1. PERMUTASI

Definisi permutsi dari sejumlah anggota suatu himpunan adalah susunan terurut dari

semua atau sebagaian anggota himpunan itu.

Banyaknya permutasi r unsur dinyatakan dengan nPr atau

nPr

Rumus permutasi r unsur dari n adalah

n𝑃𝑟 = n!

(n−r)! untuk r < n

Teorema 1

Jika ada unsur yang berada diambil n unsur maka

banyak susunan ( permutasi ) yang berbeda dari n unsur

tersebut adalah

p ( n, n) = n!

Bukti.

Asumsikan bahwa permutasi dari n unsur yang berbeda merupakan aktifitas

yang terdiri dari n langkah yang berurutan. Langkah pertama adalah memilih unsur

pertama yang bisa dilakukan dengan n cara. Langkah kedua adalah memilih unsur

kedua yang bisa dilakukan dengan n - 1 cara karena unsur pertama sudah terpilih.

Lanjutkan langkah tersebut sampai pada langkah ke-n yang bisa dilakukan dengan 1

cara. Berdasarkan Prinsip Perkalian, terdapat

n(n - 1)(n – 2) ... 2.1 = n!

permutasi dari n unsur yang berbeda.

Teorema 2

Banyak permutasi r unsur yang diambil dari n buah unsur

yang berbeda adalah : p ( n, r ) = n!

(n−r)!

Bukti.

Asumsikan bahwa permutasi-r dari n unsur yang berbeda merupakan aktifitas

yang terdiri dari r langkah yang berurutan. Langkah pertama adalah memilih unsur

pertama yang bisa dilakukan dengan n cara. Langkah kedua adalah memilih unsur

kedua yang bisa dilakukan dengan n - 1 cara karena unsur pertama sudah terpilih.

Lanjutkan langkah tersebut sampai pada langkah ke-r yang bisa dilakukan dengan n - r

+ 1 cara. Berdasarkan Prinsip Perkalian, diperoleh

n(n - 1)(n - 2)...(n - r + 1) = 𝐧(𝐧−𝟏)(𝐧−𝟐)…𝟐.𝟏

(𝐧−𝐫)(𝐧−𝐫−𝟏)…𝟐.𝟏 =

𝐧!

(𝐧−𝐫)!

Jadi P(n, r) = 𝐧!

(𝐧−𝐫)!

Contoh soal :

1. Diketahui himpunan A ( a, b, c ). Tentukan banyaknya permutasi, jika

a. Diambil 2 unsur

b. Diambil semua ( 3 unsur )

Jawab :

a. Banyaknya permutasi 2 unsur dan 3 unsur

3P2 = 3!

(3−2) ! =

3!

1!=

3×2×1

1= 6

yaitu : ab, ac, ba, bc, ca, cb

b. Banyaknya permutasi 3 unsur dari 3 unsur

3P3 = 3!

(3−3) ! =

3!

0!=

3×2×1

1= 6

yaitu : abc, acb, bac, bca,cab, cba

Catatan :

Dalam permutasi, setiap unsur hanya muncul sekali

tidak muncul unsur berulang

2. Berapakah banyaknya bilangan yang dapat dibentuk dari angka-angka 2,3, 4, 5 jika

bilangan itu.

a. Terdiri dari 2 angka

b. Terdiri dari 3 angka

c. Terdiri dari 4 angka

Jawab :

a. Banyaknya bilangan yang terdiri dari 2 angka

4P2 = 4!

(4 −2)! =

4!

2!=

4×3×2×1

2×1= 12 bilangan

b. Banyaknya bilangan yang terdiri dari 3 angka

4P3 = 4!

(4−3)! =

4!

1!=

4×3×2×1

1= 24 bilangan

c. Banyaknya bilangan yang terdiri dari 4 angka

4P4 = 4!

(4−4) ! =

4!

0!=

4×3×2×1

1= 24 bilangan

3. Berapakah banyaknya susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata

“ORDINAT”

Jawab : banyaknya susunan huruf merupakan permutasi 7 unsur dari 7

unsur 7P7 = 7!

(7−7)! =

3!

0!=

7×6×5×4×3×2×1

1= 5040 susunan huruf

4. ada beberapa cara memilih 6 pemain bola voli dari 12 pemain yang ada

jawab :

n = 12, r =6

p (12, 6) = 6!

(12−6)!=

12!

6 !=

12×11×10×9×8×7×6!

6!s= 665280

1. 1 Permutasi ada unsur yang sama

Permutasi dari n unsur dimana terdapat P unsur yang sama q unsur lain yang

sama, r unsur lain yang sama, maka banyaknya permutasi ditentukan dengan

rumus :

P = n!

p!q!r!

Contoh soal

1. Berapa banyaknya permutasi yang dapat dibentuk dari kata “

MATEMATIKA”

Jawab :

Banyaknya semua huruf = 10 buah

Banyaknya huruf M = 2 buah

Banyaknya hurufA = 3 buah

Banyaknya T = 2 buah

P = 10!

2!3!2!=

10×9×8×7×6×5×4×3×2×1

2×1×3×2×1×2×1= 151200

2. Berapa banyak permutasi dari huruf-huruf pada kata

“ LITERATUR “

jawab :

n = 9 (dari huryf LITERATUR)

banyak huruf T = 2 buah

banyak huruf R = 2 buah

maka : P = 9!

2!2!=

9×8×7×6×5×4×3×2×1

2×1×2×1= 90720 kata

1.2. Permutasi siklis ( melingkar )

Misalkan kita akan menyusun 4 huruf A,B,C,D secara melingkar dengan catatan

ABCD,BCDA,CDAB dan DABC tidak dibedakan dengan kaidah pencacahan dapat

disajikan

3× 2 × 1 = 3! 𝑎𝑡𝑎𝑢 (4 − 1)!

Jadi secara umum banyaknya permutasi siklis dari n objek adalah :

(n − 1)!

Cotoh soal :

1.Suatu panitia terdiri dari 6 orang melaksanakan rapat dengan duduk

mengelilingi meja bundar. Berapa banyaknya cara, mereka dapat

menempati 6 kursi yang tersedia?

Jawab :

Banyaknya permutasi siklis dari 6 orangt tersebut adalah

( 6 -1 )! =

5! = 120 cara

2. Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati ketujuh

tempat duduk dengan urutan yang berlainan?

Jawab:

Banyaknya cara duduk ada (7 – 1) ! = 6 ! = 6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 720 cara

2. KOMBINASI

Pengembangan aturan perkalian selain permutasi adalah kombinasi. Di dalam

museum terdapat 8 arca dengan warna yang menarik, akan dipilih 3 arca untuk pameran

tanpa memperhatikan urutan arca yang ada tetapi yang membedakannya hanyalah warna

dan ukiran arca. Pemilihan di atas disebut kombinasi dari 8 objek diambil 3 pada suatu

saat tertentu.

Definisi kombinasi :

I. Suatu kombinasi k unsur yang diambil dari n unsur yang berlainan adalah suatu

pilihan dari n unsur tanpa memperhatikan urutannya (𝑘 𝑛).

II. Kombinasi k unsur yang diambil n unsur yang berlainan dinotasikan dengan:

𝐶𝑘𝑛, 𝐶𝑘 , 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐶(𝑛,𝑟)

𝑛 dan ditentukan oleh formula berikut ini:

𝐶𝑘𝑛 =

𝑃𝑘𝑛

𝑟!

Atau:

𝐶𝑘 𝑛 =

𝑛!

( 𝑛 − 𝑘)! 𝑘!

Contoh Soal

1. Tentukan nilai kombinasi-kombinasi berikut:

a. 𝐶26

b. 𝐶55

Penyelesaian :

a. 𝐶2 6 =

6!

(6−2)!2!

=6 !

4!2!

= 15

b. 𝐶55 =

5!

(5 −5)!5!

= 5 !

0!5!

= 1

2. Sebuah kantong memuat 5 bola merah, 3 bola hijau, dan 4 bola biru. Tiga bola

diambil secara acak. Berapa banyak cara pengambilan bola jika bola yang

terambil adalah:

a. Ketiganya berwarna merah

b. Dua merah dan satu hijau

Penyelesaian :

a. Banyak cara pengambilan ketiga bola berwarna merah adalah :

𝐶35 =

5!

(5 − 3)!3!

=5!

2! 3!

= 10 𝑐𝑎𝑟𝑎

b. Banyaknya cara pengambilan agar terambil 2 bola merah dan 1 bola hijau

𝐶25 × 𝐶1

3 =5!

(5 − 2)!2! ×

3!

(3 − 1)! 1!

= 5!

3! 2! ×

3!

2! 1!

= 30 𝑐𝑎𝑟𝑎

3. Jika seseorang mempunyai 1 buah uang logam Rp 50, 1 buah Rp 100, dan 2

buah Rp 500 dalam sakunya. Berapa banyak cara pengambilan sejumlah uang

dalam sakunya?

Jawab :

Diketahui : 𝑛 = 4

Maka banyaknya cara = 2𝑛 − 1

= 24 − 1

= 16 − 1

= 15

4. Pada sebuah perkumpulan akan dipilih perwakilan yang beranggotakan 5 orang.

Calon yang tersedia adalah 4 pria dan 3 wanita. Berapa banyak susunan

perwakilanyang dapat dibentuk apabila sekurang-kurangnya terpilih 2 wanita?

Jawab :

Kemungkinan susunan perwakilan yang dibentuk adalah 3 pria, 2 wanita atau 2

pria, 3 wanita. Banyak susunan yang terbentuk adalah :

= ( 𝐶34 ∙ 𝐶2

3 ) + ( 𝐶2 4 ∙ 𝐶3

3

= ( 4!

(4−3) !3! ∙

3!

(3−2)!2!) + (

4!

(4−2) !2! ∙

3!

(3−3)!3!)

= (4!

1! 3! ∙

3!

1! 2! ) + (

4!

2! 2! ∙

3!

1! 3!)

= (4 × 3) + (6 × 1)

= 18 𝑠𝑢𝑠𝑢𝑛𝑎𝑛

5. Berapa banyak jarak tangan yang terjadi dalam suatu pesta yang dihadiri 12

orang?

Jawab :

Diketahui : 𝑛 = 12

𝑘 = 2 (𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑒𝑟𝑗𝑎𝑏𝑎𝑡 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛)

Penyelesaian :

𝐶212 =

12!

(12 − 2)! 2!

= 12!

10!2!

= 66

Jadi, banyak jabat tangan yang terjadi adalah 66 kali.

3 PELUANG SUATU KEJADIAN

1.PengertianRuangSampeldanKejadian

Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin muncul dari suatu

percobaan disebut ruang sampel.Kejadian khusus atau suatu unsurdari S disebut Titik

Sampel atau Sampel.Suatu kejadian A adalah suatu hipunan bagian dari ruang Sampel

S.

Contoh ;

Diberikan percobaan Pelemparan 3 matauang logam sekaligus 1 kali,yang masing-

masing memiliki sisi angka (A) dan gambar (G) jika P adalah kejadian muncul dua

angka,Tentukan S,P(kejadian) !

Jawab ;

S={AAA,AAG,AGA,GAA,GAG,AGG,GGA,GGG}

P={AAG,AGA,GAA}

Percobaan adalah tindakan atau kegiatan yang dapat memberikan beberapa

kemungkinan hasil.

Ruang Sampel (S) adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu

percobaan.

Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel.

Peluang terjadinya kejadian E dilambangkan P(E)

Dengan,n(E)= banyaknyaanggota E

n(S)= banyaknya anggota ruang sampel

P(E)=n(E)/n(S)

2.Pengertianpeluangsuatukejadian.

Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan

sama untuk muncul. Jikadari hasil percobaan ini terdapat K hasil yang merupakan

kejadianA,maka peluang kejadian A ditulis P(A) ditentukan dengan

Rumus : P(A)=K/n

Contoh ;

Pada percobaan pelemparan sebuah dadu,tentukanlah peluang perubahan kejadian

muncul bilangan genap!

Jawab ; S={1,2,3,4,5,6 } maka n(s)=6

MisalkanA adalahkejadianmunculbilangangenapmaka

A={2,4,6} dan n(A)=3

P(A)=n(A)/n(S)=3/6=1/2

3.Kisaran peluang matematika

Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan n(s)=n,n(A)=K dan

0≤k≤n ↔0≤𝑘

𝑛≤1 ,maka 0≤ 𝑝(𝐴) ≤ 1

Jadi peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup (0,1) suatu kejadian yang

peluangnya nol dinamakan kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1

dinamakan kejadian pasti.

4.Frekuensi harapan suatu kejadian.

Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P(A),Maka

frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah nxP(A)

Contoh;

Bilasebuahdadudilempar 720 kali ,berapakah frekuensi harapan dari munculnya mata

dadu 1 ? jawab:

Pada pelemparan dadu1 kali S{1,2,3,4,5,6} maka n(s)=6 misalkan A adalah kejadian

munculnya mata dadu 1 ,maka P(A)=n(A)/n(S)= 1/6

A={1} dan n(A)=720X1/6=120 Kali.

5. Peluangkomplimen suatu kejadian

Misalkan S adalahruangsampeldengan n(S)=n ,A

adalahkejadianpadaruangsampelS,dengan n(A)=K dan AC adalah komplemen

kejadianA,makanilai n(AC)=n-k,sehingga :

P(AC)=n-k/n=1-k/n

=1-P(A)

=>P(A)+P(AC)=1

Jadi jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P,maka peluang hasil itu tidak terjadi

adalah (1-P).

1.2 PELUANG MAJEMUK

1.Gabungan dua kejadian

Untuk setiap kejadian A dan B berlaku :P(A∪

𝐵) 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑐𝑎 kejadian A dan B dan p(A∩B) " dibaca 𝑘𝑒𝑗𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 𝐴 dan B “

Contoh :

Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian muncul bilangan komposit dan B

adalah kejadian muncul bilangan genap.carilah peluang kejadian A atau B.

Jawab :

S={1,2,3,4,5,6} maka n(s) = 6

A={4,6},n(A) =2, maka P(A) = 2

6 =

1

3

B={2,4,6} n(B)=3 ,Maka P(B) 3

6 =

1

2

A∩ 𝐵 = [4.6],𝑛 (𝐴 ∩ 𝐵) = 2 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) =2

6=

1

3

P(A∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

=1

3+

1

2−

1

3

2.Kejadian-kejadian saling lepas

Untuk setiap kejadian berlaku P(∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) jika A∩ 𝐵 =

∅, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑝(𝐴) + 𝑃(𝐵).Dalam kasus ini A dan B

disebut dua kejadian saling lepas.

3.Kejadian bersyarat :

Jika P(B) adalah peluang kejadian B ,maka P(A|B) didefenisikan sebagai peluang

kejadian A dengan syarat B telah terjadi.jika P(A∩

𝐵) 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑙𝑢𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑒𝑟𝑗𝑎𝑑𝑖𝑛𝑦𝑎 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝐵,𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑃(𝐴 ∩∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵) × 𝑃(𝐴|B).dalam

kasus ini ,dua kejadian tersebut tidak saling bebas.

4.Teorema bayes

Teorema Bayes, diambil dari nama Rev. Thomas Bayes, menggambarkan hubungan

antara peluang bersyarat dari dua kejadian A dan B sebagai berikut:

atau

P(A |

B) =

P(B | A) P(A)

P(B | A)P(A) + P(B | A)P(A)

Contoh aplikasi dari Teorema Bayes

Di sebuah negara, diketahui bahwa 2% dari penduduknya menderita sebuah

penyakit langka. 97% dari hasil tes klinik adalah positif bahwa seseorang menderita

penyakit itu. Ketika seseorang yang tidak menderita penyakit itu dites dengan tes yang

sama, 9% dari hasil tes memberikan hasil positif yang salah.Jika sembarang orang dari

negara itu mengambil test dan mendapat hasil positif, berapakah peluang bahwa dia

benar-benar menderita penyakit langka itu? Secara sepintas, nampaknya bahwa ada

peluang yang besar bahwa orang itu memang benar- benar menderita penyakit langka

itu. Karena kita tahu bahwa hasil test klinik yang cukup akurat (97%). Tetapi apakah

benar demikian? Marilah kita lihat perhitungan matematikanya.

Marilah kita lambangkan informasi di atas sebagai berikut:

B = Kejadian tes memberikan hasil positif.

B = Kejadian tes memberikan hasil negatif.

A = Kejadian seseorang menderita penyakit langka itu.

A = Kejadian seseorang tidak menderita penyakit langkat itu.

P(A | B)

=

P(B | A) P(A)

P(B)

Kita ketahui juga peluang dari kejadian-kejadian berikut:

P (A) = 2%

P (A) = 98%

P (B | A) = 97%

P (B | A) = 9%

Dengan menggunakan rumus untuk peluang bersyarat, dapat kita simpulkan peluang

dari kejadian-kejadian yang mungkin terjadi dalam tabel di bawah ini:

A2%) A (98%)

B

Positif yang benar

P (B ∩ A) = P (A) × P (B | A) = 2% × 97%

= 0,0194

Positif yang salah

P (B ∩ A) = P (A) × P (B | A) = 98%

× 9% = 0,0882

B

Negatif yang salah

P (B ∩ A) = P (A) × P (B | A) = 2% × 3% =

0,0006

Negatif yang benar

P (B ∩ A) = P (A) × P (B | A) = 98%

× 91% = 0,8918

Misalnya seseorang menjalani tes klinik tersebut dan mendapatkan hasil positif,

berapakah peluang bahwa ia benar-benar menderita penyakit langka tersebut?

Dengan kata lain, kita mencoba untuk mencari peluang dari A, dimana B atau P (A | B).

Dari tabel di atas, dapat kita lihat bahwa P (A | B) adalah peluang dari positif yang

benar dibagi dengan peluang positif (benar maupun salah), yaitu 0,0194 / (0,0194 +

0,0882) = 0,1803.

Kita dapat juga mendapatkan hasil yang sama dengan menggunakan rumus teorema

Bayes di atas:

P(A |

B) =

P(B ∩ A)

P(B)

=

P(B | A) × P(A)

P(B | A)P(A) + P(B | A)P(A)

=

97% × 2%

(97% × 2%) + (9% × 98%)

=

0.0194

0.0194 + 0.0882

=

0.0194

0.1076

P(A |

B) = 0.1803

Hasil perhitungan ini sangat berbeda dengan intuisi kita di atas. Peluang bahwa

orang yang mendapat hasil tes positif itu benar-benar menderita penyakit langka tidak

sebesar yang kita bayangkan. Cuma ada sekitar 18% kemungkinan bahwa dia benar-

benar menderita penyakit itu.

Mengapakah demikian?

Ketika mengira-ngira peluangnya, seringkali kita lupa bahwa dari seluruh populasi

negara itu, hanya 2% yang benar-benar menderita penyakit langka itu. Jadi, walaupun

hasil tes adalah positif, peluang bahwa seseorang menderita penyakit langka itu tidaklah

sebesar yang kita bayangkan.

Kita bisa juga meninjau situasi di atas sebagai berikut. Misalnya populasi negara

tersebut adalah 1000 orang. Hanya 20 orang yang menderita penyakit langka itu (2%).

19 orang dari antaranya akan mendapat hasil tes yang positif (97% hasil positif yang

benar). Dari 980 orang yang tidak menderita penyakit itu, sekitar 88 orang juga akan

mendapat hasil tes positif (9% hasil 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓 yang salah).

Jadi, 1000 orang di negara itu dapat kita kelompokkan sebagai berikut:

19 orang mendapat hasil tes positif yang benar

1 orang mendapat hasil tes negatif yang salah

88 orang mendapat hasil tes positif yang salah

892 orang mendapat hasil tes negatif yang benar

Bisa kita lihat dari informasi di atas, bahwa ada (88 + 19) = 107 orang yang akan

mendapatkan hasil tes positif (tidak perduli bahwa dia benar-benar menderita penyakit

langka itu atau tidak). Dari 107 orang ini, berapakah yang benar-benar menderita

penyakit? Hanya 19 orang dari 107, atau sekitar 18%.

5.Kejadian saling bebas stokhastik

Misalkan A dan B adalah kejadian –kejadian pada ruang sampel S, A dan B disebut dua

kejadian saling bebas stokhastik apabila kemunculan salah satu tidak dipengaruhi

kemunculan yang lainya atau P(𝐴|B)=P(A) sehingga : p(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴|B)× 𝑃(𝐵)↔

P(A∩ 𝐵). 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵)

Contoh soal :

1. Sebuah kantong berisi 100 kartu yang diberi nomor 2 sampai dengan 101.

Sebuah kartu diambil secara acak dari kantong itu,Tentukan peluang terambil kartu

yang merupakan bilangan kuadrat ?

Jawab :

n(s)=100

A=Kejadian terambil kartu bilangan kuadrat ={4,9,16,25,36,49,64,81,100}

n(A)=9

SehinggaP(A)=n(A)/n(s)=9/100

2. 17 kartudiberinomor 1,2,3…………..16,17, dimasukan dalam sebuah

kotak.sebuah kartu diambil dari kotak secara acak.Tentukanlah peluang terambil

kartu bernomor yang habis dibagi 2 dan3 ?

Jawab :

n(s)=17

diantara bilangan 1 sampaidengan 17 yang merupakan bilangan habis dibagi 2 dan

3 adalah 6 dan 12 sehingga n(A)=2

JadiP(A)=n(A)/n(s)=2/17

3. Dalam sebuah populasi keluarga,dengan tiga orang anak peluang keluarga

tersebut mempunyai paling sedikit dua anak laki-laki adalah ?

Jawab :

Missal :Perempuan = P

:Laki-laki = L

Kemungkinananak yang terlahirdalamsuatukeluarga.

LLL, LLP, LPP, PPP, PPL, PLL, PLP, LPL Jadi peluangnya adalah p(A)=1/2

4. Dua buah dadu dilempar bersama-sama,peluang munculnya jumlah mata dadu 9

atau 10 adalah ?

Jawab :

S={(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2)

(3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3)

(5,4)(5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) }

Duamatadaduberjumlah 9 : (3,6) (4,5) (5,4) (6,3)

Duamatadaduberjumlah 10 : (4,6) (5,5) (6,4)

P(A)=4+3/36

=7/36

5. Dua buah dadu berisi enam satu merah dan satu biru dilempar bersama-

sama.jika kejadian A kejadian munculnya mata dadu 5 pada mata dadu merah

dan B munculnya mata dadu 4 pada dadu biru,serta C munculnya kedua mata

dadu berjumlah 8,periksalah apakah A dan B bebas A dan C bebas

Jawab :

Ruang sampeldari percobaan diatas dapat ditulis

S={(1,1) (1,2) (1,3)……….(6,6) }

Kejadian A ={(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)}

Kejadian B={(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)}

Kejadian C ={(2,6) (3,5) (4,4) (5,3) (6,2) }

P(A)=1/6, P(B)=1/6, P(C)=5/36

AnB={(5,4)} : p(AnB)=1/36

AnC={(5,3)} : P(AnC)=1/36

Ternyata P (AnB)=P(A),P(B) dan P(AnC)#P(A),P(C),sehingga kejadian A dan B

bebas sedangkankejadian A dan C tidak bebas tergantung

soal – soal

1. Hitunglah

a. 8 P 2 b. 6 P 6

2. Tentukan banyak kemungkinan susunan ketua OSIS, sekretaris OSIS, dan

bendahara OSIS jika dipilih dari 10 siswa?

3. Hitunglah n jika n P 2 = 20

4. Tentukan banyaknya susunan yang dapat dibentuk dari huruf – huruf pada

kata

a. DATA

b. AGUSTUS

c. ADALAH

5. Ada berapa cara mengatur duduk 3 orang Amerika, 4 orang Perancis, 4

orang Denmark dan 2 orang Italia pada suatu meja bundar sedemikian

sehingga mereka yang satu kebangsaan duduk berdampingan

6. Dari 10 orang yang mendaftar karyawan disuatu perusahaan, hanya akan

diterima 6 orang sebagai karyawan. Tentukan banyak cara untuk memilih

keenam orang itu.

7. Tentukan nilai 𝑛2 − 1 jika 4! 𝐶𝑛 𝑘 = 5𝑛 𝑃3

8. Hitunglah nilai n yang memenuhi setiap persamaan kombinasi berikut 𝐶4𝑛 =

𝑛2 − 2𝑛

9. Diketahui himpunan 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}. hitunglah banyak himpunan bagian

dari A yang beranggotakan:

a. 3 unsur

bLebih atau sama dengan 4 unsur

c.Paling banyak 3 unsur

10. Sebuah organisasi beranggotakan 25 orang, diantaranya berprofesi sebagai

dokter. Dalam berapa carakah sebuah panitia dapat dipilih yang

beranggotakan 3 orang termasuk sekurang-kurangnya 1 dokter.

11. 1. Frekuensi harapan muncul mata dadu 6 pada 12 kali pelemparan sebuah

dadu adalah….?

12. 2. pada pelemparan dua buah dadu bersama –sama satu kali, maka peluang

muncul jumlah mata dadu 6 atau 12 adalah ….?

13. 3. Sebuah vas bunga A berisi 5 tangkai mawar merah dan 3 tangkai mawar

putih . dari masing-masing vas diambil 2 tangkai,peluang yang terambil

mawar merah dari vas A dan mawar putih dari vas B adalah …………..?

14. 4.suatu kelas terdiri dari 40 siswa .25 siswa gemar matematika 21 siswa

genar ipa dan 9 siswa gemar matematika dan ipa ,peluang seorang tidak

gemar matematika maupun ipa adalah….?

15. 5.tiga mata uang logam ,dilempar sekali secara bersamaan berapa peluang

yang muncul paling sedikit 1 gambar….?