mekanika statistik

Catatan Kuliah FI5002 - Mekanika Statistik - Dr. Mikrajuddin Abdullah - 2009/2010 - II

MEKANIKA STATISTIK

1. ENSEMBLE

Assembly berbeda berdasarkan jenis pembatas.Jenis-jenis assembli:

1. E & N Konstan

. . . . . . . . . . . . . . . .. . . .

Assembli(FISTAT)))

V,T,P

. . . . . . . . .Assembli . . . . . . .. . . .

. . . . . . . . . . . . Assembli . . .. . . .

. . . . . . . . . . . . Assembli .. . . .

. . . . . . . . . . . . Assembli .. . . .

Ensemble(MEKSTAT)

. . . . . . . . . . . . . . . .. . . .

Energi dapat berpindah, N tetap.konstankonstan

. . . . . . . . . . . . . . . .. . . .

Energi sistem tidak dapat bertukar.konstan.Contoh: termos ideal

. . . . . . . . . . . . . . . .. . . .


. . . . . . . . . . . . . . . .. . . .



2. E tidak konstan, N konstan

3. E & N tidak konstan

4.

Contoh kasus:Menghitung rata-rata umur proton meluruh; Misal umur satu proton 1026 tahun. Permasalahan adalah tidak mungkin menghitung umur rata-rata sejumlah proton dengan waktu peluruhan seperti pada angka yang tersebut di atas. Untuk itu dicari cara lain dengan mengumpulkan sebanyak 1026 buah proton dan diamati dalam rentang waktu satu tahun; Besar kemungkinan (pasti) ada satu proton yang meluruh.

t

EPerlu dicari Energi rata-rata =

. . . . . . . . . . . . . . . .. . . .

Energi sistem dan partikel dapat bertukar (keluar-masuk).konstankonstan

. . . . . . . . . . . . . . . .. . . .

Energi sistem dapat berpindah, N tetap.konstankonstan


Ensemble Grand Kanonik

E berubah sementara N sama untuk semua assembli, disebutEnsemble Kanonik

. . . . . . . . . . . . . . .. . . .

. . . . . . . . . . . . . . .. . . .

. . . . . . . . . . . . .. . .

. . . . . . . . . . . . .. . .

Ensemble Kanonik

. . . . . . . . . . . . . . .. . . .

. . . . . . . . . . . . . . .. . . .

. . . . . . . . . . . . .. . .

. . . . . . . . . . . . .. . .

E & N berubah-ubah untuk semua assembli, disebutEnsemble Grand Kanonik

. . . . . . . . . . . . . . .. . . .

. . . . . . . . . . . . . . .. . . .

. . . . . . . . . . . . .. . .

. . . . . . . . . . . . .. . .

E & N untuk semua assembli berubah, disebutEnsemble Mikro Kanonik

Ensemble Mikro Kanonik


Tinjau sebatang lempeng tembaga; karena terbuka energi dapat berfluktuasi. Pertanyaan selanjutnya adalah berapa energi rata-ratanya ?Cara yang dapat dilakukan adalah dengan mengumpulkan batang tembaga sebanyak-banyaknya dan diambil rata-rata dalam satu satuan waktu. Sebelumnya perlu ditentukan dulu apakah batang sistem tembaga tersebut memenuhi model ensemble kanonik, grand kanonik, atau mikro kanonik. Karena tembaga adalah konduktur yang bewujud padat dan bersifat terbuka maka energi dapat berfluktuasi sementara jumlah partikelnya tetap.

Fungsi Partisi

Untuk mencari besaran-besaran seperti energi rata-rata assembli , energi Helmholtz , entropi , dll, sering kali harus dimulai dari menentukan fungsi partisinya. Fungsi partisi dapat diturunkan dari persamaan probabilitas suatu assembli memiliki energi .

Probabilitas assembli memiliki energi dapat dinyatakan dengan:

Sehingga dapat dinyatakan:

Tembaga

Ensemble Kanonik

NEn ,

NE ,2

NE ,3

NE ,1

Tembaga sebagai suatu ensemble kanonik


(1.1)

yang selanjutnya disebut sebagai fungsi partisi.

Energi Rata-Rata

Misalkan:

Sehingga persamaan untuk energi rata-rata dapat dinyatakan dengan:

(1.2)

Dari sistem mikroskopik dicari fungsi partisi untuk kemudian dipergunakan untuk menghitung besaran-besaran makroskopik.

Energi Bebas Helmholtz


Ungkapan Energi Helmholtz

(definisi) (1.3)

Hukum I Termodinamika:

Untuk proses reversible:

Sehingga turuna fungsi Helmholtz dapat dinyatakan menjadi:

(1.4)

(1.5)

Substitusi pers. (1.4) ke pers. (1.5) menghasilkan:

Keadaan termodinamika keadaan dengan energi Helmholtz paling kecil.

Jika ingin mencari solusi pers. Termodinamika suatu assembli terlebih dahulu cari kemudian minimumkan dengan cara diturunkan; adalah sembarang variabel yang disesuaikan dengan keperluan.


Substitusi fungsi energi rata-rata pada pers. (1.2) ke persamaan di atas menjadi:

Diintegralkan terhadap menghasilkan:

(1.6)

Entropi

(1.7)

Bentuk Lain Ungkapan


Titian ingatan: S F Z Pi (Secara Fisik Ziddan Pincang)

(1)

(2)

(3)

(4)

Pers. (2) dapat dinyatakan menjadi:

(5)

(6)

Sehingga probabilitas suatu assembli memiliki energi dapat dinyatakan dengan:

(7)

(8)

Substitusi pers. (8) ke pers. (1) menjadi:

(9)

(10)

Mencari Fungsi Partisi


Persamaan gelombang dalam kotak 1 dimensi:

(1)

Kondisi awal:

Di dalam kotak potensial , sehingga pers. (1) dapat dituliskan menjadi:

(2)

Persamaan di atas adalah persamaan osilasi harmonik sederhana dengan solusi:

(3)

Masukkan syarat batas pada persamaan (3):

Penerapan syarat batas tersebut menghasilkanSelanjutnya masukkan syarat batas kedua

Dengan (4)

Penerapan syarat batas tersebut mengharuskan:

`~V `~V

L

.

Satu partikel dalam kotak 1 dimensi tanpa spin.

Cari fungsi partisi partikel tesebut?Cari tingkat-tingkat energi dalam kotak?


(5)

Substitusi pers. (4) ke pers. (5) menghasilkan:

(6)

yang merupakan fungsi dari tingkat-tingkat energi partikel.

Dari fungsi tingkat energi tersebut dapat dinyatakan fungsi partisi:

(7)

Sehingga pers. (7) dapat dituliskan menjadi:

(8)

Substitusi harga yang diperoleh dari pers. (6) ke pers. (8) sehingga menghasilkan fungsi partisi partikel:

(9)

Energi rata-rata:


(10)

Partikel terbedakan artinya jika panjang gelombang de Broglie << jarak rata-rata antar partikel.

Contoh 1: Ada tiga buah sistem partikel (assembli) dengan jumlah partikel berbeda.Berapa fungsi partisi total jika:-partikel terbedakan

1023 N partikel diasumsikan dalam kotak. Jika sistem partikel terbedakan maka jumlah partisi total dapat dinyatakan dengan:

`~V `~V

L

.

. .. ..

.1023 N… …. . . … . … . .

interferensi

Supaya partikel terbedakan suhu harus dinaikkan atau kerapatan rendah.Jika suatu sistem pertikel tidak terbedakan:


-partikel tak terbedakan

Jawab:Partikel terbedakanJumlah fungsi partisi masing-masing sistem:

; ;

Partikel tak terbedakanJumlah fungsi partisi masing-masing sistem:

; ;

Dapat dibedakan: lain sistem (kotak) atau 1 kotak tapi partikel terbedakan.

Contoh 2:

Assembli atom magnetik dengan bilangan kuantum momentum sudut total berada pada medan magnet . Interaksi momen dengan medan menghasilkan energi dengan adalah bilangan kuantum magnetik dan adalah konstanta.Tentukan:

a. fungsi partisi b. energi rata-rata assembli

…. …. . . … . . .. N1

.. . . . . . . . .

…. …. . . … . . .. N2

.. . . . . . . . .

…. …. . . … . . .. N3

.. . . . . . . . .

N1 …. . . …N2 . . .. N3

.. . . . . . . . .


c. kapasitas kalor d. energi helmholtz e. entropi

Jawab:

Bilangan kuantum magnetik memenuhi: ada sejumlah buah

a. fungsi partisi

;

Jika partikel tidak berinteraksi dan terbedakan maka fungsi partisi partikel dapat dinyatakan dengan:

Dua buah partikel dikatakan tidak berinteraksi apabila momen gaya antar dua partikel << energi potensial sehingga interaksi momen antar partikel dapat diabaikan.


b. energi rata-rata

Dimana adalah fungsi Brilluouin:


c. kapasitas kalor

dimana

Sehingga kapasitas kalor dapat dinyatakan menjadi:


d. energi bebas Helmholtz

e. entropi

FLUKTUASI ENERGI

. . . . . . . . . . . . . . . .. . . .

Untuk dinding yang dapat ditembus energi, energi assembli berbeda tiap saat.Untuk itu perlu dicari energi rata-rata. Masalahnya adalah: rata-rata terhadap waktu sulit ditentukan (terlalu lama). Alternatif: Seolah-olah kita kumpulkan banyak assembli dengan energi yang berbeda-beda kemudian dirata-ratakan pada waktu yang sama.


Ensemble pada hakikatnya tidak ada; Hanya konsep; Yang ada hanya assembli.

Berapa fluktuasi energi assembli?Misal energi rata-rata

(1)

Jadi besaran yang digunakan untuk menghitung fluktuasi:

(2)

(3)

U

t

Simpangan energi terhadap energi rata-rata:


(4)

(5)

(6)

Perhatikan bahwa ruas kanan pers. (6) juga dapat diperoleh dengan mensubstitusikan pers. (3) dan (4) ke pers. (2)

(7)

(8)

Untuk mempertahankan suhu suatu sistem tetap, harus dilindungi dengan material yang kapasitas kalor nya besar.

Kapasitas kalor adalah kemampuan suatu material (bahan) menyerap (menyimpan) panas (kalor).

Rangkuman:Untuk mendapatkan besaran-besaran termodinamika pada ensemble kanonik langkah-langkah yang harus dilakukan adalah menentukan fungsi-fungsi dengan urutan sebagai berikut:

Tingkat-tingkat energi partikel jika sistem partikel masuk ke ranah atom gunakan pers. Schrodinger; jika sistem partikel masuk ke ranah mekanika klasik gunakan pers. Newton.

Fungsi Partisi

Fungsi Helmholtz Minimumkan: : solusi pers. Termodinamika

GRAND KANONIK


Mencari energi rata-rata alternatif:


Persamaan di atas berlaku jika jumlah pertikel sistem konstan.

Jika partikel dapat keluar masuk assembli maka harus ada kontribusi energi assembli tersebut pada partikel tersebut. Misalkan penambahan satu partikel menambah energi sebesar maka perubahan partikel mengubah energi assembli .

Untuk assembli terbuka Hukum I Termodinamika dinyatakan dengan:

. . . . . . . . Ni . . . . . Ei . . .. . . .

1 assembliE dan N tidak konstanVolume V dan suhu T konstan

E

t

N

t

. . . . . . . . Ni . . . . . . . . .. . . .

N tidak konstan


Jika terdapat bermacam partikel (sistem) dengan energi / partikel maka:

Khusus satu jenis partikel:

Kasus proses reversible:

Khusus: , , dan konstan.Integralkan:

Energi Helmholtz

Definisikan energi bebas Gibbs:

Energi bebas Gibbs menentukan kemana arah proses berlangsung. Contoh pada persamaan reaksi kimia:

Proses berlangsung menuju keadaan dengan energi bebas Gibbs yang makin mengecil (minimum).


Jika dinyatakan sebagai fungsi , , dan maka:

Sehingga dari dua persamaan terakhir dapat dinyatakan:

*

Fungsi Grand Partisi Ensemble Grand Kanonik

Perluasan Kanonik:


Ensemble Grand Kanonik

seolah-olah parameter energi bebas Helmholtz.

Sehingga fungsi probabilitas ensemble grand kanonik dapat dinyatakan dengan:

Kanonik

berubahkonstan probabilitas hanya bergantung pada energi

Energi bebas Helmholtz

Grand Kanonik

dan berubahprobabilitas bergantung pada energi dan jumlah partikel sistem.

tidak bergantung pada dan

;adalah parameter.

dan harus dicari.


Fungsi Grand Partisi.

Gas Ideal:

Assembli Grand Kanonik

Kanonik

-Cari tingkat-tingkat energi (Pers. Newton atau Schrodinger)-Cari fungsi partisi-Cari energi bebas Helmholtz -Cari Persamaan Termodinamika

Grand Kanonik

-Cari tingkat-tingkat energi (Pers. Newton atau Schrodinger)- Cari fungsi partisi

-

Persamaan Termodinamika



PR I : http://youmikra.blogspot.com/2010/02/pr-mekanika-statistik-fi5002.html

Jawaban Sementara:

Begin of PR I ------------------------------------------------------------------------------------------

Sebanyak N atom magnetik dengan momen magnetik masing-masing atom adalah M berada dalam medan magnet homogen B. Interaksi antar atom diabaikan. Atom-atom tersebut berada dalam wadah tertutup yang terbuat dari logam. Momen-momen magnetik hanya memiliki tujuh arah orientasi yang mungkin, yaitu membentuk sudut dengan medan magnetik sebesar dan . Energi interaksi antara momen magnetik dengan medan magnet adalah U = - M B cos Q dengan Q adalah sudut antara momen magnetik dengan medan.

1) Tentukan fungsi partisi satu atoma) Jika atom-atom dapat dibedakan, cari fungsi partisi assemblib) Jika atom-atom tidak dapat dibedakan, cari fungsi partisi assembli

2) Berdasarkan fungsi partisi, tentukana) Energi rata-rata assemblib) Energi rata-rata per atomc) Cari entropi assemblid) Cari energi bebas Helmholtz

http://youmikra.blogspot.com/2010/02/pr-mekanika-statistik-fi5002.html


Cari untuk assembli dengan sistem terbedakan dan tak terbedakan.

Jawab

1) Fungsi Partisi:

Interaksi antara momen magnetik dengan medan magnet hanya memiliki tujuh arah orientasi yang mungkin. Dengan kata lain sistem pertikel tersebut memiliki tujuh tingkat (keadaan) energi.

a). Fungsi partisi untuk sistem N partikel terbedakan

b). Fungsi partisi untuk sistem N partikel tak terbedakan

2) Sistem partikel terbedakana). Energi rata-rata


b). Energi rata-rata per atom

c) Entropi


d) Energi bebas Helmholtz

Sistem partikel tak terbedakan

a). Energi rata-rata


b). Energi rata-rata per atom

c) Entropi


d) Energi bebas Helmholtz

End of PR I--------------------------------------------------------------------------------------------

Lanjutan Assembli Grand Kanonik

Jumlah rata-rata sistem dalam assembli dengan dinding transparan:

Sampai sejauh ini sudah dipelajari cara menentukan fungsi partisi untuk ensemble grand kanonik , kanonik, , dan mikro kanonik .

Fungsi Grand Partisi Assembli Klasik dalam Ensemble Grand Kanonik

Misalkan kita memiliki satu assembli dengan jumlah sistem N.

Tingkat-Tingkat Energi

Keadaan

Keadaan 1E

2E

sistem

sistem

sistem


: jumlah partikel pada assembli ke- sistem ke-

Energi assembli ke-i

Penjumlahan dilakukan pada semua konfigurasi penyusunan sistem yang mungkin.Contoh sebuah sistem dengan jumlah partikel partikel memiliki tiga tingkat energi masing-masing sebesar 0 eV, 1 eV, dan 2 eV. Konfigurasi keadaan (susunan) partikel yang mungkin adalah:

2n

1n

2g

1g

iE


Dari keadaan tingkat energi sistem partikel di atas:

Melainkan:

Dengan penambahan faktor pada fungsi partisi di atas maka energi yang sama hanya dihitung satu kali.

: jumlah penyusunan konfigurasi yang memiliki energi

Untuk sistem semi klasik:

eV0eV1eV2

eV0eV1eV2

eV0eV1eV2

eV0eV1eV2

eV0eV1eV2

eV0eV1eV2

eVE s 4

eVE s 1

eVE s 2eVE s 0

eVE s 3


Gunakan identitas:

Jika dibiarkan bebas dari identitas menjadi:

Misalkan:

*

adalah assembli.


Contoh 3:

Misalkan jumlah kelipatan kanan adalah dan jumlah lipatan ke kiri maka panjang lipatan ke kanan adalah dan panjang lipatan ke kiri:

Lipatan ke kanan menghasilkan energi dan lipatan ke kiri menghasilkan energi .

L Seutas benang kusut terlipat menjadi segmen dan tiap segmen memiliki panjang .-Cari energi rata-rata jika tiap kelipatan menghasilkan energi -Cari entropi -Cari energi Helmholtz


Fungsi partisi:

Misalkan jumlah lipatan ke kanan dan jumlah lipatan ke kiri

Aksioma statistik mengatakan bahwa dalam sekumpulan bilangan yang jumlahnya sangat banyak akan ada satu suku bilangan yang nilainya jauh melampaui suku-suku bilangan lainnya. Misalkan suku bilangan tersebut terjadi pada , maka penjumlahan suku-suku tersebut akan sama dengan:

Syarat: contoh: bilangan Avogrado 6.0221415 × 1023

Jumlah kemungkinan konfigurasi (permutasi):

nf

n~n


Striling:

Persamaan termodinamika terjadi jika minimum terhadap


Pada suhu menuju jumlah lipatan ke kanan sama dengan 0 (lipatan ke kiri semua / tali dalam keadaan lurus ?)

Pada suhu menuju jumlah lipatan ke kanan sama dengan jumlah lipatan ke kiri.

Fungsi Grand Partisi Boson

Sifat-sifat:-Partikel kuantum-Tidak terbedakan-Spin kelipatan bulat -Satu keadaan dapat ditempati boson beberapa saja

Sistim Partikel Klasik Boson FermionJumlah Keadaan

Bebas Bebas 1

Terbedakan Ya Tidak TidakFungsi Grand Partisi

Boson:

Misalkan:


Definisi Fungsi Grand Partisi:

Penjumlahan terhadap kelompok-kelompok energi sama dengan penjumlahan terhadap keadaan-keadaan energi.

: jumlah cara menyusun boson pada keadaan ke -

Karena boson tidak dapat dibedakan maka

Fungsi grand partisi boson:

Untuk mendapatkan fungsi partisi harus dicari terlebih dulu.

Klasik:

Contoh:Rata-rata system dalam assembli

jn

2n

1n 1j2j


: indeks keadaan

Pada assembli mikro kanonik terdiri dari hanya satu assembli dimana tiap keadaan hanya boleh diisi satu partikel, sementara pada ensemble grand kanonik terdiri dari beberapa assembli dimana tiap keadaan dapat diisi satu atau lebih partikel.Oleh karena itu pada ensemble grand kanonik yang dihitung bukan jumlah partikel melainkan rata-rata jumlah partikel .

Contoh:Osilator Harmonik

1 assembli Beberapa assembli


Fungsi Grand Partisi Fermion

Tinjau persamaan berikut:


Misalkan:

Sistim Partikel Fungsi Partisi Jumlah Keadaan TerbedakanKlasik Bebas Ya

Boson Bebas Tidak

Fermion 1 Tidak

PR II : http://youmikra.blogspot.com/2010/02/pr-2-fi5002-mekanika-statistik.html

Boson:

Fermion:

Definisi:

Boson:

Fermion:

http://youmikra.blogspot.com/2010/02/pr-2-fi5002-mekanika-statistik.html


Jumlah rata-rata system:

Boson:

Fermion:

Sistim Partikel

Fungsi Partisi (ln) Jumlah Sistem Rata-Rata

Boson

Fermion

Persamaan Keadaan:

Boson:


Fermion:

Ganti variabel:

Boson:

Kedua persamaan dan dibagi pada ruas kiri dan kanan sehingga menjadi:

Fermion:


Kedua persamaan dan dibagi pada ruas kiri dan kanan sehingga menjadi:

Fluktuasi Jumlah System dalam Assembli

Definisi:

*

Gas Fermi Ideal

Tidak ada interaksi antar partikel fermion (energi potensial yang menyebabkan interaksi momen magnetik antar partikel fermion dapat diabaikan terhadap energi lain yang lebih besar misalnya energi termal atau energi kinetik).

Contoh:

Interaksi antar dua elektron yang berjarak dan masing-masing bermuatan 1.6 x 10-19 C akan menghasilkan energi potensial yang berkisar pada angka:


Bandingkan dengan energi termal yang dihasilkan, misalkan pada suhu 30 juta K dimana berarti , sehingga energi potensial fermion dapat

diabaikan terhadap energi termal.

Gas Fermi Ideal

; Klasik

; Relativitas

??

Definisikan panjang gelombang termal:

Gas Fermi Ideal

Tidak ada interaksi partikel (diabaikan)

Energi hanya kinetik


Begin of PR II -----------------------------------------------------------------------------------------

Jawaban sementara:

PR 2 FI5002 - Mekanika Statistik


March 2, 2010

Soal 1. Tinjau assembli gas klasik yang mengandung molekul diatomik yang tidak berinteraksi di dalam kotak dengan volum dan suhu . Kotak tersebut dapat ditembus energi tetapi tidak dapat ditembus sistem. Hamiltonian satu molekul memenuhi persamaan:

(1.1)

dengan dan adalah koordinat momentum dan koordinat ruang dua atom dalam molekul. Tentukan:

(a) Energi bebas Helmholtz assembli (b) Kapasitas kalor pada volume konstan (c) Rata-rata kuadrat dari diameter molekul, .

Jawab:

Menurut equipartition theorem, pada kesetimbangan termal molekul diatomik memiliki tujuh derajat kebebasan yang mana tiga berasal dari koordinat momentum pertikel atom ke satu, tiga berikutnya berasal dari koordinat momentum pertikel atom ke dua, dan yang terakhir berasal dari koordinat posisi molekul.

Persamaan hamilton pada persamaan (1.1) dapat dituliskan menjadi:



(1.2)

(1.3)

Pada kesetimbangan termal setiap fungsi energi yang kuadratik berlaku hubungan:

(1.4)

Sehingga energi rata-rata dari persamaan hamilton di atas dapat ditulis menjadi:

(1.5)

Substitusi persamaan (1.4) ke persamaan (1.5) diperoleh rata-rata energi:

Asumsi: sistem memenuhi ensemble kanonik ( konstan, konstan)Fungsi partisi untuk satu partikel dapat dinyatakan dengan persamaan:

Fungsi partisi total untuk sistem molekul tak terbedakan:

a). Energi bebas Helmholtz:


b) Kapasitas kalor pada volume konstan:

c) Rata-rata kuadrat dari diameter molekul:.

Soal 2. Ulangi pertanyaan-pertanyaan di Soal 1 dengan menggunakan hamiltonian berikut ini:

(2.1)

dengan dan adalah konstanta positif dan Jawab:

Berhubung energi potensial pers. (2.1) tidak kuadratik maka hanya terdapat enam derajat kebebasan yang memberikan kontribusi terhadap energi total sistem, yang mana keenam nya merupakan kontribusi dari komponen-komponen energi kinetik sistem partikel saja.

Sehingga fungsi partisi total dapat dinyatakan dengan:

a). Energi bebas Helmholtz:


b) Kapasitas kalor pada volume konstan:

c) Rata-rata kuadrat dari diameter molekul:

Soal 3. Dalam formulasi grand kanonik, energi bebas Helmholtz dan jumlah rata-rata sistem dalam assembli memenuhi:

(3.1).

(3.2)

Dengan

(3.2a)

tunjukan bahwa hubungan berikut ini berlaku:

(3.3)

Jawab:

(3.4)

Pada volume dan suhu yang konstan dapat dituliskan menjadi:

(3.5)


Dari definisi energi bebas Helmholtz di atas dapat diturunkan menjadi:

(3.6)

Pada volume dan suhu yang konstan dapat dituliskan menjadi:

(3.7)

Dari persamaan (3.5) dan (3.7) dapat dinyatakan bahwa:

(3.8)

(3.9)

Dari persamaan (3.2a) dapat dituliskan:

(3.10)

Sehingga dari persamaan (3.8) dan (3.10) dapat dibuktikan persamaan (3.3):


Soal 4. Buktikan teorem Van Leeuwen bahwa fenomena diamagnetisme tidak muncul dalam fisika klasik. Berikut ini adalah hint yang dapat digunakan.

(a) Jika adalah hamiltonian assembli partikel bermuatan tanpa kehadiran medan magnet, maka hamiltonian assembli tersebut dengan kediran medan magnet luar dapat ditulis

di mana vektor potensial memenuhi:

.

(b) Magnetisasi dalam arah yang dihasilkan adalah

Jawab:

Tanpa kehadiran medan magnet persamaan Hamilton menjadi sebagai berikut:

;

Fungsi partisi untuk sistem buah derajat kebebasan.

Dengan kehadiran medan magnet persamaan Hamilton menjadi sebagai berikut:

Misalkan: , , maka:


Momen magnetik dengan kehadiran atau tanpa kehadiran medan magnet bernilai 0, sehingga dapat disimpulkan bahwa fenomena diamagnetisme tidak dikenal dalam fisika klasik.

Soal 5. Teori paramagnetisme Langevin. Tinjau atom magnetik di mana masing-masing atom memiliki momen magnetik instrinsik . Hamiltonian assembli dengan kehadiran medan mahnetik adalah :

di mana adalah hamiltonian sistem tanpa kehadiran medan magnet, dan adalah sudut antara dan momen magnetik atom ke-i. Perlihatkan bahwa:

(a) Momen magnetik induksi memenuhi

(b) Susseptibilitas magetik per atom adalah

(c) Pada suhu yang sangat tinggi, memenuhi hukum Curie, yaitu . Tentukan konstanta kesebandingan. Konstanta tersebut dinamakan konstanta Curie.

Jawab:

Probabilitas keseluruhan dari momen magnetik atom yang membentuk sudut antara dan adalah:

Masing-masing momen menyumbang sejumlah pada magnetisasi sejajar medan magnet , sehingga magnetisasi seluruh sistem dapat dinyatakan dengan:


dimana dan (fungsi Langevin)

Jika dibuat cukup besar, misalnya dengan mengaplikasikan suatu medan yang sangat

besar, atau menurunkan temperatur mencapai 0 K, maka mendekati , .

Diprediksi:

;

; (konstanta Curie)

End of PR II -----------------------------------------------------------------------------------------

mekanika statistik

Documents

Transcript of mekanika statistik