Describing DataNumerical Measures,

Displaying, and Exploring Data

Marissa PutriMuhammad SalmanAliya Izet

Goals

MEAN

Mean

Arithmetic Mean

Weighted Mean

Population Mean

Sample MeanGeometric

Mean

Population Mean is...Jumlah dari semua nilai populasi yang belum

dikelompokan ke dalam distribusi frekuensi populasi.

= X N

: meanX : jumlah dari nilai XN : jumlah populasi

Hal-hal yang terukur dan terhitung dari sebuah populasi disebut parameter. Mean dari populasi merupakan salah satu contoh dari parameter.

Sample Mean is...Jumlah dari seluruh nilai sampel dibagi dngan total sampel yang ada.

= n

: meanx : jumlah dari nilai xn : jumlah sampel

Semua nilai dan ukuran yang menggunakan sampel disebut sebagai statistik. Sample Mean adalah salah satu contoh statistik.

Weighted Mean is...

Sebenarnya adalah perluasan dari bentuk umum Mean. Yakni, dengan teknik pengalian. Mengalikan tiap nilai dengan angka sesuai kemunculan dalam observasi.

xw = w1x1 + w2x2 + w3x3 + ... + wnxn

w1 + w2 + w3 + ... + wn

Xw : Weighted meanw : kemunculan dalam observasiX : nilai

Essential properties of the Arithmetic Mean! 1. Setiap data dalam bentuk Interval atau Ratio, memiliki

Mean.2. Semua nilai termasuk dalam komputasi Mean. Artinya,

tiap nilai yang terdapat baik dalam populasi atau sampel harus diikutsertakan dalam penghitungan.

3. Nilai Mean sifatnya unik. Hanya ada 1 dalam 1 set data

4. Hasil penjumlahan dari Deviasi tiap nilai dengan Mean adalah 0 (Nol)

(X – ) = 0X : nilai

: Mean

(X – ) : Hasil penjumlahan deviasi nilai dengan mean

Overall...

Mean as a balance point for a set of data

Weakness...

Apabila ada satu atau dua nilai yang terlalu besar atau terlalu kecil dibandingkan dengan nilai yang lainnya.

Data tersebut lebih dapat dideskripsikan

oleh metode Median

MEDIANMedian adalah titik tengah dari nilai-nilai dalam data setelah mereka diurutkan dari terkecil ke terbesar atau sebaliknya.

Pada dasarnya median dengan jumlah data ganjil atau genap sama saja. Hanya proses mendapatkan hasilnya yang berbeda. Pada data genap, memerlukan beberapa langkah tambahan.

Pada Median dengan jumlah data genap kita harus:

1. Identifikasi dua buah titik tengah setelah data diurutkan2. Cari Mean dari dua titik tengah tersebut.

Median

Even Number

Odd Number

Essential properties of Median!

1. Tidak terpengaruh oleh besar sekali atau kecil sekali sebuah nilai dalam data yang mempengaruhi nilai Mean.

2. Jenis level data Ordinal juga dapat menggunakan Median. Sedangkan Mean hanya dapat memproses level data Interval dan Ratio saja

3. Level data Nominal hanya dapat

menggunakan sistem persebaran Modus

MODUS Modus adalah nilai yang paling banyak muncul (frekuensi

banyak/tinggi) dalam sebuah observasi

Merupakan bentuk paling sederhana dibandingkan dengan Mean atau Median

Tidak terpengaruh oleh besar sekali atau kecil sekali sebuah nilai dalam data yang mempengaruhi nilai Mean

Jenis level data Nominal juga dapat menggunakan Modus.

Digunakan dalam merangkum sebuah data

Penggunaannya paling sedikit dibanding Mean dan Median dikarenakan tidak semua data memiliki modus.

The Relative Positions of Mean, Median, and Modus

2 th 3 th 4 th 5 th 6 th0

2

4

Tahun 2009

Tahun 2009

Symetric Distribution

Mean, Median, dan Modus terletak di tengah dan nilainya selalu sama.

Dari grafik disamping dapat dilihat bahwa Mean umur adalah 4 tahun, Median 4 tahun, dan Modus 4 tahun

2 th3 th4 th5 th6 th0

2

4

Tahun 2008

Tahun 2008

Positively Skewed Distribution

Nilai Mean akan lebih tinggi dibanding Median dan Modus.

Dari grafik disamping dapat dilihat bahwa Mean umur adalah 3,56 tahun, Median 3 tahun, dan Modus 3 tahun.

2 th 3 th 4 th 5 th 6 th0

2

4

Tahun 2007

Tahun 2007

Negatively Skewed Distribution

Nilai Modus akan lebih tinggi dibanding Median dan Mean

Dari grafik disamping dapat dilihat bahwa Mean umur adalah 4,44 tahun, Median 5 tahun, dan Modus 5 tahun

Geometric MeanGeometric Mean biasa digunakan dalam Ilmu ekonomi dan Bisnis. Seperti mencari rata-rata persentase perubahan sebuah nilai, rasio, pertumbuhan, dan lainnya.

GM =

Nilainya akan lebih kecil sedikit atau sama dengan nilai Arithmetic Mean. Seluruh nilai data harus dipastikan positif karena formula matematika yang digunakan adalah pengakaran.

Average percent change over a period time

Rate of increase over a time =

DispersionMengapa penting mempelajari Dispersi?

Karena dispersi tidak hanya menyajikan penjelasan pusat data seperti nilai mean dan median. Nilai dispersi menunjukan seberapa representatifnya statistik. Dispersi juga dapat digunakan untuk membandingkan dua distribusi atau lebih.

Ukuran-ukuran Dispersi

Jangkauan (range) Deviasi rata-rata (mean deviation) Variansi dan standar deviasi ( variance and standard

deviation)

JangkauanJangkauan merupakan ukuran dispersi yang paling sederhana. Jangkauan adalah selisih nilai terbesar dan nilai terkecil dari sebuah pengamatan.

Jangkauan = nilai terbesar – nilai terkecil

Deviasi rata-rata Deviasi rata-rata adalah rata rata hitung dari nilai absolut sebuah deviasi terhadap nilai rata-rata hitung.

Berbeda dengan jangkauan yang hanya menggunakan dua nilai, yaitu yang terbesar dan yang terkecil. Deviasi rata-rata mengukur jumlah rata-rata berdasarkan bagaimana nilai-nilai pada populasi, atau sampel, bervariasi dari nilai rata-ratanya.

MD =

X: nilai untuk setiap observasi: Rata-rata hitungn: jumlah observasi : absolut

VariansiVariansi rata-rata hitung dari kuadrat deviasi rata-rata

Untuk menghindari nilai absolut pada deviasi rata-rata, maka digunakan variansi.

Variansi bersifat non-negatif dan bernilai nol hanya jika seluruh pengamatannya sama.

Variansi

Variansi Populasi

Variansi Sampel

Variansi Populasi

2 : Variansi PopulasiX : Nilai observasi dari populasi : Rata-rata hitung populasiN : jumlah observasi

Langkah-langkah:1. Mencari nilai Mean2. Cari perbedaan nilai antara masing-masing observasi

dengan rata-ratanya (Deviasi) lalu kuadratkan3. Jumlahkan hasil langkah kedua4. Lalu bagi dengan total observasi

Untuk populasi yang memiliki nilai mendekati nilai rata-rata maka variansi nya akan semakin kecil dan begitu pula sebaliknya.

Variansi Sampel

S2 : Variansi sampelX : Nilai tiap observasi pada sampel : Rata-rata sampeln : Jumlah observasi

Catatan: Penggunaan (n-1) di penyebut memberikan koreksi yang tepat untuk kecenderungan kesalahan pada komputasi. Karena penggunaan utama dari statistik sampel seperti adalah untuk memperkirakan parameter-parameter populasi seperti variansi populasi, (n-1) lebih disukai untuk menyatakan nilai n dalam mendefinisikan varians sampel.

Standard DeviationDeviasi Standarakar kuadrat dari variansi.Muncul untuk mengembalikan satuan unit variansi yang dikuadratkan. Sehingga Deviasi Standar memiliki unit yang sama dengan data.

Deviasi Standar

Deviasi Standar Populasi

Deviasi Standar Sampel

Deviasi Standar Populasi

Deviasi Standar Sampel

Penggunaan Deviasi StandarDalam ukuran dispersi dari sekumpulan data dari rata-rata, semakin menyebar datanya, makin tinggi nilai deviasinya. Dalam keuangan, deviasi standar mempengaruhi investor dalam berinvestasi.

Teorema Chebyshev

P.L. Chebyshev mengembangkan sebuah teorema yang memungkinkan kita menentukan proporsi minimal dari banyaknya nilai yang berada dalam jumlah deviasi standar spesifik rata-rata.

“Untuk sampel maupun populasi. Proporsi nilai yang berada dalam kisaran k deviasi standar rata-rata, paling sedikit adalah 1 – 1/k2,

dimana k adalah konstanta yang lebih besar dari 1”

Mean and Standard Deviation of Grouped DataArithmetic Mean : Sample MeanM : Titik tengah tiap kelasf : Frekuensi tiap kelasn : jumlah frekuensi

Deviasi Standars : Deviasi standar sampelM : Titik tengah kelasf : Frekuensi kelasn : jumlah sampel : Sample mean

Dot Plots1. Dot plot mengelompokkan data sekecil mungkin dan

identitas mengenai observasi individu tidak hilang

2. Untuk mengembangkan dot plot, setiap observasi hanya ditampilkan dengan titik sepanjang garis bilangan horizontal yang menunjukkan nilai yang mungkin dari data.

3. Jika terdapat hasil observasi identik atau berbeda sangat tipis untuk ditampilkan sendiri, maka titik ditumpuk diatas yang lain.

Dot plot memungkinkan kita untuk melihat bentuk distribusi, data dan nilai mengenai kecenderungan kelompok, serta observasi yang terbesar dan terkecil.

Contoh Dot PlotsDilaporkan dibawah ini adalah jumlah kendaraan yang dijual di 24 bulan terakhir di Smith Food Mercury Jeep, Inc. dan Brophy Honda Volkswagen di Kuala Lumpur, Malaysia.

Stem-and-Leaf Display

Stem-and-leaf adalah teknik statistik untuk menyajikan suatu set data. Setiap nilai numerik dibagi menjadi dua bagian. Angka utama bisa diibaratkan sebagai batang dan angka yang mengikuti diibaratkan sebagai daun. Batang terletak di sepanjang sumbu vertikal, dan nilai-nilai daun ditumpuk satu sama lain sepanjang sumbu horisontal.

Penggunaan distribusi frekuensi mempunyai beberapa kelemahan. Dua kelemahan untuk mengatur data ke dalam distribusi frekuensi:

1. Kita kehilangan identitas tepat dari setiap nilai2. Sulit untuk mengetahui bagaimana nilai-nilai dalam setiap kelas didistribusikan 

Dengan penggunaan teknik stem-and-leaf, kerugian diatas bisa diatasi.

Contoh Stem-and-LeafTercantum dalam Tabel 4-1 adalah titik-titik iklan radio yang dibeli oleh masing-masing dari 45 anggota Greater Buffalo Automobile Dealer Association tahun lalu.

Aturlah data menjadi tampilan stem-and-leaf. Sekitar angka berapa kecenderungan orang mengiklankan produk? Titik paling sedikit yang dibeli oleh dealer? Titik terbesar yang dibeli?

Kuartil, desil, dan persentil

Kuartil membagi satu set observasi menjadi empat bagian sama besar

Desil membagi satu set observasi menjadi sepuluh bagian sama besar

Persentil membagi satu set observasi menjadi seratus bagian sama besar

Contoh PersentilTercantum di bawah ini adalah komisi yang diterima bulan lalu oleh sebuah sampel dari 15 pialang di Kantor Salomon Smith Barney's Oakland, California.

$2,038 $1,758 $1,721 $1,637 $2,097 $2,047 $2,205$2,287

$1,940 $2,311 $2,054 $2,406 $1,471 $1,460 $1,787

Cari median, kuartil pertama, dan kuartil ketiga dari komisi yang didapatkan

Langkah 1: Atur data dari yang terkecil sampai dengan yang terbesarLangkah 2: Hitunglah kuartil pertama dan ketiga. Cari L25 dan L75

menggunakan:

205,2$

721,1$

belas. keduadan keempat data pada

terletak ketiga kuartildan pertama kuartil itu, karenaOleh

12100

75)115( 4

100

25)115(

75

25

7525

L

L

LL

Box PlotBox plot adalah penampilan grafis berdasarkan kuartil yang membantu kita menggambarkan suatu data. Untuk membuat box plot, kita hanya membutuhkan lima statistik; nilai minimum, Q1, median, Q3, dan nilai maksimum.

Langkah 1: Buat skala yang sesuai sepanjang sumbu horisontal.

Langkah 2: Buatlah sebuah kotak yang dimulai pada Q1 (15 menit) dan berakhir di Q3 (22 menit). Di dalam kotak kita tempati garis vertikal untuk mewakili median (18 menit).

Langkah 3: Perpanjang garis horizontal dari kotak ke nilai minimum (13 menit) dan nilai maksimum (30 menit)