Bab 13ย ยท Jari-jari Girasi Misalkan suatu lamina dengan massa . Jika kita ingin mengganti lamina S...
Transcript of Bab 13ย ยท Jari-jari Girasi Misalkan suatu lamina dengan massa . Jika kita ingin mengganti lamina S...
Daerah Persegi Panjang
Misalakan ๐ adalah daerah persegi panjang yang sisi-sisinya sejajardengan sumbu-sumbu koordinat:
๐ = ๐ฅ, ๐ฆ |๐ โค ๐ฅ โค ๐, ๐ โค ๐ฆ โค ๐ .
Bentuk partisi ๐ dari ๐ yang membagi ๐ menjadi persegi-persegipanjang kecil.
Integral Lipat dan Jumlah Riemann
Untuk menghitung volume benda di bawahpermukaan ๐ง = ๐(๐ฅ, ๐ฆ) dan di atas daerah persegipanjang ๐ , pandang volume kotak di atas persegi-persegi kecil pada daerah ๐ .
๐ = lim๐ โ0
๐=1
๐
๐ าง๐ฅ๐ , เดค๐ฆ๐ โ๐ด๐
Jika limit di atas ada, maka ๐ dikatakan terintegralkan pada daerah ๐ dan limit tersebut dinamakan integral lipat dari ๐ atas ๐ , dinotasikan dengan
เถต
๐
๐ ๐ฅ, ๐ฆ ๐๐ด
Sifat Integral Lipat
1. Jika fungsi ๐ terbatas pada persegi tertutup ๐ dan jika ๐ kontinu kecuali pada sejumlah berhingga titikmaka ๐ terintegralkan pada ๐ .
Contoh.
a. ๐ ๐ฅ, ๐ฆ = ๐๐ฅ๐ฆ sin(๐ฅ โ ๐ฆ)
b. ๐ ๐ฅ, ๐ฆ =cos(๐ฅ2๐ฆ)
๐ฅ2โ๐ฆ
2. Integral lipat bersifat linear.
a. ๐ ๐๐ ๐ฅ, ๐ฆ ๐๐ด = ๐๐
๐ ๐ฅ, ๐ฆ ๐๐ด
b. ๐ ๐ ๐ฅ, ๐ฆ + ๐ ๐ฅ, ๐ฆ ๐๐ด ๐ =
๐ ๐ฅ, ๐ฆ ๐๐ด ๐ +๐ ๐ฅ, ๐ฆ ๐๐ด
3. ๐ ๐ ๐ฅ, ๐ฆ ๐๐ด ๐ 1=
๐ ๐ฅ, ๐ฆ ๐๐ด ๐ 2+๐ ๐ฅ, ๐ฆ ๐๐ด
4. Jika ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โค ๐(๐ฅ, ๐ฆ) untuk setiap (๐ฅ, ๐ฆ) di ๐ maka
เถต
๐
๐ ๐ฅ, ๐ฆ ๐๐ด โคเถต
๐
๐ ๐ฅ, ๐ฆ ๐๐ด
Menghitung Integral Lipat
เถต
๐
๐๐๐ด = ๐เถต
๐
๐๐ด = ๐๐ด(๐ )
Contoh.
1. Misalkan ๐ ๐ฅ, ๐ฆ = แ1,2,3,
jika 0 โค ๐ฅ โค 3, 0 โค ๐ฆ โค 1jika 0 โค ๐ฅ โค 3, 1 < ๐ฆ โค 2jika 0 โค ๐ฅ โค 3, 2 < ๐ฆ โค 3
Hitunglah ๐ ๐ ๐ฅ, ๐ฆ ๐๐ด, jika ๐ = {(๐ฅ, ๐ฆ)|0 โค ๐ฅ โค 3, 0 โค ๐ฆ โค 3}.
2. Hampirilah ๐ ๐ ๐ฅ, ๐ฆ ๐๐ด, di mana ๐ ๐ฅ, ๐ฆ =
64โ8๐ฅ+๐ฆ2
16dan ๐ = {(๐ฅ, ๐ฆ)|0 โค ๐ฅ โค
4, 0 โค ๐ฆ โค 8}, dengan menghitung jumlah Riemann yang diperoleh jika daerah R dibagi menjadi 8 persegi dengan luas yang sama dan titik pusat setiap persegidigunakan sebagai titik sampel.
Integral Lipat sebagai Integral Berulang
โ๐ โ ๐ด(๐ฆ)โ๐ฆ
๐ = เถฑ
๐
๐
๐ด ๐ฆ ๐๐ฆ
๐ด ๐ฆ = เถฑ
๐
๐
๐ ๐ฅ, ๐ฆ ๐๐ฅ
เถต
๐
๐ ๐ฅ, ๐ฆ ๐๐ด = เถฑ
๐
๐
เถฑ
๐
๐
๐ ๐ฅ, ๐ฆ ๐๐ฅ ๐๐ฆ
เถต
๐
๐ ๐ฅ, ๐ฆ ๐๐ด = เถฑ
๐
๐
เถฑ
๐
๐
๐ ๐ฅ, ๐ฆ ๐๐ฆ ๐๐ฅ
Contoh
1. Hitunglah
เถฑ
2
4
เถฑ
1
2
6๐ฅ2๐ฆ๐๐ฅ ๐๐ฆ.
2. Hitunglah integral lipat pada soal no. 1 dengan urutanpengintegralan yang berbeda.
Menghitung Volume
๐ =เถต
๐
|๐ ๐ฅ, ๐ฆ |๐๐ด
Contoh.
Hitunglah volume benda di bawah permukaan ๐ ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ฅ2 + ๐ฆ2 + 2 dan di atas bidang ๐ง = 1 pada daerah ๐ = {(๐ฅ, ๐ฆ)| โ 1 โค ๐ฅ โค 1, 0 โค ๐ฆ โค 2}.
Daerah Bukan Persegi Panjang
Misalkan ๐ terdefinisi di daerah tertutup dan terbatas๐.
Buat ๐ daerah persegi panjang yang memuat ๐.
Pandang
๐โฒ ๐ฅ, ๐ฆ = แ๐ ๐ฅ, ๐ฆ ,
0,
jika ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐
jika ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐
Maka
๐ ๐ ๐ฅ, ๐ฆ ๐๐ด ๐ =
๐โฒ ๐ฅ, ๐ฆ ๐๐ด
Daerah Sederhana
Daerah ๐ฅ-sederhana๐ = ๐ฅ, ๐ฆ |๐1 ๐ฆ โค ๐ฅ โค ๐2 ๐ฆ , ๐ โค ๐ฆ โค ๐
Daerah ๐ฆ-sederhana๐ = ๐ฅ, ๐ฆ |๐ โค ๐ฅ โค ๐, ๐1 ๐ฅ โค ๐ฆ โค ๐2 ๐ฅ ,
Integral atas Daerah Sederhana
Atas daerah ๐ฆ-sederhana
๐ ๐ ๐ฅ, ๐ฆ ๐๐ด =
๐ ๐โฒ ๐ฅ, ๐ฆ ๐๐ด
= เถฑ
๐
๐
เถฑ
๐
๐
๐โฒ ๐ฅ, ๐ฆ ๐๐ฆ ๐๐ฅ
= เถฑ
๐
๐
เถฑ
๐1(๐ฅ)
๐2(๐ฅ)
๐ ๐ฅ, ๐ฆ ๐๐ฆ ๐๐ฅ
Atas daerah ๐ฅ-sederhana
๐ ๐ ๐ฅ, ๐ฆ ๐๐ด =
๐
๐๐1 ๐ฆ
๐2 ๐ฆ๐ ๐ฅ, ๐ฆ ๐๐ฅ ๐๐ฆ
Contoh
1. Hitunglah
เถฑ
0
1
เถฑ
0
๐ฆ2
2๐ฆ๐๐ฅ๐๐ฅ๐๐ฆ
2. Hitung volume benda pada oktan pertama yang terletak di antaraparaboloida ๐ง = ๐ฅ2 + ๐ฆ2 dan silinder ๐ฅ2 + ๐ฆ2 = 4.
3. Hitunglah
เถฑ
0
4
เถฑ
๐ฆ/2
2
๐๐ฅ2๐๐ฅ๐๐ฆ
Sistem Koordinat Polar
Sistem koordinat Kartesian ditemukan secara terpisaholeh Pierre de Fermat dan Rene Descartes.
Selain sistem koordinat Kartesian, ada sistemkoordinat lain yang disebut sistem koordinat polar.
Sistem ini memiliki:
โข sumbu polar dan
โข titik asal
Hubungan dengan Koordinat Kartesian
Polar ke Kartesian Kartesian ke Polar
๐ฅ = โฏ๐ฆ = โฏ
๐2 = โฏtan ๐ = โฏ
Contoh.
1. Tentukan titik pada koordinat Kartesian yang berkorespondensi dengan 4,๐
6.
2. Tentukan titik pada koordinat polar yang berkorespondensi dengan โ3, 3 .
3. Sketsa grafik ๐ = 8 sin ๐.
4. Sketsa grafik ๐ =2
1โcos ๐.
Limit dengan Transformasi Polar
1. Diketahui bahwa limit berikut ada, tentukan
lim(๐ฅ,๐ฆ)โ(0,0)
sin ๐ฅ2 + ๐ฆ2
3๐ฅ2 + 3๐ฆ2
2. Tentukan apakah limit berikut ada atau tidak.
lim(๐ฅ,๐ฆ)โ(0,0)
๐ฅ๐ฆ
๐ฅ2 + 3๐ฆ2
Persegi Polar
Persegi dalam koordinat polar adalah
๐ = ๐, ๐ |๐ โค ๐ โค ๐, ๐ผ โค ๐ โค ๐ฝ
Misalkan ๐ง = ๐(๐ฅ, ๐ฆ).
Akan dihitung volume benda di bawah permukaan ๐ง = ๐(๐ฅ, ๐ฆ)dan di atas persegi polar ๐ .
๐ง = ๐ ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ ๐ cos ๐ , ๐ sin ๐โ๐ โ ๐ ๐ cos ๐ , ๐ sin ๐ โ๐ด(๐ )
โ๐ด ๐ = โฏ
เถต
๐
๐ ๐ฅ, ๐ฆ ๐๐ด =เถต
๐
๐ ๐ cos ๐ , ๐ sin ๐ ๐ ๐๐ ๐๐
Daerah Polar Sederhana
Daerah ๐-sederhana๐ = ๐, ๐ |๐1(๐) โค ๐ โค ๐2(๐), ๐ผ โค ๐ โค ๐ฝ
Daerah ๐-sederhana๐ = ๐, ๐ |๐ โค ๐ โค ๐, ๐1(๐) โค ๐ โค ๐2(๐)
Contoh
1. Hitung volume benda pada oktan pertama yang terletak di antara paraboloida ๐ง = ๐ฅ2 + ๐ฆ2 dan silinder ๐ฅ2 + ๐ฆ2 = 4.
2. Hitunglah ๐๐๐ฅ
2+๐ฆ2๐๐ด, dengan
๐ = ๐ฅ, ๐ฆ ๐ฅ2 + ๐ฆ2 โค 4 .
3. Tentukan volume benda di bawah permukaan z = ๐ฅ2 + ๐ฆ2, di dalam silinder ๐ฅ2 + ๐ฆ2 = 2๐ฆ, dan di atas bidang-๐ฅ๐ฆ.
4. Ubahlah dalam koordinat Kartesian, lalu hitunglah
เถฑ
3๐/4
4๐/3
เถฑ
0
โ5 sec ๐
๐5 ๐ ๐๐2๐ ๐๐ ๐๐
Massa dan Pusat Massa Lamina Tak Homogen
Misalkan ๐ adalah lamina (keping tipis 2-dimensi) tak homogen denganrapat massa di titik (๐ฅ, ๐ฆ) adalah ๐ฟ(๐ฅ, ๐ฆ).
Partisi ๐ ke dalam persegi-persegi kecil dan pandang persegi ke-๐, ๐ ๐, dengan titik wakil าง๐ฅ๐ , เดค๐ฆ๐ .
Massa pada persegi ๐ ๐ : โ๐ โ ๐ฟ าง๐ฅ๐ , เดค๐ฆ๐ ๐ด(๐ ๐)
Sehingga massa ๐: ๐ = ๐๐ฟ ๐ฅ, ๐ฆ ๐๐ด
Momen persegi ๐ ๐ terhadap sumbu-๐ฅ: โ๐๐ฅ โ ๐ฆ ๐ฟ าง๐ฅ๐ , เดค๐ฆ๐ ๐ด(๐ ๐)
Sehingga momen ๐ terhadap sumbu-๐ฅ: ๐๐ฅ = ๐๐ฆ ๐ฟ ๐ฅ, ๐ฆ ๐๐ด
Momen persegi ๐ ๐ terhadap sumbu-๐ฆ: โ๐๐ฆ โ ๐ฅ ๐ฟ าง๐ฅ๐ , เดค๐ฆ๐ ๐ด(๐ ๐)
Sehingga momen ๐ terhadap sumbu-๐ฆ: ๐๐ฆ = ๐๐ฅ ๐ฟ ๐ฅ, ๐ฆ ๐๐ด
Dan pusat massa าง๐ฅ, เดค๐ฆ =๐๐ฆ
๐,๐๐ฅ
๐
Contoh
1. Sebuah lamina dengan rapat massa ๐ฟ ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ฅ๐ฆ dibatasi oleh sumbu-๐ฅ, garis ๐ฅ = 8, dan kurva ๐ฆ = ๐ฅ ฮค2 3. Tentukan massa dan pusat massa lamina tersebut.
2. Sebuah lamina berbentuk seperempat lingkaran dengan jari-jari ๐, dengan rapat massa pada suatu titik sebanding dengan jarak titiktersebut ke titik pusat koordinat. Tentukan pusat massa lamina tersebut.
Momen Inersia
Misalkan โ adalah suatu garis.
Misalkan pula ๐ adalah suatu titik dengan massa ๐ dan berjarak ๐ dari garis โ.
Momen inersia dari ๐ terhadap โ didefinisikan sebagai: ๐ผ = ๐๐2
Pandang ๐ suatu lamina tak homogen dengan rapat massa di titik (๐ฅ, ๐ฆ) adalah ๐ฟ(๐ฅ, ๐ฆ). Maka momen inersiadari ๐ terhadap sumbu-๐ฅ, sumbu-๐ฆ, dan sumbu-๐ง adalah:
๐ผ๐ฅ =เถต
๐
๐ฆ2๐ฟ ๐ฅ, ๐ฆ ๐๐ด
๐ผ๐ฆ =เถต
๐
๐ฅ2๐ฟ ๐ฅ, ๐ฆ ๐๐ด
๐ผ๐ง =เถต
๐
(๐ฅ2+๐ฆ2) ๐ฟ ๐ฅ, ๐ฆ ๐๐ด = ๐ผ๐ฅ + ๐ผ๐ฆ
Jari-jari Girasi
Misalkan ๐ suatu lamina dengan massa ๐.
Jika kita ingin mengganti lamina S dengan suatutitik ๐ yang juga bermassa ๐ dengan momeninersia ๐ terhadap garis ๐ฟ yang sama denganmomen inersia ๐ terhadap garis ๐ฟ,
maka jarak ๐ terhadap ๐ฟ adalah:
าง๐ =๐ผ
๐
yang disebut jari-jari girasi.
Contoh
1. Sebuah lamina dengan rapat massa ๐ฟ ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ฅ๐ฆ dibatasi oleh sumbu-๐ฅ, garis ๐ฅ = 8, dan kurva ๐ฆ = ๐ฅ ฮค2 3. Tentukan momen inersialamina tersebut terhadap sumbu-๐ฅ, sumbu-๐ฆ, dan sumbu-๐ง.
2. Sebuah lamina berbentuk seperempat lingkaran dengan jari-jari ๐, dengan rapat massa pada suatu titik sebanding dengan jarak titiktersebut ke titik pusat koordinat. Tentukan momen inersia lamina tersebut terhadap sumbu-๐ฅ, sumbu-๐ฆ, dan sumbu-๐ง.