Statistika

@ 2012

Permutasi dan Kombinasi

Pendahuluan Probabilitas

intepretasi keluaran peluang yang terjadi dalam suatu percobaan

Tingkat kepastian dari munculnya hasil percobaan statistik

Dilambangkan dengan P

Konsep probabilitas dari permainan yang dilakukan pengamatanuntuk diperoleh fakta (empiris) kemudian diformulakan kedalamkonsep dan dilakukan pengujian

Matematika permutasi dan kombinasi banyak digunakan

Permutasi vs. Kombinasi

3

Keduanya digunakan untuk mengukur posibility.

Perbedaan keduanya adalah permasalahan URUTAN. Perhatikan kartu poker berikut: A♦, 5♥, 7♣, 10♠, K♠

Apakah sama dengan ini: K♠, 10♠, 7♣, 5♥, A♦

Apakah urutan kartu di atas penting? JikaYA, maka kita berurusan dengan Permutasi

JikaTIDAK, maka kita menggunakan kombinasi

Permutasi dan Kombinasi

Faktorial

n! = n(n-1)(n-2)…3.2.1

0! = 1 dan 1! = 1

Permutasi

susunan yang dibentuk dari anggota suatu himpunan

dengan mengambil seluruh atau sebagian anggota

himpunan dan memberi arti pada urutan anggota dari

susunan

! !

rn

nPrn

Definisi:

permutasi dari sekumpulan objek adalahbanyaknya susunan objek-objek berbeda dalamurutan tertentu tanpa ada objek yang diulangdari objek-objek tersebut

permutasi

permutasi

Misalkan H adalah himpunan dengan n objek

Misalkan k ≤ n, permutasi k objek dari himpunan H adalah

susunan objek-objek berbeda dalam urutan tertentu yang terdiri dari k

objek anggota himpunan H

Lambang permutasi adalah huruf P (nPk)

situasi: ada n objek yang satu sama

lain berbeda

masalah: menentukan banyaknya

susunan terurut terdiri dari

n objek yang ada

notasi:

permutasi n objek dari n objek

yang berbeda

nn P ),( nnPn

nP

Masalah tersebut dapat dipandang sebagai masalah

menempatkan n objek dalam n kotak yang berbeda

Kotak ke- 1 2 ……………… n – 1 n

Tahap pertama adalah mengisi kotak ke-1, tahap kedua adalah mengisi

kotak ke-2, dan seterusnya sampai tahap ke-n

Tahap Pengisian kotak ke- Banyak cara

1 1 n

2 2 n – 1

… … …

n – 1 n – 1 2

n n 1

Menurut kaidah perkalian

Banyak cara mengisi kotak tersebut adalah:

n(n-1)(n-2)(n-3) …2 • 1 = n!

nn P = n!

Contoh:

Dari empat calon pengurus LK Mahaika, berapa banyak susunan

yang dapat terjadi untuk menentukan ketua, wakil ketua, sekretaris

dan bendahara?

Solusi:

Masalah tersebut merupakan masalah permutasi 4 objek dari 4 objek

241.2.3.4!444 P Jadi ada 24 susunan calon pengurus kelas

situasi: ada n objek yang satu sama

lain berbeda

masalah: menentukan banyaknya

susunan terurut terdiri dari k

objek dari n objek yang ada, k ≤ n

notasi:

Permutasi k objek dari n objek

yang berbeda, k ≤ n

n

kP),( knPkn P

Masalah tersebut dapat dipandang sebagai masalah

memilih k objek dalam n objek yang ada, k ≤ n

Kotak ke- 1 2 ……………… k – 1 k

Tahap pertama adalah mengisi kotak ke-1, tahap kedua adalah mengisi

kotak ke-2, dan seterusnya sampai tahap ke-k

Tahap Pengisian kotak ke- Banyak cara

1 1 n

2 2 n – 1

… … …

k – 1 k – 1 n - (k - 2) = n – k +2

k k n - (k -1) =n – k +1

Menurut kaidah perkalian

Banyak cara mengisi kotak tersebut adalah:

n(n-1)(n-2)(n-3) …(n – k + 1) =

)!(

!

kn

n

Contoh:

Tentukan banyak susunan presiden dan wakil presiden jika ada

enam calon.

Solusi:

Masalah tersebut merupakan masalah permutasi 2 objek dari 6 objek

sehingga ada:

susunan presiden dan wakil presiden

)!(

!

kn

nPkn

3056!4

!6

)!26(

!626

P

situasi:

ada n objek yang beberapa diantaranya sama. Misal ada sejumlahn1 objek q1, sejumlah n2 objek q2, … nk objek qk, dengann1+n2+…+nk = n

masalah:

menentukan banyak susunan terurut terdiri dari n objek

notasi:

Permutasi n objek dari n objek

dengan beberapa objek sama

)..,.........,( 21 knnnn P

Permutasi n objek dari n objek yang terdiri dari sejumlah n1 objek

q1, sejumlah n2 objek q2, … nk objek qk, dengan n1+n2+…+nk = n

adalah:

!!...!

!

21

)..,.........,( 21

k

nnnnnnn

nP

k

Contoh: Berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk dari

kata MATEMATIKAWAN?

Solusi: Terdapat 13 huruf pada kata MATEMATIKAWAN, terdiri dari 2 huruf M, 4

huruf A, 2 huruf T, 1 huruf I, 1 huruf E, 1 huruf K, 1 huruf W, 1 huruf N

Banyak susunan huruf yang dapat dibuat adalah:

64864800!4.2.1.2.1

!4.5.6.7.8.9.10.11.12.13

!1!1!1!1!1!2!4!2

!13)1,1,1,1,1,2,4,2(13 P

Contoh

Himpunan {a,b,c}

diambil 3 anggota, diperoleh susunan:

abc; acb; bac; bca; cab; cba

diambil 2 anggota, diperoleh susunan:

ab; ba; bc; cb; ac; ca

6

! 33

! 333

P

6

! 23

! 323

P

Kombinasi

susunan yang dibentuk dari anggota suatu himpunandengan mengambil seluruh atau sebagian anggotahimpunan dan tanpa memberi arti pada urutan anggota darisusunan

Contoh: himpunan {a,b,c} diambil 2 anggota,

diperoleh susunan: ab; bc; ca

{Permutasi ab = ba; bc = cb; ca = ac}

! !

!

rnr

n

r

nCrn

Kombinasi

Dalam suatu pertemuan MUKERNAS terdapat 10 orang yang belum saling kenal. Agar mereka saling kenal maka merekasaling berjabat tangan. Berapa banyaknya jabat tangan yang terjadi.Jawab : 10C2 = (10!)/(2!(10-2)!) = 45 jabat tangan

Kombinasi dari kombinasi merupakan perkalian perkalian antarabanyaknya kombinasi suatu kumpulan obyek dengan banyaknyakombinasi dari obyek lainnya.

Formulasi untuk mencari kombinasi dari kombinasi adalah sebagaiberikut :

nCk . mCy = (n!)/(k!(n-x)!) . (m!)/(y!(m-y)!).

Contoh :Suatu kelompok yang terdiri dari 3 orang pria dan 2 orang wanita akanmemilih 3 orang pengurus LK. Berapa cara yang dapat dibentuk daripemilihan jika pengurus terdiri dari 2 orang pria dan 1 orang wanita.

Jawab : 3C2 . 2C1 = (3!)/(2!(3-2)!) . (2!)/(1!(2-1)!) = 6 cara,

yaitu : L1 L2 W1 ; L1 L3 W1 ; L2 L3 W1 ; L1 L2 W2 ; L1 L3 W2 ; L2 L3 W2

Sampling Procedures

Definisi Population – group of things (people) having one or more

common characteristics

Sample – representasi dari subgroup populasi yang lebihbesar

Digunakan untuk mengestimasi sesuatu tentang populasi(generalisasi)

Harus sama dengan populasi dan karakteristik yang akan dicari.

Sampling

Sampling merupakan suatu proses seleksi terhadap

sejumlah elemen kecil dari suatu grup target

yang lebih besar sehingga akan dapat dilakukan

penentuan keputusan terhadap

grup yang lebih besar (populasi) tersebut

Census

Basics of Sampling Theory

Population

Element

Defined target

population

Sampling unit

Sampling frame

Sampling Error

Sampling error adalah segala tipe bias

Yang memungkinkan terjadinya

Kesalahan baik dalam menggambarkan

Sampel ataupun dalam menentukan

Ukuran sampel

1. Define the Population of Interest

2. Identify a Sampling Frame (if possible)

3. Select a Sampling Method

4. Determine Sample Size

5. Execute the Sampling Plan

Developing a Sampling Plan

Population of interest is entirely dependent on Management

Problem, Research Problems, and Research Design.

Some Bases for Defining Population:

Geographic Area

Demographics

Usage/Lifestyle

Awareness

Defining Population of Interest

A list of population elements (people, companies, houses, cities, etc.) from which units to be sampled can be selected.

Difficult to get an accurate list.

Sample frame error occurs when certain elements of the population are accidentally omitted or not included on the list.

See Survey Sampling International for some good examples

http://www.surveysampling.com/

Sampling Frame

Sampling Methods

Probability

sampling

Nonprobability

sampling

Representatif

Sample Size Critical factor is whether sample is representative

Necessary sample size depends on population size

Recommendations: Use tables from books

30 per group

Descriptive studies – 10-20% of population

No more than 50% of population

Statistical power

Attrition

Other Sampling Considerations Random assignment

Sampling of treatments (experimental research)

Use post hoc analysis to show groups were equal at the start

Since random sampling is often impossible, sample must be selected on some theoretical basis

Be careful with generalizations

When Selecting Subjects … Are subjects with special characteristics necessary for

your research? (age, gender, trained/untrained, expert/novice, size, etc.)

Can you obtain the necessary permission and cooperation from the subjects?

Can you find enough subjects?

Interaction among selection of subjects, treatments, and measures is essential for experimental studies.

Reporting Subjects State how many subjects were selected

Describe how the subjects were selected

Discuss whether any subjects were lost during the study and why

Explain why the subjects were selected

Describe subject characteristics that are pertinent to study – be very specific

Identify procedures taken to protect the subjects

UNSUR DASAR PERANCANGAN PERCOBAAN

1. Ulangan

2. Pengacakan

3. Kesalahan percobaan

4. Pengawasan Setempat

UNSUR DASAR PERANCANGAN PERCOBAAN

(1) ULANGAN

Perlakuan diberikan lebih dari

sekali dalam suatu percobaan

→ perlakuan tsb. dikatakan

diulang.

Fungsi Ulangan:

1). Untuk menghasilkan nilai-dugaan bagi galat percobaan

SampelSedimenke:

Perlakuan KimiawiA B C

1

2

.

.

n

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

S.K. d.b. J.K. K.T. Fhit. Ftabel

Perlakuan

G a l a t

t - 1

t ( n – 1 )

. . .

. . .

. . .

. . .

. . . . . .

T o t a l t n - 1 . . .

Ulangan

2. PENGACAKAN

Dalam percobaan suatu penelitian → penentuan secara acak

berarti setiap perlakuan harus mempunyai kesempatan yang

sama untuk diberikan pada sembarang satuan percobaan.

Harus bertindak seobyektif mungkin

(tidak boleh menurut selera kita)

cara lotre (paling sederhana)

Pengacakan

dengan menggunakan tabel bilangan acak

Fungsi Pengacakan:

1. Untuk menghindari bias atau untuk memperkecil bias

yang mungkin terdapat dalam percobaan.

2) Meningkatkan ketelitian / ketepatan percobaan

3) Memperluas daya cakup kesimpulan percobaan

Contoh:

Meneliti 2 varitas rumput laut di daerah tertentu.

Daerah tsb.

terdapat

2 jenis perairan

4) mengendalikan ragam galat percobaan

Contoh:

Meneliti pengaruh pemberian kitosan pada ikan tuna

Tuna: 1 – 2 bulan → 10 ulangan

Tuna: 2 – 3 bulan → 10 ulangan

Tuna: 3 – 4 bulan → 10 ulangan

Kondisi Perairan A

Kondisi Perairan A Varietas I

Varietas II

Varietas I

Varietas II

PENGAMBILAN SAMPEL SECARA ACAK

( PENGACAKAN )

# Penentuan secara acak → satuan percobaan berpeluang sama

untuk mendapat perlakuan (bertindak obyektif).

Pengacakan → kegunaannya untuk menghindari / memperkecil

bias yang terdapat dalam percobaan.

# Sampel mencerminkan populasi → pengambilan sampel harus

seobyektif mungkin, dengan cara random / acak, antara lain di-

bedakan:

I. Random sampel

(simple random sample)

II. Pengambilan sampel secara sistematik

(sistematic sample)

III. Random sampel berstrata

(stratified random sample)

dengan lotre

dengan tabel bilangan acak

Metode SamplingProbability Sampling

Simple random sampling

Stratified random sampling

Systematic sampling

Cluster (area) sampling

Multistage sampling

Non-Probability Sampling

Deliberate (quota) sampling

Convenience sampling

Purposive sampling

Simple Random Sampling

Equal probability

Techniques

Table of random numbers

Advantage

Most representative group

Disadvantage

Difficult to identify every member of a population

RANDOM SAMPEL: (A) Dengan cara lotre5 satuan percobaan akan memperoleh

perlakuan P, Q, R, S danT

( I ) ( II )

- Satuan percobaan diberi - P,Q, R, S danT ditulis

nomor 1, 2, 3, 4 dan 5 dikertas, dan digulung

- Ambil 5 potongan kertas kecil, - 1, 2, 3, 4 dan 5 ditulis

tuliskan huruf P, Q, R, S danT dikertas, dan digulung

↓ ↓

kertas digulung ambil satu persatu: Pengambilan pertama dari

Pengambilan pertama tertulis Q, kertas isi perlakuan → S.

berarti ditempatkan pada Pengambilan pertama dari

satuan percobaan ke 1 kertas isi sat. percob.→ 5

Pengambilan kedua tertulisT, un- ↓

tuk satuan percobaan ke 2 maka S menempati sat.percob. 5

Dan seterusnya. - Dan seterusnya

( B ) Dengan tabel bilangan acak → (lebih dianjurkan)

CONTOH:

Suatu percobaan mendapat perlakuan A, B, C dan D

masing-masing diulang 5 kali

terdapat 4x5 = 20 satuan percobaan yang harus disediakan

untuk:

A1 A2 A3 A4 A5

B1 B2 B3 B4 B5

C1 C2 C3 C4 C5

D1 D2 D3 D4 D5

Cara penempatan perlakuan-perlakuan tersebut ke dalam

satuan-satuan percobaan adalah sbb.:

(a). Satuan-satuan percobaan tersebut diberi nomor urut

1 s/d 20.

(b). Dari tabel bilangan acak, tentukan bilangan-bilangan yang digunakan untuk pengacakan. Misalnya, setelah terpilih titikmula, didapat gugus bilangan acak:

421658 027639 516240 743165926304 895421 195237

(c). Yang diperlukan hanya sampai no 20Dilakukan pengelompokan beranggotakan 2 angka sebanyak20 gugus (bila ada gugus sama → lewatkan)

42 16 58 02 76 39 51 6240 74 31 65 92 63 04 8954 21 19 52

(d). Bilangan tersebut di atas diberi nomor urut sesuai urutannya(bilangan kecil pertama adalah 02) :

9 3 13 1 18 7 10 148 17 6 16 20 15 2 1912 5 4 11

(e). Berdasarkan (d) →

perlakuan A (ulangan 1 s/d 5) ditempatkan pada satuan perco-

baan nomor 9 3 13 1 18, perlakuan B menempati

nomor 7 10 14 8 17. sehingga diperoleh:

1 2 3 4 5

A4 C5 A2 D4 D3

Sudah menghilang-

6 7 8 9 10 kan sifat berbias

C1 B1 B4 A1 B2 dalam penempatan

perlakuan ke dalam

11 12 13 14 15 satuan percobaan

D5 D2 A3 B3 C4

16 17 18 19 20

C2 B5 A5 D1 C3

Stratified Random Sampling Technique Divide population into various strata Randomly sample within each strata Sample from each strata should be proportional

Advantage Better in achieving representativeness on control variable

Disadvantage Difficult to pick appropriate strata Difficult to ID every member in population

PENGAMBILAN SAMPEL SECARA BERSTRATA:Bila populasi tidak homogen → perlu distratakan terlebih dahulu

menjadi bagian-bagian yang homogen.

↓

Dari bagian-bagian homogen inilah

baru diambil sampelnya

CONTOH:

Suatu penelitian terdiri dari 5 perlakuan dan 4 ulangan →

diperlukan 20 ekor ikan tuna yang “seragam”. Namun

yang tersedia dilapangan ikan tuna umur ½ s/d 3½ bln.

↓

perlu distratakan menjadi 4 kelompok yang homogen:

kelompok I, ikan tuna umur kurang 1 bln

kelompok II, ikan tuna umur 1 – 2 bln

kelompok III, ikan tuna umur 2 – 3 bln

kelompok IV, ikan tuna umur lebih 3 bln

Systematic Sampling Technique Use “system” to select sample (e.g., every 5th item in alphabetized list, every

10th name in phone book)

Advantage Quick, efficient, saves time and energy

Disadvantage Not entirely bias free; each item does not have equal chance to be selected

System for selecting subjects may introduce systematic error

Cannot generalize beyond pop actually sampled

PENGAMBILAN SAMPEL SECARA SISTEMATIK10 petak tanah, masing-masing ditanami

7 x 12 = 84 rumput gajah → diambil bbrp

tanaman sampel untuk diteliti

.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 . . . . . . . . . . . .

2 . x . . . x = . . x . .

3 . . . . . . . . . . . .

4 . . . x = . = x = . . .

5 . . . . . . . . . . . .

6 . x . . . x = . . x . .

7 . . . . . . . . . . . .

Macam-macam cara pengambilan sampel secara sistematik:

- cara diagonal, cara bujursangkar, cara leter L,

- cara hitungan (misalnya tiap hitungan ke 3), Harus konsisten

- cara bentuk segitiga, dll.

Cluster (Area) Sampling

Randomly select groups (cluster) – all members of

groups are subjects

Appropriate when

you can’t obtain a list of the members of the population

have little knowledge of pop characteristics

Pop is scattered over large geographic area

Cluster (Area) Sampling

Advantage

More practical, less costly

Conclusions should be stated in terms of cluster (sample unit

– school)

Sample size is # of clusters

Multistage Sampling

Stage 1

randomly sample clusters (schools)

Stage 2

randomly sample individuals from the schools selected

Sampling MethodsProbability Sampling

Simple random sampling

Stratified random sampling

Systematic sampling

Cluster (area) sampling

Multistage sampling

Non-Probability Sampling

Deliberate (quota) sampling

Convenience sampling

Purposive sampling

(3) KESALAHAN / GALAT PERCOBAANSatu perlakuan diulang pada satuan percobaan yang

berkondisi serba sama

↓

Nilai pengamatan yang diperoleh

tidak akan sama satu dengan yang lain

↓

Kegagalan satuan-satuan percobaan ini

disebut dengan kesalahan / galat percobaan

Keaneka-ragaman yang disebabkan ketidak mampuan materi

percobaan yang diperlakukan sama untuk berperilaku sama

disebut: - Kesalahan percobaan

- Galat percobaan

- Error percobaan

- Sisa percobaan → karena merupakan hasil selisih

Total dan Sumber Keragaman

lainnya.

(4) PENGAWASAN SETEMPAT

ialah usaha mengatur / menempatkan unit-unit percobaan

untuk memperkecil kesalahan

D

A

F

C E

B

Tanah ketinggian tak sama

(kesuburan tanah berbeda)

Quiz time….

1. Berikan penjelasan mengenai perbedaan antara permutasi

dan kombinasi, sertakan juga contohnya!

2. Berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk

dari kata HIMITEKINDO!

3. Suatu kelompok warga terdiri dari 8 orang pria dan 2

orang wanita akan memilih 5 orang pengurus RT. Berapa

cara yang dapat dibentuk dari pemilihan jika pengurus

terdiri dari 3 orang pria dan 3 orang wanita?

4. Apa saja tahapan dalam membuat rencana sampling?