PROYEK mtk SUKUBANYAK1
-
Upload
ika-may-hartati -
Category
Documents
-
view
232 -
download
1
Transcript of PROYEK mtk SUKUBANYAK1
7/22/2019 PROYEK mtk SUKUBANYAK1
http://slidepdf.com/reader/full/proyek-mtk-sukubanyak1 1/36
7/22/2019 PROYEK mtk SUKUBANYAK1
http://slidepdf.com/reader/full/proyek-mtk-sukubanyak1 2/36
PENYELES I N SUKUB NY K
KELOMPOK V
7/22/2019 PROYEK mtk SUKUBANYAK1
http://slidepdf.com/reader/full/proyek-mtk-sukubanyak1 3/36
NGGOT
KELOMPOK
7/22/2019 PROYEK mtk SUKUBANYAK1
http://slidepdf.com/reader/full/proyek-mtk-sukubanyak1 4/36
7/22/2019 PROYEK mtk SUKUBANYAK1
http://slidepdf.com/reader/full/proyek-mtk-sukubanyak1 5/36
7/22/2019 PROYEK mtk SUKUBANYAK1
http://slidepdf.com/reader/full/proyek-mtk-sukubanyak1 6/36
7/22/2019 PROYEK mtk SUKUBANYAK1
http://slidepdf.com/reader/full/proyek-mtk-sukubanyak1 7/36
7/22/2019 PROYEK mtk SUKUBANYAK1
http://slidepdf.com/reader/full/proyek-mtk-sukubanyak1 8/36
7/22/2019 PROYEK mtk SUKUBANYAK1
http://slidepdf.com/reader/full/proyek-mtk-sukubanyak1 9/36
7/22/2019 PROYEK mtk SUKUBANYAK1
http://slidepdf.com/reader/full/proyek-mtk-sukubanyak1 10/36
MOTTO• Tekad, semangat, kegigihan, dan keyakinan kita ! Itulah modal utama untuk meraih
kesuksesan yang kita inginkan.
• Hal yang dianggap kegagalan pun tak akan sia-sia, jika dijadikan pelajaran untuk
pengalaman berikutnya.
• Jangan menyerah selagi masih ada kemungkinan walaupun itu hanya 1 persen
• Kesalahan terbesar adalah ketika kamu tidak percaya dengan kemampuanmu sendiri.
• Kalau kau ingin menangis karena gagal, berlatihlah lebih keras lagi, sehingga kau
pantas menangis ketika kau gagal.
• Tidak peduli jalan kehidupan apa yang kau pilih, jalanilah selama itu membuatmu
bahagia, walau orang lain sulit untuk mengerti. selama kau bertanggung jawab atas
pilihan tersebut, melangkahlah dengan yakin.
• Jangan biarkan kekhawatiran menghambat langkahmu atau kamu tidak akan pernah
sampai ke manapun.
• Just because we can do it!
7/22/2019 PROYEK mtk SUKUBANYAK1
http://slidepdf.com/reader/full/proyek-mtk-sukubanyak1 11/36
AKAR-AKAR RASIONAL
DAN IRASIONAL
SUKUBANYAK
7/22/2019 PROYEK mtk SUKUBANYAK1
http://slidepdf.com/reader/full/proyek-mtk-sukubanyak1 12/36
Akar-akar rasional dari persamaan sukubanyak
Misalkan f(x) = 0 adalah sukubanyak , (x – y)merupakan faktor
dari f(x) jika dan hanya jika f(x) = 0. Sedangkan f(k) = 0 jika danhanya jika k adalah akar persamaan f(x) = 0. Denganmenggunakan kaidah silogisme pada dua pernyataantersebut, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :
Misalkan f(x) adalah sebuah sukubanyak. (x–
k) adalah faktordari f(x) jika dan hanya jika k adalah akar dari f(x) = 0. kdisebut akar atau nilai nol dari persamaan sukubanyak f(x) = 0
• Jika sukubanyak f(x) berderajat n, maka persamaan f(x) = 0maksimum mempunyai n buah akar yang real.
• Taksiran geometri dari k adalah menyatakan titik potonggrafik fungsi y = f(x) dengan sumbu x .
7/22/2019 PROYEK mtk SUKUBANYAK1
http://slidepdf.com/reader/full/proyek-mtk-sukubanyak1 13/36
Teorema Akar-Akar Rasional
Misalkan f(x) = an x n + an – 1 x n – 1 + . . . + a1 x + a0 = 0 adalah sebuah persamaansuku banyak dengan koefisien-koefisien bulat. Jika
adalah akar rasional dari
f(x) = 0, maka n adalah faktor bulat positif dari a0 dan n adalah faktor bulatdari an. Akar-akar rasional dari suatu persamaan suku banyak yangdiungkapkan dalam teorema di atas ditentukan dengan menggunakanalgoritma sebagai berikut :
Langkah 1
Mula-mula ditentukan akar-akar yang mungkin dari persamaan suku banyak f(x) = 0, yaitu
.
Dimana
m = faktor bulat positif dari a0 dan n = faktor bulat dari an .
Langkah 2
Dari himpunan akar-akar yang mungkin yang diperoleh pada langkah 1, akar-akar yang sebenarnya harus memenuhi syarat f(
) = 0.
7/22/2019 PROYEK mtk SUKUBANYAK1
http://slidepdf.com/reader/full/proyek-mtk-sukubanyak1 14/36
Akar-akar irasional
Akar-akar irasional dapat ditentukan dari suku
banyak hasil bagi yang berderajat dua,sehingga
akar-akarnya dapat dicari dengan menggunakan
rumus kuadrat.
Untuk mencari akar-akar irasional, kita juga dapat menggunakan rumus ABC
sebagai berikut :
X12 =−± −4
2
7/22/2019 PROYEK mtk SUKUBANYAK1
http://slidepdf.com/reader/full/proyek-mtk-sukubanyak1 15/36
Teorema faktor
Jika f(x) adalah suku banyak; (x – k ) merupakan
faktor dari P(x). Jika dan hanya jika P(k ) = 0.Artinya:
“ Jika (x – k ) merupakan faktor, maka nilai P(k ) =
0. Sebaliknya, jika P(k ) = 0 maka (x – k) merupakan faktor “
Misal suku banyak f(x) dibagi (x-a) mempunyaisisa f(a) = 0 maka (x-a) merupakan faktor darif(x).
7/22/2019 PROYEK mtk SUKUBANYAK1
http://slidepdf.com/reader/full/proyek-mtk-sukubanyak1 16/36
Contoh:
Buktikan bahwa (x-1) merupakan faktor dari x2
- 6x + 11x - 6 dan tentukan faktor
lainnya!
Jawab:
1 1 -6 11 -61 -5 6
1 -5 6 0
x2
- 6x + 11x – 6 = (x-1) (x2- 5x + 6) + 0
= (x-1) (x-3) (x-2)
Jadi faktor lainnya adalah (x-1), (x-3), dan (x-2).
7/22/2019 PROYEK mtk SUKUBANYAK1
http://slidepdf.com/reader/full/proyek-mtk-sukubanyak1 17/36
Jumlah Dan Hasil Kali Akar-Akar.
a. Persamaan Pangkat Dua
ax2 + bx + c = 0
x1 + x2 =−
x1 . x2 =
b. Persamaan Pangkat Tiga
ax3 + bx
2 + cx + d = 0
x1 + x2 + x3 =−
x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 =
x1 . x2 . x3 =−
c. Persamaan Pangkat Empat
ax4 + bx
3 + cx
2 + dx + e = 0
x1 + x2 + x3 + x4 = −
x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 =
x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + x2.x3.x4 = −
x1 . x2 . x3 . x4 . x5 =
7/22/2019 PROYEK mtk SUKUBANYAK1
http://slidepdf.com/reader/full/proyek-mtk-sukubanyak1 18/36
CONTOH SOAL
Contoh 1
Tunjukkanlah bahwa salah satu akar persamaan sukubanyak x3 – 7x – 6
= 0 adalah 3. Kemudian tentukanlah akar-akar yang lain.
Jawab :
Misalkan f(x) = x3 – 7x – 6 = 0. Untuk menunjukkan bahwa 3 adalah akar
dari f(x) = 0, cukup diperlihatkan bahwa f(3) = 0.
f(3) = (3)3 – 7(3) – 6
= 27 – 21 – 6
= 0
Karena f(3) =0, maka 3 adalah akar dari persamaan f(x) = x3 – 7x – 6
7/22/2019 PROYEK mtk SUKUBANYAK1
http://slidepdf.com/reader/full/proyek-mtk-sukubanyak1 19/36
Untuk menentukan akar-akar yang lain, dicari terlebih
dahulu hasil bagi f(x) = x3 – 7x – 6 dengan x – 3. Hasil
bagi dapat ditentukan dengan metode Horner sebagai berikut :
3 1 0 - 7 -6
3 9 6 +1 3 2 0
Hasil baginya adalah H(x) = x2 + 3x + 2
= (x + 1) ( x + 2)
Jadi, akar-akar yang lain adalah x= -1 dan x = -2
7/22/2019 PROYEK mtk SUKUBANYAK1
http://slidepdf.com/reader/full/proyek-mtk-sukubanyak1 20/36
Contoh 2
Tentukanlah akar- akar dari persamaan suku banyak f(x) = x 4- 15x2 - 10x + 24= 0.
Jawab
an = 1 dan a0 = 24
m = faktor bulat positif dari a0 = 24, yaitu 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
n = faktor bulat dari a0 yaitu , -1, 1, -2,2, -3,3, -6,6, -8,8, -12, 12, -24,24
akar yang mungkin adalah(
) = 1,-1,2,-2,3,-3,4,-4, 6,-6 ,8,-8
substitusikan akar yang mungkin ke dalam persamaan apakah f (
)= 0 ?
7/22/2019 PROYEK mtk SUKUBANYAK1
http://slidepdf.com/reader/full/proyek-mtk-sukubanyak1 21/36
Karena soal berderajat 4, maka cari minimal 2 nilai akar terlebih dahulu:
Ambil nilai x=1 :
f(1) = 1 – 15 – 10 + 24 = 0
x = 1 adalah akar persamaan
Ambil nilai x = 2
f(2) = 16 – 60 – 20 + 24 = -40
x= 2 bukan akar persamaan
Ambil nilai x = -2
f(-2) = 16 - 60 + 20 + 24 = 0 Æ
x = -2 adalah akar persamaan
didapat dua nilai yaitu x = 1 dan x = -2
kalikan dua nilai sbb:
(x-1)(x+2) = x2+ x - 2
Bagi persamaan dengan nilai tersebut, sehingga hasil akhirnya didapat :
f(x)= (x - 1)(x + 2)( x2
- x - 12) = 0 atau (x - 1)(x + 2) (x - 4 ) (x + 3) = 0
didapat akar-akar persamaan : x = 1 ; x = -2 ; x= -3 dan x = 4
7/22/2019 PROYEK mtk SUKUBANYAK1
http://slidepdf.com/reader/full/proyek-mtk-sukubanyak1 22/36
Contoh 3
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan f(x)= 2x 3 + 5x
2 – 4x – 3 = 0.
Jawab :
f(x)= 2x 3 + 5x
2 – 4x – 3 = 0.
an = 2 dan a0 = -3
akar-akar yang mungkin adalah
m = factor bulat positif dari a0 = -3 yaitu 1 dan 3
d = factor bulat dari an = 2 yaitu -2 , -1 , 1, dan 2
akar-akar yang mungkin adalah -3, -
, −, -
,
, 1 ,
, 3
menghitung nilai f (
)
untuk
= -3 diperoleh
f(-3) = 2(-3)3 + 5(-3)
2 – 4( -3 ) – 3
= -54 +45 +12 – 3
= 0
7/22/2019 PROYEK mtk SUKUBANYAK1
http://slidepdf.com/reader/full/proyek-mtk-sukubanyak1 23/36
Karena f(-3) = 0 , maka -3 adalah akar dari f(x) = 0
Untuk
= -
3
2 diperoleh
f (- 3
2) = 2(- 3
2 )3 + 5 (- 3
2 )2
– 4 (- 3
2 ) –
3
= -27
4 +
45
4 +
12
2 - 3 = 7
1
2
Karena f(-3
2) =7
1
2 # 0, maka -
bukan akar dari f(x)= 0
Untuk
= -
1
2 diperoleh
f(-1
2) = 2(-
1
2 )3 + 5(-
1
2 )2 – 4 (-
1
2 ) – 3
= -1
4
+5
4
+ 2 – 3 = 0
Karena f(-1
2 ) = 0, maka -
adalah akar dari f(x) = 0
7/22/2019 PROYEK mtk SUKUBANYAK1
http://slidepdf.com/reader/full/proyek-mtk-sukubanyak1 24/36
Untuk
= 1, diperoleh
f(1) = 2(1)3 + 5(1)2 – 4(1) – 3 = 2 + 5 – 4 – 3 = 0
karena f(1) = 0, maka 1 adalah akar dari f(x) = 0.
Dari perhitungan di atas telah diperoleh tiga buah akar,
yaitu x1 = -3 , x2= -1
2
, dan x3 = 1 sehingga perhitungan
nilai f(
) tidak perlu dilanjutkan, sebab untuk f(x)
berderajat 3 maksimum hanya mempunyai tiga buah akar.
Jadi,akar-akar persamaan suku banyak f(x)= 2 x3 + 5x2 –
4x
– 3 = 0 adalah x1 = -3 , x2= -1
2, dan x3 = 1 atau HP = { -3 ,
-1
2, 1 }
7/22/2019 PROYEK mtk SUKUBANYAK1
http://slidepdf.com/reader/full/proyek-mtk-sukubanyak1 25/36
Contoh 4
jika ,, akar-akar dari - - x + p= 0 dan dua akarnya saling berlawanan,tentukan nilai p
Jawab :
+ + = -
+ + = 3
- + + = 3
=3
. + + . =
. + + . = -1
−. − + . = -1
− = -1
= 1
= ±1
= = -1
= − = 1
.. = -
.. = p
-1. 1. 3=p P= -3
1 = − 2
7/22/2019 PROYEK mtk SUKUBANYAK1
http://slidepdf.com/reader/full/proyek-mtk-sukubanyak1 26/36
Contoh 5
Akar-akar persamaan x3 – 4x
2 – 9x + 11 = 0 adalah a, b, dan c. Hitung a
2 +
b2 + c
2 = . . .
Jawab :
a + b + c = -4
ab + bc + ac = -9
abc = -11
a2 + b
2 + c
2 = (a + b + c)
2 – 2(ab + bc + ac)
= (-4)2 – 2(-9)
= 16 + 18
= 34
Jadi nilai a2 + b
2 + c
2 adalah 34.
7/22/2019 PROYEK mtk SUKUBANYAK1
http://slidepdf.com/reader/full/proyek-mtk-sukubanyak1 27/36
SOAL
1. Jika 2x2 + x – 6 adalah faktor dari 2x
3 + mx
2 – nx + 12, maka
nilai m + n = . . .
2. Bila x4 – ax
3 – (a-b)x
2 + (3a+b+2)x – (3a+b) dibagi oleh x
2 + x –
2 memiliki sisa x – 3, maka nilai a dan b adalah . . .
3. Bila x – y + 1 merupakan sebuah faktor dari bentuk ax2 + bxy
+ cy2 + 5x – 2y + 3, maka nilai a, b, dan c adalah . . .
4. Salah satu akar persamaan x3 + ax2 + ax + 1 = 0 adalah x = 2.
Akar-akar yang lain adalah . . .
5. Jika 1, 2, dan 3 akar-akar dari 23-2 +5x -2= 0 dan dua
akarnya berkebalikan,tentukan nilai a
6. Jika 1, 2, dan 3 akar-akar dari 3-122 +28x -k= 0 dan1 = 2 + 3 ,tentukan nilai k
7/22/2019 PROYEK mtk SUKUBANYAK1
http://slidepdf.com/reader/full/proyek-mtk-sukubanyak1 28/36
1. Diketahui 2x2 + x – 6 faktor dari 2x
3 + mx
2 – nx + 12
2x2 + x – 6 = (2x-3) (x+2)
x=2 2 m -n 12
-4 -2m+8 4m+2n-16
X=
2 m-4 -2m-n+8 4m+2n-4 sisa
3
−
2 m-1 −
−+
sisa
4m + 2n – 4 = 0
-m - 2n + 13 = 0
+
3m + 9 = 0 m = 3
4m + 2n – 4 = 0
4(3) + 2n – 4 = 0
2n = 16
n = 8
7/22/2019 PROYEK mtk SUKUBANYAK1
http://slidepdf.com/reader/full/proyek-mtk-sukubanyak1 29/36
2. Persamaan x
2 + x – 2 (x-1) (x+2)
Untuk x = 1
x4 – ax
3 – (a-b)x
2 + (3a+b+2)x – (3a+b) = x – 3
(1)4 –a(1)
3 – (a-b)1
2 + (3a+b+2)1 – (3a+b) = 1 – 3
1 –
a –
(a-b) + (3a+b+2) –
(3a+b) = -2
-2a + b = -5 (i)
Untuk x = -2
x4 – ax
3 – (a-b)x
2 + (3a+b+2)x – (3a+b) = x – 3
(-2)4 – a(-2)
3 – (a-b)(-2)
2 + (3a+b+2)(-2) – (3a+b) = -5
16 + 8a –
4(a-b) + (-6a-2b-4) –
(3a+b) = -5-5a + b = -17 (ii)
Metode substitusi
-2a + b = -5
-5a + b = -17 _
3a = 12
a = 4
-2a + b = -5
-2(4) + b = -5
b = 3
Jadi nilai a adalah 4, dan nilai b adalah 3.
7/22/2019 PROYEK mtk SUKUBANYAK1
http://slidepdf.com/reader/full/proyek-mtk-sukubanyak1 30/36
3. F(x) = P(x) H(x) + S
ax2 + bxy + cy
2 + 5x – 2y + 3 = (x-y+1) (ax-cy+3) + S S = 0
ax2 + bxy + cy
2 + 5x – 2y + 3 = ax
2 – cxy + 3x – axy + cy
2 – 3y + ax - cy + 3
5x – 2y + bxy = (3+a)x – (3+c)y – (a+c)xy
5 = 3 + a
a = 2
2 = 3 + c
c = -1
-b = a + c
-b = 2 + (-1)
b = -1
7/22/2019 PROYEK mtk SUKUBANYAK1
http://slidepdf.com/reader/full/proyek-mtk-sukubanyak1 31/36
4. Persamaan x
3 + ax
2 + ax + 1 = 0 memiliki x = 2 sebagai salah satu faktornya
2 1 a a 1
2 4+2a 8+6a
1 2+a 4+3a 9+6a
6a = -9
a =
1
−
(x – 2) (x2 +
x -
) = 0
x2 +
x -
= 0
2x2 + x – 1 = 0
(2x – 1) (x + 1) = 0
x =
dan x = -1 Jadi faktor lainnya adalah x =
dan x = -1
7/22/2019 PROYEK mtk SUKUBANYAK1
http://slidepdf.com/reader/full/proyek-mtk-sukubanyak1 32/36
5. jika ,, akar-akar dari - +5x -2= 0 dan dua akarnya
berkebalikan,tentukan nilai a
Jawab :
+ + = -
+ + =
+ + =
. + + . =
. + + . =
. +
+ . =
+ . =
1 =1
2
7/22/2019 PROYEK mtk SUKUBANYAK1
http://slidepdf.com/reader/full/proyek-mtk-sukubanyak1 33/36
.. = -
.. = 1
= 1
+ . =
+ =
+
=
+ 2 = 5
− + 2 = 0
(2-1)( − ) =
=
atau = 2
=
=2
= 2 =
+ + =
+ 2 + 1 =
a = 7
7/22/2019 PROYEK mtk SUKUBANYAK1
http://slidepdf.com/reader/full/proyek-mtk-sukubanyak1 34/36
6. jika ,, akar-akar dari - +28x -k= 0 dan = +
,tentukan nilai k
Jawab :
+ + = -
+ + = 12
+ = 12
= 12
=
. + + . =
. + + . = 28
( + ) + . = 28
() + . = 28
. + . = 28
+ . = 28
. = -8
1 = 2 + 3
7/22/2019 PROYEK mtk SUKUBANYAK1
http://slidepdf.com/reader/full/proyek-mtk-sukubanyak1 35/36
1. 2 .3 = -
1. (2. 3 )= -
1. (2. 3 )= -k6 . (−8) = -k
-k = -48
K= 48
7/22/2019 PROYEK mtk SUKUBANYAK1
http://slidepdf.com/reader/full/proyek-mtk-sukubanyak1 36/36