SESI 6 MATEMATIKASESI 6 MATEMATIKAModul ke:

SESI 6 MATEMATIKA SESI 6 MATEMATIKA BISNISBISNIS

Fakultas

P St di

Viciwati STl MSi.EKONOMIBISNIS

Program Studi

Manajemen dan Akuntansi

DESKRIPSI MATA KULIAHDESKRIPSI�MATA�KULIAH• Mata�kuliah ini merupakan alat untuk

menyederhanakan penyajian dan pemahamanmenyederhanakan penyajian dan pemahamanmasalah dengan menggunakan bahasamatematik,�suatu masalah dapat menjadilebih sederhana untuk disajikan,�dipahami,�dianalisa dan dipecahkan.

KOMPETENSI• Mahasiswa mampu menerapkan konsep�

konsep matematika dalam bidang ekonomi.

REFERENSIREFERENSI• Dumairy.1999.Matematika�Terapan�Untuk�Bisnis dan Ekonomi Yogyakarta BPFE UGMBisnis�dan�Ekonomi, Yogyakarta,�BPFE��UGM

METODE�PEMBELAJARAN1. Masing�masing�mahasiswa�diwajibkan�membawa�

buku�yang�sama�dengan�buku�yang�dipakai�oleh�dosen�supaya�transfer�ilmu�bisa�berjalan�lebih�baik.�

2. Mahasiswa�diharapkan�siap�untuk�berpartisipasi�aktif�dalam�kuliah�dan�diharapkan�juga�untuk�secara�mandiri aktif menemukan (discover) pengetahuan.mandiri�aktif�menemukan�(discover)�pengetahuan.�

3. Di�luar�kelas,�mahasiswa�diharapkan�aktif�berdiskusi�dengan�teman�temannya.�

4 M h i di jibk ik h il4. Mahasiswa�diwajibkan�mempresentasikan�hasil�diskusi�mengenai�materi�sesuai�dengan�pembagian�kelompok.

5. Dosen�akan�memberikan�kuis�mendadak�di�awal�atau�akhir�kuliah.�

6 Mahasiswa diwajibkan membuat seluruh tugas yang6. Mahasiswa�diwajibkan�membuat�seluruh�tugas�yang�diberikan.

Sesi MATERI KULIAH

MATERI PERKULIAHAN

1 Pengantar, Kontrak Perkuliahan/Silabus .Kegunaan Matematika

secara umum, Sistem Himpunan dan sistem Bilangang

2 Deret Hitung dan Ukur dalam Ekonomi dan Bisnis

3 Penerapan Deret dalam Kehidupan (Model Bunga Mejemuk dan3 Penerapan Deret dalam Kehidupan (Model Bunga Mejemuk dan

Pertumbuhan penduduk

4 Fungsi Linier dalam Ekonomi dan Bisnis4 Fungsi Linier dalam Ekonomi dan Bisnis

5 Penerapan Fungsi Linier dalam Ekonomi dan Bisnis

(Keseimbangan pasar, pajak dan subsidi)

6 Penerapan Fungsi Linier dalam Ekonomi dan Bisnis (BEP dan

fungsi konsumsi)

7 Fungsi Kuadrat

8 MIDTEST

9 Penerapan Fungsi Non Linier dalam Ekonomi dan Bisnis

10 Fungsi Diferensial Sederhana dan Majemuk

11 Penerapan Fungsi Diferensial dalam Ekonomi dan Bisnis

12 Fungsi Integral Tak Tentu dan Tentu

( )13 Penerapan Integral (surplus produsen dan konsumen)

14 Fungsi Kaidah Matriks (Determinan dan Inverse)14 Fungsi Kaidah Matriks (Determinan dan Inverse)

15 Fungsi Persamaan Optimalisasi (linier programming)15 Fungsi Persamaan Optimalisasi (linier programming)

16 U A S

PENILAIANPENILAIAN• UTS/Mid�Tes� � 20%

/ i l � %• UAS/Final�Tes�� 30%• Presentasi�Materi�berupa�teori,�contoh�soal,�

dan�jawaban � 40%• Kehadiran � 10%

PENUGASAN�DAN�OUTPUTTugas Presentasi Kelompok• Kelompok yang bertugas presentasi membuat :Kelompok yang�bertugas presentasi membuat :• Rangkuman materi untuk setiap topic�bahasan

yang�berisi:y g• Teori• Contoh Soal dan Jawaban• Bahan presentasi dalam bentuk power�point• Dikumpulkan dalam bentuk hardcopy (cetak) danDikumpulkan dalam bentuk hardcopy (cetak)�dansoftcopy (melalui email:�vicihalo73@yahoo.com)�paling�lambat 1�hari sebelum presentasi

TATA�TERTIB�PERKULIAHAN

• Perkuliahan dimulai tepat waktu sesuaiPerkuliahan�dimulai�tepat�waktu sesuai�dengan�jadwal�atau�kesepakatan�kelas.

• Toleransi keterlambatan 15 menit• Toleransi�keterlambatan�15�menit.�• Apabila�mahasiswa�terlambat�tetap�di b l hk k k ik idiperbolehkan�masuk untuk�mengikuti�perkuliahan�namun�dianggap�tidak�hadir

l (b l ) d l itanpa�alasan�(bolos)�dalam�presensi.�

• Apabila�dosen�terlambat�maka�mahasiswa�yang�datang�sebelumnya�mendapatkan�point�bonus�5.

• Jumlah�kehadiran�minimal�75% dari�tatap�muka�(tatap�muka�minimal�12�kali�dan�maksimal�14�kali).�

• Apabila�mahasiswa tidak�dapat�memenuhi�maka�tidak�akan�mendapatkan�nilaip(walaupun�mengikuti�seluruh�perkuliahan).

B l (tid k k t iji )� k i l 3• Bolos�(tidak�masuk�tanpa�ijin)��maksimal�3�kali

• Tidak�masuk�karena�sakit�atau�ijin�menggunakan�surat�� tidak�dianggap�bolos

• Apabila�dosen�tidak�dapat�hadirmaka�perkuliahan�tetap�ada�dengan�diberikan�tugas�yang�dikerjakan�oleh�mahasiswa.�Bagi�mahasiswa�yang�masuk�(menandatangani�daftar�hadir)�serta�mengumpulkan�tugas�akan�diberi�point�bonus�10

• .Ketentuan�ini�berlaku�apabila�dosen�sudah�tidak�hadir�lebih�dari�25%�tatap�muka�minimal�(tatap�muka�minimal�12�kali�dan�maksimal�14�kali).

• Menggunakan�kemeja�atau�kaos�berkerah,�gg j ,bercelana�panjang�atau�rok,�bersepatu,�dan�tidak�mengenakan�topi�selama�perkuliahan�g p pberlangsung

• Dosen�wajib�menyerahkan�nilai�akhir sesuai�j ydengan�tanggal�pengumuman�nilai�di�kalender�akademik.�Apabila�ada�pertanyaan�mengenai�p p y gnilai,�dilayani�sampai�dengan�1�(satu)�minggu�setelah�tanggal�tersebut.gg

• Pengajuan�ujian�susulan,�baik�UTS�maupun�UAS hanya dilayani apabila mahasiswaUAS,�hanya�dilayani�apabila�mahasiswa�mengajukan�surat�permohonan�yang�disetujui�oleh Ketua Jurusan S�1 Manajemen FE UMBoleh�Ketua�Jurusan�S 1�Manajemen�FE�UMB.�Alasan�tidak�dapat�mengikuti�ujian�yang�diterima adalah:diterima�adalah:

kit ( l i i t k t d kt t• sakit�(melampiri�surat�keterangan�dokter�atau�bukti�mondok�di�rumah�sakit)

• keluarga�sakit�keras/meninggal�dunia�(surat�keterangan�dari�pengurus�RT)

• INFORMASI�TAMBAHANBila ada pertanyaan dapat menghubungi:Bila�ada�pertanyaan�dapat�menghubungi:

Viciwati021 93638396021.93638396Vicihalo73@yahoo.com

PendahuluanPendahuluanDalam�kehidupan�sehari�hari,�tentunya�kita�tidak akan pernah terlepas dari kegiatantidak�akan�pernah�terlepas�dari�kegiatan�ekonomi.�B b i il h i il h d l k iBeberapa�istilah�istilah�dalam�perekonomian�keuangan�perlu�dipahami�diantaranya�bunga�

l di k l b j ktunggal,�diskonto�tunggal,�bunga�majemuk,�system�kredit�cicilan,�dan�anuitas.

Sebelum membicarakan tentang bahasanSebelum membicarakan tentang bahasanbunga tunggal, bunga majemuk danseterusnya akan diberikan defenisiseterusnya akan diberikan defenisimatematika dan pembahasan tentang prinsip�prinsip matematika yang digunakan dalamprinsip matematika yang digunakan dalamekonomi dan bisnis.

DEFENISI�MATEMATIKA• ASAL�KATA�

A l k t MATHEIN ti l j i t• Asal�kata�:�MATHEIN�artinya�mempelajari�atau�belajar.�Dengan�mempelajari�matematika,�seseoran akan terbiasa men at r jalanseseorang�akan�terbiasa�mengatur�jalan�pemikirannya�dgn�sistematis.�

• Berpikir�matematis:�Seseorang�yg�hendak�menem�puh�jarak�2�mil�akan�MEMILIH�naik�mobil�dari�pada�jalan�kaki,�kecuali�jika�waktunya�banyak�terluang�atau�sedang�berolah�raga.�

• Untuk dapat mengenderai mobil harusUntuk�dapat�mengenderai�mobil,�harus�belajar�menyupir.�Untuk�dapat�supir�mobil�yang baik dia perlu pengetahuan matematikayang�baik,�dia�perlu�pengetahuan�matematika.�Matematika,�merupakan�sarana�=�pendekatan�untuk suatu analisa Dengan mempelajariuntuk�suatu�analisa.�Dengan�mempelajari�matematika,�membawa�seseorang�kepada�kesimpulan dalam waktu yang singkatkesimpulan�dalam�waktu�yang�singkat.

DEFENISI�EKONOMI• EKONOMI ATAU ECONOMIC BERASAL DARI• EKONOMI�ATAU�ECONOMIC�BERASAL�DARI�

BAHASA�YUNANI�YAITU�KATA�“OIKOS�ATAU�OIKU” DAN “NOMOS”OIKU �DAN� NOMOS

• OIKOS�=�HOUSE,�NOMOS=LAW�ATAU�CUSTOM.• EKONOMI�BERARTI�ILMU�SOSIAL�YANG�

MEMPELAJARI�TENTANG�PRODUKSI,�DISTRIBUSI�DAN�KOMSUMSI�BARANG�DAN�PELAYANANNYA.

PENGGOLONGAN�DAN�JENIS�ANALISA�PADA�ILMU�EKONOMIJENIS�ANALISA�PADA�ILMU�EKONOMI�

1. ILMU DESKRITIF.1.�ILMU�DESKRITIF.GAMBARAN�TENTANG�SUATU�KONDISI�ATAUKEADAAN DENGAN SEBENARNYAKEADAAN�DENGAN�SEBENARNYA.CONTOH�:�TURUN�NILAI�KURS�RUPIA�TERHADAP�US�DOLLAR.

2.�TEORI�ILMU�EKONOMI.(TEORI�EKONOMI).DIDASARKAN�PADA�KONDISI�NYATA�YANG�TERJADI�PADA�MASYARAKAT�TERUTAMA�SIFAT�SIFAT�HUBUNGAN�EKONOMI.CONTOH : PERMINTAAN BARANG AKAN NAIK,CONTOH�:�PERMINTAAN�BARANG�AKAN�NAIK,�HARGA�AKAN�TURUN,�SEBALIKNYA�PERMINTAAN AKAN TURUN, HARGA AKANPERMINTAAN�AKAN�TURUN,�HARGA�AKAN�NAIK.

3 TEORI EKONOMI APLIKASI3.�TEORI�EKONOMI�APLIKASI.MENGANALISA�DAN�MENELAAH�TENTANG�HAL HAL YANG PERLU DILAKUKAN MENGENAIHAL�HAL�YANG�PERLU�DILAKUKAN�MENGENAI�SUATU�KEJADIAN�DALAM�PEREKONOMIAN.

Ekonomi dan Matematika EkonomiEkonomi�dan�Matematika�Ekonomi�

Analisis ekonomi tidak berbeda jikaAnalisis ekonomi tidak berbeda jikamenggunakan pendekatan matematisdibanding dengan tanpa pendekatandibanding dengan tanpa pendekatanmatematis.�Bedanya/keuntungannya:

a Dengan pendekatan matematis persoalana. Dengan pendekatan matematis,�persoalanatau pokok bahasan menjadi sederhana.

b D d k i b ib. Dengan pendekatan matematis,�berartimengaktifkan logika dengan asumsi�

iasumsinya.

Dapat memakai sebanyak n variabel dalamDapat�memakai�sebanyak�n�variabel�dalammenggambarkan�sesuatu�(hubungan�antar

i b l)variabel)Mis�Qd =�f(Pr,�Inc,�Pi,�…�),�dimana:Pr�=�harga�komoditi�yang�bersangkutanInc = pendapatanInc� �pendapatan,�Pi�=�harga�komoditi��substitusi�

Kelemahannya pendekatan matematis:a. Bahasa matematis tidak selalu mudah

dimengerti oleh ahli ekonomi sehingga seringd e ge t o e a e o o se gga se gmenimbulkan kesukaran.

Contoh Y = f(X) dalam ilmu ekonomi bagaimanaContoh Y�=�f(X),�dalam ilmu ekonomi bagaimanamengartikan persamaan matematistersebut,misal dalam:�permintaan,�produksi,pendapatan nasional,�dan lain�lain�sehingga ahliekonomi sulit memetik keuntungan darimatematikamatematika.

S hli k i ilikia. Seorang ahli ekonomi yang�memilikipengetahuan dasar matematika,�adakecenderungan:1. Membatasi diri dengan hanya memecahkan1. Membatasi diri dengan hanya memecahkan

persoalan secara matematis2 Membuat beberapa asumsi yang kurang tepat2. Membuat beberapa asumsi yang�kurang tepat

demi memudahkan pendekatan matematis ataustatistis Artinya lebih banyak berbicarastatistis.�Artinya,�lebih banyak berbicaramatematika dan statistika dari pada prinsip/�teori ekonomiteori ekonomi.

Kesimpulan dari bahasa adalah:Kesimpulan�dari�bahasa�adalah:1.�Matematika�merupakan�pendekatan�bagi�ilmu�

ekonomiekonomi.2.�Pendekatan�matematis�merupakan�“�mode�of�

i ” i b ikitransportation”�yaitu�membawa�pemikiran�kepada�kesimpulan�dengan�singkat�(model)

PRINSIP�PRINSIP MATEMATIKA YANGPRINSIP PRINSIP�MATEMATIKA�YANGDIGUNAKAN�DALAM�EKONOMI�DAN�BISNIS

D l il ik dik lk kDalam�ilmu�matematika,�dikenalkan�konsep�barisan�dan�deret�aritmetika�dan�geometri.�Konsep�dari�barisan�dan�deret�tersebut�dalam�bidang�ekonomi�antara�lain�digunakan�dalam�membahas�tentang:�model�perkembangan�usaha,�model�pertumbuhan�penduduk,�bunga�majemuk,�nilai�masa�datang�dari�anuitas,�dan�cadangan,�nilai�sekarang�dari�anuitas,�dan�penyisihan�pinjaman

• Jika�perkembangan�variable�variable�tertentu�dalam�kegiatan�usaha�(misalnya:�produksi,�biaya,pendapatan,penggunaan�tenaga�kerja,penanaman�modal)�berpola�seperti�barisan�aritmetika,�maka�prinsip�prinsip�barisan�aritmetika�dapat�digunakan�untuk�menganalisa�perkembangan�variabel�tersebut.

• Penerapan�deret�ukur�yang�paling�konvensional�dibidang�ekonomi�adalah�dalam�hal�penghitungan�pertumbuhan�penduduk,karena�penduduk�dunia�tumbuh�mengikuti�pola�deret�ukur.

HIMPUNAN dan�BILANGAN

Definisi HimpunanDefinisi�Himpunan• Konsep himpunan adalah suatu konsep yang palingmendasar bagi Ilmu Matematika modern pada

d di bid il k i d bi i dumumnya dan di bidang ilmu ekonomi dan bisnis padakhususnya.

• Dalam bidang ekonomi dan bisnis terutama dalamhal pembentukan model kita harus menggunakanhal pembentukan model kita harus menggunakansehimpunan atau sekelompok data observasi darilapanganapa ga

HIMPUNANHIMPUNANPengertian HimpunanHimpunan adalah Kumpulan benda atau objek yang didefinisikan (diterangkan) dengan jelas

Himpunan dilambangkan dengan huruf kapital misalnya A, B, C, D, p g g p y…,Z dan objek-objek dari himpunan itu ditulis diantara dua kurung kurawal dan dipisahkan dengan tanda koma

Yang dimaksud diterangkan dengan jelas adalah benda atauYang dimaksud diterangkan dengan jelas adalah benda atau objeknya jelas mana yang merupakan anggota dan mana yang bukan anggota dari himpunan itu

Contoh:

A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 10

A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }

Soal : Nyatakan himpunan berikut dalam bentuk notasi pembentuk himpunanpembentuk himpunan

1. B adalah bilangan Asli yang lebih dari 3 dan kurang atau sama dengan 15atau sama dengan 15

2. C adalah bilangan bulat lebih dari atau sama dengan

5 t t i k d i 10

3. D adalah bilangan ganjil kurang dari 20

-5 tetapi kurang dari 10

J b

1. B = { x | 3 < x � 15 , x � A}

Jawaban :

2. C = { x | -5 � x < 10 , x � B }3. D = { x | x < 20 , x � A }

Contoh soal : Nyatakan soal di atas dengan cara mendaftar anggotanya

Jawaban:Ja aba

= { 4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 }1. B = { x | 3 < x � 15 , x � A}

= { -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }2. C = { x | -5 � x < 10 , x � B }

{ , , , , , , , , , , , , , , }

= { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 }3. D = { x | x < 20 , x � A }

{ 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 }

Keanggotaan Suatu Himpunan

Contoh:Co to

A = { 1, 3, 5, 7, 9 } B = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 }

1 � A 1 � B 2 � B 2 � A�3 � A 3 � B5 � A 5 � B7 A 7 � B

4 � B 4 � A6 � B 6 � A8 � B 8 � A7 � A 7 � B

9 � A 9 � B8 � B 8 � A

10 � B 10 � A12 � B 12 � A

Banyaknya anggota himpunan A dilambangkan dengan n(A) = 5

Banyaknya anggota himpunan B dilambangkan dengan n(B) = 6

Catatan: Lambang � dibaca “elemen” atau anggotaLambang � dibaca “bukan elemen” atau bukan anggotaLambang n(A) n(B) disebut bilangan kardinalLambang n(A), n(B) disebut bilangan kardinal

HIMPUNAN KOSONGDEFINISI:

Himpunan Kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota dan dilambangkan dengan { } atau �dan dilambangkan dengan { } atau �

Contoh :D�=�{�x�|�x�orang�yang�tingginya�lebih�dari�5�m}

F = { x | x bilangan prima antara 7 dan 11 }

Pada contoh di atas adakah saat ini orang yang tingginya lebih dari 5 meter dan adakah bilangan prima diantara 7 dan 11 ? (coba pikir)

Himpunan LepasDefinisi:

D hi tid k k dik t k li l jik k dDua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua himpunan itu tidak mempunyai satupun anggota yang samaContoh : L = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 } G = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 }Coba kalian perhatikan, adakah anggota himpunan L dan G yang sama ?Karena tidak ada anggota himpunan L dan G yang sama maka himpunan L dan G adalah dua himpunan yang saling lepas, jadi L // Gdan G adalah dua himpunan yang saling lepas, jadi L // G

Himpunan Tidak Saling LepasDefinisi:

Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan tidak saling lepas (berpotongan) jika kedua himpunan itu mempunyai anggota yang sama

Contoh :Contoh :P = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } Q = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 }Himpunan P dan himpunan Q tidak saling lepas karena mempunyai

Qanggota yang sama (persekutuan) yaitu 2, 4, 6, dan 8, jadi P � Q

Himpunan SemestaDefinisi :Himpunan Semesta adalah himpunan yang memuat semua objek p p y g jyang dibicarakan

Contoh :

A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}B = { -3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 }

C = { 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 }

D = { 2,3,5,7,11 }

E = { 0, 2, 4, 6 }C = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 }

Perhatikan setiap anggota himpunan A, B, C, D, dan E1. Apakah setiap anggota himpunan D ada di dalam himpunan A, B, dan C ?p p gg p p , ,2. Apakah setiap anggota himpunan E ada di dalam himpunan A, B, dan C ?Setiap anggota himpunan D yaitu 2,3,5,7,11 ada di dalam Himpunan A, B, C. Oleh karena itu Himpunan A,B,C adalah Himpunan Semesta dari Himpunan Dp , , p p

Setiap anggota Himpunan E yaitu 0,2,4,6 ada di dalam himpunan B dan C, tetapi angka 0 tidak ada di dalam himpunan A. Oleh karena itu Himpunan B dan C merupakan Himpunan semesta dari himpunan E dan Himpunan A bukan himpunanmerupakan Himpunan semesta dari himpunan E, dan Himpunan A bukan himpunan semesta dari himpunan E

HIMPUNAN BAGIANDefinisi:A adalah himpunan bagian dari himpunan B apabila setiap anggotaA adalah himpunan bagian dari himpunan B apabila setiap anggota himpunan A juga menjadi anggota himpunan B dilambangkan dengan A � B

Contoh:

S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

A { 0 1 2 3 4 5 6 7 } B { 1 2 3 4 } C { 6 7 8 9 }A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } ; B = { 1, 2, 3, 4 } ; C = { 6, 7, 8, 9 }

a. Apakah himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A ?

b Apakah himpunan C merupakan himpunan bagian dari himpunan A ?b. Apakah himpunan C merupakan himpunan bagian dari himpunan A ?

Perhatikan setiap anggota himpunan A, B, C

a. Karena setiap anggota himpunan B juga merupakan anggotaa. Karena setiap anggota himpunan B juga merupakan anggota himpunan A maka himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A, jadi B � A

b K d t hi C it 8 d 9 tid k t d t dib. Karena ada anggota himpunan C yaitu 8 dan 9 tidak terdapat di dalam himpunan A maka himpunan C bukan himpunan bagian dari himpunan A, jadi C � A

Rumus Banyaknya Himpunan Bagian

Jika suatu himpunan mempunyai anggota sebanyak n(A) maka banyaknyaJika suatu himpunan mempunyai anggota sebanyak n(A) maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah sebanyak 2n(A)

Contoh:Tentukan banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari himpunan berikut

1. A = { a, b, c }

2. B = { 1, 2, 3, 4, 5 }

3. C = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

Jawab:

1. n(A) = 3 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari A adalah 23 = 2 x 2 x 2 = 8

2. n(B) = 5 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari B adalah 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

3. n(C) = 7 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari C adalah 27 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128

Himpunan Sama

Definisi:

Dua himpunan dikatakan sama apabila setiap anggota kedua himpunan itu sama bentuk dan jumlahnya

Contoh :Contoh :A = { a, I, u, e, o } ; B = { u, a, I, o, e }

Kedua himpunan A dan B anggota-anggotanya sama yaitu a,I,u,e, dan o maka himpunan A = B

Himpunan EkuivalenDefinisi:

Dua himpunan dikatakan Ekuivalen apabila jumlah anggota kedua himpunan itu sama tetapi bendanya ada yang tidak samap y y g

Contoh :P = { a, I, u, e, o } ; Q = { 1, 2, 3, 4, 5 }

Kedua himpunan P dan Q anggota-anggotanya tidak sama tetapi jumlah anggotanya sama maka himpunan P Ekuivalen dengan Q, jadi ( P ~ Q )

Irisan Dua Himpunan (Interseksi)Definisi:

Irisan himpunan A dan B ditulis A � B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota himpunan B

Contoh:

Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P � Q

P � Q = { d, e }Jawab :

Gabungan Dua Himpunan ( Union)Definisi:

Gabungan himpunan A dan B ditulis A � B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota himpunan A atau menjadi anggota himpunan B

Contoh:Contoh:

Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P � Q

Jawab : P � Q = { a, b, c, d, e, f, g, h }{ , , , , , , g, }

Komplemen (Complement)Komplemen�(Complement)�• Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang

terdiri dari unsur�unsur yang terdapat dalam

AA /'

himpunan semesta U tapi tidak merupakan unsur darihimpunan A.

’ � k AxxA �� /'• Notasi : A’ atau �, maka

U

A’

Gabungan (Union)Gabungan�(Union)�• Gabungan dari himpunan A dan B adalah suatu

himpunan dimana unsur�unsurnya adalah unsur yangberada di A atau di B atau dikeduanya.

U

A B

BA�

Irisan (Intersection)Irisan�(Intersection)�• Irisan dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan

yang unsur�unsurnya dimiliki oleh A dan juga dimilikioleh B secara bersamaan.

U

A B

BA�

Selisih Himpunan (Set Difference)Selisih�Himpunan�(Set�Difference)�• Selisih dari dua himpunan A dan B adalah suatu

himpunan yang semua unsur�unsurnya termasuk di Atetapi tidak termasuk di B.

U

A B

BA �

Diagram VennLangkah-langkah menggambar diagram venna g a a g a e gga ba d ag a e

1. Daftarlah setiap anggota dari masing-masing himpunan

2. Tentukan mana anggota himpunan yang dimiliki secara bersama-samagg p y g

3. Letakkan anggota himpunan yang dimiliki bersama ditengah-tengah

4. Buatlah lingkaran sebanyak himpunan yang ada yang melingkupi anggota bersama tadi

5. Lingkaran yang dibuat tadi ditandai dengan nama-nama himpunan6. Selanjutnya lengkapilah anggota himpunan yang tertulis didalam6. Selanjutnya lengkapilah anggota himpunan yang tertulis didalam

lingkaran sesuai dengan daftar anggota himpunan itu7. Buatlah segiempat yang memuat lingkaran-lingkaran itu, dimana

segiempat ini menyatakan himpunan semestanya dan lengkapilahsegiempat ini menyatakan himpunan semestanya dan lengkapilah anggotanya apabila belum lengkap

Contoh:Diketahui: S = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 }eta u S { 0, , ,3, ,5,6, ,8,9, 0, , , 3, }

A = { 1,2,3,4,5,6 } B = { 2,4,6,8,10 } C = { 3,6,9,12 }Gambarlah diagram Venn untuk menyatakan himpunan di atas

Jawab:

AS

6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A,B,C

0

31

59

12

7 3 dan 6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A dan C

62 4

8 10

12

C 142,4, 6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A dan B

8 10B1113

Contoh 2:

Dari 32 siswa terdapat 21 orang gemar melukis, 16 orang gemar menari dan 10 orang gemar keduanya.a. Ada berapa orang siswa yang hanya gemar melukis?b. Ada berapa orang siswa yang hanya gemar menari?b da be apa o a g s s a ya g a ya ge a e ac. Ada berapa orang siswa yang tidak gemar keduanya?Jawab:

N(S) 32 Mi l A { i l ki }N(S) = 32 Misalnya : A = {siswa gemar melukis} n(A) = 21B = {siswa gemar menari} n(B) = 16

A � B = {siswa gemar keduanya} n(A � B) = 10

Perhatikan Diagram Venn berikut

a Ada 11 siswa yang hanya gemar melukis

10

A B

11 6

S a. Ada 11 siswa yang hanya gemar melukis

b. Ada 6 siswa yang hanya gemar menari

c Ada 5 siswa yang tidak gemar keduanya5

c. Ada 5 siswa yang tidak gemar keduanya

Contoh 3:

Diketahui : S = { x | 10 < x � 20, x � B }{ | , }M = { x | x > 15, x � S }N = { x | x > 12, x � S }Gambarlah diagram vennyaGambarlah diagram vennya

Jawab : S = { x | 10 < x � 20, x � B } = { 11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 }

M = { x | x > 15, x � S } = { 16,17,18,19,20}{ | , } { , , , , }N = { x | x > 12, x � S } = { 13,14,15,16,17,18,19,20}M � N = { 16,17,18,19,20 }

S

Diagram Vennya adalah sbb:

16

17

18

1920

MN

1311 13

14 1512

Contoh 4:Dari 60 siswa terdapat 20 orang suka bakso, 46 orang suka siomay dan 5 orang tidak suka keduanya.o a g t da su a edua yaa. Ada berapa orang siswa yang suka bakso dan siomay?b. Ada berapa orang siswa yang hanya suka bakso?c. Ada berapa orang siswa yang hanya suka siomay?c da be apa o a g s s a ya g a ya su a s o ay

Jawab: N(S) = 60Misalnya : A = {siswa suka bakso} n(A) = 20

B = {siswa suka siomay} n(B) = 46

(A �B)c = {tidak suka keduanya} n((A �B)c) = 5Maka A �B = {suka keduanya} n(A �B) = x

{siswa suka bakso saja} = 20 - x{siswa suka siomay saja} = 46 - x

n(S) = (20 – x)+x+(46-x)+560 = 71 - x{siswa suka siomay saja} 46 x

Perhatikan Diagram Venn berikut

S

X = 71 – 60 = 11a. Yang suka keduanya adalah x

= 11 orangb. Yang suka bakso saja adalah

xA B20 - x 46 - x

5

b. Yang suka bakso saja adalah 20-x = 20-11= 9 orang

c. Yang suka siomay saja adalah 46-x = 46-11= 35 orang

Latihan 1Dari survei terhadap 270 orang didapatkan hasil sbb : 64 suka donat, 94 suka bolu, 58 suka kacang, 26 suka donat dan bolu, 28 suka donat dan kacang, 22 k b l d k 14 k k ti j i22 suka bolu dan kacang, 14 suka ketiga jenis makanan tersebut.Berapa orang tidak suka makan semua jenisBerapa orang tidak suka makan semua jenis makanan yang disebutkan di atas ?

PenyelesaianPenyelesaianA = {orang yang suka donat}B = {orang yang suka bolu}C = {orang yang suka kacang }|A B C| = |A| + |B| + |C| – |A � B| – |A � C| –

|B � C| |A � B � C||B � C| + |A � B � C|= 64 + 94 + 58 – 26 – 28 – 22 + 14 = 154= 154

Jadi mereka yang tidak suka ketiga jenis makanan tersebut ada sebanyak 270 – 154 = 116 orang jenis sayur

PenyelesaianPenyelesaian64 suka donat,94 suka bolu58 suka kacang,

DONAT BOLU

26 suka donat & bolu,28 suka donat & kacang,22 suka bolu & kacang14 suka ketiga jenis makanan

b= 12c = 60

a = 24

14 suka ketiga jenis makanan tsb

a + b + d + e = 64b + c + e + f = 94

e = 14

d = 14 f = 8

b + c + e + f = 94d + e + f + g = 58

b + e = 26d + e = 28

g = 22

d + e = 28e + f = 22

e = 14KACANG

yang tidak suka makanan = 270-24-12-60-14-14-8-22 = 116

Latihan 2Latihan 2� Gambarkan sebuah diagram venn untukGambarkan sebuah diagram venn untuk

menunjukkan himpunan universal U dan himpunan-himpunan bagian A serta B jika :p p g jU = {1,2,3,4,5,6,7,8 } A = {2,3,5,7}{ }B = {1,3,4,7,8 } Kemudian selesaikan :(a) A – B (c) A � B (e) A � B (b) B – A (d) A U B (f) B � �

Himpunan BilanganHimpunan�Bilangan�� Himpunan bilangan yang pertama kita kenal adalahhimpunan bilangan bulat positif (himpunan bilanganasli/bilangan alam), yaitu ,1,2,3,... Notasinya adalah N.asli/bilangan alam), yaitu , , ,3,... Notasinya adalah N.

� Himpunan N tertutup terhadap operasi�operasi perkalian danpertambahan. Artinya bila kita lakukan operasi�operasitersebut pada himpunan bilangan asli maka hasilnya jugamerupakan bilangan asli. Tetapi untuk operasi penguranganp g p p p g gdan pembagian tidaklah demikian. Jadi N tidak tertutupterhadap operasi pengurangan dan pembagian. Artinya bilakita operasikan operasi tersebut terhadap himpunan bilangankita operasikan operasi tersebut terhadap himpunan bilanganasli maka akan menimbulkan himpunan bilangan baru.a – b akan menghasilkan bil asli bila a > ba : b akan menghasilkan bil asli bila a mrpk kelipatan dari b

Beberapa operasi himpunan diantaranya :Operasi Himpunan (Set Operation)Beberapa�operasi�himpunan�diantaranya�:1.Operasi�Himpunan�(Set�Operation)�

ABBA ���ABBA ���

2.3.

ABBA ���

� � �CABACBA ������ � ''' BABA ���

4.5

� BABA ��

� ''' BABA ��� � AA �''5.

6

�ABBA ���

Himpunan BilanganAdapun operasi penambahan dan perkalian padabil asli tunduk pada hukum�hukum berikut:

Himpunan�Bilangan�

1. a+b = b+a ; hukum komutasi penjumlahan1.�a b� �b a�;�hukum�komutasi�penjumlahan�2.(a+b)+c=a+(b+c); hukum�asosiasi penjumlahan�3 b b h k k t i k li3.�axb�=�bxa�;�hukum�komutasi�perkalian�4.�(a+b)xc�=�ac+bc�;�hukum�distribusi�perkalian�

K bil li k iHimpunan Bilangan• Karena bilangan asli tertutup untuk operasipengurangan dan pembagian, maka paramatematikawan menciptakan bilangan nol bilangan

Himpunan�Bilangan�

matematikawan menciptakan bilangan nol, bilanganbulat negatif dan bilangan pecahan.

• Bilangan pecahan dapat ditulis dalam bentuk desimal.Desimalnya selalu berakhir atau berulang.Desimalnya selalu berakhir atau berulang.Misal: ½ = 0,5

13/11 = 1 181818181813/11 = 1.1818181818...2/7 = 0,285714285714... (285714 berulang)

11/13 = 0 846153846153 (846153 berulang)11/13 = 0,846153846153... (846153 berulang)

Himpunan Bilangan• Gabungan bilangan bulat dan bilangan

pecahan disebut bilangan rasional. Ternyata

Himpunan�Bilangan�

pecahan disebut bilangan rasional. Ternyatabilangan rasional juga tidak mampu untukmemenuhi akan bilangan matematika. Makamemenuhi akan bilangan matematika. Makapada tahun 500 SM, Phytagorasmemperkenalkan suatu bilangan yang disebutmemperkenalkan suatu bilangan yang disebutbilangan Irrasional.Misal: = 1 4142135622Misal: = 1,414213562...

= 3,141592654...2�

e = 2,718281828...

• Bilangan riil adalah bilangan yang mungkinBilangan�riil�adalah�bilangan�yang�mungkin�bulat,�mungkin�pecahan�dan�mungkin�irrasionalirrasional.�

Sk Hi BilSkema�Himpunan�BilanganBilangan�Kompleks

Bilangan�Nyata�(Riil) Bilangan�Khayal

Bilangan�Irrasional Bilangan�Rasional

Bilangan Bulat Bilangan PecahanBilangan�Bulat Bilangan�Pecahan

Positif Nol Negatif

Pangkat Akar danPangkat, Akar dan LogaritmaLogaritma

• PangkatK id h k t bil– Kaidah�pemangkatan�bilangan

– Kaidah�perkalian�bilangan�berpangkatKaidah pembagian bilangan berpangkat– Kaidah�pembagian�bilangan�berpangkat

• AkarKaidah pengakaran bilangan– Kaidah�pengakaran�bilangan

– Kaidah�penjumlahan�bilangan�terakar– Kaidah perkalian bilangan terakar– Kaidah�perkalian�bilangan�terakar– Kaidah�pembagian�bilangan�terakar

• LogaritmaLogaritma� Basis�Logaritma� Kaidah�kaidah LogaritmaKaidah kaidah�Logaritma� Penyelesaian�Persamaan�dengan�Logaritma

P k t

• Pangkat dari sebuah bilangan ialah suatu

Pangkat

Pangkat�dari�sebuah�bilangan�ialah�suatu�indeks�yang�menunjukkan�banyaknya�perkalian bilangan yang sama secaraperkalian�bilangan�yang�sama�secara�berurutan.

• Notasi xa : bahwa x harus dikalikan dengan x• Notasi�xa�:�bahwa�x�harus�dikalikan�dengan�x�itu�sendiri�secara�berturut�turut�sebanyak�a�kalikali.

Kaidah�Pemangkatan�Bilangan

aaxx ���

�

�

6.)0(1.1 0ayx

yxxx ����

����

���

�dimana8003

7..2 1

bcax

abba

acxx

xxxxb

���

��

1.4

dimana8.00.3

aax

acxx

��

5 b aba

a

Xx

x

�.5 Xx

Kaidah�perkalian�bilangan�berpangkat

�� �baba xxx7293333:contoh 64242 ���� �

��� aaa xyyx22515)53(53:contoh 2222 �����

Kaidah�pembagian�bilangan�berpangkat

: � �baba xxx

91333:3:contoh

:

24242 ���

�

��

xxx

9

��a

: ���

����

��aa

yxyx

259

535:3:contoh

222 ��

��

����

AkAkar

• Akar merupakan bentuk lain untuk menyatakanAkar�merupakan�bentuk�lain�untuk�menyatakan�bilangan�berpangkat.�

• Akar�dari�sebuah�bilangan�ialah�basis�(x)�yang�g ( ) y gmemenuhi�bilangan�tersebut�berkenaan�dengan�pangkat�akarnya�(a).

• Bentuk�umum�:

mxxm aa �� jika

Kaidah�pengakaran�bilangan

bb11

a

bb xx �.1

bb

bb a xx �

3

.2

b

bb

xx

yxxy ��.3

b

b

byx

yx�.4

yy

Kaidah�penjumlahan�(pengurangan)�bilangan�terakar

• Bilangan�bilangan�terakar�hanya�dapat�ditambahkan�atau�dikurangkan�apabila�akar�akarnya sejenisakarnya�sejenis.

b ab ab a xnmxnxm )( ���

Kaidah�perkalian�bilangan�terakar

bildil k kdhP k libilbilkalihasildariakaradalaherakarbilangan t-bilangankaliHasil

sama.berpangkatakarnya-akarapabiladilakukandapathanyaPerkaliana.bilanganny-bilangan

bbb xyyx ��

kalihasilialahakarnyabaru-pangkatan;bersangkutbilangandaribarupangkatakaradalahbilangansebuahdarigandaAkar

bc ac ab xx �

.sebelumnyaakar-akardaripangkat

Kaidah�pembagian�bilangan�terakar

� Hasil bagi bilangan�� Hasil�bagi�bilanganbilangan�terakar�adalah�akar�dari�hasil�bagi� bbilangan�bilangannya.�Pembagian�hanya�dapat�dil k k bil k b

b xx�dilakukan�apabila�akar�

akarnya�berpangkat�sama

bb yy

�sama. yy

Logaritma

Logaritma pada hakekatnya merupakan kebalikan dari k t d / t kproses pemangkatan dan/atau pengakaran.

amxmmx xaa ��� log

LogaritmaBentukakarBentukpangkatBentuk

amxmmx ��� log

Suku-suku pada ruas kanan menunjukkan bilangan yang dicari atau hendak dihitung pada masing-masing bentuk

Basis�Logaritma

• Logaritma dapat dihitung untuk basis berapapun.

g

Logaritma�dapat�dihitung�untuk�basis�berapapun.• Biasanya�berupa�bilangan�positif�dan�tidak�sama�

dengan�satu.g• Basis�logaritma�yang�paling�lazim�dipakai�adalah�10�

(common�logarithm)/(logaritma�briggs)g g gg• logm berarti�10 log�m,�log�24 berarti�10 log�24• Logaritma�berbasis�bilangan�e�(2,72)�disebut�bilangan�g g ( , ) g

logaritma�alam�(natural�logarithm)�atau�logaritma�Napier

• ln�m berarti�elogm

Kaidah�kaidah�Logaritma

nmmnx xxxx � logloglog61log1

nmmnmmnx

xxxx ���

���

logloglog7.01log.2

logloglog.61log.1

xmax

nmn

mxax ��� 1loglog8.log.3

logloglog7.01log.2

xnmmamx

nmxxax ����

l51logloglog9.loglog.4

mmx x �log.5

Penyelesaian�Persamaan�dengan�Logaritma

• Logaritma dapat digunakan untuk mencariLogaritma�dapat�digunakan�untuk�mencari�bilangan�yang�belum�diketahui�(bilangan�anu)�dalam�sebuah�persamaan,�khususnya�persamaan�eksponensial�dan�persamaan�logaritmik.�

• Persamaan�logaritmik�ialah�persamaan�yang�bilangan�anunya�berupa�bilangan�logaritma,�

b i hsebagai�contoh�:�log�(3x�+�298)�=�3

Latihan

• Dengan melogaritmakan kedua ruas hitunglahDengan�melogaritmakan�kedua�ruas,�hitunglah�x�untuk�3x+1 =�27

• Selesaikan x untuk log (3x + 298) =3• Selesaikan�x�untuk�log�(3x�+�298)�=3

Terima KasihTerima KasihViciwati, STL, MSi.