PUSAT MASSA DAN TITIK BERAT

Pusat massa dan titik berat suatu benda memiliki pengertian yang sama, yaitu suatu titik tempat berpusatnya massa/berat dari benda tersebut. Perbedaannya adalah letak pusat massa suatu benda tidak dipengaruhi oleh medan gravitasi, sehingga letaknya tidak selalu berhimpit dengan letak titik beratnya.

Pusat massa batang bergerak secara kombinasi antara melingkar terhadap titik pusat, serta bergerak lurus dengan kecepatan konstan ke kanan. Untuk menimbulkan gerakan berputar seperti itu, kita membutuhkan gaya terhadap pusat putaran. Namun setelah tumbukan tidak ada lagi gaya yang bekerja pada batang, sehingga hal seperti ini tidak mungkin akan terjadi dan titik putar yang dapat diambil hanyalah pusat massa.

Gaya normal poros terhadap batang yang menahan benda supaya bergerak terhadap si poros ( gaya ini bekerja sebagai gaya sentripetal pada batang ).

Dapat disimpulkan bahwa pada peristiwa ini berputarnya batang terhadap titik lain di batang selain pusat massanya tidak mungkin terjadi, dan satu-satunya kondisi yang mungkin adalah batang berputar terhadap pusat massanya.

1.Konsep pusat massa berkaitan erat dengan titik berat alias pusat gravitasi yang akan kita pelajari nanti. Karenanya sebelum belajar mengenai titik berat dkk, sebaiknya kita ulas konsep pusat massa terlebih dahulu.

a. rumus pusat massa

pusat massa adalah sebuah titik dimana sifat daripada massa-massa dalam sebuah system dapat digantikan oleh titik ini. Secara persamaan matematika dapat dituliskan sebagai berikut :

keterangan :

= koordinat umum , dapat diganti dengan x, y, z , atau , dll, tergantung sistem koordinat yang digunakan

= koordinat pusat massa di sumbu q

= massa-massa di dalam sistem yang akan dicari pusat massanya

= koordinat massa-massa sistem yang akan dicari pusat massanya di sumbu q

pada distribusi massa yang kontinu, maka sigma berubah menjadi integral

b.contoh soal

1. Tentukan pusat massa yang dibatasi : y=cos 2x, x=π/3, sumbu y dan y=1.

Statis momen terhadap sumbu X,

Sx = ∫ y dA

. . . .⅓ π Sx = ∫ ½ (1 - cos 2x) * (1 - cos 2x) dx. . . 0Sx = 0.298259Statis momen terhadap sumbu Y,

titik potong y = cos 2x dengan x = π/3

y = cos (2 * ⅓ π)

y = -½

Sy = ∫ x dA

. . . .. 1Sy = ∫ ½ (⅓ π - ½ acos y) * (⅓ π - ½ acos y) dy. . .-½

Sy = 0.173311

Luas daerahnya adalah

L = ∫ y dx

. . . ⅓ π L = ∫ (1 - cos 2x) dx . . 0

L = 0.614185

koordinat pusat massa,

Xc = Sy/L

Xc = 0.173311/0.614185

Xc = 0.28218

Yc = Sx/L

Yc = 0.298259/0.614185

2. titik berat

titik berat benda adalah letak titik potong garis diagonal masing-masing bidang, atau dapat dikatakan sebagai titik tengah bidang benda. Jika benda dua dimensi yang berupa bangunan terintegrasi, maka masing-masing bangun harus dipisah menjadi bangun yang paling sederhana selanjutnya ditentukan garis diagonalnya kemudian tentukan letak titik potong diagonal.Selanjutnya dari titik potong diagonal dimaksud, diukur dari acuan sumbu-x dari posisi yang paling kiri serta acuan sumbu-y dari garis yang paling bawah.

Titik berat benda homogen berbentuk luasan yang bentuknya teratur terletak pada sumbu simetrinya. Untuk bidang segi empat, titik berat diperpotongan diagonalnya, dan untuk lingkaran terletak dipusat lingkaran. Titik berat bidang homegen di perlihatkan pada tabel berikut:

Sifat - sifat :

1. Jika benda homogen mempunyai sumbu simetri atau bidang simetri, maka titik beratnya terletak

pada sumbu simetri atau bidang simetri tersebut.

2. Letak titik berat benda padat bersifat tetap, tidak tergantung pada posisi benda.

3. Kalau suatu benda homogen mempunyai dua bidang simetri ( bidang sumbu )

4.    maka titik beratnya terletak pada garis potong kedua bidang tersebut.

5.    Kalau suatu benda mempunyai tiga buah bidang simetri yang tidak melalui satu garis,

6.    maka titik beratnya terletak pada titik potong ketiga simetri tersebut.

C.    ALAT DAN BAHAN

         batu kerikil

         benang jahit

         paku

         kertas karton

         mistar

         pensil

         pelubang kertas

         gunting

         jangka

D.     CARA KERJA

Cara kerja 1

1.      Siapkan alat dan bahan

2.      Buatlah bangun-bangun datar (persegi panjang, lingkaran, segitiga sama sisi, segitiga siku-siku

sama kaki, segitiga siku-siku sembarangdan bangun sembarang) menggunakan kertas karton

3.      Lubangi setiap bangun dengan pelubang kertas, sebanyak dua lubang

4.      Iklatlah batu kerikil menggunakan benang jahit

5.      Pasang paku pada dinding atau pintu

6.      Masukkan salah satu lubang pada salah satu bidang datar di paku yang telah ditancapkan.

7.      Gantungkan benang jahit yang telah diberi kerikil pada paku, usahakan bangun dapat bergerak

dengan bebas.

8.      Setelah posisi seimbang tandai letak benang pada kartin pada dua tempa dengan menggunakan

pensil

9.      Lepaskan benang, kemudian ambil kartonnya.

10.  Tariklah garis melalui dua tanda yang telah dibuat.

11.  Lakukan cara ke 6-10 pada lubang ke dua.

12.  Lakukan cara ke 6-11 pada bangun yang lain.

Cara kerja 2

1.      Siapkan alat dan bahan

2.      Buatlah bangun-bangun datar (persegi panjang dilubang, lingkaran dilubang, setengah lingkaran,

juring lingkaran ) menggunakan kertas karton. Ukuran sama dengan percobaan 1.

3.      Lubangi setiap bangun dengan pelubang kertas, sebanyak dua lubang

4.      Iklatlah batu kerikil menggunakan benang jahit

5.      Pasang paku pada dinding atau pintu

6.      Masukkan salah satu lubang pada salah satu bidang datar di paku yang telah ditancapkan.

7.      Gantungkan benang jahit yang telah diberi kerikil pada paku, usahakan bangun dapat bergerak

dengan bebas.

8.      Setelah posisi seimbang tandai letak benang pada kartin pada dua tempa dengan menggunakan

pensil

9.      Lepaskan benang, kemudian ambil kartonnya.

10.  Tariklah garis melalui dua tanda yang telah dibuat.

11.  Lakukan cara ke 6-10 pada lubang ke dua.

12.  Lakukan cara ke 6-11 pada bangun yang lain.

13.  Bandingkan dengan percobaan 1.

3. contoh soal

Contoh soal:

Sebuah karton berbentu huruf L dengan ukuran seperti pada gambar di bawah.

Tentukan koordinat titik berat karton tersebut!

2. Dua silinder homogen disusun seporos dengan panjang dan massanya masing-masing: l1 = 5 cm ; m1 = 6 kg ; l2 = 10 cm ; m2 = 4 kg.Tentukan letak titik berat sistem silinder tersebut !

Jawab:

Kita ambil ujung kiri sebagai acuan, maka:

x1 = 0.5 . l1 = 2.5 cmx2 = l2 + 0.5 . l1 = 5 + 5 = 10 cm

X = (å mi . xi)/(mi)X = (m1.x1) + (m1.x1)/(m1 + m2)

X = (6 . 2.5 + 4 . 10)/(6 + 4)X = (15 + 40)/(10) = 5.5 cm

Jadi titik beratnya terletak 5.5 cm di kanan ujung m1.

TITIK BERAT BEBERAPA BENDA

Garis lurus yo = 1/2 AB z = di tengah-tengah AB

Busur lingkaran yo = AB/AB . AB = tali busurAB = busur ABR = jari-jari lingkaran

Busur setengah lingkaran yo = 2.R/p R = jari-jari lingkaran

Juring lingkaran yo = AB/AB.2/3.R AB = tali busurAB = busur ABR = jari-jari lingkaran

Setengah lingkaran yo = 4.R/3 p R = jari-jari lingkaran

Selimut setengah bola yo = 1/2 R R = jari-jari lingkaran

Selimut limas yo = 1/3 t t = tinggi limas

Selimut kerucut yo = 1/3 t t = tinggi kerucut

Setengah bola yo = 3/8 R

R = jari-jari bola

Limas yo = 1/4 t t = tinggi limas

Kerucut yo = 1/4 t t = tinggi kerucut

Cat. : Dalam menyelesaikan persoalan titik berat benda, terlebih dahulu bendanya dibagi-bagi sesuai dengan bentuk benda khusus yang sudah diketahui letak titik beratnya, kemudian baru diselesaikan dengan rumusan yang ada.

4.keseimbangan benda tegar

A.  Konsep Benda Tegar

Sebelum melangkah lebih jauh, terlebih dahulu gurumuda bahas kembali konsep benda tegar. Tujuannya biar dirimu lebih nyambung dengan penjelasan mengenai titik berat.

Dalam ilmu fisika, setiap benda bisa kita anggap sebagai benda tegar (benda kaku). Benda tegar itu cuma bentuk ideal yang membantu kita menggambarkan sebuah benda. Bagaimanapun setiap benda dalam kehidupan kita bisa berubah bentuk (tidak selalu tegar/kaku), jika pada benda tersebut dikenai gaya yang besar. Setiap benda tegar dianggap terdiri dari banyak partikel alias titik. Partikel – partikel itu tersebar di seluruh bagian benda. Jarak antara setiap partikel yang tersebar di seluruh bagian benda selalu sama.

Untuk membantumu lebih memahami konsep benda tegar, lihat ilustrasi ini. Amati gambar di bawah ini.

Ini gambar sebuah benda (contoh). Benda ini bisa kita anggap tersusun dari banyak partikel. Pada gambar, partikel – partikel ditandai dengan titik hitam. Seharusnya semua bagian benda itu dipenuhi dengan titik hitam, tapi nanti malah gambarnya jadi hitam semua. Maksudnya adalah menunjukkan partikel-partikel atau titik-titik.

Benda ini kita anggap terdiri dari partikel-partikel. Partikel-partikel itu diwakili oleh titik hitam. Tanda panah yang berwarna biru menunjukkan arah gaya gravitasi yang bekerja pada tiap-tiap partikel. Seandainya benda kita bagi menjadi potongan-potongan yang sangat kecil, maka satu potongan kecil itu = satu partikel. Jumlah partikel sangat banyak dan masing-masing partikel itu juga punya massa. Secara matematis bisa ditulis sebagai berikut :

m1 = partikel 1, m2 = partikel 2, m3 = partikel 3, m4 = partikel 4, m5 = partikel 5, ……,

mn = partikel terakhir. Jumlah partikel sangat banyak, lagian kita juga tidak tahu secara pasti ada berapa jumlah partikel. Untuk mempermudah, maka kita cukup menulis titik-titik (….) dan n. Simbol n melambangkan partikel yang terakhir.

Gaya gravitasi bekerja pada masing-masing partikel itu. Secara matematis bisa kita tulis sebagai berikut :

Gaya gravitasi yang bekerja pada partikel = gaya berat partikel

m1g = w1 = gaya gravitasi yang bekerja pada partikel 1

m2g = w2 = gaya gravitasi yang bekerja pada partikel 2

m3g = w3 = gaya gravitasi yang bekerja pada partikel 3

m4g = w4 = gaya gravitasi yang bekerja pada partikel 4

m5g = w5 = gaya gravitasi yang bekerja pada partikel 5

Dan seterusnya………………….

Mng = wn = gaya gravitasi yang bekerja pada partikel terakhir

Apabila benda berada pada tempat di mana nilai percepatan gravitasi (g) sama, maka gaya berat untuk setiap partikel bernilai sama. Arah gaya berat setiap partikel juga sejajar menuju ke permukaan bumi. Untuk mudahnya bandingkan dengan gambar di atas. Untuk kasus seperti ini, kita bisa menggantikan gaya berat pada masing-masing partikel dengan sebuah gaya berat tunggal (w = mg) yang bekerja pada titik di mana pusat massa benda berada. Jadi gaya berat ini mewakili semua gaya berat partikel. Titik di mana gaya berat bekerja (dalam hal ini pusat massa benda), di sebut titik berat. Nama lain dari titik berat adalah pusat gravitasi.

Keterangan :

w = gaya berat = gaya gravitasi yang bekerja pada benda

m = massa benda

g = percepatan gravitasi

Bentuk benda simetris, sehingga pusat massa dengan mudah ditentukan. Pusat massa untuk benda di atas tepat berada di tengah-tengah. Jika bentuk benda tidak simetris atau tidak beraturan, maka pusat massa benda bisa ditentukan menggunakan persamaan (persamaan untuk menentukan pusat massa benda ada di pokok bahasan pusat massa).

Jika benda berada pada tempat yang memiliki nilai percepatan gravitasi (g) yang sama, maka gaya gravitasi bisa dianggap bekerja pada pusat massa benda itu. Untuk kasus seperti ini, titik berat benda berada pada pusat massa benda.

Perlu diketahui bahwa penentuan titik berat benda juga perlu memperhatikan syarat-syarat keseimbangan. Untuk kasus di atas, titik berat benda harus terletak pada pusat massa benda, agar syarat 1 terpenuhi

Syarat 2 mengatakan bahwa sebuah benda berada dalam keseimbangan statis jika tumlah semua torsi yang bekerja pada benda = 0. Ketika titik berat berada pada pusat massa, lengan gaya = 0. Karena lengan gaya nol, maka tidak ada torsi yang dihasilkan oleh gaya berat (Torsi = gaya x lengan gaya = gaya berat x 0 = 0 ).