Smart solution un matematika sma 2013 (skl 5.3 integral tak tentu dan integral tertentu fungsi...

Smart Solution

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA (Program Studi IPA)

Disusun oleh :

Pak Anang

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 213

5. 3. Menentukan integral tak tentu dan integral tertentu fungsi aljabar dan fungsi trigonometri.

Integral Tak Tentu

Definisi “Kebalikan Proses Turunan”

𝐹(𝑥) Integral Turunan

𝑓(𝑥)

𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) ⇒ ∫𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶

Integral Fungsi Aljabar Integral Fungsi Trigonometri

∫ 𝑥𝑛 ⅆ𝑥 =1

𝑛+1𝑥𝑛+1 + 𝐶

∫ 𝑎𝑥𝑛 ⅆ𝑥 =𝑎

𝑛+1𝑥𝑛+1 + 𝐶

Sifat:

∫ ⅆ[𝑓(𝑥)] = 𝑓(𝑥) + 𝑐

∫ 𝑘 ∙ 𝑓(𝑥)ⅆ𝑥 = 𝑘∫ 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥

∫ [𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] ⅆ𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥) ⅆ𝑥

Integral Tertentu

Definisi

∫ 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥𝑏

𝑎

= 𝐹(𝑥) |𝑏

𝑎= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)

𝐬𝐢𝐧𝒙𝐜𝐨𝐬𝒙

−𝐬𝐢𝐧𝒙−𝐜𝐨𝐬𝒙

∫ sec2 𝑥 ⅆ𝑥 = − tan 𝑥 + 𝐶

∫ csc2 𝑥 ⅆ𝑥 = −cot 𝑥 + 𝐶

∫ sec 𝑥 tan 𝑥 ⅆ𝑥 = −sec 𝑥 + 𝐶

∫ csc𝑥 cot 𝑥 ⅆ𝑥 = −csc 𝑥 + 𝐶

http://pak-anang.blogspot.com/

Halaman 214 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Teknik Integral Aljabar

Integral Langsung “Jika sesuai dengan Rumus Dasar” harus dalam bentuk pangkat

∫□𝑛 ⅆ□ = 1

𝑛+1□𝑛+1 + 𝐶

harus sama

∫ [𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] ⅆ𝑥 = …. boleh dalam bentuk penjumlahan atau pengurangan tidak boleh perkalian pembagian!!!!!

∫ [𝑓(𝑥) × 𝑔(𝑥)] ⅆ𝑥 = ….

∫[𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)] ⅆ𝑥 = ….

Jika tidak bisa diintegralkan secara langsung, maka bisa menggunakan salah satu dari metode berikut:

Diubah Substitusi Parsial

∫ 3𝑥(𝟐𝒙𝟐 + 𝟏)5 ⅆ𝒙

Fungsi integran dan operator masih belum sama harus sama

∫ 3𝑥(𝟐𝒙𝟐 + 𝟏)5 ⅆ(𝟐𝒙𝟐 + 𝟏)

4𝑥

∫ √𝑥 ⅆ𝑥 ∫5

𝑥2ⅆ𝑥

Bentuk pangkat Bentuk pangkat belum terlihat!!! belum terlihat!!!

∫ 𝑥12 ⅆ𝑥 ∫ 5𝑥−2 ⅆ𝑥

∫ 𝑥(𝑥 + 3) ⅆ𝑥 ∫ (𝑥 + 1)2 ⅆ𝑥 Nggak boleh dalam Nggak boleh dalam bentuk perkalian!!! bentuk perkalian!!!

∫ (𝑥2 + 3𝑥) ⅆ𝑥 ∫ (𝑥2 + 2𝑥 + 1) ⅆ𝑥

dan lain-lain …

turunan

∫ 3𝑥2(𝟐𝒙𝟐 + 𝟏)5 ⅆ𝒙


∫ 3𝑥2(𝟐𝒙𝟐 + 𝟏)5 ⅆ(𝟐𝒙𝟐 + 𝟏)

4𝑥

∫ 𝑢 ⅆ𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 ⅆ𝑢

turunan

Perbedaan mendasar antara teknik integral substitusi dengan

teknik integral parsial.

Sederhanakan! Nggak boleh muncul

variabel 𝒙

Sederhanakan! Tetapi masih muncul

variabel 𝒙



LOGIKA PRAKTIS Integral Fungsi Aljabar. Secara umum integral fungsi aljabar sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut:

𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝒏 → 𝑭(𝒙) =𝒂

𝒏+𝟏𝒙𝒏+𝟏 + 𝑪

𝒂𝒙𝒏 𝒂𝒙𝒏+𝟏 𝒂

𝒏+𝟏𝒙𝒏+𝟏

Proses mencari integral fungsi 𝑎𝑥𝑛 terhadap 𝑥:

1. Tambah satu pangkatnya! 2. Bagi koefisien dengan bilangan hasil langkah pertama! 3. Tambahkan dengan konstanta 𝐶. 4. Selesai!

TRIK SUPERKILAT Integral Fungsi Aljabar Pangkat Pecahan.

Sebagaimana sudah kita ketahui bersama, bahwa konsep dasar integral adalah sebagai berikut: Lho ini kan saling berkebalikan?

𝒇(𝒙) = 𝒙𝒏 → 𝑭(𝒙) =𝟏

𝒏+𝟏𝒙𝒏+𝟏 + 𝑪

Nah, seringkali kita kesulitan mengerjakan integral dengan langkah pasti dan yakin apabila bertemu dengan bentuk pangkat pecahan. Misalnya,

∫2𝑥32 ⅆ𝑥 = 2∫𝑥

32 ⅆ𝑥 (

Ingat konsep ∫ 𝑘𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 = 𝑘∫ 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 alias buang semua konstanta keluar integral

)

= 2 ∙2

5𝑥52 + 𝐶

=4

5𝑥52 + 𝐶

Sesuai konsep integral, pangkatnya kan harus ditambah 1!

Pangkat 3

2 ditambah 1 menjadi berapa?

5

2, kan?

Mudah saja, balik angka 5

2 menjadi

2

5.

Jadi,

∫𝑥32 ⅆ𝑥 =

2

5𝑥52 + 𝐶

Lho ini kan saling berkebalikan?



Teknik Integral Trigonometri

Integral Langsung “Jika sesuai konsep 6 Turunan Trigonometri”

∫ sin□ ⅆ□ = −cos□ + 𝐶

∫ cos□ ⅆ□ = −sin□ + 𝐶

∫ sec2 □ ⅆ□ = − tan□ + 𝐶

∫ csc2 □ ⅆ□ = −cot□ + 𝐶

∫ sec□ tan□ⅆ□ = −sec□ + 𝐶

∫ csc□ cot □ ⅆ□ = −csc□ + 𝐶

∫ [𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] ⅆ𝑥 boleh dalam bentuk penjumlahan atau pengurangan

Jika tidak bisa diintegralkan secara langsung, maka bisa menggunakan salah satu dari metode berikut:

Diubah Substitusi Parsial

∫ tan2 𝑥 ⅆ𝑥 ∫ cot2 𝑥 ⅆ𝑥 Adanya konsep Adanya konsep integral 𝐬𝐞𝐜𝟐 𝒙 !!! integral 𝐜𝐬𝐜𝟐 𝒙 !!!

∫ (sec2 𝑥 − 1) ⅆ𝑥 ∫ (csc2 𝑥 − 1) ⅆ𝑥 ∫ sin𝑚𝑥 cos𝑛𝑥 ⅆ𝑥 ∫ sin2 𝑥 ⅆ𝑥 ∫ cos𝑚𝑥 cos𝑛𝑥 ⅆ𝑥 ∫ cos2 𝑥 ⅆ𝑥 ∫ sin𝑚𝑥 sin𝑛𝑥 ⅆ𝑥 dst … Diubah menjadi Sin Cos berpangkat bentuk perjumlahan genap harus diubah! Ingat Rumus Perkalian Ingat Rumus Sin Cos ke penjumlahan setengah sudut

𝑆 + 𝑆 2𝑆𝐶𝑆 − 𝑆 2𝐶𝑆𝐶 + 𝐶 2𝐶𝐶𝐶 − 𝐶 − 2𝑆𝑆

sin2 𝑥 =1

2−1

2cos2𝑥

cos2 𝑥 =1

2+1

2cos 2𝑥

Jadi, ∫ sin4 𝑥 ⅆ𝑥 juga diubah menjadi

∫ sin2 𝑥 sin2 𝑥 ⅆ𝑥

dan lain-lain …

∫ 2𝑥 sin(𝟑𝒙𝟐 + 𝟐)ⅆ𝒙


∫ 2𝑥 sin(𝟑𝒙𝟐 + 𝟐) ⅆ(𝟑𝒙𝟐 + 𝟐)

6𝑥

∫ 𝐬𝐢𝐧3 𝑥 cos 𝑥 ⅆ𝒙


∫ 𝐬𝐢𝐧3 𝑥 cos 𝑥 ⅆ(𝐬𝐢𝐧 𝒙)

cos 𝑥

∫ 2𝑥2 sin(𝟑𝒙𝟐 + 𝟐) ⅆ𝒙


∫ 2𝑥2 sin(𝟑𝒙𝟐 + 𝟐) ⅆ(𝟑𝒙𝟐 + 𝟐)

6𝑥

∫ 𝑢 ⅆ𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 ⅆ𝑢 ⊕ ⊖

turunan turunan


variabel 𝒙

turunan


variabel 𝒙

Sederhanakan! Tetapi masih muncul

variabel 𝒙



LOGIKA PRAKTIS Integral Fungsi Trigonometri Dasar Sinus Kosinus. Secara umum integral fungsi trigonometri sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut: Cara membacanya:

𝐬𝐢𝐧 𝒙𝐜𝐨𝐬 𝒙

−𝐬𝐢𝐧 𝒙−𝐜𝐨𝐬 𝒙

∫ −sin 𝑥 ⅆ𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶

∫ −cos 𝑥 ⅆ𝑥 = − sin 𝑥 + 𝐶

∫ −sin 𝑥 ⅆ𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶

∫ −cos 𝑥 ⅆ𝑥 = − sin 𝑥 + 𝐶

Jadi integralnya sinus adalah negatif kosinus. Integralnya kosinus adalah sinus.

KONSEP DASAR Integral Fungsi Trigonometri Dasar Selain Sinus Kosinus. Dasar dari konsep integral fungsi trigonometri selain sinus kosinus adalah harus paham dan hafal turunan dari fungsi trigonometri. *) Perhatikan konsep berikut:

tan 𝑥 cot 𝑥 sec 𝑥 csc 𝑥 □𝟐 □𝟐

*) Dikutip dari SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 SKL 5.2 Aplikasi Turunan Fungsi, Halaman 203 (http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_29.html)

Jadi, dengan melihat bahwa integral adalah lawan dari proses turunan, diperoleh konsep berikut:

∫ sec2 𝑥 ⅆ𝑥 = − tan 𝑥 + 𝐶

∫ csc2 𝑥 ⅆ𝑥 = −cot 𝑥 + 𝐶

∫ sec 𝑥 tan 𝑥 ⅆ𝑥 = −sec 𝑥 + 𝐶

∫ csc 𝑥 cot 𝑥 ⅆ𝑥 = −csc 𝑥 + 𝐶

Cara membacanya: 𝑦 = tan 𝑥

→ 𝑦′ = sec2 𝑥

𝑦 = cot 𝑥 → 𝑦′ = −csc2 𝑥

𝑦 = sec 𝑥 → 𝑦′ = sec 𝑥 tan 𝑥

𝑦 = csc 𝑥 → 𝑦′ = −csc 𝑥 cot 𝑥


http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_29.html


Tips dan Trik Integral Trigonometri

Intinya pada integral trigonometri harus menguasai bagaimana konsep trigonometri serta bagaimanakah sifat turunan dari fungsi trigonometri. OK! Disamping itu, harus menguasai bagaimana konsep identitas trigonometri yang pernah Pak Anang tulis pada Modul SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 pada SKL 4 Pengantar Trigonometri di laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_11.html Rumus Identitas Trigonometri yang sering digunakan dalam integral adalah:

Rumus identitas trigonometri

sin2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1tan2 𝑥 + 1 = sec2 𝑥1 + cot2 𝑥 = csc2 𝑥

sin2 𝑥 =1

2−1

2cos2𝑥

cos2 𝑥 =1

2+1

2cos 2𝑥

sin2𝑥 = 2 sin𝑥 cos 𝑥

Rumus perkalian trigonometri

sin 𝑥 cos 𝑦 =1

2[sin(𝑥 + 𝑦) + sin(𝑥 − 𝑦)]

cos 𝑥 sin 𝑦 =1

2[sin(𝑥 + 𝑦) − sin(𝑥 − 𝑦)]

cos 𝑥 cos 𝑦 =1

2[cos(𝑥 + 𝑦) + cos(𝑥 − 𝑦)]

sin 𝑥 sin𝑦 = −1

2[cos(𝑥 + 𝑦) − cos(𝑥 − 𝑦)]

Apabila ada integral yang memuat fungsi trigonometri pangkat 𝑛 dan memuat fungsi turunannya maka bisa dituliskan konsep integral substitusinya sebagai berikut:

∫ sin𝑛 𝑥 (cos𝑥) ⅆ𝑥 =1

𝑛 + 1sin𝑛+1 𝑥 + 𝐶

∫ cos𝑛 𝑥 (sin𝑥) ⅆ𝑥 = −1

𝑛 + 1cos𝑛+1 𝑥 + 𝐶

∫ tan𝑛 𝑥 (sec2 𝑥) ⅆ𝑥 =1

𝑛 + 1tan𝑛+1 𝑥 + 𝐶

∫ cot𝑛 𝑥 (csc2 𝑥) ⅆ𝑥 = −1

𝑛 + 1cot𝑛+1 𝑥 + 𝐶

∫ sec𝑛 𝑥 (sec𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥 =1

𝑛 + 1sec𝑛+1 𝑥 + 𝐶

∫ csc𝑛 𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥 = −1

𝑛 + 1csc𝑛+1 𝑥 + 𝐶





TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral dengan Mengubah Bentuk Integral. Seringkali dalam pengerjaan integral kita bertemu dengan integral yang bentuk integralnya “sedikit berbeda” dari konsep dasar, namun sebenarnya apabila kita mau mengubahnya terlebih dahulu menggunakan sifat-sifat aljabar maupun sifat identitas trigonometri, bentuk integral tersebut bisa kembali sesuai dengan konsep dasar. Seperti telah diketahui bahwa untuk integral fungsi aljabar harus dalam bentuk pangkat dan variabel fungsi integral dengan operator harus sama. Bentuk integral yang diperbolehkan adalah penjumlahan atau pengurangan. TITIK! Sementara untuk integral fungsi trigonometri harus memenuhi sifat 6 turunan fungsi trigonometri, serta bentuk yang diperbolehkan adalah penjumlahan atau pengurangan. Serta perkecualian untuk bentuk perkalian tertentu yang bisa diubah menjadi penjumlahan pengurangan lewat rumus perkalian ke penjumlahan trigonometri. TITIK! Berikut ini adalah beberapa contoh penyelesaian integral dengan cara mengubah bentuk integral:

Contoh Soal 1:

Hasil dari

∫3√𝑥25

ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih berbentuk akar. Ubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pecahan dong!

∫3√𝑥25

ⅆ𝑥 = 3∫ √𝑥25

ⅆ𝑥 (Ingat √𝑥𝑚𝑛

= 𝑥𝑚𝑛 )

= 3∫𝑥25 ⅆ𝑥 (Ingat ∫ 𝑥

𝑚𝑛 ⅆ𝑥 =

𝑛

𝑚 + 𝑛𝑥𝑚+𝑛𝑛 + 𝐶 atau TRIK SUPERKILAT di halaman 215)

= 3 ∙5

7𝑥75 + 𝐶

=15

7𝑥75 + 𝐶

Contoh Soal 2:

Hasil dari

∫2

5𝑥3ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih ada variabel berpangkat menjadi penyebut. Ubah bentuk tersebut bentuk pangkat negatif dong!

∫2

5𝑥3ⅆ𝑥 = (Ingat

1

𝑥𝑛= 𝑥−𝑛)

= ∫2

5𝑥−3 ⅆ𝑥

=2

5∫𝑥−3 ⅆ𝑥

=2

5∙1

−2𝑥−2 + 𝐶

= −1

5𝑥−2 + 𝐶

= −1

5𝑥2+ 𝐶



Contoh Soal 3:

Hasil dari

∫1

𝑥ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pembagian. Ubah bentuk tersebut menjadi bentuk pangkat negatif dong!

∫1

𝑥ⅆ𝑥 = (Ingat

1

𝑥𝑛= 𝑥−𝑛)

= ∫𝑥−1 ⅆ𝑥

=1

0𝑥−0 + 𝐶

= tidak terdefinisi

Lho kok tidak terdefinisi???????? Ya! Khusus ∫𝑥𝑛 ⅆ𝑥 apabila 𝑛 = −1 maka penyelesaiannya tidak menggunakan konsep dasar integral. Jadi,

∫𝑥−1 ⅆ𝑥 ≠1

−1 + 1𝑥−1+1 + 𝐶

tetapi menggunakan rumus:

∫𝑥−1 ⅆ𝑥 = ∫1

𝑥ⅆ𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶



Contoh Soal 5:

Hasil dari

∫𝑥2(3𝑥 − 5)ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk perkalian. Ubah bentuk perkalian menjadi penjumlahan atau pengurangan dong! Dengan mengalikan secara distributif!

∫𝑥2(3𝑥 − 5) ⅆ𝑥 = ∫(3𝑥3 − 5𝑥2) ⅆ𝑥 (Ingat∫(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) ⅆ𝑥 = ∫𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 + ∫𝑔(𝑥)ⅆ𝑥 )

= ∫3𝑥3 ⅆ𝑥 − ∫5𝑥2 ⅆ𝑥

=3

4𝑥4 −

5

3𝑥3 + 𝐶

Contoh Soal 6:

Hasil dari

∫(2𝑥 − 3)2 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pangkat 𝑛 atau dalam bentuk perkalian sebanyak 𝑛 faktor sebagaimana sifat dari pangkat itu sendiri yaitu 𝑎𝑛 = 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 ×…× 𝑎⏟

𝑠𝑒𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟

.

Ubah bentuk tersebut menjadi penjumlahan atu pengurangan dong! Dengan mengalikan sebanyak 𝑛 faktor!

∫(2𝑥 − 3)2 ⅆ𝑥 = ∫(2𝑥 − 3)(2𝑥 − 3)ⅆ𝑥 (Ingat (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 )

= ∫(4𝑥2 − 12𝑥 + 9)ⅆ𝑥

=4

3𝑥3 − 6𝑥2 + 9𝑥 + 𝐶

Contoh Soal 7:

Hasil dari

∫4𝑥5 − 3𝑥3

2𝑥2ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pembagian. Ubah bentuk tersebut menjadi penjumlahan dong! Dengan menyederhanakannya dulu, tentunya…..

∫4𝑥5 − 3𝑥3

2𝑥2ⅆ𝑥 = ∫(

4𝑥5

2𝑥2−3𝑥3

2𝑥2)ⅆ𝑥 (Ingat

𝑎 + 𝑏

𝑐=𝑎

𝑐+𝑏

𝑐 )

= ∫(2𝑥3 −3

2𝑥)ⅆ𝑥

= ∫2𝑥3 ⅆ𝑥 −∫3

2𝑥 ⅆ𝑥

(

Menyelesaikan bentuk∫

3

2𝑥 ⅆ𝑥 yang paling mudah adalah

∫3

2𝑥 ⅆ𝑥 =

3

2∫𝑥 ⅆ𝑥 =

3

2∙1

2𝑥2 + 𝐶

)

=2

4𝑥4 −

3

2∙1

2𝑥2 + 𝐶

=1

2𝑥4 −

3

4𝑥2 + 𝐶



Contoh Soal 8:

Hasil dari

∫(3 + tan2 𝑥) ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih ada bentuk bukan turunan fungsi trigonometri dasar. Bentuk tan2 𝑥 bukanlah 6 turunan fungsi trigonometri dasar. Jadi ∫ tan2 𝑥 ⅆ𝑥 tidak bisa dikerjakan langsung. Padahal konsep dasar integral trigonometri yang ada hanyalah ∫ sec2 𝑥 ⅆ𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶. Ubah bentuk tan2 𝑥 menjadi bentuk sec2 𝑥 dong! Ya! Dengan menggunakan identitas trigonometri berikut:

tan2 𝑥 + 1 = sec2 𝑥 ⇒ tan2 𝑥 = sec2 𝑥 − 1

∫(3 + tan2 𝑥) ⅆ𝑥 = (Ingat tan2 𝑥 = sec2 𝑥 − 1)

= ∫(3 + (sec2 𝑥 − 1)) ⅆ𝑥

= ∫(2 + sec2 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫2ⅆ𝑥 + ∫sec2 𝑥 ⅆ𝑥

= 2𝑥 + tan 𝑥 + 𝑐

Contoh Soal 9:

Hasil dari

∫(2 cot2 𝑥 − 5)ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih ada bentuk bukan turunan fungsi trigonometri dasar. Bentuk cot2 𝑥 bukanlah 6 turunan fungsi trigonometri dasar. Jadi ∫ cot2 𝑥 ⅆ𝑥 tidak bisa dikerjakan langsung. Padahal konsep dasar integral trigonometri yang ada hanyalah ∫ csc2 𝑥 ⅆ𝑥 = −cot 𝑥 + 𝐶. Ubah bentuk tan2 𝑥 menjadi bentuk sec2 𝑥 dong! Ya! Dengan menggunakan identitas trigonometri berikut:

1 + cot2 𝑥 = csc2 𝑥 ⇒ cot2 𝑥 = csc2 𝑥 − 1

∫(2 cot2 𝑥 − 5)ⅆ𝑥 = (Ingat cot2 𝑥 = csc2 𝑥 − 1)

= ∫(2(csc2 𝑥 − 1) − 5)ⅆ𝑥

= ∫(2 csc2 𝑥 − 7)ⅆ𝑥

= ∫2 csc2 𝑥 ⅆ𝑥 − ∫7ⅆ𝑥

= 2∫csc2 𝑥 ⅆ𝑥 − 7𝑥 + 𝑐

= 2(−cot 𝑥) − 7𝑥 + 𝑐= −2cot 𝑥 − 7𝑥 + 𝑐



Contoh Soal 10:

Hasil dari

∫sin 3𝑥 cos𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih ada bentuk perkalian fungsi trigonometri. Ubah bentuk perkalian menjadi penjumlahan atau pengurangan dong! Ya! Dengan menggunakan salah satu dari identitas trigonometri berikut: Rumus perkalian trigonometri

sin 𝑥 cos 𝑦 =1

2[sin(𝑥 + 𝑦) + sin(𝑥 − 𝑦)]

cos 𝑥 sin 𝑦 =1

2[sin(𝑥 + 𝑦) − sin(𝑥 − 𝑦)]

cos 𝑥 cos 𝑦 =1

2[cos(𝑥 + 𝑦) + cos(𝑥 − 𝑦)]

sin𝑥 sin𝑦 = −1

2[cos(𝑥 + 𝑦) − cos(𝑥 − 𝑦)]

Jadi,

∫sin3𝑥 cos𝑥 ⅆ𝑥 = ∫1

2[sin(3𝑥 + 𝑥) + sin(3𝑥 − 𝑥)] ⅆ𝑥

= ∫1

2(sin 4𝑥 + sin 2𝑥)ⅆ𝑥

= ∫(1

2sin4𝑥 +

1

2sin 2𝑥)ⅆ𝑥

= ∫1

2sin 4𝑥 ⅆ𝑥 + ∫

1

2sin 2𝑥 ⅆ𝑥

=1

2∫sin 4𝑥 ⅆ𝑥⏟

+1

2∫sin 2𝑥 ⅆ𝑥⏟

Karena fungsi sudut dan operator integral tidak sama.Sudut sinus 4𝑥 dan 2𝑥, sementara operator integralnya ⅆ𝑥.Maka proses perhitungannya dilanjutkan dengan teknik integral substitusi!Yang akan dibahas pada bagian selanjutnya.OK!



Contoh Soal 10:

Hasil dari

∫sin2 𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:



.

Ubah bentuk tersebut menjadi penjumlahan atu pengurangan dong! Ya! Jika pangkat 𝑛 adalah pangkat bilangan genap menggunakan salah satu dari identitas trigonometri berikut: Rumus identitas trigonometri

sin2 𝑥 =1

2−1

2cos 2𝑥

cos2 𝑥 =1

2+1

2cos 2𝑥

Jadi,

∫sin2 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫(1

2−1

2cos 2𝑥) ⅆ𝑥

= ∫1

2ⅆ𝑥 −∫

1

2cos 2𝑥 ⅆ𝑥

=1

2𝑥 −

1

2∫cos 2𝑥 ⅆ𝑥⏟

Karena fungsi sudut dan operator integral tidak sama.Sudut kosinus 2𝑥, sementara operator integralnya ⅆ𝑥.Maka proses perhitungannya dilanjutkan dengan teknik integral substitusi!Yang akan dibahas pada bagian selanjutnya.OK!

Contoh Soal 10:

Hasil dari


Pembahasan:



.

Ubah bentuk tersebut menjadi penjumlahan atu pengurangan dong! Ya! Jika pangkat 𝑛 adalah pangkat bilangan ganjil menggunakan salah satu dari identitas trigonometri berikut: Rumus identitas trigonometri

sin2 𝑥 = 1 − cos2 𝑥cos2 𝑥 = 1 − sin2 𝑥

Jadi,

∫sin3 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫sin2 𝑥 sin 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(1 − cos2 𝑥) sin 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(sin 𝑥 − cos2 𝑥 sin 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫sin 𝑥 ⅆ𝑥 −∫cos2 𝑥 sin 𝑥 ⅆ𝑥⏟

Karena fungsi integran dan operator integral tidak sama.

Fungsi integran cos2 𝑥 sin 𝑥 , sementara operator integralnya ⅆ𝑥.Maka proses perhitungannya dilanjutkan dengan teknik integral substitusi!Yang akan dibahas pada bagian selanjutnya.OK!



LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Substitusi. Ingat Lagi Ya!!!!!! Konsep Dasar Integral harus dalam bentuk pangkat

∫□𝑛 ⅆ□ = 1

𝑛+1□𝑛+1 + 𝐶

harus sama

Bentuk dan Tipe Soal Integral Menggunakan

Teknik Integral Substitusi harus dalam bentuk pangkat

∫□𝑛 ⅆ∆ belum sama

Gantilah operator integral dengan fungsi yang disubstitusi. Tentukan turunan operator integral tersebut dan letakkan menjadi penyebut. Periksa! Apakah hasil bagi fungsi yang lain dengan turunan operator integral masih memuat variabel 𝑥? Tidak! Ya! Nggak ada variabel 𝑥 lagi! Masih menyisakan variabel 𝑥! Integral Substitusi Integral Parsial Teknik Tabulasi



TRIK SUPERKILAT Teknik Integral Substitusi. Perhatikan konsepnya:

ⅆ

ⅆ𝑥(𝑥2 + 4𝑥 − 9) = (2𝑥 + 4) ⇒ ⅆ(𝑥2 + 4𝑥 − 9) = (2𝑥 + 4)ⅆ𝑥

⇔ⅆ(𝑥2 + 4𝑥 − 9)

(2𝑥 + 4)= ⅆ𝑥

⇔ ⅆ𝑥 =ⅆ(𝑥2 + 4𝑥 − 9)

(2𝑥 + 4)

Jadi ⅆ𝑥 pada soal bisa diganti dengan 𝑑(𝑓(𝑥))

𝑓′(𝑥)

Atau dalam kalimat bisa diartikan sebagai berikut: Jadi, ⅆ𝑥 dapat diganti dengan sebuah fungsi permisalan dibagi oleh turunan fungsi tersebut! Contoh:

∫(3𝑥 − 5)10000000000000 ⅆ𝒙 = ∫(3𝑥 − 5)10000000000000ⅆ(𝟑𝒙 − 𝟓)

𝟑

∫sin(4𝑥)ⅆ𝒙 = ∫sin(4𝑥)ⅆ(𝟒𝒙)

𝟒

∫3𝑥 cos(2𝑥2)ⅆ𝒙 = ∫3𝑥 cos(2𝑥2)ⅆ(𝟐𝒙𝟐)

𝟒𝒙

dan lain-lain …..

Nah intisari dari teknik integral substitusi adalah mengupayakan agar turunan fungsi yang disubstitusi bisa membagi habis variabel pada fungsi lain yang tidak disubstitusi. Contohnya:

∫3𝑥 cos(2𝑥2) ⅆ𝑥 = ∫3𝑥 cos(2𝑥2)ⅆ(2𝑥2)

4𝑥= ∫

3𝑥

4𝑥cos(2𝑥2) ⅆ(2𝑥2) = ∫

3

4cos(2𝑥2) ⅆ(2𝑥2) = ∫

3

4cos □ ⅆ□

Pokoknya variabel 𝑥 Hore!!!!! Hore!!!!!! harus hilang!!! Variabel 𝑥 udah hilang!!!! Sudah sama!!!! Kalau hilang berarti integral substitusi. Kalau enggak hilang berarti integral parsial.

turunannya

turunannya

turunannya

turunannya



Contoh Soal 1:

Hasil dari

∫(𝑥 − 3)(𝑥2 − 6𝑥 + 1)−3 ⅆ𝑥 = ….

a. −1

8(𝑥2 − 6𝑥 + 1)−4 + 𝐶

b. −1

4(𝑥2 − 6𝑥 + 1)−4 + 𝐶

c. −1

2(𝑥2 − 6𝑥 + 1)−4 + 𝐶

d. −1

4(𝑥2 − 6𝑥 + 1)−2 + 𝐶

e. −1

2(𝑥2 − 6𝑥 + 1)−2 + 𝐶

Pembahasan:

Perhatikan soal,

∫(𝑥 − 3)(𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏)−3ⅆ𝒙

belum sama

Mari kita coba cek, apakah integral tersebut bisa diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi ataukah teknik integral parsial.

∫(𝑥 − 3)(𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏)−3ⅆ𝒙 ⇒ ∫(𝑥 − 3)(𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏)

−3 ⅆ(𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏)

(𝟐𝒙 − 𝟔)

Periksa, apakah hasil (𝑥−3)

(2𝑥−6) tidak menyisakan variabel 𝑥?

Ternyata hasil dari (𝑥−3)

(2𝑥−6)=1

2 , dan kita sudah tidak menemukan variabel 𝑥 yang tersisa.

Maka, penyelesaian integral tersebut adalah menggunakan teknik integral substitusi. Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:

∫(𝑥 − 3)(𝑥2 − 6𝑥 + 1)−3 ⅆ𝑥 = ∫(𝑥 − 3)(𝑥2 − 6𝑥 + 1)−3ⅆ(𝑥2 − 6𝑥 + 1)

(2𝑥 − 6) (Ingat ∫

1

2□𝑛 ⅆ𝑥 =

1

2∫□𝑛 ⅆ𝑥)

=𝟏

𝟐∫(𝑥2 − 6𝑥 + 1)−3 ⅆ(𝑥2 − 6𝑥 + 1) (Ingat ∫□𝑛 ⅆ𝑥 =

1

𝑛 + 1□𝑛+1 + 𝐶)

=1

2∙

𝟏

((−𝟑) + 𝟏)(𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏)(−𝟑)+𝟏 + 𝐶

=1

2∙1

(−2)(𝑥2 − 6𝑥 + 1)−2 + 𝐶

= −1

4(𝑥2 − 6𝑥 + 1)−2 + 𝐶

Ganti operator integral

turunannya

Periksa hasilnya, apakah masih menyisakan variabel 𝒙?

2

1



Contoh Soal 2:

Hasil dari

∫6𝑥√3𝑥2 + 5ⅆ𝑥 = ….

a. 2

3(6𝑥2 + 5)√6𝑥2 + 5 + 𝐶

b. 2

3(3𝑥2 + 5)√3𝑥2 + 5 + 𝐶

c. 2

3(𝑥2 + 5)√𝑥2 + 5 + 𝐶

d. 3

2(𝑥2 + 5)√𝑥2 + 5 + 𝐶

e. 3

2(3𝑥2 + 5)√3𝑥2 + 5 + 𝐶

Pembahasan:

Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:

∫6𝑥√3𝑥2 + 5ⅆ𝑥 = Tanda akar diubah menjadi bentuk pangkat dulu!OK!

(Ingat ∫√□ⅆ𝑥 = ∫□12 ⅆ𝑥)

= ∫6𝑥(3𝑥2 + 5)12 ⅆ𝑥 (Samakan dulu operator integralnya )

= ∫6𝑥(3𝑥2 + 5)12ⅆ(3𝑥2 + 5)

6𝑥

= ∫(3𝑥2 + 5)12 ⅆ(3𝑥2 + 5) (Ingat ∫□𝑛 ⅆ𝑥 =

1

𝑛 + 1□𝑛+1 + 𝐶)

=𝟏

(𝟏𝟐 + 𝟏)

(𝟑𝒙𝟐 + 𝟓)𝟏𝟐+𝟏+ 𝐶

=132

(3𝑥2 + 5)32 + 𝐶

=2

3(3𝑥2 + 5)

32 + 𝐶

=2

3(3𝑥2 + 5)

1+12 + 𝐶 (Ingat sifat pangkat 𝑎𝑚+𝑛 = 𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛)

=2

3(3𝑥2 + 5)(3𝑥2 + 5)

12 + 𝐶

=2

3(3𝑥2 + 5)√3𝑥2 + 5 + 𝐶



Contoh Soal 3:

Hasil dari

∫3

2𝑥 − 5ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:


∫3

2𝑥 − 5ⅆ𝑥 = 3∫

1

2𝑥 − 5ⅆ𝑥 = 3∫(2𝑥 − 5)−1 ⅆ𝑥 (Samakan dulu operator integralnya)

= 3∫(2𝑥 − 5)−1 ⅆ(2𝑥 − 5)

2

=3

2∫(2𝑥 − 5)−1 ⅆ(2𝑥 − 5) (Buang semua konstanta keluar integral)

=3

2ln|2𝑥 − 5| + 𝐶

Contoh Soal 4:

Hasil dari

∫3𝑥 − 1

𝑥2 − 𝑥ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:


∫3𝑥 − 1

𝑥2 − 𝑥ⅆ𝑥 = ∫

3𝑥

𝑥(𝑥 − 1)ⅆ𝑥 (Ingat

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)ℎ(𝑥)=

𝐴

𝑔(𝑥)+

𝐶

ℎ(𝑥))

3𝑥 − 1

𝑥(𝑥 − 1)=𝐴

𝑥+

𝐵

(𝑥 − 1)

⇒3𝑥 − 1

𝑥(𝑥 − 1)=𝐴(𝑥 − 1)

𝑥(𝑥 − 1)+

𝐵𝑥

𝑥(𝑥 − 1)

⇔3𝑥 − 1

𝑥(𝑥 − 1)=𝐴(𝑥 − 1) + 𝐵𝑥

𝑥(𝑥 − 1)

⇔3𝑥 − 1

𝑥(𝑥 − 1)=𝐴𝑥 − 𝐴 + 𝐵𝑥

𝑥(𝑥 − 1)

⇔3𝑥 − 1

𝑥(𝑥 − 1)=(𝐴 + 𝐵)𝑥 − 𝐴

𝑥(𝑥 − 1)

⇔ 3𝑥 − 1 = (𝐴 + 𝐵)𝑥 − 𝐴

}

𝐴 + 𝐵 = 3

𝐴 = 1 } 𝐴 = 1 dan 𝐵 = 2

⇒ ∫3𝑥 − 1

𝑥2 − 𝑥ⅆ𝑥 = ∫

𝐴

𝑥+

𝐵

(𝑥 − 1)ⅆ𝑥 (Ingat, dari perhitungan di atas ternyata 𝐴 = 1 dan 𝐵 = 2)

⇔ ∫3𝑥 − 1

𝑥2 − 𝑥ⅆ𝑥 = ∫

1

𝑥+

2

(𝑥 − 1)ⅆ𝑥

= ∫1

𝑥ⅆ𝑥 + ∫

2

(𝑥 − 1)ⅆ𝑥

= ln|𝑥| + ∫2

(𝑥 − 1)

ⅆ(𝑥 − 1)

1+ 𝐶

= ln|𝑥| + 2∫1

(𝑥 − 1)ⅆ(𝑥 − 1) + 𝐶

= ln|𝑥| + 2 ln|𝑥 − 1| + 𝐶



Contoh Soal 5:

Hasil dari

∫sin(4𝑥 − 𝜋)ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

Soal tersebut adalah soal dimana ada integral dari fungsi trigonometri yang sudutnya tidak sama dengan operator integralnya. Maksudnya? Perhatikan sudut fungsi sinus yaitu (4𝑥 − 𝜋). Padahal operator integralnya adalah ⅆ𝑥. Artinya fungsi sinus tersebut diintegralkan terhadap variabel 𝑥. Maka langkah penyelesaiannya adalah mensubstitusi operator integralnya agar sesuai dengan sudut fungsi trigonometrinya. Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:

∫sin(4𝑥 − 𝜋)ⅆ𝑥 = (Samakan dulu operator integralnya )

= ∫sin(4𝑥 − 𝜋)ⅆ(4𝑥 − 𝜋)

4

Ternyata tidak ada variabel 𝑥 tersisa.Jadi benar bahwa kita memilih langkah integral substitusi bukan integral parsial.

=1

4∫sin(4𝑥 − 𝜋)ⅆ(4𝑥 − 𝜋) (Ingat ∫ sin□ⅆ□ = −cos□ + 𝐶)

=1

4∙ (− cos(4𝑥 − 𝜋)) + 𝐶

= −1

4cos(4𝑥 − 𝜋) + 𝐶



Contoh Soal 5:

Hasil dari

∫sin3 𝑥 cos 𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

Soal tersebut adalah soal dimana ada integral dari fungsi trigonometri beserta turunannya. Maksudnya? Masih ingat dengan 6 turunan fungsi trigonometri kan?

𝑓(𝑥) = sin𝑥 → 𝑓′(𝑥) = cos𝑥

𝑓(𝑥) = cos𝑥 → 𝑓′(𝑥) = −sin 𝑥

𝑓(𝑥) = tan 𝑥 → 𝑓′(𝑥) = sec2 𝑥

𝑓(𝑥) = cot 𝑥 → 𝑓′(𝑥) = −csc2 𝑥

𝑓(𝑥) = sec𝑥 → 𝑓′(𝑥) = sec𝑥 tan 𝑥

𝑓(𝑥) = csc 𝑥 → 𝑓′(𝑥) = −csc 𝑥 cot 𝑥

Coba lihat dan amati 6 fungsi trigonometri dan turunannya di atas. Apabila ada integral yang memuat fungsi trigonometri pangkat 𝑛 dan memuat fungsi turunannya maka bisa dituliskan konsep integral substitusinya sebagai berikut:





∫ tan𝑛 𝑥 (sec2 𝑥) ⅆ𝑥 =1

𝑛 + 1tan𝑛+1 𝑥 + 𝐶

∫ cot𝑛 𝑥 (csc2 𝑥) ⅆ𝑥 = −1

𝑛 + 1cot𝑛+1 𝑥 + 𝐶

∫ sec𝑛 𝑥 (sec𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥 =1

𝑛 + 1sec𝑛+1 𝑥 + 𝐶

∫ csc𝑛 𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥 = −1

𝑛 + 1csc𝑛+1 𝑥 + 𝐶

Jadi ∫ sin3 𝑥 cos 𝑥 ⅆ𝑥 bisa diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi. Dengan mengganti operator integral dari yang semula ⅆ𝑥 menjadi ⅆ(sin𝑥). Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:

∫sin3 𝑥 cos 𝑥 ⅆ𝑥 = (Samakan dulu operator integralnya )

= ∫sin3 𝑥 cos𝑥ⅆ(sin𝑥)

cos 𝑥

= ∫sin3 𝑥 ⅆ(sin 𝑥) (Ingat ∫ sin𝑛 □ⅆ(sin□) =1

𝑛 + 1sin𝑛+1 □ + 𝐶)

=1

4sin4 𝑥 + 𝐶



Contoh Soal 6:

Hasil dari


Pembahasan:

Integral sin atau cos berpangkat ganjil arah penyelesaiannya selalu ke bentuk integral berikut:





Jadi, selalu disisakan satu fungsi sin atau cos berpangkat 1. Misalnya ∫ sin3 𝑥 ⅆ𝑥, maka harus diubah supaya ada suku fungsi integran yang menjadi ∫ cos2 𝑥 sin 𝑥. Konsep identitas trigonometri yang selalu digunakan jika bertemu sin atau cos pangkat ganjil adalah:

sin2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1 Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:

∫sin3 𝑥 ⅆ𝑥 = (Untuk soal integral sin atau cos pangkat ganjil selalu sisakan sin atau cos pangkat 1)

Jadi ubah dulu sin𝑛 𝑥 = sin𝑛−1 𝑥 sin 𝑥

= ∫sin2 𝑥 sin𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(1 − cos2 𝑥) sin𝑥 ⅆ𝑥 (Ingat sin2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1 ⇒ sin2 𝑥 = 1 − cos2 𝑥)

= ∫(sin 𝑥 − cos2 𝑥 sin𝑥) ⅆ𝑥 (Ingat ∫ 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)ⅆ𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥) ⅆ𝑥)

= ∫sin 𝑥 ⅆ𝑥 −∫cos2 𝑥 sin 𝑥 ⅆ𝑥 (Penyelesaian ∫ cos2 𝑥 sin 𝑥 ⅆ𝑥 lihat Contoh Soal 4)

= −cos 𝑥 − ∫cos2 𝑥 sin 𝑥ⅆ(cos 𝑥)

− sin𝑥 (Ingat ∫ cos𝑛 □ⅆ(cos□) =

1

𝑛 + 1cos𝑛+1 □ + 𝐶)

= −cos 𝑥 + ∫cos2 𝑥 ⅆ(cos𝑥)

= −cos 𝑥 +1

3cos3 𝑥 + 𝐶

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:

Langkah penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTISnya bisa dilihat nanti pada Suplemen Modul SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 pada SKL 5 tentang PENGAYAAN INTEGRAL TRIGONOMETRI pada laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html !! Jadi selalu tunggu update terbarunya ya!!!




LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Parsial. Ingat Lagi Ya!!!!!! Konsep Dasar Integral harus dalam bentuk pangkat

∫□𝑛 ⅆ□ = 1

𝑛+1□𝑛+1 + 𝐶

harus sama

Bentuk dan Tipe Soal Integral Menggunakan

Teknik Integral Parsial atau

Metode Tabulasi harus dalam bentuk pangkat

∫□𝑛 ⅆ∆ belum sama

Gantilah operator integral dengan fungsi yang disubstitusi. Tentukan turunan operator integral tersebut dan letakkan menjadi penyebut. Periksa! Apakah hasil bagi fungsi yang lain dengan turunan operator integral masih memuat variabel 𝑥? Tidak! Ya! Nggak ada variabel 𝑥 lagi! Masih menyisakan variabel 𝑥! Integral Substitusi Integral Parsial Teknik Tabulasi



Contoh Soal 1:

Hasil dari ∫𝑥√𝑥 + 1ⅆ𝑥 = ….

a. 2

5(𝑥 + 1)√𝑥 + 1 −

2

3(𝑥 + 1)2√𝑥 + 1 + 𝐶

b. 2

15(3𝑥2 + 𝑥 − 2)√𝑥 + 1 + 𝐶

c. 2

15(3𝑥2 + 𝑥 + 4)√𝑥 + 1 + 𝐶

d. 2

15(3𝑥2 − 𝑥 − 2)√𝑥 + 1 + 𝐶

e. 2

5(𝑥2 + 𝑥 − 2)√𝑥 + 1 + 𝐶

Pembahasan:

Perhatikan soal, ubah dulu tanda akar menjadi bentuk pangkat,

∫𝑥√𝑥 + 1ⅆ𝑥 = ∫𝑥(𝒙 + 𝟏)12 ⅆ𝒙

belum sama Mari kita coba cek, apakah integral tersebut bisa diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi ataukah teknik integral parsial.

∫𝑥(𝒙 + 𝟏)12 ⅆ𝒙 ⇒ ∫𝑥 (𝒙 + 𝟏)

12ⅆ(𝒙 + 𝟏)

𝟏

Periksa, apakah hasil 𝑥

1 tidak menyisakan variabel 𝑥?

Ternyata hasil dari 𝑥

1= 𝑥 , dan kita masih menemukan variabel 𝑥 yang tersisa.

Maka, penyelesaian integral tersebut adalah menggunakan teknik integral parsial.

∫𝑥(𝑥 + 1)12 ⅆ𝑥 = (Ingat integral parsial ∫𝒖ⅆ𝒗 = 𝒖𝒗 −∫𝒗ⅆ𝒖)

Misal 𝒖 = 𝑥 ⇒ⅆ𝑢

ⅆ𝑥= 1

⇔ ⅆ𝒖 = ⅆ𝑥

Maka ⅆ𝒗 = (𝑥 + 1)12ⅆ𝑥 ⇒ ∫ ⅆ𝑣 = ∫ (𝑥 + 1)

12ⅆ𝑥

⇔ 𝒗 =2

3(𝑥 + 1)

32

⇒ ∫𝑥(𝑥 + 1)12 ⅆ𝑥 = 𝒖𝒗 − ∫𝒗ⅆ𝒖

= 𝒙 ∙𝟐

𝟑(𝒙 + 𝟏)

𝟑𝟐 −∫

𝟐

𝟑(𝒙 + 𝟏)

𝟑𝟐 ⅆ𝒙

=2

3𝑥(𝑥 + 1)

32 −

2

3∫(𝑥 + 1)

32ⅆ(𝑥 + 1)

1

=2

3𝑥(𝑥 + 1)

32 −

2

3∙2

5(𝑥 + 1)

52 + 𝐶

=2

3𝑥(𝑥 + 1)

32 −

4

15(𝑥 + 1)

52 + 𝐶 (keluarkan FPB-nya (𝑥 + 1)

12)

= (𝑥 + 1)32 [2

3𝑥 −

4

15(𝑥 + 1)] + 𝐶

= (𝑥 + 1)12(𝑥 + 1) (

6

15𝑥 −

4

15) + 𝐶

= (𝑥 + 1)12(𝑥 + 1)

2

15(3𝑥 − 2) + 𝐶

=2

15(3𝑥 − 2)(𝑥 + 1)(𝑥 + 1)

12 + 𝐶

=2

15(3𝑥2 + 𝑥 − 2)(𝑥 + 1)

12 + 𝐶

=2

15(3𝑥2 + 𝑥 − 2)√𝑥 + 1 + 𝐶

Ganti operator integral

Periksa hasilnya, apakah masih menyisakan variabel 𝒙?

turunannya



Contoh Soal 2a:

Hasil dari

∫(𝑥2 + 1) cos 𝑥 ⅆ𝑥 = ….

a. 𝑥2 sin 𝑥 + 2𝑥 cos𝑥 + 𝐶

b. (𝑥2 − 1) sin𝑥 + 2𝑥 cos𝑥 + 𝐶

c. (𝑥2 + 3) sin𝑥 − 2𝑥 cos𝑥 + 𝐶

d. 2𝑥2 cos𝑥 + 2𝑥2 sin 𝑥 + 𝐶

e. 2𝑥 sin𝑥 − (𝑥2 − 1) cos𝑥 + 𝐶

Pembahasan:


∫(𝑥2 + 1)⏟ 𝒖

cos 𝑥 ⅆ𝑥⏟ ⅆ𝒗

= (Ingat integral parsial ∫𝒖ⅆ𝒗 = 𝒖𝒗 −∫𝒗ⅆ𝒖)

Misal 𝒖 = 2𝑥 ⇒ⅆ𝑢

ⅆ𝑥= 2

⇔ ⅆ𝒖 = 2ⅆ𝑥Maka ⅆ𝒗 = cos 𝑥 ⅆ𝑥 ⇒ ∫ ⅆ𝑣 = ∫ cos 𝑥 ⅆ𝑥

⇔ 𝒗 = sin𝑥

⇒ ∫(𝑥2 + 1) cos 𝑥 ⅆ𝑥 = 𝒖𝒗 −∫𝒗ⅆ𝒖

= (𝒙𝟐 + 𝟏) ∙ 𝐬𝐢𝐧𝒙 − ∫𝐬𝐢𝐧𝒙 ∙ 𝟐𝒙ⅆ𝒙

= (𝑥2 + 1) sin𝑥 − ∫2𝑥 sin𝑥 ⅆ𝑥

(Bentuk ∫2𝑥 sin 𝑥 ⅆ𝑥 diselesaikan menggunakan teknik integral parsial)

⇒ ∫(𝑥2 + 1) cos 𝑥 ⅆ𝑥 = (𝑥2 + 1) sin𝑥 − ∫2𝑥⏟𝒖sin 𝑥 ⅆ𝑥⏟ ⅆ𝒗

Misal 𝒖 = 2𝑥 ⇒ⅆ𝑢

ⅆ𝑥= 2

⇔ ⅆ𝒖 = 2ⅆ𝑥Maka ⅆ𝒗 = sin 𝑥 ⅆ𝑥 ⇒ ∫ ⅆ𝑣 = ∫ sin𝑥 ⅆ𝑥

⇔ 𝒗 = −cos 𝑥

⇒ ∫(𝑥2 + 1) cos 𝑥 ⅆ𝑥 = (𝑥2 + 1) sin𝑥 − [𝒖𝒗 −∫𝒗ⅆ𝒖] + 𝐶1

= (𝑥2 + 1) sin𝑥 − [2𝑥 ∙ (− cos 𝑥) − ∫(−cos𝑥) ∙ 2 ⅆ𝑥 + 𝐶2] + 𝐶1

= (𝑥2 + 1) sin𝑥 − [(−2𝑥 cos 𝑥) +∫2 cos𝑥 ⅆ𝑥 + 𝐶2] + 𝐶1

= (𝑥2 + 1) sin𝑥 − [(−2𝑥 cos 𝑥) + 2 sin𝑥 + 𝐶2] + 𝐶1= (𝑥2 + 1) sin𝑥 + 2𝑥 cos𝑥 − 2 sin𝑥 + 𝐶2 + 𝐶1⏟

𝑪𝟏+𝑪𝟐=𝑪

= (𝑥2 + 1) sin𝑥 − 2 sin𝑥 + 2𝑥 cos𝑥 + 𝐶

= (𝑥2 + 1 − 2) sin𝑥 + 2𝑥 cos𝑥 + 𝐶

= (𝑥2 − 1) sin𝑥 + 2𝑥 cos𝑥 + 𝐶

Menyelesaikan integral dengan teknik integral parsial bisa juga dilakukan menggunakan metode tabulasi. Langkah penyelesaian integral parsial dengan metode tabulasi adalah memisah bagian yang mudah diturunkan hingga nol, dan bagian yang rumit. Penyelesaian metode tabulasi untuk soal ini ada di halaman berikutnya!



TRIK SUPERKILAT Teknik Integral Parsial Menggunakan Metode Tabulasi. Contoh Soal 2b:

Hasil dari

∫(𝑥2 + 1) cos 𝑥 d𝑥 = ….

a. 𝑥2 sin 𝑥 + 2𝑥 cos𝑥 + 𝐶

b. (𝑥2 − 1) sin𝑥 + 2𝑥 cos𝑥 + 𝐶

c. (𝑥2 + 3) sin𝑥 − 2𝑥 cos𝑥 + 𝐶

d. 2𝑥2 cos𝑥 + 2𝑥2 sin 𝑥 + 𝐶

e. 2𝑥 sin𝑥 − (𝑥2 − 1) cos𝑥 + 𝐶

Pembahasan TRIK SUPERKILAT Integral Parsial menggunakan Metode Tabulasi:

Langkah penyelesaian integral parsial dengan menggunakan metode tabulasi : Buat tabel dengan dua kolom. Isi kolom kiri dengan turunan bagian yang mudah secara terus-menerus hingga turunannya sama dengan nol. Isi kolom kanan dengan integral bagian yang rumit secara terus-menerus sebanyak baris kolom kiri. Kalikan kolom kiri dan kanan dengan arah menyerong serta kalikan juga dengan tanda plus minus bergantian. Ingat! Selalu diawali oleh tanda plus!! Selesai!

∫(𝑥2 + 1)⏟ mudah

cos 𝑥⏟rumit

ⅆ𝑥 = (Pisahkan bagian yang mudah diturunkan hingga nol dengan bagian yang rumit)

Kolom Kiri

(Turunkan)

Kolom Kanan

(Integralkan)

(𝑥2 + 1) cos 𝑥

2𝑥 sin 𝑥

2 −cos 𝑥

0 −sin𝑥

∫(𝑥2 + 1) cos 𝑥 d𝑥 = (𝑥2 + 1) sin𝑥 + 2𝑥 cos 𝑥 − 2 sin 𝑥 + 𝐶

= (𝑥2 + 1) sin𝑥 − 2 sin 𝑥 + 2𝑥 cos 𝑥 + 𝐶

= (𝑥2 + 1 − 2) sin𝑥 + 2𝑥 cos 𝑥 + 𝐶

= (𝑥2 − 1) sin𝑥 + 2𝑥 cos 𝑥 + 𝐶

Penyelesaian menggunakan teknik integral parsial ada di halaman sebelumnya. Coba bandingkan hasilnya!

⊖

⊕

⊕ (𝑥2 + 1) sin 𝑥

2𝑥 cos 𝑥

−2 sin𝑥



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Trigonometri.

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Trigonometri yaitu tentang:

bagaimana cara praktis menguasai konsep integral fungsi trigonometri; ciri-ciri soal integral fungsi trigonometri yang bisa diselesaikan dengan integral langsung atau hanya bisa

diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi maupun teknik integral parsial.

Semuanya bisa dilihat nanti pada Suplemen Modul SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 pada SKL 5 tentang PENGAYAAN INTEGRAL TRIGONOMETRI pada laman web berikut http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html !! Jadi selalu tunggu update terbarunya ya!!!

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Substitusi Trigonometri.

Sepertinya untuk soal integral UN Matematika SMA 2013 nanti tidak akan muncul soal yang harus dikerjakan

dengan teknik integral substitusi trigonometri, yaitu fungsi-fungsi yang memuat bentuk √𝑎 − 𝑢2, √𝑎 + 𝑢2, dan

√𝑢2 − 𝑎. Namun untuk TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Substitusi Trigonometri juga bisa dilihat nanti pada Suplemen Modul SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 pada SKL 5 tentang PENGAYAAN INTEGRAL TRIGONOMETRI pada laman web berikut http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html !! Jadi selalu tunggu update terbarunya ya!!!





TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Cepat Menyelesaikan Integral Tertentu.

Perhatikan konsep dasar dari Integral Tertentu

∫ 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥𝑏

𝑎

= 𝐹(𝑥) |𝑏

𝑎= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)

Contoh Soal 1:

Hasil dari

∫ (6𝑥2 − 8𝑥 + 3)4

2

ⅆ𝑥 = ….

a. 96

b. 108

c. 112

d. 116

e. 128

Pembahasan:


∫ (6𝑥2 − 𝑥 + 3)4

2

ⅆ𝑥 = [2𝑥3 −1

2𝑥2 + 3𝑥]

2

4

= (2(4)3 −1

2(4)2 + 3(4)) − (2(2)3 −

1

2(2)2 + 3(2))

= (2 ∙ 64 −1

2∙ 16 + 12) − (2 ∙ 8 −

1

2∙ 4 + 6)

= (128 − 8 + 12) − (16 − 2 + 6)

= (132) − (20)= 112

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS:

Langkah penyelesaian TRIK SUPERKILAT hanya mengubah cara perhitungan supaya menjadi lebih sederhana menggunakan kebalikan dari sifat distributif, yakni mengumpulkan faktor yang sama dalam perhitungan.

Misal 𝐹(𝑥) = 2𝑥3 −1

2𝑥2 + 3𝑥

Maka, 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = (2(4)3 −1

2(4)2 + 3(4)) − (2(2)3 −

1

2(2)2 + 3(2))

= 2(4)3 −1

2(4)2 + 3(4) − 2(2)3 +

1

2(2)2 − 3(2)

= 2(4)3 − 2(2)3 −1

2(4)2 +

1

2(2)2 + 3(4) − 3(2)

= 2 (43 − 23)⏟ selisihnya 𝑥3

−1

2(42 − 22)⏟ selisihnya 𝑥2

+ 3 (4 − 2)⏟ selisihnya 𝑥

∫ (6𝑥2 − 𝑥 + 3)4

2

ⅆ𝑥 = [2𝑥3 −1

2𝑥2 + 3𝑥]

2

4

= 2(43 − 23) −1

2(42 − 22) + 3(4 − 2)

= 2(64 − 8) −1

2(16 − 4) + 3(2)

= 2(56) −1

2(12) + 3(2)

= 112 − 6 + 6= 112

Catatan: TRIK SUPERKILAT Integral tertentu ini hanya berlaku apabila fungsi integrannya adalah fungsi aljabar.



Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Integral ini….



http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013.html


Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1. Hasil dari

dx

xx

x72 723

13 ....

A.

C7233

162

xx

B.

C7234

162

xx

C.

C7236

162

xx

D.

C72312

162

xx

E.

C72312

172

xx

2. Hasil dari dxxx 133 2 ....

A. C13)13(3

2 22 xx

B. C13)13(2

1 22 xx

C. C13)13(3

1 22 xx

D. C13)13(2

1 22 xx

E. C13)13(3

2 22 xx

3. Hasil dari dxxxx92 96434 ....

A. C96410

1 102 xx

B. C3215

1 20x

C. C3220

1 20x

D. C96420

1 102 xx

E. C96430

1 102 xx

4. Hasil dari

dx

x

x

7 53

2

52

2 ....

A. C527

3 7 33 x

B. C523

6 6 73 x

C. C527

6 7 63 x

D. C526

7 7 23 x

E. C526

7 2 73 x

∫3𝑥 − 1

(3𝑥2 − 2𝑥 + 7)7 ⅆ𝑥 = ∫(3𝑥 − 1)(3𝑥2 − 2𝑥 + 7)−7

ⅆ(3𝑥2 − 2𝑥 + 7)

(6𝑥 − 2)

=1

2∫(3𝑥2 − 2𝑥 + 7)−7ⅆ(3𝑥2 − 2𝑥 + 7)

=1

2∙ (−

1

6) (3𝑥2 − 2𝑥 + 7)−6 + C

=−1

12(3𝑥2 − 2𝑥 + 7)6+ C

∫3𝑥√3𝑥2 + 1 ⅆ𝑥 = ∫3𝑥(3𝑥2 + 1)12 ⅆ(3𝑥2 + 1)

6𝑥

=1

2∫(3𝑥2 + 1)

12 ⅆ(3𝑥2 + 1)

=1

2∙2

3∙ (3𝑥2 + 1)

32 + C

=1

3(3𝑥2 + 1)√3𝑥2 + 1 + C

∫(4𝑥 + 3)(4𝑥2 + 6𝑥 − 9)9 ⅆ𝑥 = ∫(4𝑥 + 3)(4𝑥2 + 6𝑥 − 9)9 ⅆ(4𝑥2 + 6𝑥 − 9)

8𝑥 + 6

=1

2∫(4𝑥2 + 6𝑥 − 9)

9 ⅆ(4𝑥2 + 6𝑥 − 9)

=1

2∙1

10∙ (4𝑥2 + 6𝑥 − 9)

10+ C

=1

20(4𝑥2 + 6𝑥 − 9)

10+ C

∫2𝑥2

√(2𝑥3 − 5)57

ⅆ𝑥 = ∫2𝑥2

√(2𝑥3 − 5)57

ⅆ(2𝑥3 − 5)

(6𝑥2)

=1

3∫(2𝑥3 − 5)−

57 ⅆ(2𝑥3 − 5)

=1

3∙7

2(2𝑥3 − 5)

27 + C

=7

6√(2𝑥3 − 5)27

+ C



5. Nilai dari

2

1

2 54 dxxx ....

A. 6

33

B. 6

44

C. 6

55

D. 6

65

E. 6

77

6. Nilai dari

4

1

2 22 dxxx ....

A. 12

B. 14

C. 16

D. 18

E. 20

7. Nilai dari

2

0

2 733 dxxx ....

A. 6

B. 10

C. 13

D. 16

E. 22

8. Nilai dari

3

1

2 342 dxxx ....

A. 3

127

B. 2

127

C. 3

137

D. 2

137

E. 2

151

∫ (4𝑥2 − 𝑥 + 5) ⅆ𝑥2

1

= [4

3𝑥3 −

1

2𝑥2 + 5𝑥]

1

2

= (4

3(2)3 −

1

2(2)2 + 5(2)) − (

4

3(1)3 −

1

2(1)2 + 5(1))

= (32

3− 2 + 10) − (

4

3−1

2+ 5)

=56

3−35

6

=112 − 35

6

=77

6

∫ (𝑥2 − 2𝑥 + 2) ⅆ𝑥4

1

= [1

3𝑥3 − 𝑥2 + 2𝑥]

1

4

= (1

3(4)3 − (4)2 + 2(4)) − (

1

3(1)3 − (1)2 + 2(1))

= (64

3− 16 + 8) − (

1

3− 1 + 2)

=64

3− 8 −

1

3− 1

= 12

∫ (3𝑥2 − 3𝑥 + 7) ⅆ𝑥2

0

= [𝑥3 −3

2𝑥2 + 7𝑥]

0

2

= ((2)3 −3

2(2)2 + 7(2)) − ((0)3 −

3

2(0)2 + 7(0))

= (8 − 6 + 14) − (0) = 16

∫ (2𝑥2 + 4𝑥 − 3) ⅆ𝑥3

1

= [2

3𝑥3 + 2𝑥2 + 3𝑥]

0

2

= (2

3(3)3 + 2(3)2 + 3(3)) − (

2

3(1)3 + 2(1)2 + 3(1))

= (18

3+ 18 + 9) − (

2

3+ 2 + 3)

= (18

3+ 27) − (

2

3+ 5)

= 27 − 5 +18

3−2

3

= 22 +16

3

= 22 + 51

3

= 271

3



9. Nilai dari

π2

1

0

cos32sin2 dxxx ....

A. −5

B. −1

C. 0

D. 1

E. 2

10. Nilai dari

π2

1

0

cos2sin3 dxxx ....

A. −2

B. −1

C. 0

D. 1

E. 2

11. Nilai dari 2

π

0

)2sin( dxx ....

A. −2

B. −1

C. 0

D. 2

E. 4

12. Nilai dari

π3

1

0

)cos32(sin dxxx ....

A. 324

3

B. 334

3

C. 3214

1

D. 3214

2

E. 3214

3

Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.

∫ (2 sin 2𝑥 − 3 cos 𝑥)

𝜋2

0

ⅆ𝑥 = [− cos 2𝑥 − 3 sin 𝑥]0

12𝜋

= (−cos 𝜋 − 3 sin1

2𝜋) − (− cos 0 − 3 sin 0)

= (1 − 3) − (−1 − 0)= −2 + 1= −1

∫ (3 sin 2𝑥 − cos 𝑥) ⅆ𝑥

12𝜋

0

= [−3

2cos 2𝑥 − sin 𝑥]

0

12𝜋

= (−3

2cos𝜋 − sin

1

2𝜋) − (−

3

2cos 0 − sin 0)

= (−3

2− 1) − (−

3

2− 0)

= 2

∫ sin(2𝑥 − 𝜋) ⅆ𝑥

𝜋2

0

= [−1

2cos(2𝑥 − 𝜋)]

0

𝜋2

= (−1

2cos 0) − (−

1

2cos(−𝜋))

= (−1

2) − (

1

2)

= 1

TRIK SUPERKILAT:

∫ sin(2𝑥 − 𝜋) ⅆ𝑥

𝜋2

0

= ∫ −sin(2𝑥) ⅆ𝑥

𝜋2

0

= [1

2cos(2𝑥)]

0

𝜋2

= 1

∫ (sin 2𝑥 + 3 cos 𝑥) ⅆ𝑥

13𝜋

0

= [−1

2cos 2𝑥 + 3 sin 𝑥]

0

13𝜋

= (−1

2cos 240° + 3 sin 60°) − (−

1

2cos 0° + 3 sin 0°)

= (−1

2(−1

2) +

3

2√3) − (−

1

2+ 0)

=1

4+3

2√3 +

1

2

=3

4+3

2√3

=3

4(1 + 2√2)


http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html

Smart solution un matematika sma 2013 (skl 5.3 integral tak tentu dan integral tertentu fungsi...

Education

Transcript of Smart solution un matematika sma 2013 (skl 5.3 integral tak tentu dan integral tertentu fungsi...