Pertemuan 7 - Integral
-
Upload
tika-puspita -
Category
Documents
-
view
234 -
download
4
description
Transcript of Pertemuan 7 - Integral
![Page 1: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/1.jpg)
INTEGRAL 1
INTEGRAL• Anti Turunan• Luas Daerah di Bawah Kurva• Integral Tentu• Teorema Dasar Kalkulus• Integral Taktentu• Aturan Substitusi• Teknik Integrasi• Penerapan Integral
![Page 2: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/2.jpg)
INTEGRAL 2
AntiturunanDefinisi. Fungsi disebut antiturunan dari padainterval jika ( ) ( ) untuk semua dalam .
Teorema. Jika antiturunan dari pada interval ,maka antiturunan dari pada yang paling umumad
F fI F x f x x I
F f If I
′ =
alah: ( ) dengan konstanta sebarang.F x C C+
![Page 3: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/3.jpg)
INTEGRAL 3
Tabel Rumus Antiturunan
1
2
Fungsi Antiturunan khusus( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( 1)1
cos sin sin -cos sec tan
sec tan sec
nn
cf x cF xf x g x F x G x
xx nn
x xx xx x
x x x
+
+ +
≠ −+
![Page 4: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/4.jpg)
INTEGRAL 4
Contoh:
2
2
1. Carilah antiturunan yang paling umum dari fungsi-fungsi berikut. (a) ( ) 6 8 3 (b) ( ) 3 cos 4 sin 2. Carilah fungsi jika (a) ( ) 6 12 (b) ( ) cos
f x x xf x x x
ff x x xf x
= − += −
′′ = +′′ = x
![Page 5: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/5.jpg)
INTEGRAL 5
Luas Daerah di Bawah Kurvay
a b
y=f(x)
Sx
![Page 6: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/6.jpg)
INTEGRAL 6
x0=a x1 x2 x3
yy=f(x)
1i ix x x −∆ = −
Sx
xn-1 xn=b
1 2
H am piran un tuk luas daerah S m enggunakan batas kanan selang bagian :
( ) ( ) ( )n nR f x x f x x f x x= ∆ + ∆ + + ∆L
![Page 7: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/7.jpg)
INTEGRAL 7
x0=a
yy=f(x)
S1i ix x x −∆ = −
xx1 x2 x3 xn-1 xn=b
0 1 1
Hampiran untuk luas daerah S menggunakan batas kiri selang bagian:
( ) ( ) ( )n nL f x x f x x f x x−= ∆ + ∆ + + ∆L
![Page 8: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/8.jpg)
INTEGRAL 8
x0=a
yy=f(x)
S1i ix x x −∆ = −
xx1 x2 x3 xn-1 xn=b
[ ]*1
* * *1 2
Hampiran untuk luas daerah S menggunakan , , 1, 2, , .
Hampiran luas ( ) ( ) ( )i i i
n
x x x i n
f x x f x x f x x−∈ =
= ∆ + ∆ + + ∆
K
L
![Page 9: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/9.jpg)
Integral Tentu
[ ]
0 1 2
Jika fungsi kontinu yang didefinisikan untuk , kita bagi selang , menjadi selang-
bagian berlebar sama ( ) / . Kita misalkan( ), , , , ( ) berupa titik ujung selang-
bagian ini dan
fa x b a b n
x b a nx a x x x b
≤ ≤
∆ = −= =K
[ ]
* * *1 2*
1
*
1
n kita pilih titik sampel , , ,
di dalam selang-bagian ini, sehingga , . Maka integral tentu dari sampai adalah:
( ) lim ( ) .
n
i i i
nb
iain
x x x
x x xf a b
f x dx f x x
−
=→∞
∈
= ∆∑∫
K
INTEGRAL 9
![Page 10: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/10.jpg)
INTEGRAL 10
Sifat-sifat Integral Tentu
[ ]
1. ( ) ( ) , dengan
2. ( ) 0
3. ( ) dengan konstanta sebarang
4. ( ) ( ) ( ) ( )
a b
b a
a
a
b
a
b b b
a a a
f x dx f x dx b a
f x dx
c dx c b a c
f x g x dx f x dx g x dx
= − >
=
= −
± = ±
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫ ∫
![Page 11: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/11.jpg)
INTEGRAL 11
5. ( ) ( ) ( )
6. Jika ( ) 0, , maka ( ) 0
7. Jika ( ) ( ) untuk , maka
( ) ( )
8. Jika ( ) untuk , maka
( ) ( ) ( )
b c b
a a cb
a
b b
a a
b
a
f x dx f x dx f x dx
f x a x b f x dx
f x g x a x b
f x dx g x dx
m f x M a x b
m b a f x dx M b a
= +
≥ ≤ ≤ ≥
≥ ≤ ≤
≥
≤ ≤ ≤ ≤
− ≤ ≤ −
∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫
∫
![Page 12: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/12.jpg)
INTEGRAL 12
Contoh:
( )
12
11 1
0 01 4
0 0
4 3
3 1
1. Hitung cos .
12. Jika ( ) , hitunglah 5 6 ( ) .3
3. Jika ( ) 2 ( ) 6, dan
( ) 1, carilah ( ) .
x x dx
f x dx f x dx
f t dt f t dt
f t dt f t dt
= −
= = −
=
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
![Page 13: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/13.jpg)
INTEGRAL 13
Teorema Dasar Kalkulus Bagian 1
[ ]
[ ]( )
Jika kontinu pada , , maka fungsi yang
didefinisikan oleh: ( ) ( ) ,
adalah kontinu pada , dan terdiferensialkan
pada , dan ( ) ( ).
Dengan notasi Leibniz: ( ) ( ).
x
a
x
a
f a b g
g x f t dt a x b
a b
a b g x f x
d f t dt f xdx
= ≤ ≤
′ =
=
∫
∫
![Page 14: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/14.jpg)
INTEGRAL 14
Contoh:
( )2
22
0
1 33
20 1 3
Gunakan Teorema Dasar Kalkulus Bagian 1untuk mencari turunan fungsi berikut.
(a) ( ) 1 2 (b) ( ) cos
(c) ( ) 1 (d) ( )1
x
x
x
x
g x t dt F x t dt
uh x r dr H x duu−
= + =
= + =+
∫ ∫
∫ ∫
![Page 15: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/15.jpg)
INTEGRAL 15
Teorema Dasar Kalkulus Bagian:
[ ]Jika kontinu pada , , maka
( ) ( ) ( )
dengan antiturunan sebarang dari , yakni suatu fungsi sedemikian sehingga .
b
a
f a b
f x dx F b F a
F fF f
= −
′ =
∫
![Page 16: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/16.jpg)
INTEGRAL 16
Contoh:
3 25
41 1
2 4
50
Gunakan Teorema Dasar Kalkulus Bagian 2untuk menghitung integral berikut.
3(a) ( 1) (b)
, 0 1(c) ( ) dengan ( )
, 1 2
x dx dtt
x xf x dx f x
x x
−
+
⎧ ≤ <= ⎨
≤ ≤⎩
∫ ∫
∫
![Page 17: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/17.jpg)
INTEGRAL 17
Integral Taktentu
3 32 2
Integral taktentu adalah anti-turunan dari , atau
( ) ( ) bermakna ( ) ( ).
Contoh:
karena .3 3
f
f x dx F x F x f x
x d xx dx C C xdx
′= =
⎛ ⎞= + + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫
∫
![Page 18: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/18.jpg)
INTEGRAL 18
Tabel Integral Taktentu
1
( ) ( )
[ ( ) ( )] ( ) ( )
( 1)1
nn
k dx kx C
k f x dx k f x dx
f x g x dx f x dx g x dx
xx dx C nn
+
= +
=
± = ±
= + ≠ −+
∫∫ ∫∫ ∫ ∫
∫
![Page 19: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/19.jpg)
INTEGRAL 19
Tabel Integral Taktentu …
2
2
sin cos
cos sin
sec tan
csc cot
sec tan sec
csc cot csc
x dx x C
x dx x C
x dx x C
x dx x C
x x dx x C
x x dx x C
= − +
= +
= +
= − +
= +
= − +
∫∫∫∫∫∫
![Page 20: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/20.jpg)
INTEGRAL 20
Contoh:
( )( )
2
2
2
1. Periksa kebenaran rumus berikut dengan pendiferensialan.
(a) 11
(b) cos sin cos
2. Carilah bentuk umum integral taktentu berikut.
(a) 1 2
x dx x Cx
x x dx x x x C
t t dt
= + ++
= + +
− +
∫
∫
∫sin 2 (b) sin
x dxx∫
![Page 21: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/21.jpg)
INTEGRAL 21
Aturan Substitusi pada Integral Taktentu
Jika ( ) adalah fungsi terdiferensialkan yang daerah nilainya berupa selang dan kontinu pada , maka
( ( )) ( ) ( )
u g xI f
I
f g x g x dx f u du
=
′ =∫ ∫
![Page 22: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/22.jpg)
INTEGRAL 22
Formula Integral Parsial…Jika ( ) dan ( ), maka turunannyaadalah ( ) dan ( ) . Dengan demikian, menurut Aturan Substitusi, rumus pengintegralan parsial menjadi:
u f x v g xdu f x dx dv g x dx
u dv uv v du
= =′ ′= =
= −∫ ∫
![Page 23: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/23.jpg)
INTEGRAL 23
Contoh: Tentukan integral berikut ∫ dxxln
Cxxxdxx
xxx
duvuvdvudxx
xvdxx
du
dxdvxu
dvudxx
+−=−=
−==
==
==
=
∫
∫∫∫
∫∫
ln1.ln
ln
1ln
ln
![Page 24: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/24.jpg)
INTEGRAL 24
Contoh: Tentukan integral berikutJawab:
![Page 25: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/25.jpg)
INTEGRAL 25
Pengintegralan Fungsi Rasionaldengan Fraksi ParsialTeknik ini digunakan untuk mengintegralkan suatu fungsi rasional dengan menyatakannya sebagai jumlah dari fraksi yang lebih sederhana,yang dinamai fraksi parsial, yang telah kitaketahui bagaimana mengintegralkannya.
![Page 26: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/26.jpg)
INTEGRAL 26
Tahapan Pengintegralan( )Misalkan fungsi rasional ( ) , dimana( )
dan adalah fungsi polinom. Jika derajat kurang dari derajat , maka disebut fungsi rasional sejati. Jika sebaliknya, maka dilakukanpembagian se
P xf xQ x
P Q PQ f
=
( )
hingga dapat dinyatakan sebagaipenjumlahan fungsi polinom dan fungsi rasionalsejati ( ) ( ) .
f
R x Q x=
![Page 27: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/27.jpg)
INTEGRAL 27
Contoh: Tentukan
Jawab:
![Page 28: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/28.jpg)
INTEGRAL 28
Kasus 1 dari R(x)/Q(x)
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 2 2
1 2
1 2
1 1 2 2
Jika ( ) adalah hasil kali faktor linear yang berbeda, atau
( ) ,maka terdapat konstanta , , , sehingga
( )( )
k k
k
k
k k
Q x
Q x a x b a x b a x bA A A
AR x A AQ x a x b a x b a x b
= + + +
= + + ++ + +
L
K
L
![Page 29: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/29.jpg)
INTEGRAL 29
Contoh: Tentukan
Jawab:
![Page 30: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/30.jpg)
INTEGRAL 30
![Page 31: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/31.jpg)
INTEGRAL 31
Contoh: Tentukan
Jawab:
![Page 32: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/32.jpg)
INTEGRAL 32
![Page 33: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/33.jpg)
INTEGRAL 33
Kasus 2 dari R(x)/Q(x)
( ) ( ) ( )
1 2
1 22
Jika ( ) adalah berupa faktor linear yangberpangkat , atau
( ) ( )maka terdapat konstanta , , , sehingga
( )( )
r
r
rr
Q xr
Q x a x bA A A
R x A A AQ x ax b ax b ax b
= +
= + + ++ + +
K
L
![Page 34: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/34.jpg)
INTEGRAL 34
Kasus 3 dari R(x)/Q(x)
2 2
2
Jika ( ) adalah mengandung faktor kuadratikyang tak dapat diuraikan, atau
( ) , dengan 4 0,maka terdapat konstanta dan sehingga
( ) .( )
Q x
Q x a x bx c b acA B
R x Ax BQ x a x bx c
= + + − <
+=
+ +
![Page 35: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/35.jpg)
INTEGRAL 35
Contoh: TentukanJawab:
![Page 36: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/36.jpg)
INTEGRAL 36
![Page 37: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/37.jpg)
INTEGRAL 37
Contoh: TentukanJawab:
![Page 38: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/38.jpg)
INTEGRAL 38
![Page 39: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/39.jpg)
INTEGRAL 39
Luas antara Kurva denganPenyekatan pada Sumbu-x
[ ]
[ ]
Luas , suatu daerah yang dibatasi oleh kurva( ), ( ), dan garis , ,
dengan dan kontinu dan ( ) ( ) untuksemua pada selang , adalah
( ) ( )b
a
Ay f x y g x x a x b
f g f x g xx a b
A f x g x dx
= = = =≥
= −∫
![Page 40: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/40.jpg)
INTEGRAL 40
![Page 41: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/41.jpg)
INTEGRAL 41
Cari luas daerah yang dibatasi olehkurva dan
Jawab:
![Page 42: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/42.jpg)
INTEGRAL 42
![Page 43: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/43.jpg)
INTEGRAL 43
Cari luas daerah yang dibatasi oleh kurvadan x = 5
Jawab:
![Page 44: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/44.jpg)
INTEGRAL 44
![Page 45: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/45.jpg)
INTEGRAL 45
Cari luas daerah yang dibatasi oleh kurvadan
Jawab:
![Page 46: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/46.jpg)
INTEGRAL 46
![Page 47: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/47.jpg)
INTEGRAL 47
Luas daerah di antara kurva ( ), ( ), dan antara , adalah
( ) ( )
Luas daerah di antara kurva ( ), ( ), dan antara , adalah
( ) ( )
b
a
y f x y g xx a x b
A f x g x dx
x f y x g yy a y b
A f y g y d
= == =
= −
= == =
= −
∫
b
a
y∫
Kesimpulan:
![Page 48: Pertemuan 7 - Integral](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022042519/55cf8f7b550346703b9cd42a/html5/thumbnails/48.jpg)
INTEGRAL 48