SISTEM KOMPETISI SEPAKBOLA

DISUSUN OLEH :NAMA : ARDIKELAS : PJKR ANIM : 148010019

PROGRAM STUDI : PJKRFAKULTAS : FKIPUNIVERSITAS : WAHID HASHYM SEMARANG20141. Latar Belakang MasalahKompetisi adalah suatu ajang untuk mengadu beberapa peserta/kompetitor menurut aturan main tertentu. Dalam dunia olahraga, liga, yang secara harfiah berarti perkumpulan, diartikan sebagai suatu sistem kompetisi yang melibatkan banyak peserta. Pada makalah ini dibahas secara khusus mengenai kompetisi liga sepakbola, yang merupakan cabang olahraga paling populer di dunia. Kompetisi liga sepakbola yang dibahas adalah kompetisi yang menggunakan sistem kompetisi penuh (round-robin). Sistem ini digunakan dalam kompetisi liga sepakbola domestik di sebagian besar negara. Menurut Nemhauser dan Trick (1997), sistem round-robin didefinisikan sebagai sistem kompetisi yang semua pesertanya saling bertanding satu sama lain dengan frekuensi yang sama. Jika setiap dua tim bertemu tepat satu kali, maka kompetisi disebut single round-robin. Sistem kompetisi round-robin memberikesempatan semua pesertanya untuk saling berhadapan. Setiap kemenangan akan dihargai 3 poin, hasil imbang 1 poin, dan kekalahan tidak mendapat poin. Juara ditentukan dari tim yangmeraih poin akumulatif tertinggi. Bila ada lebih dari satu tim yang meraih poin tertinggi, maka beberapa aturan tambahan dikenakan untuk menentukan juara tunggal, seperti selisih gol, produktivitas gol dan head-to-head.Pertandingan sepakbola dapat digelar di homebase salah satu tim yang bertanding maupun digelar di tempat netral. Jika pertandingan digelar di homebase salah satu tim, maka tim tersebut dikatakan bermain kandang/tuan rumah (home) dan lawannya dikatakan bermain tandang/tamu (away).Umumnya pertandingan sepakbola dituliskan sebagai tim tuan rumah vs tim tamu (home team vs away team). Tim tuan rumah biasanya mendapat keuntungan dari dukungan penonton. Dalam sejumlah kasus, status home/away/netral tidak selalu berhubungan dengan lokasi pertandingan yang bersangkutan. Pada umumnya kompetisi liga sepakbola digelar dengan sistem double round-robin format kandang-tandang, yaitu setiap dua tim peserta akan bertanding dua kali, sekali di homebase salah satu tim dan sekali di homebase tim lainnya. Sistem ini dianggap paling adil karena semua tim pernah saling berhadapan baik sebagai tuan rumah maupun sebagai tamu. Masalah utama kompetisi liga sepakbola sistem round-robin adalah frekuensi pertandingan yang besar, sehingga pengaturan jadwal menjadi suatu hal yang sangat krusial. Jadwal dapat mempengaruhi pencapaian suatu tim dan bahkan dapat mempengaruhi penentuan peringkat dan juara. Tim sekuat apapun akan kesulitan bila mendapat jadwal pertandingan yang berat. Oleh karena itu, seringkali jadwal yang dibuat pengelola liga diprotes oleh tim-tim peserta karena dianggap memberatkan atau merugikan. Agar tidak mengurangi nilai kompetisi, diperlukanlah metode penjadwalan pertandingan yang baik.

2. Kriteria Penjadwalan Pertandingan yang BaikKompetisi liga sepakbola format kandangtandang biasanya dibagi dalam dua putaran, dengan masing-masing putaran adalah kompetisi single round-robin biasa. Dalam makalah ini, jadwal putaran pertama dan kedua dibuat sama, hanya status kandang-tandangnya dibalik. Tim yang bermain kandang pada putaran pertama melawan suatu tim akan bertindak sebagai tamu atas lawan yang sama, dan demikian juga sebaliknya. Jadi cukup diatur jadwal putaran pertama saja, jadwal putaran kedua tinggal menyesuaikan.Dalam membuat jadwal kompetisi yang baik dan adil, beberapa faktor perlu dipertimbangkan. Tim peserta biasanya akan merasa keberatan bila bermain terlalu sering dalam rentang waktu tertentu, apalagi bila di rentang waktu yang sama ada tim lain yang bermain lebih jarang. Faktor kandang-tandang juga cukup berpengaruh, karena hasil pertandingan sering lebih ditentukan oleh faktor bermain kandang atau tandang daripada kualitas lawannya. Oleh karena itu biasanya tim peserta akan protes bila mendapat jatah tandang yang terlalu banyak dalam rentang waktu tertentu. Apalagi bila bermain tandang tiga kali berturut-turut atau lebih, jelas akan memberatkan dari segi fisik, mental dan pembiayaan.Dalam makalah ini, berdasarkan pertimbangan di atas, penjadwalan yang baik didefinisikan atas beberapa kriteria sebagai berikut :1) Keseimbangan frekuensi bertanding untuk semua tim peserta. Dalam rentang waktu yang sama, banyak pertandingan yang dijalani semua tim seimbang.2) Keseimbangan frekuensi bermain kandang-tandang untuk setiap tim. Pada satu putaran kompetisi, jatah bermain kandang dan tandang setiap tim seimbang.3) Keseimbangan urutan pertandingan. Tidak ada satu tim yang mendapat jadwal bermain kandang (atau tandang) tiga kali berturut-turut atau lebih.Untuk memenuhi kriteria pertama, salah satu solusinya adalah menggunakan sistem matchday. Satu putaran kompetisi dibagi dalam beberapa matchday dan setiap matchday menggelar beberapa pertandingan. Satu matchday tidak digelar tumpang tindih dengan matchday lain. Dalam setiap matchday, (hampir) semua tim peserta terlibat dan masing-masing bertanding tepat satu kali. Banyak matchday dan banyak pertandingan yang digelar ditiap matchday bergantung pada jumlah pesertanya. Pada liga dengan jumlah peserta genap, semua peserta akan bertanding pada setiap matchday. Sedangkan untuk jumlah peserta ganjil, akan ada satu tim yang beristirahat (tidak bertanding) pada setiap matchday dan setiap tim mendapat jatah istirahat tepat satu kali.Penjadwalan sistem matchday cukup mudah untuk dilakukan dan dalam sistem matchday frekuensi bertanding semua tim akan berimbang (dan akan sama untuk jumlah peserta genap). Akan tetapi sistem matchday belum menjamin keseimbangan frekuensi kandang-tandang, sehingga diperlukan suatu metode penjadwalan yang lain.

3. Metode Penjadwalan yang Baik Beserta Bukti MatematisnyaPada sub-bab ini dibicarakan suatu metode penjadwalan yang memenuhi kriteria baik. Misal suatu liga diikuti n peserta, para peserta diberi kode berupa bilangan-bilangan asli 1,2,...,n dan jadwal dibuat dalam bentuk template kode bilangan tersebut. Secara khusus akan dibicarakan terlebih dahulu penjadwalan liga dengan jumlah peserta ganjil. Dalam liga dengan jumlah peserta ganjil, dalam satu putaran setiap tim akan bertanding sebanyak genap. Artinya dimungkinkan setiap tim memiliki jatah bermain kandang dan tandang sama banyak. Perhatikan penjadwalan untuk n = 5 sebagai berikut: Jurnal Matematika & Sains

MD 11 vs 24 vs 3

MD 22 vs 53 vs 1

MD 31 vs 45 vs 3

MD 43 vs 24 vs 5

MD 52 vs 45 vs 1

Perhatikan bahwa setiap tim peserta tidak hanya bermain kandang dan tandang samabanyaknya, tetapi juga bermain kandang-tandang secara selang-seling, tidak ada yang bermain kandang/tandang dua kali berturut-turut. Hal ini dimungkinkan karena setiap tim mendapat jatah istirahat tepat satu kali. Jadwal di atas kemudian diperluas untuk n = 6 dengan menambah satu tim untuk ditandingkan dengan peserta yang sedang istirahat sebagai berikut:MD 1 1 vs 2 4 vs 3 5 vs 6

MD 22 vs 5 3 vs 1 6 vs 4

MD 3 1 vs 4 5 vs 3 2 vs 6

MD 4 1 vs 4 5 vs 3 2 vs 6

MD 52 vs 46 vs 35 vs 1

Karena pada jadwal untuk n = 5 urutan kandang-tandang setiap tim selang-seling, maka dengan menyisipkan satu tim tambahan, setiap tim paling banyak bertanding kandang/tandang berturutturut sebanyak dua kali. Artinya jadwal yang terbentuk untuk n = 6 masih memenuhi kriteria kedua dan ketiga untuk penjadwalan yang baik.Dari hal ini muncul suatu gagasan: jika untuk sebarang bilangan ganjil dapat disusun penjadwalan yang baik, maka jadwal perluasan untuk bilangan genap setelahnya juga baik. Oleh karena itu, ditinjau eksistensi penjadwalan baik ini untuk sebarang bilangan ganjil. Dari hasil penelitian, diperoleh bahwa penjadwalan baik tersebut selalu dapat disusun untuk sebarang bilangan ganjil. Hal ini akan dibuktikan dengan merepresentasikan jadwal dalam bentuk persegi Latin (Latin squares).

Definisi 3.1. (Bose dan Manvel, 1983)Diberikan n N. Persegi Latin n (n-Latin squares) adalah persegi berukuran n n dengan entri-entri berupa bilangan-bilangan 1,2,...,n sedemikian hingga di setiap baris dan setiap kolom semua bilangan muncul tepat satu kali. Selanjutnya entri baris ke- i kolom ke-j dari persegi Latin A dinotasikan dengan A(i,j). Selanjutnya jadwal liga dengan banyak peserta ganjil direpresentasikan dalam bentuk persegi Latin dengan aturan sebagai berikut : A(i,j) menyatakan lawan yang dihadapi tim ke-i pada matchday ke-j.Jika A(i,j) = i, maka tim ke-i istirahat/tidak bertanding pada matchday ke-j. Dengan demikian dari sifat-sifat sistem matchday untuk liga dengan peserta ganjil, dapat dimunculkan definisi persegi Latin yang merepresentasikan jadwal kompetisi round-robin dalam sistem matchday sebagai berikut:Definisi 3.2. Diberikan n suatu bilangan ganjildengan n 3. Suatu persegi Latin A ukuran nmerupakan representasi jadwal kompetisi roundrobindengan n peserta dalam sistem matchdayjika:1. untuk setiap i,j,k {1,2,...,n}, A(i,j) = kberakibat A(k,j) = i, dan2. untuk setiap j {1,2,...,n}, terdapat secaratunggal i sehingga A(i,j) = i.Persegi Latin yang memenuhi Definisi 3.2tidak tunggal. Akan tetapi pada makalah ini dibahasmengenai suatu jenis persegi Latin yang memenuhikriteria tertentu sehingga urutan kandang-tandangdimungkinkan selang-seling untuk setiap tim.Persegi Latin tersebut diberikan dalam lemmaberikut:Lemma 3.3. Diberikan n suatu bilangan ganjildengan n 3. Jika didefinisikan persegi Latin ukurann sebagai berikut:(2 )mod , jika (2 )mod 0;( , ), jika (2 )mod 0;i j n i j nA i jn i j n (1)atau dalam bentuk langsung:1 2 n 1 n1 n n 1 2 12 n 1 n 2 1 n n 1 2 1 4 3n 1 n 3 2maka persegi Latin (1) tersebut merupakanrepresentasi jadwal round-robin sistemmatchday.Bukti. Misal i,j,k {1,2,...,n} sehingga A(i,j)= k, maka diperoleh:( , ) 2( , ) mod 2( , ) mod ( , ) .A i j k i jA i j k n k jA i j i n A k j i Ambil sebarang j {1,2,...,n} , perhatikanbahwa:( , ) 2mod 2 (2 )mod .A i j i i ji n i j n Karena n ganjil, 2 selalu memiliki inverstunggal terhadap perkalian di n , yaitu 12n ,sehingga diperoleh nilai i yang tunggal, yaitu: 1 2 i n .(2 j) mod n . Masalah selanjutnya adalah menunjukkanbahwa persegi Latin (1) memenuhi kriteriakeseimbangan kandang-tandang, yaitu setiap timbermain kandang dan tandang dengan samaAditya, Suatu Metode Penjadwalan Pertandingan yang Baik untuk Kompetisi Liga Sepakbola ........................... 21banyaknya dengan urutan selang-seling. Haltersebut ditunjukkan dalam teorema berikut.Teorema 3.4. Diberikan n suatu bilangan ganjildengan n 3. Jika tim bernomor 1,2,, 1 12 2 n , nmemulai kompetisi dengan bermain kandangdan tim bernomor 3 52 2 n , n ,, n 1,n memulaikompetisi dengan bermain tandang, maka padakompetisi round-robin yang didefinisikan olehpersegi Latin (1), setiap tim dapat bermainkandang-tandang secara selang-seling.Bukti. Untuk membuktikan teorema ini, cukupdiperhatikan matchday saat sebarang dua timbertemu. Jika salah satu tim mendapat jatahkandang, maka tim yang lain harus mendapatjatah tandang, dan demikian juga sebaliknya.Ambil sebarang i,k {1,2,,n} dengan i < kdan bukti dibagi dalam tiga kasus.Kasus I: 12 1 i, k n . Dalam kasus ini, tim ke-idan tim ke-k sama-sama memulai kompetisidengan bermain kandang. Oleh karena itu, jikaurutan kandang-tandang dibuat selang-seling,haruslah pada matchday saat keduanya bertemu,tepat salah satu dari mereka telah mendapatjatah istirahat. Jika tidak, maka keduanya akanbermain kandang atau tandang secarabersamaan. Tim ke- i dan tim ke-k akan bertemupada matchday ke-(n + 2 i - k). Tim ke-i dantim ke-k berturut-turut istirahat pada matchdayke-(n+2 2i) dan ke-(n+22k). Perhatikanbahwa n + 2 2k < n + 2 i k < n + 2 2i.Jadi tim ke-i dan tim ke-k bertemu saat tim ke-ibelum istirahat dan tim ke-k sudah istirahat.Kasus II: 12 1 i n k n . Dalam kasus ini,tim ke-i memulai kompetisi dengan bermainkandang, sedangkan tim ke-k dengan bermaintandang. Oleh karena itu, jika urutan kandangtandangdibuat selang-seling, haruslah pada saatkeduanya bertemu, keduanya sama-sama telahberistirahat atau sama-sama belum beristirahat.Tim ke-i dan tim ke-k berturut-turut istirahatpada matchday ke-(n+2 2i) dan ke-(n+2 + 2k).Jika i k n 2 , maka tim ke-i dan tim ke-kakan bertemu pada matchday ke-(n+2ik)Perhatikan bahwa n 2 2i n 2 i k dan2n 2 2k n 2 i k . Jadi tim ke-i dan timke-k bertemu saat keduanya sama-sama belumistirahat. Jika i k n 2 , maka tim ke-i dantim ke-k akan bertemu pada matchday ke-(2n+2ik). Perhatikan bahwa n22i2n2ikdan 2n22k 2n2i k . Jadi tim ke-i dan timke-k bertemu saat keduanya sama-sama sudahistirahat.Kasus III: 12 n i, k n . Dalam kasus ini, timke-i dan tim ke-k sama-sama memulai kompetisidengan bermain tandang. Oleh karena itu,seperti pada Kasus I, pada saat keduanyabertemu, haruslah tepat salah satu dari merekatelah mendapat jatah istirahat. Tim ke-i dan timke-k akan bertemu pada matchday ke-(2n+2ik).. Tim ke- i dan tim ke-k berturut-turutistirahat pada matchday ke-(2n+22i) dan ke-(2n+22k). Perhatikan bahwa2n 2 2k 2n 2 i k < (2n+22i). Jadi timke- i dan tim ke-k bertemu saat tim ke-i belumistirahat dan tim ke-k sudah istirahat.Dari ketiga kasus di atas, dapat disimpulkanbahwa dengan urutan kandang-tandang selangselinguntuk setiap tim, saat dua tim berbedabertemu, salah satu bermain kandang dan lawannyabermain tandang. Dengan kata lain, dalampenjadwalan ini setiap tim dapat bermain denganurutan kandang-tandang selang-seling. Metode penjadwalan yang dibicarakan dalammakalah ini dapat diimplementasikan untuk jumlahberapapun. Sebagian besar liga memiliki jumlahpeserta genap. Jadi untuk menjadwalkannya, satutim diabaikan terlebih dahulu, sisa tim yangberjumlah ganjil dijadwalkan dengan metode yangtelah dibicarakan. Kemudian jadwal diperluasdengan menambahkan kembali tim yang diabaikantersebut.4. Implementasi Metode Penjadwalan UntukLiga dengan 18 PesertaPada bagian ini akan dibicarakan contohimplementasi dari metode penjadwalan baik yangtelah dibicarakan pada bagian sebelumnya. Dalamhal ini akan disusun jadwal liga yang diikuti 18 timpeserta. Pertama-tama dibentuk terlebih dahulupersegi Latin (1) untuk n = (17) sebagai berikut:22 Jurnal Matematika & Sains, April 2013, Vol. 18 Nomor 11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 171 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 12 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 173 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 17 164 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 17 16 155 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 17 16 15 146 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 17 16 15 14 137 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 17 16 15 14 13 128 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 17 16 15 14 13 12 119 9 8 7 6 5 4 3 2 1 17 16 15 14 13 12 11 1010 8 7 6 5 4 3 2 1 17 16 15 14 13 12 11 10 911 7 6 5 4 3 2 1 17 16 15 14 13 12 11 10 9 812 6 5 4 3 2 1 17 16 15 14 13 12 11 12 9 8 713 5 4 3 2 1 17 16 15 14 13 12 11 12 11 8 7 614 4 3 2 1 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 515 3 2 1 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 416 2 1 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 317 1 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2Kemudian persegi Latin tersebut dikonversidalam bentuk jadwal sistem matchday, dengan timbernomor 1,2,...,9 memulai kompetisi denganbermain kandang dan tim bernomor 10,11,...,17memulai kompetisi dengan bermain tandang.Selanjutnya jadwal diperluas denganmenambahkan tim ke-18 untuk bertanding dengantim yang istirahat pada setiap matchday sebagaiberikut.MD 1 MD 2 MD 3 MD 4 MD 5 MD 6 MD 7 MD 8 MD 91 vs 17 9 vs 8 1 vs 15 8 vs 7 1 vs 13 7 vs 6 1 vs 11 6 vs 5 1 vs 92 vs 16 10 vs 7 2 vs 14 9 vs 6 2 vs 12 8 vs 5 2 vs 10 7 vs 4 2 vs 83 vs 15 11 vs 6 3 vs 13 10 vs 5 3 vs 11 9 vs 4 3 vs 9 8 vs 3 3 vs 74 vs 14 12 vs 5 4 vs 12 11 vs 4 4 vs 10 10 vs 3 4 vs 8 9 vs 2 4 vs 65 vs 13 13 vs 4 5 vs 11 12 vs 3 5 vs 9 11 vs 2 5 vs 7 10 vs 1 14 vs 136 vs 12 14 vs 3 6 vs 10 13 vs 2 6 vs 8 12 vs 1 15 vs 14 11 vs 17 15 vs 127 vs 11 15 vs 2 7 vs 9 14 vs 1 16 vs 15 13 vs 17 16 vs 13 12 vs 16 16 vs 118 vs 10 16 vs 1 17 vs 16 15 vs 17 17 vs 14 14 vs 16 17 vs 12 13 vs 15 17 vs 1018 vs 9 17 vs 18 18 vs 8 16 vs 18 18 vs 7 15 vs 18 18 vs 6 14 vs 18 18 vs 5MD 10 MD 11 MD 12 MD 13 MD 14 MD 15 MD 16 MD 175 vs 4 1 vs 7 4 vs 3 1 vs 5 3 vs 2 1 vs 3 2 vs 1 10 vs 96 vs 3 2 vs 6 5 vs 2 2 vs 4 4 vs 1 11 vs 10 3 vs 17 11 vs 87 vs 2 3 vs 5 6 vs 1 12 vs 11 5 vs 17 12 vs 9 4 vs 16 12 vs 78 vs 1 13 vs 12 7 vs 17 13 vs 10 6 vs 16 13 vs 8 5 vs 15 13 vs 69 vs 17 14 vs 11 8 vs 16 14 vs 9 7 vs 15 14 vs 7 6 vs 14 14 vs 510 vs 16 15 vs 10 9 vs 15 15 vs 8 8 vs 14 15 vs 6 7 vs 13 15 vs 411 vs 15 16 vs 9 10 vs 14 16 vs 7 9 vs 13 16 vs 5 8 vs 12 16 vs 312 vs 14 17 vs 8 11 vs 13 17 vs 6 10 vs 12 17 vs 4 9 vs 11 17 vs 218 vs 13 4 vs 18 18 vs 12 3 vs 18 18 vs 11 2 vs 18 18 vs 10 1 vs 18Urutan kandang-tandang tim ke-18 diatursedemikian hingga tidak ada jatah kandang/tandangtiga kali berturut-turut atau lebih. Ada konsekuensibagi tim ke-18 untuk mendapat urutan pertandinganyang paling berbeda dibandingkan dengan yanglain. Selanjutnya masing-masing angka akandikonversi ke nama-nama tim peserta untukmembentuk jadwal nyata, yang penentuankonversinya dapat dilakukan dengan undian.5. KesimpulanDalam makalah ini telah dibicarakan metodepenjadwalan pertandingan liga sepakbola yangmemenuhi kriteria baik, yaitu yang memenuhikriteria keseimbangan frekuensi pertandingan danfrekuensi kandang-tandang untuk setiap tim.Dengan penjadwalan seperti ini diharapkan protesdari tim peserta dapat diminimalisir. Apalagi denganmetode ini, hampir semua tim memiliki urutanpertandingan yang sama (secara siklis), sehinggaAditya, Suatu Metode Penjadwalan Pertandingan yang Baik untuk Kompetisi Liga Sepakbola ........................... 23seharusnya tidak ada yang merasa jadwalnya lebihberat dibanding yang lain. Selain itu, metodepenjadwalan ini juga cukup mudah dilakukan,sehingga bila pengelola liga ingin menambah/mengurangi jumlah peserta, jadwal baru dapatdisusun dengan cepat. Ada beberapa makalah lainyang juga membicarakan mengenai penjadwalankompetisi, seperti pada de Werra dkk. (2006).Namun dalam makalah ini lebih ditekankan padaaspek sistem kandang-tandang, yang menjadi salahsatu faktor krusial dalam kompetisi sepakbola.Daftar PustakaBose, R. C. and B. Manvel, 1983, Introduction toCombinatorial Theory, Colorado StateUniversity, Colorado.de Werra, D., T. Ekim, and C. Raess, 2006,Construction of Sport Schedules withMultiple Venues, Discrete AppliedMathematics, 154, 47-58.Nemhauser, G. L. and M. A. Trick, 1997, Schedulinga Major College Basketball Conference,http://mat.gsia.cmu.edu/trick/acc.pdf