1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Sebagian besar penelitian-penelitian bidang statistika berhubungan dengan

pengujian asumsi distribusi, baik secara teori maupun praktik di lapangan. Salah

satu uji yang sering digunakan dalam pengujian asumsi distribusi, yaitu uji

goodness-of-fit. Uji goodness-of-fit merupakan uji yang digunakan untuk

mengetahui distribusi dari suatu data empiris. Dengan kata lain, uji ini digunakan

untuk menguji hipotesis bahwa suatu sampel yang diperoleh dari populasi

memiliki fungsi distribusi tertentu.

Ada berbagai macam metode yang dapat dilakukan dalam pengujian

goodness-of-fit. Salah satu metode yang digunakan untuk melakukan uji

goodness-of-fit adalah uji fungsi distribusi empiris. Metode pengujian ini

berdasarkan pada perbedaan atau selisih antara fungsi distribusi empiris nF dan

distribusi nol 0F . Uji fungsi distribusi empiris yang populer, yaitu uji

Kolmogorov-Smirnov, uji Cramer-von Mises, dan uji Anderson-Darling.

Selanjutnya uji Shapiro-Wilk, uji Cramer-von Mises, dan uji Anderson-Darling

disebut sebagai metode klasik.

Pengujian goodness-of-fit dengan metode klasik umumnya menggunakan

fungsi distribusi kumulatif empiris dalam perhitungan statistik uji. Berbeda

dengan metode klasik, penelitian ini mempelajari beberapa uji goodness-of-fit

berdasarkan pada perbedaan atau ketidaksesuaian antara sampel pengamatan

dengan sampel prediksi yang berasal dari distribusi posterior prediktif (metode

Bayesian). Metode Bayesian mampu menaksir suatu model, khususnya

menyelesaikan permasalahan apabila informasi statistik tidak dapat diperoleh

dengan mudah. Selanjutnya, penelitian ini berfokus pada uji normalitas yang

merupakan asumsi penting dalam sebagian besar metode statistika.

2

1.2. Rumusan Masalah

Permasalahan dalam penelitian ini adalah:

1. Bagaimana memperoleh uji goodness-of-fit untuk uji normalitas berdasarkan

pada perbedaan sampel pengamatan dan sampel prediksi yang didapatkan

dari distribusi posterior prediktif?

2. Bagaimana perbandingan uji goodness-of-fit berdasarkan metode Bayesian

terhadap uji-uji metode klasik, khususnya dalam pengujian normalitas?

1.3. Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah untuk:

1. Memperoleh beberapa uji goodness-of-fit untuk uji normalitas berdasarkan

pada perbedaan sampel pengamatan dan sampel prediksi yang didapatkan dari

distribusi posterior prediktif.

2. Mengetahui power dari uji goodness-of-fit berdasarkan metode Bayesian

tersebut.

1.4. Manfaat Penelitian

Manfaat dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Secara umum dengan adanya penelitian ini diharapkan dapat memperluas

wawasan pengetahuan, memberikan sumbangan terhadap perkembangan

ilmu, dan memperkaya literatur dalam bidang matematika terutama bidang

statistika mengenai uji goodness-of-fit untuk uji normalitas.

2. Secara khusus dapat memberikan gambaran tentang uji goodness-of-fit untuk

uji normalitas melalui pendekatan Bayesian, serta kekuatan uji dari uji

tersebut.

1.5. Tinjauan Pustaka

Diketahui 1 2, ,..., nX X X merupakan sampel yang saling bebas dan identik

dari suatu fungsi distribusi kumulatif kontinu, 1F X P X x . Hipotesis

pengujian pada uji goodness-of-fit adalah sebagai berikut:

3

0 0:H F X F X untuk semua ,x

dengan hipotesis tandingan

1 0:H F X F X untuk semua ,x

dimana 0F x merupakan suatu fungsi distribusi kumulatif yang diujikan. Ada

dua kasus pada pengujian hipotesis tersebut. Kasus pertama, fungsi distribusi dari

0F x diketahui. Sedangkan kasus kedua, fungsi distribusi dari 0F x memiliki

beberapa parameter yang tidak diketahui (He dan Xu, 2012).

Uji goodness-of-fit untuk normalitas telah diusulkan dengan berbagai

macam cara. Salah satu cara yang telah diusulkan adalah pengujian fungsi

distribusi empiris. Untuk mengetahui tentang pengujian fungsi distribusi empiris

secara lengkap dapat dilihat pada DasGupta (2008). Referensi lain mengenai uji

goodness-of-fit dengan pengujian fungsi distribusi empiris dapat dilihat pada

Massey (1951) yang membahas tentang uji Kolmogorov-Smirnov, Anderson dan

Darling (1954) yang membahas tentang uji Anderson-Darling untuk goodness-of-

fit, serta Stephen (1974) yang membahas perbandingan statistik fungsi distribusi

empiris untuk uji goodness-of-fit. Selanjutnya, Susanti (2000) membahas tentang

beberapa metode uji normalitas serta penyelesaian asimtotik yang memberikan

kesan bahwa metode estimasi likelihood lokal dapat memberikan suatu estimasi

model yang mendekati model sebenarnya. Hukunala (2010) menunjukkan bahwa

masalah pada uji normalitas dari model regresi linear dapat diturunkan dengan uji

rasio likelihood empiris.

Penggunaan uji goodness-of-fit berdasarkan fungsi distribusi kumulatif

empiris sering dilakukan, baik secara teori maupun praktik. Guttman (1967)

mengusulkan pendekatan baru untuk uji goodness-of-fit dengan menggabungkan

metode Bayesian dan sampling. Metode Bayesian digunakan dalam penentuan

distribusi posterior prediktif. Sebagai contoh dapat dilihat pada Gelman, et al

(2004). Distribusi ini juga digunakan oleh Meng (1994) dan Gelman, et al (1996)

untuk permasalahan yang sama.

4

Diketahui F memiliki fungsi peluang | ,f y dengan

merupakan ruang parameter. Misalkan 1 2, ,..., nx x x x merupakan sampel

pengamatan. Distribusi prior dan posterior masing-masing dinotasikan dengan

dan | x . Meng (1994) mendefinisikan distribusi posterior prediktif

sebagai berikut:

| | | .h y x f y x d

Untuk pengujian goodness-of-fit, Guttman (1967) mengusulkan statistik

uji “chi-square like” yakni

2

2

1

,k

i i

i i

f eX

e

yang digunakan untuk mengukur perbedaan antara frekuensi pengamatan dan

prediksinya yang diperoleh melalui distribusi posterior prediktif. Hal yang

berbeda dari usul Guttman akan dibahas pada penelitian ini, yaitu uji goodness-of-

fit berdasarkan perbedaan antara sampel pengamatan dan sampel prediksi yang

diambil dari distribusi posterior prediktif.

1.6. Metode Penelitian

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur. Dalam

mempelajari uji goodness-of-fit untuk normalitas berdasarkan pada distribusi

posterior prediktif digunakan referensi dari jurnal A Goodness-of-Fit Testing

Approach for Normality Based on the Posterior Predictive Distribution (He dan

Xu, 2013). Langkah awal dalam penelitian ini adalah memilih distribusi prior

sebagai distribusi dari sampel pengamatan dan memperoleh distribusi posterior

yang bersesuaian. Selanjutnya, dengan melakukan beberapa perhitungan akan

diperoleh distribusi posterior prediktif. Kemudian sampel-sampel prediksi yang

saling bebas dan identik diperoleh berdasarkan distribusi posterior prediktif

tersebut. Lalu, menentukan perbedaan antara sampel pengamatan dan sampel

5

prediksi tersebut. Selanjutnya dengan menggunakan pendekatan ekspektasi

bersyarat diperoleh suatu statistik uji. Langkah terakhir adalah melakukan

perbandingan statistik uji yang telah diperoleh dengan statistik-statistik uji lain

khususnya untuk uji normalitas.

1.7. Sistematika Penulisan

Tesis ini disusun dengan sistematika penulisan sebagai berikut :

BAB I PENDAHULUAN

Bab ini berisi Latar Belakang dan Permasalahan, Tujuan dan Manfaat

Penelitian, Tinjauan Pustaka, Metodologi penelitian dan Sistematika

Penulisan.

BAB II LANDASAN TEORI

Bab ini membahas tentang teori dasar yang menunjang pembahasan

tentang uji goodness-of-fit untuk uji normalitas dengan pendekatan

Bayesian.

BAB III PEMBAHASAN

Bab ini membahas penjelasan mengenai uji goodness-of-fit untuk uji

normalitas berdasarkan pada perbedaan sampel pengamatan dan sampel

prediksi yang didapatkan dari distribusi posterior prediktif.

BAB IV SIMULASI DATA

Bab ini membahas perbandingan antara statistik uji yang telah diperoleh

dari metode Bayesian dengan statistik uji metode klasik, khususnya untuk

uji normalitas.

BAB V PENUTUP

Bab ini berisi tentang kesimpulan yang diperoleh dari hasil pembahasan

serta saran sebagai akibat dari kekurangan atau kelebihan dari hasil

penelitian yang dilakukan.