ProbabilitasEko Setiawan, ST.

Eksperimen:◦ Segala kegiatan untuk memperoleh suatu hasil

(outcome), tanggapan (response), ukuran (measurement)

Eksperimen

• Contoh 1:– Eksperimen pelemparan 3 uang logam– Eksperimen pelemparan 1 buah dadu

Ruang sampel:◦ Himpunan yang beranggotakan semua

kemungkinan hasil, tanggapan, ukuran dari suatu eksperimen

◦ Sebuah ruang sampel tersusun atas titik sampel

Ruang Sampel

• Contoh 2:– Ruang sampel pelemparan 3 uang logam

S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}

– Ruang sampel pelemparan 1 buah daduS = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Peristiwa/Event:◦ Himpunan bagian dari ruang sampel yang

beranggotakan titik-titik sampel

Peristiwa / Event

• Contoh 3:– Dalam eksperimen pelemparan 3 uang logam,

jika A merupakan peristiwa munculnya 1 gambar wajah, maka:A = {HTT, THT, TTH}

Komplemen dari event:

Interseksi dari dua event:

Gabungan dari dua event:

Hubungan Event

– anggotanya bukan anggota dari suatu event

– elemennya merupakan elemen A dan B

– anggotanya adalah anggota A atau B

Eksperimen pelemparan 1 buah dadu◦ A = peristiwa munculnya angka kurang dari 4 ◦ B = peristiwa munculnya angka lebih dari 2◦ C = peristiwa munculnya angka lebih dari 4

Contoh 4

Percobaan mengambil kartu (52 buah)◦ A = peristiwa terambilnya kartu merah◦ B = peristiwa terambilnya kartu jack, queen,

atau king◦ C = peristiwa terambilnya kartu as

Contoh 5

Event dapat dilakukan dalam (n>1) urutan Jumlah titik sampel dari suatu urutan

event dapat ditentukan dengan menggunakan aturan perkalian

Jumlah Titik Sampel

Misal, pada pelemparan dua dadu :Jika n1 = 6; n2 = 6, n1n2 = (6)(6) = 36

A merakit komputernya sendiri. Dia mempunyai pilihan dalam pemilihan komponen. ◦ Memory: 2 merek◦ Harddisk: 4 merek◦ Motherboard: 5 merek

Berapa jumlah spesifikasi komputer yang bisa dirakit oleh A?

Contoh 6

Definisi: jumlah semua urutan yang mungkin dari suatu event dengan memperhatikan urutannya

Permutasi

i. Permutasi yang mungkin dari susunan 3 huruf a, b, c

ii. Seorang presiden dan wakil akan dipilih dari perkumpulan yang beranggotakan 50 orang. Berapa jumlah komposisi pasangan yang mungkin, jika:a) Tidak ada syaratb) A mau memilih jika dia menjadi ketuac) B dan C mau memilih jika keduanya menjadi

pasangan

Contoh 7

i. P = n1.n2.n3 = (3)(2)(1) = 6ii. a) 50P2 = 50! / 48! = 2450

b) * 49P1 = 49 * 49P2 = 49! / 47! = 2352Jumlah komposisi (titik sampel) =

2352+49 c) * B & C satu tim = 2

* 48P2 = 2256Jumlah komposisi = 2256+2

Definisi: jumlah urutan yang mungkin terjadi dalam proses memisahkan peristiwa ke dalam kelompok-kelompok

Permutasi Kelompok

Berapa susunan yang mungkin dari 7 mahasiswa yang menginap dalam satu hotel. Kamar kosong yang tersedia 1 kamar untuk 3 orang dan 2 kamar untuk 2 orang.

Contoh 8

Definisi: daftar semua urutan yang mungkin dari suatu peristiwa dengan tanpa memperhatikan urutannya

Kombinasi

Seorang anak minta dibelikan 3 game strategy dan 2 game shooter. Stok yang tersedia hanya 10 game strategy dan 5 game shooter. Berapa banyak kombinasi yang mungkin terbentuk?

Contoh 7

Total kombinasi = (120)(10) = 1200

Berapa banyak kata yang dapat dibentuk dari huruf-huruf pada kata STATISTICS?

Contoh 8

Peluang suatu kejadian A adalah jumlah bobotsemua titik sample yang termasuk dalam A

Probabilitas #1

1)(,0)(,1)(0 SPdanPAP

Sebuah mata uang dilemparkan dua kali. Berapakah peluangnya bahwa paling sedikit muncul sekali muka?

Contoh 9

S = {HH, HT, TH, TT}b = bobot satu titik sampel, 4b = 1P(A) = 3/4

Bila suatu percobaan dapat menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan sama, dan bila tepat sebanyak n dari hasil berkaitan dengan kejadian A, maka peluang kejadian A adalah

Probabilitas #2

NnAP )(

Satu kartu ditarik dari satu kotak kartu bridge (berisi 52), hitunglah peluangnya bahwa kartu itu heart

Contoh 10

P(A) = 13/52 = ¼

Peluang adalah suatu nilai riil fungsi himpunan P yang diberikan pada tiap kejadian A dalam ruang sample S.

Dinotasikan sebagai P(A) yakni probabilitas/peluang dari kejadian A

Sifat-sifat:- P(A) ≥ 0- P(S) = 1- jika A1,A2,.. adalah kejadian dan Ai ∩ Aj = Ø, maka :

Probabilitas #3

)()()()( 21321 kk APAPAPAAAAP

Suatu mata uang setangkup dilemparkan berturut-turut sebanyak 6 kali. Berapa peluangnya paling sedikit sekali muncul muka?

Contoh 11

|S|= 26 = 64E = paling sedikit sekali muncul mukaP(E’) = 1/64P(E) = 1 – (1/64) = 63/64

Probabilitas dari suatu peristiwa yang terjadibila sebuah peristiwa lainnya telah terjadiProbabilitas event A jika event B telah terjadi

Probabilitas Bersyarat

0)(;)()()/(

BbilaP

BPBAPBAP

Peluang suatu penerbangan yang telah terjadwal teratur berangkat tepat waktu P(B) = 0,83. Peluang sampai tepat waktu P(S) = 0,82. Dan peluang berangkat dan sampai tepat waktu P(BS) = 0,78. Cari peluang bahwa pesawat :

a. sampai tepat waktu bila diketahui berangkat tepat waktu

b. berangkat tepat waktu bila diketahui sampai tepat waktu

Contoh 11

a) P(S|B) = P (S ∩ B) / P (B) = 0,78 / 0,83 = 0,94

b) P(B|S) = P (B ∩ S) / P (S) = 0,78 / 0,82 = 0,95

Peristiwa saling bebas (independent)◦ Event A tidak mempengaruhi terjadinya event B◦ P (A|B) = P(A); P(B|A) = P(B)

Peristiwa saling meniadakan (mutually exclusive)◦ Terjadinya event A meniadakan atau mencegah

terjadinya event B◦ P(A|B) = 0; P (B|A) = 0

Event Khusus

Jika event A, B, C saling bebas (independent event), maka probabilitas seluruh event terjadi bersamaan disebut probabilitas gabungan (joint probability)

Hukum Perkalian

Jika event A, B, C tidak saling bebas (dependent event), maka:

Perluasan hukum perkalian untuk event tidak saling bebas :

Berdasar survey diketahui 30% mesin cuci perlu perbaikan, dan 10% mesin pengering perlu perbaikan selama masa garansi. Jika K membeli satu set mesin yang terdiri dari mesin cuci dan pengering, berapa probabilitas mesin tersebut memerlukan perbaikan pada kedua bagiannya?

Contoh

ContohSeorang teknisi akan memeriksa komputer

yang tersusun atas 4 blok. Sebuah komputer diduga rusak pada salah satu bloknya. Pemeriksaan akan dilakukan secara satu per satu. Berapa probabilitasnya bahwa teknisi tersebut harus melakukan pemeriksaan minimal 3 blok untuk menemukan bagian yang rusak?

Blok yang rusak = pemeriksaan ke-3 atau ke-4X={pemeriksaan pertama memperoleh blok tidak

rusak}Y={pemeriksaan kedua memperoleh blok tidak

rusak}

Berapa probabilitasnya bahwa teknisi tersebut harus melakukan pemeriksaan minimal 3 blok untuk menemukan bagian yang rusak?

Hukum penjumlahan peristiwa majemuk:

Hukum Penjumlahan

Jika A dan B adalah mutually exclutive:

Perluasan dari hukum penjumlahan:

Kegagalan dari struktur terjadi jika salah satu atau lebih sambungan terputus. Probabilitas putusnya tiap-tiap sambungan las P(L1)=P(L2)=P(L3)=0,001 dan diasumsikan sambungan saling bebas. Berapa probabilitas kegagalan dari struktur tersebut?

Contoh

Sistem berjalan dengan baik jika ketiga tingkatannya berjalan dengan baik. Misal setiap unit saling bebas diketahui probabilitas berjalan baiknya:

P(A)=0,7; P(B)=0,7; P(C)=0,9; P(D)=0,8P(E)=0,6; P(F)=0,6; P(G)=0,6Tentukan probabilitasnya sistem dapat bekerja

dengan baik.

Contoh

Perkembangan dari probabilitas bersyarat dan hukum perkalian

Formulasi Bayes

Vendor A,B,C,D menyediakan bahan baku pabrik TV masing-masing sebanyak 25%, 35%, 10%, 30%. Berdasar pengalaman masing-masing suplier mengirimkan barang cacat sebanyak 20%, 5%, 30%, 10% dari tiap-tiap pengiriman.

1)Berapa probabilitas bahan baku yang dipilih acak adalah barang cacat?

2)Setelah terpilih barang cacat, berapa probabilitas barang tersebut berasal dari vendor C?

Contoh

1) Barang cacat terpilih:P(A)=probabilitas barang cacat terpilihP(B1)=probabilitas barang berasal dari vendor A, dst

2) Barang cacat terpilih dari vendor C:P(B3)=probabilitas barang berasal dari vendor C

Eksperiment bisa dilakukan dalam beberapa tahap

Alat bantu grafis untuk memudahkan mengevaluasi eksperiment yang kompleks

Pohon Probabilitas

One bag contains 4 white balls and 3 black balls, and a second bag contains 3 white balls and 5 black balls. One ball is drawn from the first bag and placed unseen in the second bag. What is the probability that a ball now drawn from the second bag is black?

Contoh

Eksperimen, sampel, event Jumlah titik sampel Permutasi dan Kombinasi Probabilitas Probabilitas bersyarat Independent Event dan Mutually Exclusive Hukum perkalian dan hukum penjumlahan Formulasi Bayes

Review

Dikumpulkan pada pertemuan selanjutnya Dikumpulkan dalam tulisan tangan Dikerjakan berdasar digit terakhir NIM

mahasiswa

Tugas-1