PERAMALAN KURS RUPIAH TERHADAP DOLAR

DENGAN METODE BERBASIS RATA-RATA

FUZZY TIME SERIES MARKOV CHAIN

FUJI KURNIA NINGSIH

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2016

PERNYATAAN MENGENAI DISERTASI DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Peramalan Kurs Rupiah

terhadap Dolar dengan Metode Berbasis Rata-rata Fuzzy Time Series Markov Chain

adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum

diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber

informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak

diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam

Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut

Pertanian Bogor.

Bogor, Oktober 2016

Fuji Kurnia Ningsih

NIM G54120065

ABSTRAK

FUJI KURNIA NINGSIH. Peramalan Kurs Rupiah terhadap Dolar dengan Metode

Berbasis Rata-rata Fuzzy Time Series Markov Chain. Dibimbing oleh ENDAR

HASAFAH NUGRAHANI dan HADI SUMARNO.

Kurs atau nilai tukar mata uang sangat penting dalam perekonomian. Oleh

karena itu, perlu dilakukan upaya untuk memprediksi besarnya nilai kurs di periode

berikutnya. Pada karya ilmiah ini, metode peramalan yang yang digunakan adalah

metode fuzzy time series Markov chain yang dikombinasikan dengan metode

berbasis rata-rata untuk penentuan jumlah interval yang efektif. Tujuan dari karya

ilmiah ini adalah meramalkan nilai kurs rupiah terhadap dolar Amerika

menggunakan metode berbasis rata-rata fuzzy time series Markov chain, serta

menghitung tingkat kesalahan peramalan menggunakan ukuran kesalahan mean

absolute percentage error. Dalam metode ini data kurs rupiah terhadap dolar

Amerika diubah menjadi himpunan fuzzy sehingga diperoleh fuzzy logical

relationship group. Hasil prediksi menunjukkan bahwa nilai mean absolute

percentage error yang diperoleh dalam peramalan kurs periode Maret 2014-Maret

2016 hanya sebesar 0.71%, yang berarti hasil prediksi dianggap cukup baik.

Kata kunci: fuzzy time series Markov chain, nilai kurs, mean absolute percentage

error

ABSTRACT

FUJI KURNIA NINGSIH. Forecasting of Rupiah-Dollar Exchange Rate by using

Avarage Based Fuzzy Time Series Markov Chain Method. Supervised by ENDAR

HASAFAH NUGRAHANI and HADI SUMARNO.

The exchange rate between two currencies is very important for

economy. Therefore, it is necessary to predict the future exchange rate within

a minimal error. In this research the proposed forecast method is fuzzy time

series Markov chain which is combined with the average based method for

determining the number of effective intervals. The purpose of this study is to

predict the rupiah dollar exchange rate using the methods average based

fuzzy time series Markov chain. The level of forecast error is measured using

mean absolute percentage. In this work, initially, the data sets were converted

into fuzzy sets in order to obtain the fuzzy logical relationship groups. The

prediction result shows that mean absolute percentage error value obtained

within the forecast period of March 2014-March 2016 is 0.71%. The

percentage was found a good level prediction.

Keywords: fuzzy time series Markov chain, exchange rate, mean absolute

percentage error

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika

PERAMALAN KURS RUPIAH TERHADAP DOLAR

DENGAN METODE BERBASIS RATA-RATA

FUZZY TIME SERIES MARKOV CHAIN

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2016

FUJI KURNIA NINGSIH

Judul Skripsi: Perarnalan Kurs Rupiah terhadap Dolar dengan Metode Berbasis Rata-rata Fuzzy Time Series Markov Chain

Nama NIM

: Fuji Kurnia Ningsih : G54120065

Disetujui oleh

�� Dr Ir Endar Hasafah Nugrahani, MS

Pembimbing I

Tanggal Lulus: 0 6 OCT 2016

r Ir Hadi Sumarno, MS Pembimbing II

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas

segala rahmat dan karunia-Nya yang telah diberikan sehingga karya ilmiah ini dapat

diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini tidak lepas dari bantuan beberapa pihak,

oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada :

1. Keluarga tercinta Papah, Mamah, Adik dan keluarga besar yang selalu

memberikan kasih sayang, doa, dukungan, dan motivasi.

2. Dr Ir Endar H Nugrahani, MS selaku dosen pembimbing I yang telah

memberikan ilmu, bimbingan, motivasi, dan arahan baik selama

penulisan skripsi ini.

3. Dr Ir Hadi Sumarno, MS selaku dosen pembimbing II yang telah

memberikan ilmu, bimbingan, motivasi, dan arahan baik selama

penulisan skripsi ini.

4. Dr Ir Budi Suharjo, MS selaku penguji yang telah memberikan ilmu serta

saran dalam skripsi ini.

5. Muhammad Yusuf yang selalu memberi semangat dan senantiasa

menemani penulis dalam keluh kesah selama ini.

6. Para sahabat sejak SMA: Ririn, Mega, Shidiq, Syifa, Fira, dan Ayu yang

memberikan semangat serta motivasi untuk penulis.

7. Teman-teman Matematika Angkatan 49 yang selalu memberikan

keceriaan, dukungan, doa, dan segala bantuan yang telah diberikan.

8. Teman-teman tercinta sejak kuliah: Nala, Dara, Hesty, Ria, Lina, Rani,

Gia, Fariz yang selalu memberikan keceriaan, semangat, doa, dan

bantuannya selama ini.

9. Kakak-kakak Matematika Angkatan 48 serta adik-adik angkatan 50 dan

51 yang telah memberikan doa, semangat, dan dukungannya.

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan

khususnya Matematika dan menjadi inspirasi bagi peneliti-peneliti selanjutnya.

Bogor, Oktober 2016

Fuji Kurnia Ningsih

DAFTAR ISI

DAFTAR TABEL vi

DAFTAR GAMBAR vi

DAFTAR LAMPIRAN vi

PENDAHULUAN 1

Latar Belakang 1

Tujuan Penelitian 2

TINJAUAN PUSTAKA 2

Teori Peramalan 2

Fuzzy Time Series 3

Konsep Dasar Fuzzy Time Series 3

Rantai Markov (Markov Chain) 4

Fuzzy Time Series Markov Chain 4

Metode Berbasis Rata-Rata 5

Pengukuran Kesalahan Peramalan 5

METODE 6

HASIL DAN PEMBAHASAN 8

Analisis Proses Peramalan Fuzzy Time Series Markov Chain 9

SIMPULAN DAN SARAN 14

Simpulan 14

Saran 14

DAFTAR PUSTAKA 15

LAMPIRAN 16

RIWAYAT HIDUP 21

DAFTAR TABEL 1 Basis Interval 5 2 Data fuzzifikasi nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika 10 3 Fuzzy logical relationship 11 4 Fuzzy logical relationship group 11 5 Hasil peramalan data aktual 12 6 Hasil peramalan dan tingkat akurasi nilai tukar rupiah terhadap dolar

Amerika 14

DAFTAR GAMBAR

1 Plot nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika periode Maret 2014-

Maret 2016 9

2 Perbandingan data aktual dengan nilai peramalan 13

DAFTAR LAMPIRAN

1 Data aktual nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika bulan Maret

2014 sampai bulai Maret 2016 16 2 Partisi himpunanan semesta pembicaraan 16 3 Nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika dan hasil peramalan yang

telah disesuaikan 17 4 Persentase error setiap bulan mengunakan MAPE 18 5 Hubungan antar state pada proses transisi peramalan berdasarkan

FLRG 19

6 Matriks probabilitas R 20

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Peramalan merupakan upaya memperkirakan apa yang terjadi pada masa

mendatang berdasarkan data pada masa lalu, berbasis pada metode ilmiah dan

kualitatif yang dilakukan secara sistematis. Metode peramalan dibagi ke dalam dua

kategori utama, yaitu metode kualitatif dan metode kuantitatif. Berdasarkan metode

kualitatif, pendapat-pendapat para ahli akan menjadi pertimbangan dalam

pengambilan keputusan sebagai hasil dari peramalan yang telah dilakukan,

sedangkan metode peramalan yang digunakan secara kuantitatif yaitu metode

peramalan melalui analisis suatu variabel yang akan diperkirakan dengan variabel

waktu atau hubungan data deret waktu. Berdasarkan hal tersebut metode kuantitatif

lebih efektif dibandingkan dengan metode kualitatif karena menggunakan data pada

masa lalu (Makridakis et al. 1999).

Kurs adalah perbandingan nilai tukar mata uang suatu negara dengan mata

uang negara asing atau perbandingan nilai tukar valuta antarnegara. Kurs mata uang

juga merupakan salah satu variabel ekonomi makro yang sangat penting, karena

kurs dapat menjaga stabilitas ekonomi di suatu kawasan.

Kegiatan tukar menukar valuta asing (foreign exchange), atau disingkat

dengan forex, sering dilakukan oleh semua orang di dunia, seperti bepergian ke

negara lain, pelaku bisnis dan masyarakat umum yang memperjualbelikan dolar

untuk memperoleh keuntungan besar. Contoh lain akibat dari kegiatan ekspor

impor, kebutuhan pasar serta institusi bank, pasti melakukan kegiatan tukar-

menukar mata uang. Informasi seperti ini sangat membantu para pelaku bisnis

untuk mengambil keputusan dalam berinvestasi dan memperjualbelikan uangnya

guna untuk memperoleh keuntungan yang sangat besar. Kebutuhan informasi

seperti ini menjadikan peramalan (forecasting) sebagai salah satu cara yang bisa

membantu para pelaku bisnis dalam mengambil keputusan yang lebih bijak untuk

memperjualbelikan dolar mereka.

Menurut Song & Chissom (1993), sistem peramalan dengan metode fuzzy

time series dilakukan dengan cara menangkap pola dari data sebelumnya kemudian

data tersebut digunakan untuk memproyeksikan nilai yang akan datang. Dalam

perhitungan peramalan menggunakan fuzzy time series, untuk penentuan panjang

interval yang efektif dimodifikasi dengan metode berbasis rata-rata yang ditentukan

di awal proses perhitungan. Penentuan panjang interval sangat berpengaruh dalam

pembentukan fuzzy relationship yang tentunya akan memberikan dampak

perbedaan hasil perhitungan peramalan. Oleh karena itu, pembentukan fuzzy

relationship haruslah tepat dan hal ini mengharuskan penentuan panjang interval

yang sesuai.

Penelitian terbaru dilakukan oleh Gamalita et al. (2014) dengan judul

penelitian “Analisis dan Perancangan Aplikasi Web Prediksi Indeks Harga Saham

Gabungan Menggunakan Fuzzy Time Series Markov Chain Model” menyatakan

bahwa akurasi dari metode fuzzy time series Markov chain cukup baik dan

mempunyai akurasi yang lebih baik dibandingkan dengan metode fuzzy time series

yang diperkenalkan oleh Song & Chissom. Akurasi berbanding lurus dengan data

2

interval range yang digunakan, jika data interval range yang kecil, akan

memperkecil penyimpangan nilai prediksi yang dihasilkan (Gamalita et al, 2014).

Dalam penelitian ini, penulis mencoba melakukan kajian pengembangan

metode berbasis rata-rata fuzzy time series Markov chain digunakan untuk

meramalkan nilai tukar rupiah terhadap dolar. Nilai tukar rupiah terhadap dolar

dipilih karena dolar merupakan mata uang yang dominan terutama untuk negara

berkembang seperti Indonesia. Fluktuasi data nilai tukar rupiah terhadap dolar

dapat dikurangi dengan memanfaatkan kelebihan dari relasi logika fuzzy yaitu

mengelompokkan data yang dikumpulkan berdasarkan waktu serta

menggabungkan kelebihan dari rantai Markov sehingga diperoleh peramalan

dengan akurasi yang lebih baik.

Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah meramalkan nilai kurs rupiah terhadap dolar

Amerika di masa yang akan datang menggunakan metode berbasis rata-rata fuzzy

time series Markov chain, serta menguji tingkat kesalahan peramalan menggunakan

ukuran kesalahan mean absolute percentage error (MAPE).

TINJAUAN PUSTAKA

Teori Peramalan

Dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI) pengertian peramalan adalah

kegiatan untuk menduga hal yang akan terjadi. Beberapa definisi lainnya tentang

peramalan, yaitu:

a. Peramalan diartikan sebagai penggunaan teknik-teknik statistik dalam

bentuk gambaran masa depan berdasarkan pengolahan angka-angka data

historis (Buffa & Sarin 1996)

b. Peramalan merupakan bagian internal dari kegiatan pengambilan

keputusan manajemen (Makridakis et al. 1999)

c. Peramalan adalah prediksi, rencana atau situasi kejadian masa depan yang

tidak pasti.

Metode peramalan merupakan cara memperkirakan apa yang akan terjadi

pada masa depan secara sistematis dan pragmatis atas dasar data yang relevan pada

masa yang lalu, sehingga dengan demikian metode peramalan diharapkan dapat

memberikan objektivitas yang lebih besar. Selain iu metode peramalan dapat

memberikan cara pegerjaan yang teratur dan terarah, dengan demikian dapat

dimungkinkannya penggunaan teknik analisa yang lebih maju. Dengan penggunaan

teknik-teknik tersebut maka diharapkan dapat memberikan tingkat kepercayaan dan

keyakinan yang lebih besar karena dapat diuji kesalahan atau deviasi yang terjadi

secara ilmiah.

3

Fuzzy Time Series

Teori himpunan fuzzy Zadeh digunakan untuk mengembangkan model time

variant dan time invariant peramalan fuzzy time series dengan menerapkan pada

masalah peramalan pendaftaran mahasiswa baru dengan data berkala pada

Universitas Alabama (Song & Chissom 1993). Beberapa penelitian dan

pengembangan metode ini yaitu peramalan dengan metode fuzzy time series pada

pendaftaran mahasiswa baru Universitas Alabama menggunakan operasi aritmetika

sederhana (Chen 1996). Model second order fuzzy time series untuk meramal

pendaftaran mahasiswa di Universitas Alabama (Tsai & Wu 1999). Menggunakan

model high order fuzzy time series untuk mengatasi kelemahan model first order

fuzzy time series dengan mengimplementasikan pada peramalan pendaftaran

mahasiswa pada Universitas Alabama (Chen 2002), model 2 faktor high-order fuzzy

logical relationship untuk meningkatkan akurasi peramalan (Lee et al. 2003)

selanjutnya dikembangkanlah model fuzzy time series Markov chain yang

digunakan untuk meramalkan nilai tukar mata uang Negara Taiwan terhadap dolar

Amerika. Model tersebut memanfaatkan kelebihan dari fuzzy logical relationship

(FLR) dan menggabungkan kelebihan dari proses rantai Markov (Markov chain)

sehingga diperoleh peramalan dengan akurasi lebih baik (Tsaur 2012).

Konsep Dasar Fuzzy Time Series

Berbagai definisi peramalan fuzzy time series diringkas sebagai berikut:

Definisi 1. Himpunan fuzzy merupakan objek kelas-kelas dengan rangkaian

kesatuan nilai keanggotaan. Misalkan 𝑈 adalah universe of discourse, 𝑈 = {𝑢1, 𝑢2, …, 𝑢𝑛}, di mana 𝑢𝑖 merupakan nilai linguistik yang mungkin dari 𝑈 kemudian

sebuah himpunan fuzzy variabel linguistik 𝐴𝑖 dari 𝑈 didefinisikan dengan sebagai

berikut:

𝐴𝑖 =𝜇𝐴𝑖(𝑢1)

𝑢1+

𝜇𝐴𝑖(𝑢2)

𝑢2+ … +

𝜇𝐴𝑖(𝑢𝑛)

𝑢𝑛,

di mana 𝜇𝐴𝑖 merupakan fungsi keanggotaan himpunan fuzzy 𝐴𝑖 sehingga 𝜇𝐴𝑖 ∶𝑈 → [0,1]. Jika 𝑢𝑗 keanggotaan dari 𝐴𝑖 maka 𝜇𝐴𝑖 adalah derajat yang dimiliki 𝑢𝑗

terhadap 𝐴𝑖 (Singh 2007).

Definisi 2. Misalkan 𝑌(𝑡)(𝑡 = …, 0, 1, 2, …) subset 𝑅1 , menjadi universe

discourse dengan himpunan fuzzy 𝑓𝑖(𝑡)(𝑖 = 1, 2, …) didefinisikan dan 𝐹(𝑡)

adalah kumpulan dari 𝑓1(𝑡), 𝑓2(𝑡), …, maka 𝐹(𝑡) disebut fuzzy time series

didefinisikan pada 𝑌(𝑡)(𝑡 = …, 0, 1, 2, …). Dari definisi tersebut 𝐹(𝑡) dapat

dipahami sebagai variabel linguistik 𝑓𝑖(𝑡)(𝑖 = 1, 2, …) dari nilai kemungkinan

linguistik 𝐹(𝑡). Karena pada waktu yang berbeda, nilai 𝐹(𝑡) dapat berbeda, 𝐹(𝑡)

sebagai himpunan fuzzy adalah fungsi dari waktu 𝑡 dan universe discourse berbeda

di tiap waktu maka digunakan 𝑌(𝑡) untuk waktu 𝑡 (Song & Chissom 1993).

Definisi 3. Misalkan 𝐹(𝑡) dihasilkan oleh 𝐹(𝑡 − 1), 𝐹(𝑡 − 2), …, dan 𝐹(𝑡 −𝑚), 𝑚 > 0 secara simultan dan relasi adalah time variant maka 𝐹(𝑡) disebut

menjadi time variant fuzzy time series dan relasi dapat diekspresikan dengan rumus:

𝐹(𝑡) = 𝐹(𝑡 − 1) ∘ 𝑅𝑤(𝑡, 𝑡 − 1), di mana 𝑊 > 1 merupakan parameter waktu (bulan atau tahun) yang

mempengaruhi ramalan 𝐹(𝑡) (Singh 2007).

4

Rantai Markov (Markov Chain)

Rantai Markov pertama kali dikembangkan oleh ahli Rusia yang bernama

A.A. Markov pada tahun 1906. Secara konseptual rantai Markov dapat

diilustrasikan dengan menganggap {𝑋𝑛, 𝑛 = 0, 1, 2, …} sebagai suatu proses

stokastik berhingga atau nilai peluangnya yang dapat dihitung. Himpunan nilai

peluang dari proses ini dinotasikan dengan himpunan integer positif {0, 1, 2, …}. Jika 𝑋𝑛 = 𝑖, maka proses ini terjadi di 𝑖 pada saat 𝑛. Dengan menganggap

bahwa kapanpun proses ini terjadi di state 𝑖, terdapat sebuah nilai probabilitas 𝑃𝑖𝑗

yang akan berpindah ke state 𝑗 . Dapat dituliskan: 𝑃{𝑋𝑛+1 = 𝑗 | 𝑋𝑛 = 𝑖, 𝑋𝑛−1 =𝑖𝑛−1, …, 𝑋1 = 𝑖1, 𝑋0 = 𝑖0} = 𝑃𝑖𝑗 untuk semua state 𝑖0, 𝑖1, …, 𝑖𝑛−1, 𝑖, 𝑗, 𝑛 ≥ 0.

Proses yang seperti itu disebut rantai Markov.

Persamaan tersebut diinterpretasikan dalam rantai Markov sebagai distribusi

bersyarat dari state yang akan datang 𝑋𝑛+1 yang diperoleh dari state sebelumnya

𝑋0, 𝑋1, …, 𝑋𝑛−1 dan state yang sekarang 𝑋𝑛, dan tidak bergantung pada state

yang sekarang.

Nilai 𝑃𝑖𝑗 mewakili peluang proses transisi dari 𝑖 ke 𝑗. Karena nilai peluang

selalu positif dan proses transisi berpindah, maka: 𝑃𝑖𝑗 ≥ 0, 𝑖, 𝑗 ≥ 0, jumlah 𝑃𝑖𝑗 =

1, 𝑗 = 1, …, ∞, 𝑖 = 0, 1, … Misal 𝑃 merupakan matriks peluang transisi

𝑃𝑖𝑗, maka dapat dinotasikan sebagai berikut (Ross 2010):

P = (

𝑃00 𝑃01

𝑃10 𝑃11

⋯ 𝑃0n

⋯ 𝑃1n

⋮ ⋮𝑃n0 𝑃n1

⋱ ⋯⋯ 𝑃nn

).

Fuzzy Time Series Markov Chain

Tsaur (2012) memperkenalkan model fuzzy time series Markov chain yang

merupakan model hibrida fuzzy time series dengan proses stokastik rantai Markov.

Dalam model fuzzy time series Markov chain, matriks peluang transisi digunakan

sebagai dasar perhitungan peramalan. Peluang dari suatu state menuju state

berikutnya diperoleh dari grup relasi logika fuzzy (GRLF). Peluang transisi state

dituliskan sebagai berikut:

𝑃𝑖𝑗= 𝑀𝑖𝑗

𝑀𝑖, 𝑖, 𝑗 = 1, 2, …, 𝑛,

(1)

dengan 𝑃𝑖𝑗 adalah peluang transisi satu langkah dari state 𝐴𝑖 ke 𝐴𝑗 , 𝑀𝑖𝑗 adalah

jumlah transisi satu langkah dari state 𝐴𝑖 ke 𝐴𝑗 dan 𝑀𝑖 adalah jumlah transisi yang

termasuk dalam state 𝐴𝑖 . Sehingga matriks peluang transisi dari seluruh state

berdimensi 𝑛 × 𝑛, dengan 𝑛 merupakan banyaknya himpunan fuzzy. Matriks

peluang transisi P dapat dituliskan dengan

5

P = (

𝑃11 𝑃12

𝑃21 𝑃22

⋯ 𝑃1n

⋯ 𝑃2n

⋮ ⋮𝑃n1 𝑃n2

⋱ ⋯⋯ 𝑃nn

)

Matriks P merefleksikan transisi dari seluruh sistem. Jika 𝐹(𝑡 − 1) = 𝐴𝑖

maka proses akan didefinisikan pada state 𝐴𝑖 pada waktu (𝑡 − 1) sehingga hasil

peramalan �̂�(𝑡) dihitung dengan menggunakan baris [𝑃𝑖1, 𝑃𝑖2, …, 𝑃𝑖𝑛 ] pada

matriks P. Menurut Ross (2010) jika 𝑃𝑖𝑗> 0, maka state 𝐴𝑗 dikatakan accessible

dari state 𝐴𝑖 . Jika state 𝐴𝑖 dan 𝐴𝑗 saling accessible satu sama lain maka 𝐴𝑖

dikatakan communicate dengan 𝐴𝑗.

Metode Berbasis Rata-Rata

Dalam perhitungan peramalan menggunakan metode fuzzy time series,

panjang interval ditentukan pada awal proses perhitungan. Penentuan panjang

interval tersebut sangat berpengaruh dalam pembentukan relasi logika fuzzy yang

juga memberikan dampak terhadap hasil perhitungan peramalan. Dalam penelitian

ini, penentuan panjang interval dilakukan dengan metode berbasis rata-rata

(average-based), yaitu sebuah metode yang diperkenalkan oleh Huarng (2001)

untuk menentukan panjang interval yang efektif. Berikut merupakan algoritme

metode berbasis rata-rata.

1. Menghitung nilai mutlak selisih antara 𝑌(𝑡 + 1) dan 𝑌(𝑡), 𝑡 =1, …, 𝑛 − 1 sehingga diperoleh rata-rata nilai mutlak selisih,

2. Menentukan setengah dari rata-rata yang diperoleh dari langkah pertama

untuk kemudian dijadikan sebagai panjang interval (𝑙),

3. Menentukan basis dari panjang interval sesuai dengan Tabel 1,

4. Panjang interval kemudian dibulatkan sesuai dengan basis yang diperoleh

dari langkah ketiga.

Tabel 1 Basis Interval

Interval Basis

0.1 − 1.0 0.1

1.1 − 10 1

11 − 100 10

101 − 1000 100

Pengukuran Kesalahan Peramalan

Kesalahan peramalan merupakan ukuran seberapa baik kinerja suatu model

peramalan yang digunakan dengan membandingkan nilai hasil peramalan dari

model tersebut dengan data historis. Terdapat berbagai macam ukuran kesalahan

yang dapat diklasifikasikan menjadi ukuran standar dalam statistik dan ukuran

relatif. Ukuran kesalahan yang termasuk ukuran relaif adalah nilai rata-rata

kesalahan persentase (Mean Percentage Error) dan nilai rata-rata kesalahan

persentase absolut (Mean Absolute Percentage Error) (Makridakis et al. 1999).

6

Dalam penelitian ini pengukuran kesalahan peramalan menggunakan MAPE (Mean

Absolute Percentage Error), yaitu :

𝑀𝐴𝑃𝐸 = ∑|𝑃𝐸𝑖|

𝑛,

𝑛

𝑖=1

dengan

𝑃𝐸𝑖 = (𝑌𝑡 − �̂�𝑎𝑑𝑗

𝑌𝑡) × 100

serta

𝑌𝑡 ∶ data aktual pada periode ke-𝑡,

�̂�𝑎𝑑𝑗 ∶ data hasil ramalan dengan metode fuzzy time series Markov chain

pada periode ke-𝑡,

𝑛 : banyaknya periode waktu.

MAPE (Mean Absolute Percentage Error) merupakan rata-rata dari

keseluruhan persentase kesalahan antara data aktual dengan data data hasil

peramalan. Suatu dikatakan layak jika nilai MAPE berada di bawah 10% dan 20%.

METODE

Penelitian ini merupakan kajian metode fuzzy time series yang dimodifikasi

dengan metode berbasis rata-rata diinduksikan dengan Markov chain serta pada

fuzzy logic relation group (FLRG). Metode kemudian diujikan pada data nilai tukar

rupiah terhadap dolar Amerika pada bulan Maret 2014 sampai bulan Maret 2016

yang diperoleh dari website Bank Indonesia. Hasil dari pengujian peramalan

kemudian divalidasi dalam bentuk nilai MAPE.

Berikut ini adalah algoritma metode berbasis rata-rata fuzzy time series

Markov chain yang dikembangkan oleh Tsaur (2012), untuk peramalan nilai tukar

rupiah terhadap dolar Amerika:

Himpunan semesta

Menentukan semesta pembicaraan U umtuk data historis. Semesta

pembicaraan U dapat didefinisikan sebagai [𝐷𝑚𝑖𝑛 − 𝐷1, 𝐷𝑚𝑎𝑥+𝐷2] dengan

𝐷𝑚𝑖𝑛 dan 𝐷𝑚𝑎𝑥 secara berturut-turut adalah data terkecil dan data terbesar

dari semesta pembicaraan, sedangkan 𝐷1 dan 𝐷2 adalah bilangan random

yang bernilai positif.

Mempartisi semesta pembicaraan U menjadi beberapa interval dengan

panjang yang sama menggunakan metode berbasis rata-rata.

Menentukan jumlah interval fuzzy dengan rumus berikut:

𝑝 = [(𝐷𝑚𝑎𝑥 + 𝐷2) − (𝐷𝑚𝑖𝑛 − 𝐷1]

𝑙,

((2)

di mana 𝑝 adalah jumlah interval dan 𝑙 adalah pembulatan nilai basis interval

Proses fuzzifikasi

7

Mendefinisikan himpunan fuzzy dari semesta pembicaraan U berdasarkan

interval partisi yang telah ditentukan.Berikut himpunan fuzzy didefinisikan

𝐴1 = 1/𝑢1 + 0.5/𝑢2 + 0/𝑢3 + 0/𝑢4 + … + 0/𝑢𝑖

𝐴2 = 0.5/𝑢1 + 1/𝑢2 + 0.5/𝑢3 + 0/𝑢4 + … + 0/𝑢𝑖

⋮

𝐴𝑖 = 0/𝑢1 + 0/𝑢2 + 0/𝑢3 + 0/𝑢4 + … + 0.5/𝑢𝑖−1 + 1/𝑢𝑖 ,

(3)

di mana 0 atau 1 adalah derajat keanggotaan himpunan 𝑢𝑖 pada himpunan fuzzy 𝐴𝑖

, dan apabila derajat keanggotaan maksimum suatu data berada dalam himpunan

fuzzy 𝐴𝑖, maka nilai linguistik atau hasil fuzzifikasi data tersebut adalah 𝐴𝑖.

Fuzzifikasi data historis, yaitu mengubah data numerik menjadi himpunan

fuzzy yang sesuai.

Menentukan fuzzy logical relationship (FLR), tahap ini menentukan relasi

logika fuzzy yaitu 𝐴𝑗 → 𝐴𝑖. Dimana 𝐴𝑗 merupakan current state dan 𝐴𝑖 next

state.

Menentukan fuzzy logical relationship group (FLRG), yaitu

mengelompokkan dari hasil fuzzy logical relationships (FLR). Contoh, jika

terdapat relasi logika fuzzy berbentuk 𝐴1 ⟶ 𝐴2, 𝐴1 → 𝐴1, 𝐴1 → 𝐴3, 𝐴1 →𝐴1, maka relasi logika fuzzy dikelompokkan menjadi FLRG 𝐴1 → 𝐴1, 𝐴1,

𝐴2, 𝐴3.

Defuzzifikasi

Proses defuzzifikasi dari metode fuzzy time series Markov chain dilakukan

berdasarkan pada aturan Tsaur (2012), dengan langkah-langkah sebagai berikut:

Menentukan hasil peramalan �̂�(𝑡)melalui matriks probabilitas transisi P yang

didapatkan dari FLRG, dengan aturan berikut.

a. Jika tidak terdapat FLRG dari 𝐴𝑖 (misal 𝐴𝑖 → ⋕), maka nilai peramalan �̂�(𝑡) = 𝑚𝑖, dengan 𝑚𝑖 nilai tengah dari 𝑢𝑖.

b. Jika FLRG 𝐴𝑖 adalah relasi one the one, selanjutnya disebut 1 − 1 (misal

𝐴𝑖 → 𝐴𝑘, dengan 𝑃𝑖𝑘 = 1 dan 𝑃𝑖𝑗 = 0, 𝑗 ≠ 𝑘 ) maka nilai peramalan

�̂�(𝑡) = 𝑚𝑘𝑃𝑖𝑘 = 𝑚𝑘, dengan 𝑚𝑘 nilai tengah dari 𝑢𝑘.

c. Jika FLRG 𝐴𝑖 adalah relasi one to many (misal 𝐴𝑗 → 𝐴1, 𝐴2, …, 𝐴𝑛,

𝑗 = 1, 2, …, n), dengan data yang diambil 𝑌(𝑡 − 1) pada waktu (𝑡 − 1) pada state 𝐴𝑗, maka nilai peramalan �̂�(𝑡) = 𝑚1𝑃𝑗1 + … +

𝑚(𝑗−1)𝑃𝑗(𝑗−1) + 𝑌(𝑡 − 1)𝑃𝑗𝑗 + 𝑚(𝑗+1)𝑃𝑗(𝑗+1) + … + 𝑚𝑛𝑃𝑗𝑛 dengan

𝑚1, …, 𝑚𝑗−1, 𝑚𝑗+1, …, 𝑚𝑛 adalah nilai tengah 𝑢1, …, 𝑢𝑗−1, 𝑢𝑗+1, …,

𝑢𝑛 dan 𝑚𝑗 disubstitusi oleh 𝑌(𝑡 − 1) untuk mendapatkan data akual dari

state 𝐴𝑗 pada waktu (𝑡 − 1) .

Menyesuaikan kecenderungan nilai peramalan (selanjutnya disebut adjusted

value 𝐷(𝑡)), dengan aturan berikut.

a. Aturan 1 : Jika state 𝐴𝑖 communicate dengan 𝐴𝑖 dan melakukan transisi

ke 𝐴𝑗 pada waktu 𝑡, (𝑖 < 𝑗), maka 𝐷(𝑡1) = 𝑙 2⁄ .

b. Aturan 2 : Jika state 𝐴𝑖 communicate dengan 𝐴𝑖 dan melakukan transisi

ke 𝐴𝑗 pada waktu 𝑡, (𝑖 > 𝑗), maka 𝐷(𝑡1) = − 𝑙2⁄ .

8

c. Aturan 3 : Jika state 𝐴𝑖 melakukan transisi lompatan maju ke 𝐴𝑖+𝑠 pada

waktu 𝑡, (1 ≤ 𝑠 ≤ 𝑛 − 𝑖) , maka 𝐷(𝑡2) = 𝑙 2⁄ 𝑠, dengan 𝑠 adalah jumlah

lompatan ke depan.

d. Aturan 4 : Jika state 𝐴𝑖 melakukan transisi lompatan mundur ke 𝐴𝑖−𝑣

pada waktu 𝑡, ( 1 ≤ 𝑣 ≤ 𝑖) , maka 𝐷(𝑡2) = − 𝑙2⁄ 𝑣, dengan 𝑣 adalah

jumlah lompatan ke belakang.

Menentukan hasil peramalan �̂�𝑎𝑑𝑗(𝑡) , dengan aturan berikut.

a. Jika FLRG 𝐴𝑖 adalah one to many dan state 𝐴𝑖+1 accessible dari 𝐴𝑖

dengan state 𝐴𝑖 communicate dengan 𝐴𝑖 maka �̂�𝑎𝑑𝑗(𝑡) = �̂�(𝑡) +

𝐷(𝑡1) + 𝐷(𝑡2) .

b. Jika FLRG 𝐴𝑖 adalah one to many dan state 𝐴𝑖+1 accessible dari 𝐴𝑖 tetapi

state 𝐴𝑖 tidak communicate dengan 𝐴𝑖 maka �̂�𝑎𝑑𝑗(𝑡) = �̂�(𝑡) + 𝐷(𝑡2) .

c. Jika FLRG 𝐴𝑖 adalah one to many dan state 𝐴𝑖−2 accessible dari 𝐴𝑖 tetapi

state 𝐴𝑖 tidak communicate dengan 𝐴𝑖 maka �̂�𝑎𝑑𝑗(𝑡) = �̂�(𝑡) − 2𝐷(𝑡2) .

d. Jika 𝑣 adalah jump step, maka rumus umum dari �̂�𝑎𝑑𝑗(𝑡) adalah

�̂�𝑎𝑑𝑗(𝑡) = �̂�(𝑡) ± 𝐷(𝑡1) ± 𝐷(𝑡2) .

Menghitung akurasi hasil peramalan nilai tukar rupiah terhadap dolar

Amerika dengan melihat nilai MAPE.

Menentukan nilai peramalan untuk data nilai tukar rupiah terhadap dolar

Amerika pada bulan April 2016.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Proses peramalan dengan menggunakan metode fuzzy time series Markov

chain yang dikembangkan oleh Tsaur (2012) menggunakan data nilai tukar rupiah

terhadap dolar Amerika diperoleh dari website Bank Indonesia yaitu

http://www.bi.go.id dengan periode bulanan. Terdapat 25 observasi yang diambil

dari bulan Maret 2014 sampai bulan Maret 2016 dapat dilihat pada Lampiran 1.

Trend data nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika bulan Maret 2014 sampai

bulan Maret 2016 dapat dilihat pada Gambar 1.

9

Gambar 1 Plot nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika periode Maret 2014-

Maret 2016

Berdasrkan Gambar 1 terlihat bahwa data nilai tukar rupiah terhadap dolar

Amerika pada periode ke-1 yaitu bulan Maret 2014 sampai periode ke-19 yaitu

bulan September 2015 cenderung meningkat, dan kenaikan tertinggi terjadi pada

bulan September 2015. Pada bulan Oktober 2015 sampai Maret 2016 data nilai

tukar rupiah terhadap dolar Amerika cenderung menurun, yang artinya pada saat

periode tersebut nilai tukar rupiah melemah terhadap dolar Amerika. Nilai tukar

rupiah terhadap dolar Amerika terendah terjadi pada bulan Maret 2014 yaitu sebesar

Rp 11427.05 sedangkan tertinggi terjadi pada bulan September 2015 sebesar

Rp 14396.10.

Analisis Proses Peramalan Fuzzy Time Series Markov Chain

Analisis yang harus dilakukan dalam peramalan menggunakan metode fuzzy

time series Markov chain adalah mendefinisikan semesta pembicaraan 𝑈 untuk data

aktual. Himpunan semesta pembicaraan 𝑈 dinyatakan dari data nilai tukar rupiah

terhadap dolar Amerika. Berdasarkan Tabel 1 diketahui 𝐷𝑚𝑖𝑛 (data terkecil) yaitu

11427.05 dan 𝐷𝑚𝑎𝑥 (data terbesar) yaitu 14396.10, kemudian dipilih 𝐷1 dan 𝐷2

bilangan random yang bernilai positif, yaitu 7.05 dan 23.9. Sehingga diperoleh

semesta pembicaraan 𝑈 = [𝐷𝑚𝑖𝑛 − 𝐷1, 𝐷𝑚𝑎𝑥 + 𝐷2] adalah [11420,14420]. Setelah ditentukan semesta pembicaraan dari data aktual selanjutnya semesta

pembicaraan 𝑈 dipartisi menjadi beberapa interval dengan panjang yang sama.

Dalam menentukan panjang interval dari semesta pembicaraan digunakan metode

berbasis rata-rata yang diperkenalkan oleh Huarng (2001). Berikut merupakan

perhitungan panjang interval dengan metode berbasis rata-rata.

1. Hasil penjumlahan semua nilai mutlak selisih antara 𝑌(𝑡 + 1) dan

𝑌(𝑡), 𝑡 = 1,… , 𝑛 − 1 adalah 5129.68 shingga rata-rata nilai mutlak

selisihnya adalah 213.7367.

2. Setelah diketahui rata-rata nilai mutlak selisihnya kemudian ditentukan

setengah dari rata-rata yang diproleh tersebut, yaitu 106.8683.

10

3. Berdasarkan panjang interval 106.8683 yang diperoleh dari langkah

kedua, ditentukan basis dari panjang interval sesuai dengan Tabel 1. Dari

Tabel 1 diketahui basis untuk panjang interval adalah 100.

4. Panjang interval 106.8683 kemudian dibulatkan sesuai dengan basisnya

yaitu 100, sehingga diperoleh panjang interval sebesar 100.

Berdasarkan metode berbasis rata-rata diperoleh 100 sebagai panjang interval

yang efektif. Kemudian semesta pembicaraan 𝑈 = [11420,14420] dipartisi

menjadi beberapa interval dengan panjang interval 100, selanjutnya menghitung

jumlah interval menggunakan persamaan (2) , sehingga diperoleh sebanyak 30

partisi dapat dilihat pada Lampiran 2.

Proses fuzzifikasi

Pembentukan himpunan fuzzy diperoleh setelah menentukan jumlah interval

terlebih dahulu. Ada 30 himpunan fuzzy yang dapat dibentuk berdasarkan jumlah

interval 𝑢 . Berdasarkan persamaan (3) himpunan fuzzy yang dibentuk sebagai

berikut:

𝐴1 = 1𝑢1

⁄ + 0.5𝑢2

⁄ + 0𝑢3

⁄ + … + 0𝑢29

⁄ + 0𝑢30

⁄ ,

𝐴2 = 0.5𝑢1

⁄ + 1𝑢2

⁄ + 0.5𝑢3

⁄ + … + 0𝑢29

⁄ + 0𝑢30

⁄ ,

𝐴3 = 0𝑢1

⁄ + 0.5𝑢2

⁄ + 1𝑢3

⁄ + 0.5𝑢4

⁄ + … + 0𝑢29

⁄ + 0𝑢30

⁄ ,

𝐴4 = 0𝑢1

⁄ + 0𝑢2

⁄ + 0.5𝑢3

⁄ + 1𝑢4

⁄ + 0.5𝑢5

⁄ + … + 0𝑢29

⁄ + 0𝑢30

⁄ ,

⋮

𝐴27 = 0𝑢1

⁄ + … + 0.5𝑢26

⁄ + 1𝑢27

⁄ + 0.5𝑢28

⁄ + 0𝑢29

⁄ + 0𝑢30

⁄ ,

𝐴28 = 0𝑢1

⁄ + … + 0.5𝑢27

⁄ + 1𝑢28

⁄ + 0.5𝑢29

⁄ + 0𝑢30

⁄ ,

𝐴29 = 0𝑢1

⁄ + … + 0𝑢12

⁄ + 0𝑢13

⁄ + … + 0.5𝑢28

⁄ + 1𝑢29

⁄ + 0.5𝑢30

⁄ ,

𝐴30 = 0𝑢1

⁄ + … + 0𝑢12

⁄ + 0𝑢13

⁄ + … + 0.5𝑢29

⁄ + 1𝑢30

⁄ .

Berdasarkan himpunan fuzzy yang sudah dibentuk, maka dapat ditentukan

himpunan fuzzy untuk setiap data aktual nilai tukar, dimana data aktual nilai tukar

diubah menjadi ke dalam bentuk nilai linguistik yang merupakan bentuk interval.

Hasil fuzzifikasi nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika dapat dilihat pada Tabel

2.

Tabel 2 Data fuzzifikasi nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika

Periode

(Tgl/bln/th)

Data aktual Fuzzifikasi Periode

(Tgl/bln/th)

Data aktual Fuzzifikasi

01/03/2014 11427.05 𝐴1 01/04/2015 12947.76 𝐴16 01/04/2014 11435.75 𝐴1 01/05/2015 13140.53 𝐴18 01/05/2014 11525.94 𝐴2 01/06/2015 13313.24 𝐴19 01/06/2014 11892.62 𝐴5 01/07/2015 13374.79 𝐴20 01/07/2014 11689.06 𝐴3 01/08/2015 13781.75 𝐴24 01/08/2014 11706.67 𝐴3 01/09/2015 14396.10 𝐴30 01/09/2014 11890.77 𝐴5 01/10/2015 13795.86 𝐴24

11

Periode

(Tgl/bln/th)

Data aktual Fuzzifikasi Periode

(Tgl/bln/th)

Data aktual Fuzzifikasi

01/10/2014 12144.87 𝐴8 01/11/2015 13672.57 𝐴23 01/11/2014 12158.30 𝐴8 01/12/2015 13854.60 𝐴25 01/01/2015 12579.10 𝐴12 01/02/2016 13515.70 𝐴21 01/02/2015 12749.84 𝐴14 01/03/2016 13313.67 𝐴19 01/03/2015 13066.82 𝐴17

Fuzzy logical relationship

Berdasarkan hasil fuzzifikasi pada Tabel 2, maka dapat ditentukan fuzzy

logical relationship (FLR) yang merupakan hubungan antara setiap urutan data

terhadap data berikutnya dalam bentuk himpunan fuzzy. FLR untuk seluruh data

dapat dilihat pada Tabel 3.

Tabel 3 Fuzzy logical relationship

𝐴1 → 𝐴1 𝐴1 → 𝐴2 𝐴2 → 𝐴5 𝐴5 → 𝐴3 𝐴3 → 𝐴3

𝐴3 → 𝐴5 𝐴5 → 𝐴8 𝐴8 → 𝐴8 𝐴8 → 𝐴11 𝐴11 → 𝐴12

𝐴12 → 𝐴14 𝐴14 → 𝐴17 𝐴17 → 𝐴16 𝐴16 → 𝐴18 𝐴18 → 𝐴19

𝐴19 → 𝐴20 𝐴20 → 𝐴24 𝐴24 → 𝐴30 𝐴30 → 𝐴24 𝐴24 → 𝐴25

𝐴25 → 𝐴25 𝐴25 → 𝐴21 𝐴21 → 𝐴19

Fuzzy logical relationship group

Selanjutnya, berdasarkan Tabel 3 setelah memperoleh FLR dapat ditentukan

fuzzy logical relationship group (FLRG) yang merupakan pengelompokan dari

setiap perpindahan state yaitu state saat ini (current state) dan state selanjutnya

(next state). Pada setiap FLRG terdapat hubungan antara dua state yang disebut

current state dan next state. Current state merupakan nilai yang akan dihitung

sebagai nilai peramalan. Sedangkan next state merupakan data yang digunakan

sebagai syarat untuk memperoleh nilai pada current state.

FLRG dibentuk untuk mempermudah perhitungan dari FLR yang sudah ada.

Hubungan yang terdapat dalam FLRG antara current state dan next state ini sejalan

dengan prinsip dasar Markov chain. FLRG yang ada untuk seluruh data dapat

dilihat pada Tabel 4.

Tabel 4 Fuzzy logical relationship group

Current state Next state Current state Next state

𝐴1 → 𝐴1, 𝐴2 𝐴17 → 𝐴16

𝐴2 → 𝐴5 𝐴18 → 𝐴19

𝐴3 → 𝐴3, 𝐴5 𝐴19 → 𝐴20

𝐴5 → 𝐴3, 𝐴8 𝐴20 → 𝐴24

𝐴8 → 𝐴8, 𝐴11 𝐴21 → 𝐴19

𝐴11 → 𝐴12 𝐴23 → 𝐴25

𝐴12 → 𝐴14 𝐴24 → 𝐴23, 𝐴30

𝐴14 → 𝐴17 𝐴25 → 𝐴21, 𝐴25

𝐴16 → 𝐴18 𝐴30 → 𝐴24

12

Defuzzifikasi

Dalam proses defuzzifikasi ini, menentukan hasil peramalan berdasarkan

matriks probabilitas perpindahan state 𝐴𝑖 ke 𝐴𝑗 yaitu matriks transisi 𝐑 berorde

30×30 yang setiap elemennya merupakan nilai probabilitas yang diperoleh dari

persamaan (1) dapat dilihat pada Lampiran 6. Sebagai contoh perhitungan nilai

peramalan, dihitung nilai peramalan pada bulan April 2014 diperoleh dari fuzzy

logical relationship group yaitu 𝐴1 → 𝐴1, 𝐴2 , relasinya one to many. Jadi nilai

peramalannya adalah

�̂�(𝑡) = 𝑚1𝑃𝑗1 + ⋯+ 𝑚𝑗−1𝑃𝑗(𝑗−1) + 𝑌(𝑡 − 1)𝑃𝑗𝑗 + 𝑚𝑗+1𝑃𝑗(𝑗+1) + ⋯+ 𝑚𝑛𝑃𝑗𝑛

Ŷ(𝐴𝑝𝑟𝑖𝑙 2014) = 𝑌(𝑡 − 1)𝑃1(1) + 𝑚2𝑃1(2)

= (11427.05)1

2+ (11570)

1

2= 11448.52.

Hasil peramalan pada bulan-bulan berikutnya dinyatakan pada Tabel 5 .

Menentukan nilai penyesuaian/adjusted value 𝐷(𝑡). Hubungan antar state dapat

diihat (pada Lampiran 5). Tanda panah satu arah menandakan state melakukan

transisi dari asal pangkal panah ke ujung panah. Misal state 𝐴1 melakukan transisi

ke state 𝐴2 , tetapi tidak berlaku sebaliknya. Dalam hal ini state 𝐴2 dikatakan

accessible dari state 𝐴1. Sedangkan tanda panah dua arah menandakan antar state

saling accessible, seperti state 𝐴3 dan state 𝐴5. Dalam hal ini dapat dikatakan state

𝐴3 communicate dengan state 𝐴5.

Sebagai contoh perhitungan untuk bulan April 2014 (𝑡 = 2) , nilai 𝐷(𝑡)

dihitung berdasarkan 𝑌(𝑡 − 1) = 𝐴1. Pada waktu 𝑡 = 1 state 𝐴1 tidak melakukan

transisi ke state lain hanya bertransisi dengan state 𝐴1 pada 𝑡 = 2 maka nilai

𝐷(𝑡) = 0. Hasil perhitungan nilai 𝐷(𝑡) untuk periode yang lainnya dituliskan pada

Tabel 7.

Langkah berikutnya, menentukan hasil peramalan �̂�𝑎𝑑𝑗(𝑡). Hasil perhitungan

�̂�𝑎𝑑𝑗(𝑡) dinyatakan dalam Tabel 5 dan selengkapnya pada Lampiran 3.

Tabel 5 Hasil peramalan data aktual

𝑡 Periode 𝑌(𝑡) �̂�(𝑡) 𝐷(𝑡) �̂�𝑎𝑑𝑗(𝑡)

1 Maret 2014 11427.05 − − −

2 April 2014 11435.75 11498.52 0 11498.52

3 Mei 2014 11525.94 11502.87 100 11602.87

4 Juni 2014 11892.62 11870.00 0 11870.00

5 Juli 2014 11689.06 11920.00 0 11920.00

6 Agustus 2014 11706.67 11779.53 0 11779.53

7 September2014 11890.77 11788.33 150 11938.33

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

23 Januari 2016 13889.05 13662.30 0 13662.30

24 Februari 2016 13515.70 13679.52 −250 13429.52

25 Maret 2016 13313.67 13270.00 0 13270.00

Selanjutnya menghitung nilai penyesuaian peramalan ( �̂�𝑎𝑑𝑗(𝑡)) , sebagai

contoh nilai peramalan penyesuaian pada bulan April 2014 (𝑡 = 2) yaitu

�̂�𝑎𝑑𝑗(𝑡) = �̂�(2) + 𝐷(2) = 11448.525 + 0 = 11448.525 . Menghitung tingkat

kesalahan hasil peramalan dengan melihat nilai MAPE. Nilai MAPE yang didapat

13

menggunakan fuzzy time series Markov chain untuk data nilai tukar rupiah terhadap

dolar Amerika periode Maret 2014 − Maret 2016 adalah sebesar 0.71%. Semakin

kecil nilai MAPE yang didapat semakin baik metode yang digunakan dalam

peramalan tersebut. Nilai MAPE untuk seluruh data dapat dilihat pada Lampiran 4.

Dari proses fuzzy time series Markov chain yang telah dijelaskan diatas,

kemudian langkah terakhir adalah menentukan nilai peramalan untuk data nilai

tukar rupiah terhadap dolar Amerika pada bulan April 2016 (𝑡 = 25) . Nilai

peramalan �̂�(25) dihitung dengan FLRG pada 𝑌(24) = 𝐴19. Karena FLRG dari

𝐴19 adalah 𝐴20 sehingga hasil peramalan �̂�(25) adalah nilai tengah dari 𝑢20 dan

adjusted value 𝐷(25) bernilai 0. Diperoleh nilai peramalan �̂�𝑎𝑑𝑗(25) untuk bulan

April 2016 sebesar Rp. 13270.00. Visualisasi grafik hasil peramalan data aktual

dinyatakan pada Gambar 2.

Gambar 2 Perbandingan data aktual dengan nilai peramalan

Gambar 2 menunjukkan bahwa nilai peramalan dengan metode fuzzy time

series Markov chain mendekati data aktualnya, dengan plot sebaran data yang

hampir sesuai dengan data aktual.

Pengujian selanjutnya adalah meramalkan nilai beberapa waktu ke depan,

karena metode fuzzy time series Markov chain hanya dapat meramalkan satu

periode ke depan, yaitu pada periode April 2016. Maka untuk meramalkan beberapa

bulan ke depan dengan menganggap setiap output peramalan yang dihasilkan akan

dijadikan kembali data input untuk meramalkan periode berikutnya. Peramalan

lima bulan ke depan menggunakan data aktual periode Maret 2014 sampai dengan

Maret 2016. Dengan menggunakan 𝐷1 = 7.05 dan 𝐷2 = 23.9 yang telah diperoleh

dari perhitungan menggunakan data training sebelumnya, maka untuk setiap output

peramalan yang diperoleh akan dijadikan data input untuk memperoleh hasil

peramalan periode berikutnya. Berikut adalah hasil perhitungan peramalan lima

bulan ke depan beserta tingkat akurasinya dapat dilihat pada Tabel 6.

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

Nil

ai t

ukar

rupia

h t

erhad

ap

dola

r A

mer

ika

Periode

Data aktual

Nilai peramalan

14

Tabel 6 Hasil peramalan dan tingkat akurasi nilai tukar rupiah terhadap dolar

Amerika

Periode Data Aktual Nilai Peramalan Error

April 2016 13200 13270 0.53%

Mei 2016 13310 13320 0.07%

Juni 2016 - 13370

Juli 2016 - 13345

Agustus 2016 - 13570

September 2016 - 13670

MAPE 0.3%

Berdasarkan Tabel 6 maka diperoleh bahwa hasil peramalan nilai tukar untuk

enam bulan ke depan menggunakan fuzzy time series Markov chain yaitu peramalan

dari periode April 2016 sampai dengan September 2016 diperoleh rata-rata tingkat

kesalahan dengan menggunakan MAPE sebesar 0.3%. Berdasarkan kriteria tingkat

akurasi menggunakan MAPE hasil peramalan menggunakan metode fuzzy time

series Markov chain dinyatakan sangat baik karena nilai MAPE di bawah 10% dan

tingkat akurasi untuk proses peramalan 25 periode serta 6 periode ke depan hasilnya

sangat signifikan.

SIMPULAN DAN SARAN

Simpulan

Berdasarkan analisis proses peramalan dengan menggunakan metode

berbasis rata-rata fuzzy time series Markov chain dapat menghasilkan perhitungan

prediksi nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika, untuk 1 bulan ke depan pada

bulan April 2016 adalah Rp. 13270,00 dengan tingkat kesalahan peramalan

menggunakan MAPE sebesar 0.71% . Karena pada metode fuzzy time series

Markov chain menerapkan perhitungan probabilitas pada setiap perpindahan

current state ke next state pada tahap fuzzy logical relationship group (FLRG), serta

penyesuaian kecenderungan nilai peramalan.

Saran

Saran yang dapat disampaikan untuk penelitian selanjutnya dengan tidak

hanya menggunakan satu metode peramalan. Tujuannya adalah untuk

membandingkan tingkat kesalahan peramalan, karena metode peramalan yang

mempunyai tingkat kesalahan lebih kecil berarti metode tersebut adalah metode

yang baik. Dapat mengembangkan metode fuzzy time series Markov chain agar

menghasilkan nilai peramalan untuk lebih dari 1 bulan.

15

DAFTAR PUSTAKA

Buffa ES, Sarin RK. 1996. Modern Production and Operation Management. Eight

Edition. London: John and Wiley and Sons Inc.

Chen SM. 1996. Forecasting Enrollments Based on Fuzzy Time Series. Fuzzy Sets

and Systems 81: 311-319.

Chen SM. 2002. Forecasting Enrollments Based on High-order Fuzzy Time Series.

Cybernetics and Systems 33: 1-16.

Gamalita A, Rachmawati N, dan Suhartono, D. 2014. Analisis dan Perancangan

Aplikasi Web Prediksi Indeks Harga Saham Gabungan menggunakan Fuzzy

Time Series Markov Chain Model [Thesis]. Universitas Bina Nusantara, Jakarta.

Huarng K. 2001. Heuristic Models of Fuzzy Time Series for Forecasting. Fuzzy

Sets and Systems 123: 387-394.

Lee J, Boatwright P, Kamakura WA. 2003. A Bayesian Model for Prelaunch Sales

Forecasting of Recorded Music. Management Science 49: 179-176.

Makridakis S, Wheelwright SC, McGee VE. 1999. Metode dan Aplikasi Peramalan,

Jilid Satu. Ed Ke-2. Jakarta (ID): Binarupa Aksara.

Ross SM. 2010. Introduction to Probability Models. Tenth Edition. California

(US): Academic Pr.

Singh SR. 2007. A Simple Time Variant Method for Fuzzy Time Series Forecasting.

Cybernetics and Systems 38: 305-321.

Song Q, Chissom B. 1993. Forecasting Enrollments with Fuzzy Time Series-Part

I. Fuzzy Sets and Systems 54: 1-9.

Tsai CC, Wu SJ. 1999. A Study for Second Order Modelling of Fuzzy Time Series.

IEE international fuzzy systems conference proceedings II. Korea 719-725.

Tsaur RC. 2012. A Fuzzy Time Series-Markov Chain Model with An Application to

Forecast The Exchange Rate Between Taiwan and US Dollar. ICIC International.

16

Lampiran 1 Data aktual nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika bulan Maret

2014 sampai bulai Maret 2016

Periode

(Tgl/bln/th)

Data aktual Periode

(Tgl/bln/th)

Data aktual

01/03/2014 11427.05 01/04/2015 12947.76

01/04/2014 11435.75 01/05/2015 13140.53

01/05/2014 11525.94 01/06/2015 13313.24

01/06/2014 11892.62 01/07/2015 13374.79

01/07/2014 11689.06 01/08/2015 13781.75

01/08/2014 11706.67 01/09/2015 14396.10

01/09/2014 11890.77 01/10/2015 13795.86

01/10/2014 12144.87 01/11/2015 13672.57

01/11/2014 12158.30 01/12/2015 13854.60

01/12/2014 12438.29 01/01/2016 13889.05

01/01/2015 12579.10 01/02/2016 13515.70

01/02/2015 12749.84 01/03/2016 13313.67

01/03/2015 13066.82

Sumber: http://www.bi.go.id

Lampiran 2 Partisi himpunanan semesta pembicaraan

𝑢𝑖 Interval Nilai tengah(𝑚) 𝑢𝑖 Interval Nilai tengah(𝑚)

𝑢1 [11420,11520) 11470 𝑢16 [12920,13020) 12970

𝑢2 [11520,11620) 11570 𝑢17 [13020,13120) 13070

𝑢3 [11620,11720) 11670 𝑢18 [13120,13220) 13170

𝑢4 [11720,11820) 11770 𝑢19 [13220,13320) 13270

𝑢5 [11820,11920) 11870 𝑢20 [13320,13420) 13370

𝑢6 [11920,12020) 11970 𝑢21 [13420,13520) 13470

𝑢7 [12020,12120) 12070 𝑢22 [13520,13620) 13570

𝑢8 [12120,12220) 12170 𝑢23 [13620,13720) 13670

𝑢9 [12220,12320) 12270 𝑢24 [13720,13820) 13770

𝑢10 [12320,12420) 12370 𝑢25 [13820,13920) 13870

𝑢11 [12420,12520) 12470 𝑢26 [13920,14020) 13970

𝑢12 [12520,12620) 12570 𝑢27 [14020,14120) 14070

𝑢13 [12620,12720) 12670 𝑢28 [14120,14220) 14170

𝑢14 [12720,12820) 12770 𝑢29 [14220,14320) 14270

𝑢15 [12820,12920) 12870 𝑢30 [14320,14420) 14370

17

Lampiran 3 Nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika dan hasil peramalan yang

telah disesuaikan

𝑡 Periode 𝑌(𝑡) �̂�(𝑡) 𝐷(𝑡) �̂�𝑎𝑑𝑗(𝑡)

1 Maret 2014 11427.05 − − −

2 April 2014 11435.75 11498.52 0 11498.52

3 Mei 2014 11525.94 11502.87 100 11602.87

4 Juni 2014 11892.62 11870.00 0 11870.00

5 Juli 2014 11689.06 11920.00 0 11920.00

6 Agustus 2014 11706.67 11779.53 0 11779.53

7 September2014 11890.77 11788.33 150 11938.33

8 Oktober 2014 12144.87 11920.00 0 11920.00

9 November2014 12158.30 12307.43 0 12307.43

10 Desember2014 12438.29 12314.15 200 12514.15

11 Januari 2015 12579.10 12570.00 0 12570.00

12 Februari 2015 12749.84 12770.00 0 12770.00

13 Maret 2015 13066.82 13070.00 0 13070.00

14 April 2015 12947.76 12970.00 0 12970.00

15 Mei 2015 13140.53 13170.00 0 13170.00

16 Juni 2015 13313.24 13270.00 0 13270.00

17 Juli 2015 13374.79 13370.00 0 13370.00

18 Agustus 2015 13781.75 13770.00 0 13770.00

19 September2015 14396.10 14020.00 0 14020.00

20 Oktober 2015 13795.86 13770.00 0 13770.00

21 November2015 13672.57 14020.00 0 14020.00

22 Desember2015 13854.60 13870.00 0 13870.00

23 Januari 2016 13889.05 13662.30 0 13662.30

24 Februari 2016 13515.70 13679.52 −250 13429.52

25 Maret 2016 13313.67 13270.00 0 13270.00

18

Lampiran 4 Persentase eror setiap bulan mengunakan MAPE

Periode

Nilai 1 USD dalam

Rupiah Error

Aktual Peramalan

Maret 2014 11427.05 -

April 2014 11435.75 11498.52 0.55%

Mei 2014 11525.94 11602.87 0.66%

Juni 2014 11892.62 11870.00 0.19%

Juli 2014 11689.06 11920.00 1.97%

Agustus 2014 11706.67 11779.53 0.62%

September 2014 11890.77 11938.33 0.40%

Oktober 2014 12144.87 11920.00 1.85%

November 2014 12158.30 12307.43 1.23%

Desember 2014 12438.29 12514.15 0.60%

Januari 2015 12579.10 12570.00 0.07%

Februari 2015 12749.84 12770.00 0.16%

Maret 2015 13066.82 13070.00 0.02%

April 2015 12947.76 12970.00 0.17%

Mei 2015 13140.53 13170.00 0.22%

Juni 2015 13313.24 13270.00 0.32%

Juli 2015 13374.79 13370.00 0.03%

Agustus 2015 13781.75 13770.00 0.08%

September 2015 14396.10 14020.00 2.61%

Oktober 2015 13795.86 13770.00 0.19%

November 2015 13672.57 14020.00 2.54%

Desember 2015 13854.60 13870.00 0.11%

Januari 2016 13889.05 13662.30 1.63%

Februari 2016 13515.70 13429.52 0.63%

Maret 2016 13313.67 13270.00 0.33%

MAPE 0.71%

19

Lampiran 5 Hubungan antar state pada proses transisi peramalan berdasarkan

FLRG

𝐴18 𝐴17

𝐴23 𝐴24 𝐴30

𝐴1 𝐴5 𝐴3

𝐴8 𝐴11 𝐴12 𝐴14

𝐴16 𝐴19 𝐴20

𝐴21 𝐴25

𝐴2

20

Lampiran 6 Matriks probabilitas R

𝑹 =

[ 0.5 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0.5 0 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0.5 0 0 0 0 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0.5 0 0 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 0 0 0 0 0 0 0.50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 0 0 0 0.5 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ]

21

RIWAYAT HIDUP

Penulis bernama lengkap Fuji Kurnia Ningsih, dilahirkan di Jakarta pada

tanggal 18 Agustus 1994. Penulis merupakan anak pertama dari dua bersaudara dan

lahir dari pasangan Suwanda dan Umbang Yanas. Penulis berkewarganegaraan

Indonesia dan beragama Islam. Pendidikan yang telah ditempuh oleh penulis yaitu

SMP Negeri 95 Jakarta lulus tahun 2009, dan SMA Negeri 80 Jakarta lulus tahun

2012. Pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor

(IPB) melalui jalur SNMPTN dan diterima di Departemen Matemtika, Fakultas

Ilmu dan Pengetahuan Alam.

Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif sebagai staf Departemen PSDM

himpunan profesi Matematika GUMATIKA IPB pada tahun 2014/2015. Selain itu,

penulis juga aktif dalam mengikuti lomba yang diadakan oleh Fakultas MIPA IPB.

Adapun penghargaan yang penulis raih, antara lain Juara 3 dan Juara 2 Drama

Musikal SPIRIT FMIPA IPB tahun 2014 dan 2015.