Perumusan EnsembelMekanika Statistik Kuantum

Part-1

Latar Belakang

• Untuk system yang distinguishable maka teori ensemble mekanika statistic klasik dapat dipergunakan.

• Tetapi bilamana system partikel bersifat indistinguishable maka penerapan teori ensemble klasik mesti dilakukanhati-hati, bahkan bisa memberikan kesimpulan yang salahdalam kasus tertentu.

• Oleh karena itu, agar mampu menangani kasus system partikel yang indistinguishable diperlukan perumusan ulangteori ensemble dalam kerangka mekanika kuantum.

• Dalam limit suhu tinggi, kerapatan partikel rendah system-system akan kembali berlaku seperti system klasik.

Teori Ensembel Mekanika Kuantum

• Misal ada N buah system identik, N >>1. Semua system ini dikarakterisasi oleh Hamiltonian yang sama, dinyatakan oleh operator Hamiltonian 𝐻

• Tiap saat t, setiap system tsb dikarakterisasi oleh fungsi gelombang 𝜓 𝒓𝒊, 𝑡 . Misalkan 𝜓𝑘 𝒓𝒊, 𝑡 adalah fungsi gelombang ternormalisasi system ke k.

• Perilaku 𝜓𝑘 𝒓𝒊, 𝑡 akan tunduk pada pers. Schrodinger :

𝐻𝜓𝑘 𝒓𝒊, 𝑡 = 𝑖ℏ 𝜓𝑘 𝒓𝒊, 𝑡 (1)*

• Misalkan kita punya basis set orthonormal yang lengkap (di ruang Hilbert)

*) dalam notasi Bra-Ket, 𝐻 𝑘 > = 𝑖ℏ𝜕

𝜕𝑡𝑘 >

Teori Ensembel Mekanika Kuantum• 𝜙𝑛 sehingga 𝜓𝑘 tsb dapat dinyatakan dalam 𝜙𝑛 *):

𝜓𝑘 𝑡 =

𝑛

𝑎𝑛𝑘 𝑡 𝜙𝑛

• Koefisien 𝑎𝑛𝑘 dapat diperioleh melalui sifat orthonormal **)

𝑎𝑛𝑘(𝑡) = 𝜙𝑛

∗𝜓𝑘(𝑡) 𝑑𝜏

• Dengan 𝑑𝜏 adalah elemen volume di ruang spatial terkait.

• Sehingga jika 𝑎𝑛𝑘 bisa diperoleh berarti kita peroleh ungkapan

bagi fungsi gelombang system tsb 𝜓𝑘(𝑡).

• Evolusi koefisien 𝑎𝑛𝑘(𝑡) diberikan oleh:

*) dalam notasi Bra-Ket, |𝑘 > = 𝑛 𝑎𝑛𝑘|𝑛 >

**) 𝑎𝑛𝑘 =< 𝑛|𝑘 >

Teori Ensembel Mekanika Kuantum

𝑖ℏ 𝑎𝑛𝑘(𝑡) = 𝑖ℏ 𝜙𝑛

∗ 𝜓𝑘 (𝑡) 𝑑𝜏

𝑖ℏ 𝑎𝑛𝑘(𝑡) = 𝜙𝑛

∗ 𝐻 𝜓𝑘(𝑡) 𝑑𝜏

𝑖ℏ 𝑎𝑛𝑘(𝑡) = 𝜙𝑛

∗ 𝐻

𝑚

𝑎𝑚𝑘 𝑡 𝜙𝑚 𝑑𝜏

𝑖ℏ 𝑎𝑛𝑘(𝑡) =

𝑚

𝐻𝑛𝑚𝑎𝑚𝑘 𝑡

Dengan Hnm adalah elemen matrix operator H :

𝐻𝑛𝑚 = 𝜙𝑛∗ 𝐻𝜙𝑚𝑑𝜏

Teori Ensembel Mekanika Kuantum

• Arti fisis 𝑎𝑛𝑘 𝑡

2dikaitkan dengan probabilitas menemukan

system ke-k pada saat t berada dalam keadaan 𝜙𝑛. Karena tiap saat system mesti berada di salah satu keadaan-n tsb maka mestilah:

𝑛

𝑎𝑛𝑘 2

= 1

• Dalam notasi Dirac, |𝑛 > ≡ 𝜙𝑛 , maka nilai rata-rata (ekspektasi) suatu observable A yg dinyatakan oleh operator 𝐴berada dalam status keadaan terkait 𝜓𝑘 ≡ |𝑘 > diberikan oleh :

Rata-rata Besaran Fisis

< 𝐴 >𝑘=< 𝑘 𝐴 𝑘 > =

𝑚

𝑛

𝑎𝑛𝑘 𝑎𝑚

𝑘 ∗< 𝑚 𝐴 𝑛 >

< 𝐴 >𝑘=

𝑚

𝑛

< 𝑛 𝑘 >< 𝑘 𝑚 > < 𝑚 𝐴 𝑛 >

• Ini adalah perata-rattan thd status keadaan kuantum.

• Selanjutnya dihitung rata-rata statistic (ensemble) dari besaran A diberikan oleh

< 𝐴 > =

𝑘=1

𝑁

𝑊𝑘 < 𝐴 >𝑘

• Dengan Wk adalah bobot statistic (probabilitas) ditemukan system berada dalam keadaan k ini. Tentu saja :

Density Operator

0 ≤ 𝑊𝑘 ≤ 1 dan 𝑘=1𝑁 𝑊𝑘 = 1

• Sehingga :

< 𝐴 > =

𝑘=1

𝑁

𝑛

𝑚

< 𝑛 𝑘 > 𝑊𝑘 < 𝑘 𝑚 > < 𝑚 𝐴 𝑛 >

• Sekarang kita definisikan operator kerapatan (density operator) 𝜌:

𝜌 =

𝑘=1

𝑁

|𝑘 > 𝑊𝑘 < 𝑘|

• Elemen matrix dari density operator ini di ruang {|n>} adalah:

Elemen Density Matrix

𝜌𝑛𝑚 =< 𝑛 𝜌 𝑚 >=

𝑘=1

𝑁

< 𝑛 𝑘 > 𝑊𝑘 < 𝑘 𝑚 >

=

𝑘=1

𝑁

𝑊𝑘 𝑎𝑚𝑘 ∗

𝑎𝑛𝑘 =

1

𝑁

𝑘=1

𝑁

𝑎𝑚𝑘 ∗

𝑎𝑛𝑘

• Untuk hasil terakhir telah diasumsikan bobot Wk sama untuk seluruh k. Terlihat 𝜌𝑛𝑚 =rata-rata ensemble 𝑎𝑚

𝑘 𝑎𝑛𝑘 .

• Nilai 𝝆𝒏𝒏 adalah probabilitas menemukan suatu system berada dalam keadaan |n>.

• Jika dipakai definisi: 𝜌𝑛𝑛 = 𝑘=1𝑁 𝑎𝑛

𝑘 2yg terkait dengan

operator 𝜌 = 𝑘=1𝑁 |𝑘 >< 𝑘|, maka 𝜌 adalah jumlah status

keadaan.

Rata-Rata Besaran Fisika dan Density Operator

• Dengan hasil terakhir ini maka ungkapan <A> dapat dituliskan:

< 𝐴 > =

𝑛

𝑚

< 𝑛 𝜌 𝑚 > < 𝑚 𝐴 𝑛 >

< 𝐴 > =

𝑛

< 𝑛 𝜌𝐴 𝑛 > = 𝑇𝑟(𝜌𝐴)

Tr : trace(A)! Jika A=I (identitas), jelas bahwa :

𝑇𝑟 𝜌 =

𝑛

𝜌𝑛𝑛 = 1

Catatan: jika fungsi gelombang 𝜓𝑘 tidak ternormalisasi maka:

Rata-Rata Besaran Fisika dan Density Operator

< 𝐴 > =𝑇𝑟 𝜌𝐴

𝑇𝑟 𝜌

Dalam representasi ruang vector yang terkait dengan Hamiltonian (energy) matrix density akan berupa diagonal matrix. Dalam ruang representasi yg lain, umumnya tetap simmetrik karena kebutuhan akan sifat “detailed balanced” agar menjamin tercapainya kesetimbangan dalam system mekanika statistic.

Perumusan Ensembel Mikrokanonik

• Ensembel memiliki N dan V tetap, dengan energy H=E atau

𝐸 −1

2Δ < 𝐻 < 𝐸 +

1

2Δ𝐸 (atau bahkan H < E).

• Γ(𝐸): banyaknya status keadaan (microstate) yg aksesible yang terkait! Asumsinya tiap microstate ini memiliki probabilitas yg sama untuk terpilih. Hal ini dikenal sbg prinsip “equal apriori probabilities”.

• Maka komponen density matrix (dlm representasi energy diagonal):

𝜌𝑛𝑚 = 𝛿𝑛𝑚𝜌𝑛

Perumusan Ensembel Mikrokanonik

• 𝜌𝑛 = 1

Γ𝑎𝑡𝑎𝑢 1 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑡𝑖𝑎𝑝 𝑎𝑘𝑠𝑒𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑠𝑡𝑎𝑡𝑒

0 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎

• 1/Γ : jika 𝜌n yg dipakai adalah probabilitas.

• Hubungan dengan Thermodinamika sama spt perumusan klasik yaitu melalui entropi :

𝑆 = 𝑘 ln Γ

Dengan Γ adalah banyak status keadaan mikro berbeda (distinct) yg aksesible! Dalam menghitung Γ mesti dilakukan secara mekanika kuantum yaitu memperhitungkan sifat indistinguishability dari partikel yg terlibat. Jadi tidak akan terjadi Paradox Gibbs!

Banyak Status Keadaan• Jika dipakai 𝜌𝑛 = 1 maka,

Γ 𝐸 = 𝑇𝑟 𝜌 =

𝑛

𝜌𝑛𝑛

• Untuk system makroskopik, jarak antar status keadaan di skala energy sangat kecil shg bisa dianggap kontinum, maka :

Γ(𝐸) = 𝜔 𝐸 Δ

• Jadi dari perumusan klasik untuk Γ(𝐸) menjadi perumusan kuantum :

Γ 𝐸 =1

𝑁! ℎ3𝑁∫ 𝑑𝑝 𝑑𝑞 →

𝑛

Dari menghitung volum di ruang fasa menjadi menjumlah status keadaan microstate.

Fungsi Partisi Kanonik• Seperti di mikrokanonik:

Γ 𝐸 =1

𝑁! ℎ3𝑁∫ 𝑑𝑝 𝑑𝑞 →

𝑛

• Untuk ensemble kanonik maka komponen density matrix-nya diberikan oleh:

𝜌𝑛𝑚 = 𝛿𝑛𝑚𝑒−𝛽𝐸𝑛

Dengan 𝜌𝑛𝑛 menyatakan probabilitas menemukan system dalam status keadaan microstate n yg memiliki energy En.

• Fungsi partisi Kanonik adalah:

𝑄𝑁 𝑉, 𝑇 = 𝑇𝑟 𝜌 =

𝑛

𝑒−𝛽𝐸𝑛 =

𝐸

𝑔 𝐸 𝑒−𝛽𝐸

Penjumlahan thd n adalah thd seluruh n yg distinct! Bukan thd energy!

Fungsi Partisi dan Operator Density• Operator density dinyatakan oleh:

𝜌 =

𝑛

𝑛 > 𝑒−𝛽𝐸𝑛 < 𝑛 = 𝑒−𝛽 𝐻

𝑛

𝑛 >< 𝑛

Dengan H adalah operator Hamiltonian. Karena sifat completeness dari fungsi basis {|n>}, maka :

𝜌 = 𝑒−𝛽 𝐻

• Jadi secara formal fungsi partisi Kanonik dapat dituliskan:

𝑄𝑁 𝑉, 𝑇 = 𝑇𝑟(𝑒−𝛽 𝐻)

• Rata-rata ensemble suatu besaran :

< 𝐴 > =𝑇𝑟 𝐴𝑒−𝛽 𝐻

𝑇𝑟 𝑒−𝛽 𝐻=𝑇𝑟 𝑒−𝛽 𝐻

𝑄𝑁

Perumusan Ensembel Grand Kanonik• Seperti di Klasik fungsi partis Grand Kanonik :

𝜁 𝑧, 𝑉, 𝑇 =

𝑁=0

∞

𝑧𝑁𝑄𝑁(𝑉, 𝑇)

Dengan QN(V,T) adalah fungsi partisi kanonik system N partikel.

Rata-rata ensemble besaran A diberikan oleh :

< 𝐴 >=1

𝜁

𝑁=0

∞

𝑧𝑁 < 𝐴 >𝑁

Dengan <A>N : rata-rata ensemble kanonik. Sehingga boleh juga dituliskan:

𝜁 𝑧, 𝑉, 𝑇 = 𝑇𝑟(𝑒−𝛽 𝐻−𝜇𝑁 )

< 𝐴 > =1

𝜁𝑇𝑟 (𝐴 𝑒−𝛽 𝐻−𝜇𝑁 )

Penerapan Mikrokanonik: Gas Ideal Tak Berinteraksi

• Model gas ideal : N partikel identic tak saling interaksi dalam volum V. Hamiltonian system :

𝐻 =

𝑖=1

𝑁𝑝𝑖2

2𝑚

Dengan 𝑝𝑖2 = 𝒑𝒊. 𝒑𝒊.

• Di alam ini N partikel identic ada 2 jenis : system Fermi atau system Bose.

• Untuk system Fermi : fungsi gelombang system bersifat antisimetrik thd pertukaran posisi partikel.

• Untuk system Bose: fungsi gelombang system bersifat simetrik thd pertukaran posisi partikel

Penerapan Mikrokanonik: Gas IDeal• Partikel yg memenuhi kaidah Fermi disebut Fermion dan yg

memenuhi kaidah Bose disebut Boson.

• Untuk keperluan model matematik, didefinisikan partikel memenuhi kaidah Boltzmann, yaitu system dengan fungsi eigennya = fungsi eigen fermion + boson + lainnya. Di alam tak ada partikel spt ini, tapi pada suhu tinggi dan density rendah Fermion dan Boson mendekati system Boltzmann.

• Jadi sekarang kita bahas tiga model non interacting partikel:– Fermion

– Boson

– Boltzon

Ilustrasi Perbedaan “Counting” Fermion-Boson-Boltzon

Kasus 1: Dua medali hadiah : 1Medali Newton dan 1Medali Faraday.

Rule : Satu orang bisa menerima keduanya, atau 1 atau tidaksama sekali.

Akan dibagikan kepada 3 orang : Andi, Bayu dan Caca. Berapacara berbeda membagikan medali tsb?

No Andi Bayu Caca

1 N,F

2 N F

3 N F

4 NF

5 F N

6 N F

7 NF

8 F N

9 F N

Ada =9 cara berbeda mendistribusikannya.Hadiah : adalah jenis partikelOrang : adalah status keadaan (“bilangan kuantum”)Berarti dalam contoh ini : Ada 3 status keadaan berbeda dan 2 partikel yg akan menempatinya.Jadi 1 status keadaan bisa menerima lebih dari 1 partikel dan partikelnya berbeda (medali BEDA) Ini distribusi Boltzmann.

Ilustrasi : Distribusi BosonKasus 2: Dua hadiah berupa 2 koin emas 100 gram (K) masing-masing.

Rule: Satu orang bisa menerima keduanya, atau 1 atau tidaksama sekali.

Akan dibagikan kepada 3 orang : Andi, Bayu dan Caca. Berapacara berbeda membagikan medali tsb?

No Andi Bayu Caca

1 2K

2 K K

3 K K

4 2K

5 K K

6 K K

7 2K

8 K K

9 K K

Ada =6 cara berbeda mendistribusikannya.Hadiah : adalah jenis partikel (dalam hal ini KOIN tak ada bedanya)Orang : adalah status keadaan (“bilangan kuantum”)Berarti dalam contoh ini : Ada 3 status keadaan berbeda dan 2 partikel tak terbedakan yg akan menempatinya.Jadi 1 status keadaan bisa menerima lebih dari 1 partikel dan partikelnya tak terbedakan Ini distribusi Boson.

Kasus 3: Dua hadiah berupa kesempatan menjadi pemainbola (B) di tim Universitas.

Rule : Maka satu orang tentu hanya bisa menerima 1 atautidak sama sekali.

Akan dibagikan kepada 3 orang : Andi, Bayu dan Caca. Berapacara berbeda membagikan medali tsb?

No Andi Bayu Caca

1 B

2 B B

3 B B

4 B

5 B B

6 B B

7 B

8 B B

9 B B

Ilustrasi : Distribusi Fermion

Ada =3 cara berbeda mendistribusikannya.Hadiah : adalah jenis partikel (dalam hal ini 1 orang hanya bisa menerima 1 hadiah)Orang : adalah status keadaan (“bilangan kuantum”)Berarti dalam contoh ini : Ada 3 status keadaan berbeda dan 2 partikel tak terbedakan yg akan menempatinya.Jadi 1 status keadaan hanya bisa menerima max 1 partikel dan partikelnya tak terbedakan Ini distribusi Fermion.