LINEAR PROGRAMMING: SIMPLEX METHOD Riset operasi atau sains manajemen merupakan aplikasi dari pendekatan multidisiplin atau ilmiah yang mengkonsentrasikan penyelesaian masalah-masalah manajerial dalam rangka membantu manajer untuk mengambil keputusan yang baik. Pendekatan Operation Research yang digunakan untuk memecahkan masalah adalah sebagai berikut: 1.Observasi, yaitu langkah awal yang dilakukan, dimana manajer mengenali dan mempelajari masalah-masalah yang ada dalam organisasi atau sistem. 2. 3.Definisi Masalah, yaitu bagaimana masalah yang muncul tadi dapat dijabarkan dan dtegaskan secara singkat dan jelas. Definisi masalah harus meliputi batasan-batasan masalah dan tingkatan dimana masalah tersebut menyangkut unit organisasi lainnya. 4.Konstruksi model, yaitu bagaimana suatu masalah yang telah teridentifikasi tadi harus dibuatkan suatu model, yang di dalam sains manajemen merupakan bentuk penyajian yang ringkas dari situasi masalah yang sedang berjalan. Penyajian dari model ini bisa berupa grafik, diagram dan biasanya mencakup suatu paket hubungan matematis. 5.Solusi, yaitu setelah model matematik disusun maka permasalahan yang dihadapi tadi dapat diselesaikan dengan teknik-teknik yang terdapat dalam sains manajemen. 6.Implementasi, merupakan hal yang menjadi tujuan akhir dari riset operasi, dimana teknik dari manajemen sains tadi memberikan jawaban pemecahan masalah, dan selanjutnya dapat diinformasikan kepada manajer untuk membantu pembuatan keputusan. Dalam mengambil keputusan, manajer tidak harus terpaku pada pemecahan tadi saja, tetapi bisa menggunakan pertimbangan lebih lanjut. Program linier adalah salah satu teknik/metode matematik dalam Operation Research dalam menyelesaikan persoalan pengalokasian sumber-sumber daya yang terbatas di antara aktivitas yang bersaing dengan cara terbaik yang mungkin dilakukan untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. Pemrograman linier dapat diselesaikan dengan metode grafik dan metode simplex. Metode simplex merupakan metode yang digunakan untuk untuk mengatasi kelemahan pada metode grafik dimana pada metode simplex jumlah variabel yang digunakan bisa lebih dari 2 variabel. Metode simplex adalah prosedur algoritma yang digunakan untuk menghitung dan menyimpan banyak angka pada iterasi-iterasi yang sekarang dan untuk pengambilan keputusan pada iterasi berikutnya. Metode simplex secara eksplisit memakai manipulasi matriks maka masalah harus dinyatakan dalam notasi matriks. Maksud yang lebih jelas yaitu pada metode simplex model diubah ke dalam bentuk suatu tabel (matriks), kemudian dilakukan beberapa langkah matematis pada tabel tersebut. Langkah-langkah matematis ini pada dasarnya merupakan replikasi proses pemindahan dari suatu titik ke titik ekstrim batas solusi lainnya. Metode simplex bergerak dari satu solusi yang lebih baik sampai solusi yang terbaik didapatkan Model pemrograman linier ada 2 fungsi yaitu fungsi tujuan dan fungsi kendala (batasan). Semua kendala (batasan) dan fungsi tujuan dimasukan ke dalam tabel masukan dengan memasukkan koefisien setiap variabel, sebelum proses optimasi dilakukan. Optimasi ada 2 yaitu maksimasi dan minimasi sehingga pemakai harus terlebih dahulu memilih jenis optimasi yang diinginkan. Hasil akhir dari program ini adalah solusi optimal untuk setiap variabel batasan dan nilai optimal untuk fungsi sasaran. Tahap paling awal yang diperhatikan dalam metode simplex ini adalah tiga tahap yang dilakukan pada linear programming yaitu 1.Masalah harus dapat diidentifikasi sebagai sesuatu yang dapat diselesaikan dengan Linear Programming. 2.Masalah yang tidak terstruktur harua dapat dirumuskan dalam model matematika, sehingga menjadi terstruktur. 3.Model harus diselesaikan dengan teknik matematika yang dibuat Tahap selanjutnya merupakan tahap teknis yang secara umum ada dalam program linier, sebagai berikut: 1.Menentukan variabel keputusan, dimana maksud dari variabel keputusan ini merupakan simbol matematika yang menggambarkan tingkatan aktivitas perusahaan. Tahap ini sebenarnya untuk mempermudah dalam menggunakan metode matematik, dengan memutuskan memakai simbol matematik untuk hal yang ingin dihitung. 2.Membuat fungsi tujuan, yang dimaksudkan dari fungsi tujuan ini adalah hubungan matematika linier yang menjelaskan tujuan perusahaan dalam terminologi variabel keputusan. Jadi setelah ditentukan variabel keputusan, kemudian digunakan dalam membuat fungsi (persamaan matematika) dari tujuan yang ingin dicapai perusahaan. 3.Membuat batasan (kendala) model, dimana maksud dari fungsi batasan adalah hubungan linier dari variabel keputusan yang menunjukkan keterbatasan perusahaan dalam lingungan operasi perusahaan. Dalam fungsi tujuan dan batasan model harus diberikan parameter, yaitu nilai numerik yang aktual dan biasanya merupakan koefisien dari variabel (simbol) dalam persamaan. Langkah-langkah selanjutnya merupakan inti dari penyelesaian metode simplex, yaitu: 1.Mengubah bentuk batasan model pertidakasamaan menjadi persamaan. Hal yang dilakukan bisa menggunakan variabel pengurang (slack variable), dimana ini digunakan untuk batasan kurang-dari-atau-sama-dengan (tanda ). 2.Membentuk tabel awal untuk solusi fisibel dasar pada titik original dan menghitung nilai-nilai baris Zj dan Cj-Zj. 3.Menentukan kolom pemutar (variabel non dasar yang masuk) dengan cara memilih kolom yang memiliki nilai positif tertinggi pada baris Cj-Zj. 4.Menentukan baris pemutar (variabel dasar yang keluar) dengan cara membagi nilai pada kolom kuantitas dengan nilai-nilai pada kolom pemutar dan memilih baris dengan hasil bagi nonnegatif terkecil. 5.Menhitung nilai baris pemutar yang baru dengan menggunkan formula: Nilai Baris Pemutar Tabel Lama Angka Pemutar 1.Menghitung nilai baris lainnya dengan formula: 1.Menghitung baris-baris Zj dan Cj-Zj yang baru. 2.Menentukan apakah solusi telah optimal dengan mengecek baris Cj-Zj. Jika semua nilai Cj-Zj nol atau negatif, maka solusi sudah optimal, Jika masih bernilai positif, dilakukan lagi mulai dari langkah ketiga dan seterusnya. Dalam langkah pertama dari penyelesaian metode simplex, disebutkan bahwa pada batasan yang merupakan bentuk pertidaksamaan dibuat menjadi bentuk persamaan. Hal ini bisa digunakan dengan dua variabel yang sudah disebutkan sebelumnya, yaitu: a)Variabel Pengurang (Slack Variable), merepresentasikan sumber daya yang mengganggur pada suatu fungsi kendala, variabel ini digunakan untuk ditambahkan dalam fungsi pertidaksamaan , supaya dengan menambahkan variabel slack ini diperoleh solusi fisibel awal (initial feasible solution, sama dengan titik origin pada grafik). b) Variabel Penambah (Surplus Variable), merepresentasikan kekurangan sumber daya pada suatu fungsi kendala, variabel digunakan untuk dikurangkan dalam fungsi pertidaksamaan , supaya dengan menambahkan variabel surplus ini diperoleh solusi fisibel awal (initial feasible solution, sama dengan titik origin pada grafik).Baik variabel slack maupun variabel surplus menggunakan simbol s. Untuk memperjelas variabel slack dan surplus dapat diberikan 2 contoh sebagai berikut: 1.Minimumkan Z = 2 X1 + 5.5 X2 Kendala: X1 + X2 = 90 0.001X1 + 0.002X2 0.9 0.09X1 + 0.6X2 27 0.02X1 + 0.06X2 4.5 X1, X2 0 Bentuk bakunya adalah: Minimumkan Z = 2 X1 + 5.5 X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4 Terhadap:X1 + X2 + S1 = 90 0.001X1 + 0.002X2 + S2 = 0.9 0.09X1 + 0.6X2 S3 = 27 0.02X1 + 0.06X2 + S4 = 4.5 X1, X2, S1, S2, S3, S4 0 2. Maksimumkan Z = 2X1 + 3X2 Kendala:10X1 + 5X2 600 6X1 + 20X2 600 8X1 + 15X2 600 X1, X2 0 Bentuk Baku: Maksimumkan Z = 2X1 + 3X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 Terhadap: 10X1 + 5X2 + S1 = 600 6X1 + 20X2 + S2 = 600 8X1 + 15X2 + S3 = 600 X1, X2, S1, S2, S3 0 CONTOH SOAL: KASUS MAKSIMISASI SOAL 1: Suatu perusahaan yang bergerak pada bidang furniture akan memproduksi meja dan kursi dengan harga per unit masing-masing $7 dan $5. Dalam mengerjakan 1 unit meja membutuhkan 4 jam proses pemahatan dan 2 jam pengecatan dan finishing. Sedangkan untuk mengerjakan 1 unit kursi membutuhkan 3 jam proses pemahatan dan 1 jam pengecatan dan finishing. Waktu yang tersedia pada proses pemahatan adalah minimal 240 jam, dan waktu untuk pengecatan dan finishing minimal 100 jam. Berapakah profit yang bisa didapatkan pada tingkat maksimum? Dan pada jumlah berapa unitkah yang akan diproduksi untuk mencapai profit maksimum? Tahap-tahap penyelesaian: 1.Menentukan variabel keputusan: = jumlah unit meja yang diproduksi = jumlah unit kursi yang diproduksi 1.Formulasi Fungsi Tujuan dan Fungsi Kendala Dari Permasalahan PL Maksimumkan: 7+ 5 Dengan kendala : 4 + 3 240 2 +100 , 0 1.Mengkonversi Bentuk Pertidaksamaan Dalam Fungsi Kendala Menjadi Bentuk Standar Kendala I: 4+ 3240 4+ 3 += 240 Jika == 0 (titik origin pada grafik) maka = 240 Kendala II: 2 +100 2 + += 100 Jika == 0 (titik origin pada grafik) maka= 100 Dengan demikian, formulasi dalam bentuk standar dari permasalahan yang dibahas: Maksimumkan:7 + 5 + 0+ 0 Dengan kendala :4 + 3++ 0 = 240 2++ 0 +=100 , , 0 c.Membuat Table Simpleks Awal TABLE 1 Cj 7500Right Hand SideBasic Variable 0 4310240 0 2101100 Zj 00000 Cj - Zj7500 -Pada dasarnya, semua angka pada formulasi diplotting dalam tabel simpleks awal. -Ada dua macam variabel: Variabel Basis (Basic Variable) dan Variabel Non Basis (Non Basic Variable). -Cj menotasikan profit per unit (untuk permasalahan maksimisasi) dari masing-masing variabel dalam formulasi. -Baris Zj berisikan angka gross profit (laba kotor). Untuk kolom j, Zj ditentukan dari jumlah perkalian antara profit per unit variabel basis dan angka pada kolom j. -Baris Cj - Zj disebut baris net profit yang mengindikasikan besarnya net profit tambahan yang akan diperoleh jika variabel pada kolom menjadi variabel basis pada iterasi berikutnya. d. Algoritma metode simpleks dengan mengaplikasikan lima langkah berikut ini: -Langkah 1: menentukan variabel kolom yang akan masuk basis Variabel kolom mana yang akan dipilih untuk menggantikan variabel basis pada iterasi berikutnya ditentukan berdasarkan nilai Cj - Zj terbesar (untuk problem maksimisasi). Selanjutnya, kolom terpilih disebut dengan kolom pivot. Cj 7500Right Hand SideBasic Variable 0 4310240 0 2101100 Zj 00000 Cj - Zj7500 -Langkah 2: menentukan variabel yang akan keluar basis variabel basis yang akan keluar basis pada iterasi berikutnya didasarkan pada nilai replace row antara Right Hand Side dan angka pada kolom pivot pada Langkah 1. Baris variabel basis yang memiliki nilai replace row dengan angka nonnegatif (positif) terkecil dipilih sebagai baris yang akan digantikan. Baris variabel basis ini disebut baris pivot. Variabel Basis RHSReplace Row 4240240/4 = 60 2100100/2 = 50 Cj Basic Variable 7500 Right Hand SideBasic Variable0 4310240 0 2101100 Zj 00000 Cj - Zj7500 Angka pada perpotongan antara kolom pivot dan baris pivot disebut dengan angka pivot. -Langkah 3: menentukan angka baru untuk baris pivot Perhitungan angka baru untuk baris pivot pada iterasi berikutnya:membagi setiap angka pada baris pivot dengan angka pivot Keterangan RHS Angka Lama (1)2101100 Angka Pivot (2)22222 Angka Baru Untuk Baris Pivot (1:2) 1050 -Langkah 4: menentukan angka baru untuk baris lainnya Perhitungan angka baru pada baris selain baris pivot pada iterasi berikutnya: Nilai baris tabel baru = Nilai baris tabel lama [(angka diatas atau dibawah angka pivot) (angka baru baris pivot)] Nilai Baris Tabel Lama Angka diatas angka pivot Angka baru baris pivot Angka baru 4-( 41)=0 3-( 4)=1 1-( 40)=1 0-( 4)=-2 240 -( 450)=40 -Langkah 5: menghitung Zj dan Cj - Zj dan mengevaluasi apakah tabel simpleks memberikan solusi optimal Perhitungan Zj dan Cj - Zj dilakukan dengan cara yang telah digunakan sebelumnya. Pada problem maksimisasi, jika semua Cj - Zj bernilai nol atau negatif (atau Cj - Zj 0) maka solusi optimal telah tercapai. Sebaliknya, jika masih ada kolom dengan Cj - Zj 0 perhitungan masih harus dilanjutkan dan dimulai dari Langkah 1. TABLE 2 Cj 7500Right Hand SideBasic Variable 0 011-240 7 1050 Zj 77/207/2350 Cj - Zj03/20-7/2 Karena pada Tabel 2 nilai Cj - Zj tidak semua bernilai nol atau negatif, maka dilanjutkan kembali ke Langkah 1 dan seterusnya. -Langkah 1: menentukan variabel kolom yang akan masuk basis berdasarkan nilai Cj - Zj terbesar (untuk problem maksimisasi). Selanjutnya, kolom terpilih disebut dengan kolom pivot. Cj 7500Right Hand SideBasic Variable 0 011-240 7 1050 Zj 77/207/2350 Cj - Zj03/20-7/2 -Langkah 2: menentukan variabel yang akan keluar basis variabel basis yang akan keluar basis pada iterasi berikutnya didasarkan pada nilai replace row antara Right Hand Side dan angka pada kolom pivot pada Langkah 1. Baris variabel basis yang memiliki nilai replace row dengan angka nonnegatif (positif) terkecil dipilih sebagai baris yang akan digantikan. Baris variabel basis ini disebut baris pivot.Variabel Basis RHSReplace Row 14040/1 = 40 5050/() = 100 Cj Basic Variable 7500 Right Hand Side Basic Variable 0 011-240 7 1050 Zj 77/207/2350 Cj - Zj03/20-7/2 Angka pada perpotongan antara kolom pivot dan baris pivot disebut dengan angka pivot. -Langkah 3: menentukan angka baru untuk baris pivot Perhitungan angka baru untuk baris pivot pada iterasi berikutnya:membagi setiap angka pada baris pivot dengan angka pivot Keterangan RHS Angka Lama (1)011-240 Angka Pivot (2)11111 Angka Baru Untuk Baris Pivot (1:2) 011-240 -Langkah 4: menentukan angka baru untuk baris lainnya Perhitungan angka baru pada baris selain baris pivot pada iterasi berikutnya: Nilai baris tabel baru = Nilai baris tabel lama [(angka diatas atau dibawah angka pivot) (angka baru baris pivot)]Nilai Baris Tabel Lama Angka diatas angka pivot Angka baru baris pivot Angka baru 1-( 0 )=1 -( 1 )=0 0-( 1 )=- -( -2 )=3/2 50-( 40 )=30 -Langkah 5: menghitung Zj dan Cj - Zj dan mengevaluasi apakah tabel simpleks memberikan solusi optimal Perhitungan Zj dan Cj - Zj dilakukan dengan cara yang telah digunakan sebelumnya. Pada problem maksimisasi, jika semua Cj - Zj bernilai nol atau negatif (atau Cj - Zj 0) maka solusi optimal telah tercapai. Sebaliknya, jika masih ada kolom dengan Cj - Zj 0 perhitungan masih harus dilanjutkan dan dimulai dari Langkah 1. Karena pada tabel 3 nilai Cj - Zj semua bernilai nol atau negatif, maka diperoleh tabel yang memberikan solusi yang optimal. Interpretasi Tabel OptimalCj 7500Right Hand SideBasic Variable 0 011-240 7 10-1/23/230 Zj 753/21/2410 Cj - Zj00-3/2-1/2 Solusi Optimal Interpretasi dari solusi optimal: fungsi tujuan akan optimal jika perusahaan memproduksi 30 unit meja dan 40 unit kursi dan besarnya total profit yang diperoleh dari aktivitas yang menghasilkan kombinasi meja-kursi tersebut adalah $410. CONTOH SOAL 2 Perusahaan Mebel Ais memproduksi lemari jenis A, B, dan C. Produk tersebut diproses melalui tiga departemen: pertukangan, pengecatan, dan penyelesaian. Setiap unit lemari A membutuhkan 3 jam tenaga kerja di departemen pertukangan, 2 jam tenaga kerja di departemen pengecatan, dan 1 jam tenaga kerja di departemen penyelesaian. Setiap unit lemari B membutuhkan 4 jam tenaga kerja di departemen pertukangan, 5 jam tenaga kerja di departemen pengecatan, dan 2 jam tenaga kerja di departemen penyelesaian. Dan, setiap unit lemari C membutuhkan 3 jam tenaga kerja di departemen pertukangan, 1 jam tenaga kerja di departemen pengecatan, dan 1 jam tenaga kerja di departemen penyelesaian. Kapasitas yang tersedia pada departemen pertukangan, departemen pengecatan, dan departemen penyelesaian adalah 400 jam, 360 jam, dan 250 jam, masing-masing. Harga jual masing-masing produk adalah Rp 10 (lemari A), Rp 15 (lemari B), dan Rp 12 (lemari C). Penyelesaian vDefinisi variabel keputusan: -X1 = Jumlah lemari A yang dijual (diproduksi) -X2umlah lemariyang dijual (diproduksi) -X3umlah lemariyang dijual (diproduksi) vFungsi Tujuan: Maks: Zj = 10 X1 + 15 X2 + 12 X3 vBatasan: 3 X1 + 4 X2 + 3 X3 > 400 2 X1 + 5 X2 + 1 X3 > 360 1 X1 + 2 X2 + 1 X3 250 X1, X2, X3 0 vMengkonversi Bentuk Pertidaksamaan Fungsi Kendala Menjadi Bentuk Standar -3 X1 + 4 X2 + 3 X3 + S1 = 400 -2 X1 + 5 X2 + 1 X3 + S2 = 360 -1 X1 + 2 X2 + 1 X3 + S3 = 250 -X1, X2, X3 0 BasicVariable 101512000Right Hand Side X1X2X3S1S2S3 0S1343 100400 0S2251010360 0S3121001250 Zj 0000000 Cj -Zj101512000 3 Pemprograman Linear: Kaedah Simpleks Didalam Bab 2 kita telah lihat bagaimana mencari penyelesaian optimum bagi dua angkubah masalahpemprogramanlinearmenggunakankaedahgeraf.Walaubagaimanapun,didalam masalahsebenarbiasanyamengandungilebihdaripadaduaangkubahkeputusandanterlalu besaruntukteknikpenyelesaianini.Tatacarapenyelesaiansecaraaljabar,kaedahsimpleks, adalahdigunakanuntukmenyelesaikanmasalahpemprogramanlinearyangbesarini. Pengaturcaraankomputerberdasarkankaedahsimpleksdigunakandenganmeluasuntuk menyelesaikan masalah pepmrograman linearyang mempunyai beberapa ribu angkubah dan kekangan.Didalambabinipertamanyakitamenunjukkankaedahsimpleksdidalamcorak langkah-demi-langkahmenggunakanmasalahpemaksimumamParInc.bagiBab2.Kita kemudiannya menggunakan contoh Photo Chemical, Inc. didalam Bab 2 untuk menunjukkan bagaimanakaedahsimpleksbolehdigunakanuntukmenyelesaikanmasalahpeminimumam. Selepaskaedahinidibentukuntukmasalah-masalahtertentu,kitaakanmenetapkantatacara simpleksamyangbolehdigunakanuntukmenyelesaikansebarangmasalahpemprograman linear. 3.1Menilai Kembali Kaedah Aljabar Kaedah Simplek Mari kita kembali kepada masalah Par, Inc., yang ditulis di dalam bentuk standard seperti di bawah: max10x1 + 9x2 + 0s1 + 0s2 + 0s3 + 0s4(3.1) t.k. 7/10 x1+ 1x2+1s1 = 630 (3.2) 1/2 x1 +5/6 x2+ 1 s2 = 600 (3.3) 1 x1 + 2/3x2+ 1 s3 = 708 (3.4) 1/10 x1 +1/4 x2 + 1s4 = 135 (3.5) x1, x2, s1, s2, s3, s4 0 (3.6) Perhatikan persamaan (3.2) hingga (3.5), persamaan kekangan, daripada sistem empat persamaanserentaklineardenganenamangkubah.Dalamusahauntukmemenuhikekangan masalahPar,Inc.,penyelesaianoptimummestilahpenyelesaianbagisetpersamaanlinear tersebut.Apabilasetpersamaanserentaklebihangkubahdaripadakekangan,kitaakan menjangkakanbeberapabilanganpenyelesaianyangtidakterhingga.Olehitusebarang tatacaraljabaruntukenyelesaikanpemprogramanlinearmestilahberkebolehanuntuk mencaripenyelesaiankepadasistempersamaanserentakmelibatkanlebihangkubahdari persamaan.Perhatikanjugatidaksemuapenyelesaiankepadapersamaan(3.2)hingga(3.5) penyelesaianbolehlaksanakepadapemprogramanlinear.Olehitu,kitatidakboleh menjangkakansetiappenyelesaiankepadapersamaan(3.2)hingga(3.5)jugamemenuhi keadaanbukannegatif(x1,x1,s1,s1,s1,s10).Sepertiyangkitalihat,tatacaraaljabaruntuk menyelesaikanmasalahpemprogramanlinearmestilahberkebolehanmenghapuskan pertimbanganbeberapapenyelesaiankepadapersamaan(3.2)hingga(3.5)dimanatidak memenuhi juga keperluan bukan negatif.Akhirnya,tatacaraaljabaruntukpenyelesaianpemprogramanlinearmestilah berkemampunanuntukmemilihsatudaripadapenyelesaianbolehlaksanasebagai memaksimumkanfungsiobjektif.Kaedahsimpleksadalahtatacaraaljabardengansemua kebolehan yang dinyatakan di atas.OlehkeranapersamaankekanganPar,Inc.(3.2)hingga(3.5)mempunyailebih angkubah(enam)daripadapersamaan(empat),kaedahsimpleksmenemuipenyelesaian kepadapersamaandenganmengandaikannilaisifarkepadaduaangkubahdankemudian menyelesaikannyabaginilaiempatangkubahyangtinggal.Sebagaicontoh,katakankita tetapkan x2 = 0 dan s1 = 0. Sistem persamaan kita akan menjadi 7/10 x1 = 630 (3.7) 1/2 x1+1s2= 600(3.8) 1x1 +1s3= 707(3.9) 1/10x1+ 1s4 = 135(3.10) Denganmenetapkanx2=0dans2=0,kesannyakitamengurangkansistem persamaan linear kita kepada empat angkubah dan empat persamaan. Menggunakan persamaan (3.7) untuk menyelesaikan x1, kita dapati 7/10 x1 = 630 x1 = 10/7(630) = 900 Gantikan nilaix1inikedalampersamaanyang tinggaldanmemberikan nilai berikut bagi s2, s3 dan s4 yang tinggal: s2 = 600 -1/2 (900) = 150 s3 = 708 -1 (900)= - 192 s4 = 135 - 1/10 (900) = 45 Olehitukitamendapatipenyelesaianberikutkepadaempatpersamaan,enam angkubah dari set persamaan linear yang dikenalpasti dari kekangan Par, Inc: ((((((

((((((

45192 -15000900 =ssssxx432121 Penyelesaiandiatasdikenalisebagaipenyelesaianbasiskepadamasalah pemprogramanlinear.Secaraamnya,sekiranyakitamempunyaibentukstandardmasalah pemprogramanlinearmengandunginangkubahdanmpersamaan,dimananlebihbesar daripada m, penyelesaian basis boleh ditentukan dengan menetapkan n - m angkubah sama dengansifardanmenyelesaikanmpersamaankekanganuntukmangkubahyangtinggal1. Dalam masalah Par, Inc., penyelesaian basis boleh ditentukan dengan menetapkan sebarang duaangkubahsamadengansifardankemudiannyamenyelesaikansistembagiempat persamaanuntukempatangkubahyangtinggal. Kitajugamerujukkepadan-mangkubah samadengansifardikenalisebagaiangkubahbukanbasisdanmembiarkanmangkubah (biasanyabukansifar)sebagaiangkubahbasis.Olehitu,didalamcontohdiatas,x2dans1 angkubah bukan basis dan x1,x2, s2, s3 dan s4 adalah angkubah basis. Penyelesaian Basis Bolehlaksana. Penyelesaianbasisbolehjadibolehlaksanaatautakbolehlaksana.Penyelesaianbasis bolehlaksana adalah penyelesaian di mana ke dua-dua basis dan memenuhi keadaan bukan negatif.Penyelesaianbasisyangditemuidiatasbukanmerupakanpenyelesaianbasis bolehlaksana kerana ia tidak memenuhi keadaan bukan negatif (kita mempunyai s3= - 192). Walaubagaimanapun,olehkeranakitamemilihuntukx1danx2sebagaiangkubahbukan basis (iaitu x1 = 0 dan x2 = 0). Selesaikan untuk penyelesaian basis berkaitan adalah mudah. Kita dapati s1 = 630 s2= 600 s3= 708 s4 = 135 Oleh itu penyelesaian lengkap berkaitan x1 = 0 dan x2 = 0 adalah ((((((

((((((

13570860063000 =ssssxx432121

1Terdapatkesdimanaterdapatpenyelesaianyanguniktidakdapatditemuibagisistempenyelesaianm persamaandidalammangkubah.Walaubagaimanapun,keadaaninimerupakanpengecualianterhadap peraturan dan tidak akan dapat diatasi dengan menggunakan kaedah simplek. Rajah 3.1 Lima Titik Ekstrim Kawasan Bolehlaksana Bagi Masalah Par, Inc. Nyatalah,penyelesaianiniadalahpenyelesaianbasis,olehkeranaiadibentuk denganmenetapkanduadaripadaangkubahsamadengansifardanmenyelesaikanuntuk empatyanglain.Selanjutnya,iamerupakanpenyelesaianbasisbolehlaksana,olehkerana setiap angkubah adalah lebih besar daripada atau sama dengan sifar. Merujuk kepada Rajah 3.1,kitadapatlihatpenyelesaianbasisbolehlaksanaberhubungandengantitikekstrim bagikawasanbolehlaksana(x1=0danx2=0).Olehitu didalamkesinipenyelesaianbasis bolehlaksanaadalahberpadanandengantitikekstrim.Inibukanlahsesuatuyangtidak disengajakan,tetapimerupakansatuperaturanyangpentingbagisemuapenyelesaian bolehlaksana.Dengankatalain,penyelesaianbasisbolehlaksanadanpenyelesaiantitik ekstrim adalah satu dan sama. Penyelesaianbasisbolehlaksanakepadasistemyangmengandungimpersamaan kekangandannangkubahmemerlukantitikpermulaanbagikaedahsimpleks.Apabila semuakekangantelahberadadidalambentuk|,makapenyelesaianbolehdibuatdengan mudah dengan menetapkan semua angkubah keputusan sama dengan sifar. Ini berpadanan denganmemilihtitikorigin(titikekstrimbagimasalahPar,Inc.)sebagaipermulaan penyelesaianbasisbolehlaksanauntuktatacarasimpleks.Daripadatitikpermulaanini, kaedahsimpleksdenganjayanyamembentukpenyelesaianbasisbolehlaksanakepada sistempersamaan,secarapastifungsiobjektifmeningkatbagisetiappenyelesaianbaru. Olehkerana,sepertiyangtelahkitalihatdidalamBab2,penyelesaianoptimalkepada masalahpemprogramanlinearselalunyaterletakpadatitikekstrim,danolehkerana penyelesaianbasisbolehlaksanadantitikekstrimadalahsama,kaedahsimpleksbiasanya terletakpadapenyelesaianoptimumkepadamasalah2.Olehitukaedahsimpleksboleh dikatakan sebagai tatacara lelaran untuk bergerak dari satu penyelesaian basis bolehlaksana (titikekstrim)kepadayanglainsehinggapenyelesaianoptimumdicapai.Caradimana tatacara lelaran beroperasi merupakan perkara yang perlu diingat di dalam bab ini. 3.2Bentuk Jadual SepertiyangtelahdibincangkandidalamBahagian3.1,kaedahsimpleksbiasanyabermula denganpenyelesaianbasisbolehlaksanadankemudiannyabergerakdaripadasatubasis bolehlaksana kepadayang lain sehingga penyeleaian basis bolehlaksana yang optimum (titik ekstrim)tercapai.Untukmemulakankaedahsimpleks,kitamestimencaripermulaan penyelesaian basis bolehlaksana bagi sistem persamaan kekangan. Ingat semula masalah Par, Inc. bentuk standard ialah max10x1 + 9x2 + 0s1 + 0s2 + 0s3 + 0s4 t.k. 7/10 x1+ 1x2 + 1s1 = 6301/2 x1+5/6 x2+ 1 s2 = 600 1 x1 + 2/3x2+ 1 s3 = 708

2Oleh kerana terdapat hanya lima penyelesaian basis bolehlaksana, tidak lebih daripada lima penyeleseian akan dipertimbangkan oleh kaedah simpleks 1/10 x1 +1/4 x2 + 1s4 = 135 x1, x2, s1, s2, s3, s4 > 0 KitatelahlihatdalamBahagia3.1adalahmudahuntukmencaripermulaan penyelesaianbasisbolehlaksanabagimasalahinidenganmenetapkanx1=0,x2=0,dan menyelesaikan untuk s1, s2, s3 dan s4. Tatacara ini menghasilkan penyelesaian s1 = 630, s2 = 600, s3 = 708 dan s4 = 135. Penyelesaian basis bolehlaksana ini amat mudah ditemui kerana selagix1danx2ditetapkansamadengansifar,nilaibagiangkubahyangtinggalmudah dibacamelaluibahagiansebelah-kananpersamaankekangan.Sekiranyakitamengkaji keadaansistempersamaaninidenganteliti,kitabolehmengenalpastiduaperaturanyang mungkin mudah ditemui penyelesaian basis bolehlaksana.Peraturanpertamamembolehkankitamencaripenyelesaianbasis.Ringkasnya, peraturaninimenyatakan,bagimangkubah(m=4didalamkesini)mestisetiapnya mempunyaikoeffisiensatudalamsatupersamaandandengankoeffisiensifardidalam semuapersamaanyanglain.Kemudianjikamangkubahiniakanmenjadibasisdengan menetapkan n - m angkubah yang lain sama dengan sifar, nilai angkubah basis bolehlaksana bolehdibacamelaluibahagiansebelahkanan-persamaankekangan.Didalamcontoh angkubah-angkubah s1, s2, s3 dan s4 memenuhi peraturan pertama ini.Peraturankeduamembolehkankitadenganmudahmencaripenyelesaianbasis bolehlaksanauntukpemprogramanlinear.Peraturaninimemerlukannilaibahagiansebelah-kanan bagi persamaan kekangan mestilah bukan negatif. Di dalam contoh kita lihat peraturan ini juga dipenuhi.Sekiranyakitabolehmenulismasalahpemprogramanlinearkitadalambentukyang memenuhi peraturan pertama, maka nilai angkubah basis kemudiannya adalah diberi melalui bahagiansebelahkananpersamaankekangan.Selanjutnya,jikaperaturankeduadipenuhi, nilai bagi angkubah mestilah bukan negatif dan penyelesaian basis juga bolehlaksana.Jikamasalahpemprogramanlinearmemenuhikedua-duaperaturandiatas,ia dikatakandalambentuktablau.PerhatikanbentukstandardmewakilimasalahPar,Inc. telahtersediadidalambentuktablau.Sebenarnya,bentukstandarddanbentuktablau mewakilipemprogramanlinearmempunyaisemuakekanganbertandalebihkecildaripada atausamadengankepadakekangandannilaisebelahkananbukannegatifadalahsama. Walau bagaimanapun,sepertiyangtelahkitalihatkemudiannya didalambabini,terdapat banyakmasalahpemprogramanlineardimanabentukstandarddanbentuktablauyang tidak sama.Sekarangbiarkitaberhentiuntukseketikadaningatkembalisebabkita memperkenalkantetandadalambentuktablau.Olehkeranakaedahsimpleksselalunya bermula dengan penyelesaian basis bolehlaksana, dan oleh kerana bentuk tablau memberikan carayangmudahmemperolehipenyelesaianbasisbolehlaksanayangawal,meletakkan masalahpemprogramanlinearkedalambentuktablaumerupakanlangkahyangpentingdi dalammenyediakanmasalahuntukdiselesaikanmenggunakankaedahsimpleks.Tiga langkahyangberikutadalahpentingmenyediakanmasalahpemprogramanlinearuntuk diselesaikan menggunakan kaedah simpleks: Langkah 1Merumuskan masalah tersebut. Langkah 2Sediakanbentukstandardyangmewakilimasalahdenganmenambah angkubah slak dan/atau menolak angkubahlebih pada. Langkah 3Sediakan bentuk jadual yang mewakili masalah. 3.3Menyediakan Jadual Simpleks Awal Setelahmasalahpemprogramanlineardiubahdalambentuktablau,kitamempunyai permulaanpenyelesaianbasisbolehlaksanayangbolehdigunakanuntukmemulakan kaedahsimpleks.Langkahberikutnyaialahmenyediakantablausimpleksawal,dimanaia digunakanuntukmemberikankemudahanmemberikanlandasandanmembentuk pengiraan penting semasa tatacara penyelesaian simpleks dijalankan. Bahagianjadualsimpleksawalinihanyalahjadualyangmengandungisemua koeffisien-koeffisien yang ditunjukkan di dalam bentuk tablau yang mewakili pemprograman linear. Sekiranya kita mengambil tetanda secara am cj = koeffisien fungsi objektif bagi angkubah j bi = koeffisien bahagian sebelah kanan bagi kekangan i aij = koeffisien berkaitan dengan angkubah j dalam kekangan i kita boleh lihat bahagian jadual simpleks seperti berikut: c1 c2. . . . . . . . . .cn a11a12. . . . . . . . . .a1nb1 a21a21. . . . . . . . . .a2nb2 ... . . . . . . . . ... ........ . . . . . ... ................... am1am2. . . . . . . . . .amnbm Dalamtablauseparadiatas,barisanmendatardanmenegakdigunakanuntuk mengasingkanbahagianyangberbezadaribentuktablauyangmewakilipemprograman linear. Garisan atas yang mendatar mengasingkan koeffisien angkubah dalam fungsi objektif daripadakoeffisienangkubahdalampersamaankekangan.Garisanmenegakboleh diterangkan sebagai garisan persamaan; nilai bagi garisan sebelah kiri adalah koeffisien bagi angkubah di dalam persamaan kekangan, dan di sebelah kanan garisan adalah nilai bahagian sebelah kanan bagi persamaan kekangan.Kemudiankitamungkinhendakmerujukkepadasemuakoeffisienfungsiobjektif, semuanilaibahagiansebelahkananatausemuakoeffisiendidalamkekangan.Untuk membuat perkara ini kita mesti mencari tetanda am berikut untuk membantu: baris c =baris bagi koeffisien fungsi objektif lajur b =lajur bagi nilai bahagian sebelah kanan persamaankekangan MatrikA =barismdanlajurnbagikoeffisienangkubah-angkubahdidalam persamaan kekangan Menggunakantetandaini,kitabolehtunjukkanbahagianjadualsimpleksdiatas sebagaai berikut: baris c Matrik Alajur b Sebelumkitabolehmengunakankaedahsimpleks,duabarisdandualajurlagiperlu ditambahkepadatablaukita.Walaubagaimanapun,sebelummendefinasikanbarisdanlajur yangbaruini,marikitabentuksebahagiandaripadatablausimpleksbagimasalahPar,Inc. Bentuk tablau (sama seperti bentuk jadual dalam kes ini) bagi masalah Par, Inc. adalah: max10x1 + 9x2 + 0s1 + 0s2 + 0s3 + 0s4 t.k. 7/10 x1+ 1x2 + 1s1= 6301/2 x1+5/6 x2+ 1 s2= 600 1 x1 + 2/3x2+ 1 s3 = 7081/10 x1 +1/4 x2 + 1s4 = 135 x1, x2, s1, s2, s3, s4 0 Sebahagian jadual simpleks yang mengandungi koeffisien ini boleh ditulis sebagai 10 9 0 0 0 0 7 /10 1 1 0 0 0 6301/25/6 0 1 0 0 600 1 2/3 0 0 1 0 708 1/10 1/2 0 0 0 1 135 Perhatikan baris di atas garisan mendatar yang pertama mengandungi koeffisien bagi fungsi objektif dalam bentuk tablau. Unsur-unsur yang kelihatan diantara garisan mendatar dandisebelahkirigarisanmenegakadalahkoeffisienbagipersamaankekangan,dimana unsurdisebelahkanangarisanmendataradalahnilaibahagiansebelahkiripersamaan kekangan.Iamungkinmudahuntukmengingatdimanasetiapbarisanmengandungi koeffisienbagisatupersamaankekangansekiranyakitaperhatikansetiaplajuradalah mewakili satu angkubah. Sebagai contoh, x1 mewakili lajur pertama, x2 ke dua, s1 ke tiga dan seterusnya.Untukmembantukitamengingatinya,kitaperlutulisangkubahyang berpadanan dengan setiap lajur terus kepada lajur tersebut. Berbuat demikian, kita dapati x1 x2 s1s2s3s4 10 9 0 0 0 0 7 /10 1 1 0 0 0 6305/6 0 1 0 0 600 1 2/3 0 0 1 0 708 1/10 0 0 0 1 135 Telahkitanyatakanterdahulu,kaedahsimpleksmestidimulakandengan penyelesaian basis bolehlaksana. Oleh itu, satu penyelesaian bolehlaksana bagi masalah Par, Inc. di temui dengan menetapkan x1 = 0 dan x2 = 0 di dalam bentuk tablau bagi masalah kita. Penyelesaian yang berpadanan dengan kombinasi keluaran sifar bagi beg standard dan sifar bagi beg deluxe dandinyatakan melalui penyelesaian ((((((

((((((

13570860063000= ssssxx432121 Jadualsimpleksawalmengandungibentuktablaubagimasalah,danamatmudah untuk mencari penyelesaian basis bolehlaksana daripada jadual simpleks awal. Sepertiyangandabolehlihat,lajurdidalamjadualsimpleksdimana1hanyadi dalamkedudukanbukansifarmewakilisetiapangkubahbasis.Setiaplajurdikenalisebagai unitlajuratauunitvektor.Juga,barisbagitablauberpadanandengansetiapangkubah basis. Baris ini boleh dikenali dengan kenyataan ia mengandungi 1 di dalam unit lajur. Nilai bagi setiap angkubah basis diberi oleh bi didalam baris yang berpadanan dengan angkubah basis.Sebagaicontoh,s3mempunyai1didalambaris3;olehitunilaibagiangkubahbasis adalahdiberiolehs3=b3=708.Tatacarainiadalahuntukmengenalpastinilaiangkubah basis ditunjukkan di dalam Jadual 3.1. JADUAL 3.1Ilustrasi Tatacara untuk Mengenalpasti Nilai AngkubahBasis daripada Jadual Simplek x1 x2 s1 s2s3 s4 1 10 9 0 00 00 7/10 1 1 00 0630 1/2 5/6 0 10 0600Baris berpadanan 1 2/3 0 01 0708Nilai s3 dengan s31/10 1/2 0 00 1135 Lajur yang berpadanan dengan s3 Untukmemudahkankitaakanmenambahdualajurbarukepadabentuktablau simpleksdalamusahamembentuklandasanangkubahbasisdankeuntunganberkaitan denganangkubahini.SatulajurakanditandakansebagaiBasisdansatulagisebagaicj.Di bawah lajur yang ditandakan sebagai Basis ini kita akan senaraikan angkubah basis semasa, dandibawahlajurcjkitaakansenaraikankeuntunganyangberpadanandengansetiap angkubahbasis.UntukmasalahPar,Inc.,keputusannyadidalamtablausimpleksawal adalah seperti berikut: x1x2 s1 s2 s3s4 Basis cj 1090000s1 0 7/1011000630s2 0 1/25/60100 600s3 0 12/30010708s3 0 1/101/20001135 KitaperhatikandidalamlajurBasisdimanas1disenaraikandahulu,olehitunilai yang diberi oleh bi; s2 kedua, oleh itu nilainya diberikan oleh b2, dan seterusnya.Sehinggatitikinikitatelahmelihatbagaimanauntukmencaripenyelesaianbasis bolehlaksanaawaldanmembentukbahagiantablausimpleks.Kaedahsimplekssekarang melelarkandaripadasatupenyelesaianbasisbolehlaksanakepadayanglainsehingga penyelesaianbasisbolehlaksanayangoptimaldicapai.Didalambahagianyangberikutnya kita akan membincangkan bagaimana kaedah simpleks bergerak daripada satu penyelesaian bolehlaksana awal kepada penyelesaian basis bolehlaksana yang lebih baik. 3.4Memperbaiki Penyelesaian Bolehkahkitamemperbaikipenyelesaianbolehlaksanayangadasekarang?Untuk membantusekiranyamungkin,kitaperkenalkanduabaristambahankepadatablau.Baris pertamaditandakansebagaizj,yangmewakilipengurangannilaifungsiobjektifyangakan dihasilkanjikasatuunitangkubahyangberpadanandenganbarisjbagimatrikAdibawa masukkedalampenyelesaian.Sebagaicontoh,z1mewakilipengurangandidalam keuntungan yang akan dihasilkan jika satu unit x1 dibawa masuk ke dalam penyelesaian.Marikitalihatmengapakeuntunganakanberkuranganberlakuapabilax1dibawa masuk ke dalam penyelesaian. Jika satu unit x1 di keluarkan, kita akan menukarkan nilai bagi angkubah basis semasa didalam usaha untuk memenuhi persamaan kekangan kita. Di dalam kekangan pertama kita mempunyai 7/10 x1 + 1 x2 + 1 s1 = 630 Jikakitamempertimbangkanuntukmenjadikanx1nilaipositif,kitaperlu mengurangkan x2 dan/atau s1 untuk memenuhi kekangan ini. Oleh kerana x2 masih sifar (x2 bukanangkubahbasis),iatidakbolehdikurangkanlagi.Olehitunilais1akandikurangkan jikax1positifdikehendaki.Pengurangandidalamnilaiangkubahbasismungkin menghasilkanpengurangandidalamnilaifungsiobjektif.Jumlahpenguranganadalah bergantungkepadakoeffisiens1didalamfungsiobjektif.Didalamkesini,olehkeranas1 adalahangkubahslak,koeffisiennyaadalahsifar;pengurangandidalams1tidakakan mengurangkan nilai fungsi objektif.Denganlainperkataan,setiapnilaix1dimasukkanakanmemperbaikinilaifungsi objektif sebanyak cj, di mana dalam masalah Par, Inc. keuntungan sebanyak $10 berpadanan denganpengeluaransetiapunitbegstandard.Olehkerananilaibagifungsiobjektif berkurangansebanyakz1untuksetiap unitx1yangdikeluarkan,perubahan bersihdidalam nilaifungsiobjektifmenghasilkansatuunitx1akandimasukkansebanyakc1z1.Baris berikut yang hendak kita tambahkan ke dalam tablau, kita rujukkan sebagaibaris penilaian bersih, yang menganndungi nilai cj - zj bagi setiap angkubah (lajur) di dalam tablau. Bentuk kedudukandidalamtablau,bariszjdancjzjdiletakkanterusdibawahmatrikApada tablauyangada.Sekarangmarikitakembalikepadasoalanasaldimanaangkubah sepatutnyamenjadibasismelaluipengiraankemasukkankedalambarispenilaianbersih bagi masalah Par, Inc.Jikakitabawasatuunitx1kedalampenyelesaian,kitalihatdaripadaanalisis persamaankekangankitamestimemberisehingga7/10jammasapemotongandan mewarna,1/2jammasamenjahit,1jammasakemasandan1/10jammasapemeriksaan danpembungkusan.Sepertiyangkitaperhatikankoeffisiendidalamsetiapbarisbagilajur x1menunjukkanberapabanyakunitangkubahbasisdidalambaristersebutakan dikeluarkandaripadapenyelesaianapabilasatuunitx1dibawamasukkedalam.Secara amnya, semua koeffisien lajur boleh ditakrifkan dengan cara ini. Oleh itu jika kita membawa satuunitx2kedalampenyelesaian,kitaakanmemberisehingga1units1,5/6units2,2/3 unit s3 dan 1/4 unit s4.Untukmengiraberapabanyakfungsiobjektifakanberkurangaanapabilasatuunit angkubah bukan basis dibawa masuk ke dalam penyelesaian, kita mesti tahu nilai koeffisien objektif bagi angkubah basis. Nilai ini di beri di dalam lajur cj tablau kita. Oleh kerana nilai di dalambariszjbolehdikiradenganmendarabkanunsur-unsurdidalamlajurcjdengan unsur yang berpadanan di dalam lajur matrik A dan menjumlahkannya. Oleh itu kita dapati

z1 = 0 (7/10) + 0 (1/2) + 0 (1)+ 0 (1/10) = 0 z2 = 0 (1)+ 0 (5/6) + 0 (2/3) + 0 (1/4)= 0 z3 = 1 (1)+ 0 (0)+ 0 (0)+ 0 (0)= 0 z4 = 0 (0)+ 0 (1)+ 0 (0)+ 0 (0)= 0 z5 = 0 (0)+ 0 (0)+ 0 (1)+ 0 (0)= 0 z6 = 0 (0)+ 0 (0)+ 0 (0)+ 0 (1)= 0 Olehkeranapenyelesaianbasisbolehlaksanaawalmengandungikeselurohan angkubahslakdanselaginilaicjbagiangkubahinisemuanyasifar,mengurangkannilai angkubahslakapabilaangkubahbukanbasisdimasukkankedalampenyelesaiantidak menyebabkan pengurangan didalam keuntungan.Koeffisien fungsi objektif bagi x1 adalah 10, oleh itu nilai c1 - z1 adalah 10 - 0 = 10. Ini menunjukkankeputusanbersihdenganmembawasatuunitx1kedalampenyelesaian semasa akan meningkatkan keuntungan sebanyak $10. Oleh itu baris penilaian bersih yang berpadanan dengan x1 kita masukkan nilai 10.Dengancarayangsamakitabolehkirakannilai-nilaizjdancj-zjyangberpadanan denganangkubah-angkubahyangselebihnya.Keputusannyaadalahjadualsimpleksawal yang lengkap seperti berikut: x1 x2 s1 s2 s3 s4

Basis cj10 9 0 0 0 0 s1 0 7/10 1 1 0 0 0 630s2 01/2 5/6 0 1 0 0 600 s3 0 12/3 0 0 1 0708 s4 0 1/10 1/2 0 0 0 1 135 zj0 0 0 0 0 0 0 cj-zj 10 9 0 0 0 0 Keuntungan Dalamtablauinikitajugamelihat0didalamlajurzjyangterakhir.Angkasifarini mewakilikeuntunganyangberkaitandenganpenyelesaianbasissemasa.Nilaiiniadalah didapatidenganmendharabkannilai-nilaiangkubahbasis,yangdiberikandidalamlajur terakhir,dengansumbangankepadakeuntunganyangberpadanansebagaimanadiberikan di dalam lajur cj.Dengan melihat kepada baris penilaian bersih, kita lihat bagi setiap beg standard Par keluarkan akan meningkatkan nilai fungsi objektif sebanyak $10; dan setiap beg deluxe akan meningkatkannilaifungsiobjektifsebanyak$9.Diberikanhanyadenganmaklumatini sahaja ia menunjukkan seberapa banyak yang mungkin beg standard boleh dikeluarkan. Kita tahu setiap beg standard yang dikeluarkan akan menggunakan 7/10 jam masa pemotongan danmewarna.Olehitujikakitamengeluarkanx1begstandard,kitaakanmenggunakan 7/10x1jammasapemotongandanmewarna.Olehkeranakitahanyamempunyai630jam masapemotongandanmewarna,nilaimaksimumx1yangmungkin,mempertimbangkan kekangan memotong dan mewarna boleh dikirakan dengan menyelesaikan persamaan 7/10x1 = 630 Oleh itu ia hanya cukup masa yang ada di dalam jabatan pemotongan dan mewarna untuk mengeluarkan maksimum 900 beg standard.Dengan cara yang sama, setiap beg standard yang dikeluarkan menggunakan 1/2 jam masa yang ada bagi 600 jam masa menjahit; oleh itu bilangan maksimum bagi beg standard yang boleh dikeluarkan dan masih memenuhi kekangan menjahit adalah diberikan oleh 1/2x1 = 600 Inimenunjukkanbahawax1selebih-lebihnya1200.Tetapikitatahuadalahmustahiluntuk mengeluarkan1200begstandard,selagikitatidakmempunyaimasayangcukupbagi pemotongandanmewarna.Sebenarnya,kitalihatkitahanyamempunyaikapasitiyang cukupdidalamjabatanpemotongandanmewarnauntukmembuat900begstandard. Mempertimbangkan kekangan ini dengan serentak, masa untuk pemotongan dan mewarna adalah lebih terbatas.Daripadakekangankemasankitalihatx1begstandardakanmenggunakan1x1 daripada 708 jam yang ada bagi masa kemasan. Menyelesaikan persamaan 1 x1 = 708 menunjukkandalambentuktigakekanganyangdipertimbangkansetakatinikitaboleh mengeluarkan selebih-lebihnya 708 beg standard.Didalamjabatanpemeriksaandanpembungkusansetiapbegstandardyang dikeluarkanakanmenggunakan1/10jammasapemeriksaandanpembungkusan.Oleh kerana hanya 135 jam sahaja yang ada, kita boleh selesaikan 1/10 x1 = 135 untukmencaribilanganterbesarbegstandardyangbolehdiprosesolehjabatan pemeriksaandanpembungkusanadalah1350.Apabilakitamempertimbangkansemua kekanganserentak,kitalihatkekanganyangamatterhad dalambentukbegstandardyang maksimumbolehdikeluarkanadalahkekangankemasan.Olehitu,denganmembuat708 begstandardakanmenggunakansepenuhnyakapasitikemasanyangada.Olehitujikax1 dimasukkan ke dalam penyelesaian pada nilai yang maksimum, kita akan mengeluarkan 708 buah beg standard (x1 = 708), dan tidak terdapat masa slak di dalam jabatan kemasan (s3 = 0).Didalammembuatkeputusanuntukmengeluarkanseberapabanyakbegstandard yangboleh,kitaperlumengubahsetangkubahdidalampenyelesaianbasisbolehlaksana. Angkubahbukanbasisyangterdahulux1sekarangdikenalisebagaiangkubahbasisdengan x1 = 708, sementara itu angkubah basis yang dahulunya sekarang menjadi angkubah bukan basisdengans3=0.Pertukaranperanandiantaraduaangkubahiniadalahbiasabagi kaedahsimpleks.Iamerupakancarakaedahsimpleksbergerakdaripada satupenyelesaian basisbolehlaksanakepadayanglaindenganmemilihangkubahbukanbasisuntuk mengganti satu angkubah basis semasa. Proses pergerakan daripada satu penyelesaian basis bolehlaksana kepada yang lain dipanggil lelaran.Sebelummenerangkanperaturanamuntuklangkah-langkahkaedahsimpleks,mari kita pertimbangkan persamaan kekangan berikut di mana mungkin kelihatan di dalam bentuk tablau pemprograman linear: - 2/3x1 + 0 x2 + 1 s2 = 500 Katakan s2 adalah angkubah basis dan x1 dan x2 angkubah bukan basis. Oleh kerana koeffisienx2adalahnegatif(-2/3),setiapunitx1dimasukkankedalampenyelesaianakan memerlukanangkubahbasiss2untukbertambahsebanyak2/3daripadaunittersebut dalamusahauntukmengekalkanpersamaankekangan.Olehituwalausebagaimanabesar sekalipun kita mengeluarkan x1, angkubah basis s2, juga bertambah besar dan oleh itu tidak akan keluar daripada penyelesaian basis (iaitu, menghampiri kepada sifar). Begitu juga, oleh keranakoeffisienx3adalahsifar,menjadikanx3sebagaibasistidakakanmemberikesan terhadap nilai s2. Walaupun seberapa besar kita keluarkan x3, angkubah basis s2 masih kekal tidakberubahdantidakakandikeluarkandaripadapenyelesaian.Olehitujikakoeffisien bagi angkubah bukan basis kurang daripada satu atau sama dengan sifar ke dalam beberapa kekangan,makakekangantersebut,bilanganunitangkubahbukanbasisbolehtanpahad dibawakedalampenyelesaian.Olehituangkubahbasisyangberkaitandengankekangan tidak akan terkeluar daripada penyelesaian. Oleh itu di dalam menentukan angkubah mana yangsepatutnyameninggalkanbasissemasa,kitahanyaperluuntukmempertimbangkan baristablaukitadimanakoeffisienbagiangkubahbukanbasisyangakanmasukadalah positif.Denganpertimbangantambahandalamfikirankita,kitasekarangmenerangkan peraturansimplekssecaraamuntukmemilihangkubahbukanbasisuntukmasukkedalam basis dan angkubah basis semasa untuk keluar dari basis. Ciri-ciri Untuk Memasukkan Angkubah Baru Ke dalam Basis Lihatpadabarispenilaianbersihdanpilihsebagaiangkubahuntukmemasukibasisdi manaangkubahtersebutakanmenyebabkanpertambahansetiapunityangterbesar sekali di dalam fungsi objektif. Mari kita katakan angkubah ini berpadanan dengan lajur j di dalam bahagian A tablau. Ciri-ciri Untuk Mengeluarkan Angkubah Daripada Basis Semasa Bagi setiap baris i kirakan kadar bi/aij untuk setiap aij yang lebih besar daripada sifar. Kadar inimemberitahukitajumlahmaksimumbagiangkubahxjyangbolehdibawamasukke dalampeyelesaiandanmasihmemenuhipersamaankekanganyangdiwakiliolehbaris tersebut.Kadaryangminimummemberitahukitamanakahkekanganyangterhadsekali jika xj dimasukkan ke dalam penyelesaian. Setelah kita memperolehi peraturan berikut bagi memilihangkubahuntukdikeluarkandaripadabasissemasa:Untuksemuakadarb1/aijdi manaaij>0,pilihangkubahbasisyangberpadanandenganangkubahyangmempunyai kadar yang minimum untuk keluar daripada basis.Mari kita gambarkan tatacara di atas dengan menggunakannya kepada masalah Par, Inc.kita.Untuktujuanilustrasikitaakantambahkanlajurtambahanyangmenunjukkan kadar bi/aij bagi tablau simpleks awal berkaitan dengan masalah Par, Inc: Perhatikan bahawa cj - zj = 10 adalah nilai positif yang terbesar di dalam baris cj - zj. Olehitux1adalahdipilihuntukmenjadikanangkubahbasisyangbaru.Memeriksakadar bi/aijuntukaij0,kitadapatibi/aij=708adalahkadaryangminimum.Olehituangkubah basissemasaberkaitandenganbaris3(s3)adalahangkubahyangdipilihuntuk meninggalkanbasis.Didalamtablaukitatelahbulatkana31,,untukmenunjukkan angkubah tersebut berpadanan dengan lajur pertama yang akan masuk ke dalam basis dan untukmenunjukkanangkubahbasisyangberpadanankepadabarisketigauntuk meninggalkan basis. Mengambil terminologi pemprograman linear, yang mana kita katakan unsur yang telah kita bulatkan sebagai unsur pivot.Untukmemperbaikipenyelesaiansemasa bagix1=0,x2=0,s1= 630,s2 =600,s3 = 708dans4=135,kitaperlumeningkatkanx1kepada708.Iniakanmenyebabkan pengeluaran 708 beg standard pada keuntungan yang berpadanan $10 X 708 unit = $7080. Dengan berbuat demikian, kita akan menggunakan sepenuhnya kapasiti kemasan yang ada, danolehitus3akandikurangkankepadasifar.Olehitux1akanmenjadiangkubahbasis, menggantikan s3 di dalam basis yang lama. x1x2s1s2s3s4 bi aij Basiscj1090000 s107/1011000630 630= 900 7/10s201/25/60100600 600 =1200 s3012/30010708 708 = 708 1 s401/101/20001135 135= 1350 1/10 zj100000 0 cj-zj1090000 3.5Pengiraan Tablau Berikutnya Kitatelahlihatdibahagianyanglepaspenyelesaianbasisbolehlaksanayangawalboleh diperbaikidenganmemasukkanx1kedalambasisuntukmenggantikans3.Sebelumkita boleh menentukan samada penyelesaian basis bolehlaksana yang baru ini boleh diperbaiki, adalah penting untuk membentuk tablau simpleks yang berpadanan.Ingatkembalitablausimpleksyangawalhanyalahtablauyangmengandungi koeffisiendalambentuktablaubagimasalahpemprogramanlinear.Disebabkanoleh peraturankhasbentukperwakilan,tablausimplekawalmengandungiunitlajuryang berpadanan dengan setiap angkubah basis. Oleh itu nilai angkubah basis dengan 1 di dalam baris i boleh ditemui dengan hanya membaca unsur i lajur terakhir di dalam tablau simpleks, bi.Sekarangkitarumuskantablauyangbarudidalambentuksemualajurberkaitan dengan angkubah basis yang baru merupakan unit lajur, oleh itu nilai angkubah basis dalam barisidiberikansebagaibi.Olehitukitaakanmembuatlajurdidalamtablaubaru berpadanandenganxidilihatsamasepertilajuryangberpadanandengans3didalam tablauasalkita.OlehitumatlamatkitaadalahuntukmendapatkanlajurdidalammatrikA kita berkaitan dengan x1 ditunjukkan sebagai 00 1 0 Caradimanakitamengubah tablausimplekssupayaiamasihmewakili sistemyang samabagipersamaankekangandenganperaturandiatasadalahuntukmenggunakan operasi baris asas. Operasi baris asas digunakan adalah seperti berikut:- 1.Dharabkan mana-mana baris (persamaan) dengan nombor bukan sifar. 2.Gantikanmana-manabaris(persamaan)denganhasilcampuratautolak pendharaban baris (persamaan) yang lain kepadanya. Penggunaanoperasibarisasasinikepadasistempersamaanserentaklineartidakakan mengubahpenyelesaiankepadasistempersamaan,walaubagaimanapun,operasibaris akan mengubah koeffisien bagi angkubah-angkubah dan nilai bahagian sebelah kanan.Denganmenggunakanoperasibarisini,kitaberkebolehanuntukmengubahsistem persamaankekangansemasakitakepadabentukyangmudahuntukmengenalpasti penyelesaianbasisbolehlaksanayangbaru.Inidilakukanmelaluimengubahlajuruntuk angkubah memasuki basis kepada unit lajur dan, pada masa yang sama, mengubah lajur yang terakhirbagitablauolehituiamengandunginilaiangkubahbasisyangbaru.Kita menekankanpembentukanoperasiinibukansatucaramemberikesanpenyelesaiankeatas masalahkita,olehkeranapenyelesaiambolehlaksanakepadapersamaankekanganadalah tidak berubah melalui operasi baris asas ini.Nyatalah.kebanyakannilainumerikdidalamtablausimpleksakanpergikepada perubahan sebagai hasil daripada pembentukan operasi baris ini. Walau bagaimanapun, kita tahu selepas operasi baris di bentuk, tablau simpleks yang baru masih menunjukkan sistem persamaanyangsama.Walaupundemikian,disebabkanunsurdidalamtablausimpleks yangbarutelahbertukarhasildaripadakeperluanoperasibaris,kaedahsekarangmerujuk kepadaunsur-unsurtablausimpleksmungkinmengelirukan.Marikitalihatmengapaia terjadi.SehinggakinikitatidakmembuatperbezaandiantaramatrikAdanlajurbbagi bentuktablaudanbahagianyangberpadanandengantablausimpleks.Sesungguhnya,kita telah lihat tablau simpleks awal adalah dibentuk melalui penempatan yang teliti unsur-unsur aij,cjdanbisepertiyangdiberikandidalambentuktablaukepadatablausimpleks.Dari sekarang,kitaakanmerujukkepadabahagiantablausimpleksyangpadaawalnya mengandunginilaiaijdengansimbol,danbahagiantablauyangpadaawalnya mengandunginilaibidengansimbolbi.Didalambentuktablausimpleks,unsurdidalam akanditandakansebagaiijdanunsurdidalambakanditandakandenganbi.Kita memperakuipenggunaantetandainikitamempunyai=Adanb=bdidalamtablau simpleksyangawal.Walaubagaimanapun,didalamtablausimplekskemudiannya perhubungan ini tidak digunakan lagi. Tetanda ini akan menghindarkan beberapa kekeliruan apabilakitacubauntukmembezakandiantaranilaikoeffisienijkekanganyangasal,dan nilaibahagiansebelah-kananbibagibentuktablau,danunsur-unsurijdanbitablau simpleks.Sekarangmarikitaperhatikanoperasibarisakandigunakanuntukmembentuk tablaubarudengankembalikepadamasalahPar,Inc.Ingatkembalikepadamatlamatkita untukmembentuklajurdalambahagianbagitablauyangberpadanandenganx1untuk ditunjukkan sebagai ((((

(((((

0100= aaaa41312111

Olehkeranakitatelahmempunyai31=1didalamtablausimpleksawal,tiada operasi baris diperlukan untuk dibentuk kepada baris ke tiga bagi tablau.Didalamusahauntukmenetapkan11=0,pertamanyakitabentukoperasibaris denganmendharabkanbarispivot(barisyangberpadanandengankekanganpenyudah) dengan -7/10 untuk mendapatkan persamaan yang bersamaan - 7/10 (x1 + 2/3x2 + 0s1 + 0s2 + 1s3 + 0s4) = - 7/10(708) atau - 7/10x1 -14/30x2 - 0s1 - 0s2 -7/10s3 - 0s4 = - 495.6 (3.11) Kekangan pemotongan dan mewarna adalah 7/10 x1 + 1x2 + 1s1 + 0s2 + 0s3 + 0s4 = 630 (3.12) Sekarangcampurkanpersamaan(3.11)kepadapersamaanpemotongandan mewarna(3.12).Gugurkanpernyataanyangmempunyaikoeffisiensifardanterbitkan tambahan ini, kita mempunyai (7/10 x1 + 1x2 + 1s1) + (-7/10x1 - 14/30x2 - 7/10s3) = 630 -495.4 atau 0x1 + 16/30s2 + 1s1 - 7/10 s3 = 134.4 (3.13) Olehituiamerupakanoperasibarisyangmudah,kitatelahmempunyaisistem persamaan yang sama jika persamaan (3.12) digantikan dengan (3.13). Melalui penggantian kedalamtablauasal,kitalihatoperasibarisasasmembolehkankitamemperolehisifar dikedudukan pertama di dalam lajur x1 (oleh itu, 11 = 0). x1 x2 s1 s2 s3 s4 Basiscj1090000 016/3910-7/100134.4 1/25/60100600 12/30010708 1/101/40001135 zj cj - zj Kitamasihperluuntukmenetapkanunsur di dalambariskedua danke empatbagi lajurx1samadengansifar.Bolehkahandamencarijalanuntukmelakukannya?Ingat kembali kepada yang telah kita lakukan untuk menghasilkan baris 1 dengan mendharabkan barispivotdenganpemalarbukansifar(-7/10)dankemudianmencampurkanhasilnya kepadabarispertama.Perhatikanbahawa,pemalardalamkesiniadalahkoeffisiennegatif bagi baris pertama dan lajur x1. Oleh itu untuk menetapkan unsur di dalam kekangan ke dua yang berpadanan kepada lajur x1 sama dengan sifar, kita dharabkan baris pivot dengan -1/2 dan campurkan hasilnya kepada kekangan ke dua. Ini memberikan hasil (1/2x1 + 5/6x2 + 1s2) + (-1/2x1 - 1/3x2 - 1/2s2 ) = 600 - 354 yang mana sama dengan 0x1 + 1/2x2 + 0s1 + 1s2 - 1/2s3 + 0s5 = 246 Iniakanmenjadiperwakilanbarukepadapersamaankekangankeduadidalam tablau simpleks.Untuk mendapatkan sifar pada kedudukan 41, kita hanya mendharabkan baris pivot dengan-1/10dankemudianmencampurkanhasilnyakepadabarisakhir.Hasilpersamaan kekangan adalah 0x1 + 22/10 x2 + 0s1 + 0s2 - 1/10s3 + 1s4 = 64.2 Meletakkanduapersamaanyangakhirkedalamtablauyangbarumemberikankita tablau simpleks berikut: x1 x2 s1 s2 s3 s4 Basiscj1090000 s10016/3010-7/100134.4 s2001/201-1/20246 x11012/30010708 s400 22/12000-1/10 164.2 zj7080 cj - zj Sistem persamaan yang berpadanan adalah (sebutan yang mempunyai koeffisien sifar digugurkan):

16/30 x2 + 1 s1-7/10 s3 = 134.4 1/2 x2+ 1 s2 -1/2 s3 = 246 1 x1 + 2/3 x2+1 s3= 708 22/120 x2- 1/10 s3 + 1 s4 = 64.2 Menetapkannilaisifarkepadaangkubahbukanbasisx2dans3akanmemudahkan kita menentukan penyelesaian basis bolehlaksana yang baru s1 = 134.4 s2 = 246 x1 = 708 s4 = 64.2 Penyelesaianinibolehjugadikenalicepatdenganmerujukkepadalajurterakhirdi dalamtablausimpleksyangbaru.Keuntunganyangberpadanankepadapenyelesaianini adalah $7080. Perhatian nilai bagi keuntungan adalah diperolehi dengan pendharaban nilai penyelesaianangkubahbasisdidalamlajurbdengankoeffisienfungsiobjektifyang berpadanan yang diberi oleh lajur cj - iaitu 0 (134.4) + 0 (246) + 10(708)+ 0(64.2) = $7080. Kitamasihlagibelummengirasebarangkemasukkandidalambariszjdancj -zj.Sebelum melakukannya, mari kita kembali kepada penyelesaian yang ada sekarang. Tafsiran Dari Hasil Lelaran Bermuladengansatutablausimpleks,tukarkanangkubahbasis,danmencaritablau simpleks yang baru adalah dirujukkan kepada lelaran kaedah simpleks. Di dalam contoh kita penyelesaian basis bolehlaksana yang awal ialah ((((((

((((((

13570860063000= ssssxx432121 dengankeuntunganyangberpadanansebanyak$10.Satulelarankaedahsimpleksbergerak kepada penyelesaian basis bolehlaksana yang lain di mana nilai fungsi objektif adalah $7080. Penyelesaian basis bolehlaksana yang baru adalah ((((((

((((((

64.20246134.40708= ssssxx432121 Secara geraf lelaran ini menggerakkan kita dari satu titik ekstrim kepada titik ekstrim yanglaindisepanjangsempadankawasanbolehlaksanakita.DidalamRajah3.2kitalihat penyelesaianbasisbolehlaksanayangawaladalahberpadanandengantitikekstrim. Lelaran pertama menggerakkan kita dalam arah pertambahan seunit keuntungan yang lebih besar,iaitudisepanjangpaksixj.Kitabergerakdaripadatitikekstrimdalamarahx1 sehinggakitatidakbolehbergeraklagitanpamelanggarsatudaripadakekangan.Tablau yangkitakirakanselepassatulelaranmewakilipenyelesaianbasisbolehlaksanayang berpadanan dengan titik ekstrim . Rajah 3.2 Kawasan Bolehlaksana bagi Masalah Par, Inc. Kitaketahuiangkubahslakmewakilikapasitiyangtidakdigunakanbagisetiap kekangan yang berkaitan. Tiada nilai bagi s1 di dalam tablau simpleks kita, kita lihat kapasiti pemotongandanmewarnayangtidakdigunakanialah134.4jam.Adakahiakelihatan berpatutan?Olehkeranapenyelesaianmenunjukkankitasepatutnyamembuat708beg standard, dan setiap beg standard memerlukan 7/10 jam masa pemotongan dan mewarna, jumlahmasayangdigunakandidalampengeluaran708begstandardialah7/10(708)= 495.6.Kitabermuladengan630jam;olehitukitasekarangmempunyai134.4jammasa yang tidak digunakan dari masa yang ada. Begitu juga, oleh kerana setiap beg standard yang dikeluarkanmemerlukan1/2jammasamenjahit,jumlahmasamenjahityangdigunakan untukmengeluarkan708begstandardialah354jam.Kitamulakandengan600jammasa 1 2 3 4 5 menjahit; oleh itu 246 jam masa yang tinggal. Setiap beg standard memerlukan 1 jam masa kemasan.Olehkerana708jammasakemasanyangada,kitaakanmenggunakansemua masakemasanuntukmengeluarkan708buahbegstandard,Inidisebabkan,sepertiyang andalihat,kekanganpenyudahterikatpadatitikekstrim.Mengeluarkan708buahbeg standard akan menggunakan 1/10 (708) = 80.8 jam masa pemeriksaan dan pembungkusan, dengan meninggalkan 64.2 jam slak di dalam jabatan ini. Bergerak Ke arah Penyelesaian yang Lebih Baik Kitatelahbersediauntukmemulakansemuanyasekalilagi.Soalanberikutnyayangperlu kita tanya ialah: Bolehkah kita mencari penyelesaian basis bolehlaksana (titik ekstrim) yang akanmeningkatkannilaifungsiobjektifyanglebihbaik?Untukmenjawabsoalanini,kita perlu mengira baris zj dan cj - zj bagi tablau simpleks yang ada.Ingat kembali unsur-unsur di dalam baris zj boleh dikira dengan mendharabkan unsur di dalam lajur cj tablau simpleks dengan unsur yang berpadanan di dalam lajur matrik dan menjumlahkannya. Oleh itu kita dapati z1 = 0(0)+ 0(0)+ 10(10) + 0(0) = 10 z2 = 0(16/30) + 0(1/2) + 0(2/3) + 0(1/10) = 20/3z3 = 0(1)+ 0(0)+ 10(0) + 0(0) = 0 z4 = 0(0)+ 0(1)+ 10(0) + 0(0) = 0 z5 = 0(-7/10) + 0(-1/2) + 10(0)+ 0(-1/10) = 10 z6 = 0(0)+ 0(0)+ 10(0)+ 0(1) = 0 Menolak zj daripada cj untuk medapatkan baris penilaian bersih, kita dapatkan tablau simpleks yang lengkap. x1x2s1s2s3s4 Basiscj1090000 s10016/3010-7/100134.4 s2001/201-1/20246 x11011/30010708 s40022/12000-1/10164.2 zj1020/3001007080 cj -zj07/300-100 Sebelummempertimbangkansoalanmenukarkanbasisdanbergerakkepada penyelesaian basis bolehlaksana yang lebih baik, mari kita lihat jika kita boleh mentafsirkan beberapa nilai numerik yang kelihatan pada tablau simpleks di atas dalam masalah Par, Inc. yang asal. Kitaketahuiunsur-unsurdidalamlajurx2menunjukkanberapabanyaksetiapdari empat angkubah basis boleh berubah di dalam usaha untuk mengeluarkan satu unit x2 dan masih lagi memenuhi keperluan kesemua perhubungan kekangan. Menggunakan lajur basis unuk mengenalpasti angkubah basis yang berpadanan dengan setiap unsur di dalam lajur x2, kita boleh melihat dengan memperkenalkan satu unit x2 akan memaksa kita mengurangkan s2 sebanyak 16/30 unit, s2 sebanyak 1/2 unit, x1 sebanyak 2/3 unit dan s4 sebanyak 22/120 unit.Mengapakahdenganmengeluarkansatuunitbegdeluxememerlukankita mengurangkan pengeluaran beg standard sebanyak 2/3 unit? Perhatikan disini, apabila kita memutuskanuntukmengeluarkan708begstandardkitaakanmenggunakansemuamasa kemasan yang ada. Oleh itu setiap unit x2 yang hendak kita keluarkan memerlukan 2/3 jam masakemasan(32=2/3),dansetiapunitx1memerlukan1jampenuh,kitalihatdalam usahauntukmengeluarkansatuunitx2kitaperlumemotong2/3unitx1untukmencukupi masakemasan.Olehitu32=2/3menunjukkansebenarnyaberapabanyakunitbagi angkubah basis x1 yang sebenanya mesti diberi jika satu unit x2 dkeluarkan.Dalamtablauasal(lihatkembalidansemak)kitalihatsetiapbegdeluxe memerlukan1jammasapemotongandanmewarna.Mengapa,kemudian12=16/30? Sekali lagi, setiap beg deluxe yang kita keluarkan kita akan mengurangkan 2/3 beg standard daripadapenyelesaiandankemudianmembebaskan2/3daripadamasapemotongandan mewarnayangdiperlukanuntuksatubegstandard.Olehkeranasetiapbegstandard memerlukan7/10jam,kitalihat2/3(7/10)=14/30jamadalahbersesuaiansebab2/3 daripada beg standard meninggalkan penyelesaian. Oleh itu setiap beg deluxe memerlukan 1 jam masa pemotongan dan mewarna, kesan bersih daripada pengeluaran satu beg deluxe hanyalah menggunakan tambahan 1 - 14/30 = 16/30 jam masa pemotongan dan mewarna. Koeffisien yang lain di dalam lajur x2 boleh diterangkan dengan cara yang sama.Untuk melihat mengapa cj zj = 7/3 kita perhatikan oleh kerana angkubah s1, s2 dan s4adalahangkubahslakdanmempunyaikoeffisienfungsiobjektifsifar,pengurangannya apabila satu unit x2 dibawa masuk ke dalam penyelesaian tidak akan mengurangkan jumlah keuntungan. Walau bagaimanapun, oleh kerana keuntungan berkaitan dengan setiap unit x1 adalah$10,pengurangan2/3akanmenyebabkankossebanyak$20/3.Denganlain perkataan,setiapunitx2kitabawakedalampenyelesaianakanmeningkatkankeuntungan sebanyak$9,atau$27/3.Olehitupeningkatanbersihdidalamnilaifungsiobjektif dihasilkandaripadasatuunitpeningkatandidalamx2danakanmemberikansebanyak $27/3- 20/3 = $7/3.Perhatikanbagisemuaangkubah basiss1,s2,x1dans4nilaibagicj-zjsamadengan sifar. Oleh kerana setiap angkubah ini berkaitan dengan unit lajur di dalam tablau simpleks kita,kitabolehtafsirkanperkarainidenganmembawasatuunitangkubahbasiskedalam penyelesaianakanmemaksakitamengeluarkansatuunitangkubahbasisyangsama. Keputusan ini nyata tiada perubahan bersih nilai fungsi objektif. Sebagai ringkasan kita perhatikan setiap lelaran kaedah simpleks: 1.Nilaipenyelesaianbasisbolehlaksanasemasabolehditemuididalamlajurbtablau simpleks. 2.Nilai cj - zj bagi setiap angkubah basis adalah sama dengan sifar3.KoeffisiendidalamlajurtertentubahagianAtablausimpleksmenunjukkanberapa banyakpenyelesaianbasissemasaakanberubahjikasatuunitangkubahberkaitan dengan lajur di masukkan. Marikitarujukkankepadabasispenilaianbersihuntukmelihatjikakitaboleh masukkanangkubahbarukedalambasisdanmeneruskannyauntukmemperbaikifungsi objektif. Menggunakan peraturan untuk menentukan angkubah manakah yang patut masuk ke dalam basis berikutnya, kita pilih x2, kerana ia mempunyai koeffisien positif yang terbesar di dalam baris penilaian bersih.Didalamusahauntukmenentukanangkubahmanakahyangpatutdikeluarkan daripadabasisapabilax2dimasukkan,kitamestimengirabagisetiapbarisikadarbi/ij (ingat,melalauinya,kitahanyamengirakadari2yanglebihbesardaripadasifar)dan kemudian memilih angkubah yang berpadanan dengan kadar minimum angkubah yang akan keluardaripadabasis.Sepertisebelumnya,kitaakantunjukkankadarinididalamlajur tambahan tablau simpleks. Oleh itu tablau akan menjadiOlehkerana252adalahkadaryangminimum,s1merupakanangkubahyangakan meninggalkan basis. Unsur pivot adalah 12 = 16/30, di mana ia di bulatkan di dalam tablau diatas.Angkubahx2sekarangmestidijadikanangkubahbasis.Inibermaknakitamesti membuatoperasibarisuntukmencaripenyelesaianbasisbolehlaksanayangbaru;iaitu, kita mesti mengubah lajur di dalam tablau menjadi ((((

0001 x1 x2 s1 s2 s3 s4 Basiscj1090000s4

s10016/3010-7/100134.4 134.4 =252 16/30 s2001/201-1/20246 246 =492 x11011/3 0010708 708=2063 2/3 s40022/120 00-1/10164.2 64.2 =350.18 22/120 zj1030/3001007080 cj-zj07/300 -100 Kita boleh lakukan dengan membentuk operasi baris yang berikut: Langkah 1Dharabkansetiapunsur didalambaris1 dengan30/16.Iniakanmenjadikan 12 = 1. Langkah 2Dharabkan baris 1yang barudengan(-1/2)dan champurkankepada baris2. Ini akan menjadikan 22 = 0. Langkah 3Dharabkan baris 1 yang baru dengan (-2/3) dan champurkan hasilnya dengan baris 3. Ini menjadikan 32 = 0. Langkah 4Dharabkanbaris1yangbarudengan(-22/120)danchampurkanhasilnya dengan baris 4. Ini akan menjadikan 42 = 0. Operasi baris asas di atas sekali lagi mengubah kedudukan bagi tablau simpleks kita, tetapi tidak mengubah penyelesaian kepada kandungan sistem persamaan di dalam tablau. Perbezaannyahanyalahkitasekarangmempunyaix2,s2,x1dans4sebagaiangkubahbasis, dans1dans3sebagaiangkubahbukanbasis.Tablaubarumewakilisistempersamaanyang dihasilkan daripada operasi baris ini diterangkan seperti di bawah: x1 x2 s1 s2 s3 s4 Basiscj1090000 x290130/16 0-21/160252 s2000-15/1615/320120 x11010-20/16030/160540s4000-11/1609/64118zj7668 cj - zj

Perhatikan keuntungan yang didapati dari penyelesaian bolehlaksana ialah 252 (9) + 120 (0) + 540 (10) + 18 (0) = 7668 dan angkubah basis adalah x2 = 252, s2 = 120, x2 = 540 dam s4 = 18.Penyelesaianbasisbolehlaksanainiadalahberpadanandengantitikekstrimdi dalam Rajah 3.2. Seperti yang telah anda ingat daripada penyelesaian secara geraf di dalam Bab2,inimerupakanpenyelesaianoptimummasalahPar,Inc.Walaubagaimanapun, kaedahsimpleksbelumlagimengenalpastipenyelesaianiniadalahoptimum.Olehitukita perlumeneruskanpenyiasatansamadabolehatautidakkitamembawamana-mana angkubah lain masuk ke dalam basis dan bergerak kepada penyelesaian basis bolehlaksana yang lain. Seperti yang telah kita lihat sebelumnya, ini melibatkan pengiraan baris zj dan cj - zjdankemudianmemilihangkubahuntukmasukkedalambasisyangberpadanandengan nilai positif yang terbesar di dalam baris penilaian bersih.Selepas membentuk baris zj dan cj - zj untuk penyelesaian semasa, kita dapati tablau simpleks yang lengkap sebagaimana berikut: x1x2s1s2s3s4 Basiscj1090000 x190130/160-21/160252 s2000-15/1615/320120 x11010-20/16030/160540 s4000-11/1609/64118 zj10970/160111/1607668 cj - zj00-70/160-111/160 Melihatkepadabarispenilaianbersihkitadapatisemuaunsuradalahsifaratau negatif. Oleh itu cj - zj adalah kurang daripada sifar bagi semua angkubah bukan basis s1 dan s4perubahanuntukmembawaangkubahbukanbasiskedalambasispadatitikiniakan mengurangkannilaisemasabagifungsiobjektif.Olehitutablaudiatasmewakili penyelesaian optimum kepada masalah pemprograman linear kita. Ciri-ciri Berhenti Penyelesaianoptimumkepadamasalahpemprogramanlineartelahdicapaiapabilatidak adalaginilaipositifdidalambarispenilaianbersihbagitablausimpleks.Jikasemua ruangandidalambarispenilaianbersihadalahsifarataunegatif,kitamenghentikan pengiraan. Penyelesaian optimum telah didapati daripada tablau simpleks semasa. Tafsiran dari Penyelesaian Optimum Kita lihat di dalam penyelesaian akhir masalah Par, Inc angkubah basis adalah x2, s2, x1 dan s4. Penyelesaian optimum yang lengkap bagi masalah Par Inc. adalah ((((((

((((((

1801200252540= ssssxx432121 Ia itu, penyelesaian optimum kita ialah x1 = 540, x2 = 252, s1 = 0, s2 = 120, s3 = 0 dan s4=18,dengannilaifungsiobjektifyangberpadananadalah$7668.Olehitujika pemgurusanPar,Inc.hendakmemaksimumkankeuntungan,iasepatutnyamengeluarkan 540buahbegstandarddan252buahbegdeluxe.Sebagaitambahan,pengurusanpatut perhatikan terdapat 120 jam masa terluang di jabatan jahitan dan 18 jam masa terluang di jabatanpemeriksaandanpembungkusan.Sekiranyamungkinunukmembuatpilihanbagi sumber tambahan, pengurusan perlu merancang untuk berbuat demikian.Kitajugabolehmelihatdengans1=0dans3=0merupakantiadamasaslakyang terdapat di dalam jabatan pemotongan dan mewarna dan jabatan kemasan. Kekangan bagi operasikedua-duanyaadalahterikatdidalampenyelesaianoptimum(lihatRajah3.2).Jika mungkinuntukmendapatkantambahanmasakepadaduajabatanini,pehakpengurusan perlu menimbangkannya untuk berbuat demikian. 3.6Penyelesaian Masalah Contoh Didalambahagianinikitaakanbawakanpenyelesaiancontohnumerikyanglengkap menggunakankaedahsimpleks.Iniadalahuntukmemberikanandapeluangmemeriksa kefahamanandaterhadapbahagianyanglepas.Andasepatunyatmencubauntuk menyelesaikanmasalahtersebutsendirisebelummempelajaripenyelesaianyang diterangkan di sini.Selesaikan pemprograman linear berikut dengan menggunakan kaedah simpleks: max4x1 + 6x2 + 3x3 + 1x4 t.k. 3/2x1 + 2x2 + 4x3 + 3x4 s 550 4x1 + 1x2 + 2x3 + 1x4 s 700 2x1 + 3x2 + 1x3 + 2x4 s 200 x1,x2,x3,x4 0 Pertamanyakitamestitambahkanangkubahslakuntukmenjadikanmasalahdi dalam bentuk standard: max4x1 +6x2 + 3x3+ 1x4 + 0s1 +0s2 + 0s3 t.k. 3/2x1 + 2x2 + 4x3 + 3x4 + 1s1 = 550 4x1 + 1x2 + 2x3 + 1x4 + 1s2 = 700 2x1 + 3x2 + 1x3 + 2x4 + 1s3 = 200 x1,x2,x3,x4 0 Langkahberikutnyaadalahmenulismasalahdidalambentuktablau.Tetapioleh keranasemuakekanganmempunyaitandalebihkecildaripadaatausamadengandannilai sebelahkananadalahbukannegatif,bentukstandarddanbentuktablauadalahsama. Daripada bentuk tablau kita boleh bentuk tablau simpleks awal: x1x2x3x4s1s2s3

Basiscj4631000b3/a3 s103/2243100550550/2 = 225 s204121010100100/1 = 700 s30231200120020/3 = 66 2/3 zj00000000cj - zj4631000 Dualelarankaedahsimpleksadalahdiperlukanuntukmencapaipenyelesaian optimum: Hasil daripada lelaran 1 x1x2x3x4s1s2s3 Basiscj4631000bi/aij

s101/60 10/35/310 -2/3416 2/3125 s2010/305/31/301 -1/3633 1/3380x362/311/32/3001/366 2/3200 zj12/366/312/3006/3400cj - zj003/3- 9/300 -6/3 Hasildaripada lelaran 2 x1x2x3x4s1s2s3 Basiscj4631000 x333/60015/103/100-2/10125 s2039/1200-15/30-5/1010425 x2639/601015/30-1/10015/3025 zj81/20639/23/10054/30525 cj - zj-1/2000-7/2-3/100-54/30 Semua nilai unsur cj - zj adalah kurang atau sama dengan sifar. Oleh itu tidak ada lagi angkubahyangbolehdimasukkankedalampenyelesaiandanmendapatkanpeningkatan fungsiobjektif.Olehitupenyelesaiantersebutadalahoptimum.Angkubahbasisadalahx3, s2, dan x2 dan penyelesaian optimum yang lengkap adalah di beri sebagai

(((((((

(((((((

042500125250= sssxxxx3214321 Nilai fungsi objektif bagi penyelesaian ini ialah 525. 3.7 Bentuk Tablau: Kes-kes Am Didalambahagian3.2kitatelahtunjukkanbagaimanamembentukbentuktablaumasalah pemprogramanlinearyangmerupakanlangkahpentingdidalammenyediakantatacara penyelesaiansimpleks.Andamungkiningatlagibentuktablaumestimempunyaidua peraturan yang penting: (1) nilai lajur b (nilai bahagian sebelah kanan) mesti bukan negatif, dan(2)denganmkekangan,mlajurbagimatrikAadalahunitlajurdengan1diunitlajur semuanya di dalam baris yang berbeza.Apabila kita formulasikan masalah Par, Inc. kita dapati semua nilai bahagian-sebelah-kananadalahbukannegatif[peraturan(1)dipenuhi]danbentukstandardbagiempat kekangan lebih kecil daripada atau sama dengan memberikan empat unit lajur bagi angkubah slakberpadanandengankekangan[peraturan(2)dipenuhi].Olehitukitabernasibbaikdi dalamkesinikeranadidalambentukstandardmasalahParIncjugamerupakanbentuk tablau. Walau bagaimana pun, apabila kita temui nilai bahagian sebelah kananyang negatif, kekangan lebih besar daripada atau sama dengan, dan/atau kekangan sama dengan kita perlu mengambil langkah-langkah tambahan untuk mengubah pemprograman linear kepada bentuk tablau.Pertamanyakitatunjukkanbagaimanauntukmengubahkansebarangkekangannilai bahagiankananyangnegatifkepadakekanganyangsamadengannilaisebelahkananyang bukan negatif. Menghapuskan Bahagian sebelah kanan Yang Negatif Untuk memberikan ilustrasi bagaimana bahagian sebelah kanan yang negatif boleh diatasi di dalammasalah,katakanpehakpengurusanParInctelahmenetapkanbahagianbeg standardyangperludikeluarkanmestilahsekurang-kurangnyaatausamadenganbilangan beg deluxe selepas 25 buah beg deluxe dikeluarkan untuk kegunaan pengiklanan. Kita boleh rumuskan kekangan ini sebagai 1x1 s 1x2 - 25 (3.14) Menolak x2 daripada kedua-dua bahagian ketaksamaan tersebut, membolehkan kita menempatkan semua angkubah disebelah kiri: kekangan dan pemalar disebelah kanan. Oleh itu kita dapati 1x1 - 1x2 s- 25 (3.15) Olehkeranabentuktablaumemerlukannilaisebelahkananbukannegatif,kitamesti mencari jalan bagaimana untuk mengubah nilai negatif bahagian sebelah kanan.Secaraamnya,terdapattigakesyangberasinganuntukdipertimbangkan, bergantungsamadakekangandidalamsoalanadalahlebihkecildaripadaatausama dengan, atau sama dengan, atau lebih besar daripada atau sama dengan. Untuk permulaan, kita pertimbangkan kekangan lebih kecil daripada atau sama dengan seperti (3.15). Kes 1 Kekangan kurang daripada atau sama dengan KekanganParInc(3.15) adalah 1x1 - 1x2 s-25 Apakahyangakanterjadijikakitadharabkankedua-duabahagiandenga-1? Peraturannya ialah jika anda mendharabkan ke dua-dua belah ketaksamaan dengan nombor negatif,tetandabagiketaksamaanakanberubaharah.Sebagaicontohnya1-2adalah selalunya benar. Walau bagaimanapun, jika kita dharabkan kedua-dua belah dengan -1, kita akan menukarkan arah ketaksamaan untuk mendapatkan perhubungan yang benar-1 s2. Begitujuga,denganmendharabkankekangandiatasdengan-1danmenukarkanarah ketaksamaan akan menghasilkan: -1x1 + 1x2 25 (3.16) Sekarangkita telahmempunyaibahagiansebelahkananyang bolehditerimauntukbentuk tablau.Didalambahagianyangberikutnyakitaakantunjukkanbagaimanauntuk memperolehibentuktablaubagikekanganlebihbesardaripadaatausamadenganyang mempunyai nilai bahagian sebelah kanan yang bukan negatif. Kes 2Kekangan sama denganSebagai contoh 6x1 + 3x2 - 4x3 = -20 Kitahanyaperlumendharabkankedua-duabahagiandengan-1dalamusahauntuk mendapatkan - 6x1 - 3x2 + 4x3 = 20 di mana mempunyai nilai bahagian sebelah kanan yang boleh diterima untuk bentuk tablau. Padamukasurat96kitatunjukkanbagaimanamemperolehibentuktablaudaripada kekangan persamaan dengan nilai bahagian sebelah kanan yang bukan negatif. Kes 3Kekangan lebih besar daripada atau sama denganSebagai contoh 6x1 + 3x2 - 4x3 = -20 Kita darabkan kedua-dua belah bahagian dengan -1 dan tukarkan arah ketaksamaan untuk mendapatkan -6x1 - 3x2 + 4x3 =20 Kekanganinisekarangbolehdilakukansepertimana-manamasalahlebihkecil daripadaatausamadenganyangasaldenganmenambahangkubahslakkepadabahagian sebelah kiri. Ini memberikan kita bentuk tablau, angkubah slak akan menjadi satu angkubah di dalam penyelesaian basis bolehlaksana yang awal.Ringkasnya,kitalihatsetiapkaliformulasipemprogramanlinearyangasal mengandungikekangandengannilaibahagiansebelahkananyangnegatif,kitaperlu melakukanoperasiasasyangditerangkandiatasuntukmenukarkankekangankepada kekangan yang sama dengan nilai bahagian sebelah kanan yang bukan negatif. Kekangan Lebih Besar daripada atau Sama dengan KatakandidalammasalahParInc,pehakpengurusanmahumenetapkansekurang-kurangnya100begbagisetiapmodelmestidikeluarkan.Kitasepatutnyamelibatkan sekatanyangbaruinidenganmenambahkankekanganbagimenentukanx1lebihbesar daripadaatausamadengan100danmenambahkekanganyanglainuntukmenentukanx2 lebih besar daripada atau sama dengan 100 beg. Oleh itu kita boleh menambah kekangan 1 x1 100 (3.17) 1 x2 100 (3.18) Dengan dua tambahan ini kita ubahsuaikan masalah kita dan sekarang boleh di tulis sebagai max 10x1 + 9x2t.k. 7/10x1+1x2s630 1/2x1 +5/6x2s600 1x1 +2/3x2s708 1/10x1 + 1/4x2 s 135 1x1 100 1x2 100 x1, x2 0 Penyelesaian secara geraf bagi masalah ini boleh dilihat di dalam Rajah 3.3 dan sama sepertipenyelesaiankepadamasalahPar,Inc.yangasal.Walaubagaimanapun,jikakita hendakmenggunakankaedahsimpleksuntukmenyelesaikanmasalahini,kitaperlutahu bagaimana hendak meletakkan kekangan lebih besar daripada atau sama dengan ke dalam bentuk tablau.Pertamanyakitabolehmenggunakanangkubahslakdanlebihpadauntukmenulis masalah Par Inc di dalam bentuk standard seperti berikut: max10x1 + 9x2 + 0x1 + 0s2 + 0s3 + 0s4 + 0s5 + 0s6 t.k. 7/10x1+1x2 + 1x1 = 630 (3.19) 1/2x1 +5/6x2 + 1s2= 600 (3.20) 1x1 +2/3x2 + 1s3= 708 (3.21) 1/10x1 +1/4x2 + 1s4= 135 (3.22) 1x1 - 1s5= 100 (3.23) 1x2 - 1s6 = 100(3.24) x1,x2,x1,s2,s3,s4,s5,s6 0 Sekarangmarikitamempertimbangkansemulacarabagaimanakitamembentuk penyelesaianawalbasisbolehlaksanauntukmembolehtkankaedahsimpleksawal dimulakan.Kitatetapkanx1=0,x2=0danpilihangkubahslaksebagaibasisawal. Pengembangantetandakepadamasalahsemasaadalahdicadangkandenganmenetapkan x1=0,x2=0,danpilihsebagaiangkubahbasisawalsebagaiangkubah-angkubahslakdan lebih pada. Walau bagaimanapun, lihat kepada geraf yang telah di sediakan bagi masalah ini (Rajah3.3),kitalihatpenyelesaianyang berpadanandengan origintidakladibolehlaksana. Kemasukkanduakekanganlebihbesaratausamadengan,x1100danx2100telah menjadikan penyelesaian x1 = x2 = 0 tidak bolehlaksana.Untukmelihatperkatrainidengancarayanglain,lihatpadapersamaan(3.23)dan (3.24)didalambentukstandardyangmewakilimasalah.Apabilax1danx2ditetapkan kepada sifar, persamaan (3.23) dan (3.24) berkurangan kepada - 1x1 = 100 atau - 1s2 = 100 Olehitudenganmenetapkanx1danx2samadengansifarmemberikankita penyelesaian basis ((((((

((((((

100 -100 -135708600630= s6s5s4s3s2xs1 Jelaslahmenunjukkanbukanpenyelesaianbasisbolehlaksana,keranas5dans6 melanggarkeperluankekanganbukannegatif.Olehitucarakitayangterdahuluuntuk mendapatkan penyelesaian awal basis bolehlaksana dengan menetapkan tiap-tiap angkubah keputusansamadengansifartidakberfungsi.Kesukarandisiniialahbentukstandarddan bentuktablauadalahsamahanyauntukmasalahkekanganlebihkecildaripadaatausama dengan.Didalammenyediakanbentuktablaubagimasalahini,kitabolehdibantudengan muslihatmatametikyangmembolehkankitamencaripenyelesaianawalbasis bolehlaksanabagiangkubahslakx1,s2,s3,s4danduaangkubahbaruyangkitatandakan sebagaia5 dan a6.Duaangkubahbaruini memberikanmuslihatmatematik.Angkubaha5 dan a6 sebenarnya tidak memberikan apa-apa makna kepada masalah Par, Inc., ia hanyalah persediaankepadakitauntukmembolehkankitamenyediakantablaudanmendapatkan penyelesaianawalbasisbolehlaksana.Olehkeranaangkubah-angkubahbaruinihayalah dibentuksecaratiruanuntukkaedahiniberfungsi,kitarujukkanangkubahinisebagai angkubahtiruan.Kitaharapkanpelajar-pelajartidakdikelirukanolehtetandabagi angkubahtiruanyangdigunakanuntukunsurpadamatrikA.Unsur-unsurbagimatrikA sentiasa mempunyai dua sub-skrip, sementara angkubah tiruan hanya mempunyai satu.Dengantambahanduaangkubahtiruanini,kitamengubahbentukstandard mewakilimasalahPar,Inc.yangtelahdiubahsuaikankedalambentuktablau.Kita tambahkanangkubahtiruana5kepadapersamaan(3.23)danangkubahtiruana6kedalam persamaan (3.24) untuk membentuk perwakilan berikut kepada sistem persamaan di dalam bentuk tablau: 7/10x1 +1x2 + 1x1 = 6301/2x1 + 5/6x2 + 1s2 = 600 1x1 + 2/3x2 + 1s3= 7081/10x1 + 1/4x2 + 1s4= 135 1x1- 1s5+ a5 = 100 1x2 - 1s6 + a6 = 100 x1,x2,x1,s2,s3,s4,s5,s6,a5,a6 0 Sebabuntukmengenalkanduaangkubahtiruansebagaia5dana6hendaklahjelas sekarang ini: Oleh kerana angkubah tiruan ditambah pada kekangan ke lima dan ke enam di dalamrumusan pemprogramanlinearkita,kita pilihsubskrip5 dan 6untukmengenalpasti kekanganyangdiwakiliolehangkubahtiruantersebut.Kenyataannya,perhatikansemua angkubah-angkubah slak dan lebih pada juga hendaklah mematuhi konvensyen ini, sebagai contohnyax1adalahmewakilikekanganpertama,s2mewakilikekangankeduadan seterusnya. Di dalam teks ini kita akan selalu mematuhi konvensyen menggunakan subskrip yang diwakili oleh angkubah merujuk kepada nombor kekangan di dalam formulasi.Olehkeranaangkubah-angkubahx1,s2,s3,s4,a5dana6setiapsatunyakelihatan mempunyaikoeffisien1,danolehkeranabahagiansebelahkananbukannegatif,kesemua keperluan bagi bentuk tablau telah dipenuhi.Kitasekarangbolehmembentukpenyelesaianawalbasisbolehlaksanakepada sistempersamaandidalambentuktablaudenganmenetapkanx2=x2=s5=s6=0. Penyelesaiann yang lengkap adalah (((((((((

(((((((((

1001000070860063000= a6a5s5s4s3s2s1x2x1 Adakahinipenyelesaianbolehlaksanadalammasalahsebenarkita?Tidak.Iatidak memenuhikeperluandimanakitaperlumengeluarkansekurang-kurangnya100buahbeg bagibegstandarddandeluxe.Olehitukitamestimembuatperbezaanyangpentingdi antarabasisbolehlaksanabagibentuktablaubagimasalahkitadanpenyelesaianbasis bolehlaksanabagimasalahsebenar.Penyelesaianbasisbolehlaksanabagibentuktablau masalahpemprogramanlineartidakselalunyamerupakanpenyelesaianbolehlaksanabagi masalahsebenar.Inidisebabkanolehkehadiranangkubahtiruandidalambentuktablau masalahtersebut.Walaubagaimanapun,olehkeranabentukstandardmewakilimasalah tidakmelibatkanmana-manaangkubahtiruanini,penyelesaianbasisbolehlaksanabagi bentukstandardyangdiwakilimestilahbolehlaksanabagimasalahsebenar.Kitalihat, kemudiannya,bentukstandardyangdiwakiliadalahsamadenganmasalahasal,dimana apabila kita perlu menambahkan angkubah tiruan maka ia tidak mewakili bentuk standard.Sepertiyangkitatelahlihatterdahulunyadidalambabini,sebabkitamembina bentuktablauadalahuntukmemperolehipenyelesaianawalbasisbolehlaksanayang membolehkankaedahsimpleksbermula.Olehitukitalihat,walauapayangdiperlukan untukmenambahkanangkubahtiruan,penyelesaianawalsimplekstidakdalambentuk bolehlaksana secara amnya bagi masalah sebenar. Situasi ini tidaklah sesukar yang kita lihat, walaubagaimanapunolehkeranahanyamasakitamestimendapatkanpenyelesaian bolehlaksanabagimasalahsebenarpadalelaranyangterakhirbagikaedahsimpleks.(iaitu penyelesaianoptimummestilahbolehlaksana).Olehitujikakitahendakmenggunakan beberapaalatuntukmenjaminangkubahtiruantersebutmestikeluardaripadabasis sebelum penyelesaian optimal dicapai adalah tidak sukar.Caradimanakitamenjaminangkubahtiruaniniakandikeluarkansebelum penyelesaianoptimumdicapaiadalahdenganmeletakkankosyangbesarkepadasetiap angkubahinididalamfungsiobjektif.Sebagaicontoh,didalammasalahyangsedangkita bincangkan,kitaletakkansatunombornegatifyangsangatbesarsebagaikoeffisien keuntunganpadasetiapangkubahtiruandidalamfungsiobjektifbentuktablau.Olehitu jikaangkubahiniberadadidalampenyelesaian,iasemestinyaakanmenyebabkan pengurangankeuntungan.Hasilnya,angkubahiniakandihapuskandaripadabasissecepat yang mungkin, dan ini merupakan perkara yang kita harapkan akan berlaku.Sebagaipilihanuntukmemilihsatuangkanegatifyangbesarseperti-100,000 sebagaikoeffisienkeuntungan,kitaakantandakankoeffisienkeuntunganbagitiap angkubah tiruan sebagai -M. Di sini kita akan mengandaikan -M mewakili angka negatif yang sangat besar. Tetanda ini akan menjadikan kita lebih mudah untuk mengikuti landasan bagi unsurtablausimpleksyangbergantungkepadakoeffisienkeuntunganangkubahtiruanini. Menggunakan-Msebagaikoeffisienkeuntunganuntukangkubahtiruan,kitasekarang boleh menulis fungsi objektif untuk bentuk tablau masalah kita: max z = 10x1 + 9x2 + 0x1 + 0s2 + 0s3 + 0s4 + 0s5 + 0s6 - Ma5 - Ma6 Dalambentukangkubahtiruankitaa5dana6,kitasekarangbolehmenulistablau awal simpleks seperti berikut: x1 x2 x1 s2 s3 s4 s5 s6 a5 a6 Basiscj109000000 -M -M x107/10110000000630 s201/2 5/601000000600 s301 2/300100000708 s401/10 1/400010000135 a5-M100000 -1010100 a6-M0100000 -101100 zj-M -M0000MM -M -M-200M cj-zj10+M9+M0000 -M -M00 Tablau di atas berpadanan dengan penyelesaian x1 = 630, s2 = 600, s3 = 708, s4 = 135, a5 = 100, a6 = 100 dan x1 = x2 = s5 = s6 = 0. Di dalam tablau kita ini merupakan penyelesaian basisbolehlakana,olehkeranasemuaangkubahadalahlebihbesardaripadaatausama dengansifardann-mbagiangkubahadalahsamadengansifar.Walaubagaimanapun,di dalammasalahPar,Inc.yangtelahdiubahsuaikan,x1=x2=0nyatalahtidakbolehlaksana. Kesukaraninidisebabkanolehkenyataanangkubahtiruanmasihlagiberadadidalam penyelesaianbasissemasapadanilaipositif.Marikitalengkapkanpenyelesaiansimpleks kepadamasalahinidanlihatjikaangkubahtiruaniniakankeluardaripadapenyelesaian seperti yang kita harapkan.Kitalihatpadalelaran pertama,x1akandibawamasukkedalambasisdana5telah dibawa keluar. Tablau simpleks selepas lelaran ini adalah seperti dibawah: Hasil daripada lelaran 1. x1x2x1 s2 s3 s4s5s6a5a6

Basis cj109000000-M -Mx1010110007/10 0-7/10 0 630 s2005/601001/20- 0 550s3002/3001010-10608 s4001/400011/10 0- 1/100135 x110100000-1010100 a6-M0100000-101100 zj10-M0000-10M10-M1000-100M cj - zj09+M000010-M-M-100 Penyelesaiandiatasmasihlagitidakbolehlaksana,olehkeranaangkubahtiruana6 masihdidalambasispadanilaipositif.Iamasihlagitidakmemenuhikeperluanx2 100. Secara geraf kita lihat di dalam Rajah 3.4 lelaran ini menggerakkan kita dari origin (label A) kepada titik B , di mana masih lagi bukan di dalam kawasan bolehlaksana.Padalelaranberikutnyax2akandibawamasukkedalampenyelesaiandana6di keluarkan. Tablau simpleks selepas lelaran ini adalah seperti ditunjukkan di bawah: Hasil daripada lelaran ke 2:

x1x2 x1 s2 s3 s4s5s6a5a6 Basiscj109000000-M-M x1010010007/101- 7/10-1460 s200001001/25/6-2 /2- 5/6466 2/3 s3000001012/3-1- 2/3541 1/3 s400000011/101/4- 1/10-1/4100 x110100000-1010100 x290100000-101100 zj1090000-10 -91091900 cj-zj000000109-M-10-M-9 Penyelesaiansemasasekarangbolehlaksana,olehkeranaangkubahtiruantelahdi keluarkandaripadapenyelesaian.Kitasekarangmempunyaikeadaandimanapenyelesaian basisbolehlaksanaterkandungdidalamtablausimpleksjugapenyelesaianbolehlaksana bagimasalahsebenar.SepertiyangandadapatlihatdidalamRajah3.4,penyelesaian semasa berpadanan dengan titik ekstrim C di atas sudut kawasan bolehlaksana. 200 400 600 Minimum x1 Minimum x2 x2 Penyelesaian Optimum (540,252) E C Nota: Dua penyelesaian yang pertama tidak boleh laksana Bilangan Beg Deluxe Rajah 3.4: Turutan Penyelesaian Simpleks bagi Masalah Par Inc yang diubahsuai Dualelaranyangberikutnyabagikaedahsimpleksadalahmenggerakkankitadari titikCkepadaDdandaripadaDkepadaEdiatasgerafkita.Hasiltablausimpleksadalah seperti berikut: 200 600400800 x1 0 D B A Bilangan Beg Standard Hasil daripada lelaran 3 x1 x2 x1s2s3 s4 s5s6a5a6

Basiscj109 0000 00-M-M x10100 10-7/10 0 016/300-16/30 243/30 s2000 01-1/20 03/60-3/6588/3 s5000 0010 12/31-2/31624/3 s6000 00-1/10 1 011/600-11/60 1376/30 x11010 0010 02/30-2/31924/3 x2901 0000 0-101100 zj109 00100 0-7/307/37313 1/3 cj- zj00 00-100 07/3-M-M-7/3 Hasil daripada lelaran 4 x1 x2x1 s2s3 s4 s5 s6 a5 a6 Basiscj109000000 -M -M s6010030/160-210/160 0010 -1152 s2000 -15/16125/16000000120 s5000 -20/160300/160010 -10440 s4000 -11/32045/1601000018 x11010 -20/160300/16000000540 x290130/160-210/160 00000252 zj10970/160111/16000007668 cj- zj00-70/160-111/16000 -M -M Sebagaimanapendekatansecarageraf,kitalihatdengantambahanduakekangan lebihbesardaripadaatausamadengantidakakanmengubahpenyelesaianoptimumkita. Walau bagaimanapun, ia membawa kita kepada lebih lelaran untuk mencapai titik ini. Ini di sebabkaniamembawadualelaranuntukmemansuhkanangkubahtiruandanolehitu membentuk penyelesaian basis bolehlaksana bagi masalah sebenar.Oleh itu, dengan memperolehi tablau simpleks awal menggunakan angkubah tiruan, kitatidakperlukhuatirsamadapenyelesaianbasispadalelarantertentubolehlaksanabagi masalahatautidak.Kitahanyaperlumengikutisemulaperaturanuntukkaedahsimpleks. Jika kita telah mencapai ciri berhenti (dimana, semua cj - zj s 0) dan semua angkubah tiruan telahdikeluarkandaripadapenyelesaian,makakitaakantemuipenyelesaianoptimum kepadapemprogramanlinearkita.Dengankatalain,apabilakitatelahmencapaiciri-ciri pemberhentiandansatuataulebihangkubahtiruanmasihberadadidalampenyelesaian padanilaipositif,makaterjadilahpenyelesaiantidakbolehlaksanadidalammasalah sebenar. Kes khas ini akan di bincangkan dengan lebih lanjut lagi di dalam Bahagian 3.9. Kekangan Sama dengan Apabila kekangan sama-dengan terdapat di dalam masalah pemprograman linear, kita hanya perlumenambahkanangkubahtiruanuntukmendapatkanpenyelesaianawalbolehlaksana untuk tablau simpleks. Sebagai contoh, jika kita mempunyai kekangan sama dengan 6x1 + 4x2 - 5x3 = 30 kitahanyatambahkanangkubahtiruan,katakana1,untukmembentukpenyelesaianawal basis bolehlaksana di dalam tablau. Persamaan di atas akan menjadi 6x1 + 4x2 - 5x3 + 1a1 = 30 Setelahkitamembinabentuktablaudenganmenambahangkubah-angkubah tiruan kepadakekangansamadengan,kaedahsimplekbolehditeruskansebagaimanayangtelah diterangkan terdahulu. Ringkasan Langkah Untuk Mengwujudkan Bentuk Tablau 1.Jika formulasi asal pemprograman linear mengandungi satu atau lebih nilai bahagian sebelahkananyangnegatif,dharabkankekangan-kekanganberkenaandengan-1 (Perhatiandisinidenganberbuatdemikianakanmegubaharahketaksamaanbagi kekangansdan).Iniakanmemberikanpemprogramanlinearyangsamadengan nilai bahagian sebelah kanan yang bukan negatif. 2.Untukkekangans,hanyatambahkanangkubahslakkepadasetiapkekanganlebih kecil daripada atau sama dengan untuk menjadikan persamaan. Koeffisien angkubah slakinididalamfungsiobjektifadalahsifar.Inimemberikanbentuktablaubagi kekangan dan angkubah slak menjadi satu daripada angkubah di dalam penyelesaian awal basis bolehlaksana kita.3.Bentukkekanganpersamaan,tambahkanangkubahtiruankepadasetiapkekangan persamaanuntukmemperolehibentuktablau.Koeffisienbagiangkubahtiruandi dalam fungsi objektif akan diletakkan dengan nilai -M. Angkubah tiruan akan menjadi sebahagian daripada penyelesaian awal basis bolehlaksana. 4.Untukkekangan,tolakkanangkubahlebihpadauntukmendapatkanpersamaan. Kemudiantambahkanangkubahtiruanuntukmengujudkanbentuktablaubagi kekangan. Angkubah tiruan ini akan menjadi sebahagian daripada penyelesaian awal basisbolehlaksana.Koeffisienbagiangkubahtiruaninididalamfungsiobjektif adalah - M. Untuk mendapatkan amalan penggunaan perinsip-perinsip di atas, mari kita tumpukan kepadacontohnumerikberikutkedalambentuktablaudanmenyediakantablausimpleks awal: max6x1 + 3x2 + 4x3 + 1x4

t.k. - 2x1 - 1/2x2 + 1x3 - 6x4 = -60 1x1+ 1x3 +2/3x4s 20 - 1x2 - 5x3 s -50 x1,x2,x3,x4 0 Didalamusahauntukmenghapuskannilaibahagiansebelahkananyangnegatifdi dalamkekangan1dan3,kitadharabkankedua-duakekangandengan-1dantukarkanarah ketaksamaan untuk mendapatkan pengaturcaraan linear yang berikut: max6x1 + 3x2 + 4x3 + 1x4

t.k. - 2x1 - 1/2x2 + 1x3 - 6x4 =-60 1x1+ 1x3 +2/3x4s20 1x2 - 5x3 50 x1,x2,x3,x4 0 Denganmenggunakanangkubah-angkubahslakdanlebihpadayangbersesuaian, kita bentukkan bentuk standard berikut mewakili max6x1 + 3x2 + 4x3 + 1x4 + 0s2 + 0s3 - Ma1 - Ma3 t.k. -2x1 - 1/2x2 + 1x3-6x4+ 1 a1 = -60 1x1 + 1x3 +2/3x4 + 1s2 = 20 -1x1- 5x3-1s3 + 1a3=50 x1,x2,x3,x4 ,s2,s3,a1,a3 0 Untukmembentukbentuktablau,kitamestitambahkanangkubahtiruanterhadap persamaan(3.25)dan(3.27).Menambahkanangkubahtiruana1kepadapersamaan(3.25) dan angkubah tiruan a3 kepada persamaan (3.27) kita dapat max 6x1 + 3x2 + 4x3 + 1x4 + 0s2 + 0s3 - Ma1 - Ma2 t.k. 2x1 + 1/2x2 - 1x3 +6x4+ 1a1 = 601x1+ 1x3 + 2/3x4 + 1s2 = 201x2+ 5x3- 1s3+ 1a3 = 50 x1,x2,x3,x4,s2,s3,a1,a3 0 Tablau simpleks awal yang berpadanan kepada bentuk tablau adalah x1x2x3 x4 s2 s3 a1 a3 Basiscj634100 -M -M a1-M21/2-16001060 s201012/3100020 s3-M01500-10150 zj-2M3/2M-4M-6M0M-M-M-110M cj - zj2M+63/2M+3 4M+46M+10-M00 3.8 Menyelesaikan Masalah PeminimumamMenggunakan KaedahSimpleks Terdapatduacarauntukkitamenyelesaikanmasalahpeminimuammenggunakankaedah simpleks.Carapertamamemerlukankitamenukarkanperaturanyangdigunakanuntuk memperkenalkanangkubahkepadapenyelesaian.Ingatkembalididalamkes pemaksimuman, kita akan memilih angkubah cj - zj mempunyai nilai positif terbesar sebagai angkubahuntukdimasukkankedalambasis.Inidisebabkannilaicj-zjmemberitahukita jumlah fungsi objektif akan meningkat jika satu unit angkubah di dalam lajur j dibawa masuk kedalambasis.Untukmenyelesaikanmasalahpeminimumam,kitahanyamemusingkan peraturanini.Iaitu,kitabolehmemilihangkubahdimanacj-zjyangpalingnegatifuntuk dimasukkankedalampenyelesaian.Inibermaknaperaturanberhentikitajugaakan berubah.Didalamkespeminimumankitaberhentiapabilanilaididalambasispenilaian bersihbukannegatif.Apabilakeadaaniniterjadi,kitamempunyaipenyelesaianoptimum bagi masalah peminimumam.Marikitalihatcarakeduadimanakitabolehmenyelesaikanmasalah peminimumammenggunakankaedahsimpleks.Pendekatankeduainiadalahsesatuyang selaluakankitagunakandidalammengingatiapabilakitadiperlukan untukmenyelesaikan masalahpemaksimuman.Pendekataniniadalahdikenalisebagaimuslihatmatematikyang selalu digunakan di dalam masalah pengoptimuman. Ia menunjukkan jika sesaorang hendak menyelesaikanmasalahmeminimumkanztertaklukkepadasetpembatas(linearataulain- lain)3 , masalah yang sama ialah memaksimumkan -z tertakluk kepada pembatas yang sama.

3 z selalu digunakan untuk menunjukkan nilai fungsi objektif masalahiniadalahsamadimana penyelesaianyangsamadi dalammeminimumkan zjuga memasimumkan -z. apa yang berbeza adalah nilaipenyelesaian satu adalah bernilai negatif berbanding dengan penyelesaian yang satu lagi. Ini ialah min z = max (-z) PertimbangkandatadidalamJadual3.3,yangmenunjukkannilaifungsiobjektifz dan-zbagipenyelesaianbolehlaksanayangdipilihdarimasalahPhotoChemicalInc. diperkenalkandidalamBahagian2.7.Sepertiyangandatelahlihat,nilaibagix1danx2 adalah meminimumkan z