REGRESI NONLINEAR

Asumsi kelinearan tidak selalu dapat dipenuhi dalam suatu analisis regresi. Hal ini dapat juga dilihat dari letak titik-titik pada diagram pencar data (x,y) yang sangat menyimpang dari sebuah garis lurus. Banyak sekali model regresi nonlinear, dan hanya beberapa yang akan dibahas disini. Model polinommerupakan topik pertama yang kita bicarakan, sebelum membicarakan model-model lainnya, seperti model eksponen, model geometri, dan model hiperbola.

A. Model Polinom

Model polinom dinyatakan dalam bentuk umum y = c0 + c1 + c 2 x2 + . . . + c k xk

dimana ci i = 0, 1, 2, . . ., k ( yang harus bilangan bulat positif ) adalah konstanta. Untuk lebih kongkretnya pembahasan, model derajat dua akan menjadi pusat perhatian pada bagian berikut ini.

1. Model Derajat Dua

Kita perhatikan bahwa model polinom mempunyai hanya satu peubah dasar, yaitu x. Untuk k = 1, kita peroleh model regresi linear sederhana ( garis lurus )

y = c0 + c1 x.

Polinom derajat dua, yaitu untuk k = 2 mempunyai model kuadratik ( parabola ) dengan bentuk umum

y = c0 + c 1 + c 2x2.

Dari model matematis diatas, kita dapat menulis model statistis parabola dalam bentuk

μY|x = β0 + β1X + β2X2

atau

Y = β0 + β1 X + β2 X2 + ε

Dengan persamaan ini, huruf besar Y dan X menunjukkan peubah statistik ; β0, β1, dan β2

menyatakan parameter yang tidak diketahui dan disebut koefisien regresi; μY|x menyatakan rata-rata Y dan X yang diberikan; dan ε menyatakan komponen kesalahan yang mewakili selisih antara respons teramati Y dan X respons rata-rata μY|x pada X.

Jika kita asumsikan model parabola diatas yang cocok untuk menjelaskan hubungan X dan Y, kita harus menentukan sebuah taksiran parabola tertentu yang paling sesuai dengan ditentukan dengan menggunakan metode kuadrat terkecil.

Taksiran untuk model parabola kuadratik dapat ditulis dengan.

Ŷ = b0 + b1 X2 + b2X2

Dengan koefisien-koefisien b0, b1, dan b2 ditentukan berdasarkan data hasil pengalaman. Jika (xi, yi), i = 1, 2, . . ., n menyatakan data hasil pengamatan dalam sebuah sampel berukuran n, metode kuadrat terkecil memberikan nilai-nilai b0, b1, dan b2 dengan cara menyelesaikan persamaan normal berikut.

n b0 + b1 ∑i=1

n

xi + b2 ∑i=1

n

xi2 = ∑i=1

n

yi

b0 ∑i=1

n

xi + b1 ∑i=1

n

xi2 + b2 ∑i=1

n

xi3 = ∑i=1

n

xiyi

b0 ∑i=1

n

xi2 + b1 ∑i=1

n

xi3 + b2 ∑i=1

n

xi4 = ∑i=1

n

xi2yi

Kita akan perhatikan sebuah contoh hipotesis berikut untuk menunjukkan metode regresi polinom

Andaikan sebuah studi labolatorium untuk menentukan hubungan antara dosis (X) dari jenis obat dan tambahan berat badan (Y) dari sejenis hewan. Delapan hewan jenis kelamin, umur, dan ukuran badan yang sama dipilih secara acak dan deberikan satu diantara delapan tingkatan dosis. Rancagan studi ini dapat dipertanyakan karena tidak mempunyai lebih dari satu hewan yang menerima dosis yang sama, seperti juga kecilnya ukuran sampel. Ulangan pada setiap dosis yang akan memberikan taksiaran yang andal tentang variasi data dari hewan ke hewan. Akan tetapi, untuk beberapa studi labolatorium, mendapatkan sejumlah hewan yang cukup tidak selalu tersedia dengan mudah, juga biaya dan waktu sering menjadi faktor penghambat. Harus dicatat bahwa data untuk contoh ini diupayakan untuk menyederhanakan analisis dan menunjukkan adanya hubungan yang elas bersifat derajat dua.

Tabel 6.1 Tambahan berat badan setelah dua minggu

sebagai fungsi dari tingkatan dosis.

Tingkatan Dosis (X) 1 2 3 4 5 6 7 8Tambahan Berat (Y) (dag) 1 1,2 1,8 2,5 3,6 4,7 6,6 9,1

Tambahan berat dalam dekagram (dag) diukur untuk setiap hewan setelah dua minggu, dimana semua hewan dalam keadaan labolatorium dan gizi yang sama. Data diberikan dalam Tabel 6.1, dan diagram pencarkan diberikan pada gambar 6.1. Dengan mata kepala dapat melihat bahwa diagram menunjukkan sebuah kurva parabola dan merupakan model yang

lebih sesuai daripada sebuah garis lurus. Kita akan mengkuantitatifkan hasil pengamatan mata ini.

y

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 x

Kita memcoba mentukan regresi nonlinear dengan mengambil bentuk parabola kuandrik. Untuk itu, kita buat Tabel 6.2 dengan menambahkan X2 , X3 , XY dan X2Y pada Tabel 6.1. Dari Tabel 6.2, kita peroleh persamaan normal

8 b0 + 36 b1 + 204 b2 = 30,5

36 b0 + 204 b1 + 1296 b2 = 184,0

204 b0 + 1296 b1 + 8772 b2 = 1227,0

Tabel 6.2 Nilai-nilai yang perlu untuk regresi parabola

X Y X X X XY

XY

1 1 1 1 1 1 12 1,2 4 8 16 2,4 4,83 1,8 9 27 81 5,4 16,24 2,5 16 64 256 10 405 3,6 25 125 625 18 906 4,7 36 216 1296 28,2 169,2

7 6,6 49 343 2401 46,2 323,48 9,1 64 512 4096 72,8 582,436 30,5 204 1296 8772 184 1227

Setelah tiga persamaan simultan ini diselesaikan, diperoleh b0 = 1,348 , b1 = -0,414, dan b2 = 0,170, sehingga persamaan regresi parabola dapat ditulis

Ŷ = 1,348 - 0,414 X + 0,170 X2

Terdapat tiga pertanyaan dasar yang berkaitan dengan inferensi regresi polinom derajat dua.

1. Apakah regresi kuadratik itu signifikan; yaitu lebih banyak variasi Y yang dapat dijelaskan oleh model derajat dua daripada mengabaikan X sama sekali ( dan hanya menggunakan Y )?

2. Apakah model derajat dua secara signifikan memberikan daya ramal yang lebih besar daripada yang diberikan yang diberikan oleh model garis lurus?

3. Andaikan bahwa model derajat dua lebih sesuai daripada model garis lurus, apakah sebagainya) terhadap model derajat dua?

Untuk menentukan apakah regresi kuadratik signifikan, kita memerlukan uji hipotesis nol, H0: Regresi dengan suku-suku X dan X2 tidak signifikan (yaitu β1 = β2 = 0 ). Prosedur penguji untuk hipotesis nol ini menggunakan uji F dengan menghitung

RJK Regrsi RJKR

F = =

RJK Kesalahan RJKK

Dimana RJK adalah rata-rata jumlah kuadrat, atau jumlah kuadrat (JK) dibagi dengan derajat kebebasan (dk) yang bersangkutan, sehingga RJKR menyatakan rata-rata jumlah kuadrat kesalahan. Untuk membandingkan nilai statistik F dengan nilai krisis yang sesuai dari distribusi F, digunakan nilai tabel yang (dalam contoh ini) mempunyai dk pembilang 2 dan dk penyebut 5. Jika nilai statistik F lebih besar daripada nilai F tabel, maka pengujian signifikan dan H0 ditolak. Akan tetapi dengan perhitungan komputer, nilai tabel distribusi F tidak diperlukan karena nilai statistika F yang diperoleh disertai dengan nilai peluang P(F > Fhitung ) yang bisa disebut nilai p. Jika nilai p inilebih kecil daripada nilai taraf signifikansi yang ditentukan, maka pengujian signifikan.

Tabel analisis variasi (ANAVAR) untuk model regresi parabola dapat dibuat seperti pada model regresi garis lurus. Dengan bantuan SAS. Perhitungan akan lebih mudah dan hanya memberikan perintah

Prog GLM; Model Y = X X*X;

Apa yang telah ditunjkkan saat ini? Kita menyimpulkan bahwa model derajat satu (garis lurus) tidak sebagus model derajat dua (parabola). Kita sekarang perlu menentukan apakah menambahkan suku-suku derajat lebih tinggi terhadap model derajat dua dibutuhkan.

Sebagai contoh, kita dapat menembahkan suku X3 pada model derajat dua dan kemudian menguji apakah hasil ramalan secara signifikansi ditingkatkan. Membentuk model derajat tiga dengan kuadrat terkecil menghasilkan table ANAVAR yang diberikan pada Tabel 6.5

Tabel 6.5 ANAVAR untuk model kubik dengan data berta hewan

Sumber Variansi dk JK RJK FRegresi X 1 52,04 52,04

X2|X 1 4,830 4.830X3|X,X2 1 0.140 0.140 10,00

Kesalahan 4 0,056 0.014Total 7 57,07

R2= 0.999

Untuk menguji apakah tambahan suku derajat tiga secra signifikan meningkatkan kesesuaian model, statistic berikut di hitung:

F=(JK ekstra tambahan X 3)/1RJKK(model derajat tiga)

=

Statistik ini mempuyai distribusi F dengan dk pembilang 1 dan dk penyebut 4 pada H0: Penambahan suku X3 tidak berarti (yakni β3=0). Karena F0.95;(1,4)= 7.71 dan F0.99;(1,4) =21,20, kita mempunyai 0.01<p<0,05. Nilai p ini membuat sedikit kesulitan untuk menentukan apakah kita memasukkan suku X3 dalam model. Hal ini menunjukkan bahwa H0 ditolak untuk taraf signifikansi α=0,05 akan tetapi tidak untuk α=0,01. Namun demikian, beberapa pertanyaan lain harus dipertimbangkan;

a) Nilai R2 untuk model parabola sangat tinggi, yaitu 0,997b) Nilai R2 hanya meningkat dari 0,997 ke 0,999 dalam perjalanan dari model derajat

dua ke model derajat tiga,c) Diagram pencar jelas menunjukkan kurva derajat dua, dan d) Jika ragu, model yang paling sederhana lebih baik karena itu akan paling mudah

diinterpretasi.

Semuanya dipertimbangkan, kemudian kesimpulan yang paling masuk akal adalah model derajat dua yang paling sesuai. Kesimpulan untuk data Tabel 6.1 adalah model yang paling baik adalah:

Y=1,348-0,414+0,170 X2

, dengan R2=0,997

Akhirnya, mengetahui simpangan baku (atau kesalahan baku) dari taksiran koefisien regresi akan bermanfaat. Sangant sulit menghitung dengan manual untuk model yang melibatkan dua atau lbeih peubah peramal. Namun, semua program regresiyang umumnya digunakan memberikan nilai-nilai numeric untuk taksiran koefisien regresi beserta taksiran simpangan bakunya. Untuk model regresi derajat dua terdapat hasil pengolahan data dalam hasil computer, kita mendapatkan Sb1=0,141 (Std.Error of Estimate untuk X) dan Sb2=0.015 (Std.Error of Estimate untuk X*X). Sebagai contoh, interval kepercayaan 100(1-α)% untuk β2

adalah:

b2± t (1-α /2) ;5×Sb2,

Di mana dk untuk nilai kritis tyang sesuai adalah dk yang sesuai dengan JKK dalam Tabel 6.3. Secara khusus, interval kepercayaan 95% untuk β2 dalam contoh kita adalah:

0,170±2,57 (0,015 ) atau 0,13≤β2≤0,21,

Karena b2=0,170, t0,975;5=2,57, dan Sb2=0,015. Kita bias melihat bahwa interval ini tidak memuat nol, yang sesuai dengan kesimpulan table ANAVAR yang menyangkut pentingnya suku X2 dalam model kuadratik. Jadi, tidak cukup alas an untuk menyatakan bahwa β2=0 pada taraf kepercayaan 95%.

2. Model derajat lebih tinggi

Kita sudah melihat cara ide-ide dasar regresi ganda dapat diterapkan untuk membentuk dan menguji model kuadratik dan kubik.metode yang sama digunakan untuk semua model polinon derajat lebih tinggi.namun,beberapa isu terkait perlu didiskusikan : yakni penggunaan polinom ortogonal dan strategi untuk memilih sebuah model polinom.

Beberapa derajat polinom untuk dipertimbangkan bergantung pada masalah yang dipelajari,serta banyak dan jenis data yang terkumpul.satu pertayaanan,khususnya dalam studi biologi dan ilmu sosial, perlu dijawab: apakah hubungan regresi dapat dijelaskan oleh sebuah fungsi monoton ( yakni yang selalu naik, atau selaluh turun)? Jika hanya fungsi-fungsi monoton yang menjadi perhatian , biasanya model derajat dua atau derajat tiga akan memadai ( walaupun kemonotonan tidak menjamin ,karna untuk contoh, beberapa parabola naik kemudian turun). Sejumlah besar nilai peubah paramal yang baik tepatnya dalam kesalahan variasi yang kecil diperlukan untuk membentuk model derajat lebih tinggi dari kubik secara andal.

Pertimbangan yang lebih umum adalah banyaknya lengkungan ( lebih teknis,titik-titik belok) dalam kurva polinom yang akan dibentuk.sebagai contoh,model derajat satu tidak mempunyai lengkungan ; model derajat dua tidak akan mempunyai lebih dari satu lengkungan; dan setiap tambahan suku derajat lebih tinggi menambah satu potensi lengkungan.dalam praktik, menentukan model polinom lebih dari derajat tiga biasanya membawah ke model yang tidak selalu turundan tidak juga selalu naik. Teori, substansi,dan

bukti empiris harus ada untuk mendukung penggunaan model-model rumit yang tidak menoton tersebut.

Banyaknya data secara langsung membatasi derajat yang dapat digunakan.kita dapat memperhatikan data tambahan berat hewan(tabel 6.1) dengan delapan nilai yang berbeda,polinom derajat tujuh akan sesuai dengan delapan titik secara sempurna , memberikan nilai JKK=0 dan nilai R2=1. Namun , karna persamaan yang dibentuk akan mempunyai delapan taksiran parameter,tidak ada penghematan yang dibuat dengan hanya mendaftar delapan titik.umumnya ,maksimum derajat polinom yang dapat dibentuk satu kurangnya dari banyaknya nilai X yang berbeda.

3. Uji Tuna Cocok

Andaikan bahwa sebuah model polinum sudah dibentuk dan taksiran-taksiran koefisien regresinya diuji untuk signifikansi. Bagimana seseorang dapat meyakini bawhwa sebuah model dari derajat lebih tinggi dari derajat tertinggi yang diuji tampaknya tidak diperlukan? Uji Tuna Cocok dapat digunakan untuk pertanyaan ini. Secara koseptual, uji Tuna Cocok menyangkut evaluasi dari sebuah model yang lebih rumit dari pada yang dipertimbangakansbelumnya. Secara historis, istila tersebut kadang-kadang digunakan untuk menjelaskan prosedur klasik. Uji Tuna Cocock klasik dapat digunakan hanya kalau pada pengulangan pengamatan. Dengan istila ulangan, kita maksudkan bahwasatuan eksperimen (subjek) mempunyai nilai X yang sama dengan satuna eksperimen yang lain.

Misalnya, data dalam table 6.6 menunjukkan hasil pengamatan terhadap banyaknya pengunjung (X) dan banyaknya yang brbelanja (Y) pada sebuah tokoh selam 30 hari. Untuk mempermudahkan perhitungan, data diurutkan berdasarkan besarnya X

Tabel 6.6 Data pengunjung (X) dan pembeli (Y) sebuah Tokoh

X Y X Y X Y30323233333434343434

29313031323231303032

35363636373737383839

32303234333432363436

39404040404041424242

35383533373637363538

Kita bias melihat adanya ulangan nilai-nilai X pada data tersebut, sehingga variasi kesalahan pengukuran dapat diperhitungkan.

Dari hasil computer, kita peroleh nilai F=92,335 dengan nilai p=0,0001. Dengan demikian, taksiran model Regeresi Y= 8,24 + 0,68X siginafikansi secara statis. Kita bias memeriksa, apakah JKK masih cukup besar. Kalau JKK masih cukup besar, kita bias meningkatakan model dengan memepertimbangakan model lain, seperti kuadratik atau model non linier lainnya. Untuk maksud ini, uji tuna cocok dapat dilakukan. Untuk melakukan itu JKK

dipecah menjadi dua bagian, yaitu JKK karena pengukuaran, yaitu JKK(P), dan JKK karena tuna cocok, yaitu JKK(TC). Rumus untuk menghitung JKK(P) adalah

JKK (P )=∑x

{∑ Yi2 -

(∑ Yi )2

n i}

Dengan tanda jumlah yang pertama ∑ diambil untuk semua nilai X yang sama, dan ni=banyaknya nilai X yang sama tersebut untuk kelompok ke-i. JKK(TC) dapat dihitung dengan pengurangan yaitu:

JKK(TC)=JKK-JKK(P).

Selanjutnya, dk untuk JKK(TC)=k-2, dimana k=banyaknya nilai-nilai X yang berbeda, dan dk untuk JKK(P)=n-k.

Table ANAVAR (hasil komputer) memberikan nilai jumlah kuadrat kesalahan, JKK=46,29619. JKKK ini dapat dipecah menjadi dua bagian, dan JKK(P), dihitung sebagai berikut:

JKK(P)=36,9667. Dengan demikian, JKK(TC)=JKK-JKK(P)=46,29619-36,7667=9,3302. Banyaknya nilai X yang berbeda k=12, sehingga dk untuk tuna cocok adalah 12-2=10. Kemudian, kita dapat membuat table ANAVAR seperti pada Tabel 6.7Tabel 6.7 ANAVAR untuk model uji tuna cocok

Sumber variansi dk JK RJK FRegresi X 1 152,6705 152,6705 92,3350Kesalahan 28 46,2962 1,6534

Tuna cocok 10 9,3302 0,9330 0,4543Pengukuran 18 36,9667 2,0537

Jika α=5%, dengan dk pembilang 10 dan dk penyebut 18, kita mendapatkan F0,05;(10,18)=2,41. Untuk uji tuna cocok, didapat F=0,4543 dan ini lebih kecil dari 2,41. Jadi, pengujian tidak signifikan, yang berarti rerata kuadrat tuna cocok tidak dapat menjadi alas an untuk mangatakan bahwa model linier ditolak. Dengan demikian, tidak ada alas an untuk mencari model nonlinier.

4. strategi penentuan model polinom

Model polinom, kadang-kadang memulai dengan model terkecil, melibatkan hanya satu satu suku linear, dan secara berurutan menambahkan suku-suku X yang pangkatnya meningkat. Prosedur ini adalah sebuah strategi pembuatan model seleksi maju.

Dengan strategi seleksi maju, seseorang biasanya menguji pentingnya sebuah calon peubah peramal(predictor) dengan membandingkan jumlah kuadrat ekstra regresi untuk tambahan peramal itu terhadap rerata kuadrat sisaan (residual mean square). Rerata kuadrat sisaan ini berdasarkan pada penentuan sebuah model yang memuat calon peubah(peramal) dean peubah-peubah yang tidak ada di dalam model. Statistik F parsial yang sesuai dalam bentuk

F ( X i|X , X2 , …, X i−1)=

JK ( X i|X , X2 , …, X i−1 )1

RJKsisaan ( X , X2 , …,X i ),

Pendekatan uji seleksi maju yang dijelaskan di atas dapat membawa pada pelemahan (underfitting) data, yakni algoritma seleksi maju tampaknya berhenti terlalu cepat, sehinnga memilki model dengan derjat lebih rendah daripada yang sesungguhnya diperlukan.

Bias ini dapat dihindari dengan menggunakan strategi seleksi mundur, dimana uji F pada setiap langkah mundur selalu melibatkan rata-rata kuadrat kesalahan untuk model penuh (atau terbesar) yang dibentuk. Akan tetapi, ketika menggunakan pendeketan eliminasi mundur, itu mungkin menguatkan (overfit) data, (yakni memilih sebuah model akhir yang sedikit lebih tinggi daripada yang diperlukan). Untungnya, taksiran rata-rata kuadrat sisa σ 2

dari model penuh masih merupakan taksiran sahih (unbiased). Akibatnya, menggunakan taksiran ini pada penyebut uji F parsial pada setiap langkah mundurakan tetap menjadi prosedur sahih. Apa yang hilang dengan sedikit mengangkat data adalah suatu kuasa statistis (statistical power), akan tetapi kehilangan ini biasanya diabaikan.

Jadi, untuk menetapkanm model polinom, kita umumnya merekomendasikan strategi eliminasi mundur untuk memilih peubah, dan menggunakan dalam semua uji F parsial taksiran rata-rata kuadrat kesalahan berdasarkan pada model polinom derajat tertinggi. Jika mengimplementasikan startegi ini,kita rekomendasikan pertama, memilih model derajat tiga atau lebih rendah untuk menyederhanakan interpretasi dan meningkatkan kecermatan perhitungan. Kedua, lakukan seleksi mundur dalam bentuk bertahap mulai dari suku derajat tertinggi, seseorang harus secara berturut-turut menghilangkan suku-suku yang tidak signifikan, berhenti pada suku dengan derajat yang pertama signifikan. Suku ini dan semua suku dengan derajat lebih rendah harus dipertahankan dalam model akhir. Ketiga, lakukan uji F parsial-ganda untuk tuna cocok. Keempat, metode analisis sisaan harus digunakan, seperti dengan semua pendekatan regresi.

B. Model Eksponen

Model eksponen adalah salah satu model yang juga banyak digunakan apabila situasi tidak memungkinkan model linear atau polinom. Taksiran model eksponen ditulis dengan

Ŷ=a bX

Dengan a dan b konstanta, dan dapat dikembalikan kepada model linear apabila diambil logaritmanya. Dalam bentuk logaritma persamaannya menjadi

log Ŷ = log a +(log b) X

Apabila diambil Ŷ * = log Ŷ, a* = log a, dan b* = log b, maka diperoleh

Ŷ * = log a* + b* X

Dan ini adalah model linaer sederhana. Dengan menggunakan rumus koefisien regresi linear sederhana, a* dan b* dapat dihitung , dan selanjutnya a dan b dapat ditentukan.

Dalam bentuk logaritma, a dan b dapat dicari dengan rumus

log a=∑i=1

n

log Y i

n−(logb )

∑i=1

n

X i

n

log b=n¿¿¿

Untuk penggunaan model ini, kita perhatikan data dalam Tabel 6.8.

Tabel 6.8 Tinggi semacam tumbuhan selama 10 minggu.

Minggu ke 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tinggi Y (cm)

6 15 23 27 30 37 38 38 39 40 8 12 23 29 33 37 36 36 38 389 13 20 30 32 36 36 39 42 13 25 35 35

Dari rumus diatas, tampak bahwa nilai-nilai Y harus diambil logaritmanya, sedangkan X tetap sebagai mana asalnya. Jika ini dilakukan, maka hasilnya diperoleh seperti pada Tabel 6.9.

Tabel 6.9 Logaritma tinggi semacam tumbuhan selama 10 minggu.

Peubah X 1 2 3 4 5 6 7 8

9 10Log Y 0,7782 1,1761 1,3617 1,4314 1,4771 1,5682 1,5798 1,5798 1,5911

1,6021 0,9031 1,0792 1,3617 1,4624 1,5185 1,5682 1,5563 1,5563 1,5798 1,57980,9542 1,1139 1,3010 1,4771 1,5051 1,5563 1,5563 1,5911 1,6232 1,1139 1,3979 1,5441 1,5441

Dari Tabel 6.9 diperoleh

∑i=1

n

X i=172 ,∑i=1

n

log Y i=46,5690

∑i=1

n

X i2=1148 ,∑

i=1

n

X i logY i=260,2505 dan n=33

Dengan demikian diperoleh

log b=¿33 (260,2505 )−(172 )(46,5890)

33 (1148 )−¿¿¿ , atau

log b = 0,0692 yang menghasilkan b = 1,173

log a=46,58933

−(0,0692 )( 17233

), atau

Log a = 1,051 yang menghasilkan a = 1,25

Jadi regresi model eksponen yang diperoleh adalah

Ŷ = (11,25) (1,173)X

Nilai log a dan log b dapat diperoleh langsung dengan bantuan komputer. Perintah yang diberikan pada SAS adalah

Proc Reg ; Model log Y = X

Model eksponen yang kita bangun adalah log Ÿ = log a + log b X, sehingga dari hasil komputer kita peroleh log a = 1,051 dan log b = 0,0693 (cara manual memberikan hasil 0,0692). Dari hasil komputer, selain kita dapat menentukan taksiran parameter model, signifikansi model juga diberikan. Kita perhatikan bahwa nilai F =77,792 dengan nilai P = 0,0001. Nilai R2 = 0,7151 menunjukkan bahwa model signifikan dengan daya ramal sekitar 72%.

Model eksponen diatas sering pula disebut model pertumbuhan karena sering banyak digunakan dalam menganalisis data sebagai hasil pengamatan mengenai gejala yang sifatnya tumbuh. Dalam hal ini, modelnya diubah sedikit dan persamaannya menjadi

Ŷ = aebX

Dengan e = bilangan pokok logaritma alam atau logaritma Napier, yang nilainya hingga empat desimal adalah 2,7183.

Penyelesaian model terakhir dilakukan dengan mengambil logaritma alam dan bukan logaritma biasa. Hasilnya menjadi

ln Ŷ =ln a + b X

dan ini linear dalam X sehingga ln a dan b dapat diri seperti biasa.

Jika daftar logaritma alam (kalkulator dengan fungsi ln atau bilang e) tidak tersedia maka dapat digunakan daftar logaritma biasa, akan tetapi persamaan regresi menjadi

log Ŷ = log a + 0,4343 b X

C. Model Geometris

Persamaan umum model ini ditaksir oleh bentuk

Ŷ = a Xb

Dengan a dan b konstanta. Jika model ini diambil logaritmanya diperoleh hasil

log Ŷ = log a + b log X

dan ini merupakan model linear dalam log X dan log Ŷ. Koefisien-koefisien a dan b dapat dicari dari

log a=∑i=1

n

log Y i

n−b

∑i=1

n

log X i

n

b=n¿¿

Untuk melihat penggunaan rumus ini, kita perhatikan data (sudjana,1992) dalam Tabel 6.10 yang grafiknya terdapat pada gambar 6.2.

Tabel 6.10 data hasil pengamatan

X Y X Y20 15035 125 60 105100 100150 92300 97

500 97 800 62 1200 58 1300 40 1500 38 1600 35

Y

1600

1200

80

40

0

40 800 1200 1600 X

Kita akan melihat apakah model geometris cocok atau tidak dan untuk ini diperlukan tabel 6.11

Tabel 6.11 nilai-nilai yang diperlukan untuk menghitung a dan b model geometris

xi Yi log xi log yilog xi log yi

log^2 xi

20 150 1,301032,17609

12,8311600

011,69267

9

35 1251,54406

8 2,096913,2377717

432,38414

6

60 1051,77815

12,02118

93,5939802

793,16182

2100 100 2 2 4 4

150 922,17609

11,96378

84,2733815

264,73537

3

300 972,47712

11,98677

24,9214744

91 6,13613

500 97 2,698971,98677

25,3622373

167,28443

9

800 62 2,903091,79239

25,2034743

678,42793

1

1200 583,07918

11,76342

85,4299144

079,48135

71300 40 3,11394 1,60206 4,9887240 9,69664

3 6 3

1500 383,17609

11,57978

45,0175368

7210,0875

6

1600 35 3,204121,54406

84,9473792

7510,2663

8jumlah  

29,45186

22,51325

53,80703434

77,35446

Dengan menggunakan rumus diatas untuk data tabel 6.11 kita peroleh :

b=12 (53,8072 )− (29,4519 ) (22,5134 )

12 (77,3543 )−¿¿

log a=22, 513412

−(−0 , 2856 )( 29 ,451912 ) , atau log a=2 , 5770yang menghasilkan a = 377,6.

Persamaan regresinya adalah

Ŷ =(377,6) X-0,2856 atau Ŷ =377,6

X0,2856

Nilai log a dan log b maupun hasil uji signifikansi model dapat pula diperoleh langsung dengan bantuan komputer. Perhitungan komputer dengan model log Ŷ = log a + b log X memberikan hasil seperti berikut. Kita dapat melihat pada hasil komputer bahwa log a = 2,5770 dan b = -0,2856 yang sama dengan hasil manual. Informasi tambahan pada hasil komputer memberi tahukan bahwa model signifikan karena nila F = 47,673 dengan nila F =0,0001. Selanjutnya, daya ramal model sebesar 83% (R2 = 0,8266) diberikan juga dalam hasil komputer itu.

D.MODEL LOGISTIK

Model logistik mempunyai banyak bentuk,dan penggunaannya juga cukup luas. Bentuk model logistik yang paling sederhana dapat ditaksir oleh

Ŷ=1

a bx

Dengan a dan b konstanta. Untuk Ŷ yang tidak sama dengan nol,bentuk diatas dapat pula ditulis sebagai

1Ŷ

= abX

Jika rumus diambil logaritmanya ,maka diperoleh

log(1Ŷ

¿ =log a + (log b) X

Yang merupakan model linear dalam peubah X dan log (1Ŷ

¿.

Koefesien-koefesien a dan b dapat dicari dengan menggunakan rumus

log a =∑i=1

n

log1Y

n

- (log b ) ∑i=1

n

Xi

n

log b = n∑i=1

n

X i log1Y i

¿−¿¿¿

Kita gunakan data Tabel 6.10 untuk membuat suatu model logistik log (1Ŷ

¿= log a + (log b)

X. Hasil komputer dapat memberikan nilai – nilai log a dan log b sebagai berikut.

Dari hasil komputer kita peroleh nilai log a = -2,0864 yang memberikan nilai a = 0,0082, dan log b = 0,000334 yang memberikan b = 1,000769 dengan demikian, logistik yang diperoleh adalah

Ŷ= 1(0,0082 ) ¿¿

Model ini signifikan dan memilki daya ramal sekitar 93%. Hal ini ditunjukkan oleh nilai F =138,145 dengan nilai p =0,0001, dan nilai R2 = 0,9325.

Model logistik ini memiliki aplikasi yang cukup penting pada regresi dengan peubah terikatnya bernilai biner( 0 dan 1). Jika Y peubah bernilai 1 dan 0, sedangkan X peubah dengan skala pengukuran interval, bentuk khusus model regresi logistik adalah

π ( x )= ϱβ 0+β

1X

1+ϱβ0+β

1X

Dimana π (x) = H (Y|x) adalah nilai harapan bersyarat Y untuk nilai tertentu X = x yang diberikan. Karena Y, peubah dikontomi, nilai harapan bersyarat ini harus lebih atau sama dengan 0 dan kurang dari atau sama dengan 1 (yakni ≤ H(Y|x)≤1).

Bentuk model logistik yang secara khusus digunakan dalam Hosmer dan Stanley Lomeshow (1989) dengan mendefinisikan logit transformation adalah sebagai berikut

g ( x )=ln [ π (x)1−π (x ) ] β0+β1 x

Transformasi ini sangat penting karena model regresinya memilki sifat-sifat seperti sebuah model regresi linear.

E. Model Hiperbola

Perkiraan persamaan umum sederhana untuk model hiperbola ini dapat dituliskan dalam bentuk

Ŷ= 1a+bX

atau jika tidak ada Ŷ yang bernilai nol dapat ditulis menjadi1Ŷ

=a+bX

dengan a dan b konstanta,yang ternyata merupakan bentuk linear dalam peubah-peubah X dan 1/Y.

Koefisien-koefisien a dan b dapat dihitung seperti pada model garis lurus dengan rumus

a = (∑

i=1

n1Y i

)(∑i=1

n

X i2)−(∑

i=1

n

X i)(∑i=1

n

X i1Y i

)n∑

i=1

n

X i2−(∑

i=1

n

X i)2

b =

n(∑i=1

n

X i1Y i

)−(∑i=1

n

X i)(∑i=1

n1Y i

)n∑

i=1

n

X i2−(∑

i=1

n

X i)2

Untuk data Tabel 6.10, kita tentukan regresinya dengan mengambil model hiperbola. Untuk ini perlu dibuat Tabel 6.12 untuk membantu proses perhitungan.

Tabel 6.12 Nilai-nilai yang diperlukan untuk menghitung koefisien model hiperbola

Xᵢ Yᵢ 1/Yᵢ Xᵢ² Xᵢ/Yᵢ20 150 0,0067 400 0,133335 125 0,0080 1225 0,280060 105 0,0095 3600 0,5714

100 100 0,0100 10000 1,0000150 92 0,0109 22500 1,6304300 97 0,0103 90000 3,0928500 97 0,0103 250000 5,1546800 62 0,0161 640000 12,90321200 58 0,0172 1440000 20,68971300 40 0,0250 1690000 32,50001500 38 0,0263 2250000 39,47371600 35 0,0286 2560000 45,71437565 999 0,1789 8957725 163,1435

Dengan nilai-nilai

∑i=1

n

X ᵢ=7565 ,∑i=1

n

log1Yᵢ

=0,1789 ,

∑i=1

n

Xᵢ ²=8957725 ,∑i=1

nXᵢYᵢ

=163,1435 dan n=12

yang diperoleh dari Tabel 6.12 didapat

a = (0,1789 ) (8957725 )−(7565 )(0,1789)

12 (8957725 )−(7565) ² = 0,0319

b = 12 (163,1435 )−(7565 )(0,1789)

12 (8957725 )−(7565)² = 0,000012

Persamaan regresi model hiperbila untuk soal tersebut adalah

Ŷ= 10,0319+0,000012 X

Hasil ini memberikan taksiran regresi Ŷ = 122,262 – 0,085 X + 0,0000197 X2. Model ini pun signifikan dengan daya ramal 87%. Hal ini ditunjukkan oleh nilai F = 31,17 dengan nilai p = 0,0001 dan nilai R2 = 0,8737.

Kita bandingkan model hiperbola 1Ŷ

= 0,0073 + 0,00012 yang mempunyai daya ramal

93% (R2 = 0,9265) dengan model kuadratik Ŷ = 122,262 – 0,085 X + 0,0000197 X2 yang mempunyai daya ramal 87% (R2 = 0,8737). Kita bisa melihat bahwa model hiperbola sedikit lebih tinggi daya ramalnya dibandingkan dengan model kuadratik. Disamping daya ramal, kesederhanaan model dan kemudahan interprestasi harus ikut dipertimbangkan sebelum memilihmodel yang akan digunakan.