baru :

0 -4,9 0 -1,5 1 -0,4 0

Sehingga tabel simplex yang baru :

Variabel Dasar x1 x2 x3 S1 S2 S3 Nilai KananZ 0 61 0 25 0 6 34000x1 1 1,5 0 0,5 0 0 500

S2 0 -4,9 0 -1,5 1 -0,4 0x3 0,2 0,2 1 0 0 0,2 300

Perhatikan tabel di atas! Karena seluruh variabel pada fungsi Z sudah bernilai positif, maka fungsi kita sudah maksimal.

Sehingga dapat kita simpulkan bahwa untuk memperoleh hasil maksimum, perusahaan harus memproduksi :x1 = 500 unitx2 = 0x3 = 300 unit

Z = 50 x1 + 20 x2 + 30 x3Z = 50(500) + 20(0) + 30(300)Z = 34000Sehingga perusahaan Cemerlang harus memproduksi 500 dompet dan 300 tas punggung agar mencapai keuntungan yang maksimal yaitu Rp. 340.000.000

b.      Dengan POM FOR WINDOW

BAB IIIPENUTUP

A.     KesimpulanDengan demikian dapat disimpulkan bahwa program linier programming digunakan sebagai

alat bantu dalam pengambilan keputusan untuk memaksimalkan laba.Dari kasus diatas dapat disimpulkan bahwwa perusahaan Cemerlang harus memproduksi

500 dompet dan 300 tas punggung agar mencapai keuntungan yang maksimal yaitu Rp. 340.000.000

B.     SaranPenulis menyadari tentang penyusunan makalah, tentu masih banyak kesalahan dan

kekurangannya, karena terbatasnya pengetahuan dan kurangnya rujukan atau referensi yang ada hubungannya dengan judul makalah ini.

Penulis banyak berharap para pembaca yang budiman sudi kiranya memberikan kritik dan saran yang membangun kepada penulis demi sempurnanya makalah ini dan penulisan makalah di kesempatan-kesempatan berikutnya. Semoga makalah ini berguna bagi penulis pada khususnya juga para pembaca yang budiman pada umumnya.

ISTILAH-ISTILAH DALAM METODE SIMPLEKS

Iterasi : tahapan perhitungan dimana nilai dari perhitungan tersebut tergantung pada nilai tabel hasil perhitungan sebelumnya.

Variabel basis : variable yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada table awal simpleks, variable basis merupakan variable

slack (jika fungsi kendala menggunakan tanda ≤) atau variable surplus (bila fungsi kendala menggunakan tanda ≥) atau

variable buatan (bila fungsi kendala menggunakan tanda =).   

Variabel non basis : variable yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi. Dalam terminology umum, jml variable non basis

selalu sama dg derajad bebas dalam system persamaan.

Variabel slack : variable yg ditambahkan ke model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≤ menjadi persamaan

(=). Penambahan variable ini terjd pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variable slack berfungsi sbg variable basis.    

Variabel surplus : variable yg dikurangkan dari model matematik kendala utk mengkonversi pertidaksamaan ≥ menjadi persamaan

(=).Penambahan variable ini terjd pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variable surplus ini tidak dapat berfungsi sbg

variable basis.  

Variabel buatan : variable yg ditambahkan ke model matematik kendala dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan sbg variable basis

awal. Penambahan variable ini terjd pd tahap inisialisasi. Variabel ini hrs bernilai 0 pd solusi optimal krn pd

kenyataannyavariabel ini tdk ada. Variabel ini hanya ada di atas kertas.

Variabel masuk : variable yg terpilih utk menjd variable basis pd iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu di antara variable non

basis pd setiap iterasi. Variabel ini pd iterasi berikutnya akan bernilai positif. 

Variabel keluar : variable yg keluar dari variable basis pd iterasi berikutnya dan digantikan oleh variable masuk. Variabel keluar dipilih

satu di antara variabel basis pd setiap iterasi dan akan bernilai 0 pd iterasi berikutnya.

Kolom pivot (kolom kerja) : kolom yg memuat variable masuk. Koefisien pd kolom ini akan mjd pembagi nilai kanan utk menentukan

baris pivot (baris kerja). 

Baris pivot (baris kerja) : adalah salah satu baris di antara variable basis yg memuat variable keluar.

Elemen  pivot (elemen kerja) : elemen yg terletak pd perpotongan kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan mjd dasar perhitungan utk

tabel simpleks berikutnya.   

Nilai sebelah kanan : nilai sumberdaya pembatas yg masih tersedia pada tabel awal simpleks.

Solusi : nilai sebelah kanan yang menunjukkan nilai optimal dari Z pada iterasi terakhir.

BENTUK BAKU MODEL MATEMATIS            Sebelum melakukan perhitungan iterative untuk menentukan solusi optimal, langkah pertama adalah mengubah

bentuk umum linear programming ke dalam bentuk baku simpleks terlebih dahulu. Bentuk baku dalam metode simpleks

tidak hanya mengubah persamaan kendala  ke dalam bentuk sama dengan, tapi setiap fungsi kendala harus diwakili oleh satu

variabel basis awal. Variabel basis awal menunjukkan kondisi sebelum ada aktivitas yang dilakukan dan variabel keputusan

masih bernilai 0.

            Ada beberapa hal yg hrs diperhatikan dlm membuat bentuk baku/standar, yaitu :

1.    fungsi kendala dg pertidaksamaan ≤ dlm bentuk umum, dirubah mjd persamaan (=) dg menambahkan satu variable slack.

2.   fungsi kendala dg pertidaksamaan ≥ dlm bentuk umum, dirubah mjd persamaan (=) dg mengurangkan satu variable surplus.

3.   fungsi kendala dg persamaan (=) dlm bentuk umum, ditambahkan satu variable buatan (artificial variable).

LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN DG METODE SIMPLEKS

Dalam menyelesaikan masalah linear programming, dilakukan perhitungan iterasi dengan menggunakan table. Tabel awal

yang dibuat berdasarkan model baku matematika yang ada dinamakan Tabel Awal Simpleks selanjutnya dilakukan

perhitungan iterasi. Tahap-tahap yang ada yaitu :

1.    membuat bentuk baku model matematik.

2.   membuat table awal simpleks berdasarkan bentuk baku yang sudah ada.

3.   memeriksa kelayakan table awal dg melihat nilai kanan. Bila ada yg bernilai negatif maka tidak layak diselesaikan.

4.   menentukan kolom pivot dg cara sebagai berikut :

a.   bila fungsi tujuannya maksimisasi maka pilih kolom dg nilai negatif terbesar.

b.   bila fungsi tujuannya minimalisasi maka pilih kolom dg nilai positif terkecil.

c.   bila nilai-nilai tersebut jumlahnya lebih dari satu, pilih sembarang.

Bila kolom pivot ditarik ke atas maka akan ditemukan variabel keluar.

1.    menentukan baris pivot dg melihat hasil bagi nilai solusi dg nilai kolom pivot yg bersesuaian. Pilih yg mempunyai nilai bagi

terkecil. Bila baris pivot ditarik ke kiri maka akan diperoleh variabel keluar.

2.   menentukan elemen pivot dg mencari perpotongan kolom pivot dan baris pivot.

3.   lakukan perhitungan-perhitungan untuk membuat iterasi selanjutnya.

4.   memeriksa keoptimalan dengan melihat nilai koefisien fungsi tujuan di mana :

a.   bila maksimisasi maka nilai solusi sudah positif atau nol.

b.   bila minimisasi maka nilai solusi sudah negatif atau nol.

CONTOH 1

Pemilik perusahaan kayu yang memproduksi kursi dan meja mempunyai tenaga kerja dan persediaan kayu. Tenaga kerja dan

persediaan kayu yang ada masing-masing sebanyak 450 orang perjam dan 400 board feet. Untuk membuat 1 kursi

diperlukan kayu sebanyak 5 board feet dan 10 orang/jam serta menghasilkan keuntungan Rp 45 ribu. Untuk membuat 1 meja

diperlukan 20 board feetdan 15 orang/jam serta menghasilkan keuntungan Rp 80 ribu. Berapa banyak meja dan kursi harus

diproduksi agar jumlah keuntungan yang ingin diperoleh maksimum.

Perumusan masalah

-       variable keputusan, X1 = jumlah kursi dan X2 = jumlah meja

-       fungsi tujuan, maksimum Z = 45X1 + 80X2

-       fungsi kendala, 5X1 + 20X2 ≤ 400 ............ kayu

        10X1 + 15X2 ≤ 450 .......... tenaga kerja

         X1 ≥ 0, X2 ≥ 0  ................ non negatif

Bentuk baku fungsi tujuan :

-      maksimum Z - 45X1 - 80X2 - 0S1 - 0S2 = 0           

Bentuk baku fungsi kendala

-       5X1 + 20X2 + S1 = 400 ……………….. kayu

-       10X1 + 15X2 + S2 = 450 ………………. tenaga kerja

-       X1, X2, S1, S2 ≥ 0 ………………………………………. non negatif

Tabel Awal Simpleks

Variabel Basis X1 X2 S1 S2 RHS

Z -45 -80 0 0 0

S1 5 20 1 0 400

S2 10 15 0 1 450

Variabel

Basis

X1 X2 S1 S2 RHS Rasio

Z -45 -80 0 0 0 -

S1 5 20 1 0 400 400/20 = 20

S2 10 15 0 1 450 450/15 = 30

Tabel iterasi 1

Variabel

Basis

X1 X2 S1 S2 RHS Ket

Z -25 0 4 0 1600 Baris awal ini + (baris

pivotx80)

X2 5/20 1 1/20 0/20 20 Baris awal ini/20

S2 6,25 0 -3/4 1 150 Baris awal ini – (baris

pivotx15)

Variabel

Basis

X1 X2 S1 S2 RHS Rasio

Z -25 0 4 0 1600

X2 5/20 1 1/20 0/20 20 20/0,25 = 80

S2 6,25 0 -3/4 1 150 150/6,25 = 24

Tabel iterasi 2

Variabel

Basis

X1 X2 S1 S2 RHS Ket

Z 0 0 1 4 2200 Baris ini + (baris

pivotx25)

X2 0 1 0,08 -0,04 14 Baris ini – (baris

pivotx5/20)

X1 1 0 -0,12 0,16 24 Baris ini/6,25

Pada Tabel iterasi 2 dapat dilihat bahwa nilai Z sdh tidak ada yg negative shg sudah optimal. Dari table tsb dpt dibaca :

1. Nilai optimal (nilai maksimum tujuan) Z = 2200

2. Nilai solusi X1 = 24

3. Nilai solusi X2 = 14

4. Tidak ada sumber daya yg tersisa

5. Harga bayangan utk S1 = 1

6. Harga bayangan utk S2 = 4, mjd prioritas utk ditambah.