RUANG DIMENSI TIGA

Prodi Pendidikan MatematikaJurusan Pendidikan Matematika

Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamUniversitas Pendidikan Indonesia

2012

Untuk Matematika SMA Kelas X

Semester Genap

Standar Kompetensi :6. Menentukan kedudukan, jarak, dan besar sudut yang

melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga.

Kompetensi Dasar :6.1. Menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang

dimensi tiga

No. Tujuan Pembelajaran1. Siswa dapat menentukan kedudukan antara titik dan garis

2. Siswa dapat menentukan kedudukan antara titik dan bidang

3. Siswa dapat menentukan kedudukan antara dua buah garis

4. Siswa dapat menentukan kedudukan antara garis dan bidang

5. Siswa dapat menentukan kedudukan antara dua buah bidang

Peta Konsep

Ruang Dimensi Tiga

Bangun Ruang Sisi Datar

Unsur-unsur Ruang Dimensi Tiga

Titik

Garis

Bidang

Kubus

Balok

LimasKedudukan

Titik, Garis, dan Bidang

Titik Terhadap

Garis

Titik Terhadap

Bidang

Antara Dua Garis

Garis Terhadap

Bidang

Antara Dua Bidang

Kedudukan antara Titik,

Garis dan Bidang dalam

Ruang dimensi Tiga

Sebelumnya, masih ingatkah kalian mengenai unsur-unsur dalam ruang dimensi tiga?? Mari kita ingat kembali bersama-

sama!

Unsur-Unsur dalam Ruang Dimensi Tiga

Titik

Sebuah titik tidak memiliki suatu definisi yang pasti. Sebuah titik

hanya dapat digambarkan dengan memakai tanda noktah kemudian dibubuhi dengan nama titik itu.

Misal :

A B

Garis

Misal :A

B

Sebuah garis dapat diperpanjang sekehendak kita. Namun, mengingat terbatasnya bidang gambar, sebuah garis hanya dilukiskan sebagian saja. Bagian ini disebut

wakil garis atau ruas garis.

Garis hanya mempunyai ukuran panjang, tapi tidak mempunyai ukuran lebar.

Nama dari sebuah garis dapat ditentukan dengan menyebutkan nama wakil garis itu dengan memakai

huruf kecil atau menyebutkan nama wakil garis dari titik pangkal ke titik ujung

g

Bidang

Sebuah bidang dapat diperluas seluas-luasnya. Pada umumnya, sebuah bidang hanya dilukiskan sebagian

saja yang disebut sebagai wakil bidang.

Wakil suatu bidang memiliki ukuran panjang dan lebar. Gambar wakil bidang biasanya berbentuk persegi,

persegi panjang, atau jajar genjang.

Nama dari suatu bidang dituliskan di daerah pojok bidang dengan memakai simbol tertentu.

𝛂 𝛃Misal :

Kedudukan Titik Terhadap Garis dan Titik Terhadap Bidang

AB

Misal diberikan sebuah titik A, garis g, dan titik B dengan ilustrasi sebagai

berikut.

Kedudukan Titik Terhadap Garis

M N

OP

Q R

ST

Sekarang perhatikan titik dan garis pada

sebuah kubus MNOP.QRST berikut!

g

Titik A terletak pada garis g, sebab titik A dilalui

oleh garis g. Sebaliknya, titik B berada di luar garis

g, sebab titik B tidak dilalui oleh garis g.

Segmen garis QR merupakan wakil garis gTitik-titik sudut kubus yang terletak pada

garis g adalah titik Q dan R.Titik-titik sudut kubus yang terletak di luar garis g adalah titik-titik M, N, O, P, S, dan T.

g

Kedudukan Titik Terhadap Bidang

A BC

D

E F

GHMisal diberikan dua buah titik, yaitu titik A dan B serta suatu bidang yaitu

bidang dengan ilustrasi sebagai 𝛂berikut

��

A

B

Titik A terletak pada bidang , sebab 𝛂titik A dapat dialui oleh bidang . 𝛂Sebaliknya, titik B terletak di luar

bidang , sebab titik B tidak dapat 𝛂dilalui oleh bidang . 𝛂

Sekarang perhatikan titik dan bidang pada kubus ABCD.EFGH berikut ini!

Bidang ABEF merupakan wakil bidang 𝛂Titik-titik sudut kubus yang terletak pada bidang adalah titik-titik A, B, E, dan F.𝛂

Titik-titik sudut kubus yang terletak di luar bidng adalah titik-titik C, D, G, dan H.𝛂

��

LatihanDiketahui limas beraturan T.PQRS pada gambar berikut!

1. Sebutkan titik-titik sudut limas yang terletak pada rusuk-rusuk sisi!

2. Sebutkan titik-titik sudut limas yang terletak di luar rusuk-rusuk alas!

3. Sebutkan titik-titik sudut limas yang terletak pada rusuk-rusuk alas!

4. Sebutkan titik sudut limas yang berada di luar bidang alas!

Jawaban

Kedudukan Garis Terhadap Garis Lain dan Garis Terhadap Bidang

Dua buah garis, misal g dan h dikatakan berpotongan, jika garis itu terletak pada sebuah bidang dan

mempunyai sebuah titik persekutuan. Perhatikan ilustrasi berikut!

Kedudukan Antara Dua Garis

Berpotongan

gh

A

𝛂P

Q R

T

m

h g

n

M N

O

S

Titik Persekutuan

X

Y

Perhatikan gambar kubus MNOP.QRST di samping!

Garis g dan h terletak pada bidang yang sama, yaitu bidang QRST dan memiliki sebuah titik persekutuan,

yaitu titik X.Garis m dan n terletak pada bidang yang sama, yaitu bidang NPTR dan memiliki sebuah titik persekutuan,

yaitu titik Y.

Dua buah garis misal g dan h, dikatakan sejajar jika kedua garis tersebut terletak pada sebuah bidang (bidang yang sama) serta tidak memiliki satu pun titik persekutuan. Perhatikan ilustrasi

berikut!

Sejajar

Kedudukan Antara Dua Garis

𝛃g

h

Sekarang, perhatikan gambar garis-garis pada kubus MNOP.QRST berikut!

P

Q R

Tm

n

M N

O

SGaris RT dan NP terletak pada bidang yang sama yaitu bidang

NPRT serta tidak memiliki satu pun titik persekutuan, maka dapat

dikatakan bahwa garis RT dan NP sejajar

Garis MN dan QR terletak pada bidang yang sama yaitu bidang

MNQR serta tidak memiliki satu pun titik persekutuan, maka garis

MN dan QR dapat dikatakan sejajar.

Dua buah garis, misal g dan h dikatakan bersilangan (tidak berpotongan dan tidak sejajar) jika kedua garis itu tidak

terletak pada sebuah bidang. Perhatikan ilustrasi berikut!Bersilangan

Kedudukan Antara Dua Garis

𝛂g

h

𝛃 Nampak bahwa garis g terletak pada bidang 𝛂sedangkan garis h menembus bidang dan garis 𝛂

h terletak pada bidang 𝛃

Sekarang perhatikan ilustrasi dua buah garis yang bersilangan pada balok ABCD.EFGH berikut !

A B

CDE F

GH

Pada balok ABCD.EFGH, garis AB terletak pada bidang ABEF, sedangkan garis DH dan garis CG terletak pada

bidang CDHG. Sehingga garis AB dikatakan bersilangan dengan garis DH maupun dengan garis CG.

Kedudukan Garis Terhadap Bidang

Perhatikan ilustrasi berikut!

𝛄a

Garis a merupakan garis yang terletak pada bidang 𝛄

b

Garis b merupakan garis yang menembus bidang 𝛄

c

Garis c merupakan garis yang sejajar bidang 𝛄

Sebuah garis, misal garis a, dikatakan terletak pada bidang jika garis a dan 𝛄bidang sekurang-kurangnya mempunyai dua titik persekutuan.𝛄

Sebuah garis, misal garis b, dikatakan menembus atau memotong bidang jika 𝛄garis b dan bidang sekurang-kurangnya mempunyai sebuah titik persekutuan.𝛄

Sebuah garis, misal garis c, dikatakan sejajar bidang jika garis 𝛄 c dan bidang 𝛄tidak mempunyai satu pun titik persekutuan.

B

CD F

GH

A

Garis AB terletak pada bidang ABEF

Garis AB sejajar dengan bidang CDGH

Garis AB menembus bidang ADEH dan bidang

BCFG

E

Sekarang perhatikan balok ABCD.EFGH berikut ini!

Kedudukan Bidang Terhadap Bidang Lain

Kedudukan Antara Dua Bidang

Perhatikan gambar berikut!

𝛂,𝛃𝛂

𝛃

Bidang dan saling 𝛂 𝛃berhimpit

Bidang dan 𝛂 𝛃saling sejajar

Bidang dan saling 𝛂 𝛃berpotongan

𝛂 𝛃 P

Q R

M N

O

STBidang-bidang yang

saling sejajar :MNQR dan POSTNORS danMPQTMNOP dan PQRS

Bidang-bidang yang saling berpotongan :

MOSQ dan NPTRMNQR dan NORSMNQR dan MPQTMNQR dan MNOP

MNQR dan QRST, dst

Pandang kubus MNOP.QRST berikut!

Latihan1. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Sebutkan rusuk-rusuk kubus yang :a. Berpotongan dengan diagonal ruang BHb. Berhimpit dengan diagonal ruang BHc. Sejajar dengan rusuk ABd. Bersilangan dengan rusuk AB

2. Diketahui kubus ABCD.EFGH . Sebutkan rusuk-rusuk kubus yang :a. Terletak pada bidang BDHFb. Sejajar terhadap bidang EFGHc. Memotong atau menembus bidang EFGH

Jawaban

Terimakasih

Jawaban :1. Titik T dan P pada rusuk TP,

titik T dan Q pada rusuk TQ, titik T dan R pada rusuk TR, serta titik T dan S pada rusuk TS.

2. Titik T terletak di luar rusuk alas.

3. Titik P, Q, R, dan S terletak pada rusuk-rusuk alas.

4. Titik T terletak di luar bidang alas, yaitu bidang PQRS.

Jawaban :

D

E F

A B

C

GH

1. a. diagonal ruang AG berpotongan dengan diagonal ruang BHb. Diagonal ruang BH berhimpit dengan diagonal ruang BHc. Garis CD, AF, dan GH sejajar dengan rusuk ABd. Rusuk CG, DH, EH, dan FG bersilangan dengan rusuk AB

2. a. Garis BD, FH, DH, dan BF terletak pada bidang BDHFb. Garis AB, CD, BC, dan AD sejajar dengan bidang EFGHc. Garis AE, BF, CG, dn DH menembus bidang EFGH