Tugas Kimia Kuantum

Ari Setiani

4311411018

Rombel 1

RINGKASAN [BAB 4. MOMENTUM ANGULAR]

THE QUANTUMIN CHEMISTRY:An Experimentalist’s View

Roger Grinter

School of Chemical Sciences and PharmacyUniversity of East Anglia

1

4.1 PENDAHULUAN

Dalam penerapan teori kimia kuantum, momentum sudut bisa dibilang sama pentingnya dengan

energi. Memainkan bagian penting dalam spektroskopi dan teori struktur atom. Bahkan telah

diusulkan, bahwa momentum sudut itu memainkan peran yang lebih penting daripada energi

dalam menentukan hasil dari tabrakan intermolekular. Sebelum masuk ke teori kuantum

momentum sudut, akan dijelaskan fenomena dalam istilah-istilah yang klasik.

4.2 MOMENTUM ANGULAR DALAM MEKANIKA KLASIK

Misalkan massa (m) bergerak dengan kecepatan (v) dalam jalur melingkar (radius r) (Gambar

4.1). Pada setiap saat dalam waktu perputaran tubuh diarahkan pada sudut kanan garis yang

menghubungkan tubuh ke pusat lingkaran. Menurut definisi, momentum linear (p) dari tubuh

adalah produk dari massa dan kecepatan :

p = m v (1)

dan momentum sudut (a) adalah produk vektor p dan r, :

a = r × p = rp sin θ = rm v (2)

di mana θ adalah sudut antara r dan p . Jumlah dalam huruf tebal, r , v , p dan semua besaran

vektor , yaitu mereka memiliki kedua besaran dan arah . Vektor yang terletak di pusat lingkaran

sekitar yang berputar dan massa m, karena itu adalah produk vektor r dan p , arahnya adalah

pada sudut kanan terhadap bidang mengandung r dan p . Dalam rangka untuk menentukan

arah yang positif dan negatif untuk pertama kita mendefinisikan system koordinat tangan kanan

2

Gambar 1. Momentum sudut yang dihasilkan oleh massa yang mengorbit

( Gambar 1 ), yang merupakan salah satu di mana rotasi dari + x + y untuk kemajuan suatu

kidal sekrup sepanjang arah positif sumbu z.

Kemudian , jika v diarahkan dari + x + y terhadap momentum sudut yang dihasilkan

adalah positif, sedangkan jika arah gerakan adalah dari + y + xa adalah negatif . Dengan

demikian , dengan memutar roda pada poros kita baik yang dapat menghasilkan momentum

sudut positif atau negatif, tergantung pada arah rotasi . Momentum sudut sehingga dihasilkan

diwakili oleh vektor yang terletak sepanjang poros tersebut. Jika roda berputar dilihat dari + z,

searah jarum jam ( Gambar 3 ( a) ) dan

p = mv p = mv

(a) (b)

yang berlawanan arah jarum jam (Gambar 3 (b)) rotasi menghasilkan negatif (diarahkan jauh

dari pengamat) dan positif (diarahkan pengamat) momentum sudut masing-masing.

4.3 MOMENTUM ANGULAR SEBAGAI JUMLAH VEKTOR

Karena momentum angular adalah besaran vektor, maka momentum angular memiliki

komponen segala arah dalam ruang yang kita pilih untuk menentukan. Hal ini berguna untuk

dapat menentukan komponen sepanjang x, y dan z sumbu sistem koordinat Cartesian dan ini

3

Gambar 2.Dalam sistem koordinat tangan kanan, rotasi dari +X ke +Y kemajuan sekrup tangan kanan di positif Z-arah

Gambar 3.Momentum sudut yang dihasilkan oleh rotasi searah jarum jam dan berlawanan arah jarum jam

dapat dengan mudah dilakukan. Jika kita mengetahui sudut α, β dan γ antara momentum

angular vektor (a) dan x, y, dan z sumbu masing-masing, maka persamaan yang diperlukan

adalah :

ax = a cos α, ay = a cos β, az = a cos γ (3)

Momentum sudut klasik yang telah dijelaskan di atas juga disebut orbital momentum sudut

karena timbul sebagai akibat dari massa melaksanakan orbit di sekitar titik tetap.

4.4 MOMENTUM ANGULAR ORBITAL DI MEKANIKA KUANTUM

Momentum angular orbital juga ditemukan dalam mekanika kuantum, tapi kuantum dan klasik

orbital momentum sudut berbeda dalam dua aspek yang berkaitan dengan kuantisasi. Pertama,

dalam mekanika kuantum momentum sudut total quantised dengan besaran yang mungkin

diberikan oleh persamaan:

a =√d (d+1). h

2 π =√d (d+1). h (4)

di mana h adalah konstanta Planck dan d adalah bilangan kuantum yang dapat mengambil

semua nilai bilangan bulat positif, termasuk nol, yaitu d = 0 , 1 , 2 , 3 , ... Sebuah molekul

berputar bebas di angkasa memiliki momentum sudut dari jenis ini. Perhatikan bahwa jumlah

h/2π terjadi begitu sering dan sangat penting bahwa ia memiliki simbol sendiri (h ¯ ) yang

diucapkan 'h - salib '.

Apapun yang dipilih arah z dalam Persamaan (4.2), komponen quantised diperbolehkan

diberikan oleh persamaan :

az = md h/2π ≡ md h¯

dimana md adalah bilangan kuantum yang dapat mengambil semua nilai integer dari-d ke + d:

md = −d, −(d − 1), −(d − 2), . . . − 1, 0, +1, . . . + (d − 1), +d (6)

memberikan nilai-nilai 2d + 1 untuk md. Hasilnya dinyatakan dalam persamaan (4.4.1), (4.4.2)

dan (4.4.3) disimpulkan dari hubungan pergantian momentum sudut dalam kotak 4.1.

Jadi, untuk :

4

(7)

(5)

d = 0, md = 0

d = 1, md = −1, 0, +1

d = 2, md = −2, −1, 0, +1, etc.

4.5 OPERATOR MOMENTUM ANGULAR DAN ATURAN PERGANTIAN

Orbital momentum sudut (L) dari partikel tunggal tentang asal produk vektor jarak dari titik asal

(r) dan momentum linear (p):

L = r × p (B4.1.1)

Dalam Cartesian untuk mengkoordinasikan komponen L adalah::

Lx = ypz – zpy (B4.1.2a)

Ly = zpx – xpz (B4.1.2b)

Lz = xpy – ypx (B4.1.2c)

Perhatikan bagaimana komponen berturut-turut dapat diperoleh oleh siklik permutasi

dari

x → y → z → x . . .

Jika kita mengganti p oleh operator kuantum mekanik sesuai kita mendapatkan operator untuk

momentum sudut dalam satuan h/2π ≡ h¯ :

Lˆ x = −ih¯ {y∂/∂ z − z∂/∂y} (B4.1.3a)

Lˆ y = −ih¯ {z∂/∂ x − x∂/∂ z}

(B4.1.3b)

Lˆ z = −ih¯ {x∂/∂y − y∂/∂ x} (B4.1.3c)

Ketiga operator tidak bolak-balik satu sama lain, misalnya :

Lˆ x Lˆ y = −h¯ 2 {y∂/∂ z − z∂/∂y}{z∂/∂ x − x∂/∂ z}

= −h¯ 2 {y∂/∂ z[z∂/∂ x] − y∂/∂ z[x∂/∂ z] − z∂/∂y[z∂/∂ x] + z∂/∂y[x∂/∂ z]}

Istilah dalam tanda kurung siku harus dibedakan sebagai produk sehingga kita memiliki :

= −h¯ 2 {y∂/∂ x + yz∂ 2 /∂ z∂ x − yx ∂ 2 /∂ z2 − z2 ∂ 2 /∂y∂ x + zx∂ 2 /∂y∂ z}

Demikian pula :

5

Lˆ y Lˆ x = −h¯ 2 {z∂/∂ x − x∂/∂ z}{y∂/∂ z − z∂/∂y}

= −h¯ 2 {z∂/∂ x[y∂/∂ z] − z∂/∂ x[z∂/∂y] − x∂/∂ z[y∂/∂ z] + x∂/∂ z[z∂/∂y]}

= −h¯ 2 {zy∂ 2 /∂ x∂ z − z2 ∂ 2 /∂ x∂y − xy ∂ 2 /∂ z2 + x∂/∂y − xz∂ 2 /∂ z∂y}

Koordinat x, y dan z bolak-balik satu sama lain dan begitu juga operator untuk

diferensiasi parsial terhadap koordinat mereka. Oleh karena itu, yz ∂ 2 / ∂ z ∂ x = zy ∂ 2

/ ∂ x ∂ z dll, dan :

{Lˆ x Lˆ y−Lˆ y Lˆ x } = −h¯ 2 {y∂/∂ x − x∂/∂y} = −ih¯ · ih¯ {x∂/∂y − y∂/∂ x}

= ih¯ Lˆ z

Ini adalah hubungan pergantian antara operator untuk komponen Cartesian

momentum sudut. Simbol [a,b] = ab - ba, disebut komutator a dan b.

= Lˆ x Lˆ x Lˆ z − Lˆ x Lˆ z Lˆ x + Lˆ x Lˆ z Lˆ x − Lˆ z Lˆ x Lˆ x + Lˆ y Lˆ y Lˆ z − Lˆ y Lˆ z Lˆ

y + Lˆ y Lˆ z Lˆ y − Lˆ z Lˆ y Lˆ y

= Lˆ x (−ih¯ Lˆ y ) + (−ih¯ Lˆ y )Lˆ x + Lˆ y (ih¯ Lˆ x ) + (+ih¯ Lˆ x )Lˆ y = 0

Pada baris kedua di atas kita telah dikurangi dan kemudian ditambahkan L x L z L x dan L y L z

L y. Singkatnya:

[Lˆ 2 , Lˆ x ] = [Lˆ 2 , Lˆ y ] = [Lˆ 2 , Lˆ z ] = 0 (B4.1.5)

[L juga kemacetan dengan masing-masing komponen, tetapi itu adalah sederhana

untuk bekerja dengan L 2].

Dari Persamaan (B4.1.5) kita tahu bahwa ada satu set fungsi yang bersamaan

dengan fungsi eigen dari kedua Lˆ z and Lˆ 2 . Jika kita menggunakan bilangan kuantum

yang sesuai, M dan L, untuk mengkarakterisasi fungsi-fungsi yang menulis mereka

dalam bentuk |L, M, kita memiliki dua persamaan nilai eigen – fungsi eigen berikut, di

mana KL dan KM adalah nilai eigen untuk persegi total sudut momentum, dalam satuan

6

jadi: {Lˆ x Lˆ y − Lˆ y Lˆ x } ≡ [Lˆ x , Lˆ y ] =

ih¯ Lˆ z

(B4.1.4a)

demikian pula:

dan:

{Lˆ y Lˆ z − Lˆ z Lˆ y } ≡ [Lˆ y , Lˆ z ] = ih¯ Lˆ x

{Lˆ z Lˆ x − Lˆ x Lˆ z } ≡ [Lˆ z , Lˆ x ]

= ih¯ Lˆ y

(B4.1.4b)

(B4.1.4c)

h¯ ¯ 2, dan komponen z nya, dalam satuan h¯ , masing-masing:

Lˆ 2 |L, M = KL |L, M (B4.1.6)

dan

Lˆ z |L, M = KM |L, M (B4.1.7)

Mulai dari persamaan ini sekarang kita dapat menyimpulkan sifat yang paling penting

dari nilai eigen momentum angular :

dan

Dengan

demikian, fungsi |L, M juga merupakan fungsi eigen dari dan nilai eigen yang

merupakan jumlah kuadrat dari dua komponen momentum sudut positif sehingga :

KL ≥ (KM )2 (B4.1.11)

Kita sekarang dapat mendefinisikan dua operator baru, operator menaikkan dan

menurunkan, tangga atau langkah:

Lˆ + = Lˆ x + iLˆ y (B4.1.12a)

dan

Lˆ − = Lˆ x − iLˆ y (B4.1.12b)

Menggunakan aturan pergantian B4.1.4, kita dapat dengan mudah menunjukkan bahwa:

Lˆ z (Lˆ x + iLˆ y ) = (Lˆ x + iLˆ y )(Lˆ z + h¯ )

(B4.1.13a)

dan

Lˆ z (Lˆ x − iLˆ y ) = (Lˆ x − iLˆ y )(Lˆ z − h¯ )

(B4.1.13b)

Jika yang pertama dari dua urutan operasi yang diterapkan pada fungsi | L, M, maka kita

memiliki:

7

Lˆ z (Lˆ x + iLˆ y )|L, M = (Lˆ x + iLˆ y )(Lˆ z + h¯ )|L, M = (Lˆ x + iLˆ y )(KM + h¯ )|L, M

= (KM + h¯ )(Lˆ x + iLˆ y )|L, M = (KM + h¯ )Lˆ + |L, M

(B4.1.14a)

Jadi, (Lˆ x + iLˆ y )|L, M dapat dicari menggunakan fungsi eigen Lˆ z dengan nilai eigen

dari (KM + h¯ ). Sebab, Lˆ 2 diganti dengan Lˆ x and Lˆ y dan juga diganti oleh Lˆ+ dan fungsi

eigen (Lˆ x + iLˆ y )|L, M tersisa fungsi eigen dariLˆ 2 dengan nilai eigen KL. Jadi, kita tahu

bahwa (Lˆ x − iLˆ y )|L, M a dalah fungsi eigen dari Lˆ z dengan nilai eigen dari (KM − h¯ )

yang menggantikan fungsi eigen dari Lˆ 2 dengan nilai eigen KL :

Lˆ z (Lˆ x − iLˆ y )|L, M = (KM + h¯ )(Lˆ x − iLˆ y )|L, M = (KM − h¯

)Lˆ − |L, M

(B4.1.14b)

Oleh karena itu, kami memiliki serangkaian fungsi eigen Lˆ 2 and Lˆ z , semua dengan nilai

eigen KL for Lˆ 2 tetapi dengan urutan berikut nilai eigen dari Lˆ z :

. . . (KM − 3h¯ ), (KM − 2h¯ ), (KM − h¯ ), KM , (KM + h¯ ), (KM + 2h¯ ), (KM + 3h¯ )

. . .

Seri harus berhenti di kedua ujungnya karena KL ≥ (KM)2. Jadi, jika kita menunjukkan nilai

tertinggi oleh KM dan terendah oleh KM urutan lengkap :

KM . . . (KM − 2h¯ ), (KM − h¯ ), KM , (KM + h¯ ), (KM + 2h¯ ) . . . KM

(B4.1.15)

Oleh karena itu, jika fungsi eigen yang sesuai adalah |L, M and |L, M kita harus punya :

Lˆ + |L, M = 0 (B4.1.16a)

dan

Lˆ − |L, M = 0 (B4.1.16b)

Menerapkan Lˆ - untuk Persamaan (B4.1.16a) kita memiliki :

8

Jadi : KL = (KM )2 + h¯ KM

(B4.1.17a)

Dengan mengoperasikan dengan Lˆ + pada Persamaan (B4.1.16b) kita juga bisa menunjukkan

bahwa:

KL = (KM )2 − h¯ KM

(B4.1.17b)

Dalam rangka untuk memenuhi Persamaan (B4.1.17a) dan (B4.1.17b) dan harus konsisten

dengan asumsi bahwa KM < KM

kita harus memiliki KM

= −KM . Selanjutnya, urutan

(Persamaan (B4.1.15)) mensyaratkan bahwa KM lebih besar dari KM

dengan jumlah integral

unit h¯. Dengan demikian, KM harus menjadi bentuk nh- di mana n adalah bilangan bulat,

termasuk 0, atau setengah integer. Sejauh ini kita telah terpasang ada signifikansi khusus

untuk L. Oleh karena itu, KM karena hanya bergantung pada L kita dapat menetapkan n = L

dan kami memiliki:

KM = Lh¯ (B4.1.18)

Menggunakan Persamaan (B4.1.17a)

KL = (Lh¯ )2 + h¯ Lh¯

atau

KL = L(L + 1)h¯ 2 (B4.1.19)

Sekarang, nilai yang mungkin dari KM adalah:

Dan M, yang telah kita terpasang tidak penting tertentu belum, bisa digunakan untuk

mengkarakterisasi ini urutan nilai KM:

KM = M h¯ , L ≥ M ≥ −L (B4.1.21)

Jika L adalah M bilangan bulat adalah integer, jika L adalah setengah-integral demikian pula M.

Persamaan (B4.1.6) dan (B4.1.7) sekarang dapat ditulis:

9

Lˆ 2 |L, M = L(L+1)h¯ 2 |L, M (B4.1.22b)

And

Lˆ z |L, M = M h¯ |L, M (B4.1.22b)

Tugas utama dari operator ini, sebvagai pengurangan aturan pergantian untuk momentum

sudut orbital dan dari mereka Persamaan (B4.1.22a) dan (B4.1.22b), kini telah dicapai. Tapi

dalam proses kita juga 'menemukan' kesadaran dan operator menurunkan, L+ dan L- yang kita

temukan sangat berguna dalam buku ini.

Kita sekarang dalam posisi untuk memeriksa properti mereka sedikit lebih dekat. Kami

menemukan bahwa, dalam satuan h-, ketika L+ diterapkan | L, M kita mendapatkan sebuah

fungsi eigen dari L z dengan nilai eigen dari (M + 1) yang masih merupakan fungsi eigen dari L

2 dengan nilai yang sama dari bilangan kuantum L. Demikian pula, kami menemukan bahwa L -

| L, M adalah fungsi eigen dari L 2, dengan nilai yang sama L, dan L z dengan nilai eigen (M -

1).

Persamaan (B4.1.23a) dan (B4.1.23b) :

Lˆ + |L, M = C+ |L, M + 1 (B4.1.23a)

Lˆ − |L, M = C− |L, M − 1 (B4.1.23b)

C + dan C-adalah nomor yang mungkin hasil dari operasi dengan L+ dan L- pada| L, M. Laporan

tepat di atas tidak akan berlaku jika hasil fungsi eigen yang dikalikan dengan konstanta tersebut

dan kita perlu menentukan nilai-nilai mereka. Kompleks konjugasi (Lampiran 8) Persamaan

(B4.1.23a) adalah:

{Lˆ + |L, M }∗ = {C+ |L, M + 1 }∗ (B4.1.24)

Tetapi, {Lˆ + }∗ = Lˆ − , |L, M ∗ = L, M | dan |L, M + 1 ∗ = L, M + 1|, dan

persamaan (B4.1.24) dapat ditulis :

L, M |Lˆ − = C+∗ L, M + 1| (B4.1.25)

Jika sekarang kita kalikan sisi kanan dan kiri Persamaan (B4.1.23a), pada kiri, oleh pihak yang

10

sama Persamaan (B4.1.25) kita memperoleh Persamaan (B4.1.26):

L, M |Lˆ − Lˆ + |L, M = C+ C+∗ L, M + 1|L, M + 1 = C+ C+

∗ (B4.1.26)

Sisi kanan mengurangi ke C+ C+* karena α | β berarti mengintegrasikan produk αβ atas semua

ruang dan karena itu L, M + 1 | L, M + 1 = 1 jika eigenfunctions yang dinormalisasi, yang kita

pasti meminta mereka untuk menjadi. Operator produk L– dan L+ bisa dievaluasi dengan

menggunakan rumus (B4.1.4) dan (B4.1.12) dan kita menemukan, dalam satuan h¯, bahwa :

Disana

karena L, M | L, M = 1 untuk eigenfunctions normal. Akhirnya, membandingkan persamaan-

tions (B4.1.26) dan (B4.1.28) kita memiliki:

C+ C+ ∗ = L(L + 1) − M(M + 1)

Oleh karena itu, karena tidak ada alasan untuk menganggap bahwa C + adalah apa pun selain

nyata:

C+ ∗ = C+ = {L(L + 1) − M(M + 1)} 2 (B4.1.29)

Perkembangan analog mulai dari Persamaan (B4.1.23b) memberikan:

C− ∗ = C− = {L(L + 1) − M(M − 1)} 2 (B4.1.30)

dan bentuk lengkap Persamaan (B4.1.23a) dan (B4.1.23b) adalah:

Lˆ + |L, M = {L(L + 1) − M(M + 1)} 2 |L, M + 1 (B4.1.31a)

Lˆ − |L, M = {L(L + 1) − M(M − 1)} 2 |L, M − 1 (B4.1.31b)

11

12