Kelompok 131 . A di t y a D he by A y u k

( 2 9 2 0 11 3 7 2 )2 . Y u l i a n t o D wi N ( 2 9 20 1 1 38 1 )

3 . L e n i P us pi t o S a r i ( 29 2 0 11 3 8 3)

Logika Matematika

Pengertian Logika Matematika• Logika Matematika atau Logika Simbol  ialah

logika  yang menggunakan bahasa Matematika, yaitu dengan menggunakan lambang-lambang atau simbol- simbol.

Pernyataan dalam Logika K a l i m a t   a d a l a h r a n g k a i a n k a t a y a n g d i s u s u n m e n u r u t a t u r a n ba h a s a y a n g

m e n g a n d u n g a r t i . P e r n y a t a a n   a d a l a h k a l i m a t y a n g m e m p u n y a i n i l a i b e n a r a t a u s a l a h , t e t a p i t i d a k s e k a l ig u s b e n a r d a n s a l a h ( p e r n y a t a a n d is e b u t j u g a

p r e p o s is i , k a l i m a t d e k l a r a t i f ) .

K a l i m a t   a d a l a h r a n g k a ia n k a t a y a n g d i s u s u n m e n u r u t a t u r a n b a h a s a y a n g m e n g a n d u n g a r t i . P e r n y a t a a n   a d a l a h k a l i m a t y a n g m e m p u n y a i n i l a i b e n a r a t a u

s a l a h , t e t a p i t id a k s e k a l i g u s b e n a r d a n s a l a h ( p e r n y a t a a n d is e b u t j u g a p r e p o s i s i , k a l i m a t d e k l a r a t i f ) .

P e r n y a t a a n a d a l a h k a l i m a t y a n g m e m p u n y a i n i l a i b e n a r a t a u s a l a h , t e t a p i t i d a k s e k a l ig u s b e n a r d a n s a l a h . ( p e r n y a t a a n d i s e b u t j u g a p r e p o s i s i , k a l im a t

d e k l a r a t i f ) . B e n a r d ia r t ik a n a d a k e s e s u a i a n a n t a r a a p a y a n g d in y a t a k a n d e n g a n k e a d a a n y a n g s e b e n a r n y a .

P e r n y a t a a n a d a l a h k a l i m a t y a n g m e m p u n y a i n i l a i b e n a r a t a u s a l a h , t e t a p i t i d a k s e k a l ig u s b e n a r d a n s a l a h . ( p e r n y a t a a n d is e b u t j u g a pr e p o s is i , k a l i m a t

d e k l a r a t i f ) . B e n a r d i a r t i k a n a d a k e s e s u a i a n a n t a r a a p a y a n g d i n y a t a k a n d e n g a n k e a d a a n y a n g s e b e n a r n y a .

Kalimat Terbuka adalah kalimat yang belum tentu bernilai benar atau salah. Kalimat terbuka biasanya ditandai dengan adanya variabel (peubah). Jika variabelnya diganti dengan konstanta dalam semesta yang sesuai maka kalimat itu akan menjadi sebuah

pernyataan.

Variabel (Peubah) adalah lambang yang menunjukkan anggota yang belum tentu dalam semesta pembicaraan, sedangkan konstanta adalah lambang yang

menunjukkan anggota tertentu dalam semesta pembicaraan. Pengganti variabel yang menyebabkan kalimat terbuka menjadi pernyataan yang bernilai

benar, disebut selesaian atau penyelesaian.

Pernyataan MajemukGabungan dari beberapa pernyataan tunggal yang di hubungkan dengan kata

hubung Gabungan dari beberapa pernyataan tunggal yang di hubungkan dengan kata

hubung

Operasi-operasi yang akan kita temui berupa kata sambung logika (conective logic):

Operasi-operasi yang akan kita temui berupa kata sambung logika (conective logic):

Merupakan lambang operasi untuk negasiMerupakan lambang operasi untuk negasi

Merupakan lambang operasi untuk konjungsiMerupakan lambang operasi untuk konjungsi

Merupakan lambang operasi untuk disjungsiMerupakan lambang operasi untuk disjungsi

Merupakan lambang operasi untuk implikasiMerupakan lambang operasi untuk implikasi

Merupakan lambang operasi untuk biimplikasiMerupakan lambang operasi untuk biimplikasi

Kata Hubungan KalimatA. Ingkaran atau Negasi Ingkaran/Negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan lain yang diperoleh dengan menambahkan kata ”tidak” atau menyisipkan kata ”bukan” pada pernyataan semula. Ingkaran dari suatu pernyataan p disajikan dengan lambang atau –p atau ~p, dan dibaca: ”tidak p”. Bila peryataan p bernilai benar, maka ingkarannya bernilai salah dan sebaliknya. Dengan tabel kebenaran

A. Ingkaran atau Negasi Ingkaran/Negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan lain yang diperoleh dengan menambahkan kata ”tidak” atau menyisipkan kata ”bukan” pada pernyataan semula. Ingkaran dari suatu pernyataan p disajikan dengan lambang atau –p atau ~p, dan dibaca: ”tidak p”. Bila peryataan p bernilai benar, maka ingkarannya bernilai salah dan sebaliknya. Dengan tabel kebenaran

P ~P

B S

S B

contoh: p : Kucing makan ikan. ~p : Kucing tidak makan ikan. ~p : Tidak benar bahwa kucing makan ikan.

contoh: p : Kucing makan ikan. ~p : Kucing tidak makan ikan. ~p : Tidak benar bahwa kucing makan ikan.

B.     Konjungsi ( )Konjungsi dua pernyataan p dan q bernilai benar hanya jika kedua pernyataan komponennya bernilai benar. Dan jika salah satu atau kedua pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah. Dengan tabel kebenaran

B.     Konjungsi ( )Konjungsi dua pernyataan p dan q bernilai benar hanya jika kedua pernyataan komponennya bernilai benar. Dan jika salah satu atau kedua pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah. Dengan tabel kebenaran

Contoh:  p : Ibu memasak sosis. q : Ibu mencuci piring.  p^q: Ibu memasak sosis dan mencuci piring.

Contoh:  p : Ibu memasak sosis. q : Ibu mencuci piring.  p^q: Ibu memasak sosis dan mencuci piring.

P Q P^Q

S S S

S B S

B S S

B B S

C.    Disjungsi/ Alternasi ( )Disjungsi dari dua buah pernyataan p dan q bernilai benar asal salah satu atau kedua pernyataan komponennya benar. Dan jika kedua pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah. (Disjungsi seperti ini disebut disjungsi inklusif). Dengan tabel kebenaran

C.    Disjungsi/ Alternasi ( )Disjungsi dari dua buah pernyataan p dan q bernilai benar asal salah satu atau kedua pernyataan komponennya benar. Dan jika kedua pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah. (Disjungsi seperti ini disebut disjungsi inklusif). Dengan tabel kebenaran

P Q P V Q

B  B  B

B  S  B 

S  S  B 

S B S

Disjungsi InklusifDisjungsi Inklusif Disjungsi EklusifDisjungsi Eklusif

P Q P V Q

B  B  S 

B  S  B 

S  S  B 

S B S

D.    Implikasi ( )Bernilai benar jika konsekuennya bernilai benar atau anteseden dan konsekuen kedua-duanya salah, dan bernilai salah jika antesedennya bernilai benar, sedangkan konsekuennya salah. Dengan tabel kebenaran

D.    Implikasi ( )Bernilai benar jika konsekuennya bernilai benar atau anteseden dan konsekuen kedua-duanya salah, dan bernilai salah jika antesedennya bernilai benar, sedangkan konsekuennya salah. Dengan tabel kebenaran

P Q P → Q

B B B 

B S S 

S B B 

S  S  B

E.     Biimplikasi atau Bikondisional ( )Biimplikasi bernilai benar apabila anteseden dan konsekuen kedua-duanya bernilai benar atau kedua-duanya bernilai salah. Jika tidak demikian maka biimplikasi bernilai salah. Dengan tabel kebenaran

E.     Biimplikasi atau Bikondisional ( )Biimplikasi bernilai benar apabila anteseden dan konsekuen kedua-duanya bernilai benar atau kedua-duanya bernilai salah. Jika tidak demikian maka biimplikasi bernilai salah. Dengan tabel kebenaran

P Q P ↔Q

B B B 

B S S 

S B S

S  S  B

F.     Konvers, Invers, dan KontraposisiDari sebuah implikasi dapat diturunkan pernyataan yang disebut konvers, invers dan kontraposisi dari implikasi tersebut.“Konvers dari implikasi p → q adalah q → p”“Invers dari implikasi p → q adalah ~p → ~q”“Kontraposisi dari implikasi p → q adalah ~q → ~p”

F.     Konvers, Invers, dan KontraposisiDari sebuah implikasi dapat diturunkan pernyataan yang disebut konvers, invers dan kontraposisi dari implikasi tersebut.“Konvers dari implikasi p → q adalah q → p”“Invers dari implikasi p → q adalah ~p → ~q”“Kontraposisi dari implikasi p → q adalah ~q → ~p”

PernyataanNegasi

PernyataanImplika

siKonver

s__Inver

s__Kontrapositif

p Q ~p ~q p → q q → p~p → ~q

~q → ~p

B B S S B B B BB S S B S B B SS B B S B S S BS S B B B B B B

4. Tautologi, Ekivalen dan Kontradiksi4. Tautologi, Ekivalen dan Kontradiksi

A. TautologiPerhatikan bahwa beberapa pernyataan  selalu bernilai benar. Contoh pernyataan: “Junus masih bujang atau Junus bukan bujang” akan selalu bernilai benar tidak bergantung pada apakah junus benar-benar masih bujang atau bukan bujang. Jika p : junus masih bujang, dan ~p : junus bukan bujang, maka pernyataan diatas berbentuk p   ~p. (coba periksa nilai kebenarannya dengan ∨

menggunakan tabel kebenaran). Setiap pernyataan yang bernilai benar, untuk setiap nilai kebenaran komponen-komponennya, disebut tautologi.   

A. TautologiPerhatikan bahwa beberapa pernyataan  selalu bernilai benar. Contoh pernyataan: “Junus masih bujang atau Junus bukan bujang” akan selalu bernilai benar tidak bergantung pada apakah junus benar-benar masih bujang atau bukan bujang. Jika p : junus masih bujang, dan ~p : junus bukan bujang, maka pernyataan diatas berbentuk p   ~p. (coba periksa nilai kebenarannya dengan ∨

menggunakan tabel kebenaran). Setiap pernyataan yang bernilai benar, untuk setiap nilai kebenaran komponen-komponennya, disebut tautologi.   

Dua buah pernyataan dikatakan ekivalen

(berekivalensi logis) jika kedua pernyataan itu

mempunyai nilai kebenaran yang sama.

Dua buah pernyataan dikatakan ekivalen

(berekivalensi logis) jika kedua pernyataan itu

mempunyai nilai kebenaran yang sama.

B.  EkivalenB.  Ekivalen

C. kontradiksiC. kontradiksi

Setiap pernyataan yang selalu bernilai salah,

untuk setiap nilai kebenaran dari komponen-

komponen disebut kontradiksi. Karena

kontradiksi selalu bernilai salah, maka

kontradiksi merupakan ingkaran dari tautologi

dan sebaliknya.

Setiap pernyataan yang selalu bernilai salah,

untuk setiap nilai kebenaran dari komponen-

komponen disebut kontradiksi. Karena

kontradiksi selalu bernilai salah, maka

kontradiksi merupakan ingkaran dari tautologi

dan sebaliknya.

5. KUANTOR5. KUANTOR

A.  Fungsi Pernyataan

Suatu fungsi pernyataan adalah suatu kalimat terbuka di dalam semesta

pembicaraan (semesta pembicaraan diberikan secara eksplisit atau

implisit).

Fungsi pernyataan merupakan suatu kalimat terbuka yang ditulis

sebagai p(x) yang bersifat bahwa p(a) bernilai benar atau salah (tidak

keduanya) untuk setiap a (a adalah anggota dari semesta pembicaraan).

Ingat bahwa p(a) suatu pernyataan

A.  Fungsi Pernyataan

Suatu fungsi pernyataan adalah suatu kalimat terbuka di dalam semesta

pembicaraan (semesta pembicaraan diberikan secara eksplisit atau

implisit).

Fungsi pernyataan merupakan suatu kalimat terbuka yang ditulis

sebagai p(x) yang bersifat bahwa p(a) bernilai benar atau salah (tidak

keduanya) untuk setiap a (a adalah anggota dari semesta pembicaraan).

Ingat bahwa p(a) suatu pernyataan

B.  Kuantor Umum (Kuantor Universal)B.  Kuantor Umum (Kuantor Universal)

Simbol " yang dibaca “untuk semua” atau “untuk setiap” disebut

kuantor umum. Jika p(x) adalah fungsi proposisi pada suatu

himpunan A (himpunan A adalah semesta pembicaraannya)

maka ("x Î A) p(x) atau "x, p(x) atau "x p(x) adalah suatu

pernyataan yang dapat dibaca sebagai “Untuk setiap x elemen

A, p(x) merupakan pernyataan “Untuk semua x, berlaku p(x)”.

Simbol " yang dibaca “untuk semua” atau “untuk setiap” disebut

kuantor umum. Jika p(x) adalah fungsi proposisi pada suatu

himpunan A (himpunan A adalah semesta pembicaraannya)

maka ("x Î A) p(x) atau "x, p(x) atau "x p(x) adalah suatu

pernyataan yang dapat dibaca sebagai “Untuk setiap x elemen

A, p(x) merupakan pernyataan “Untuk semua x, berlaku p(x)”.

C.  Kuantor Khusus (Kuantor Eksistensial)C.  Kuantor Khusus (Kuantor Eksistensial)

Simbol $ dibaca “ada” atau “untuk beberapa” atau “untuk paling sedikit

satu” disebut kuantor khusus. Jika p(x) adalah fungsi pernyataan pada

himpunana tertentu A (himpunana A adalah semesta pembicaraan)

maka ($x Î A) p(x) atau $x! p(x) atau $x p(x) adalah suatu pernyataan

yang dibaca “Ada x elemen A, sedemikian hingga p(x) merupakan

pernyataan” atau “Untuk beberapa x, p(x)”. ada yang menggunakan

simbol $! Untuk menyatakan “Ada hanya satu”.

Simbol $ dibaca “ada” atau “untuk beberapa” atau “untuk paling sedikit

satu” disebut kuantor khusus. Jika p(x) adalah fungsi pernyataan pada

himpunana tertentu A (himpunana A adalah semesta pembicaraan)

maka ($x Î A) p(x) atau $x! p(x) atau $x p(x) adalah suatu pernyataan

yang dibaca “Ada x elemen A, sedemikian hingga p(x) merupakan

pernyataan” atau “Untuk beberapa x, p(x)”. ada yang menggunakan

simbol $! Untuk menyatakan “Ada hanya satu”.

D.  Negasi Suatu Pernyatan yang Mengandung KuantorD.  Negasi Suatu Pernyatan yang Mengandung Kuantor

Jika p(x) adalah manusia tidak kekal atau x tidak kekal, maka “Semua manusia adalah tidak kekal” atau "x p(x) bernilai benar, dan “Beberapa manusia kekal” atau $x ~ p(x) bernilai salah. Pernyataan di atas dapat dituliskan dengan simbol :           ~ ["x p(x)] º $x ~ p(x)

Jika p(x) adalah manusia tidak kekal atau x tidak kekal, maka “Semua manusia adalah tidak kekal” atau "x p(x) bernilai benar, dan “Beberapa manusia kekal” atau $x ~ p(x) bernilai salah. Pernyataan di atas dapat dituliskan dengan simbol :           ~ ["x p(x)] º $x ~ p(x)

Didefinisikan himpunan A1, A2, A3, . . ., An, suatu fungsi pernyataan yang mengandung variabel pada himpunan A1 x A2 x A3 x . . . x An  merupakan kalimat terbuka p(x1, x2, x3, . . ., xn) yang mempunyai sifat p(a1, a2, a3, . . ., an) bernilai benar atau salah (tidak keduanya) untuk (a1, a2, a3, . . ., an) anggota semesta A1 x A2 x A3 x . . . x An.

Didefinisikan himpunan A1, A2, A3, . . ., An, suatu fungsi pernyataan yang mengandung variabel pada himpunan A1 x A2 x A3 x . . . x An  merupakan kalimat terbuka p(x1, x2, x3, . . ., xn) yang mempunyai sifat p(a1, a2, a3, . . ., an) bernilai benar atau salah (tidak keduanya) untuk (a1, a2, a3, . . ., an) anggota semesta A1 x A2 x A3 x . . . x An.

E.  Fungsi Pernyataan yang Mengandung Lebih dari Satu Variabel

E.  Fungsi Pernyataan yang Mengandung Lebih dari Satu Variabel

6. VALIDITAS PEMBUKTIAN6. VALIDITAS PEMBUKTIAN

A.  Premis dan ArgumenA.  Premis dan Argumen

Pernyataan-pernyataan yang digunakan untuk menarik suatu kesimpulan disebut premis, sehingga suatu premis dapat berupa aksioma, hipotesa, definisi atau pernyataan yang sudah dibuktikan sebelumnya.Sedang yang dimaksud dengan argumen adalah kumpulan kalimat yang terdiri atas satu atau lebih premis yang mengandung bukti-bukti (evidence) dan suatu (satu) konklusi. Konklusi ini selayaknya (supposed to) diturunkan dari premis-premis.

Pernyataan-pernyataan yang digunakan untuk menarik suatu kesimpulan disebut premis, sehingga suatu premis dapat berupa aksioma, hipotesa, definisi atau pernyataan yang sudah dibuktikan sebelumnya.Sedang yang dimaksud dengan argumen adalah kumpulan kalimat yang terdiri atas satu atau lebih premis yang mengandung bukti-bukti (evidence) dan suatu (satu) konklusi. Konklusi ini selayaknya (supposed to) diturunkan dari premis-premis.

B.  Validitas Pembuktian (I)B.  Validitas Pembuktian (I)

1. Modus Ponen                        Premis 1          : p Þ q                        Premis 2          : p                        Konklusi          : q2. Modus Tolen :                        Premis 1          : p Þ q                        Premis 2          : ~ q                        Konklusi          : ~ p                3. Silogisma :                        Premis 1          : p Þ q                        Premis 2          : q Þ r                        Konklusi          : p Þ r

1. Modus Ponen                        Premis 1          : p Þ q                        Premis 2          : p                        Konklusi          : q2. Modus Tolen :                        Premis 1          : p Þ q                        Premis 2          : ~ q                        Konklusi          : ~ p                3. Silogisma :                        Premis 1          : p Þ q                        Premis 2          : q Þ r                        Konklusi          : p Þ r

LANJUTAN…

4. Silogisma Disjungtif                        Premis 1          : p Ú q                        Premis 2          : ~ q                        Konklusi          : p 5. Konjungsi                        Premis 1          : p                        Premis 2          : q                        Konklusi          : p Ù q                        Artinya : p benar, q benar. Maka p Ù q benar.

4. Silogisma Disjungtif                        Premis 1          : p Ú q                        Premis 2          : ~ q                        Konklusi          : p 5. Konjungsi                        Premis 1          : p                        Premis 2          : q                        Konklusi          : p Ù q                        Artinya : p benar, q benar. Maka p Ù q benar.

LANJUTAN…

6. Tambahan (Addition)                        Premis 1          : p                        Konklusi          : p Ú q                        Artinya : p benar, maka p Ú q benar (tidak peduli nilai benar atau nilai salah yang dimiliki q).7. Dilema Konstruktif :                        Premis 1          : (p Þ q) Ù (r Þ s)                        Premis 2          : ~ q Ú ~ s                        Konklusi          : ~ p Ú ~ r 

Pembuktian-pembuktian yang telah kita bicarakan di atas, merupakan pembuktian yang langsung. Berdasarkan pemikiran ini, jika premis-premis dalam suatu argumen yang valid membawa ke konklusi yang bernilai salah, maka paling sedikit ada satu premis yang bernilai salah.Cara pembuktian ini disebut pembuktian tidak langsung atau pembuktian dengan kontradiksi atau reductio ad absurdum. Ringkasannya, kita dapat membuktikan bahwa suatu pernyataan bernilai benar, dengan menunjukkan bahwa negasi dari pernyataan itu salah. Ini dilakukan dengan menurunkan konklusi yang salah dari argumen yang terdiri dari negasi pernyataan itu dan pernyataan atau pernyataan-pernyataan lain yang telah diterima kebenarannya. 

C. Pembuktian Tidak LangsungC. Pembuktian Tidak Langsung

Sumber • http://www.academia.edu/4001783/Materi_Logika_Mate

matika_-_Pernyataan_Berkuantor_dan_Penarikan_Kesimpulan

• http://www.academia.edu/4955775/Makalah_logika_matematika

• http://www.academia.edu/4955775/Makalah_logika_matematika

• http://hernakuncoro.blogspot.com/2009/03/logika-matematika.html

• http://blajar-pintar.blogspot.com/2013/02/pernyataan-majemuk-konjungsi-disjungsi.html

• http://smartblogmathematic.wordpress.com/invers-konvers-dan-kontraposisi/