Transfer Momentum

8/12/2019 Transfer Momentum

http://slidepdf.com/reader/full/transfer-momentum 1/13

SEMESTER GENAP 2008/2009

ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.04 31

TRANSFER MOMENTUM

TINJAUAN MIKROSKOPIKGERAKAN FLUIDA

Hingga sejauh ini kita sudah mempelajari tentang momentum, gaya-gaya padafluida statik, dan ihwal fluida bergerak dalam hal neraca massa dan neraca energi.

Pada bagian ini kita akan mempelajari lebih dalam tentang profil kecepatan aliranfluida, gaya dorong yang menyebabkan fluida bergerak dan gaya yangmenghambat gerakan itu, dan mempelajari bagaimana laju alir fluida dipengaruhioleh sifat-sifat fluida dan rangkaian pipanya.

Analisis situasi terhadap fluida bergerak kita mulai dari konsepsi gerak dandeformasi fluida sebagaimana telah kita bangun pada bagian awal perkuliahan ini.Sekarang mari kita perhatikan kembali gambar berikut.

Dan kita telah sampai ke persamaan = =

FBentuk awal Bentuk akhir

x

z

y

Sx





Sekarang situasinya kita ganti dengan aliran fluida dalam pipa, seperti berikut.

Pipa berjari-jari R. Fluida bergerak di dalam pipa ke arah X positif. Fluida memiliki

densitas sebesar ρ dan memiliki viskositas sebesar µ. Volume atur (ControlVolume) untuk fluida memiliki panjang sebesar L dan mengisi penuh pipa padaarah r.

Karena fluida bergerak ke arah X positif (ke kanan), itu sama saja dengan

mengatakan bahwa pipa bergerak ke kiri. Kalau pipa bergerak ke kiri maka akanada transfer momentum dari dinding pipa menuju ke pusat pipa melalui fluida;dan sebaliknya jika kita meninjau fluida bergerak ke kanan maka akan ada transfermomentum dari dalam fluida menuju dinding pipa.

Dengan menggunakan asumsi bahwa antara fluida dengan permukaan pipa tidakterjadi slip (fluida tidak tergelincir) dan fluida bergerak ke arah X positif makaakan ada transfer momentum ke arah r. Berapakah laju transfer momentum kearah r ini? Sekarang fluida pada sistem gambar di atas kita tinjau dalam lingkup

yang lebih kecil dengan mengambil elemen fluida itu setebal dr ke arah r sepertiberikut ini. Di sini diasumsikan fluidanya bersifat tak-mampu mampat(incompressible ).

L

r Rp 2 p 1 Fluida: ρ , μ

X = 0 X = L





Pada elemen volume fluida ini berlaku hukum kekekalan momentum, yang padakeadaan stedi dapat ditulis sbb.

−

+ = 0

Ada momentum (gaya viskous) masuk ke elemen volume melalui permukaandalam pada posisi r, yaitu:

[2 . ] Ada momentum (gaya inersia) masuk pada penampang 1, (pada x = 0), sebesar

. = . / . Ingat: = ∀. Jadinya:

. = ∀= .

Garis pusat pipa

X

r + ∆ rr

∆ r

L

ELEMEN VOLUME FLUIDA

1

2

S = 2 π r∆ r

Garis pusat pipa

X

r + ∆ rr

∆ r

L

ELEMEN VOLUME FLUIDA

1

2

S = 2 π r∆ r





Dan karena = dan = 2 ∆ , maka:

. = (2 ∆. ) ( )

Jadi, momentum (gaya inersia) pada titik 1 (x=0) adalah:

(2 ∆. )( ) Kita tuliskan:

[2 ∆. ] Ada gaya (tekanan) terhadap permukaan fluida pada penampang 1 (pada x=0),sebesar:

(2 ∆)

Ada gaya (tekanan) terhadap permukaan fluida pada penampang 2 (pada x=L),sebesar:

−(2 ∆)

Ada momentum (gaya viskous) keluar dari elemen volume melalui permukaanluar pada posisi r+ ∆ r, yaitu:

[2 . ]

∆

Ada momentum (gaya inersia) keluar pada penampang 2, (pada x = L), sebesar

[2 ∆. ]

Pada sistem ini juga ada bekerja gaya gravitasi, namun karena posisialiran adalah datar, maka gaya gravitasi ini tidak memberi konstribusiterhadap gerak aliran.





Sekarang akan kita jumlahkan semua gaya yang telah diuraikan itu; kita peroleh:

[2 . ] + [2 ∆. ] + (2 ∆) −(2 ∆)−[2 . ] ∆ −[2 ∆. ] = 0

Dan kita susun kembali:

[2 . ] −[2 . ] ∆+ [ ∆. ]

− [ ∆. ] + (2 ∆)( − ) = 0

Karena fluida diasumsikan bersifat incompressible dan luas penampang pada z = 0sama dengan luas penampang pada z = L, maka v z sama pada dua penampang itu;dan dengan demikian suku ke tiga dan suku ke empat pada persamaan di atasakan saling meniadakan. Persamaan terakhir tersebut menjadi:

[2 . ] −[2 . ] ∆= −(2 ∆)( − )

atau:

[2 . ] ∆ −[2 . ] = (2 ∆) ( − )

Kalau persamaan ini kita bagi dengan 2 ∆ dan kita ambil limit untuk ∆ mendekati nol; kita peroleh:

lim∆ →[ ] ∆ −[ ]

∆ =( − )

Suku sebelah kiri tak lain adalah turunan pertama ( first derivat ive ) dari terhadap ; dan ( − ) = ∆ . Dari itu kita peroleh:

( ) = ∆ Atau:





( ) = ∆ Untuk memperoleh distribusi fluks momentum, persamaan ini kita ingtegralkan:

( ) = ∆

Kita peroleh:

= ∆ 12

+

atau

= ∆2

+

C1 adalah konstanta integrasi. Berapakah nilai C1 ini? Ingatlah bahwa fluksimomentum bukanlah tak berhingga pada posisi r = 0. Artinya, pada r = 0, adanilainya dan berhingga. Konsekuensi logisnya haruslah C1 = 0. Lalu kita perolehfluksi momentum pada fluida yang bergerak dalam pipa itu, yaitu:

= ∆ (*)

ini menyatakan fluksi momentum ke arah radial (jari-jari), r, yang disebabkanoleh bergeraknya fluida ke arah tangensial, x.

Selanjutnya kita akan melihat profil kecepatan gerak fluida pada arah x terhadapposisi r.

Dalam hal ini tak lain adalah:





=

− (**)

yang diperoleh dari Hukum Newton tentang viskositas. Kenapa di sini ada tanda

minus? Karena berkurang jika bertambah, atau dengan kata lain, /

bernilai negatif, sedangkan tak pernah negatif; dan begitu juga dengan .

Dari persamaan (*) dan (**) kita peroleh:

= − ∆2

dan diperoleh dengan mengintegralkan persamaan tersebut.

∫ = −∆ ∫

= − ∆4 +

C2 adalah konstanta integrasi. Berapakah nilai C2 ini? Kita mempunyai informasibahwa fluida yang bersentuhan dengan permukaan pipa (artinya fluida yangberada pada posisi r = R) kecepatannya ke arah tangensial (arah x ) adalah nol.Secara matematis kita tulis:

[ ] = − ∆4 + = 0 Jelaslah bahwa:

= ∆4

Dengan demikian, profil kecepatan fluida ke arah x adalah:





Persamaan Kurva ini diplot untuk nilai ∆ dipasang sebesar 25 satuan dan

nilai R (jari-jari pipa) = 10 satuan. Ilustrasi alirannya kira-kira seperti pd gbr brkt.

= ∆ −

R = 10

Dinding pipa

Dinding pipa

Lapi san l apisan fl uidapipa





Gambar di bawah ini adalah hasil kerja MATLAB. Sumbu datar menunjukkan arah jari-jari pipa dan sumbu tegak menunjukkan kecepatan ke arah x. Kecepatan

maksimum berada pada posisi (0,0) di tengah-tengah bidang sumbu datar.

Sketsa koordinat pipa untuk grafik di atas adalah:

-10 -5 0 5 10-10-50510

-5

0

5

10

15

20

25

r r

V x (r)

r- r+

r+

r-V x(r)





Hingga pada tahap ini anda sudah memperoleh: Distribusi fluksi momentum

= ∆2

Distribusi kecepatan

= ∆4 1 −

Kecepatan maksimum

, = ∆4

untuk fluida newton yang incompressible di dalam pipa datar.

Nah, terlihat bahwa kecepatan aliran fluida ke arah x bergantung pada posisi r;artinya kecepatan fluida itu bervariasi terhadap r. Kalau begitu, berapakah

kecepatan rata-ratanya? Kecepatan rata-rata adalah jumlah kecepatan di semuaposisi r dan dibagi dengan luas penampang aliran .

Jumlah semua kecepatan itu adalah pada posisi r dari r = 0 hingga ke r = R untuksatu lingkaran penuh dari sudut θ = 0 derajat hingga θ = 360 derajat atau dariθ = 0 hingga θ = 2 π ; yaitu:

Jumlah semua kecepatan =

Ingat bahwa adalah fungsi . Solusi dari integral ini adalah:

Jumlah semua kecepatan = ∆8

Adapun luas penampang aliran (luas penampang pipa) adalah:

Luas penampang aliran =





yang apabila diselesaikan diperoleh:

Luas penampang aliran =

Dengan demikian, kecepatan rata-rata, <Vx>, aliran fluida dalam pipa adalah:

< v > =∆8

= ∆8

Sudah kita ketahui pula bahwa:

, = ∆4

Artinya, kecepatan rata-rata adalah setengah dari kecepatan maksimum.

Bagaimana dengan laju alir volumetris? Laju alir volumteris adalah luaspenampang alira (luas penampag pipa) dikalikan dengan kecepatan rata-rata,yaitu:





= < >. 2 = ∆ 4

8

Persamaan terakhir ini dikenal sebagai Persamaan Hagen-Poiseuille .

Dari konsepsi laju, jelas dikatakan bahwa:

=

Pada aliran fluida ini, gaya dorongnya adalah beda tekanan, ∆. Dan dengan

demikian hambatannya adalah 8 / .

----------------------

Sebagai latihan, berapa besar gaya yang diberikanoleh fluida terhadap dinding pipa??----------------------

Transfer Momentum

Documents

Transcript of Transfer Momentum