SIFAT-SIFAT KETEGAKLURUSAN, KESEJAJARAN, DAN

SEGITIGA ASIMPTOTIK PADA GEOMETRI HIPERBOLIK

SKRIPSI

Diajukan Kepada Fakultas Matematika dan Ilmu pengetahuan Alam

Universitas Negeri Yogyakarta

untuk Memenuhi sebagian Persyaratan

guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Oleh:

Humam Rosyadi

NIM 11305141033

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

2016

ii

PERSETUJUAN

Skripsi yang berjudul

“SIFAT-SIFAT KETEGAKLURUSAN, KESEJAJARAN, DAN SEGITIGA

ASIMPTOTIK PADA GEOMETRI HIPERBOLIK”

yang disusun oleh:

Nama : Humam Rosyadi

NIM : 11305141033

Prodi : Matematika

Telah disetujui

untuk diujikan dihadapan Anggota Dewan Penguji Skripsi

Program Studi Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Negeri Yogyakarta

Yogyakarta, Oktober 2016

Dosen Pembimbing

Himmawati Puji Lestari, M.Si.

NIP. 197501102000122001

iv

HALAMAN PERNYATAAN

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya:

Nama : Humam Rosyadi

NIM : 11305141033

Program Studi : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Judul Skripsi : SIFAT-SIFAT KETEGAKLURUSAN, KESEJAJARAN,

DAN SEGITIGA ASIMPTOTIK PADA GEOMETRI

HIPERBOLIK.

Menyatakan bahwa skripsi ini benar-benar karya saya sendiri dan sepanjang

pengetahuan saya, tidak terdapat karya atau pendapat yang ditulis atau diterbitkan

orang lain, kecuali pada bagian-bagian tertentu yang diambil sebagai acuan atau

kutipan dengan mengikuti tata penulisan karya ilmiah yang telah lazim.

Apabila pernyataan saya ini terbukti tidak benar, maka sepenuhnya menjadi

tanggung jawab saya dan saya bersedia menerima sanksi sesuai ketentuan yang

berlaku.

Yogyakarta, November 2016

Yang menyatakan,

Humam Rosyadi

NIM 11305141033

v

MOTTO

Man Thalaba Syaian wa Jadda wa Jada,

wa Man Qara’a al Baaba wa Lajja wa Laja.

“Barang siapa menuntut sesuatu dengan kesungguhan pasti akan mendapat apa

yang diusahakan dan barang siapa membuka pintu terus menerus pasti ia akan

menemui.”

Biqodri maa tata’anna, tanaalu maa tatamanna.

“Sejauh mana kepayahan mu, sekian pula tercapai harapan mu.”

vi

PERSEMBAHAN

Alhamdulillah, puji syukur kehadirat Allah swt. sehingga skripsi ini dapat

diselesaikan.

Skripsi ini saya persembahkan untuk:

1. Ayah dan Ibu. Sutriyono, S.Ag dan Endang Budi Astuti, S.Pd yang telah

memberikan do’a, semangat, ilmu dan pengorbanan yang tiada terkira.

Semoga kesehatan dan keberkahan selalu berlimpah kepada keluarga kita.

2. Saudaraku. Bagus Budi Jatmiko, S.Pd & Siti Umi Rohani, S.Pd, Basit

Faqihul Ahkam, dan Arina Munadiya Fauziah yang telah memberikan

semangat dan pengorbanan. Saudaraku, mari kita berkarya dengan

kesungguhan, keyakinan dan keikhlasan. Terimakasih atas kesabaran dan

pengorbanan kalian. Barakallahu fiikum.

3. Guru, dosen, dan pendidik atas ilmu dan nasehat-nasehatnya yang menemani

langkahku saat ini.

4. Saudara seperjuangan: Yogya Ardi Winata, Ahmad Muhsin Ma’arif, Yoga

Warisman, Joko Andi Saputra. Teruslah bersama berjuang fii sabiilillah, jadi

yang terbaik.

5. Para Ustadz yang telah mendidik: Ibnu Assyakir, Ahmad Hidayat, Anjar

Riyadi, dan Raditya Permana. Semoga saya terus memperbaiki diri dan

menjadi pribadi yang selalu berlomba dalam kebaikan.

6. Sahabat-sahabatku:

a. Playground: Nurma, Atul, Casca, Yuli, Lutfi, A’yun, Dwiss, Muhsin,

Noval, Hasyim, dan Sahid. Trimakasih atas pertemanan dan kebersamaan

kalian.

b. LQ Jumat Malam bersama Ustadz Ibnu Assyakir: Rama, Shidiq,

Maulana, Dwi, Wira, Evan, dan Alif.

c. LQ bersama Mas Raditya Permana: Muhsin, Yoga, Aryok, GJ,Mutabik,

Swastaji, Imad, Pepi, Fikri, Arif, dll.

7. Teman-teman di Tutorial PAI UNY, Haska, Himatika, KKN, Formasi Bumi,

PII, Matsub/swa 2011, Matsub/swa 2012, dan pihak yang tidak bisa saya

sebut satu persatu. Terimakasih.

vii

SIFAT-SIFAT KETEGAKLURUSAN, KESEJAJARAN, DAN

SEGITIGA ASIMPTOTIK PADA GEOMETRI HIPERBOLIK

Oleh

Humam Rosyadi

NIM. 11305141033

ABSTRAK

Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah untuk menunjukan sifat-sifat yang

berkaitan dengan ketegaklurusan, kesejajaran, dan segitiga asimptotik pada

Geometri Hiperbolik.

Geometri Hiperbolik adalah geometri yang didasarkan pada Postulat

Kesejajaran Hiperbolik yang merupakan ingkaran dari Postulat Kesejajaran

Euclid. Pada Geometri Hiperbolik berlaku sifat-sifat yang berkaitan dengan

ketegaklurusan, kesejajaran, dan segitiga asimptotik (segitiga khusus yang

memiliki titik ideal dan memiliki sifat yang hampir mirip dengan segitiga pada

Geometri Euclid). Sifat ketegaklurusan berkaitan dengan adanya garis tegaklurus

persekutuan (common perpendicular) dan garis-garis ultraparalel. Sifat

kesejajaran berkaitan dengan sudut kesejajaran dan sinar-sinar sejajar asimptotik.

Sifat segitiga asimptotik merupakan akibat dari sudut kesejajaran dan sinar-sinar

sejajar asimptotik.

Sifat ketegaklurusan meliputi: 1. tidak mungkin ada lebih dari dua titik

dalam sebuah garis memiliki jarak yang sama terhadap garis kedua, 2. dua garis

merupakan garis ultraparalel jika memiliki sebuah garis tegaklurus persekutuan, 3.

apabila sebuah garis tranversal memotong titik tengah garis tegaklurus

persekutuan, sudut dalam yang terbentuk oleh tranversal dan dua garis sejajar

adalah kongruen. Sifat kesejajaran meliputi: 1. sinar-sinar sejajar asimptotik

merupakan sinar-sinar yang membentuk sudut kesejajaran, 2. sudut kesejajaran

besarnya kurang dari 90°, 3. sinar-sinar sejajar asimptotik memiliki garis sejajar

persekutuan dan tidak memiliki garis tegaklurus persekutuan. Sifat segitiga

asimptotik meliputi: 1. segitiga asimptotik adalah segititga yang memiliki titik

ideal 2. dua buah segitiga yang sebangun maka keduanya kongruen, 3.

kekongruenan Sisi-Sudut dan Sudut-sudut berlaku pada segitiga single asimptotik,

4. kekongruenan sudut-sudut berlaku pada segitiga dobel asimptotik, dan 5.

Sebarang dua segitiga trebel saling kongruen.

Kata kunci: tegaklurus, sudut kesejajaran, sinar sejajar asimptotik, segitiga

asimptotik.

viii

KATA PENGANTAR

Alhamdulillahirobbil’alamin, puji syukur kehadirat Allah swt. sehingga

penulis dapat menyelesaikan skripsi berjudul “Sifat-sifat Ketegaklurusan,

Kesejajaran, dan Segitiga Asimptotik pada Geometri Hiperbolik.” Penulisan

Skripsi ini dibuat untuk memenuhi sebagian persyaratan guna memperoleh Gelar

Sarjana Sains di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas

Negeri Yogyakarta.

Skripsi ini tidak dapat diselesaikan tanpa bantuan, dukungan, bantuan

serta bimbingan beberapa pihak. Penulis mengucapkan terimakasih kepada:

1. Bapak Dr. Hartono selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberikan

kelancaran pelayanan dalam urusan akademik.

2. Bapak Dr. Ali Mahmudi selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematika

Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberikan kelancaran

pelayanan dalam urusan akademik.

3. Bapak Dr. Agus Maman Abadi, M.Si selaku Ketua Program Studi

Matematika Universitas Negeri Yogyakarta

4. Bapak Musthofa, M.Sc selaku Penasehat Akademik yang telah

memberikan pengarahan akademik selama mengikuti perkuliahan.

5. Ibu Himmawati Puji Lestari, M.Si selaku dosen pembimbing yang telah

berkenan memberikan arahan dan bimbingan dengan penuh kesabaran

dalam penyusunan skripsi ini.

6. Bapak Murdanu, M.Pd yang telah memberi masukan dan saran dalam

penyusunan skripsi ini.

7. Seluruh dosen Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Negeri

Yogyakarta yang telah memberikan ilmu kepada penulis.

8. Orangtua dan keluarga yang telah memberikan doa, dukungan, serta

semangat kepada penulis.

9. Semua pihak yang telah membantu penulisan skripsi ini hingga selesai.

ix

Penulis menyadari adanya ketidaktelitian, kekurangan dan kesalahan dalam

penulisan tugas akhir skripsi ini. Oleh karena itu, penulis menerima kritik dan

saran yang bersifat membangun. Semoga penulisan tugas akhir ini dapat

bermanfaat bagi pembaca dan pihak yang terkait.

Yogyakarta, November 2016

Penulis,

Humam Rosyadi

NIM. 11305141033

x

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ................................................................................................ i

HALAMAN PERSETUJUAN ................................................................................ ii

PENGESAHAN ..................................................................................................... iii

HALAMAN PERNYATAAN ............................................................................... iv

MOTTO .................................................................................................................. v

PERSEMBAHAN .................................................................................................. vi

ABSTRAK ............................................................................................................ vii

KATA PENGANTAR ......................................................................................... viii

DAFTAR ISI ........................................................................................................... x

DAFTAR GAMBAR ............................................................................................ xii

DAFTAR SIMBOL .............................................................................................. xiv

BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1

A. Latar Belakang Masalah .............................................................................. 1

B. Batasan Masalah .......................................................................................... 3

C. Rumusan Masalah ....................................................................................... 4

D. Tujuan Penelitian ......................................................................................... 4

E. Manfaat Penelitian ....................................................................................... 5

BAB II KAJIAN PUSTAKA .................................................................................. 6

A. Pengenalan Geometri Non-Euclid ............................................................. 6

B. Geometri Insidensi .................................................................................... 10

C. Geometri Euclid ........................................................................................ 11

1. Istilah Tak Terdefinisi dan Dua Aksioma Dasar ................................ 11

2. Keantaraan .......................................................................................... 12

3. Jarak dan Postulat Penggaris .............................................................. 14

4. Postulat Pemisahan Bidang ................................................................ 14

5. Postulat Busur (Protractor) dan Besar Sudut ................................... 19

6. Teorema Crossbar .............................................................................. 21

7. Teorema Pasangan Linier ................................................................... 25

8. Postulat Sisi-Sudut-Sisi (Postulat S-Sd-S) ......................................... 26

9. Postulat Kesejajaran Euclid ................................................................ 27

D. Geometri Netral ......................................................................................... 27

1. Teorema Sudut Luar ........................................................................... 28

xi

2. Teorema Sudut Dalam Berseberangan ............................................... 30

3. Segiempat Saccheri ............................................................................ 32

4. Segiempat Lambert ............................................................................ 33

E. Geometri Hiperbolik ................................................................................. 34

BAB III PEMBAHASAN ..................................................................................... 38

A. Sifat-sifat Ketegaklurusan pada Geometri Hiperbolik .............................. 38

B. Sifat-sifat Kesejajaran pada Geometri Hiperbolik .................................... 45

1. Sudut Kesejajaran ............................................................................... 46

2. Sinar-sinar Sejajar Asimptotik ........................................................... 54

C. Segitiga Asimptotik pada Geometri Hiperbolik ........................................ 59

1. Jenis-jenis Segitiga Asimptotik pada Geometri Hiperbolik ............... 61

2. Kekongruenan dan Kesebangunan pada Geometri Hiperbolik .......... 62

BAB IV PENUTUP .............................................................................................. 72

A. Kesimpulan ................................................................................................ 72

B. Saran .......................................................................................................... 74

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 75

LAMPIRAN .......................................................................................................... 76

xii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1. Ruas Garis .......................................................................7

Gambar 2. Lingkaran dengan Titik Pusat dan Jari-jari ...........................7

Gambar 3. Titik berada di Antara dan ..................................................12

Gambar 4. (a) Ruas Garis; (b) Sinar Garis; (c) Garis ......................................13

Gambar 5. (a)Bidang Konveks dan (b)Nonkonveks .......................................15

Gambar 6. (a) Irisan dua setengah bidang ,

(b) Interior Sudut ..............................................................16

Gambar 7. Segitiga ...............................................................................17

Gambar 8. Jika memotong ,

maka berpotongan dengan salah satu dari (atau ) ..........18

Gambar 9. Mengukur Sudut Menggunakan Busur Sudut ...............................19

Gambar 10. (a) Sudut Siku-siku; (b) Sudut Lancip; dan (c) Sudut Tumpul ..21

Gambar 11. Ilustrasi Teorema Z .....................................................................22

Gambar 12. Titik Terletak pada dan ..............................................22

Gambar 13. Pembuktian Teorema Crossbar ...................................................23

Gambar 14. Sudut dan Membentuk Sebuah Pasangan Linier ..25

Gambar 15. Sudut Luar dan Sudut Interior Jauh pada Segitiga ...........28

Gambar 16. Pembuktian Teorema Sudut Luar ................................................29

Gambar 17. Garis Tranversal Memotong Garis dan di Titik dan .30

Gambar 18. Ilustrasi Pengandaian pada Pembuktian Teorema 2.8

(Terdapat titik yang Memotong dan ) ................................31

Gambar 19. Segiempat Saccheri pada Geometri Netral..................................33

Gambar 20. Segiempat Lambert pada Geometri Netral ..................................34

Gambar 21. Segiempat Saccheri S pada Geometri Hiperbolik ........37

Gambar 22. Tiga Titik Berjarak Sama pada Teorema 3.1 ..............................40

Gambar 23. Garis Tegaklurus Persekutuan .....................................................41

Gambar 24. Segiempat Lambert L dan L

dalam Segiempat Saccheri S ...........................................42

Gambar 25. Garis Tegaklurus Persekutuan pada Garis dan

adalah Tunggal .............................................................................43

Gambar 26. Tranversal Memotong Titik Tengah Garis Tegak Lurus

Persekutuan ..................................................................................44

Gambar 27. Konstruksi (Himpunan Beririsan untuk dan )................48

Gambar 28. Ilustrasi dari Himpunan Beririsan pada Sinar Garis...................49

Gambar 29. Dua Sudut Kesejajaran untuk dan .......................................50

Gambar 30. Nilai kritis bergantung hanya pada jarak titik ke garis................51

Gambar 31. Besar Sudut Kesejajaran Bersifat Turun (Nonincreasing) ..........53

xiii

Gambar 32. Ada Paling Sedikit Dua Garis Parallel,

Salah Satunya Membentuk Sudut Lancip ...................................54

Gambar 33. Sinar Garis Sejajar Asimptotik dengan ...........................55

Gambar 34. Titik Q berada di antara dan ............................................56

Gambar 35. Sudut dan merupakan Sudut Kritis .......................57

Gambar 36. Segitiga Asimptotik Single atau .........................60

Gambar 37. Segitiga Asimptotik Dobel ..............................................61

Gambar 38. Segitiga Asimptotik Trebel ...........................................62

Gambar 39. Berlaku Sd-Sd-Sd hanya pada Kekongruenan Segitiga ..............64

Gambar 40. Kekongruenan Sisi-Sudut pada Segitiga Λ

dan Λ ..................................................................................65

Gambar 41. Dua Segitiga Trebel Asimptotik

dan Kongruen................................................67

xiv

DAFTAR SIMBOL

: Titik

: Garis

: Ruas garis yang memiliki ujung-ujung titik A dan B

: Sinar garis yang memuat titik B dan titik A sebagai ujung

: Garis yang memuat titik A dan titik B

: Panjang

: Titik P berada di antara titik A dan titik B

* + : Himpunan titik-titik A dan B

* + : Himpunan semua titik-titik P yang berada di antara titik A dan

titik B

: Sinar garis yang membentuk sudut sebesar

: Gabungan dua himpunan

: Sigma (jumlah besar sudut)

: Fungsi Kappa ( Fungsi kritis)

: Omega (titik ideal)

Φ : Phi (titik ideal)

: Sudut dengan titik sudut B dan kaki-kaki sudut dan

: Derajat sudut

( ) : Besar sudut

: Setengah bidang yang dibatasi oleh garis dan memuat titik .

: Segitiga dengan titik sudut A,B, dan C

: Segitiga asimptotik

: Segitiga asimptotik (penulisan lain segitiga asimptotik

dengan titik ideal )

: Segitiga dobel asimptotik

: Segitiga trebel asimptotik

( ) : Jarak titik P terhadap garis

: Garis tegaklurus dengan garis

: Garis sejajar dengan garis

xv

: Garis sejajar asimptotik dengan garis

: Kongruen dengan

: Sebangun

: Segiempat

S : Segiempat Saccheri

L : Segiempat Lambert

: Ahir sebuah pembuktian