GHELVINNY 90115007 MAGISTER PENGAJARAN MATEMATIKA 2015

Ada berapa banyak cara berbeda yang bisa ditempuh tikus untuk mencapai keju?

1 Masalah 1

Pada pemilihan pengurus BEM terpilih tiga kandidat yakni ADI,

BAGUS, CINTA yang akan dipilih menjadi ketua, sekretaris, dan

bendahara. Aturan pemilihan adalah setiap orang hanya boleh

dipilih untuk satu jabatan. Berapakah banyak kemungkinan cara

untuk memilih dari tiga orang menjadi pengurus BEM?

2

KETUA SEKRETARIS BENDAHARA

kemungkinan A atau B atau C

kemungkinan B atau C

hanya C

3 2 1

Apa yang bisa kita lihat dari pola jawaban dua masalah sebelumnya?

Masalah 1 (Jalur tikus) : Jawabannya =

Masalah 2 (Jabatan ) Jawabannya : =

Terlihat bahwa pada perkaliannya faktornya berkurang satu atau bertambah

satu dari suku sebelumnya. Jenis perkalian bilangan asli yang berurutan seperti

di atas disebut faktorial.

4 × 3 × 2 × 1 disebut 4 faktorial, atau ditulis dengan 4!

Misalkan n adalah bilangan bulat positif.

Besaran n faktorial (n!) didefinisikan sebagai hasil

kali semua bilangan bulat antara n hingga 1.

n! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 2 × 1

atau n! = n × (n – 1)!

Bentuk lain :

)!1(

!

n

nn

Untuk n = 0 atau dengan kata lain 0! didefinisikan =1

n n!

0 1

1 1

2 2

3 6

4 24

5 120

6 720

7 5040

8 40320

9 362880

10 3628800

12 479001600

14 87178291200

16 20922789888000

18 6402373705728000

20 2432902008176640000

25 1.5511210043×1025

42 1.4050061178×1051

50 3.0414093202×1064

70 1.1978571670×10100

100 9.3326215444×10157

450 1.7333687331×101.000

1000 4.0238726008×102.567

3249 6.4123376883×1010.000

10000 2.8462596809×1035.659

25206 1.2057034382×10100.000

100000 2.8242294080×10456.573

205023 2.5038989317×101.000.004

1000000 8.2639316883×105.565.708

Berikut ini adalah daftar sejumlah faktorial* *sumber : wikipedia

Fungsi faktorial didefinisikan sebagai: Selain definisi tersebut, terdapat juga definisi secara rekursif, yang didefinisikan untuk Untuk n yang sangat besar, akan terlalu melelahkan untuk menghitung n! menggunakan kedua definisi tersebut. Jika presisi tidak terlalu penting, pendekatan dari n! bisa dihitung menggunakan rumus Stirling: uga terdapat definisi analitik untuk faktorial, yaitu menggunakan fungsi gamma:

Matematika Diskrit 7

Sering kali kita perlu menghitung banyaknya cara pengaturan obyek tertentu dalam urutan yang berbeda dari urutan semula

Banyaknya pertandingan di piala dunia Banyaknya pilihan jalan dari kota A ke B

8

Misal ada 3 buah kelereng yang berbeda warna : merah (m), kuning (k) dan hijau (h). Kemudian dimasukkan ke dalam 3 buah kaleng, masing-masing kaleng 1 buah kelereng. Berapa jumlah urutan yang berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan kelereng ke dalam kaleng-kaleng tersebut ? Kelereng

m k h

Kantong

1 2 3

Tabung 1 Tabung 2 Tabung 3 Urutan

m

h

m

k

k

h

h

m

k

m

kmh

khm

hmk

hkm

k

h

m h

k

mkh

mhk

Perhatikan susunan elemen seperti

mkh, mhk,…hingga hkm. Masing-

masing disebut PERMUTASI

Permutasi adalah penyusunan kembali

suatu kumpulan objek dalam urutan yang

berbeda dari urutan yang semula.

Urutan diperhatikan

Perulangan tidak diperbolehkan

P(n,r) = Banyaknya permutasi-r dari suatu himpunan dengan n elemen.

Teorema 1. Bukti : Asumsikan bahwa permutasi-r dari n unsur yang berbeda merupakan

aktifitas yang terdiri dari r langkah yang berurutan. Langkah pertama adalah memilih unsur pertama yang bisa dilakukan dengan n cara. Langkah kedua adalah memilih unsur kedua yang bisa dilakukan dengan (n – 1) cara karena unsur pertama sudah terpilih. Lanjutkan langkah tersebut sampai pada langkah ke-r yang bisa dilakukan dengan (n − r + 1) cara.

10

) r(n )(n)(nnP(n,r)

nrr

121

maka ,1untuk dan n Jika

Kotak ke- 1 2 … k – 1 k

Tahap pertama adalah mengisi kotak ke-1, tahap kedua adalah mengisi kotak ke-2, dan seterusnya sampai tahap ke-r

Tahap Pengisian kotak ke- Banyak cara

1 1 n

2 2 n – 1

… … …

r – 1 r – 1 n - (r - 2) = n – r +2

r r n - (r -1) =n – r +1

Berdasarkan Prinsip Perkalian, diperoleh

)(rn )(n)(nnP(n,r) 121

untuk r = n, maka persamaan menjadi

)!(

!, maka 0untuk Jika

rn

nrnPnrn,r

)!(

!

)1(...21

:diperoleh 1 n teoremaberdasarka ,1untuk , Jika

rn

n

rnnnnP(n,r)

nrrn

0untuk terpenuhijuga )!(

!),(

bahwa rumus memperoleh bisa kita nuntuk ,1!

!

)!0(

! karena

rrn

nrnP

n

n

n

n

Bukti :

Contoh 3.1

Tentukan permutasi dari 3 huruf yang

berbeda, misalnya ABC !

Penyelesaian

Permutasi dari huruf ABC adalah

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

Sehingga terdapat 6 permutasi dari huruf ABC.

Tentukan permutasi-3 dari 5 huruf yang berbeda, misalnya ABCDE! Permutasi-3 dari huruf ABCDE adalah: ABC ,ABD ,ABE, ACB ,ACD ,ACE ADB ,ADC ,ADE, AEB ,AEC ,AED BAC ,BAD ,BAE ,BCA ,BCD ,BCE BDA ,BDC ,BDE, BEA, BEC ,BED CAB ,CAD ,CAE ,CBA ,CBD, CBE CDA, CDB ,CDE ,CEA ,CEB ,CED DAB ,DAC ,DAE ,DBA ,DBC ,DBE DCA ,DCB, DCE ,DEA ,DEB ,DEC EAB ,EAC ,EAD ,EBA ,EBC ,EBD ECA ,ECB, ECD, EDA ,EDB ,EDC

Sehingga banyaknya permutasi-3

dari 5 huruf ABCDE adalah 60

Karena r = 3 dan n = 5 maka

permutasi-3 dari 5 huruf

ABCDE adalah

60!2

!5

)!35(

!5)3,5(

P

Contoh 3.3

Berapa banyak permutasi dari huruf

ABCDEFGH jika huruf ABC harus selalu

muncul bersama?

Penyelesaian :

Karena huruf ABC harus selalu muncul

bersama, maka huruf ABC bisa dinyatakan

sebagai satu unsur. Dengan demikian terdapat 6

unsur yang dipermutasikan, sehingga banyaknya

permutasi adalah

cara 7201234566 !

1. Sebuah undian dilakukan menggunakan

angka yang terdiri dari 7 digit. Jika digit –

digit dalam suatu angka diharuskan berbeda

satu dengan yang lain, ada berapa

kemungkinan nomor undian???

2. Berapa banyak jumlah urutan berbeda yang

dihasilkan jika memasukan 6 buah bola yang

berbeda kedalam 3 buah kotak, dan masing –

masing kotak hanya boleh diisi 1 buah bola???

3. Berapa banyak String yang dapat dibentuk

yang terdiri dari 4 huruf berbeda dan diikuti

dengan 3 angka yang berbeda pula ??

4. Tentukan banyaknya susunan 3 huruf

berbeda yang dapat diperoleh dari kata

SMART???

5. Berapa banyak permutasi dari cara duduk

yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4

buah kursi, sedangkan satu orang di

antaranya selalu duduk d kursi tertentu ??

Misalkan dari 4 bersaudara Ali (A), Budi (B), Cahya (C), dan Doni (D) diundang 2 orang diantaranya untuk rapat keluarga. • Ada berapa cara undangan itu dapat dipenuhi? • Bagaimana jika yang diundang adalah 3 orang dari 4

bersaudara itu?

Contoh 1: AB, AC sampai CD di atas disebut kombinasi 2 elemen dari 4 elemen.

Penulisan kombinasi 2 dari 4 elemen dapat dilambangkan

2

44

224)2,4( CCC

Dari kedua contoh itu diperoleh :

4

6

)3,4(

)2,4(

C

C

Selanjutnya dalam hubungannya dengan permutasi dan penggunaan notasi faktorial penurunan rumusnya dilakukan seperti berikut.

Perhatikan bahwa :

Dengan pemikiran yang

sama, ternyata secara

umum berlaku bahwa

!3!3424234

!2!261234

)3,4()3,4(

)2,4()2,4(

CP

CP

artinya,

!3

!2

)3,4()3,4(

)2,4()2,4(

CP

CP

Secara umum berlaku bahwa

!),(),( rCP rnrn artinya

!

),(

),(r

PC

rn

rn

Kombinasi r elemen dari n elemen adalah :

jumlah pemilihan yang tidak terurut r elemen yang diambil dari n buah elemen

Kombinasi merupakan bentuk khusus dari permutasi Perbedaan permutasi dengan kombinasi :

Permutasi : urutan kemunculan diperhitungkan

Kombinasi : urutan kemunculan diabaikan Jumlah pemilihan yang tidak terurut dari r elemen yang

diambil dari n elemen disebut dengan kombinasi-r :

!!

!),(

rrn

nC

r

nCrnC n

r

Matematika Diskrit 26

• C(n,r) dibaca “n diambil r” atau r objek diambil dari n buah objek

Teorema 2 : Kombinasi r elemen dari n elemen Bukti • Permutasi-r dari suatu himpunan dengan n elemen dapat

diperoleh dengan cara membentuk kombinasi-r dan kemudian mengurutkan elemen pada setiap kombinasi-r tsb (dapat dilakukan dalam P(r,r) cara).

• Jadi, P(n,r) = C(n,r) . P(r,r) • Ini berarti bahwa

27

!)!(

!),(

maka ,0untuk dan n Jika

rrn

nrnC

nrr

!)!(

!

!

)!(

!

),(

),(),(

rrn

n

r

rn

n

rrP

rnPrnC

rnnCC(n,r)nrn,r , maka untuk Jika

Bukti :

Berdasarkan teorema 2 : !)!(

!),(

rrn

nrnC

dan

)!(!

!

)!(!)(

!),(

rnr

n

rnrnn

nrnnC

Jadi, rnnCC(n,r) ,

Tentukan kombinasi-3 dari 5 huruf yang berbeda, misalnya ABCDE.

Kombinasi-3 dari huruf ABCDE adalah Solusi: ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE Sehingga banyaknya kombinasi-3 dari 5 huruf

ABCDE adalah 10.

Berapa banyak cara sebuah panitia yang terdiri dari 4 orang bisa dipilih dari 6 orang

Solusi : Karena panitia yang terdiri dari 4 orang merupakan susunan

yang tidakterurut, maka masalah ini merupakan kombinasi-4 dari 6 unsur yang tersedia. Sehingga dengan mengunakan Teorema 2 dimana n = 6 dan r = 4 diperoleh:

Jadi terdapat 15 cara untuk membentuk sebuah panitia yang terdiri dari 4 orang bisa dipilih dari 6 orang

Berapa banyak cara sebuah panitia yang terdiri dari 2 mahasiswa dan 3 mahasiswi yang bisa dipilih dari 5 mahasiswa dan 6 mahasiswi? Pertama, memilih 2 mahasiswa dari 5 mahasiswa yang ada,

yaitu:

Kedua, memilih 3 mahasiswi dari 6 mahasiswi yang ada, yaitu:

Sehingga terdapat 10:20 = 200 cara untuk membentuk sebuah panitia yang terdiri dari 2 mahasiswa dan 3 mahasiswi yang bisa dipilih dari 5 mahasiswa dan 6 mahasiswi

Ada berapa banyak string biner panjang n yang memuat tepat r buah angka 1? Solusi Bila kita memperhatikan semua kemungkinan posisi r angka 1 dalam string, maka mereka akan membentuk suatu kombinasi-r dari {1,2,3, …,n}. Jadi terdapat C(n,r) string biner panjang n yang memuat tepat r buah angka 1.

32

Latar Belakang Di aljabar, penjumlahan dua suku, seperti a + b,

disebut Binomial. Teorema Binomial memberikan bentuk ekspansi dari pangkat

binomial (a + b)n, untuk setiap n bilangan bulat tidak negatif dan semua bilangan real a dan b.

Untuk menentukan koefisien-koefisien ekspansi binomial seperti (a + b)7, tanpa perlu mengekspansinya. Ingat kembali rumus-rumus yang sudah kita kenal:

a + b = b + a (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b

Salah satu cara memandang perpangakatan seperti ini adalah sebagai

berikut. Untuk menjabarkan (x + y)3 , sesuai dengan definisi perpangakatan

bulat, kalikan (x + y)(x + y)(x + y) dengan memilih x atau y dari setiap

faktor. Hasil ekspansi diperoleh dengan menjumlahkan semua

kemungkinan mengalikan tiga faktor (masing-masing x atau y), seperti

disajikan pada tabel di bawah ini.

Perhatikan, oleh karena setiap suku merupakan hasil kali tiga faktor, maka jumlah

pangkat pada setiap faktor adalah 3. Koefisien pada setiap faktor adalah banyaknya

cara memilih a (atau b) dari tiga faktor ”(a+b)”. Misalnya, koefisien a2b sama dengan

banyaknya cara memilih aa (atau 2a) dari tiga faktor yang dikalikan, yakni C(3, 2) = 3,

seperti ditunjukkan pada tabel di atas. Dengan memeriksa semua kemungkinan,

diperoleh

(x + y)3 Faktor yang dipilih

(x+y) x x x y x y y y

(x+y) x x y x y x y y

(x+y) x y x x y y x y

hasil

kali

x3 x2 y x2 y

x2 y

xy2

xy2

xy2

y3

Jumlah x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3

Misalkan x dan y adalah peubah, dan n adalah bilangan bulat tak-negatif, maka

nnnnnjjnn

j

nyx

n

nxy

n

nyx

nx

nyx

j

nyx

11

0 110

Bukti

Menghitung banyaknya xn-jyj , untuk suatu j = 0,1,2,…,n, sama dengan memilih (n - j) buah x dari n suku (sehingga j suku lainnya dalam perkalian adalah y). Jadi koefisien xn-j yj adalah C(n,n-j).

Misal n bilangan bulat tidak negatif. Maka

Bukti :

Dengan teorema binomial, pilih x=1 dan y=1

nn

k k

n2

0

n

k

kknn

k

nn

k

n

k

n

00

11112

Misal n bilangan bulat tidak negatif. Maka

Bukti :

Dengan teorema binomial, pilih x=-1 dan y=1

0)1(0

n

k

k

k

n

kn

k

knkn

k

nn

k

n

k

n)1(1)1(1100

00

Misal n bilangan bulat tidak negatif. Maka

Bukti :

dengan teorema binomial, pilih x=1 dan y=2

Jadi

kn

k

k

k

n32

0

kn

k

kknn

k

nn

k

n

k

n22)1(213

00

.320

nkn

k k

n

1. Apakah penjabaran dari (x + y)4 ?

432234

4443342241144

0

4

464

4

4

3

4

2

4

1

4

0

4

yxyyxyxx

yxyxyxyxx

yxj

nyx jjn

n

j

2. Berapakah koefisien binomial x12y13 dari (x + y)25 ?

Menghitung koefisien binomial dari xn-j yj adalah C(n, n-j)

Diketahui : n = 25, n-j=12, j=13.

300.200.5!13!12

!25

!13)!1325(

!25)13,25(

C

3. Berapakah koefisien binomial x12y13 dari (2x - 3y)25 ? Diketahui : (2x - 3y)25 = (2x + (-3y))25

misal : a = 2x dan b = -3y

Dengan menggunakan teorema binomial

,)3()2(25

)3(2 2525

0

25

0

jj

j

jjnn

j

n

yxj

yx

baj

nba

Koefisien x12y13 , ambil

j=13 diperoleh

1312131325 )3()2(!13!12

!25)3()2(

13

25

1). Koefisien x4 dari 10x1)(2x

Jawaban : -15360

DISKUSI

Identitas Pascal Misal n dan k bilangan bulat positif, n k. Maka, C(n+1,k) = C(n,k-1) + C(n,k). Bukti • Pandang T himpunan dengan n+1 elemen, aT. • Misal S = T-{a}. • Ada C(n+1,k) buah subhimpunan dari T yang

mempunyai k elemen. • Suatu subhimpunan dari T dgn k elemen dapat memuat

a dan (k-1) elemen S atau memuat k elemen S tanpa memuat a.

• Jadi, C(n+1,k) = C(n,k-1)+C(n,k).

Misal m, n dan r bilangan bulat positif, m r dan n r. Maka, Bukti • Pandang dua himpunan A dengan m elemen dan B dengan n

elemen. • Maka banyaknya cara untuk memilih r elemen dari AUB adalah

C(m+n,r). • Cara lain untuk memilih r elemen dari AUB adalah dengan

memilih k elemen dari B dan kemudian r-k elemen dari A, dengan k bilangan bulat, 0 ≤ k ≤ r.

• Banyaknya cara untuk melakukan pemilihan tersebut adalah C(m,r-k)C(n,k).

• Jadi banyaknya cara untuk memilih r elemen dari AUB adalah

r

k

knCkrmCrnmC0

),(),(),(

r

k

knCkrmC0

),(),(

Jika n adalah bilangan bulat bukan negatif, maka

Bukti Dengan menggunakan identitas vandermode,

untuk m=r=n

n

k

knCnnC0

2),(),2(

n

k

n

k

knC

knCknnC

nnCnnnCrnmC

0

2

0

),(

),(),(

),2(),(),( Dari persamaan terakhir

menggunakan identitas diperoleh

),(),( knnCknC

Misal m, n dan r bilangan bulat positif, m r dan n r. Maka

n

rj

rjCrnC ),()1,1(

Berdasarkan contoh 4 (string biner) ruas kiri artinya menghitung

bit string dengan panjang (n + 1) yang memuat (r + 1) angka 1.

Kita lihat pada ruas sisi kanan menghitung banyak objek yang sama dengan

memperhatikan lokasi yang mungkin untuk angka terakhir 1 yang memuat (r+1)

angka 1. Hal ini mungkin bisa terjadi pada posisi r + 1, r + 2,…,atau n + 1. lebih

lanjut. Jika urutan terakhir k bit maka ada r angka 1 antara posisi k-1 yang pertama.

Sehingga menurut contoh 4 terdapat bit string.untuk

Kita peroleh bahwa ada

)1,1( rnC

),1( rkC 11 nkr

n

rj

rjCrnC ),()1,1(Bit string dengan panjang n yang memuat

r+1 angka 1

Bukti :