PROBABILITAS(PROBABILITAS, PERMUTASI, DAN KOMBINASI)

PROBABILITAS*

PENGERTIAN PROBABILITASProbabilitas adalah suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang. Probabilitas dinyatakan antara 0 sampai 1 dan dinyatakan dalam desimal (misalnya: 0,65) atau dalam persentase (65%). Probabilitas 0 (nol) menunjukkan peristiwa yang tidak mungkin terjadi. Probabilitas 1 (satu) menunjukkan peristiwa yang pasti terjadi. Probabilitas dapat didefinisikan sebagai peluang suatu kejadian.*

MANFAAT PROBABILITASMembantu dalam pengambilan keputusan yang tepat, karena kehidupan di dunia tidak ada kepastian dan informasi yang tidak sempurna. Contoh : Pembelian harga saham berdasarkan analisis harga saham.Peluang produk yang dihasilkan perusahaan (sukses atau tidak)*

UNSUR PROBABILITASDalam Probabilitas ada 3 hal yang penting yaitu:percobaan (experiment)Percobaan adalah aktivitas yang menghasilkan suatu peristiwa.Misalnya: kegiatan melempar uang, akan menghasilkan peristiwa muncul gambar atau angka.hasil (out come) Hasil adalah suatu hasil dari suatu percobaan tersebut, yaitu muncul gambar atau angka.peristiwa (event). Peristiwa adalah hasil yang terjadi dari suatu kejadian.*

PENDEKATAN TERHADAP PROBABILITASUntuk menentukan tingkat probabilitas ada 3 pendekatan yaitu : pendekatan klasikpendekatan relatif pendekatan subjektif*

PENDEKATAN KLASIKPendekatan klasik mengasumsikan bahwa sebuah peristiwa mempunyai kesempatan untuk terjadi yang sama (equally likely). Probabilitas suatu peristiwa dinyatakan sebagai ratio antara jumlah kemungkinan hasil (peristiwa) dengan total kemungkinan hasil.

*

PENDEKATAN KLASIK CONTD.*

PENDEKATAN RELATIFBesar probabilitas suatu peristiwa tidak dianggap sama, tetapi tergantung pada berapa banyak suatu peristiwa terjadi dari keseluruhan percobaan atau kegiatan yang dilakukan.

*

PENDEKATAN RELATIF CONTD.Pada kegiatan AFI 3 didapatkan 1000 pemirsa TV yang mengirim SMS untuk memilih bintang idolanya, sehingga didapatkan probabilitas relatif sebagai berikut :

Jadi pendekatan relatif mendasarkan besarnya probabilitas pada banyaknya suatu peristiwa terjadi dari keseluruhan percobaan, kegiatan atau pengamatan yang dilakukan.*

PENDEKATAN SUBYEKTIFPendekatan Subyektif adalah menentukan besarnya probabilitas suatu peristiwa didasarkan pada penilaian pribadi dan dinyatakan dalam derajat kepercayaan.Penilaian Subyektif diberikan karena terlalu sedikit atau tidak ada informasi yang diperoleh atau berdasarkan keyakinan. Contoh : Menurut masyarakat, penggemar AFI mulai menurun pada tahun 2006.*

KONSEP DASAR DAN HUKUM PROBABILITASProbabilitas kejadian dilambangkan dengan P, apabila kejadian jual saham dinyatakan dengan huruf A, maka probabilitas jual saham dinyatakan dengan P(A). Sebaliknya apabila kejadian beli saham adalah B, maka probabilitas beli saham dinyatakan dengan P(B). Dalam mempelajari hukum dasar probabilitas akan dibahas hukum penjumlahan dan hukum perkalian.*

HUKUM PENJUMLAHANHukum penjumlahan menghendaki peristiwa yang saling lepas atau mutually exclusive yaitu apabila suatu peristiwa terjadi, maka peristiwa lain tidak dapat terjadi pada saat bersamaan. Apabila kejadian menulis berita P(A), maka kejadian menyiarkan berita P(B) tidak terjadi pada waktu yang bersamaan.Jika kejadian A dan B saling lepas hukum penjumlahan menyatakan :P ( A B ) = P(A atau B) = P(A) + P(B)*

HUKUM PENJUMLAHAN CONTD.Untuk kejadian yang lebih banyak dilambangkan sampai n, yaitu :P(A atau B atau ...... n) = P(A) + P(B) + ........... P(n).Contoh : Kegiatan jual-beli saham di BEJ untuk 3 perusahaan perbankan dengan jumlah total sebanyak 200 transaksi.

Dari tabel di atas diketahui bahwa : P(A) = 120/200 = 0,60 P(B) = 80/200 = 0,40Sehingga probabilitas A atau B :P(A atau B) = P(A) + P(B) = 0,6 + 0,4 = 1,0*

PERISTIWA ATAU KEJADIAN BERSAMAContohnya dalam kegiatan jual saham pastilah diketahui saham apa yang dijual atau beli saham, saham apa yang dibeli. Jadi kegiatannya ada 2 jenis yaitu:(a) kegiatan jual saham(b) sahamnya adalah saham BCA. Oleh sebab itu ada kegiatan bersama (joint event), seperti kejadian jual saham dilambangkan P(A) dan sahamnya BCA adalah P(D) atau kejadian beli P(B) dan sahamnya BCA P(D). Probabilitas kejadian bersama dilambangkan P(AD) untuk kejadian jual saham BCA dan P(BD) untuk kejadian beli saham BCA.*

PERISTIWA ATAU KEJADIAN BERSAMA CONTD.Contoh : Hitung berapa probabilitas jual saham BCA : P(AD) dan probabilitas beli saham BCA : P(BD) dari Tabel berikut.

Kegiatan jual saham dan sahamnya BCA ada 30 transaksi. Kegiatan beli saham dan sahamnya BCA ada 40. Sehingga probabilitas P(AD) dan P(BD) adalah :P(AD)= 30/200 = 0,15P(BD)= 40/200 = 0,20

*

DIAGRAM VENNPada peristiwa bersama dua atau lebih peristiwa, lebih mudah dilihat dengan diagram Venn. Pada diagram Venn terlihat adanya perhitungan ganda yaitu kejadian AD. Kejadian AD tersebut masuk dihitung ke dalam kejadian A dan kejadian D, maka rumus penjumlahan probabilitas dirumuskan sebagai berikut :

*

CONTD.Berapa probabilitas kejadian jual saham atau saham BCA : P( A atau D)P(A atau D)= P(A) + P(D) P(AD)= 0,6 + 0,35 0,15= 0,80 *

PERISTIWA KEJADIAN SALING LEPAS ( MUTUALLY EXCLUSIVE)Kejadian saling lepas terjadi apabila hanya satu dari dua atau lebih peristiwa yang terjadi. Dapat digambarkan dengan diagram Venn sebagai berikut :

Pada diagram Venn terlihat bahwa peristiwa A (jual saham) dan peristiwa B (beli saham ) saling lepas.

*AB

HUKUM PERKALIANDalam konsep probabilitas, aturan perkalian diterapkan secara berbeda menurut jenis kejadiannya. Ada dua jenis kejadian yaitu kejadian bebas ( independent event ) dan tak bebas ( dependent event )Hukum perkalian untuk probabilitas kejadian A dan B yang saling bebas (independen) :

Contoh :Saudara diminta melemparkan uang logam dua kali ke udara. Berapa probabilitas ke dua lemparan tersebut menghasilkan gambar ?Jawab :Pada lemparan pertama, probabilitas muncul gambar = dan pada lemparan ke dua, probabilitas muncul angka = .Maka P(A dan B) = P(A) x P(B) = x =

*

PROBABILITAS BERSYARAT ( CONDITIONAL PROBABILITY)Probabilitas bersyarat adalah probabilitas suatu peristiwa akan terjadi dengan ketentuan peristiwa yang lain telah terjadi. Probabilitas bersyarat dilambangkan dengan P(A|B) yaitu probabilitas peristiwa A, dengan syarat peristiwa B telah terjadi.

*

Contoh : Dengan melihat data pada Tabel 1, berapakah probabilitas terjualnya saham BCA : P( D|A) dan probabilitas saham BCA terjual : P( A|D) ?

Jawab : Probabilitas terjualnya saham BCA : P( D|A) : Saham BCA yang terjual 30 dan jumlah transaksi jual saham 120 maka P(D|A) = 30/120 = 0,25Probabilitas saham BCA terjual : P( A|D) Jumlah transaksi saham BCA ada 70 dan saham BCA yang terjual ada 30, maka P(A|D) = 30/70 = 0,43*

PERISTIWA PELENGKAP ( COMPLEMENTARY EVENT)Peristiwa pelengkap menunjukkan bahwa apabila ada dua peristiwa A dan B yang saling melengkapi, sehingga apabila peristiwa A tidak terjadi, maka peristiwa B pasti terjadi.

Dinyatakan dengan diagram Venn sebagai berikut :

Peristiwa A dan B dikatakan sebagai peristiwa komplemen. Contoh : kegiatan jual beli saham menghasilkan dua hasil yaitu kegiatan jual P(A) atau kegiatan beli P(B). Apabila diketahui P(A) = 0,8, maka P(B) = 1 0,8 = 0,2*

PERMUTASISuatu eksperimen yang dilakukan dalam beberapa langkah, dimana setiap langkah menghasilkan berbagai kemungkinan hasil yang berbeda, diperlukan suatu cara atau aturan untuk menghitung seluruh hasil.

Apabila langkah pertama dari suatu eksperimen menghasilkan k hasil yang berbeda, sedangkan langkah kedua menghasilkan m hasil yang berbeda, maka keseluruhan eksperimen yang terdiri dari 2 langkah akan menghasilkan k m hasil*

PERMUTASIAndaikan kita akan membeli mobil. Pilihan warna kendaraan adalah (merah (R), putih (W), hijau (G), hitam (B), atau perak (S)), sedangkan tipe transmisinya adalah (otomatis (O) atau manual (M)). Berapa banyak pilihan kendaraan yang dapat dipilih ?

Diagram berikut menunjukkan 10 tipe kendaraan yang terkait dengan hasil percobaan, yang dapat dipilih*

PERMUTASI*

PERMUTASITerdapat 10 hasil yang berbeda untuk memilih kendaran di atas. Daripada mencacah semua hasil yang mungkin, kita sebenarnya dapat menghitung jumlah hasil yang terjadi dengan melakukan pengamatan sederhana dari diagram pohon. Terdapat lima warna (lima cabang utama) dan dua tipe transmisi (dua cabang sekunder untuk masing-masing cabang utama) atau 10 = 52 kombinasi yang berbeda.*

PERMUTASIKonsepPermutasi adalah suatu pengaturan atau urutan beberapa elemen atau objek, dimana urutan itu penting

Permutasi sangat berguna untuk perhitungan probabilitas, khususnya yang berhubungan dengan ranking dari suatu himpunan elemen atau objek

Misalkan123 321*

PERMUTASIBanyaknya permutasi dari n elemen adalah jumlah mksimum cara-cara yang berbeda dalam mengatur atau membuat urutan dari n elemen tersebut

Misalkan, ada 3 objek ABC, diatur menjadi urutan-urutan yang berbeda, yaituABC, BCA, CAB, BAC, ACB, CBAJumlah keseluruhan ada 6 cara yang berbeda*

PERMUTASIRumusBanyaknya permutasinPn = n!n = banyaknya elemenn! = n faktorial, n o Permutasi n objek diambil r setiap kali

*P : Jumlah permutasi atau cara obyek disusun n : Jumlah total obyek yang disusunr : Jumlah obyek yang digunakan pada saat bersamaan, jumlah r dapat sama dengan n atau lebih kecil ! : tanda dari faktorial

PERMUTASIContohDari 3 mahasiswa (ABC) akan dipilih 2 mahasiswa sebagai asisten teori dan asisten praktek. Berapa cara yang dapat dilakukan untuk memperoleh pasangan asisten tersebut?

Jawabann = 3 dan r = 2

*

Asisten TeoriAsisten PraktekABBAACCABCCB

KOMBINASIKonsepKombinasi adalah susunan dari beberapa elemen dimana urutan tidak diperhatikanMisalkan123 = 321RumusKombinasi m objek diambil x setiap kali

*P : Jumlah permutasi atau cara obyek disusun n : Jumlah total obyek yang disusunr : Jumlah obyek yang digunakan pada saat bersamaan, jumlah r dapat sama dengan n atau lebih kecil ! : tanda dari faktorial

KOMBINASIContohDari 3 mahasiswa (ABC) akan dipilih 2 mahasiswa untuk mewakili kampus dalam perlombaan robot. Berapa banyaknya cara yang dapat dilakukan untuk menyeleksi mahasiswa tersebut?

Jawabann = 3 dan r = 2

(AB, AC, dan BC)*

KOMBINASIContohSuatu kotak berisi 8 bola merah, 3 bola putih, dan 9 bola biru. Apabila 3 bola dipilih secara acak, hitung probabilitas bahwa:ketiga-tiganya merahketiga-tiganya putihdua merah dan satu putihpaling sedikit satu putihmasing-masing warna diwakilihasilnya mempunyai urutan merah, putih, biru*

KOMBINASIJawaban*

KOMBINASIJawaban*

KOMBINASIJawaban*

PERMUTASI DAN KOMBINASIPermutasiUrutan penting, X1, X2 X2, X1Jumlah banyak

KombinasiUrutan tidak penting, X1, X2 = X2, X1Jumlah sedikit*

SOAL-SOALPeluang dua siswa A dan B lulus tes berturut-turut adalah 9/10 dan 11/12. Berapa peluang siswa A lulus tes tetapi B tidak lulus?9/120)

Dalam sebuah kotak berisi 7 kelereng merah dan 5 kelereng putih. Dari kotak itu diambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Berapa peluang terambil sekurang-kurangnya 1 kelereng putih? (37/44)*

SOAL-SOALSebuah kartu diambil secara acak dari satu set lengkap kartu bridge. Berapa peluang bahwa yang terambil adalah kartu merah atau kartu As? (28/52)

Sebuah kotak berisi 4 bola hijau dan 6 bola merah. Secara acak diambil 2 bola dari kotak. Berapa peluang kedua bola yang terambil berwarna hijau? (2/15)*

SOAL-SOALSuatu kelas terdiri dari 40 orang. Peluang seorang siswa lulus tes matematika saja adalah 0,4. Peluang seorang siswa lulus fisika saja adalah 0,2. berapa banyak siswa yang lulus tes matematika atau fisika saja? (24)

Dalam sebuah keranjang A yang berisi 10 buah jeruk, 2 buah jeruk diantaranya busuk, sedangkan dalam keranjang B yang berisi 15 buah salak, 3 diantaranya busuk. Berapa peluang jika ibu menghendaki 5 buah jeruk dan 5 buah salak yang baik? (16/273)*