Permutasi dan Permutasi dan KombinasiKombinasiMatematika Diskrit

Pengantar Permutasi -Pengantar Permutasi -Faktorial Faktorial Misalkan n adalah bilangan bulat

positif. Besaran n faktorial (n!) didefinisikan sebagai hasil kali semua bilangan bulat antara n hingga 1. Untuk n = 0 atau dengan kata lain 0! didefinisikan =1.

n! = n.(n-1)(n-2)... 10! = 1.

Pengantar Permutasi -Pengantar Permutasi -Faktorial Faktorial Contoh:Tuliskan 10 faktorial pertama :

Penyelesaian: 0! = 11! = 12! = 2.1 = 23! = 3.2.1= 64! = 4.3.2.1 = 24Dst.....

Pengantar Permutasi -Pengantar Permutasi -Faktorial Faktorial Latihan Soal

1.

2.

PermutasiPermutasi Permutasi adalah penyusunan

kembali suatu kumpulan objek dalam

urutan yang berbeda dari urutan yang

semula.

Urutan diperhatikan

Perulangan tidak diperbolehkan

PermutasiPermutasi Misalkan Masalah penyusunan kepanitiaan yang

terdiri dari Ketua, Sekretaris dan Bendahara dimana

urutan dipertimbangkan merupakan salah satu

contoh permutasi. Jika terdapat 3 orang (misalnya

Amir, Budi dan Cindy) yang akan dipilih untuk

menduduki posisi tersebut, maka dengan

menggunakan Prinsip Perkalian kita dapat

menentukan banyaknya susunan panitia yang

mungkin, yaitu:

PermutasiPermutasi Pertama menentukan Ketua, yang dapat

dilakukan dalam 3 cara.

Begitu Ketua ditentukan, Sekretaris dapat ditentukan dalam 2 cara.

Setelah Ketua dan Sekretaris ditentukan, Bendahara dapat ditentukan dalam 1 cara.

Sehingga banyaknya susunan panitia yang mungkin adalah 3.2.1 = 6.

PermutasiPermutasi Secara formal, permutasi dapat

didenisikan sebagai berikut.

Denisi 3.1

Permutasi dari n unsur yang berbeda

x1,x2, .. ,xn adalah pengurutan dari n

unsur tersebut.

PermutasiPermutasi Contoh 3.1

Tentukan permutasi dari 3 huruf yang

berbeda, misalnya ABC !

Penyelesaian

Permutasi dari huruf ABC adalah

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

Sehingga terdapat 6 permutasi dari huruf

ABC.

PermutasiPermutasi Teorema 3.1

Terdapat n! permutasi dari n unsur yang

berbeda.

PermutasiPermutasi Contoh 3.2

Gunakan Teorema 3.1 untuk mencari berapa

banyak permutasi dari huruf ABC ?

Penyelesaian

Terdapat 3 unsur dari huruf ABC, jadi

banyaknya permutasinya adalah 3!, atau

Terdapat 3.2.1 = 6 permutasi dari huruf ABC.

PermutasiPermutasi Contoh 3.3

Berapa banyak permutasi dari huruf

ABCDEF jika huruf ABC harus selalu

muncul bersama?

PermutasiPermutasi Penyelesaian :

Karena huruf ABC harus selalu muncul

bersama, maka huruf ABC bisa dinyatakan

sebagai satu unsur. Dengan demikian

terdapat 4 unsur yang dipermutasikan,

sehingga banyaknya permutasi adalah

4.3.2.1 = 24

1. Misalkan dalam kelas matematika

diskrit ada 20 mhs. Akan di pilih

seorang yang akan menjadi ketua

kelas dan seorang bendahara. Ada

berapa banyak cara untuk memilih

ketua dan bendahara??

PermutasiPermutasi

Soal latihan :

2. Berapa banyak kata yang dapat

terbentuk dari kata “BOSAN” ???

PermutasiPermutasi

Soal latihan :

3. Berapakah jumlah kemungkinan

membentuk 3 angka dari 5 angka berikut

: 1, 2, 3, 4, 5, jika:

a.Tidak boleh ada pengulangan angka;

b.Boleh ada pengulangan angka.

PermutasiPermutasi

Soal latihan :

4. Terdapat 5 buku kimia, 4 buku fisika dan

2 buku matematika yang masing-masing

buku berbeda satu sama lain. Berapa

banyak cara untuk menyusun buku – buku

tersebut ke dalam sebuah rak jika setiap

buku dikelompokan sesuai dengan

jenisnya ? ?

PermutasiPermutasi

PermutasiPermutasi Definisi 3.2

Permutasi-r dari n objek adalah jumlah

kemungkinan urutan r buah objek yang

dipilih dari n buah objek, dengan r ≤ n, yang

dalam hal ini, pada setiap kemungkinan

urutan tidak ada objek yang sama. Dan

dapat di notasikan dengan P(n,r).

Teorema 3.2

Banyaknya permutasi-r dari n unsur yang

berbeda adalah

PermutasiPermutasi

Atau dengan kata lain, secara umum permutasi r objek dari n buah objek dapat di hitung dengan persamaan berikut :

Jika r = n, maka persamaan menjadi

PermutasiPermutasi

PermutasiPermutasi Contoh 3.4

Tentukan permutasi-3 dari 5 huruf

yang berbeda, misalnya ABCDE.

Contoh 3.5

Gunakan Teorema 3.2 untuk

menentukan permutasi-3 dari 5

huruf yang berbeda, misalnya

ABCDE.

PermutasiPermutasi

Penyelesaian Karena r = 3 dan n = 5 maka permutasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah

Jadi banyaknya permutasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah 60.

PermutasiPermutasi

1. Sebuah undian dilakukan

menggunakan angka yang terdiri

dari 7 digit. Jika digit – digit dalam

suatu angka diharuskan berbeda

satu dengan yang lain, ada berapa

kemungkinan nomor undian???

PermutasiPermutasi

2. Berapa banyak jumlah urutan

berbeda yang dihasilkan jika

memasukan 6 buah bola yang

berbeda kedalam 3 buah kotak, dan

masing – masing kotak hanya boleh

diisi 1 buah bola???

PermutasiPermutasi

3. Berapa banyak String yang dapat

dibentuk yang terdiri dari 4 huruf

berbeda dan diikuti dengan 3 angka

yang berbeda pula ??

PermutasiPermutasi

4. Tentukan banyaknya susunan 3

huruf berbeda yang dapat diperoleh

dari kata SMART???

PermutasiPermutasi

5. Berapa banyak permutasi dari

cara duduk yang dapat terjadi jika 8

orang disediakan 4 buah kursi,

sedangkan satu orang di antaranya

selalu duduk d kursi tertentu ??

PermutasiPermutasi

6. Misalkan X={a, b, c, d}

a. Hitunglah Permutasi dari X

b. Hitunglah Permutasi-3 dari X

PermutasiPermutasi