Sistem Bilangan Kompleks

18 April 2023 1

Sistem Bilangan Kompleks

Bilangan Kompleks

Kurva dan Daerah

Limit dan Fungsi Kompleks

Fungsi Elementer

Matematika Teknik 2PU 1324

218 April 2023

Notasi

Sebuah bilangan kompleks dapat disajikan dalam dua bentuk :

1.

2.

x adalah bagian riil dan y bagian imaginernya dan bisa dituliskan

sebagai

Re z = x , Im z = y

Contoh bilangan kompleks : 2+3i, i,1–i , 3

2i32Re 3i32Im 1i1Im

iyxz

y,xz


318 April 2023

Bidang Kompleks

Keterangan

Suatu bilangan kompleks bisa

digambarkan dalam suatu

bidang kompleks seperti

menggambarkan suatu titik

pada bidang kartesius XY.


418 April 2023

Operasi – operasi dalam bilangan kompleks

Bila dan

1. Penjumlahan

2. Perkalian

3. Pembagian

111 yixz 222 yixz

)yy(ixxzz 212121

)yxyx(iyyxxz.z 1221212121

2

22

2

21122

22

2

2121

2222

2211

22

11

2

1

yx

yxyxi

yx

yyxxiyxiyxiyxiyx

iyxiyx

zz


518 April 2023

Operasi – operasi dalam bilangan kompleks

ContohDiketahui z1 = 1+i dan z2 = 2–2i ,

Penjumlahan

Perkalian

Pembagian

i3)21(i21zz 21

4)1.22.1(i)2.1(2.1z.z 21

i2

1i

8

4

8

0

22

2.11.2i

22

)2.1(2.1

z

z2222

2

1


618 April 2023

Sifat – sifat operasi

1. Komutatif

2. Assosiatif

3. Distributif

4. Identitas / lainnya

1221 zzzz 1221 z.zz.z

321321 zzzzzz 321321 zzzzzz

3121321 zzzzzzz

z0zz0 z1.z 0z)z()z(z


718 April 2023

Bilangan Sekawan

DefinisiBila z = x+iy maka sekawan dari

z dinotasikan dengan yang

memiliki rumusan berikut :

Bila dikaitkan dengan nilai z dan .

maka bagian riil dan imaginer

bisa dinyatakan sebagai

dan

z

iyxz

z

zz2

1x zz

i21

y


818 April 2023

Soal−soal latihan

1. Diketahui ,

Hitung

a. d.

b.

c. e.

2. Tentukan

a. b.

c.

i2z1 i43z2

21zz

21 z2z3

221 zz

21

1

zzz

2

1

z

zRe

i11

Re i1

i2Im

6i1


918 April 2023

Soal−soal latihan

3. Tentukan

a.

b.

c.

4. Bila z = –1–i

a.

b.

c.

izzRe 2 iz2zIm 2

zzIm

2zz

2zz

2iziz


1018 April 2023

Bentuk Polar

Bilangan kompleks juga bisa dinyatakan dalam bentuk polar yaitu

dalam parameter r dan dengan hubungan sebagai berikut :

r : disebut modulus z, r juga dinotasikan dengan | z |

: disebut argumen z, biasa disingkat dengan arg z

Jadi z bisa dituliskan dalam bentuk :

Cosrx

Sinry

sinicosrsinricosrz


1118 April 2023

Bentuk Polar

Gambar

r1

1

iy

x

z1

r2

2

z2


1218 April 2023

Bentuk Polar

Dari hubungan x,y terhadap r dan maka r dan dapat dinyatakan

dalam bentuk :

Secara geometrik, r merupakan jarak titik z terhadap titik asalnya

(0,0) sedangkan merupakan sudut z yang diukur dari sumbu x

positif dan tidak terdefinisi pada z = 0.

Nilai prinsipil didefinisikan pada

Karena sifat dari yang berulang ,seringkali kita hanya

menggunakan nilai pada selang tersebut.

22 yxr

xy

tgarc


1318 April 2023

Operasi Perkalian dan Pembagian

Untuk mempermudah dapat digunakan sifat operasi sebelumnya

untuk mendapatkan hasil operasi dalam bentuk polar. Diketahui

11111 SinirCosrz dan 22222 SinirCosrz

Perkalian )(Sini)(Cosrrz.z 21212121

Pembagian )(Sini)(Cosr

r

z

z2121

2

1

2

1

Hasil operasi diatas menggunakan sifat

212121 SinCosCosSin)(Sin

212121 SinSinCosCos)(Cos


1418 April 2023


Contoh 1

Tentukan nilai prinsipil dari argumen 1+i dan –1–i beserta

modulusnya.

Jawaban

Modulus 1+i =

Argumen 1+i = arc tg(y|x) =

Modulus –1–i =

Argumen = arc tg (y|x)=

211i1 22

41tgarc

2)1()1(i1 22

4

31tgarc


1518 April 2023

Bentuk Polar

Jawaban (lanjutan)Untuk menghindari kesalahan

penentuan argumen, dapat

digunakan bidang kompleks

untuk menggambarkan titik – titik

tersebut. 2

/4

iy

x

1+i

–3/4

–1–i

2


1618 April 2023

Bentuk Polar

Contoh 2

Diketahui z1 = 1–i, z2 = –1+i

a. Gambarkan kedua bilangan kompleks tersebut dalam bidang

kompleks

b. Tentukan modulus dan nilai prinsipil argumen dari kedua

bilangan kompleks tersebut

c. Sajikan kedua bilangan kompleks tersebut bentuk polar


1718 April 2023

Bentuk Polar

Jawaban

a. Gambar dalam bidang kompleks

Dalam gambar tersebut terlihat

bahwa z1 terletak pada kuadran 4

sedangkan z2 terletak pada

kuadran 2. Dengan rumus arc tg

kedua bilangan kompleks akan

menghasilkan nilai yang sama

yaitu arc tg (–1).

X

iY

1

1

2

2

-1-1

-2

-2Z1

Z2


1818 April 2023


Jawaban (lanjutan)

b. | z1 | = , | z2 | =

Sedangkan untuk nilai dapat kita tentukan dengan

karena keduanya merupakan sudut istimewa.

Untuk z1 , 1 = 315o (nilai prinsipilnya − ¼ )

sedangkan 2 = 135o ( nilai prinsipilnya ¾ )

c. ,

2)1(1 22 21)1( 22

4Sini

4Cos2z1

4

3Sini

4

3Cos2z2


1918 April 2023


Contoh 3

Diketahui dan

a. Tentukan modulus (z1z2) dan nilai prinsipil argumen (z1z2)

b. Tentukan modulus dan nilai prinsipil argumen

Jawaban

Jika dituliskan bentuk polar

z1 = ( cos /4 + i sin /4 ) dan z2 = 2 (cos /6 + i sin /6 )

i1z1 i3z2

2

1

zz

2

1

z

z


2018 April 2023


Jawaban (lanjutan)

a.

sehingga modulus (z1z2) = 2 dan argumen (z1z2) =

b.

sehingga modulus dan argumen

64Sini

64Cos22z21

z

12

5Sini

12

5Cos22

2 125

64Sini

64Cos

2

2

z

z

2

1

12Sini

12Cos

2

2

2

2

z

z

2

1 12z

z

2

1


2118 April 2023

Bentuk pangkat dan akar

Dari hasil operasi perkalian bentuk polar dapat diperoleh bentuk

pangkat bilangan kompleks zn yaitu :

Bentuk pangkat ini lebih dikenal dengan nama rumus De Moivre.

Dari bentuk pangkat ini juga bisa diturunkan bentuk akar yang

diperoleh dengan cara sebagai berikut :

...Sini...Cosr...r.rzn

nSininCosrn

n z


2218 April 2023


Diketahui bentuk akar bilangan kompleks : = W

W memiliki bentuk polar : ,

sedangkan .

{ nilai R dan inilah yang akan dicari berdasarkan nilai r dan }.

Dari persamaan maka diperoleh persamaan Wn = z.

Dari rumus De Moivre yaitu

maka didapatkan persamaan :

k : bulat

n z

SiniCosRW SiniCosrz

n zW

nSininCosRW nn

rRn k2n


2318 April 2023


Nilai R dan bisa diperoleh

k : bulat

Bila kita mencoba memasukkan nilai k mulai dari 0,1,2,... akan

didapatkan bahwa nilai akan kembali periodik untuk k = n, yang

berarti nilai W akan sama untuk k = 0 dan k = n, akan sama untuk

k = 1 dan k = n+1 dan seterusnya..

n1

rR

n

k2


2418 April 2023


Karena yang diinginkan adalah nilai W yang berbeda saja maka

untuk k = 0,1,...,n−1

Jadi akar − akar dari adalah w1, w2, ...,wn dimana untuk

k = 0 −−>

k = 1 −−>

k = n−1 −−>

n

k2

nSini

nCosrw n

1

1

n

2Sini

n

2Cosrw n

1

2

n

1n2Sini

n

1n2Cosrw n

1

n


2518 April 2023


Khusus untuk kasus n =2 yaitu akar kompleks yang berbentuk .

selain menggunakan rumusan sebelumnya juga bisa

menggunakan rumus berikut :

dengan ketentuan sign y = 1 jika y ≥ 0 dan sign y = −1 jika y < 0 .

Rumusan ini peroleh dengan menggunakan sifat

dan

2 z

2

x|z|i)ysign(

2

x|z|z2

12

Cos2Cos 2

2

Sin21Cos 2


2618 April 2023


Contoh

a. Tentukan akar − akar dari

b. Tentukan semua nilai z yang memenuhi

c. Tentukan semua nilai z yang memenuhi

Jawaban

a. | z | = 5, x = 3 , y < 0 −−> sign y = −1

i43 0iz2z2

01z3

i22

35i

2

35z2


2718 April 2023


Jawaban (lanjutan)

b. Dengan rumus abc

Karena masih mengandung bentuk akar maka bentuk akar tersebut

harus disederhanakan dulu.

Misalkan w1 dan w2 adalah akar – akar dari , dimana 1–i

memiliki r = dan maka

Untuk k = 0 −−>

2

i442z

2

i122

i1 2

8

1

4

3


2818 April 2023


Jawaban (lanjutan)

b. Diperoleh nilai w1

Untuk k = 1 −−> = diperoleh

Jadi nilai z yang memenuhi persamaan adalah

i38,092,019,187

Sini87

Cos2w2

i38,092,019,18

Sini8

Cos2w1

i38,009,2

2

1.22z

i) 0,38 - 0,92 ( ,19


2918 April 2023


Jawaban (lanjutan)

b. Atau

c. −−> −−> ( bentuk akar pangkat 3 )

Bilangan kompleks −1 akan memiliki r = 1 dan = dan

misalkan w1,w2 dan w3 adalah akar − akar dari maka

Untuk k = 0 diperoleh =

i38,009,0

2

1.22z

i) 0,38 - 0,92 ( ,19

3 1z

3 1

i2

3

2

1

3Sini

3Cos1w1

01z3 1z3


3018 April 2023


Jawaban (lanjutan)

c. Untuk k = 1 diperoleh

Untuk k = 2 diperoleh

Jadi akar – akarnya adalah

13

2Sini

3

2Cos1w2

i2

3

2

1

3

4Sini

3

4Cos1w3

i2

3

2

1dan1,i

2

3

2

1


3118 April 2023

Soal−soal latihan

1. Hitung

a. b.

2. Tentukan modulus , semua argumen dan nilai prinsipil argumen

dari bilangan kompleks berikut

a. 1+ i d. –1–i

b. −5 e. 3i

c. f. 0

z

z

1z

1z

3i1


3218 April 2023

Soal−soal latihan

3. Diketahui ,tentukan

a. Re(z5) b. Im(z7)

4. Tentukan z yang memenuhi persamaan

a.

b.

5. Sajikan dalam bentuk baku, bentuk − bentuk akar berikut

a. b.

i3z

02z2z2

01z4

i 3 i


3318 April 2023

Kurva dan daerah pada bidang kompleks

Persamaan |z| = r menyatakan jarak antara titik z terhadap titik O

adalah sejauh r, maka persamaan |z–a|=r menyatakan jarak

antara titik z terhadap titik a juga sejauh r.

Bila z merupakan titik − titik yang terletak dibidang z maka

persamaan tersebut dapat dipandang sebagai persamaan lingkaran

dengan pusat a dan jari − jari r. Interior dari |z–a|=r dapat

dinyatakan dengan pertidaksamaan |z–a|< r .

Interior dari |z–a|< r juga sering disebut sebagai cakram buka

dengan pusat a atau lingkungan dari titik a.


3418 April 2023


Persamaan | z − a | ≤ r merupakan cakram tertutup pusat z=a.

Cincin atau annulus didefinisikan sebagai r1< | z − a | ≤ r2 dimana

r1 menyatakan jari − jari cincin bagian dalam dan r2 menyatakan jari

− jari cincin bagian luar.

Daerah Terbuka

Daerah S disebut daerah terbuka jika setiap titik yang terletak di S

memiliki ( minimal satu ) cakram buka (dg pusat titik tsb) yang juga

terletak di S.


3518 April 2023

Daerah Terbuka

Salah satu contoh dari daerah terbuka adalah cakram buka

sedangkan contoh yang bukan daerah terbuka adalah cakram

tertutup misalnya .

Pada titik − titik yang terletak pada keliling cakram tertutup ini

misalkan titik 7, −1, 3 + 4i dan sebagainya tidak terdapat cakram

buka yang memenuhi kriteria ( yang terletak didalam cakram

tertutup ) karena sebagian dari cakram buka yang dibuat pada titik

− titik tersebut akan terletak diluar cakram tertutup.

43z


3618 April 2023

Daerah Terbuka

Gambar disamping kanan

menunjukkan bahwa semua

lingkaran buka yang berpusat

dititik 7 setengahnya akan

terletak diluar cakram tertutup

43z


3718 April 2023

Daerah Tersambung

Daerah R dikatakan tersambung bila

untuk sembarang 2 titik yang terletak

didalam R dapat dihubungkan sejumlah

berhingga ruas garis yang juga terletak

didalam R.

Pada gambar disamping, S merupakan

daerah tersambung sedangkan O bukan

daerah tersambung. Domain fungsi

kompleks adalah daerah terbuka dan

tersambung

O

S


3818 April 2023


Contoh

Buat persamaan cakram terbuka pusat 1+ i dengan jari − jari 2 beserta

gambar pada bidang kompleks.

Jawaban

Persamaannya dapat dituliskan sebagai . Karena

merupakan lingkaran buka maka daerahnya berupa lingkaran pejal

dengan batasan daerah digambarkan dengan garis terputus – putus.

2i1z


3918 April 2023


Jawaban (lanjutan)

Cakram buka dengan pusat (1+i)

dan jari – jari = 2 tersebut dapat

digambarkan seperti ini.


4018 April 2023

Soal−soal latihan

1. Buatlah persamaan grafik beserta gambarnya dari pernyataan

berikut

a. Cakram tertutup pusat ( 1,1) dan jari − jari 2

b. Cakram terbuka pusat 3 − 4i dengan jari − jari 3

2. Gambarkan grafik dari

a. | z | > 2

b. | z + 1 −i | < 3

c. Re z > 3

d. arg z < /2

3. Dari nomor 1 dan 2, tentukan mana yang merupakan domain fungsi

kompleks


4118 April 2023

Turunan Fungsi Kompleks

Diketahui fungsi kompleks yang berbentuk :

Fungsi ini menunjukkan fungsi kompleks yang ekuivalen dengan

dua fungsi riil u(x,y) dan v(x,y) yang masing − masing tergantung

pada dua variabel riil x dan y.

Limit fungsi

Ini memgandung pengertian bahwa untuk semua z yang dekat

dengan zo maka nilai f(z) akan dekat dengan nilai L.

y,xviy,xuzf

L)z(flimZoZ


4218 April 2023


Pengertian dekat dengan z0 adalah bilangan kompleks yang

terletak didalam cakram buka dengan pusat z0 dengan jari – jari

yang sangat kecil.

f(z) dikatakan kontinu dititik z0 bila

f(z) dikatakan differensiabel dititik z0 (f (z0) ) bila

ada

atau

ada

)z(f)z(flim 0ZoZ

)z('fz

)z(f)zz(flim 0

00

0Z

)z('fzz

)z(f)z(flim 0

0

0

ZoZ


4318 April 2023


Contoh 1

Apakah | z | memiliki turunan dititik (0,0) ?

Jawaban

Maka

Anggap x = 0 konstan maka

dan

iyxzzf

)0,0(iyx

|00||iyx|lim

0,0Z

iyx

|iyx|lim

0,0Z

1iy

|iy|lim

0Y

1

iy

|iy|lim

0Y


4418 April 2023


Jawaban (lanjutan)

Ternyata limit 0+ ≠ limit 0- ,jadi | z | tidak memiliki limit dititik (0,0)

karena dapat ditunjukkan ada nilai-nilai z disekitar (0,0) yang

membuat nilai |z| berbeda.

Pembuktian dengan cara tsb hanya bisa dilakukan untuk

menunjukkan bahwa z tidak memiliki turunan bukan sebaliknya.

Jadi bila dari pembuktian diperoleh hasil limit 0+ ≠ limit 0- maka

tidak dapat disimpulkan bahwa limit (turunan)nya ada.


4518 April 2023


Contoh 2

Periksa apakah memiliki turunan? Kalau punya tentukan

turunannya

Jawaban

y2ix2

y2ix2y,xfzf

z

)z(f)zz(flimz'f

0Z

)iyx()iyx(f))iyx(iyx(f

lim0Z


4618 April 2023


Jawaban (lanjutan)

Jadi memiliki turunan yaitu sama dengan 2

)iyx(

)iyx(f))yy(ixx(flimz'f

0Z

2)iyx(

)iyx(2))yy(i2x2x2lim

0Z

y2ix2zf


4718 April 2023


Contoh 3

Diketahui , tentukan ?

Jawaban

Bila f(z) disajikan dalam variabel z saja maka selain menggunakan

definisi turunan yang telah dibahas sebelumnya maka bisa juga

f(z) diturunkan secara langsung dengan aturan penurunan biasa.

Jadi sehingga = 6(1+ i) + 2 = 8+ 6i

z2z3zf 2 i1'f

2z6z'f i1'f


4818 April 2023

Soal latihan

1. Tentukan f ’(z) dari fungsi − fungsi berikut

a.

b.

c.

2. Dengan menggunakan definisi turunan, tunjukkan bahwa

tidak differensiabel dititik iy)i1(x

iyx

22 yx3xy,xf

z3zzf 2

1zRezf


4918 April 2023

Soal latihan

3. Tentukan f (1+i ) dari fungsi − fungsi berikut

a.

b.

c.

31z2zf

yxy2ixyxy,xf 22

1z

zzf


5018 April 2023

Fungsi analitik

Definisif(z) dikatakan fungsi analitik pada suatu domain D jika f(z)

terdefinisi dan memiliki turunan ( differensiabel ) disemua titik di D.

f(z) analitik di titik a bila f(z) analitik dilingkaran buka dengan pusat

a. Bila f(z) analitik disemua titik dibidang kompleks maka f(z)

disebut juga fungsi entire.


5118 April 2023

Fungsi analitik

Contoh

Diketahui

Apakah f(z) analitik di daerah berikut

a.

b.

c.

1z

2zzf

2

1z:P 5,1i1z:Q

21z:R


5218 April 2023

Fungsi analitik

Pertama akan dilihat pada titik − titik berapa f(z) menjadi tidak

analitik.

Jadi f(z) tidak analitik dititik −i dan i. f ’(z) juga tidak memiliki

turunan dititik −i dan i ( tunjukkan)

Untuk melihat apakah f(z) akan analitik di daerah P,Q atau R cukup

dengan melihat apakah titik −i dan i terletak didalam P, Q atau R dan

untuk mempermudah akan ditunjukkan dalam gambar berikut

1z

2zzf 2

)iz)(iz(

2z


5318 April 2023

Fungsi analitik

a. Titik −i dan i berada diluar P

( tepat digaris putus − putus

lingkaran buka P), jadi f(z)

analitik di P

b. Titik i berada didalam Q

sehingga f(z) tidak analitik di

Q

c. Titik −i dan i berada diluar R,

jadi f(z) analitik di R

Titik −i

Titik i

P

Q

R


5418 April 2023

Tes keanalitikanfungsi kompleks

Bila suatu fungsi kompleks disajikan dalam bentuk

.

Maka untuk menentukan apakah fungsi tersebut analitik pada suatu

daerah D maka kita harus mengetahui terlebih dulu apakah fungsi

kompleks tersebut terdefinisi dan memiliki turunan di daerah D

tersebut.

Untuk mengetahui apakah fungsi kompleks tersebut terdefinisi atau

tidak mungkin tidak begitu rumit, sedangkan untuk menentukan

turunannya mungkin memerlukan waktu yang lebih lama.

y,xViy,xUzf


5518 April 2023


Ada cara yang lebih pendek untuk menentukan keanalitikan dari

fungsi ini yaitu menggunakan persamaan Cauchy−Riemman.

Bila fungsi kompleks analitik disuatu domain

D, maka akan berlaku persamaan Cauchy−Riemman.

Untuk setiap titik didalam D

Turunan f(z) didefinisikan dengan

y,xViy,xUzf

yx VU

yx UV

xx iVUz'f


5618 April 2023


Bila fungsi kompleks disajikan dalam bentuk polar

. analitik disuatu domain D, maka akan

berlaku persamaan Cauchy−Riemman

Untuk setiap titik didalam D

Turunan f(z) didefinisikan sebagai

,riV,rUzf

Vr1

U r Ur1

Vr

rri iVUez'f


5718 April 2023

Fungsi analitik

Contoh 1

Apakah analitik?

Jika ya tentukan turunannya

Jawaban

Akan dipeiksa apakah memenuhi persamaan Cauchy-Riemman

Ternyata jadi tidak memenuhi PCR

Sehingga f(z) tidak analitik dan tidak memiliki turunan

xyyxiyxzf 2233

2x yxy2V yx2xV 2

y

yx VU

2x x3U 2

y y3U


5818 April 2023

Fungsi analitik

Contoh 2

Apakah analitik?

Jika ya tentukan turunannya

Jawaban

Akan dipeiksa apakah memenuhi persamaan Cauchy-Riemman

Ternyata memenuhi PCR yaitu dan

Sehingga f(z) analitik dan turunannya adalah

y4xy8i1x4y4x4zf 22

4x8U x

y8U y

y8Vx

4x8Vy

yx VU yx UV

y8i4x8z'f


5918 April 2023

Fungsi Harmonik dan Sekawan Harmonik

Definisi fungsi HarmonikBila suatu fungsi kompleks analitik

pada suatu domain D,maka akan maka berlaku persamaan

Laplace

Suatu fungsi dua peubah yang memenuhi persamaan Laplace

disebut sebagai fungsi Harmonik.

y,xViy,xUzf

0UU yyxxu2

0VV yyxxv2

Nabladibaca


6018 April 2023


Definisi Sekawan HarmonikBila dan adalah fungsi harmonik dalam suatu

domain D, kemudian dan berturut – turut merupakan

bagian riil dan bagian imaginer dari

Maka disebut fungsi Sekawan Harmonik dari

demikian juga sebaliknya.

Suatu Fungsi Harmonik yang merupakan bagian riil atau imaginer

dari suatu fungsi analitik dapat ditentukan dari fungsi Sekawannya

dengan menggunakan sifat Persamaan Cauchy-Riemman.

y,xU y,xV y,xU y,xV

zf

y,xV y,xU


6118 April 2023


Contoh 1

Bila adalah bagian Riil f(z) yang analitik,

tunjukkan bahwa harmonik ? kemudian tentukan

Sekawan Harmoniknya !

Jawaban

Jadi U merupakan fungsi Harmonik.

y,xU

yyxU 22

022UU yyxxu2


6218 April 2023


Jawaban (lanjutan)Dihitung turuanan parsial terhadap x dan y.

Dengan menggunakan PCR maka

Kita dapat memulai dari salah satu persamaan Vy atau Vx .

Misalkan akan mulai dari Vy maka

x2U x 1y2U y

x2UV xy

1y2UV yx

x2Vy


6318 April 2023


Jawaban (lanjutan)Dengan mengintegralkan terhadap y

Dengan menurunkan terhadap x diperoleh

Dari PCR sudah diperoleh persamaan

Dengan menggabungkan dua persamaan Vx :

Maka sehingga

Jadi sekawan harmoniknya adalah

xhxy2dyx2V

x'hy2Vx 1y2UV yx

1y2x'hy2

1x'h cxxh

cxxy2V


6418 April 2023


Contoh 2

Diketahui adalah bagian imaginer dari suatu fungsi

analitik . Tentukan

Jawaban

Pembuktian bahwa adalah fungsi Harmonik yaitu

fungsi memenuhi persamaan Laplace tidak perlu dilakukan karena

berdasarkan soal bahwa sudah analitik sehingga

sudah tentu fungsi Harmonik.

xy2y,xV zf zf

xy2y,xV

zf y,xV


6518 April 2023


Jawaban (lanjutan)Dengan menggunakan PCR maka

Misalkan akan mulai dari maka

Dengan mengintegralkan terhadap terhadap x

Dengan menurunkan terhadap y diperoleh

x2VU yx y2VU xy

xU x2U x

yhxdxx2U 2

y'hU y


6618 April 2023


Jawaban (lanjutan)Dari PCR sudah diperoleh persamaan

Dengan menggabungkan dua persamaan Vx :

Jadi nilai adalah

Sekawan harmonik adalah

Sehingga adalah

y2VU xy

y2y'h cyyh 2 yh

xy2y,xV

cyxU 22

y,xViy,xUzf

zf

xy2icyx 22


6718 April 2023

Soal Latihan

Diketahui adalah fungsi yang analitik

Tentukan sekawan harmonik dari fungsi – fungsi berikut

1. 4.

2. 5.

3. 6.

y,xviy,xuzf

xu

xyu

23 xy3xu

ySinev xxyv

ySinhxSinv


6818 April 2023

Fungsi Elementer

Ada tiga fungsi elementer yang dibahas yaitu

Fungsi eksponensial

Fungsi logaritma (termasuk bentuk pangkat )

Fungsi trigonometri.

Fungsi – fungsi elementer ini akan disederhanakan

menjadi bentuk bilangan kompleks yang standar

yaitu . iyxz


6918 April 2023

Fungsi Eksponensial

Fungsi ini memiliki bentuk .

Untuk mengubah kedalam bentuk maka dapat

dilakukan dengan cara memecah z dalam kemudian

menggunakan rumus Euler untuk menyederhanakan bentuk .

Bila dijumpai persamaan berbentuk ,untuk menentukan

nilai z1 maka z2 dapat diubah terlebih dulu menjadi

sehingga persamaannya menjadi

ze

ze

iyx iyx

iyeiyxz ee ySiniyCosex ySineiyCose xx

2z ze 1

i2erz 2

i2

z ere 1


7018 April 2023

Fungsi Eksponensial

Dengan meng-ln-kan kedua ruas didapatkan persamaan

Bentuk ini sudah sesuai dengan bentuk standarnya

Periodisitas adalah ,ini berarti

untuk k = 0,1,2,…

Daerah pokok adalah dan

irlnz 21

ze i2ik2zz ee

y x


7118 April 2023

Fungsi Eksponensial

Contoh 1

Tentukan bagian riil dan imaginer dari

Jawaban

Jadi bagian riilnya adalah

dan bagian imaginernya = 0.

i1e

e

1SiniCosee 1i1

e

1


7218 April 2023

Fungsi Eksponensial

Contoh 2

Tentukan z yang memenuhi persamaan

Jawaban

Modulus i = 1 dan argumen i = .

Persamaan dapat diubah menjadi

k = 0,1,2,…

Bisa disederhanakan menjadi

k = 0,1,2,…

iez

2

iez

k2

2i

z e1e

k22

i1lnz ik2

2


7318 April 2023

Fungsi Logaritma

Logaritma asli dari z dinotasikan dengan ln z . Nilai ln z yang

berkaitan dengan nilai prinsipil argumen z dinotasikan dengan Ln z.

Bila dimisalkan dimana (nilai W inilah yang akan

dicari, nilai z diketahui ) dan z dituliskan sebagai maka akan

didapatkan persamaan

Substitusi didapatkan

Nilai u dan v bisa diperoleh dari persamaan tersebut yaitu :

dan

sehingga ln n bisa dituliskan dalam bentuk standar

zlnW ivuW irez

iW reze ivuW iivuivu reeee

rlnu viyx

zargirlnzln


7418 April 2023

Fungsi Eksponensial

Contoh 1

Tentukan bagian riil dan imaginer dari

Jawaban

Modulus dan argumen

Jadi bagian riilnya

dan bagian imaginernya

i1Ln

2i1 4

i1

i4

2lni1Ln

2ln

4


7518 April 2023

Fungsi Eksponensial

Contoh 2

Tentukan z yang memenuhi persamaan yang terkait

dengan nilai prinsipil argumen z !

Jawaban

Dari persamaan dapat disederhanakan menjadi

Jadi nilai z yang memenuhi adalah

iez

iez

2

i

2

i1lniLnz

2

i


7618 April 2023

Fungsi Eksponensial

Contoh 3

Sederhanakan dalam bentuk standar bilangan kompleks !

Jawaban

Dengan menggunakan rumusan bentuk akar diperoleh akar- akar

dari i adalah w1 dan w2 dengan modulus w1 = 1, modulus w2 = 1,

argumen dan argumen .

Jadi bentuk standarnya adalah

1. 2.

iln

4w1

4

5w2

i4

i4

1lniln i

4

5i

4

51lniln


7718 April 2023

Bentuk Pangkat

Bentuk pangkat berbentuk : dimana z1 dan z2 keduanya

merupakan bilangan kompleks.

Bentuk pangkat ini dapat dituliskan dalam bentuk standar bilangan

kompleks dengan mengggunakan sifat – sifat fungsi eksponen dan

logaritma.

bisa dituliskan dalam bentuk standar z3 sehingga

persamaannya dapat disederhanakan menjadi

2z

1z

122z

12 zlnzzlnz1 eez

1zln

322 zzz1 ez


7818 April 2023

Bentuk Pangkat

Misalkan dimana maka

Akhirnya bisa dinyatakan dalam bentuk standar

Contoh

Nyatakan dalam bentuk standar bilangan kompleks

324 zzz 444 iyxz

44xiyxzz

1 ySiniyCoseeez 44442

2z

1z

4x

4xz

1 ySineiyCosez 442

ii1


7918 April 2023

Bentuk Pangkat

Jawaban

Modulus , argumen

Dengan menyederhanakan fungsi logaritma diperoleh

sehingga

Jadi bentuk standarnya adalah

2lni4e

2i1 4

i1

4

i2lni1ln

4i2ln.i

z1 ez 2

2lnSinei2lnCosez 44z1

2

2lniSin2lnCose 4


8018 April 2023

Fungsi Trigonometri dan Trigonometri hiperbola

Fungsi trigonometri dan trigonometri hiperbola dapat dinyatakan

dalam bentuk :

Dengan mengubah fungsi trigonometri dan hiperbola dalam bentuk

seperti diatas dan dengan memanfaatkan fungsi - fungsi

eksponen maka penyederhanaan dalam bentuk standar bilangan

kompleks dapat dilakukan.

iziz ee21

zCos

iziz eei21

zSin

izCosee2

1zCosh zz

izSiniee2

1zSinh zz


8118 April 2023


Contoh 1

Hitunglah nilai Cos i

Jawaban

ee1

21

ee21

iCos i.ii.i


8218 April 2023


Contoh 2

Tentukan z yang memenuhi persamaan Cos z = 2

Jawaban

Dari rumusan Cos z diperoleh persamaan

Misalkan maka diperoleh persamaan

Dengan rumus abc diperoleh akar – akar persamaannya

4ee iziz

izeR 01R4R2

322

124R


8318 April 2023


Jawaban (lanjutan)

Untuk diperoleh persamaan

Bisa disederhanakan sebagai

Salah satu solusinya adalah

Untuk diperoleh persamaan

Bisa disederhanakan sebagai

Solusinya yang lain adalah

32R

32eiz 32lnzi 32lniz

32R

32eiz 32lnzi 32lniz


8418 April 2023

Soal Latihan

1. Tentukan nilai

2. Untuk ,tentukan bagian riil dan imaginer dari

a.

b.

3. Tentukan nilai z yang memenuhi

a.

b.

4. Hitung nilai

i3e

i1z z3e

2ze

2ez iez

5ln


8518 April 2023

Soal Latihan

5. Hitung nilai dari

a.

b.

c.

d.

6. Tentukan nilai z yang memenuhi persamaan 2zSin

3i1Ln

i1Ln

i1Cos

i1Sin

Sistem Bilangan Kompleks

Documents

Transcript of Sistem Bilangan Kompleks