PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI · pakan persamaaan atau pertidaksamaan nonlinear. Salah...

i

METODE TITIK-INTERIOR

PADA PEMROGRAMAN KUADRATIK KONVEKS

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh:

Fenny Basuki

NIM: 083114003

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2012

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

INTERIOR-POINT METHODS

IN CONVEX QUADRATIC PROGRAMMING

Research

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements

To Obtain the Sarjana Sains Degree

In Mathematics

By:

Fenny Basuki

Student Number: 083114003

MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT

SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2012


Yesus berfirman :

“Janganlah hendaknya kamu kuatir tentang

apapun juga, tetapi nyatakanlah dalam

segala hal keinginanmu dalam Allah

dalam doa dan permohonan dengan

ucapan syukur.”

(Filipi 4:6)

vi

Yesus berfirman :

Janganlah hendaknya kamu kuatir tentang

apapun juga, tetapi nyatakanlah dalam

segala hal keinginanmu dalam Allah

dalam doa dan permohonan dengan

ucapan syukur.”

Karya ini ku persembahkan untuk:

Tuhan Yesus dan Bunda Maria

sumber inspirasi ku,

Papi, mami, serta adik

yang selalu memberi perhatian,

kasih sayang dan membimbingku

Janganlah hendaknya kamu kuatir tentang

Karya ini ku persembahkan untuk:

dan Bunda Maria

sumber inspirasi ku,

serta adik-adikku

yang selalu memberi perhatian,

kasih sayang dan membimbingku.


viii

ABSTRAK

Penyelesaian pemrograman kuadratik konveks secara analitik memerlukan langkah

yang panjang. Pada skripsi ini akan dipaparkan metode numerik yang dapat

digunakan untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, yakni metode titik-interior

primal-dual. Metode titik-interior primal-dual merupakan suatu metode untuk

menemukan penyelesaian primal-dual dengan menerapkan metode Newton dan

memodifikasi arah selidik dan panjang langkah. Tujuan dari metode ini adalah

membatasi pergerakan nilai optimum yang dihasilkan pada setiap iterasinya dengan

toleransi tertentu. Pencarian penyelesaian optimum dimulai dari sebarang titik-

interior, sehingga konvergensinya cepat diperoleh.

Kata kunci: Karush Kuhn Tucker, metode titik-interior primal-dual, pemrograman

kuadratik konveks, penyelesaian optimum.

.


ix

ABSTRACT

Solving the convex quadratic programming need a long step when it is finished

analytically. In this thesis, numerical method will be introduced which can be used to

solve this problem, namely a primal-dual interior-point method. Primal-dual interior-

point method is a method to find the primal-dual solution by applying Newton

method and modifying the search direction and step-length. This method purpose to

restricting the movement of the optimum value generated from each iteration method

with certain tolerances. Optimum solution search start from the any interior-point so

that the convergence will be faster to obtain.

Key word: Karush Kuhn Tucker, primal-dual interior-point method, convex quadratic

programming, optimum solution.


x

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Tuhan Yesus atas anugerah dan karunia-Nya sehingga

penulisan skripsi ini dapat terselesaikan. Skripsi ini berjudul: “METODE TITIK-

INTERIOR PADA PEMROGRAMAN KUADRATIK KONVEKS”, yang

diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada

Program Studi Matematika, Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi,

Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Penulisan skripsi ini tidak lepas dari bantuan dan dukungan dari berbagai

pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati penulis ingin menyampaikan

ucapan terima kasih kepada:

1. Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing dan Kaprodi

Matematika FST-USD yang dengan rendah hati mau meluangkan banyak waktu

dan penuh kesabaran telah membimbing penulis selama penyusunan skripsi.

2. P. H. Prima Rosa, S.Si., M.Sc., selaku Dekan FST-USD.

3. MV. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing akademik dan dosen

penguji.

4. Dominikus Arif Budi Prasetyo, S.Si., M.Si., selaku dosen penguji.

5. A. Prasetyadi, S.Si., M.Si., dan Prof. Drs. R. Soemantri yang telah banyak

membantu dan memberi masukan kepada penulis.

6. Herry Pribawanto Suryawan, S.Si., M.Si. yang yang pernah menjadi dosen

pembimbing akademik dan telah banyak membantu dan memberi masukan

kepada penulis.


xii

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ................................................................................... i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ................................ ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ........................................ iii

HALAMAN PENGESAHAN ..................................................................... iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .................................................... v

HALAMAN PERSEMBAHAN ................................................................. vi

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA

ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ................................... vii

ABSTRAK ................................................................................................. viii

ABSTRACT ............................................................................................... ix

KATA PENGANTAR ............................................................................... x

DAFTAR ISI .............................................................................................. xii

DAFTAR GAMBAR ................................................................................. xiv

DAFTAR TABEL ...................................................................................... xv

BAB I PENDAHULUAN .......................................................................... 1

A. Latar Belakang Masalah .............................................................. 1

B. Perumusan Masalah ..................................................................... 4

C. Batasan Masalah .......................................................................... 5

D. Tujuan Penulisan ......................................................................... 5

E. Manfaat Penulisan ....................................................................... 5

F. Metode Penulisan ......................................................................... 5

G. Sistematika Penulisan .................................................................... 6

BAB II HIMPUNAN KONVEKS DAN TEORI OPTIMISASI

DALAM .................................................................................. 8


xiii

A. Matriks dan Ruang Vektor .......................................................... 8

B. Fungsi Terdiferensial ................................................................... 41

C. Himpunan Konveks dan Fungsi Konveks ................................... 55

D. Teori Optimisasi .......................................................................... 72

E. Metode Newton untuk Sistem Persamaan Nonlinear .................. 85

BAB III METODE TITIK-INTERIOR ..................................................... 91

A. Pemrograman Kuadratik Konveks .............................................. 91

B. Metode Titik-Interior .................................................................. 94

BAB IV PENUTUP ................................................................................... 120

A. Kesimpulan ................................................................................. 120

B. Saran ............................................................................................ 121

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................ 122

LAMPIRAN ............................................................................................... 124


xiv

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 1.1.1 Minimum sama dengan maksimum ................ 2

Gambar 2.1.1 Lingkaran

1 .................................................... 30

Gambar 2.1.2 Himpunan Terurut ................................................................ 38

Gambar 2.2.1 Teorema Nilai Rata-Rata ..................................................... 45

Gambar 2.3.1 Ilustrasi dari Himpunan Konveks ........................................ 56

Gambar 2.3.2 Lingkaran 122=+ yx ......................................................... 57

Gambar 2.3.3 Contoh Fungsi Konveks ...................................................... 58

Gambar 3.2.1 Diagram Alir Algoritma Metode Titik-Interior

Primal-Dual ......................................................................... 107


xv

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 3.2.1 Output Penyelesaian Contoh 3.2.1 dengan Matlab ................ 117

Tabel 3.2.2 Tabel Perbandingan Nilai Awal Metode Titik-Interior

Primal-Dual ......................................................................... 118


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Saat ini semakin banyak permasalahan pada kehidupan sehari-hari

yang memerlukan pendekatan optimisasi dalam penyelesaiannya. Sebagai

contoh, misalkan sebuah perusahaan ingin meminimumkan biaya pembuatan

dua produk. Untuk menyelesaikan permasalahan ini, maka harus diketahui

hal-hal apa saja yang mempengaruhi pembuatan dua produk tersebut, misal-

nya jumlah bahan baku yang tersedia. Misalkan, meminimumkan biaya pem-

buatan dua produk dinyatakan dengan fungsi f . Sedangkan, banyaknya barang

yang dihasilkan dari masing-masing produk, misalnya , . Variabel-

variabel tersebut perlu diberi batasan yang disebut dengan kendala, dalam hal

ini berupa jumlah bahan baku yang tersedia, sedangkan fungsi , di-

sebut dengan fungsi obyektif.

Optimisasi secara matematis dapat diartikan sebagai proses menemu-

kan penyelesaian yang memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi.

Untuk menemukan penyelesaian dari masalah memaksimumkan suatu fungsi

dapat diselesaikan dengan cara mencari penyelesaian dari masalah memini-

mumkan negatif dari fungsi tersebut.


2

Untuk lebih jelasnya, perhatikan Gambar 1.1.1:

Gambar 1.1.1 Minimum sama dengan maksimum

Berdasarkan Gambar 1.1.1, (dalam hal ini sebagai contoh adalah

suatu fungsi dengan satu variabel) dapat dilihat bahwa jika suatu titik me-

nunjukkan nilai pembuat minimum dari fungsi , maka titik yang sama itu

juga menunjukkan nilai pembuat maksimum dari negatif fungsi tersebut, yak-

ni .

Pendekatan optimisasi sendiri menyediakan banyak alternatif metode

yang dapat dipilih sesuai dengan karakteristik permasalahan yang akan disele-

saikan. Permasalahan optimisasi terbagi menjadi dua bagian, yaitu permasala-

han optimisasi berkendala dan permasalahan optimisasi tidak berkendala.

Permasalahan optimisasi berkendala adalah optimisasi suatu fungsi, yang di-

sebut fungsi obyektif, dengan kendala-kendala berupa pertidaksamaaan atau


3

persamaan. Sedangkan, permasalahan optimisasi tidak berkendala adalah op-

timisasi suatu fungsi obyektif tanpa kendala.

Secara garis besar, permasalahan dalam teknik optimisasi dapat berupa

permasalahan pemrograman linear maupun nonlinear. Pemrograman linear

adalah pemrograman yang mempelajari kasus dimana fungsi obyektifnya ada-

lah fungsi linear dan kendalanya merupakan persamaaan atau pertidaksamaan

linear. Sedangkan, pemrograman nonlinear adalah pemrograman yang mem-

pelajari kasus dimana salah satu fungsi obyektif atau fungsi kendalanya meru-

pakan persamaaan atau pertidaksamaan nonlinear.

Salah satu subklas dalam permasalahan pemrograman nonlinear adalah

pemrograman kuadratik konveks. Pemrograman kuadratik konveks adalah

permasalahan optimisasi berkendala nonlinear dimana fungsi obyektifnya ada-

lah fungsi kuadratik konveks, sedangkan kendala-kendalanya merupakan per-

samaan atau pertidaksamaan linear. Fungsi kuadratik konveks pada fungsi ob-

yektif yang terdapat dalam pemrograman kuadratik konveks memiliki bentuk

umum

dengan G adalah matriks semidefinit positif.

Metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan op-

timisasi pada pemrograman kuadratik konveks antara lain adalah metode him-

punan aktif dan metode titik-interior. Metode titik-interior pada pemrograman

kuadratik terbagi lagi menjadi dua, yakni metode jalur pusat (central path me-

thod) dan metode titik-interior primal-dual (primal-dual interior-point me-


4

thod). Namun dalam skripsi ini metode yang akan dibahas hanya metode titik-

interior primal-dual.

Metode titik-interior primal-dual merupakan salah satu metode nume-

rik yang menerapkan metode Newton dalam menyelesaikannya. Pada metode

titik-interior primal-dual, pencarian penyelesaian optimum dimulai dari seba-

rang titik-interior sehingga akan menghasilkan iterasi yang lebih sedikit kare-

na konvergensinya lebih cepat diperoleh.

B. Perumusan Masalah

Berdasarkan uraian yang dikemukakan dalam latar belakang, pokok–

pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini dapat dirumuskan

sebagai berikut :

1. Apa yang dimaksud dengan pemrograman kuadratik konveks?

2. Apa yang dimaksud dengan metode titik-interior primal-dual untuk me-

nyelesaikan permasalahan optimisasi berkendala pada pemrograman kua-

dratik konveks?

3. Bagaimana cara menyelesaikan pemrograman kuadratik konveks dengan

menggunakan metode titik-interior primal-dual?

4. Bagaimana mengimplementasikan metode titik-interior primal-dual

dengan menggunakan Matlab?


5

C. Batasan Masalah

Pembatasan masalah metode titik-interior primal-dual dalam skripsi

ini hanya dibatasi untuk pemrograman kuadratik konveks dengan kendala-

kendala berupa pertidaksamaan.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan skripsi ini adalah untuk menyelesaikan permasala-

han optimisasi berkendala dengan menggunakan metode titik-interior primal-

dual pada pemrograman kuadratik konveks serta bagaimana mengimplemen-

tasikan metode titik-interior primal-dual dengan menggunakan Matlab.

E. Manfaat Penulisan

Manfaat yang diharapkan dalam skripsi ini adalah dapat memahami

bagaimana penggunaan metode titik-interior primal-dual pada pemrograman

kuadratik konveks serta dapat mengimplementasikan metode titik-interior

primal-dual dengan menggunakan Matlab.

F. Metode Penulisan

Metode yang digunakan penulis dalam skripsi ini adalah metode studi

pustaka, yaitu dengan mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan topik

metode titik-interior primal-dual pada pemrograman kuadratik konveks.


6

G. Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan skripsi ini terdiri dari empat bab dengan urutan

sebagai berikut:

BAB I : PENDAHULUAN

Dalam bab ini akan dibahas mengenai latar belakang masalah,

perumusan masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, man-

faat penulisan, metode penulisan, dan sistematika penulisan.

BAB II : HIMPUNAN KONVEKS DAN TEORI OPTIMISASI DA-

LAM

Dalam bab ini akan dibahas mengenai matriks dan ruang vek-

tor, fungsi terdiferensial, himpunan konveks dan fungsi kon-

veks, teori optimisasi, dan metode Newton untuk sistem per-

samaan nonlinear yang akan digunakan untuk memahami me-

tode titik-interior primal-dual.

BAB III : METODE TITIK-INTERIOR

Dalam bab ini akan dibahas mengenai pemrograman kuadratik

konveks, metode titik-interior, konsep metode titik-interior

primal dual, algoritma metode titik-interior primal-dual beserta


7

contoh permasalahan pemrograman kuadratik konveks yang

diselesaikan dengan metode titik-interior primal-dual, dan yang

terakhir akan dibahas juga implementasinya dengan menggu-

nakan program Matlab.

BAB IV : PENUTUP

Bab ini berisi kesimpulan dan saran.


8

BAB II

HIMPUNAN KONVEKS

DAN TEORI OPTIMISASI DALAM

Dalam bab ini akan dibahas mengenai matriks dan ruang vektor, fungsi terdi-

ferensial, himpunan konveks dan fungsi konveks, teori optimisasi, dan metode

Newton untuk sistem persamaan nonlinear yang akan digunakan untuk memaha-

mi metode titik-interior primal-dual.

A. Matriks dan Ruang Vektor

Pada subbab ini akan dibahas mengenai matriks, panjang (norm), ja-

rak, ruang vektor, dan beberapa definisi serta teorema dasar tentang analisis

real.

Definisi 2.1.1 (Ruang Berdimensi n)

Jika n adalah suatu bilangan bulat positif, maka tupel n berurutan adalah suatu

urutan dari n bilangan real , , … , . Himpunan semua tupel n beruru-

tan disebut ruang berdimensi n dan dinyatakan sebagai .


9

Definisi 2.1.2 (Matriks)

Matriks adalah jajaran empat persegi panjang dari bilangan-bilangan yang di-

atur menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan dalam jajaran tersebut di-

sebut dengan elemen dari matriks.

Elemen-elemen yang terletak pada baris i dan kolom j di dalam ma-

triks A dapat dinyatakan sebagai . Sehingga, matriks secara umum dapat di-

tulis sebagai berikut:

Atau lebih singkat dapat ditulis sebagai atau .

Definisi 2.1.3 (Matriks Simetrik)

Sebuah matriks bujur sangkar A adalah simetrik jika dan hanya jika A = AT.

Definisi 2.1.4 (Matriks Definit Positif dan Matriks Semidefinit Positif)

Misalkan A adalah matriks simetrik.

A dikatakan definit positif jika xTAx > 0, , 0.

A dikatakan semidefinit positif jika xTAx ≥ 0, .


10

Dari Definisi 2.1.4, dapat disimpulkan bahwa jika A adalah matriks

definit positif, maka A juga adalah matriks semidefinit positif.

Untuk lebih memahami definisi matriks, matriks simetrik, matriks de-

finit positif dan matriks semidefinit positif, maka akan diberikan contoh beri-

kut.

Contoh 2.1.1

Misalkan diberikan suatu matriks simetrik:

2 1 01 2 10 1 2

Untuk mengkaji bahwa matriks A adalah matriks definit positif, maka harus

ditunjukkan bahwa xTAx > 0, , 0.

! ! ! 2 1 01 2 10 1 2 !!!

! ! ! 2! !! " 2! !! " 2!

!#2! !$ " !#! " 2! !$ " !#! " 2!$

2! !! !! " 2! !%!& !%!& " 2!

2! 2!! " 2! 2!%!& " 2!

! " #! 2!! " !$ " #! 2!%!& " !$ " !


11

! " #! !$ " #!% !&$ " !

Dari sini dapat disimpulkan bahwa matriks A bersifat definit positif karena

! " #! !$ " #!% !&$ " ! ' 0, , kecuali jika

! ! ! 0.

Contoh 2.1.2

Misalkan diberikan suatu matriks simetrik:

( )2 00 2* Untuk mengkaji bahwa matriks G adalah matriks semidefinit positif, maka ha-

rus ditunjukkan bahwa xTGx ≥ 0, .

( ! ! )2 00 2* )!!* ! ! +2!2!,

!#2!$ " !#2!$

2! " 2!

Karena ( 2! " 2! - 0, , maka dapat disimpulkan bahwa

matriks G adalah matriks semidefinit positif.


12

Definisi 2.1.5 (Ruang Vektor)

Misalkan . adalah himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan operasi pen-

jumlahan dan perkalian skalar dengan bilangan real. Artinya, bila diberikan

dua elemen / dan 3 di . dan , 5 , maka penjumlahan / " 3 dan perka-

lian skalar / didefinisikan dan terletak di V juga. Kemudian V dengan kedua

operasi ini disebut ruang vektor jika kedua operasi tersebut memenuhi aksi-

oma-aksioma berikut.

Untuk setiap /, 3, 6 . dan , 5 berlaku:

(i) / " 3 3 " /.

(ii) / " #3 " 6$ #/ " 3$ " 6.

(iii) Ada elemen 7 . sehingga / " 7 /.

(iv) Ada elemen / . sehingga / " #/$ 7.

(v) #/ " 3$ / " 3.

(vi) # " 5$/ / " 5/.

(vii) #5$/ #5/$.

(viii) 1/ /.

Untuk lebih memahami definisi ruang vektor, maka akan diberikan

contoh berikut.


13

Contoh 2.1.3

Buktikan bahwa 8#9, 9, … , 9$|9 , 9 , … , 9 < adalah

ruang vektor!

Bukti:

Misalkan / #9, 9, … , 9$ dan 3 #=, =, … , =$, maka

/ " 3 #9 " =, 9 " =, … , 9 " =$ dan / #9, 9, … , 9$.

a) / " 3 #9 " =, 9 " =, … , 9 " =$

#= " 9, = " 9, … , = " 9$

3 " /

b) #/ " 3$ " 6 >#9 " =, 9 " =, … , 9 " =$? " #@, @, … , @$

>#9, 9, … , 9$ " #=, =, … , =$? " #@, @, … , @$

#9, 9, … , 9$ " #=, =, … , =$ " #@, @, … , @$

#9, 9, … , 9$ " ##=, =, … , =$ " #@, @, … , @$$

#9, 9, … , 9$ " #= " @, = " @, … , = " @$

/ " #3 " 6$

c) / " 7 #9, 9, … , 9$ " #0, 0, … , 0$ #9 " 0, 9 " 0, … , 9 " 0$


14

#9, 9, … , 9$

/

d) / " #/$ #9, 9, … , 9$ " #9, 9, … , 9$

#9 " #9$, 9 " #9$, … , 9 " #9$$

#0, 0, … , 0$

7

e) #/ " 3$ #9 " =, 9 " =, … , 9 " =$

##9, 9, … , 9$ " #=, =, … , =$$

#9, 9, … , 9$ " #=, =, … , =$

/ " 3

f) # " 5$/ # " 5$#9, 9, … , 9$

># " 5$9, # " 5$9, … , # " 5$9?

#9 " 59, 9% " 59%, … , 9 " 59$ #9, 9, … , 9$ " #59, 59, … , 59$

#9, 9, … , 9$ " 5#9, 9, … , 9$

/ " 5/

g) #5$/ #5$#9, 9, … , 9$


15

>#5$9, #5$9, … , #5$9?

##59$, #59$, … , #59$$ #59, 59, … , 59$

#5/$

h) 1/ 1#9, 9, … , 9$

#19, 19, … , 19$

#9, 9, … , 9$

/

Karena 8#9, 9, … , 9$|9 , 9 , … , 9 < dengan operasi

penjumlahan dan perkalian skalar memenuhi aksioma-aksioma seperti pada

Definisi 2.1.5, maka terbukti bahwa adalah ruang vektor.

Definisi 2.1.6 (Ruang Hasil Kali Dalam)

Hasil kali dalam pada adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan se-

buah bilangan real A, BC dengan sepasang vektor x dan y di , sehingga ak-

sioma-aksioma berikut ini terpenuhi bagi semua vektor x, y, dan z di dan

semua bilangan skalar s.

(i) A, BC AB, C (Aksioma Kesimetrian)

(ii) A " B, DC A, DC " AB, DC (Aksioma Penjumlahan)


16

(iii) AE, BC EA, BC (Aksioma Homogenitas)

(iv) A, C - 0 (Aksioma Positivitas)

(v) A, C 0 jika dan hanya jika 0

Sebuah ruang vektor real yang memiliki sebuah hasil kali dalam disebut

ruang hasil kali dalam.

Untuk lebih memahami sifat hasil kali dalam yang pertama, yakni

A, BC AB, C , maka akan diberikan contoh berikut.

Contoh 2.1.4

Untuk F!!!G dan B FHHH

G adalah sembarang vektor-vektor di , bukti-

kan jika A, BC B, maka B AB, C!

Bukti:

Ambil sebarang vektor F!!!G dan B FHHH

G dalam ruang vektor .

Akan dibuktikan A, BC B memenuhi A, BC AB, C. B ! ! … ! FHHH

G


17

!H " !H " … " !H

H! " H! " … " H!

H H … H F!!!G

B

AB, C Jadi, terbukti bahwa A, BC AB, C.

Definisi 2.1.7 (Panjang atau Norm)

Panjang atau norm sebuah vektor di dinotasikan dengan LL dan dide-

finisikan sebagai

LL A, CMN # · $MN P! " ! " … " ! .

Sebuah pemetaan L . L dikatakan sebuah norm jika dan hanya jika

memenuhi sifat berikut:

(1) LL - 0,

(2) LL 0 jika dan hanya jika x = 0,

(3) LαL |R|LL, R , (4) L " BL S LL " LBL, , B (Ketaksamaan segitiga)


18

Definisi 2.1.8 (Ortogonal)

Dua vektor u dan v di dalam ruang hasil kali dalam di dikatakan ortogo-

nal jika A/, 3C 0.

Teorema 2.1.1 (Hukum Phytagoras)

Jika u dan v adalah vektor-vektor ortogonal di dalam ruang hasil kali dalam di

, maka

L/ " 3L L/L " L3L.

Bukti:

L/ " 3L A/ " 3, / " 3C A/, /C " A/, 3C " A3, /C " A3, 3C A/, /C " A/, 3C " A/, 3C " A3, 3C

A/, /C " 2A/, 3C " A3, 3C L/L " L3L

Definisi 2.1.9 (Proyeksi Skalar dan Proyeksi Vektor)

Jika u dan v adalah vektor-vektor di dalam ruang hasil kali dalam di dan

3 0, maka proyeksi skalar dari u pada v diberikan oleh R A/,3CL3L dan

proyeksi vektor dari u pada v diberikan oleh T R U L3L 3V A/,3CA3,3C 3 .


19

Teorema 2.1.2

Jika 3 0 dan p adalah proyeksi vektor dari u pada v, maka / T dan p ada-

lah ortogonal.

Bukti:

Karena AT, TC A WL3L 3, WL3L 3C U WL3LV A3, 3C R dan A/, TC #A/,3C$A3,3C R.

Ini mengakibatkan A/ T, TC A/, TC AT, TC R R 0. Oleh karena

itu, / T dan p adalah ortogonal.

Teorema 2.1.3 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz)

Jika u dan v adalah vektor-vektor di dalam ruang hasil kali dalam di , maka

|A/, 3C| S L/LL3L

Bukti:

Jika 3 0, maka |A/, 3C| 0 L/LL3L. Jika 3 0, maka misalkan p seba-

gai proyeksi vektor dari u pada v. Karena p ortogonal pada / T, maka me-

nurut Hukum Phytagoras

LTL " L/ TL L/L

X LTL L/L L/ TL

X R L/L L/ TL (dari Teorema 2.1.2)


20

X #A/, 3C$L3L L/L L/ TL

X #A/, 3C$ L/LL3L L/ TLL3L S L/LL3L

Dengan mengambil akarnya, maka diperoleh |A/, 3C| S L/LL3L.

Untuk lebih memahami definisi norm serta sifat-sifat dari norm, maka

akan diberikan contoh berikut.

Contoh 2.1.5

Buktikan bahwa

LL Y|!|Z[\

adalah norm!

Bukti:

Untuk membuktikan bahwa LL adalah norm, maka harus ditunjukkan bah-

wa LL memenuhi keempat sifat dari norm.

Misalkan, x dan y adalah sebarang vektor di dan R adalah sebarang bila-

ngan real.

(1) Akan dibuktikan bahwa LL - 0

Karena ! - 0 untuk sebarang bilangan real !, maka


21

LL Y|!|Z[\ - 0

(2) Akan dibuktikan bahwa LL 0 jika dan hanya jika 0.

Jika 0, maka ! 0, ]. Oleh karena itu, ∑ |!|Z[\ 0 dan LL 0.

Sebaliknya, jika LL 0, maka ∑ |!|Z[\ 0.

Karena |!| - 0, dengan demikian ∑ |!|Z[\ 0 hanya dipenuhi jika

|!| 0 sehingga 0.

(3) Akan dibuktikan bahwa LRL |R|LL, R , .

LRL Y|R!|\

|R| _Y|!|\ `

|R|LL

(4) Akan dibuktikan bahwa L " BL S LL " LBL. L " BL Y|! " H|

\

S Y|!| "\ Y|H|

\ #Sifat nilai mutlak$


22

LL " LBL

Jadi, L " BL S LL " LBL.

Teorema 2.1.4 (Ketaksamaan Cauchy-Buniakowski-Schwarz)

Misalkan , B , maka

gY !H

\ g S LLLBL

Bukti:

Pertidaksamaan |∑ !Hhi\j | S LLLBL akan bersifat trivial jika dan hanya

jika 0 atau B 0. Oleh karena itu, andaikan bahwa dan B, keduanya

taknol. Misalkan, k adalah sebarang bilangan real. Maka,

0 S L " kBL Y#! " kH$\

Y !\ " 2k Y !H " k Y H

\

\

LL " 2k Y !H " kLBL\

Misalkan, LBL, 5 ∑ !H, dan l LLhi\j . Sehingga pertidaksa-

maan menjadi k " 25k " l - 0 untuk semua k . Hal ini dapat terjadi


23

jika dan hanya jika diskriminan atau m #25$ 4l 45 4l o 0.

Karena itu, 5 o l. Dengan mensubstitusikan nilai dari , 5, dan l, maka di-

peroleh

_Y !H

\ ` S LLLBL

Dengan mengambil akarnya, maka diperoleh

gY !H

\ g S LLLBL

Contoh 2.1.6

Buktikan bahwa

LL _Y !\ ` p

adalah norm!

Bukti:

Untuk membuktikan bahwa LL adalah norm, maka harus ditunjukkan bah-

wa LL memenuhi keempat sifat dari norm.

Misalkan, x dan y adalah sebarang vektor di dan R adalah sebarang bila-

ngan real.


24

(1) Akan dibuktikan bahwa LL - 0 .

Karena ! - 0 untuk sebarang bilangan real !, maka

LL #Y !$/ - 0\

(2) Akan dibuktikan bahwa LL 0 jika dan hanya jika 0.

Jika 0, maka ! 0, ]. Oleh karena itu, ∑ ! 0hi\j dan LL 0.

Sebaliknya, jika LL 0, maka ∑ ! 0hi\j .

Karena ! - 0, dengan demikian #∑ !$/ 0hi\j hanya dipenuhi

jika ! 0 sehingga 0.

(3) Akan dibuktikan bahwa LRL |R|LL, R , .

LRL _Y#R!$\ `

_R Y !\ `/

|R| _Y !\ `/

|R|LL


25

(4) Akan dibuktikan bahwa L " BL S LL " LBL. L " BL

Y#! " H$\

Y ! " 2\ Y !H " Y H

\

\

S LL " 2 gY !H

\ g " LBL #Sifat nilai mutlak$

S LL " 2LLLBL " LBL # Ketaksamaan Cauchy-

Buniakowski-Schwarz)

#LL " LBL$


L " BL S LL " LBL.

Selanjutnya, akan diberikan definisi dan sifat jarak pada .

Definisi 2.1.10 (Jarak)

Jarak antara dua buah titik titik dan B dinotasikan dengan

r#, B$ L BL A B, BC # B$ · # B$


26

Teorema 2.1.5 (Sifat-Sifat Jarak pada )

Jika x, y, dan z adalah vektor-vektor pada , maka:

(1) L BL - 0

(2) L BL 0 jika dan hanya jika B

(3) L DL S L BL " LB DL

(4) L BL LB L

Bukti:

(1) Akan dibuktikan bahwa L BL - 0.

Bukti:

L BL 2/1

1

2)(

−∑

=

n

i

ii yx

Karena #! H$ - 0 untuk sebarang bilangan real ! dan H, maka

L BL - 0.

(2) Akan dibuktikan bahwa L BL 0 jika dan hanya jika B.

Bukti:

Jika B, maka ! H , ].


27

Oleh karena itu, ∑ #! H$ 0\ dan L BL 0.

Sebaliknya, jika L BL 0, maka ∑ #! H$ 0\ .

Karena #! H$ - 0, dengan demikian ∑ #! H$ 0\ hanya dipe-

nuhi jika ! H 0 sehingga B.

(3) Akan dibuktikan bahwa L DL S L BL " LB DL.

Bukti:

L DL L B " B DL

A B " B D, B " B DC A B, B " B DC " AB D, B " B DC

A B, BC " A B, B DC " AB D, BC "AB D, B DC

L BL " A B, B DC " AB D, BC " LB DL

L BL " A B, B DC " A B, B DC " LB DL

L BL " 2A B, B DC " LB DL

S L BL " 2L BLLB DL " LB DL (Ketaksamaan

Cauchy-Schwarz)

#L BL " LB DL$



28

L DL S L BL " LB DL.

Jadi, terbukti untuk L DL S L BL " LB DL.

(4) Akan dibuktikan bahwa L BL LB L.

Bukti:

L BL L#1$#B $L

|1|LB L

LB L

Teorema 2.1.6 (Hukum Paralelogram)

Untuk semua , B

L " BL " L BL 2#LL " LBL$

Bukti:

L " BL " L BL

A " B, " BC " A B, BC A, " BC " AB, " BC " A, BC AB, BC A, C " A, BC " AB, C " AB, BC " A, C A, BC AB, C " AB, BC


29

A, C " AB, BC " A, C " AB, BC 2A, C " 2AB, BC 2LL " 2LBL

2#LL " LBL$

Selanjutnya, akan diberikan definisi kitar dan titik-interior.

Definisi 2.1.11 (Kitar)

Diberikan titik dan δ > 0. Kitar- δ dari x didefinisikan sebagai

st#$ 8B |LB L o δ<

Definisi 2.1.12 (Titik Interior)

Misalkan m v dan m. Titik x dikatakan titik interior dari D

jika ada suatu kitar- δ dari x sedemikian sehingga st#$ v m.

Untuk lebih memahami definisi titik interior, maka akan diberikan

contoh berikut.

Contoh 2.1.7

8#!, !$|! " ! o 1<


30

Himpunan ini merepresentasikan titik yang berada di dalam lingkaran dengan

pusat (0,0) dan radius 1 seperti pada Gambar 2.1.1.

Gambar 2.1.1 Lingkaran ! " ! o 1

Titik-titik yang berada di dalam lingkaran adalah titik interior. Sedangkan, ti-

tik-titik yang berada pada batas dan luar lingkaran bukan merupakan titik inte-

rior.

Definisi 2.1.13 (Himpunan Terbuka)

Himpunan semua titik interior dari D disebut interior D dan dinotasikan de-

ngan int(D). Selanjutnya, jika int(D) = D, yakni setiap titik dari D adalah titik

interior dari D, maka D adalah himpunan terbuka.

Definisi 2.1.14 (Himpunan Tertutup)

Suatu himpunan m v dikatakan tertutup jika dan hanya jika komplemen-

nya adalah terbuka.


31

Untuk lebih memahami definisi himpunan terbuka, maka akan diberi-

kan contoh berikut.

Contoh 2.1.8

Berdasarkan Contoh 2.1.7, A adalah himpunan terbuka, karena titik-titik yang

berada di dalam lingkaran adalah titik interior.

Selanjutnya, akan diberikan definisi relasi dan himpunan terurut secara

parsial.

Definisi 2.1.15 (Relasi)

Sebuah relasi dari suatu himpunan A ke himpunan B adalah suatu subset R

dari X x, di mana X x 8#, 5$: , 5 x<.

Relasi dapat pula ditulis sebagai z 5 yang berarti bahwa #, 5$ z.

Definisi 2.1.16 (Himpunan Terurut Secara Parsial)

Misalkan R adalah sebuah relasi pada sebuah himpunan S, maka R disebut re-

lasi urutan parsial jika yang memenuhi tiga sifat berikut:

(i) Refleksif

R dikatakan refleksif jika dan hanya jika z untuk setiap .


32

(ii) Antisimetris

R dikatakan antisimetris jika dan hanya jika z 5 dan 5 z , maka

5, untuk setiap #, 5$ .

(iii) Transitif

R dikatakan transitif jika dan hanya jika z 5 dan 5 z l, maka z l,

untuk setiap #, 5, l$ .

Himpunan S bersama dengan suatu relasi urutan parsial R pada A dikatakan

himpunan terurut secara parsial.

Relasi urutan parsial dari sebuah himpunan S biasanya dinotasikan

dengan S atau -. Relasi S 5 dibaca dengan “a mendahului b”, sedangkan

relasi - b dibaca dengan “a melampaui b”.

Untuk lebih memahami definisi himpunan terurut secara parsial, maka


Contoh 2.1.9

Perhatikan bilangan bulat positif . Didefinisikan relasi " membagi 5" de-

ngan |5, jika terdapat sebuah l sedemikian sehingga l 5. Misalnya,

2|4, 3|12, 7|21, dan seterusnya. Tunjukkan bahwa pembagian adalah sebuah

pengurutan parsial dari , yakni tunjukkan bahwa berlaku sifat berikut:


33

a. Refleksif: |.

b. Antisimetris: Jika |5 dan 5| maka 5.

c. Transitif: Jika |5 dan 5|l maka |l.

Bukti:

a. Karena · 1 , maka |.

b. Andaikan |5 dan 5|, misalkan 5 dan E5. Maka, 5 E5 se-

hingga E 1. Karena dan E adalah bilangan bulat positif, maka

1 dan E 1. Dengan demikian, 5.

c. Andaikan |5 dan 5|l, misalkan 5 dan l E5. Maka, l E se-

hingga |l.

Berikut ini diberikan definisi batas atas, supremum, batas bawah, dan

infimum.

Definisi 2.1.17 (Batas Atas)

Misalkan A adalah himpunan bagian dari sebuah himpunan S yang terurut se-

cara parsial.


34

Sebuah elemen M dalam S dikatakan sebuah batas atas dari A jika M me-

lampaui setiap elemen dari A, yaitu M adalah sebuah batas atas dari A jika un-

tuk setiap x dalam A diperoleh ! S .

Definisi 2.1.18 (Supremum)

Jika sebuah batas atas dari A mendahului setiap batas atas lain dari A maka di-

sebut batas atas terkecil atau supremum dari A yang dinotasikan dengan

sup (A).

Definisi 2.1.19 (Batas Bawah)

Sebuah elemen m dalam S dikatakan sebuah batas bawah dari A jika m men-

dahului setiap elemen dari A, yaitu m adalah sebuah batas bawah dari A jika

untuk setiap x dalam A diperoleh S !.

Definisi 2.1.20 (Infimum)

Jika sebuah batas bawah dari A melampaui setiap batas bawah lain dari A ma-

ka disebut batas bawah terbesar atau infimum dari A yang dinotasikan

dengan inf (A).

Definisi 2.1.21 (Terbatas ke Atas dan Terbatas ke Bawah)

Misalkan merupakan subhimpunan tak kosong dari .


35

a. Himpunan dikatakan terbatas ke atas jika ada bilangan 9 sedemi-

kian sehingga E S 9 untuk semua E . Setiap bilangan 9 dikatakan batas

atas dari .

b. Himpunan dikatakan terbatas ke bawah jika ada bilangan @ se-

demikian sehingga @ S E untuk semua E . Setiap bilangan @ dikata-

kan batas bawah dari .

Lemma 2.1.1

Batas bawah dari himpunan tak kosong di adalah infimum dari jika

dan hanya jika ' 0 terdapat ! sedemikian sehingga " ' !.

Bukti

#$

Diketahui inf dan ' 0.

Akan ditunjukkan terdapat ! sedemikian sehingga " ' !.

Jika 5 batas bawah maka 5 S . Karena " ' maka " bukan batas bawah .

Karena " bukan batas bawah maka harus ada ! sehingga " ' !.

#$

Jika suatu batas bawah , dan untuk setiap ' 0 terdapat ! sedemikian

sehingga " ' !.


36

Akan dibuktikan inf .

Misalkan bahwa 5 suatu batas bawah . Karena ! dan 5 suatu batas ba-

wah maka ! - 5.

Karena " ' ! maka " ' 5.

Jadi untuk setiap ' 0 berlaku " ' 5. Andaikan 5 ' maka jika diambil

akan diperoleh " sehingga 5 ' " ' dan 5 ' " ' !

yang kontradiksi dengan pernyataan bahwa 5 batas bawah. Jadi, jika 5 batas

bawah haruslah - 5 sehingga merupakan batas bawah terbesar atau

inf .

Definisi 2.1.22 (Barisan Naik dan Barisan Turun)

Misalkan 8!< merupakan barisan bilangan real. Barisan dikatakan

naik jika memenuhi pertidaksamaan

! S ! S S ! S ! S

dan dikatakan turun jika memenuhi pertidaksamaan

! - ! - - ! - ! -

Jika barisan merupakan barisan naik atau barisan turun maka merupakan

barisan monoton.


37

Teorema 2.1.7

Barisan turun dan terbatas ke bawah adalah konvergen.

Bukti:

Diberikan 8!< turun dan terbatas ke bawah. Karena 8!: < maka

terdapat 5 dan 5 inf8!: <. Jadi, untuk setiap berlaku

! - 5 (2.1)

Karena 5 inf8!: <, maka untuk ' 0 yang diberikan terdapat s

dan

5 ' ! - 5 (2.2)

Karena 8!< turun, maka mengingat (2.1) dan (2.2), untuk setiap - s ber-

laku

5 ' ! - ! - 5 ' 5 " (2.3)

Jadi, diperoleh pernyataan bahwa untuk setiap ' 0 terdapat s sedemi-

kian sehingga untuk setiap - dan - s, maka |! 5| o . Jadi, 8!<

konvergen dan lim ! 5 inf8!: <.

Untuk lebih memahami definisi batas atas, batas bawah, supremum,

dan infimum, maka akan diberikan contoh berikut.


38

Contoh 2.1.10

Misalkan . 8, 5, l, r, , , < terurut seperti pada Gambar 2.1.1 dan misal-

kan 8l, r, <. Tentukan batas atas, batas bawah, supremum, dan infimum

dari X!

l r

5

Gambar 2.1.2 Himpunan Terurut

Penyelesaian:

Elemen , , dan didahului oleh setiap elemen dari X, sehingga , , dan

adalah batas atas dari X.

Elemen mendahului setiap elemen dari X, sehingga adalah batas bawah

dari X.

Elemen mendahului dan , sehingga adalah supremum dari X.

Elemen mendahului setiap batas bawah dari X, sehingga adalah infimum

dari X.


39

Definisi 2.1.23 (Barisan Cauchy)

Barisan 8< v dikatakan Barisan Cauchy jika lim ,L L 0.

Dengan kata lain untuk setiap ' 0, terdapat bilangan bulat s sedemikian

sehingga L L o untuk semua , ' s.

Untuk lebih memahami definisi barisan Cauchy, maka akan diberikan

contoh berikut.

Contoh 2.1.11

Buktikan bahwa adalah barisan Cauchy!

Bukti:

Jika diberikan ' 0, dapat dipilih s sedemikian sehingga s ' . Maka,

jika , - s, diperoleh S o dan dengan cara yang sama diperoleh

S o . Oleh karena itu, jika , - s, maka

S " o " .

Karena berlaku untuk sebarang ' 0, maka dapat disimpulkan bahwa

adalah barisan Cauchy.


40

Definisi 2.1.24 (Konvergen)

Barisan 8E< dikatakan konvergen jika terdapat E dengan sifat, untuk se-

barang ' 0 yang diberikan, terdapat s sehingga untuk semua

dengan - s berlaku |E E| o . Bilangan s dinamakan limit 8E< untuk

∞ dan ditulis lim∞ E E atau disingkat lim E E.

Untuk lebih memahami definisi konvergen dari suatu barisan, maka


Contoh 2.1.12

Jika E l untuk semua dan c suatu konstanta, maka buktikan bahwa

8E< konvergen ke c!

Bukti:

Untuk semua berlaku |E l| 0. Jadi, jika diberikan ' 0, maka

terdapat s sehingga - s berlaku |E l| o . Dalam hal ini, dapat

diambil bilangan bulat positif manapun untuk , karena |E l| 0 o un-

tuk .


41

B. Fungsi Terdiferensial

Pada subbab ini akan dibahas mengenai fungsi, fungsi kontinu, fungsi

terdiferensial secara kontinu, fungsi terdiferensial dua kali secara kontinu dan

beberapa definisi serta teorema dasar tentang kalkulus.

Definisi 2.2.1 (Fungsi atau Pemetaan)

Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut dengan fungsi atau pemetaan,

jika dan hanya jika setiap anggota dari himpunan A berpasangan tepat hanya

dengan sebuah anggota dalam himpunan B.

Fungsi f dapat pula dinotasikan dengan BAf →: , yang mana me-

nunjukkan bahwa fungsi tersebut merupakan pemetaan dari himpunan A ke

himpunan B. Himpunan A disebut dengan domain atau daerah asal, sedangkan

himpunan B disebut dengan kodomain atau daerah kawan.

Definisi 2.2.2 (Fungsi Kontinu di )

Misalkan , : , dan l . Fungsi f dikatakan kontinu di c, jika

untuk setiap ' 0 yang diberikan, dapat dicari ¡ ' 0, sehingga untuk semua

! dan |! l| o ¡, maka |#!$ #l$| o .


42

Teorema 2.2.1

Jika , kontinu di x, maka juga kontinu di x.

Bukti:

Andaikan f dan kontinu di x.

Akan dibuktikan bahwa kontinu di x.

Jika adalah sebarang bilangan positif yang diberikan, maka /2 adalah posi-

tif. Karena f kontinu di x, maka untuk setiap ' 0, terdapat suatu bila-

ngan positif ¡, sedemikian sehingga untuk H dan |! H| o¡ maka |#!$ #H$| o dan karena kontinu di x, maka untuk setiap

' 0, terdapat suatu bilangan positif ¡, sedemikian sehingga untuk

H dan |! H| o ¡ maka |#!$ #H$| o . Ambil sebarang ' 0

dan pilih ¡ min 8 ¡, ¡<, yakni pilih ¡ yang terkecil diantara ¡ dan ¡.

Maka, untuk H dan |! H| o ¡ mengimplikasikan

|#!$ #H$ #!$ #H$| |#!$ #H$ " #1$#!$ #H$| S |#!$ #H$| " |#1$#!$ #H$| (Ketaksamaan Segitiga)

S |#!$ #H$| " |#1$||#!$ #H$| S |#!$ #H$| " |#!$ #H$| S /2 " /2


43

Langkah-langkah di atas memperlihatkan bahwa untuk H dan |! H| o¡, maka |#!$ #H$ #!$ #H$| o .

Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa kontinu di x.

Definisi 2.2.3 (Nilai Maksimum, Nilai Minimum, dan Nilai Ekstrim)

Andaikan S adalah daerah asal dari f yang memuat titik c. Dapat dikatakan

bahwa:

(i) f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika #l$ - #!$ untuk semua

x di S.

(ii) f(c) adalah nilai minimum f pada S jika #l$ S #!$ untuk semua x

di S.

(iii) f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika f(c) adalah nilai maksimum

atau nilai minimum.

Teorema 2.2.2 (Titik Kritis)

Andaikan f terdefinisikan pada selang , 5 yang memuat titik c. Jika f(c)

adalah nilai ekstrim, maka c haruslah berupa suatu titik kritis, yakni c berupa

salah satu:

(i) Titik ujung dari , 5. (ii) Titik stasioner dari f, yakni titik c sedemikian sehingga ¢#l$ 0.


44

(iii) Titik singular dari f, yakni titik c sedemikian sehingga ¢#l$ tidak ada.

Bukti:

Akan dibuktikan untuk f(c) yang berupa nilai maksimum f pada , 5. Andaikan bahwa c bukan titik ujung ataupun titik singular, sehingga harus di-

perlihatkan bahwa c adalah titik stasioner. Karena f(c) adalah nilai maksimum,

maka #!$ S #l$ untuk semua x dalam , 5 diperoleh #!$ #l$ S 0.

Jadi, jika ! o l sehingga ! l o 0, maka £#¤$£#¥$¤¥ - 0. Sedangkan, jika

! ' l, maka £#¤$£#¥$¤¥ S 0. Akan tetapi, ¢#l$ ada, karena c bukan titik singu-

lar. Karena f terdiferensial pada c, maka diperoleh ¢#l$ ¢#l$ lim¤¥¦ £#¤$£#¥$¤¥ - 0 dan ¢#l$ ¢ #l$ lim¤¥§ £#¤$£#¥$¤¥ S 0, yang ma-

na mengakibatkan bahwa ¢#l$ - 0 dan ¢#l$ S 0. Sehingga dapat disimpul-

kan bahwa ¢#l$ 0, yang mana menunjukkan bahwa c adalah titik stasio-

ner. Jadi, terbukti untuk f(c) yang berupa nilai maksimum f pada , 5. Se-

lanjutnya, untuk f(c) yang berupa nilai minimum f pada , 5 dibuktikan

dengan cara yang sama seperti untuk f(c) yang berupa nilai maksimum f pada

, 5.


45

Teorema 2.2.3 (Teorema Nilai Rata-Rata)

Jika kontinu pada selang tertutup , 5 dan terdiferensiasikan pada titik-

titik dalam dari #, 5$, maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam

#, 5$ dengan

#5$ #$5 ¢#l$ #2.4$

atau sama dengan #5$ #$ ¢#l$#5 $.

Bukti:

Pembuktian ini berdasarkan pada analisis dari fungsi E#!$ #!$ #!$

yang diperlihatkan pada Gambar 2.2.1.

Gambar 2.2.1 Teorema Nilai Rata-Rata.

Pada Gambar 2.2.1, terlihat bahwa H #!$ adalah persamaan garis yang

melalui #, #$$ dan #5, #5$$. Karena garis ini mempunyai kemiringan


46

#5$ #$/#5 $ dan melalui titik #, #$$, maka garis tersebut me-

miliki persamaan titik kemiringan, yakni

#!$ #$ #5$ #$5 #! $ X #!$ #$ " #5$ #$5 #! $ #2.5$

Sedangkan, jarak antara fungsi dengan fungsi adalah

E#!$ #!$ #!$

Sehingga persamaan (2.5) dapat ditulis menjadi

E#!$ #!$ #!$

#!$ #$ #5$ #$5 #! $ #2.6$

Dapat dilihat bahwa E#5$ E#$ 0 dan bahwa untuk ! dalam #, 5$ berla-

ku

E¢#!$ ¢#!$ #5$ #$5 #2.7$

Jika diketahui bahwa terdapat suatu bilangan c dalam #, 5$ yang memenuhi

E¢#l$ 0, maka bukti akan selesai. Sehingga, persamaan (2.7) menjadi

0 ¢#l$ #5$ #$5 #2.8$

yang mana persamaan (2.7) tidak lain merupakan persamaan (2.4).

Untuk melihat bahwa E¢#l$ 0 untuk suatu c dalam #, 5$ alasannya jelas

karena s kontinu pada , 5 yang merupakan selisih dua fungsi kontinu. Ber-

dasarkan sifat bahwa jika kontinu pada selang tertutup , 5, maka f men-


47

capai nilai maksimum dan minimum, sehingga s harus mencapai nilai maksi-

mum ataupun nilai minimum pada , 5. Jika kedua nilai ini kebetulan adalah

0, maka E#!$ secara identik adalah 0 pada , 5, akibatnya E¢#!$ 0 untuk

semua x dalam #, 5$. Jika nilai maksimum atau nilai minimum berlainan de-

ngan 0, maka nilai tersebut dicapai pada sebuah titik-dalam c, karena E#$ E#5$ 0. Sekarang s mempunyai turunan di setiap titik dari #, 5$, sehingga

berdasarkan Teorema Titik Kritis diperoleh E¢#l$ 0.

Definisi 2.2.4 (Fungsi Kontinu di )

Sebuah fungsi : dikatakan kontinu pada « , jika untuk setiap

,0>ε terdapat 0>δ sedemikian sehingga L «L o δ maka

L#$ #«$L o .

Definisi 2.2.5 (Turunan Parsial)

Andaikan bahwa f adalah suatu fungsi dua variabel dari ! dan H.

Turunan parsial f terhadap ¬ adalah fungsi yang dinyatakan dengan

¤#!, H$ atau £#¤,®$¤ yang nilainya di setiap titik #!, H$ diberikan oleh

¤#!, H$ ¯#!, H$¯! lim∆¤± #! " ∆!, H$ #!, H$∆!


48

apabila limitnya ada. Dengan cara yang sama, turunan parsial f terhadap ²,

fungsi yang dinyatakan dengan ®#!, H$ atau £#¤,®$® yang nilainya di setiap ti-

tik #!, H$ diberikan oleh

®#!, H$ ¯#!, H$¯H lim∆®± #!, H " ∆H$ #!, H$∆H

apabila limitnya ada.

Untuk lebih memahami definisi turunan parsial, maka akan diberikan

contoh berikut.

Contoh 2.2.1:

Tentukan turunan parsial terhadap x dan turunan parsial terhadap y dari fungsi

yang dinotasikan dengan #!, H$ !H " 5! " 4!

Penyelesaian:

¯#!, H$¯H lim∆¤± #! " ∆!, H$ #!, H$∆!

lim∆¤± #! " ∆!$H " 5#! " ∆!$ " 4 #!H " 5! " 4$∆!

lim∆¤± !H " 2!∆!H " #∆!$H " 5! " 5∆! " 4 #!H " 5! " 4$∆!

lim∆¤± 2!∆!H " #∆!$H " 5∆!∆!


49

2!H " 5

¯#!, H$¯H lim∆®± #!, H " ∆H$ #!, H$∆H

lim∆®± !#H " ∆H$ " 5! " 4 #!H " 5! " 4$∆H

lim∆®± !∆H∆H

!

Definisi 2.2.6 (Fungsi Terdiferensial Kontinu)

Sebuah fungsi kontinu : dikatakan terdiferensial kontinu di

jika

∂

∂

ix

f(x) ada dan kontinu dengan i = 1, … n.

Definisi 2.2.7 (Gradien)

Misalkan : dan , gradien dari f di x didefinisikan sebagai

³#$ ´ ¯¯! #$, … , ¯¯! #$µ ¶····

¯¯! #$¯¯! #$¯¯! #$¹ºººº»


50

Definisi 2.2.8 (Turunan Berarah)

Fungsi : terdiferensial kontinu pada himpunan terbuka ⊆D .

Maka untuk x D∈ dan ¼ turunan berarah dari f di dalam arah d di-

definisikan sebagai

¢#, ¼$ ½ lim¾± # " ¿¼$ #$¿ ³#$ ¼

dimana ³#$ adalah gradien dari f di x, vektor berukuran n x 1.

Teorema 2.2.4 (Teorema Taylor di )

Misalkan : terdiferensial secara kontinu dan bahwa ¼ . Maka

diperoleh

# " ¼$ #$ " ³# " À¼$ ¼ (2.9)

untuk suatu À #0,1$.

Bukti:

Misalkan : terdiferensial secara kontinu pada himpunan terbuka

m v sehingga m dan ¼ . Dengan menggunakan Definisi Turunan

Berarah diperoleh bahwa

¢#, ¼$ lim¾± # " ¿¼$ #$¿ ³#$ ¼ #2.10$

Misalkan, f(x) merupakan fungsi norm , yakni f(x) = LL.

Dari persamaan (2.10) diperoleh bahwa


51

¢#LL, ¼$ lim¾± L " ¿¼L LL¿

lim¾± ∑ |! " ¿r| ∑ |!|\\ ¿

Jika ! ' 0, diperoleh |! " ¿r| |!| " ¿r untuk semua ¿ yang cukup ke-

cil. Jika ! o 0, diperoleh |! " ¿r| |#! ¿r$| |1||!¿r| |!| ¿r. Jika ! 0, diperoleh |! " ¿r| |0 " ¿r| ¿|r|. Selanjut-

nya, diperoleh

¢#LL, ¼$ lim¾± ∑ |! " ¿r| ∑ |!||¤ÁÂ±|¤ÁÂ± ¿

"lim¾± ∑ |! " ¿r| ∑ |!||¤ÁÃ±|¤ÁÃ± ¿

"lim¾± ∑ |! " ¿r| ∑ |!||¤Á\±|¤Á\± ¿

lim¾± ∑ |!||¤ÁÂ± " ∑ ¿r ∑ |!||¤ÁÂ±|¤ÁÂ±¿

"lim¾± ∑ |!||¤ÁÃ± ∑ ¿r ∑ |!||¤ÁÃ±|¤ÁÃ±¿

"lim¾± ∑ |!||¤Á\± " ∑ ¿|r| ∑ |!||¤Á\±|¤Á\±¿

lim¾± ¿ ∑ r|¤ÁÂ±¿ " lim¾± ¿ ∑ r|¤ÁÃ±¿

"lim¾± ¿ ∑ |r||¤Á\±¿

Y r|¤ÁÂ± Y r|¤ÁÃ± " Y |r||¤Á\±


52

Jadi, turunan berarah dari fungsi f(x) ada untuk sebarang x dan d.

Misalkan f terdiferensial secara kontinu pada suatu kitar dari x, maka dipero-

leh

¢##$, ¼$ ³#$ ¼ (2.11)

Untuk membuktikan rumus ini, didefinisikan fungsi

#À$ # " À¼$ #B#À$$

dimana B#À$ " À¼. Dapat dicatat bahwa

lim¾± # " ¿¼$ #$¿ lim¾± #¿$ #0$¿ ¢#0$

Dengan menggunakan aturan rantai pada #B#À$$ diperoleh

¢#À$ ¯>B#À$?¯B · ¯B¯À " ¯>B#À$?¯B · ¯B¯À " … " ¯>B#À$?¯B · ¯B¯À " … "

¯#B#À$$¯B · ¯B¯À

Y ¯>B#À$?¯B · ³B

\ #À$

Y ¯>B#À$?¯B · r

\

³>B#À$? ¼

³# " À¼$ ¼ (2.12)

Substitusikan untuk À 0 ke dalam persamaan (2.12), sehingga diperoleh

¢#0$ ³#$ ¼ ¢##$, ¼$ (2.13)


53

yang mana persamaan (2.13) adalah persamaan (2.11).

Berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata, misalkan diberikan sebuah fungsi yang

terdiferensial secara kontinu : dan terdapat dua bilangan real

À± dan À yang memenuhi À ' À± untuk suatu Ä #À±, À$, sehingga dipero-

leh

#À$ #À±$ " ¢#Ä$#À À±$ (2.14)

Dapat diingat bahwa #À$ # " À¼$. Andaikan bahwa À± 0 dan À 1. Jika À diganti menjadi À, maka diperoleh

#À$ # " À¼$ (2.15)

Substitusikan À 1 ke dalam persamaan (2.15) sehingga diperoleh

#1$ # " ¼$. Jika À diganti menjadi À±, maka

#À±$ # " À±¼$ (2.16)

Substitusikan À± 0 ke dalam persamaan (2.16) sehingga diperoleh

#0$ #$. Suatu perluasan dari hasil ini untuk fungsi multivariabel

: bahwa untuk sebarang vektor d diperoleh bahwa

# " ¼$ #$ " ³# " À¼$ ¼ untuk suatu À #0,1$.

Definisi 2.2.9 (Fungsi Terdiferensial Dua Kali Secara Kontinu)

Sebuah fungsi terdiferensial kontinu : dikatakan terdiferensial


54

dua kali secara kontinu di jika

∂∂

∂

ji xx

f2

(x) ada dan kontinu dengan

] 1, … , dan Å 1, … , .

Definisi 2.2.10 (Matriks Hesse)

Misalkan : dan , matriks Hesse dari f didefinisikan sebagai

matriks simetri berukuran n x n, yang dinotasikan dengan H(x) dengan ele-

men-elemen sebagai berikut:

³#$ ¯¯!¯! #$, ] 1, … , dan Å 1, … ,

Atau dapat juga dinyatakan sebagai berikut:

Æ#$ ÇÈÈÈÈÈÈÉ¯#$¯!

¯#$¯!¯! ¯#$¯!¯!¯#$¯!¯!¯#$¯! ¯#$¯!¯!

¯#$¯!¯! ¯#$¯! ÊËËËËËËÌ

Untuk lebih memahami definisi gradien dan matriks Hesse, maka akan

diberikan contoh berikut.

Contoh 2.2.2:

Misalkan Í#!, !$ ! " ! 2! 5! " 7.25.


55

Maka ³Í#!, !$ F Î¤M #!, !$Î¤N #!, !$G +2! 22! 5, dan

Æ#!, !$ NÎ#¤M,¤N$¤MNNÎ#¤M,¤N$¤M¤NNÎ#¤M,¤N$¤N¤M NÎ#¤M,¤N$¤NN

)2 00 2* .

C. Himpunan Konveks dan Fungsi Konveks

Pada subbab ini akan dibahas mengenai himpunan konveks dan fungsi

konveks serta beberapa teorema-teorema yang berkaitan dengan fungsi kon-

veks.

Definisi 2.3.1 (Himpunan Konveks)

Sebuah himpunan Ï v disebut himpunan konveks apabila memenuhi si-

fat berikut: jika diberikan sebarang dua titik x1, x2 C∈ , maka

θ x1 )1( θ−+ x2 C∈ untuk setiap [ ]1,0∈θ . Suku θ x1 )1( θ−+ x2 dengan

[ ]1,0∈θ menggambarkan titik-titik yang terletak pada ruas garis yang meng-

hubungkan x1 dan x2.

Dalam pengertian geometri, himpunan konveks dapat digambarkan

pada Gambar 2.3.1.


56

Gambar 2.3.1 Ilustrasi dari Himpunan Konveks.

Berdasarkan Gambar 2.3.1, jika diberikan sebarang dua titik x1 dan x2

yang berada di dalam C, maka ruas garis yang menghubungkan titik x1 dan x2

akan berada di dalam C.

Untuk lebih memahami definisi himpunan konveks, maka akan diberi-

kan contoh berikut.

Contoh 2.3.1:

( ) 1:, 2

2

2

121 <+= xxxxK v

Himpunan ini merepresentasikan titik yang berada di dalam lingkaran dengan

pusat (0,0) dan radius 1 seperti pada Gambar 2.3.2.


57

Gambar 2.3.2 Lingkaran 122 =+ yx

Berdasarkan Gambar 2.3.2, jika diberikan sebarang dua titik x1 dan x2

yang berada di dalam lingkaran, maka ruas garis yang menghubungkan titik x1

dan x2 akan berada di dalam lingkaran.

Definisi 2.3.2 (Fungsi Konveks)

Fungsi : dikatakan konveks jika untuk dua vektor x1, x2 ber-

laku θ(f x1 )1( θ−+ x2) fθ≤ (x1) f)1( θ−+ (x2) untuk semua [ ]1,0∈θ .

Fungsi f dikatakan konveks tegas (strictly convex) jika

θ(f x1 )1( θ−+ x2) fθ< (x1) f)1( θ−+ (x2) dimana x1≠ x2 dan 0 <θ < 1.

Fungsi konveks dapat diilustrasikan pada Gambar 2.3.3.


58

Gambar 2.3.3 Contoh Fungsi Konveks.

Gambar 2.3.3 adalah fungsi konveks, dimana fθ (x1) f)1( θ−+ (x2)

digambarkan sebagai titik pada tali busur yang menghubungkan f (x1) dan

f (x2), sedangkan θ(f x1 )1( θ−+ x2) adalah titik pada f yang menghubung-

kan f(x1) dan f(x2). Berdasarkan Gambar 2.3.3, dapat dilihat bahwa ¿#$ "f)1( θ− #$ berada di atas #¿ " #1 ¿$$. Jadi, #¿ "

#1 ¿$$ S ¿#$ " f)1( θ− #$, yang berarti f konveks.

Untuk lebih memahami definisi fungsi konveks, maka akan diberikan

contoh berikut.

Contoh 2.3.2:

Diberikan xxxf ,)( 2= , fungsi f merupakan fungsi konveks.


59

Bukti:

Ambil x1, x2 , maka (f x1)2

1x= dan (f x2) 2

2x= [ ]1,0, ∈θ .

θ(f x1 )1( θ−+ x2) = 2

21 ))1(( xx θθ −+

= 2

221

2

1 ))1(())1)(((2)( xxxx θθθθ −+−+

= 2

22221

2

1

2 )()(2 xxxxxx θθθθ −+−+

= 2

2

22

2

2

221

2

21

2

1

2 222 xxxxxxxx θθθθθ +−+−+

21

2

21

2

2

22

1

2 22)21( xxxxxx θθθθθ −++−+=

21

2

21

2

2

22

1

2 22)1( xxxxxx θθθθ −+−+=

Sedangkan,

fθ (x1) f)1( θ−+ (x2) = 2

2

2

1 )1( xx θθ −+

Karena [ ]1,0∈θ , maka θθ <2 sehingga diperoleh:

θ(f x1 )1( θ−+ x2)

21

2

21

2

2

22

1

2 22)1( xxxxxx θθθθ −+−+=

2121

2

2

2

1 22)1( xxxxxx θθθθ −+−+<

2

2

2

1 )1( xx θθ −+=

= fθ (x1) f)1( θ−+ (x2)

Jadi, θ(f x1 )1( θ−+ x2) ≤ fθ (x1) f)1( θ−+ (x2) untuk sebarang [ ]1,0∈θ ,

maka terbukti bahwa 2)( xxf = adalah fungsi konveks.


60

Contoh 2.3.3:

Diberikan Í#$ ! " ! 2! 5! " 7.25, , fungsi Q merupa-

kan fungsi konveks.

Bukti:

Misalkan x [ ]Txx 21 ,= dan y [ ]T

yy 21 ,= [ ]1,0, ∈θ .

Maka

θ x )1( θ−+ y

−+

=

2

1

2

1)1(

y

y

x

xθθ

−

−+

=

22

11

2

1

yy

yy

x

x

θ

θ

θ

θ

+−

+−=

222

111

)(

)(

yyx

yyx

θ

θ

Karena itu

Í#¿ " #1 ¿$B$

#¿#! H$ " H$ " #¿#! H$ " H$ 2#¿#! H$ " H$

5#¿#! H$ " H$ " 7.25

#¿#! H$ " 2¿#! H$H " H$ " #¿#! H$ "

2¿#! H$H " H$ 2¿#! H$ 2H 5¿#! H$ 5H " 7.25

#¿#! 2!H " H$ " 2¿!H 2¿H " H$

"#¿#! 2!H " H$ " 2¿!H 2¿H " H$ 2¿! " 2¿H


61

2H 5¿! " 5¿H 5H " 7.25

Sedangkan,

¿Í#$ " #1 ¿$Í#B$ ¿#! " ! 2! 5!$ " #1 ¿$

#H " H 2H 5H$ " 7.25

¿! " ¿! 2¿! 5¿! " H " H 2H

5H ¿H ¿H " 2¿H " 5¿H " 7.25

Karena [ ]1,0∈θ , maka θθ <2 sehingga diperoleh:

Í#¿ " #1 ¿$B$

#¿#! 2!H " H$ " 2¿!H 2¿H " H$

"#¿#! 2!H " H$ " 2¿!H 2¿H " H$ 2¿! " 2¿H

2H 5¿! " 5¿H 5H " 7.25

o #¿#! 2!H " H$ " 2¿!H 2¿H " H$

"#¿#! 2!H " H$ " 2¿!H 2¿H " H$ 2¿! " 2¿H

2H 5¿! " 5¿H 5H " 7.25

o ¿! 2¿!H " ¿H " 2¿!H 2¿H " H " ¿! 2¿!H

"¿H " 2¿!H 2¿H " H 2¿! " 2¿H 2H 5¿!

"5¿H 5H " 7.25

¿! " ¿! 2¿! 5¿! " H " H 2H 5H ¿H ¿H

"2¿H " 5¿H " 7.25

¿Í#$ " #1 ¿$Í#B$


62

Jadi, Í#¿ " #1 ¿$B$ S ¿Í#$ " #1 ¿$Í#B$ untuk sebarang [ ]1,0∈θ ,

maka terbukti bahwa Í#$ ! " ! 2! 5! " 7.25 dengan

adalah fungsi konveks.

Teorema 2.3.1

Misalkan ⊆S adalah himpunan konveks terbuka tidak kosong dan

: adalah fungsi terdiferensial. Maka f dikatakan konveks jika

dan hanya jika

#$ - #«$ " ³#«$ # «$, «,

Bukti:

)(⇒

Misalkan f konveks.

Akan ditunjukkan bahwa #$ - #«$ " ³#«$ # «$, «, . Berdasarkan Definisi Fungsi Konveks bahwa jika f adalah konveks, maka un-

tuk semua ¿ dengan 0 < ¿ < 1 berlaku

#¿ " #1 ¿$«$ S ¿#$ " #1 ¿$#«$

Ð #¿ " « ¿«$ S ¿#$ " #«$ ¿#«$

Ð #« " ¿# «$$ S ¿>#$ #«$? " #«$

Ð #« " ¿# «$$ #«$ S ¿>#$ #«$?


63

Ð #« " ¿# «$$ #«$¿ S #$ #«$

Dengan pengambilan limit untuk 0 , maka

lim¾± #« " ¿# «$$ #«$¿ S #$ #«$

Berdasarkan Definisi Turunan Berarah diperoleh

³#«$ # «$ S #$ #«$

Maka terbukti bahwa

#$ - #«$ " ³#«$ # «$

)(⇐

Misalkan bahwa #$ - #«$ " ³#«$ # «$. Akan ditunjukkan f konveks.

Anggap bahwa #$ - #«$ " ³#«$ # «$, «, benar.

Pilih sebarang x1, x2 dan ¿ " #1 ¿$ untuk semua ¿ #0,1$.

Maka diperoleh

#$ - #«$ " ³#«$ # «$

dan

#$ - #«$ " ³#«$ # «$

Oleh karena itu,

¿#$ " #1 ¿$#$

- ¿##«$ " ³#«$ # «$$ " #1 ¿$##«$ " ³#«$ # «$$


64

¿#«$" ³#«$ ¿# «$ " #«$" ³#«$ # «$ ¿#«$

³#«$ ¿# «$

#«$" ³#«$ #¿# «$ " # «$ ¿# «$$

#«$" ³#«$ #¿ ¿« " « ¿ " ¿«$

#«$" ³#«$ #¿ " #1 ¿$ «$

#¿ " #1 ¿$$

Karena #¿ " #1 ¿$$ S ¿#$ " #1 ¿$#$ untuk sebarang

x1, x2 dan ¿ #0,1$, maka terbukti bahwa konveks.

Teorema 2.3.2

Misalkan v adalah himpunan konveks terbuka tidak kosong dan

: v terdiferensial dua kali secara kontinu. Maka f adalah konveks

jika dan hanya jika matriks Hesse adalah semidefinit positif pada setiap titik

dalam S.

Bukti:

#Ñ$

Andaikan bahwa matriks Hesse ³#$ adalah semidefinit positif pada setiap

titik . Akan dibuktikan bahwa f adalah konveks. Anggap , « . Mela-

lui Teorema Nilai Rata-Rata diperoleh #$ #«$ " ³#«$ # «$ "


65

# «$ ³#Ò$# «$ dimana Ò « " ¿# «$, ¿ #0,1$. Dapat dicatat

bahwa Ò . Karena ³#$ adalah semidefinit positif, , maka

# «$ ³#Ò$# «$ - 0. Sehingga diperoleh #$ - #«$ "³#«$ # «$. Dengan menggunakan Teorema 2.3.1 diperoleh bahwa f ada-

lah fungsi konveks.

#Ó$

Andaikan bahwa f adalah fungsi konveks dan « .

Akan dibuktikan bahwa T ³#«$T - 0, Ô . Karena S terbuka, maka

terdapat ¡ ' 0 sedemikian sehingga ketika |k| o ¡, « " kT . Dengan Teo-

rema 2.3.1 diperoleh

#« " kT$ - #«$ " ³#«$ #« " kT «$

X #« " kT$ - #«$ " k³#«$ T (2.17)

Karena #$ terdiferensial dua kali pada «, maka

#« " kT$ #«$ " ³#«$ #« " kT «$ " 12 #« " kT «$ ³#«$

#« " kT «$ " Õ#LkTL$

#«$ " k³#«$ T " 12 #kT$ ³#«$kT " Õ#LkTL$

#«$ " k³#«$ T " k2 T ³#«$T " Õ#LkTL$ #2.18$


66

Substitusikan persamaan (2.18) ke dalam persamaan (2.17), sehingga dipero-

leh

#« " kT$ - #«$ " k³#«$ T

X #«$ " k³#«$ T " k2 T ³#«$T " Õ#LkTL$ - #«$ " k³#«$ T

X 12 kT ³#«$T " Õ#LkTL$ - 0

Bagi dengan k dan misalkan k 0, sehingga diperoleh T ³#«$T - 0.

Teorema 2.3.3

Misalkan , adalah fungsi konveks pada himpunan v , maka "

juga adalah fungsi konveks pada S.

Bukti:

Misalkan , dan 0 o ¿ o 1, maka

#¿ " #1 ¿$$ " #¿ " #1 ¿$$

S ¿#$ " #1 ¿$ " ¿#$ " #1 ¿$

S ¿#$ " #$ " #1 ¿$#$ " #$


67

Teorema 2.3.4 (Teorema Proyeksi)

Misalkan v adalah himpunan konveks tertutup tidak kosong dan B Ö ,

maka ada titik tunggal « dengan jarak minimum dari y, yakni

LB «L inf×LB L #2.19$

Selanjutnya, « adalah titik minimum dari persamaan (2.19) jika dan hanya jika

AB «, «C S 0, (2.20)

atau dapat dikatakan bahwa « adalah proyeksi Ù×#B$ dari y di S jika dan hanya

jika persamaan (2.20) dipenuhi.

Bukti:

Pembuktian Teorema 2.3.4 di atas dapat dibagi menjadi tiga bagian, yakni:

(i) Akan dibuktikan bahwa jika v adalah himpunan konveks tertu-

tup tidak kosong dan B Ö , maka ada titik tunggal « dengan jarak

minimum dari y, yakni LB «L inf×LB L.

Misalkan

inf8LB L| < Ú ' 0 (2.21)

Karena Ú adalah batas bawah terbesar maka Ú S LB L, .

Misalkan terdapat sebuah titik 1 dan B Ö . Kemudian, dibuat

ruas garis yang menghubungkan titik 1 dan titik y. Selanjutnya, dari

titik 1 dibuat kitar dengan radius 1. Dari titik limit yang diperoleh da-

ri kitar 1 dan berada pada garis yang menghubungkan titik 1 dan ti-


68

tik y, diperoleh titik 2. Kemudian, dari titik 2 dibuat kitar dengan ra-

dius 12. Dari titik limit yang diperoleh dari kitar 2 dan berada pada ga-

ris yang menghubungkan titik 2 dan titik y, diperoleh titik 3. Demi-

kian seterusnya, hingga diperoleh titik Û1. Kemudian dari titik Û1

dibuat kitar dengan radius 1Û. Dari titik limit yang diperoleh dari kitar

Û1 tersebut dan terletak pada ruas garis yang menghubungkan titik

Û1 dan titik y diperoleh titik Û. Dengan demikian akan ada barisan

8Û< v .

Akan ditunjukkan bahwa LB ÛL Ú.

Karena Ú inf8LB L| < maka berdasarkan Lemma 2.1.1, un-

tuk setiap ' 0 terdapat LB ÛL dengan Û sedemikian se-

hingga Ú " ' LB L.

Dengan demikian, terbentuk barisan 8LB ÛL< yang terbatas dan tu-

run.

Berdasarkan Teorema 2.1.7, maka 8LB ÛL< akan konvergen dan

limÛ∞LB ÛL Ú inf8LB ÛL<.

Berikut ini, akan dibuktikan bahwa 8< adalah barisan Cauchy dan

oleh karena itu ada limit « .


69

Melalui Teorema Paralelogram diketahui bahwa L " BL "L BL 2#LL " LBL$. Misalkan ambil , , di mana x

diganti dengan B dan B diganti dengan B. Dengan men-

substitusikan x dan y ke dalam Teorema Paralelogram, diperoleh

L# B$ " # B$L " L# B$ # B$L 2L BL

"2L BL

L " 2BL " L L 2L BL " 2L BL

L L 2L BL " 2L BL L " 2BL

2L BL " 2L BL Ü´ " 2 Bµ 2Ü

2L BL " 2L BL 4 Ü " 2 BÜ #2.22$

Karena 8< ⊂ , maka # " $/2 . Dari definisi Ú dikatakan

bahwa inf LB L Ú, sehingga LB L L BL - Ú, .

Dengan mengganti # " $/2 diperoleh

Ü " 2 BÜ - Ú

X Ü " 2 BÜ - Ú #2.23$

Dengan menggunakan persamaan (2.22) dan (2.23) diperoleh

L L S 2L BL " 2L BL 4Ú.

Ambil k dan m yang cukup besar sehingga L BL Ú dan

L BL Ú, dengan demikian dipenuhi bahwa L L


70

2Ú " 2Ú 4Ú 0 atau L L 0, yang mana menunjukkan

bahwa 8< adalah barisan Cauchy dengan limit «. Karena S tertutup,

maka « . Hal ini menunjukkan bahwa ada « sedemikian sehingga

LB «L Ú.

Selanjutnya, akan dibuktikan ketunggalan.

Andaikan Ý tidak tunggal, artinya ada Ý′ dan Ý′ Ý dengan

LÝ′ BL Ú.

Melalui Hukum Parallelogram, misalkan diganti dengan Ý′ B dan

B diganti dengan Ý B, maka diperoleh

LÝ′" Ý 2BL2 " LÝ′ ÝL2 2LÝ′ BL2 " 2LÝ BL2

LÝ′ ÝL2 2LÝ′ BL2 " 2LÝ BL2 LÝ′" Ý 2BL2

2L«′ BL " 2L« BL Ü2 ´«′" «2 BµÜ

2L«′ BL " 2L« BL 4 Ü«′" «2 BÜ

2Ú " 2Ú 4 Ü«′" «2 BÜ

Karena «"«′2 , maka menurut (2.23), Ú2 S Þ«′"«2 BÞ2

.

Akibatnya,

LÝ′ ÝL2 S 2Ú2 " 2Ú2 4Ú2

0


71

Jadi, LÝ′ ÝL S 0, padahal LÝ′ ÝL ' 0. Jadi, ada kontradiksi. Ter-

bukti Ý′ Ý.

(ii) Akan dibuktikan bahwa jika AB «, «C S 0, , maka « ada-

lah titik minimum dari LB «L inf×LB L.

Ambil x sebarang di S dan misalkan AB «, «C S 0, dipe-

nuhi, sehingga LB L LB « " « L

LB «L " L« L " 2AB «, « C LB «L " L« L " 2#« $ #B «$

Karena L« L - 0 dan #« $ #B «$ - 0, maka

LB L - LB «L dan « adalah titik minimum dari

LB «L inf×LB L.

(iii) Akan dibuktikan bahwa jika « adalah titik minimum dari

LB «L inf×LB L, maka AB «, «C S 0, .

Misalkan LB L - LB «L, .

Karena « " k# «$ dengan k #0,1$, maka diperoleh

LB #« " k# «$$L - LB «L

X LB « k# «$L - LB «L

X LB « k " k«L - LB «L

X LB « " k#« $L - LB «L


72

X LB «L " kL« L " 2k#« $ #B «$ - LB «L

X LB «L " kL «L " 2k# «$ #« B$ - LB «L

X kL «L " 2k# «$ #« B$ - 0

Bagi dengan k dan misalkan k 0, maka diperoleh

AB «, «C S 0, .

D. Teori Optimisasi

Secara umum, bentuk baku untuk permasalahan optimisasi berkendala

adalah sebagai berikut:

minimumkanß #$ (2.24)

dengan kendala ci(x) = 0, i à (2.25)

ci(x) ≥ 0, i á (2.26)

dimana:

f adalah fungsi obyektif

à = 1, … , me adalah himpunan indeks dari kendala persamaan

á = me + 1, … , m adalah himpunan indeks dari kendala pertidak-

samaan

dengan me dan m adalah bilangan bulat nonnegatif dimana 0 ≤ me ≤ m.


73

Apabila fungsi obyektif dan kendala dari permasalahan (2.24)-(2.26) merupa-

kan fungsi konveks, maka permasalahan tersebut merupakan permasalahan

pemrograman konveks.

Definisi 2.4.1 (Titik Layak atau Penyelesaian Layak)

Titik dikatakan titik layak atau penyelesaian layak dari masalah op-

timisasi jika dan hanya jika memenuhi persamaan (2.25) dan (2.26).

Definisi 2.4.2 (Titik Optimum atau Penyelesaian Optimum)

Titik â dikatakan titik optimum atau penyelesaian optimum dari

masalah optimisasi jika dan hanya jika merupakan penyelesaian layak yang

mengoptimumkan fungsi obyektif.

Definisi 2.4.3 (Titik Stasioner atau Titik Kritis)

Titik â dikatakan titik stasioner atau titik kritis untuk f yang terdife-

rensial jika ³#â$ 0.

Definisi 2.4.4 (Himpunan Layak atau Daerah Layak)

Himpunan semua titik layak dikatakan himpunan layak atau daerah layak

yang dinotasikan dengan X, dimana X didefinisikan sebagai

ã ä l#$ 0, ] 1, … , å l#$ - 0, ] å " 1, … , æ


74

atau

8|l#$ 0, ] à; l#$ - 0, ] á<

Definisi 2.4.5 (Peminimum Global dan Peminimum Global Tegas)

Jika â dan jika #$ - #â$, , maka â dikatakan peminimum

global dari permasalahan (2.24) – (2.26). Jika â dan jika

#$ ' #â$, , maka â dikatakan peminimum global tegas.

Definisi 2.4.6 (Peminimum Lokal dan Peminimum Lokal Tegas)

Jika â dan jika ada suatu kitar B(â, ¡$ dari â sedemikian sehingga

#$ - #â$, è x#â, ¡$, maka â dikatakan peminimum lokal dari

permasalahan (2.24) – (2.26), dimana x#â, ¡$ 8|L âL S ¡< dan

¡ ' 0. Jika â dan jika ada suatu kitar B(â, ¡$ dari â sedemikian se-

hingga #$ ' #â$, è x#â, ¡$, â, maka â dikatakan pemi-

nimum lokal tegas.

Definisi 2.4.7 (Himpunan Indeks)

Misalkan á#$ 8]|l#$ 0, ] á<. Untuk sebarang , himpunan

é#$ à ê á#$ adalah himpunan indeks dari kendala-kendala aktif di x,

yakni kendala yang memenuhi l#$ 0. Sedangkan, é#â$ adalah himpu-

nan indeks dari kendala aktif dari permasalahan (2.24) – (2.26) di â yang di-


75

definisikan dengan é#â$ à ê á#â$, dimana

á#â$ 8]|l#â$ 0, ] á<.

Definisi 2.4.8 (Arah Layak)

Misalkan â , 0 ¼ . Jika ada ¡ ' 0 sedemikian sehingga

â " À¼ , À 0, ¡, maka d dikatakan arah layak (feasible direction).

Himpunan dari semua arah layak dari X di â adalah

ëm #â, $ 8¼ | â " À¼ , À 0, ¡<

Definisi 2.4.9 (Arah Layak Terlinearisasi)

Misalkan â dan ¼ . Jika ¼ ³l#â$ 0, ] à, ¼ ³l#â$ - 0, ] á#â$, maka d dikatakan arah layak terlinearisasi (linearized feasible

direction). Himpunan dari semua arah layak terlinearisasi dari X di â adalah

ìëm #â, $ ã¼ä ¼ ³l#â$ 0, ] à ¼ ³l#â$ - 0, ] á#â$æ

Definisi 2.4.10 (Arah Layak Terurut)

Misalkan â dan ¼ . Jika ada barisan ¼#Û 1, 2, … $ dan

¼ ' 0, #Û 1, 2, … $ sedemikian sehingga â " ¡¼ , Û dan

¼ ¼, ¡ 0, maka arah limit d dikatakan arah layak terurut (sequential

feasible direction). Himpunan dari semua arah layak terurut dari X di â ada-

lah


76

ëm#â, $ ã¼äâ " ¡¼ , Û¼ ¼, ¡ 0 æ

Teorema 2.4.1

Misalkan ⊂S himpunan konveks tertutup tidak kosong dan B Ö . Maka

ada vektor taknol p dan bilangan real R sedemikan sehingga T B ' R dan

T S α, , yakni T B ' sup8T , < yang mana mengatakan

bahwa ada bidang hiper î 8|T α< sebagai pemisah tegas y dan S.

Bukti:

Karena S himpunan konveks tertutup tidak kosong dan B Ö , maka berdasar-

kan Teorema Proyeksi ada titik tunggal « , sedemikian sehingga

# «$ #B «$ S 0,

Bentuk p = B « 0, maka

0 - #B «$ #B « " B$

T #T " B$

T T B " LTL

Oleh karena itu, T B - T " LTL, . Bentuk α sup8T | <, sehingga diperoleh T B ' sup8T , <.


77

Teorema 2.4.2 (Lemma Farkas)

Misalkan ∈A dan ï . Maka ada tepat satu dari dua sistem berikut

yang mempunyai penyelesaian:

(i) S 0, ï ' 0 (2.27)

(ii) B ï, B - 0 (2.28)

Bukti:

(i) Misalkan sistem 2.28 mempunyai penyelesaian.

Akan dibuktikan sistem 2.27 tidak mempunyai penyelesaian.

Akan dibuktikan dengan kontradiksi.

Andaikan sistem 2.27 mempunyai penyelesaian, yakni ada ï ' 0 se-

demikian sehingga S 0 saat B ï dan B - 0. Jika sistem 2.27

dan 2.28 dipenuhi, maka ï # B$ B . Karena S 0 dan

B - 0, maka B S 0 yang mana kontradiksi dengan asumsi bahwa

ï ' 0. Karena pengandaian salah, maka haruslah sistem 2.27 tidak

mempunyai penyelesaian.

(ii) Misalkan sistem 2.28 tidak mempunyai penyelesaian.

Akan dibuktikan sistem 2.27 mempunyai penyelesaian.

Misalkan 8| B, B - 0< adalah himpunan konveks tertutup

tidak kosong dan ï Ö . Berdasarkan Teorema 2.4.1, ada T dan


78

α sedemikian sehingga T ï ' R dan T S α, . Karena

0 , maka R - T T 0 0 dan T ï ' 0 sehingga R - T

T B B T, B - 0. Jadi, diperoleh B T S 0. Untuk sebarang y

yang besar diperoleh T S 0, dengan T yang merupakan penye-

lesaian dari sistem 2.27.

Selanjutnya, diberikan Lemma 2.4.1 yang merupakan akibat langsung

dari Teorema 2.4.2.

Lemma 2.4.1

Himpunan

ð¼ñ ¼ ³#â$ o 0¼ ³l#â$ 0, ] à ¼ ³l#â$ - 0, ] áò #2.29$

adalah himpunan kosong jika dan hanya jika ada bilangan real λ, ] à dan

bilangan taknegatif λ - 0, ] á sedemikian sehingga

³#â$ Y λ³l#â$à " Y λ³l#â$á #2.30$

Bukti:

Misalkan bahwa


79

¼ , ³#â$ ï, F ³l #â$³l #â$G , λ ²

Maka, persamaan (2.29) dapat ditulis menjadi

(i) ¼ ³#â$ o 0

X ï o 0

X ï ' 0

X ï ' 0

(ii) ¼ ³l#â$ 0, ] à dan ¼ ³l#â$ - 0, ] á

X # $ - 0

X # $ - 0

X - 0

X S 0

yang mana S 0 dan ï ' 0 adalah persamaan (2.27).

Sedangkan, persamaan (2.30) dapat ditulis menjadi

³#â$ Y λ³l#â$à " Y λ³l#â$á Y λ³l#â$ Y ³l#â$ λ

\

\

X ï B

yang mana ï B adalah persamaan (2.28).

Melalui Lemma 2.4.1 ini:

(1) Misalkan bahwa persamaan (2.30) mempunyai penyelesaian.

Akan dibuktikan bahwa persamaan (2.29) tidak mempunyai penyelesaian.


80

(2) Misalkan bahwa persamaan (2.30) tidak mempunyai penyelesaian.

Akan dibuktikan bahwa persamaan (2.29) mempunyai penyelesaian.

Bukti untuk ke dua pernyataan di atas analog dengan bukti pada Teorema

2.4.2.

Berikut ini diberikan teorema tentang syarat optimalitas geometri.

Teorema 2.4.3 (Syarat Optimalitas Geometri)

Misalkan â adalah peminimum lokal dari permasalahan (2.24) – (2.26).

Jika f(x) dan ci(x)(i = 1, 2, …, m) terdiferensial di â, maka

¼ ³#â$ - 0, ¼ ëm#â, $ (2.31)

yang mana berarti ëm#â, $ è ô#â$ , di mana

ô#â$ 8¼| ¼ ³#â$ o 0< dan adalah himpunan kosong.

Bukti:

Untuk sebarang ¼ ëm#â, $, ada ¡ ' 0#Û 1, 2, … $ dan ¼

#Û 1, 2, … $ sedemikian sehingga â " ¡¼ dengan ¡ 0 dan

¼ ¼. Karena â " ¡¼ â dan â adalah peminimum lokal, maka ber-

dasarkan Teorema Taylor di untuk k yang cukup besar diperoleh

#â$ S #â " ¡¼$ #â$ " ¡¼ ³#â$ " Õ#¡$


81

0 S ¡¼ ³#â$ " Õ#¡$ (2.32)

Karena ¡ ' 0 dan Û ∞, maka diperoleh

¼ ³#â$ - 0 (2.33)

Karena d sebarang, maka diperoleh persamaan (2.31).

Persamaan (2.33) juga berarti dÖ ô#â$ 8¼| ¼ ³#â$ o 0<.

Oleh karena itu ëm#â, $ è ô#â$ .

Berikut ini diberikan definisi fungsi Lagrange.

Definisi 2.4.11 (Fungsi Lagrange)

Fungsi Lagrange dari permasalahan (2.24) – (2.26) adalah

õ#, ö$ #$ Y λl#$ \ #$ Y λl#$àêá

dimana ö #λ, … , λ $ disebut vektor pengali Lagrange.

Teorema 2.4.4 (Teorema Karush Kuhn Tucker)

Misalkan â adalah peminimum lokal dari permasalahan (2.24) – (2.26). Jika

himpunan semua arah layak terlinearisasi sama dengan himpunan semua arah

layak terurut, yakni

ëm#â, $ ìëm #â, $ (2.34)


82

dipenuhi, maka ada pengali Lagrange kâ sedemikian sehingga syarat berikut

dipenuhi di (â, ÷â$:

³õ#â, öâ$ ³#â$ Y kâ³l#â$ \ 0 #2.35$

l#â$ 0, ] à (2.36)

l#â$ - 0, ] á (2.37)

kâ - 0, ] á (2.38)

kâl#â$ 0, ] á (2.39)

Bukti:

Misalkan ¼ ëm#â, $. Karena â adalah peminimum lokal, maka berda-

sarkan Teorema 2.4.3 diperoleh ¼ ³#â$ - 0. Dari persamaan (2.34) dipe-

roleh ¼ ìëm #â, $. Misalkan ditetapkan vektor kâ dengan

kâ ã k, ] é#â$ 0, ] á\á#â$ù (2.40)

Maka dengan menggunakan persamaan (2.30) untuk kâ diperoleh

³#â$ Y kâ³l#â$à " Y kâ³l#â$á#â$ dimana kâ #] à$ dan kâ - 0#] á#â$$. Bentuk

³#â$ Y kâ³l#â$ #2.41$ \

yang mana persamaan (2.41) tidak lain merupakan syarat (2.35).


83

Karena â layak, maka syarat (2.36) – (2.37) dipenuhi.

Berdasarkan persamaan (2.30) diperoleh kâ - 0 untuk ] á#â$, sedangkan

dari persamaan (2.40) diperoleh kâ 0 untuk ] á\á#â$. Oleh karena itu,

kâ - 0 untuk ] á, sehingga syarat (2.38) dipenuhi.

Untuk ] á#â$ diperoleh l#â$ 0, sedangkan untuk ] á\á#â$ dipero-

leh kâ 0. Oleh karena itu, kâl#â$ 0 untuk ] á, sehingga syarat (2.39)

dipenuhi.

Berikut ini diberikan definisi titik Karush Kuhn Tucker.

Definisi 2.4.12 (Titik Karush Kuhn Tucker)

Suatu titik dikatakan titik Karush Kuhn Tucker (KKT) jika memenuhi sya-

rat KKT, yakni syarat (2.35)-(2.39) yang terdapat dalam Teorema Karush

Kuhn Tucker.

Teorema 2.4.5

Titik KKT dari pemrograman konveks merupakan titik peminimum.

Bukti:

Misalkan #â, öâ$ adalah sebarang pasangan KKT dari pemrograman konveks.


84

Karena #$ dan l#$ merupakan fungsi konveks, maka fungsi Lagrange

õ#, öâ$ #$ Y kâl#$ à Y kâl#$á #2.42$

adalah konveks untuk x.

Dengan menggunakan Teorema 2.3.1 dan Teorema Karush Kuhn Tucker, ma-

ka diperoleh untuk sebarang x yang layak

õ#, öâ$ - õ#â, öâ$ " # â$ ³õ#â, öâ$

õ#â, öâ$ " # â$ 0

õ#â, öâ$

#â$ Y kâl#â$ \

#â$ 0

#â$ (2.43)

Karena x adalah titik layak, yakni memenuhi persamaan (2.25) dan

kâ - 0, ] á, maka

kâl#$ 0, ] à dan kâl#$ - 0, ] á (2.44)

Oleh karena itu, dengan menggunakan (2.42) dan (2.44) diperoleh

õ#, öâ$ #$ Y kâl#$ à Y kâl#$á

S #$ (2.45)


85

Dengan menggunakan (2.43) dan (2.45) diperoleh #$ - #â$, yang mana

menunjukkan bahwa titik KKT â merupakan titik peminimum.

E. Metode Newton untuk Sistem Persamaan Nonlinear

Metode titik-interior primal-dual menerapkan metode Newton untuk

menemukan penyelesaiannya karena menggunakan matriks Jacobi untuk

memperoleh arah selidik, serta menggunakan rumus iterasi metode Newton

untuk menemukan penyelesaian dari sistem persamaan nonlinear.

Metode Newton merupakan salah satu metode numerik yang diguna-

kan untuk menyelesaikan permasalahan dalam mencari akar dari persamaan

nonlinear. Persamaan nonlinear adalah negasi dari persamaan linear. Persa-

maan linear dengan n variabel bebas !, !, … , ! mempunyai bentuk

H ! " ! " … " !. Persamaan nonlinear terbagi menjadi dua,

yakni persamaan nonlinear dengan satu variabel dan persamaan nonlinear

dengan n variabel, dengan ' 1. Bentuk umum persamaan nonlinear dengan

satu variabel adalah #!$ 0 dengan #!$ adalah fungsi nonlinear. Sedang-

kan, bentuk umum persamaan nonlinear dengan n variabel adalah

#!, !, … , !$ 0 dengan #!, !, … , !$ adalah fungsi nonlinear.

Sistem persamaan nonlinear adalah himpunan n persamaan nonlinear,

dengan ' 1. Sistem persamaan nonlinear secara umum berbentuk


86

#!, !, … , !$ 0

#!, !, … , !$ 0

#!, !, … , !$ 0

di mana tiap fungsi , ] 1,2, … , merupakan pemetaan vektor #!, !, … , !$ dari ke . Sistem ini dapat ditulis ke dalam bentuk yang

lain dengan mendefinisikan fungsi F, yang memetakan ke , yakni

ú#!, !, … , !$ ##!, !, … , !$, … , #!, !, … , !$$ . Dengan meng-

gunakan notasi vektor, sistem di atas dapat diasumsikan dengan bentuk

ú#$ 7. Andaikan bahwa f terdiferensial dua kali secara kontinu pada , 5.

Misalkan !û , 5 menjadi pendekatan untuk p sedemikian sehingga

¢#!û$ 0 dan |Ô !û| mendekati nol. Dengan mempertimbangkan bentuk de-

ret Taylor untuk #!$ di sekitar !û, yakni

#!$ #!û$ " #! !û$¢#!û$ " #! !û$2 ¢¢#Ä#!$$

dengan Ä#!$ berada diantara ! dan !û dan karena #Ô$ 0 dengan x = p, ma-

ka persamaan akan menjadi

0 #!û$ " #Ô !û$¢#!û$ " #Ô !û$2 ¢¢#Ä#Ô$$

Karena |Ô !û| mendekati nol, maka #Ô !û$ dapat diabaikan, sehingga dipe-

roleh


87

0 ü #!û$ " #Ô !û$¢#!û$

Ð 0 ü #!û$ " Ô#¢#!û$$ !û#¢#!û$$

Ð Ô#¢#!û$$ ü !û#¢#!û$$ #!û$

Ð Ô ü !û#¢#!û$$ #!û$¢#!û$

Ð Ô ü !û #!û$¢#!û$ Persamaan tersebut merupakan bentuk penyelesaian untuk metode Newton,

dengan pendekatan awal !± dan akan membangkitkan barisan 8!<\± dengan

! ! #!$¢#!$ #2.46$

untuk - 0. Barisan hampiran akar 8!< dari metode Newton akan konver-

gen jika |! !| o .

Persamaan (2.46) dapat ditulis menjadi

! ! #!$¢#!$

X ! !¢#!$ #!$¢#!$

X !¢#!$ !¢#!$ #!$

X ! ¢#!$!¢#!$ #!$ X ! ! ¢#!$#!$ (2.47)


88

Dengan menerapkan persamaan (2.47), maka rumus iterasi metode Newton

untuk menemukan penyelesaian sistem persamaan nonlinear adalah #$ #$ ýþ>#$?ú>#$? (2.48)

dengan Û - 0, dimana

þ#$ ÇÈÈÈÈÈÈÉ¯#$¯!

¯#$¯! ¯#$¯!¯#$¯!¯#$¯! ¯#$¯!

¯#$¯! ¯#$¯! ÊËËËËËËÌ #2.49$

Matriks (2.49) dikenal dengan nama matriks Jacobi. Persamaan (2.48) dapat

ditulis pula menjadi

#$ #$ ýþ>#$?ú>#$?

X #$ #$ ýþ>#$?ú>#$?

X B#$ ýþ>#$?ú>#$?

X ýþ>#$?B#$ ú>#$? #2.50$

Definisi 2.5.1

Misalkan #$ v dan â .

#$ â q-kuadratik jika #$ â dan ada sebuah ' 0 sedemikian se-

hingga #$ â S #$ â.


89

Definisi 2.5.2

Misalkan Ω v dan :Ω . memenuhi kondisi kontinu Lipschitz da-

lam Ω dengan konstanta Lipschitz Ú jika L#$ #B$L S ÚL BL.

Asumsi 2.5.1

1. Persamaan ú#$ 7 mempunyai penyelesaian â.

2. ú¢:Ω h merupakan kontinu Lipschitz dengan konstanta Lipschitz Ú.

3. ú¢#â$ adalah nonsingular.

Teorema 2.5.1

Misalkan Asumsi 2.5.1 terpenuhi. Maka ada sebuah ¡ sedemikian sehingga

jika #±$ x#¡$, di mana x#¡$ menyatakan suatu kitar dengan radius ¡ di se-

kitar â, yakni x#¡$ 8|LL o ¡< dengan â. Sehingga iterasi

Newton #$ #$ ýú¢>#$?ú>#$? konvergen q-kuadratik ke â.

Bukti:

Bukti Teorema 2.5.1 dapat dilihat pada Tugas Akhir karangan Anggi, M. N.

(2007). Penyelesaian Sistem Persamaan Non-linear dengan Metode Newton

dan Terapannya. Skripsi. Yogyakarta: FST USD.


90

Teorema 2.5.2

Misalkan f terdiferensial dua kali secara kontinu pada interval , 5 atau da-

pat ditulis Ï, 5. Jika Ô , 5 sedemikian sehingga #Ô$ 0 dan

¢#Ô$ 0, maka ada sebuah ¡ ' 0 sedemikian sehingga metode Newton

akan membangkitkan barisan Ô#$\ konvergen ke p untuk beberapa pen-

dekatan awal Ô#±$ Ô ¡, Ô " ¡.

Bukti:

Bukti Teorema 2.5.2 dapat dilihat pada Tugas Akhir karangan Anggi, M. N.

(2007). Penyelesaian Sistem Persamaan Non-linear dengan Metode Newton

dan Terapannya. Skripsi. Yogyakarta: FST USD.

Teorema 2.5.1 dan Teorema 2.5.2 menyatakan bahwa nilai awal akan

berpengaruh terhadap kekonvergenan dan jumlah iterasi yang dihasilkan apa-

bila menggunakan metode Newton. Nilai awal yang berasal dari titik-interior

atau cukup dekat dengan penyelesaian yang sebenarnya akan menghasilkan

iterasi yang relatif lebih sedikit untuk konvergen. Sedangkan, untuk nilai awal

yang berasal dari luar titik-interior atau cukup jauh dengan penyelesaian yang

sebenarnya akan menghasilkan iterasi yang relatif lebih banyak untuk konver-

gen. Selain nilai awal, hal lain yang mempengaruhi adalah syarat bahwa

þ#$ 0 harus terpenuhi.


91

BAB III

METODE TITIK-INTERIOR

A. Pemrograman Kuadratik Konveks

Pemrograman nonlinear adalah salah satu bagian penting dari perma-

salahan optimisasi. Mencari penyelesaian optimum pada pemrograman nonli-

near, khususnya dalam bentuk pemrograman kuadratik konveks memerlukan

suatu algoritma untuk mendapatkan penyelesaian atau nilai optimum tersebut.

Sebelum membahas mengenai pemrograman kuadratik konveks, terle-

bih dahulu akan dibahas mengenai pemrograman kuadratik karena pemrogra-

man kuadratik konveks merupakan subkelas dari pemrograman kuadratik.

Pemrograman kuadratik adalah permasalahan optimisasi berkendala

nonlinear yang paling sederhana. Pemrograman kuadratik merupakan kelas

khusus dari permasalahan optimisasi berkendala (2.24) – (2.26) dengan fung-

si obyektif kuadratik yang dinotasikan dengan f(x) dan kendala-kendala linear

yang dinotasikan dengan ci(x) dimana 1, … , .

Fungsi kuadratik dengan n variabel , , … , adalah fungsi yang

mempunyai bentuk

α


92

di mana , , … , , A adalah matriks simetrik n x n, B adalah ma-

triks 1 x n, dan α adalah suatu skalar.

Secara umum, pemrograman kuadratik mempunyai bentuk sebagai

berikut:

minimumkan 12 3.1

dengan kendala , ! (3.2)

" , # (3.3)

dimana G adalah matriks Hesse n x n

! adalah himpunan indeks dari kendala persamaan

# adalah himpunan indeks dari kendala pertidaksamaan

, x, dan , dengan ! ' # , adalah vektor di (

Berdasarkan Definisi Fungsi Lagrange, fungsi Lagrange dari permasalahan

(3.1)-(3.3) adalah

), * 12 + , λ !'# +

12 + , λ + -.

Dengan menggunakan syarat KKT yang diperoleh dari Teorema Karush Kuhn

Tucker ke dalam permasalahan (3.1) – (3.3), maka dapat ditemukan sebarang

penyelesaian / dari permasalahan (3.1) – (3.3) untuk suatu pengali Lagrange

0/. 1, … , 1 yang memenuhi:


93

23)/, */ 2 412 //5 2/ + , 0/2 + -. 0

⇔ / + , 0/ 0 -.

⇔ / , 0/ 3.4-.

/ , ! (3.5)

/ " , # (3.6)

λ8/ " 0, # (3.7)

λ8// + 0, # (3.8)

Jika matriks Hesse G adalah semidefinit positif, maka permasalahan (3.1) –

(3.3) adalah permasalahan pemrograman kuadratik konveks dan pemini-

mum lokal / adalah peminimum global.

Metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan op-

timisasi pada pemrograman kuadratik konveks antara lain adalah metode him-

punan aktif dan metode titik-interior. Metode titik-interior pada pemrograman

kuadratik terbagi lagi menjadi dua, yakni metode jalan pusat (central path me-

thod) dan metode titik-interior primal-dual (primal-dual interior-point me-

thod). Namun dalam skripsi ini metode yang akan dibahas hanya metode titik-



94

B. Metode Titik-Interior

Metode titik-interior termasuk dalam kelas algoritma yang biasanya

digunakan untuk menyelesaikan pemrograman linear dan pemrograman non-

linear, khususnya pemrograman kuadratik konveks. Algoritma ini berasal dari

algoritma Karmakar yang diperkenalkan oleh Narendra Karmakar pada tahun

1984 untuk menyelesaikan pemrograman linear. Permasalahan pemrograman

linear dapat diselesaikan dengan menggunakan metode grafik dan metode

simpleks. Metode grafik biasanya digunakan untuk menyelesaikan permasala-

han pemrograman linear yang memuat dua variabel, sedangkan untuk perma-

salahan pemrograman linear yang memuat dua variabel atau lebih biasanya

dapat diselesaikan dengan menggunakan metode simpleks dan metode titik-

interior.

Titik-interior merupakan titik-titik yang berada di bagian dalam daerah

layak. Pada metode simpleks, titik-titik yang dihasilkan dari algoritma berada

pada batas dari daerah layak. Berbeda dengan metode simpleks, pada metode

titik-interior titik-titik yang dihasilkan dari algoritma berada di bagian dalam

dari daerah layak.

Pemrograman kuadratik konveks yang memanfaatkan metode titik-

interior bertujuan untuk membatasi pergerakan nilai optimum yang dihasilkan

pada setiap iterasinya. Pemrograman kuadratik konveks dapat diselesaikan

dengan beberapa metode, salah satunya yaitu dengan menggunakan metode ti-

tik-interior primal-dual.


95

Metode titik-interior primal-dual untuk pemrograman linear dapat di-

terapkan ke dalam pemrograman kuadratik konveks melalui perluasan seder-

hana dari metode titik-interior primal-dual untuk pemrograman linear. Sebe-

lum membahas mengenai metode titik-interior primal-dual untuk pemrogra-

man kuadratik konveks, akan dibahas secara singkat terlebih dahulu mengenai

permasalahan dual pada pemrograman linear.

Permasalahan pemrograman linear mempunyai bentuk baku sebagai

berikut:

minimumkan9(: ; 3.9

dengan kendala = >, " 0 (3.10)

dimana ;, ?(, >?(-, dan =?(-3.

Setiap permasalahan pemrograman linear selalu mempunyai dua macam per-

masalahan, yakni permasalahan primal dan permasalahan dual. Permasalahan

primal dan permasalahan dual saling berkaitan. Permasalahan dual merupakan

kebalikan dari permasalahan primal. Hubungan antara primal dengan dual

adalah sebagai berikut: Jika permasalahan primal mempunyai n variabel dan

m kendala, maka permasalahan dual mempunyai m variabel dan n kendala.

Koefisien-koefisien pada fungsi obyektif dari permasalahan primal adalah

koefisien-koefisien sisi kanan pada permasalahan dual. Matriks kendala pada

permasalahan dual adalah transpose dari matriks kendala pada permasalahan

primal. Dengan mengubah permasalahan primal menjadi permasalahan dual,


96

maka proses perhitungan untuk permasalahan pemrograman linear akan lebih

mudah diselesaikan, khususnya apabila permasalahan primalnya memuat va-

riabel yang lebih banyak dibandingkan dengan kendalanya atau n > m.

Permasalahan dual dari persamaan (3.9)-(3.10) adalah sebagai berikut:

maksimumkan >* 3.11

dengan kendala =* A ; (3.12)

Persamaan (3.11)-(3.12) dapat dinyatakan kembali ke dalam bentuk yang se-

dikit berbeda dengan menambahkan peubah pengetat (slack variable) yang

dinotasikan dengan B, sehingga dapat ditulis sebagai berikut:

maksimumkan >* 3.13

dengan kendala =* B ;, B " 0 (3.14)

dimana peubah pengetat (slack variable) adalah peubah yang digunakan untuk

mengubah sistem pertidaksamaan menjadi suatu sistem persamaan.

Pengali Lagrange dari persamaan (3.9)-(3.10) dibagi menjadi dua, yakni vek-

tor * dan vektor B. *?(- adalah vektor pengali Langrange untuk kendala

= > dan s ?( adalah vektor pengali Lagrange untuk kendala " 0.

Dengan menggunakan Definisi Fungsi Lagrange, fungsi Lagrange dari persa-

maan (3.9)-(3.10) dapat ditulis sebagai berikut:

), *, B ; + *= + > + B

; + = + >* + B


97

Bila Teorema Karush Kuhn Tucker diterapkan ke dalam persamaan (3.9)-

(3.10), maka akan ditemukan penyelesaian dari persamaan (3.9)-(3.10) untuk

, dimana ada vektor * dan vektor B sedemikian sehingga

23), *, B 2; + 2= + >* + 2B 0

⇔ ; + =* + B 0

⇔ =* B ; (3.15)

= > (3.16)

C 0, 1, … , D (3.17)

(x,s) " 0 (3.18)

Permasalahan primal pemrograman kuadratik mempunyai bentuk yang

sama seperti pada permasalahan (3.1)-(3.3). Dapat dianggap bahwa matriks G

pada persamaan (3.1) adalah matriks semidefinit positif. Menyelesaikan per-

masalahan (3.1)-(3.3) sama halnya seperti menyelesaikan persamaan (3.4)-

(3.8). Misalkan ditetapkan bahwa E =F + dan G + , #, di-

mana = (3- dan F (-. Maka dari persamaan (3.4), E dapat dinyatakan

sebagai E , yang diperoleh dari

/ , 0/ -.

H / , 0/ + -.


98

H / I J, 0/ + -. K

H / IE dimana E , 0/ + -.

H IE L 0, … , 0

Persaman (3.5) dan (3.6) apabila diubah ke dalam bentuk matriks menjadi

MNNNNNO / P-Q / -Q-QRS / " -QRSP- / " - TU

UUUUV

MNNNNNO / + 0P-Q / + -Q 0-QRS / + -QRS " 0P- / + - " 0 TU

UUUUV

MNNNNO

G 0PG-Q 0G-QRS " 0PG- " 0 TUUUUV

Sehingga persamaan (3.5)-(3.6) dapat ditulis menjadi

= + > W0, … , 0, G-QX, … , G-Y

+> += W0, … , 0, G-QX, … , G-Y

Dengan demikian, persamaan (3.4)-(3.8) dapat ditulis sebagai berikut:

Z +>IE[ \+=L ] W0, … , 0, G-QX, … , G-, 0, … , 0Y (3.19)

=F + E (3.20)

G " 0, # (3.21)

G0 0, # (3.22)

0 " 0, # (3.23)

Persamaan (3.19)-(3.23) dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan

berikut:


99

maksimumkan F,E >^F + 12 E^+1E _ QaF, E 3.24

dengan kendala =F + E (3.25)

0 " 0, # (3.26)

yang mana permasalahan (3.24)-(3.26) merupakan dual dari permasalahan

(3.1)-(3.3).

Pemrograman kuadratik konveks dengan kendala persamaan mempu-

nyai bentuk baku sebagai berikut:

minimumkan (: 12 3.27

dengan kendala = >, " 0 (3.28)

dimana (D, > (1, = (1xD, dan (DxD matriks simetrik dan

semidefinit positif.

Permasalahan dual dari permasalahan (3.27)-(3.28) adalah sebagai be-

rikut: maksimumkan F (1,E (D >^F + 12 E^+1E 3.29

dengan kendala =F + d A (3.30)

dimana (D, > (1, = (1xD, dan (DxD matriks simetrik dan

semidefinit positif.

Persamaan (3.29)-(3.30) dapat dinyatakan kembali ke dalam bentuk yang se-

dikit berbeda dengan menambahkan peubah pengetat (slack variable) yang

dinotasikan dengan e, sehingga dapat ditulis sebagai berikut:


100

maksimumkan F (1,E,e (D >^F + 12 E^+1E 3.31

dengan kendala =F + d f (3.32)

Sedangkan, permasalahan pemrograman kuadratik konveks dengan

kendala pertidaksamaan adalah sebagai berikut:

minimumkan9(: 12 3.33

dengan kendala = " > (3.34)

dimana (D, > (1, = (1xD, dan (DxD dan G merupakan

matriks simetrik dan semidefinit positif.

Dengan menggunakan Definisi Fungsi Lagrange, fungsi Lagrange dari persa-

maan (3.33)-(3.34) dapat ditulis sebagai berikut:

), * 12 + *= + >

12 + = + >*

Syarat KKT dari persamaan (3.33)-(3.34) adalah sebagai berikut: jika x* ada-

lah penyelesaian optimum dari persamaan (3.33)-(3.34), maka ada vektor pe-

ngali Lagrange */ sedemikian sehingga syarat berikut dipenuhi untuk (x, *) =

(x*,*/) :

23), F 2 412 5 2 + 2= + >* 0

⇔ + =* 0 (3.35)


101

= + > " 0 (3.36)

= + >0 0, 1, 2, … , 1 (3.37)

* " 0 (3.38)

Pertidaksamaan (3.36) dapat diubah menjadi persamaan dengan menambah-

kan vektor pengetat yang dinotasikan dengan E, dimana E = + > dan

E " 0 sehingga diperoleh

+ =* 0 (3.39)

= + E + > 0 (3.40)

g0 0, 1, 2, … , 1 (3.41)

E, * " 0 (3.42)

Seperti kasus pada pemrograman linear, syarat KKT tidak hanya sebagai sya-

rat perlu melainkan juga sebagai syarat cukup sehingga permasalahan (3.33)-

(3.34) dapat diselesaikan dengan menemukan penyelesaian dari sistem (3.39)

– (3.42).

Metode titik-interior primal-dual digunakan untuk menemukan penye-

lesaian primal-dual dari sistem KKT dengan menerapkan metode Newton

yang diperoleh dari persamaan (2.50) ke dalam sistem (3.39)-(3.42) dan me-

modifikasi arah selidik (search direction) dan panjang langkah (step length)

sehingga pertidaksamaan E, * " 0 dipenuhi secara tegas pada setiap iterasi.


102

Untuk memperoleh metode titik-interior primal-dual, sistem (3.39)-

(3.42) dinyatakan kembali ke dalam bentuk yang lain dengan mendefinisikan

F dari (-X ke (-X, yakni

h, E, * i + =* = + E + >jΛk l 0, E, * " 0 (3.43)

dimana j diagg, g, … , g-,Λ diag0, 0, … , 0-, k 1, 1, … . , 1.

Bentuk h, E, * dapat pula dinyatakan ke dalam bentuk

h, E, * m, E, *, m, E, *, mn, E, *

Metode titik-interior primal-dual menghasilkan iterasi o, Eo, *o

yang memenuhi batas E, * " 0, dimana Eo p 0 dan *o p 0. Sifat ini meru-

pakan sifat dasar dari titik-interior.

Metode Newton membentuk model linear dari F di sekitar titik terten-

tu dan memperoleh arah selidik (search direction) ∆, ∆E, ∆* dengan me-

nyelesaikan sistem persamaan linear berikut

r, E, * i∆∆E∆*l +h, E, * (3.44)

dimana J adalah matriks Jacobi dari F, yakni

r, E, * MNNNNNOsm, E, *s sm, E, *sE sm, E, *s*sm, E, *s sm, E, *sE sm, E, *s*smn, E, *s smn, E, *sE smn, E, *s* TU

UUUUV 3.45


103

Bila persamaan (3.45) diterapkan ke dalam persamaan (3.43) , maka diperoleh

r, E, * i 0 +== +L 00 Λ j l (3.46)

Substitusikan persamaan (3.43) dan persamaan (3.46) ke dalam persamaan

(3.44) sehingga diperoleh sistem linear

i 0 +== +L 00 Λ j l i∆∆E∆*l i +uv+uw+jΛkl (3.47)

dimana uv + =* , uw = + E + >.

Diberikan iterasi tertentu, yakni (, E, * yang memenuhi (E, * p 0,

sehingga dapat diterapkan ukuran dualitas yang dinotasikan dengan x yang

didefinisikan dengan

x 11 , g0-

. E*1

yang mana merupakan ukuran nilai rata-rata dari hasil kali g0 . Dengan menentukan x dan menambahkannya ke dalam persamaan (3.47), di-

peroleh

i 0 +== +L 00 Λ j l i∆∆E∆*l i +uv+uw+jΛk yxkl (3.48)

dengan y z0,1. Iterasi selanjutnya diperoleh dengan membentuk

oX, EoX, *oX , E, * |∆, ∆E, ∆*

dimana | 0,1 sehinggaEoX, *oX > 0.


104

Metode titik-interior primal-dual menerapkan metode Newton untuk

menemukan penyelesaiannya. Konvergensi pada metode Newton akan dipero-

leh jika nilai awal yang dipilih berasal dari titik-interior. Oleh karena itu, ber-

dasarkan Teorema 2.5.1 dan Teorema 2.5.2, dapat disimpulkan bahwa nilai

awal yang dipilih dari sebarang titik-interior pasti akan konvergen, sebaliknya

apabila nilai awal yang dipilih berada di luar titik-interior, maka konvergen-

sinya belum tentu akan diperoleh.

Berikut akan diberikan algoritma dari metode titik-interior primal-dual

untuk menyelesaikan permasalahan (3.33)-(3.34).

Algoritma 3.2.1

Langkah 1. Diberikan , E, * dengan E, * p 0 ; Langkah 2. Untuk 0,1,2, …

Selesaikan

i 0 +== +L 00 Λo jo l ∆o∆Eo∆*o +uvo+uwo+YoΛok yoxok ,

dimana yo z0,1 dan xo Eo*o/1 ;

Bentuk oX, EoX, *oX o, Eo , *o |o∆o, ∆Eo, ∆*o ,

dipilih |o sedemikian sehingga EoX, *oX p 0.


105

Langkah 3. Hitung oX + o.

Jika oX + o toleransi, maka langkah dihentikan.

Sebaliknya, jika oX + o p toleransi, maka lanjut ke langkah

2.


106

Diagram alir dari algoritma metode titik-interior primal-dual.

Start

o, Eo, *,o, , =, , >

0

Masukkan

Λo diag*o

Yo diagEo

yo z0,1 xo Eo*o/1

Fo, Eo, *,o =+uvo; +uwo; +YoΛok yoxok ro, Eo, *,o= 0 +=; = + L 0; 0 Λo Yo

∆o∆Eo∆*o ro, Eo, *,oI / Fo, Eo, *,o

1


107

Gambar 3.2.1 Diagram Alir Algoritma Metode Titik-Interior Primal-Dual

oX, EoX, *oX o, Eo, *o |o∆o, ∆Eo, ∆*o, |o 0,1

1

oX

Stop

EoX, *oX p 0

Ya

Tidak

1

oX + o !

|o + 0.1

Ya

Tidak


108

Berikut ini akan diberikan contoh pemrograman kuadratik konveks dengan

kendala pertidaksamaan yang diselesaikan dengan menggunakan metode titik-


Contoh 3.2.1:

Minimumkan + 2 + 5 7.25 3.49

dengan kendala + 2 " +2 3.50

+ + 2 " +6 3.51

+ 2 " +2 3.52

, " 0 3.53

Penyelesaian:

Apabila persamaan (3.49)-(3.53) diubah ke dalam bentuk pemrograman kua-

dratik konveks, maka diperoleh

minimumkan 9( 12 12 z \2 00 2] \] z \+2+5]

dengan kendala = " > atau i 1 +2+1 +2+1 2 l \] " i+2+6+2l.

Sehingga diperoleh

\2 00 2] , \+2+5] , = i 1 +2+1 +2+1 2 l , > i+2+6+2l.


109

Untuk menyelesaikan permasalahanan di atas, ikuti langkah-langkah dari al-

goritma metode titik-interior primal dual.

Iterasi 0

Langkah 1

Misalkan diberikan \20] , E i221l , * i331l dan toleransi ! 10In.

Langkah 2

Untuk 0, akan diselesaikan sistem

i 0 +== +L 00 Λ j l i∆∆E∆*l +uv+uw+YΛk yxk

Karena E i221l dan * i331l, maka j i2 0 00 2 00 0 1l dan

Λ i3 0 00 3 00 0 1l .

Sehingga

+uv + + =*

+ J\2 00 2] \20] + \ 1 +1 +1+2 +2 2 ] i331l \+2+5]K

+ \40] + \ +1+10] \+2+5]

+ \35]

\+3+5]


110

+uw += + E + >

+ Ji 1 +2+1 +2+1 2 l \20] + i221l + i+2+6+2lK

=+ Ji 2+2+2l + i221l + i+2+6+2lK

=+ Ji 22+1lK

i+2+21 l

x - E* n z2 2 1 i331l 4.333.

Misalkan, dipilih y 0.4, maka

+jΛk yxk + Ji2 0 00 2 00 0 1l i3 0 00 3 00 0 1l i111lK 0.44.333 i111l

+ Ji6 0 00 6 00 0 1l i111lK i1.73321.73321.7332l

+ i661l i1.73321.73321.7332l i+4.2668+4.26680.7332 l

Sehingga



111

−

−−

−

−

−−

−

−

⇔

1

00

0

0

0

20

0

0

0

02

0

0

1

00

1

0

0

30

0

1

0

03

0

0

0

00

2

2

0

00

1

1

00000121

22200020

11100002

i∆∆E∆*l MNNNNNO +3+5+2+21+4.2668+4.26680.7332 TU

UUUUV

Dengan demikian

i∆∆E∆*l

−

−−

−

−

−−

−

−

1

00

0

0

0

20

0

0

0

02

0

0

1

00

1

0

0

30

0

1

0

03

0

0

0

00

2

2

0

00

1

1

00000121

22200020

11100002I

MNNNNNO +3+5+2+21+4.2668+4.26680.7332 TU

UUUUV

MNNNNNNO+0.45381.0051+0.46410.44361.4641+1.4373+2.7987+0.7309TU

UUUUUV

Jadi, diperoleh ∆ \+0.45381.0051 ] , ∆E i+0.46410.44361.4641 l , ∆* i+1.4373+2.7987+0.7309l .

Untuk nilai , E, * diperoleh dari persamaan

, E, * , E, * |∆, ∆E, ∆*


112

MNNNNNO20221331TU

UUUUV

|

MNNNNNNO+0.45381.0051+0.46410.44361.4641+1.4373+2.7987+0.7309TU

UUUUUV

MNNNNNNO2 + | 0.45380 | 1.00512 + | 0.46412 | 0.44361 | 1.46413 + | 1.43733 + | 2.79871 + | 0.7309TU

UUUUUV

Untuk | 0,1, maka E, * p 0.

Misalkan dipilih | 1.

Sehingga diperoleh

, E, * MNNNNNNO1.54621.00511.53592.44362.46411.56270.20130.2691TU

UUUUUV

dimana \1.54621.0051] , E i1.53592.44362.4641l , * i1.56270.20130.2691l. Langkah 3

Hitung + 1.5462 + 2 1.0051 + 0

1.1028

Karena + p toleransi ! 10In, maka dilanjutkan ke iterasi beri-

kutnya.


113

Iterasi 1

Langkah 2

Untuk 1, akan diselesaikan sistem


Karena E i1.53592.44362.4641l dan * i1.56270.20130.2691l, maka

j i1.5359 0 00 2.4436 00 0 2.4641l dan Λ i1.5627 0 00 0.2013 00 0 0.2691l .

Sehingga

+uv + + =*

+ J\2 00 2] \1.54621.0051] + \ 1 +1 +1+2 +2 2 ] i1.56270.20130.2691l \+2+5]K

+ \3.09242.0102] + \ 1.0925+2.9898] \+2+5]

+ \0.00010 ]

\+0.00010 ]

+uw += + E + >

+ Ji 1 +2+1 +2+1 2 l \1.54621.0051] + i1.53592.44362.4641l + i+2+6+2lK


114

=+ Ji+0.4640+3.55640.4640 l + i1.53592.44362.4641l + i+2+6+2lK

=+ Ji 0.00010+0.0001lK

i+0.000100.0001 l x - E* n z1.5359 2.4436 2.4641 i1.56270.20130.2691l 1.1791.

Misalkan, dipilih y 0.4, maka

+jΛk yxk

+ Ji1.5359 0 00 2.4436 00 0 2.4641l i1.5627 0 00 0.2013 00 0 0.2619l i111lK

0.41.1791 i111l

+ Ji2.4002 0 00 0.4919 00 0 0.6453l i111lK i0.47160.47160.4716l

+ i2.40020.49190.6453l i0.47160.47160.4716l i+1.9286+0.0203+0.1737l

Sehingga



115

−

−−

−

−

−−

−

−

⇔

4641.2

00

0

0

0

4436.20

0

0

0

05359.1

0

0

2619.0

00

1

0

0

2013.00

0

1

0

05627.1

0

0

0

00

2

2

0

00

1

1

00000121

22200020

11100002

i∆∆E∆*l MNNNNNO+0.00010+0.000100.0001+1.9286+0.0203+0.1737TU

UUUUV

Dengan demikian

i∆∆E∆*l

−

−−

−

−

−−

−

−

4641.2

00

0

0

0

4436.20

0

0

0

05359.1

0

0

2619.0

00

1

0

0

2013.00

0

1

0

05627.1

0

0

0

00

2

2

0

00

1

1

00000121

22200020

11100002I

MNNNNNO+0.00010+0.000100.0001+1.9286+0.0203+0.1737TU

UUUUV

MNNNNNNO+0.17450.2965+0.7675+0.41860.7675+0.47480.0262+0.1521TU

UUUUUV

Jadi, diperoleh ∆ \+0.17450.2965 ] , ∆E i+0.7675+0.41860.7675 l , ∆* i+0.47480.0262+0.1521l .

Untuk nilai , E, * diperoleh dari persamaan

, E, * , E, * |∆, ∆E, ∆*


116

MNNNNNNO1.54621.00511.53592.44362.46411.56270.20130.2691TU

UUUUUV

|

MNNNNNNO+0.17450.2965+0.7675+0.41860.7675+0.47480.0262+0.1521TU

UUUUUV

MNNNNNNO1.5462 + | 0.17451.0051 | 0.29651.5359 + | 0.76752.4436 + | 0.41862.4641 | 0.76751.5627 + | 0.47480.2013 | 0.02620.2691 + | 0.1521TU

UUUUUV

Untuk | 0,1, maka E, * p 0.

Misalkan dipilih | 1.

Sehingga diperoleh

, E, * MNNNNNNO1.37171.30160.76842.02503.23161.08790.22750.1170TU

UUUUUV

dimana \1.37171.3016] , E i0.76842.02503.2316l , * i1.08790.22750.1170l. Langkah 3

Hitung + 1.3717 + 1.5462 1.3016 + 1.0051

0.3440

Karena + p toleransi ! 10In, maka dilanjutkan ke iterasi beri-

kutnya.

Proses iterasi akan terus dilanjutkan sampai + toleransi ! 10In.


117

Berikut ini akan diberikan penyelesaian dengan menggunakan program

MATLAB.

Tabel 3.2.1 Output Penyelesaian Contoh 3.2.1 dengan Matlab.

===================================================

Iterasi x(1) x(2) dif

===================================================

0 2.00000 0.00000 -

1 1.54615 1.00513 1.10284

2 1.37261 1.29865 0.34098

3 1.34579 1.50456 0.20765

4 1.36165 1.61258 0.10918

5 1.38106 1.66296 0.05399

6 1.39212 1.68474 0.02443

7 1.39686 1.69382 0.01024

8 1.39875 1.69751 0.00415

9 1.39950 1.69900 0.00167

10 1.39980 1.69960 0.00067

===================================================

Pada saat iterasi ke-10, oX + o toleransi ! 10In.

Jadi, nilai x yang meminimalkan fungsi adalah:

1.39980 dan 1.69960.


118

Nilai awal yang digunakan untuk menyelesaikan pemrograman kuadratik

konveks dapat diubah-ubah, yakni dengan cara mensubstitusikan E dan

* yang berbeda-beda dengan tujuan agar iterasi yang dihasilkan lebih se-

dikit. Berikut ini akan diberikan tabel perbandingan pengaruh nilai awal dan

jumlah iterasi yang diperlukan oleh metode titik-interior primal-dual untuk

menyelesaikan fungsi obyektif m + 2 + 5 7.25 dengan

toleransi ! 10In.

Tabel 3.2.2 Tabel Perbandingan Nilai Awal Metode Titik-Interior Primal-

Dual.

No E * / Banyaknya

Iterasi

1. 2,0 2,2,1 3,3,1 1.39980 ,1.69960 10

2. 2,0 5,4,2 4,6,3 1.39982 ,1.69964 12

3. 2,0 6,3,4 7,2,5 1.39988,1.69975 13

4. 2,0 7,8,2 6,3,7 1.39985,1.69970 13

5. 2,0 9,5,10 6,8,11 1.39973,1.69946 13

6. 2,0 14,8,10 7,5,9 1.39987,1.69973 14

7. 2,0 15,12,10 8,12,15 1.39984,1.69968 14

8. 2,0 17,9,15 11,5,9 1.39979,1.69959 14


119

9. 2,0 20,6,17 7,10,6 1.39972,1.69943 13

10. 2,0 22,17,14 15,19,13 1.39980,1.69959 15

Dengan menggunakan Tabel 3.2.2, dapat dilihat bahwa dengan nilai awal

E dan * yang berbeda-beda, permasalahan optimisasi ini akan memi-

liki penyelesaian yang sama, yakni mendekati 1.39980 ,1.69960. Pemili-

han nilai awal E dan * yang cukup dekat dengan penyelesaian akan

menghasilkan iterasi yang lebih sedikit.


120

BAB IV

PENUTUP

A. Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan pada bab-bab sebelumnya, maka dapat dita-

rik beberapa kesimpulan berikut:

Metode titik-interior khususnya metode titik-interior primal dual ada-

lah metode yang digunakan untuk menyelesaikan pemrograman kuadratik

konveks. Metode ini merupakan pengembangan lebih lanjut dari metode titik-

interior primal-dual untuk pemrograman linear yang bertujuan untuk memba-

tasi pergerakan nilai optimum yang dihasilkan pada setiap iterasinya dengan

toleransi tertentu. Metode titik-interior primal-dual digunakan untuk mene-

mukan penyelesaian primal-dual dengan menerapkan metode Newton dan

memodifikasi arah selidik dan panjang langkah.

Metode titik-interior primal-dual mempunyai kelebihan dan kekura-

ngan. Kelebihan dari metode titik-interior primal-dual adalah pencarian pe-

nyelesaian optimum dimulai dari sebarang titik-interior sehingga konvergen-

sinya akan lebih cepat diperoleh. Metode titik-interior memerlukan langkah


121

yang sedikit, yang mana setiap arah selidik relatif mudah untuk dihitung. Se-

dangkan, kekurangan dari metode titik-interior primal-dual adalah pemilihan

nilai awal yang berada di luar titik-interior mengakibatkan konvergensinya be-

lum tentu akan diperoleh.

B. Saran

Berikut ini diberikan beberapa saran yang dapat dijadikan permasala-

han untuk dibahas lebih lanjut yang berhubungan dengan metode titik-interior

primal-dual:

1. Metode titik-interior primal dual untuk menyelesaikan pemrogra-

man kuadratik konveks dengan kendala nonlinear.

2. Metode titik-interior primal-dual untuk menyelesaikan permasala-

han optimisasi seperti Sequential Quadratic Programming.


122

DAFTAR PUSTAKA

Anggi, M. N. (2007). Penyelesaian Sistem Persamaan Non-linear dengan Me-

tode Newton dan Terapannya. Skripsi. Yogyakarta: FST USD.

Anton, H. and Chris, R. (2004). Aljabar Linear Elementer Versi Aplikasi. Edisi

Kedelapan. Jilid 1. (Terjemahan). Jakarta: Erlangga.

Bartle, R.G. and Sherbert, D.R. (1999). Introduction to Real Analysis. New

York: John Wiley and Sons, Inc.

Boyd, S. and Vandenberghe, L. (2004). Convex Optimization. New York: Cam-

bridge University Press.

Budhi, W. S. (1995). Aljabar Linear. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama.

Burden, R.L. and Faires, J. D. (1985). Numerical Analysis. Boston: PWS Pub-

lisher.

Folland, G.B. (1999). Real Analysis. New York: John Wiley & Sons, Inc.

Leon, S. J. (2001). Aljabar Linear dan Aplikasinya. (Terjemahan). Edisi Kelima.

Jakarta: Erlangga.

Lipschutz, S. and Lipson, M.L. (2001). Matematika Diskret I. Jakarta: Salemba

Teknika.

Nash, G. S. and Sofer, A. (1996). Linear and Nonlinear Programming. New

York: McGraw-Hill Companies, Inc.


123

Nocedal, J. and Stephen, J.W. (2006). Numerical Optimization 2nd

. New York:

Springer.

Prayudi. (2008). Kalkulus Lanjut. Yogyakarta: Graha Ilmu.

Purcell, E.J. dan Dale, V. (1996). Kalkulus. Jilid 1. (Terjemahan). Jakarta: Er-

langga.

Soemantri, R., dkk. (2006). Diktat Pengantar Analisis Real. Yogyakarta: FMIPA

USD.

Sun, W. and Ya-Xiang Yuan. (2006). Optimization Theory and Methods. New

York: Springer.


124

LAMPIRAN

PROGRAM UTAMA:

Listing Program

clear

clc

disp('------------------------------------------------');

disp(' Metode Titik-Interior Primal-Dual ');

disp(' untuk Menyelesaikan Pemrograman Kuadratik Konveks

');

disp(' Q(x)=1/2*(x^T*G*x)+x^T*g ');

disp(' dengan A*x>=b ');

disp('------------------------------------------------');

disp('min x(1)^2+x(2)^2-2*x(1)-5*x(2)+7.25');

disp('dengan x(1)-2x(2)>=-2');

disp(' -x(1)-2x(2)>=-6');

disp(' -x(1)+2x(2)>=-2');

disp(' x(1),x(2)>=0');

disp('permasalahan tersebut diubah ke dalam bentuk');

disp('pemrograman kuadratik konveks, sehingga dipero-

leh');

disp('G=[2 0;0 2];g=[-2;-5];A=[1 -2;-1 -2;-1 2];b=[-2;-

6;-2]');

x=input('masukkan x0=');

y=input('masukkan y0=');

lamda=input('masukkan lamda0=');

G=input('masukkan G=');

A=input('masukkan A=');

g=input('masukkan g=');

b=input('masukkan b=');


125

tol=10^(-3);

k=1;

x0=[x;y;lamda];

dif=1;

disp('Iterasi x1 x2 dif')

while dif>tol

n=length(x);

m=length(y&lamda);

x=x0(1:n,1);

y=x0(n+1:m+n,1);

lamda=x0(n+m+1:n+2*m,1);

lamdbes=diag(lamda);

ybes=diag(y);

sigma=0.4;

miu=(y'*lamda)/m;

e=ones(m,1);

f1=-(G*x-A'*lamda+g);

f2=-(A*x-y-b);

f3=-(ybes*lamdbes*e)+(sigma*miu*e);

fx=[f1;f2;f3];

j11=G;

j12=zeros(n,m);

j13=-(A');

j21=A;

j22=-(eye(m));


126

j23=zeros(m,m);

j31=zeros(m,n);

j32=lamdbes;

j33=ybes;

jx=[j11 j12 j13;j21 j22 j23;j31 j32 j33];

del=inv(jx)*fx;

alpha=1;

x1=x0+(alpha*del);

if x1(n+1:n+2*m,1)<0

alpha=alpha-0.1;

x1=x0+(alpha*del);

else

x1=x1;

end

x2=x1(1:n,1);

dif=norm(x1(1:n,1)-x0(1:n,1));

fprintf('\n%3.0f%15.5f%15.5f%15.5f',k,x1(1),x1(2),dif)

if dif<tol

x1=x0;

else

x0=x1;

end

k=k+1;

end


127

x=x2;

disp('------------------------------------------------');

disp('Terima kasih anda telah menggunakan program ini.');

OUTPUT

---------------------------------------------------

Metode Titik-Interior Primal-Dual

untuk Menyelesaikan Pemrograman Kuadratik Konveks

Q(x)=1/2*(x^T*G*x)+x^T*g

dengan A*x>=b

---------------------------------------------------

min x(1)^2+x(2)^2-2*x(1)-5*x(2)+7.25

dengan x(1)-2x(2)>=-2

-x(1)-2x(2)>=-6

-x(1)+2x(2)>=-2

x(1),x(2)>=0

permasalahan tersebut diubah ke dalam bentuk

pemrograman kuadratik konveks, sehingga diperoleh

G=[2 0;0 2];g=[-2;-5];A=[1 -2;-1 -2;-1 2];

b=[-2;-6;-2]

masukkan x0=[2;0]

masukkan y0=[2;2;1]

masukkan lamda0=[3;3;1]

masukkan G=[2 0;0 2]

masukkan A=[1 -2;-1 -2;-1 2]

masukkan g=[-2;-5]

masukkan b=[-2;-6;-2]

Iterasi x(1) x(2) dif


128

1 1.54615 1.00513 1.10284

2 1.37261 1.29865 0.34098

3 1.34579 1.50456 0.20765

4 1.36165 1.61258 0.10918

5 1.38106 1.66296 0.05399

6 1.39212 1.68474 0.02443

7 1.39686 1.69382 0.01024

8 1.39875 1.69751 0.00415

9 1.39950 1.69900 0.00167

10 1.39980 1.69960 0.00067

---------------------------------------------------------

Terima kasih anda telah menggunakan program ini.

Jadi, nilai x yang meminimumkan fungsi adalah:

1.39980,1.69960.


PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI · pakan persamaaan atau pertidaksamaan nonlinear. Salah...

Documents

Transcript of PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI · pakan persamaaan atau pertidaksamaan nonlinear. Salah...