Bab 13Integral Lipat

13.1 Integral Lipat atas Daerah Persegi Panjang

Daerah Persegi Panjang

Misalakan 𝑅 adalah daerah persegi panjang yang sisi-sisinya sejajardengan sumbu-sumbu koordinat:

𝑅 = 𝑥, 𝑦 |𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 .

Bentuk partisi 𝑃 dari 𝑅 yang membagi 𝑅 menjadi persegi-persegipanjang kecil.

Integral Lipat dan Jumlah Riemann

Untuk menghitung volume benda di bawahpermukaan 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) dan di atas daerah persegipanjang 𝑅, pandang volume kotak di atas persegi-persegi kecil pada daerah 𝑅.

𝑉 = lim𝑃 →0

𝑘=1

𝑛

𝑓 ҧ𝑥𝑘 , ത𝑦𝑘 ∆𝐴𝑘

Jika limit di atas ada, maka 𝑓 dikatakan terintegralkan pada daerah 𝑅 dan limit tersebut dinamakan integral lipat dari 𝑓 atas 𝑅, dinotasikan dengan

ඵ

𝑅

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴

Sifat Integral Lipat

1. Jika fungsi 𝑓 terbatas pada persegi tertutup 𝑅 dan jika 𝑓 kontinu kecuali pada sejumlah berhingga titikmaka 𝑓 terintegralkan pada 𝑅.

Contoh.

a. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥𝑦 sin(𝑥 − 𝑦)

b. 𝑔 𝑥, 𝑦 =cos(𝑥2𝑦)

𝑥2−𝑦

2. Integral lipat bersifat linear.

a. 𝑅𝑘𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = 𝑘𝑅

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴

b. 𝑅𝑓 𝑥, 𝑦 + 𝑔 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 𝑅=

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 𝑅+𝑔 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴

3. 𝑅𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 𝑅1=

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 𝑅2+𝑔 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴

4. Jika 𝑓(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑔(𝑥, 𝑦) untuk setiap (𝑥, 𝑦) di 𝑅 maka

ඵ

𝑅

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 ≤ඵ

𝑅

𝑔 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴

Menghitung Integral Lipat

ඵ

𝑅

𝑘𝑑𝐴 = 𝑘ඵ

𝑅

𝑑𝐴 = 𝑘𝐴(𝑅)

Contoh.

1. Misalkan 𝑓 𝑥, 𝑦 = ቐ1,2,3,

jika 0 ≤ 𝑥 ≤ 3, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1jika 0 ≤ 𝑥 ≤ 3, 1 < 𝑦 ≤ 2jika 0 ≤ 𝑥 ≤ 3, 2 < 𝑦 ≤ 3

Hitunglah 𝑅𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴, jika 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)|0 ≤ 𝑥 ≤ 3, 0 ≤ 𝑦 ≤ 3}.

2. Hampirilah 𝑅𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴, di mana 𝑓 𝑥, 𝑦 =

64−8𝑥+𝑦2

16dan 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)|0 ≤ 𝑥 ≤

4, 0 ≤ 𝑦 ≤ 8}, dengan menghitung jumlah Riemann yang diperoleh jika daerah R dibagi menjadi 8 persegi dengan luas yang sama dan titik pusat setiap persegidigunakan sebagai titik sampel.

13.2 Integral Berulang

Integral Lipat sebagai Integral Berulang

∆𝑉 ≈ 𝐴(𝑦)∆𝑦

𝑉 = න

𝑐

𝑑

𝐴 𝑦 𝑑𝑦

𝐴 𝑦 = න

𝑎

𝑏

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥

ඵ

𝑅

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = න

𝑐

𝑑

න

𝑎

𝑏

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦

ඵ

𝑅

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = න

𝑎

𝑏

න

𝑐

𝑑

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥

Contoh

1. Hitunglah

න

2

4

න

1

2

6𝑥2𝑦𝑑𝑥 𝑑𝑦.

2. Hitunglah integral lipat pada soal no. 1 dengan urutanpengintegralan yang berbeda.

Menghitung Volume

𝑉 =ඵ

𝑅

|𝑓 𝑥, 𝑦 |𝑑𝐴

Contoh.

Hitunglah volume benda di bawah permukaan 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 + 2 dan di atas bidang 𝑧 = 1 pada daerah 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)| − 1 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2}.

13.3 Integral Lipat atas Daerah Bukan Persegi Panjang

Daerah Bukan Persegi Panjang

Misalkan 𝑓 terdefinisi di daerah tertutup dan terbatas𝑆.

Buat 𝑅 daerah persegi panjang yang memuat 𝑆.

Pandang

𝑓′ 𝑥, 𝑦 = ቊ𝑓 𝑥, 𝑦 ,

0,

jika 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆

jika 𝑥, 𝑦 ∉ 𝑆

Maka

𝑠𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 𝑅=

𝑓′ 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴

Daerah Sederhana

Daerah 𝑥-sederhana𝑆 = 𝑥, 𝑦 |𝜓1 𝑦 ≤ 𝑥 ≤ 𝜓2 𝑦 , 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑

Daerah 𝑦-sederhana𝑆 = 𝑥, 𝑦 |𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝜙1 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 𝜙2 𝑥 ,

Integral atas Daerah Sederhana

Atas daerah 𝑦-sederhana

𝑠𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 =

𝑅𝑓′ 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴

= න

𝑎

𝑏

න

𝑐

𝑑

𝑓′ 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥

= න

𝑎

𝑏

න

𝜙1(𝑥)

𝜙2(𝑥)

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥

Atas daerah 𝑥-sederhana

𝑠𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 =

𝑐

𝑑𝜓1 𝑦

𝜓2 𝑦𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦

Contoh

1. Hitunglah

න

0

1

න

0

𝑦2

2𝑦𝑒𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦

2. Hitung volume benda pada oktan pertama yang terletak di antaraparaboloida 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 dan silinder 𝑥2 + 𝑦2 = 4.

3. Hitunglah

න

0

4

න

𝑦/2

2

𝑒𝑥2𝑑𝑥𝑑𝑦

10.5 Sistem Koordinat Polar

Sistem Koordinat Polar

Sistem koordinat Kartesian ditemukan secara terpisaholeh Pierre de Fermat dan Rene Descartes.

Selain sistem koordinat Kartesian, ada sistemkoordinat lain yang disebut sistem koordinat polar.

Sistem ini memiliki:

• sumbu polar dan

• titik asal

Contoh

Hubungan dengan Koordinat Kartesian

Polar ke Kartesian Kartesian ke Polar

𝑥 = ⋯𝑦 = ⋯

𝑟2 = ⋯tan 𝜃 = ⋯

Contoh.

1. Tentukan titik pada koordinat Kartesian yang berkorespondensi dengan 4,𝜋

6.

2. Tentukan titik pada koordinat polar yang berkorespondensi dengan −3, 3 .

3. Sketsa grafik 𝑟 = 8 sin 𝜃.

4. Sketsa grafik 𝑟 =2

1−cos 𝜃.

Limit dengan Transformasi Polar

1. Diketahui bahwa limit berikut ada, tentukan

lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

sin 𝑥2 + 𝑦2

3𝑥2 + 3𝑦2

2. Tentukan apakah limit berikut ada atau tidak.

lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥𝑦

𝑥2 + 3𝑦2

13.4 Integral Lipat pada Koordinat Polar

Persegi Polar

Persegi dalam koordinat polar adalah

𝑅 = 𝑟, 𝜃 |𝑎 ≤ 𝑟 ≤ 𝑏, 𝛼 ≤ 𝜃 ≤ 𝛽

Misalkan 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦).

Akan dihitung volume benda di bawah permukaan 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)dan di atas persegi polar 𝑅.

𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑟 cos 𝜃 , 𝑟 sin 𝜃∆𝑉 ≈ 𝑓 𝑟 cos 𝜃 , 𝑟 sin 𝜃 ∆𝐴(𝑅)

∆𝐴 𝑅 = ⋯

ඵ

𝑅

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 =ඵ

𝑅

𝑓 𝑟 cos 𝜃 , 𝑟 sin 𝜃 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃

Daerah Polar Sederhana

Daerah 𝑟-sederhana𝑆 = 𝑟, 𝜃 |𝜙1(𝜃) ≤ 𝑟 ≤ 𝜙2(𝜃), 𝛼 ≤ 𝜃 ≤ 𝛽

Daerah 𝜃-sederhana𝑆 = 𝑟, 𝜃 |𝑎 ≤ 𝑟 ≤ 𝑏, 𝜓1(𝑟) ≤ 𝜃 ≤ 𝜓2(𝑟)

Contoh

1. Hitung volume benda pada oktan pertama yang terletak di antara paraboloida 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 dan silinder 𝑥2 + 𝑦2 = 4.

2. Hitunglah 𝑆𝑒𝑥

2+𝑦2𝑑𝐴, dengan

𝑆 = 𝑥, 𝑦 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4 .

3. Tentukan volume benda di bawah permukaan z = 𝑥2 + 𝑦2, di dalam silinder 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑦, dan di atas bidang-𝑥𝑦.

4. Ubahlah dalam koordinat Kartesian, lalu hitunglah

න

3𝜋/4

4𝜋/3

න

0

−5 sec 𝜃

𝑟5 𝑠𝑖𝑛2𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝜃

13.4 Penggunaan Integral Lipat

Massa dan Pusat Massa Lamina Tak Homogen

Misalkan 𝑆 adalah lamina (keping tipis 2-dimensi) tak homogen denganrapat massa di titik (𝑥, 𝑦) adalah 𝛿(𝑥, 𝑦).

Partisi 𝑆 ke dalam persegi-persegi kecil dan pandang persegi ke-𝑘, 𝑅𝑘, dengan titik wakil ҧ𝑥𝑘 , ത𝑦𝑘 .

Massa pada persegi 𝑅𝑘 : ∆𝑚 ≈ 𝛿 ҧ𝑥𝑘 , ത𝑦𝑘 𝐴(𝑅𝑘)

Sehingga massa 𝑆: 𝑚 = 𝑆𝛿 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴

Momen persegi 𝑅𝑘 terhadap sumbu-𝑥: ∆𝑀𝑥 ≈ 𝑦 𝛿 ҧ𝑥𝑘 , ത𝑦𝑘 𝐴(𝑅𝑘)

Sehingga momen 𝑆 terhadap sumbu-𝑥: 𝑀𝑥 = 𝑆𝑦 𝛿 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴

Momen persegi 𝑅𝑘 terhadap sumbu-𝑦: ∆𝑀𝑦 ≈ 𝑥 𝛿 ҧ𝑥𝑘 , ത𝑦𝑘 𝐴(𝑅𝑘)

Sehingga momen 𝑆 terhadap sumbu-𝑦: 𝑀𝑦 = 𝑆𝑥 𝛿 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴

Dan pusat massa ҧ𝑥, ത𝑦 =𝑀𝑦

𝑚,𝑀𝑥

𝑚

Contoh

1. Sebuah lamina dengan rapat massa 𝛿 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 dibatasi oleh sumbu-𝑥, garis 𝑥 = 8, dan kurva 𝑦 = 𝑥 Τ2 3. Tentukan massa dan pusat massa lamina tersebut.

2. Sebuah lamina berbentuk seperempat lingkaran dengan jari-jari 𝑎, dengan rapat massa pada suatu titik sebanding dengan jarak titiktersebut ke titik pusat koordinat. Tentukan pusat massa lamina tersebut.

Momen Inersia

Misalkan ℓ adalah suatu garis.

Misalkan pula 𝑃 adalah suatu titik dengan massa 𝑚 dan berjarak 𝑟 dari garis ℓ.

Momen inersia dari 𝑃 terhadap ℓ didefinisikan sebagai: 𝐼 = 𝑚𝑟2

Pandang 𝑆 suatu lamina tak homogen dengan rapat massa di titik (𝑥, 𝑦) adalah 𝛿(𝑥, 𝑦). Maka momen inersiadari 𝑆 terhadap sumbu-𝑥, sumbu-𝑦, dan sumbu-𝑧 adalah:

𝐼𝑥 =ඵ

𝑆

𝑦2𝛿 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴

𝐼𝑦 =ඵ

𝑆

𝑥2𝛿 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴

𝐼𝑧 =ඵ

𝑆

(𝑥2+𝑦2) 𝛿 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦

Jari-jari Girasi

Misalkan 𝑆 suatu lamina dengan massa 𝑚.

Jika kita ingin mengganti lamina S dengan suatutitik 𝑃 yang juga bermassa 𝑚 dengan momeninersia 𝑃 terhadap garis 𝐿 yang sama denganmomen inersia 𝑆 terhadap garis 𝐿,

maka jarak 𝑃 terhadap 𝐿 adalah:

ҧ𝑟 =𝐼

𝑚

yang disebut jari-jari girasi.

Contoh

1. Sebuah lamina dengan rapat massa 𝛿 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 dibatasi oleh sumbu-𝑥, garis 𝑥 = 8, dan kurva 𝑦 = 𝑥 Τ2 3. Tentukan momen inersialamina tersebut terhadap sumbu-𝑥, sumbu-𝑦, dan sumbu-𝑧.

2. Sebuah lamina berbentuk seperempat lingkaran dengan jari-jari 𝑎, dengan rapat massa pada suatu titik sebanding dengan jarak titiktersebut ke titik pusat koordinat. Tentukan momen inersia lamina tersebut terhadap sumbu-𝑥, sumbu-𝑦, dan sumbu-𝑧.