PERBANDINGAN METODE DEKOMPOSISI KLASIK … · D. Contoh 3.4 Runtun Waktu ... Peramalan kualitatif...

i

PERBANDINGAN METODE DEKOMPOSISI KLASIK DAN

METODE ARIMA UNTUK PENDUGAAN PARAMETER

DATA RUNTUN WAKTU

(Studi Kasus: Jumlah Penumpang Kereta Api)

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh:

Noni Riani

NIM: 123114020

PROGRAM STUDI MATEMATIKA/JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2016

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

THE COMPARISON OF CLASSICAL DECOMPOSITION

METHOD AND ARIMA METHOD TO ESTIMATE THE

PARAMETER OF TIME SERIES DATA

(Case Study: The Number of Train Passengers)

Thesis

Presented as a Partial Fulfillment of the Requirement

to Obtain the Sarjana Sains Degree

in Mathematics

By:

Noni Riani

Student Number: 123114020

MATHEMATICS STUDY PROGRAM/DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2016


/iE-t.-t';ttEE'E-F -\--=Li7f rir*; P;m; \t3{ dnpq$ \L

It : G: _ .'ttddEF6tbt- l6lnr-i-ts. tt

: :r:.:::: i.:,- :r: .'r -., -:

.r-.:-:r:, :irir::a ,:. : ::i:.:' ,

qt yL. I -v tE -- ,\L\ J** ^ft fg

E\- '\t :f ffiEr2tr {AS= t,


SKRIPSI

PERBANDINGAI\ METODE DEKOMPOSISI KLASIK I}AI[

METODE ARIMA T]NTI]K PENDUGAAFI PARAMETER

DAT"A.RIJNTUN WAI(TU

(Studi Kasus: Juurtah Penunpang Kereta Api)

Dipersiapkan dan ditulis sleh:

Noni Riani

Ketua

Sekretaris

Anggofia

I Agustus 2016

Fakrltas Sains dur Teknologl

Universitas Sanata Dharma

Deka1

*h/-*S.Si-, M-IvIath.Sc., Ph.D.)


*-

li

I,

FDRNYATnAS{ xn*#XrIA$f IrAilPfA

Sry *bny#nur dengsn wewryfu/a bfua dxripsi yeg saya firfis ini

tid* mwet ka4n d&u bryian or&g lafu, keueli yaqg telah ftebutkan dalam

kutiru **datu @e str*ffiffi s*ry&'hrj& turi*-

Yogy*xtq 22 Jwri2CIl6

Fwulis

MI"$oni Riani


vi

HALAMAN PERSEMBAHAN

Karya ini saya persembahkan untuk:

Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga

skripsi ini dapat diselesaikan tepat pada waktunya.

Bapak dan Ibu yang telah membesarkan, mendidik, mendoakan dan

memberikan dukungan saya dalam segala hal. Terima kasih atas perhatian,

kasih sayang dan dukungan yang telah diberikan, sehingga skripsi ini

dapat selesai.

Bapak Aris yang dengan sabar membimbing dan membantu saya dalam

penulisan skripsi ini.


vii

ABSTRAK

Metode peramalan yang baik adalah metode yang mempunyai galat terkecil

dalam peramalan. Metode yang digunakan pada skripsi ini adalah metode

Dekomposisi Klasik dan metode ARIMA. Metode ARIMA mendasarkan

ramalannya pada proses Autoregressive (AR) dan Moving Average (MA).

Konsep-konsep yang digunakan dalam membangun model adalah Autocorrelation

Function (ACF) dan Partial Autocorrelation Function (PACF).

Data yang digunakan untuk membandingkan metode Dekomposisi Klasik

dan metode ARIMA adalah data jumlah penumpang kereta api tahun 2006-2015.

Data mempunyai komponen musiman dan tren. Tujuan penelitian ini adalah

membandingkan metode Dekomposisi Klasik dan metode ARIMA untuk

mendapatkan metode yang terbaik dalam peramalan dengan menggunakan Mean

Square Error (MSE) sebagai kriteria evaluasi.

Kata kunci: Metode dekompisisi, metode ARIMA, Autoregressive (AR), Moving

Average (MA), Autocorrelation Function (ACF), Partial Autocorrelation

Function (PACF), musiman, tren.


viii

ABSTRACT

A good forecasting method is a method which has the minimum error in

forecasting. This thesis discusses about Classical Decomposition method and

ARIMA method. ARIMA forecasting method is based on the Autoregressive

(AR) and Moving Average (MA) processes. Concepts which are used to build the

model is Autocorrelation Function (ACF) and Partial Autocorrelation Function

(PACF).

The data which are used to compare Classical Decomposition method and

ARIMA method are the number of train passengers in 2006-2015. The data have

seasonal and trend components. The purpose of this thesis is to compare the

Classical Decomposition method and ARIMA method for getting the best method

on forecasting by using Mean Square Error (MSE) as evaluating criteria.

Keyword: Decomposition method, ARIMA method, Autoregressive (AR), Moving

Average (MA), Autocorrelation Function (ACF), Partial Autocorrelation

Function (PACF), seasonal, trend.


ix

KATA PENGANTAR

Puji dan Syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah

memberikan rahmat, taufik, dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat

menyelesaikan penulisan skripsi dalam rangka memperoleh gelar Sarjana Sains di

Universitas Sanata Dharma.

Penulis menyadari bahwa penyusunan skripsi ini dapat diselesaikan karena

dukungan dan bantuan dari berbagai pihak, baik perorangan ataupun lembaga.

Untuk itu, dengan segala kerendahan hati penulis ingin menyampaikan terima

kasih kepada:

1. Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing skripsi yang

telah meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran serta ilmu yang telah

diberikan sehingga terselesaikannya skripsi ini.

2. YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D, selaku Ketua Program Studi Matematika

sekaligus Dosen Pembimbing Akademik.

3. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku dekan Fakultas

Sains dan Teknologi.

4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si.,

Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., Bapak Dr. rer. nat. Herry P.

Suryawan, S.Si., M.Si., dan Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si.

selaku dosen-dosen prodi matematika yang telah memberikan banyak

pengetahuan kepada penulis selama proses perkuliahan.


x

5. Kedua orang tua ku tercinta, kakak ku Lusiana, Ganda, Nawa dan Dewita

yang selalu memberikan dukungan, doa, dan semangat sehingga

terselesaikannya skripsi ini.

6. Teman-teman Matematika 2012: Lia, Ajeng, Putri, Sila, Anggun, Manda,

Happy, Arum, Dewi, Rian, Budi, Ega, Boby, Tika, Ferny, Juli, Ilga, Oxi,

dan Risma yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini, dan

memberikan kecerian serta dukungan selama kuliah.

7. Semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi

ini.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena

itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang dapat membangun serta

menyempurnakan skripsi ini. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat

memberikan wawasan dan pengetahuan bagi pembaca.

Yogyakarta, 22 Juni 2016

Penulis,

Noni Riani


LEMBAR PER}TYATAAF{ PERf}ETUJUAIT

Pt}BLIKASI KARYA ILMIAH UNTI]K KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:

Nama : Noni Rianr

NornorMatrasiswa : 123114S20

Demi pengembangan ilmu pengetahuan? saya memberikan kepada Perpustakaan

Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:

PERBAIYDINGAFT MET(}I}E I}EKOMFOSI$I KLASIK DAI\{ METODE

ARIMA T]NTUK PEF{DUGAAI\I PARAMETER DATA RUNTT}N }YAKTU

(Studi Kasus: Jumlah Penumpang Kereta Api)

beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan

kgpada Perpustakam Universitas Smata Dhmma hak unhrk menyimpr,

rnengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalarn bermk pangkalan

data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di Internet atau

media lain untuk kepontingan akademis tanpa perlu nneminta izin dari saya

mauprm rnemberikan royalti kepada saya selama tetap rnenc€rtumkan nama saya

sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini yang saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta

Pada tanggal : 22 lwri 2A16

Yang menyatakan

XI


xii

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ................................................................................................ i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................... iii

HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iv

HALAMAN KEASLIAN KARYA ......................................................................... v

HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................ vi

ABSTRAK ............................................................................................................ vii

ABSTRACT ......................................................................................................... viii

KATA PENGANTAR ........................................................................................... ix

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ................................ xi

DAFTAR ISI ......................................................................................................... xii

BAB I PENDAHULUAN ........................................................................................ 1

A. Latar Belakang Masalah ........................................................................... 1

B. Rumusan Masalah ..................................................................................... 6

C. Batasan Masalah ....................................................................................... 7

D. Tujuan Penulisan ...................................................................................... 7

E. Metode Penulisan...................................................................................... 8

F. Manfaat Penulisan .................................................................................... 8


xiii

G. Sistematika Penulisan ............................................................................... 8

BAB II LANDASAN TEORI ................................................................................ 11

A. Data Runtun Waktu dan Proses Stokastik .............................................. 11

B. Stasioneritas ............................................................................................ 13

C. Pembedaan (Differencing) ...................................................................... 15

D. Variabel Acak yang Saling Bebas ......................................................... 17

E. P-value (Nilai Signifikan)....................................................................... 22

F. Fungsi Otokorelasi/ Autocorrelation Function (ACF) ........................... 23

G. Fungsi Otokorelasi Parsial/ Partial Autocorrelation Function (PACF) . 29

H. Proses White Noise ................................................................................. 34

I. Uji Normalitas Galat ............................................................................... 34

J. Moving Average (rata-rata bergerak) ...................................................... 37

K. Metode Dekomposisi Aditif ................................................................... 40

L. Metode Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) ............. 45

M. Pengujian White Noise ............................................................................ 49

N. Evaluasi Model ....................................................................................... 51

BAB III METODE DEKOMPOSISI KLASIK DAN METODE ARIMA ............ 53

A. Pendahuluan ............................................................................................ 53

B. Metode Dekomposisi Klasik................................................................... 54

C. Metode Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) ............. 55


xiv

D. Contoh 3.4 Runtun Waktu ...................................................................... 70

BAB IV PERBANDINGAN METODE DEKOMPOSISI KLASIK DAN

METODE ARIMA ................................................................................................. 81

A. Pengolahan Data Menggunakan Metode Dekomposisi Klasik .............. 81

B. Pengolahan Data Menggunakan Metode ARIMA .................................. 86

C. Evaluasi Model ....................................................................................... 98

BAB V PENUTUP ............................................................................................... 100

A. Kesimpulan ........................................................................................... 100

B. Saran ..................................................................................................... 100

DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................... 102

LAMPIRAN ......................................................................................................... 104


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Ramalan adalah dugaan mengenai kejadian atau peristiwa yang akan datang

sedangkan peramalan adalah tindakan dalam membuat dugaan (Bowerman,1993).

Peramalan adalah suatu teknik untuk memperkirakan suatu nilai pada masa yang

akan datang dengan memperhatikan data masa lalu maupun data saat ini (Aswi

dan Sukarna, 2006). Untuk melakukan peramalan tersebut diperlukan data yang

akurat pada masa lampau sehingga dapat melihat kondisi yang akan datang.

Peramalan adalah salah satu unsur yang sangat penting dalam pengambilan

keputusan, sebab efektif atau tidaknya suatu keputusan umumnya tergantung pada

faktor yang tidak terlihat pada waktu keputusan tersebut diambil (Soejoeti,1987).

Berbagai bidang pengetahuan baik itu ekonomi, manajemen, keuangan, dan

berbagai bidang riset selalu membutuhkan peramalan. Peramalan sangat

diperlukan untuk mengetahui nilai dari suatu peristiwa berdasarkan waktu yang

akan terjadi, sehingga tindakan yang tepat dapat dilakukan.

Ada beberapa metode yang dapat digunakan dalam peramalan, yang

menurut jenisnya dibagi menjadi dua yaitu:

1. Metode peramalan kuantitatif (bersifat obyektif)

Metode peramalan kuantitatif adalah metode peramalan yang melibatkan

analisis data waktu lampau untuk memperkirakan nilai yang akan datang dari

sebuah variabel. Metode peramalan kuantitatif dapat dikelompokkan dua jenis:


2

a. Metode univariat runtun waktu (time series) yaitu metode yang dapat

digunakan untuk menganalisis serangkaian data yang merupakan fungsi dari

waktu. Model univariat menganalisis pola data yang diasumsikan kontinu di

waktu yang akan datang. Pola tersebut diekstrapolasi untuk menghasilkan suatu

model peramalan. Metode ini dipengaruhi oleh 4 komponen, yaitu:

1) Kecenderungan/Trend (T) merupakan pergerakan data untuk naik atau turun

pada suatu runtun waktu dalam periode yang cukup panjang.

2) Siklus/Cycle (C) merupakan pergerakan tren yang meningkat ataupun

menurun dalam jangka yang relatif lama atau untuk waktu yang lebih dari

satu tahun.

3) Pola Musiman/ Seasonal (S) merupakan fluktuasi dari data yang terjadi

secara periodik dalam kurun waktu satu tahun, misalnya fluktuasi per

triwulanan, kuartalan, bulanan, mingguan, atau harian.

4) Variasi Acak/Random (I) dapat terjadi karena adanya faktor-faktor, seperti

bencana alam, bangkrutnya perusahaan pesaing, promosi khusus, dan

kejadian-kejadian lainnya yang tidak mempunyai pola tertentu.

Metode-metode yang termasuk kelompok model univariat adalah Simple

Moving Average, Exponential Smoothing, Double Moving Average, Holt’s Two

Parameter Trend Model, Weight Moving Average, dan lain-lain.

b. Metode kausal yaitu metode yang mengasumsikan variabel yang diramalkan

menunjukkan adanya hubungan sebab akibat dengan satu atau beberapa

variabel bebas yang mempengaruhi. Metode peramalan yang termasuk metode


3

kausal di antaranya metode ekonometri, regresi berganda dari suatu runtun

waktu, dan lain-lain.

2. Metode peramalan kualitatif (bersifat subyektif)

Peramalan kualitatif menggunakan pendapat dari para ahli untuk mem-

perkirakan kejadian yang akan datang. Hasil peramalan kualitatif yang diperoleh

bergantung pada orang yang menyusunnya atau berdasarkan pendapat para ahli.

Beberapa metode yang termasuk dalam metode peramalan kualitatif:

metode Delphi, analogi historis (historical analogy), dan lain-lain.

a. Metode Delphi adalah suatu metode yang proses pengambilan keputusan me-

libatkan beberapa pakar. Adapun para pakar tersebut tidak dipertemukan secara

langsung (tatap muka), dan identitas dari masing-masing pakar disembunyikan

sehingga setiap pakar tidak mengetahui identitas pakar yang lain. Hal ini ber-

tujuan untuk menghindari adanya dominasi pakar lain dan dapat meminimal-

kan pendapat yang bias. Metode Delphi pertama kali digunakan oleh Air

Force-funded RAND pada tahun 1950.

b. Analogi historis (historical analogy), merupakan teknik peramalan berdasarkan

pola data masa lalu dari produk-produk yang dapat disamakan secara analogi,

misalnya peramalan untuk pengembangan pasar televisi multisistem meng-

gunakan model permintaan televisi hitam putih atau berwarna biasa. Analogi

historis cenderung akan menjadi terbaik untuk penggantian produk di pasar dan

apabila terdapat hubungan substitusi langsung dari produk dalam pasar itu.


4

Pada dasarnya metode kualitatif ditujukan untuk peramalan terhadap produk

baru, pasar baru, proses baru, perubahan sosial masyarakat, perubahan teknologi,

atau penyesuaian terhadap ramalan-ramalan berdasarkan metode kuantitatif.

Metode yang akan digunakan pada skripsi ini adalah metode peramalan

kuantitatif yaitu univariat runtun waktu (time series). Data runtun waktu yakni

jenis data yang dikumpulkan menurut urutan waktu dalam suatu rentang waktu

tertentu. Model yang menggunakan data runtun waktu ada 2 yaitu model stasioner

dan model non-stasioner.

Model stasioner yaitu model yang sedemikian hingga semua sifat

statistiknya tidak berubah dengan pergeseran waktu. Dalam aplikasi, sifat

statistika yang sering menjadi perhatian adalah rata-rata, variansi, serta ukuran

keeratan yakni fungsi kovariansi. Pada model stasioner, sifat-sifat statistiknya di

masa yang akan datang dapat diramalkan berdasarkan data historis yang telah

terjadi di masa lalu. Beberapa model runtun waktu stasioner yakni Autoregressive

(AR), Moving Average (MA), Autoregressive Moving Average (ARMA). Jika

deret waktu tidak stasioner, maka data harus dibuat stasioner melalui proses

pembedaan (differencing). Model AR, MA, dan ARMA dengan data yang

stasioner melalui proses pembedaan ini disebut dengan model Autoregressive

Integrated Moving Average (ARIMA). Model non-stasioner adalah model yang

tidak memenuhi sifat model stasioner.

Model ARIMA atau dikenal juga dengan model Box-Jenkins dapat ditulis

dalam bentuk


5

p, d, dan q berturut-turut adalah orde untuk Autoregressive (AR), integrated (I),

dan Moving Average (MA).

Selain peramalan dengan metode ARIMA, ada juga yang menggunakan

peramalan dengan metode dekomposisi. Metode dekomposisi lebih praktis

dibandingkan metode ARIMA dan lebih umum digunakan karena penerapannya

yang mudah dipahami.

Dekomposisi adalah suatu pendekatan analisis data runtun waktu untuk

mengidentifikasi faktor-faktor komponen yang mempengaruhi masing-masing

nilai dari data. Setiap komponen diidentifikasi secara terpisah. Proyeksi dari

masing-masing komponen kemudian dapat dikombinasikan untuk menghasilkan

ramalan nilai masa depan dari data runtun waktu (Hanke dan Wichern, 2009).

Beberapa dekomposisi yang telah dikembangkan dan digunakan:

1. Dekomposisi Aditif

Dekomposisi Aditif mendekomposisi data runtun waktu pada komponen-

komponen tren, musiman, siklus dan galat (error). Metode ini mengidentifikasi

ramalan masa depan dan menjumlahkan proyeksi hasil peramalan. Model

diasumsikan bersifat aditif (semua komponen ditambahkan untuk mendapatkan

hasil peramalan).

Persamaan model ini adalah:

adalah data runtun waktu, Tt adalah komponen tren (trend), Ct adalah

komponen siklus (cycle), St adalah komponen musiman (seasonal), dan adalah

komponen tak beraturan.


6

2. Dekomposisi Multiplikatif

Dekomposisi multiplikatif mendekomposisi data runtun waktu pada

komponen-komponen tren, musiman, siklus dan galat kemudian memprediksi

nilai masa depan. Model diasumsikan bersifat multiplikatif (semua komponen

dikalikan satu sama lain untuk mendapatkan model peramalan).

Persamaan model ini adalah:

adalah data runtun waktu, Tt adalah komponen tren (trend), Ct adalah

komponen siklus (cycle), St adalah komponen musiman (seasonal), dan adalah

komponen tak beraturan.

Komponen musiman dan komponen tren merupakan komponen yang

biasanya terdapat pada data. Dengan adanya komponen musiman dapat juga

dilihat komponen siklusnya. Komponen tak beraturan hanya untuk melihat galat

yang ada pada data. Sehingga dalam perumusan masalah penulis hanya membahas

mengenai komponen musiman dan komponen tren.

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, maka rumusan masalah tugas akhir

adalah sebagai berikut:

1. Bagaimana landasan matematis metode ARIMA dan metode dekomposisi

klasik yang memuat tren dan musiman?


7

2. Bagaimana perbandingan metode ARIMA dan metode dekomposisi klasik

yang memuat tren dan musiman?

C. Batasan Masalah

Dalam tugas akhir ini penulis membatasi permasalahan, yaitu

1. Membahas peramalan kuantitatif khususnya dekomposisi secara aditif yang

hanya memuat data tren dan musiman.

2. Pendugaan parameter AR dan MA dengan menggunakan program R.

3. Landasan teori yang dibahas hanya yang berkaitan langsung dengan pokok

perkara skripsi.

4. Skripsi ini hanya mencari metode yang terbaik tanpa meramalkan data untuk

waktu kedepannya.

5. Data yang digunakan adalah data jumlah penumpang kereta api Jawa dan

Sumatera dari tahun 2006-2015.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan yang akan dicapai dalam penulisan ini adalah:

1. Mengetahui landasan matematis peramalan metode ARIMA dan metode

dekomposisi klasik yang memuat tren dan musiman.

2. Mengetahui perbandingan peramalan metode ARIMA dan metode dekomposisi

klasik yang memuat tren dan musiman.


8

E. Metode Penulisan

Metode penulisan yang digunakan adalah metode studi pustaka, yaitu

dengan membaca referensi buku-buku pendukung dan jurnal yang mengenai

ARIMA dan dekomposisi klasik. Jenis-jenis sumber pustaka yang digunakan

dicantumkan dalam daftar pustaka.

F. Manfaat Penulisan

Manfaat yang diperoleh dari skripsi ini adalah:

1. Bagi penulis: lebih memahami mengenai metode peramalan seperti metode

dekomposisi klasik dan metode ARIMA.

2. Bagi pembaca: memberi pengetahuan baru mengenai metode peramalan yang

dapat digunakan serta memberikan informasi bagi pihak yang membutuhkan.

G. Sistematika Penulisan

BAB I: PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Metode Penulisan

F. Manfaat Penulisan

G. Sistematika Penulisan


9

Bab II : LANDASAN TEORI

A. Data Runtun Waktu dan Proses Stokastik

B. Stasioneritas

C. Pembedaan (Differencing)

D. Variabel Acak yang Saling Bebas

E. P-value (Nilai Signifikan)

F. Fungsi Otokorelasi/ Autocorrelation Function (ACF)

G. Fungsi Otokorelasi Parsial/ Partial Autocorrelation Function (PACF)

H. Proses White Noise

I. Uji Normalitas Galat

J. Moving Average (rata-rata bergerak)

K. Metode Dekomposisi Aditif

L. Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)

M. Pengujian White Noise

N. Evaluasi Model

BAB III: METODE DEKOMPOSISI KLASIK DAN METODE ARIMA

A. Pendahuluan

B. Metode Dekomposisi Klasik

C. Metode Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)

D. Contoh 3.4 Runtun Waktu


10

BAB IV: PERBANDINGAN METODE DEKOMPOSISI KLASIK DAN

METODE ARIMA

Bab ini menjelaskan tentang perbandingan metode dekomposisi klasik dan

metode ARIMA untuk pendugaan data runtun waktu.

BAB V : PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran


11

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Data Runtun Waktu dan Proses Stokastik

Definisi 2.1 Runtun waktu (time series)

Runtun waktu adalah himpunan pengamatan pada waktu . Runtun waktu

diskrit adalah himpunan pengamatan dengan . Runtun waktu kontinu adalah

himpunan pengamatan dengan atau t pada interval tertentu.

Contoh 2.1 Permainan bisbol tahun 1933-1995

Gambar 2.1 menunjukkan hasil permainan bisbol dengan memplot , dengan

{

ini adalah pertunjukan dengan hanya dua nilai kemungkinan yaitu . Ada

beberapa nilai yang tidak ada yaitu pada tahun 1945 dan tahun 1959-1962 karena

pertandingan tidak dimainkan.

Gambar 2.1 Permainan bisbol tahun 1933-1995


12

Pada skripsi ini akan dibahas mengenai data runtun waktu diskrit. Data

runtun waktu diamati sebagai n variabel acak di sebarang waktu bilangan bulat

, untuk setiap n bilangan bulat positif, disediakan oleh fungsi distribusi

bersama, dievaluasi sebagai probabilitas bahwa nilai-nilai dari data yang bersama-

sama kurang dari n konstanta, yaitu

(2.1)

Pengamatan variabel yang tersedia dari waktu ke waktu disebut data

runtun waktu (Hanke & Winchern, 2009). Tujuan utama dari analisis runtun

waktu adalah untuk mengembangkan model matematika yang menyediakan

deskripsi yang masuk akal untuk data sampel. Agar dapat memberikan analisis

statistik untuk menggambarkan karakter data yang berfluktuasi secara acak dari

waktu ke waktu, diasumsikan runtun waktu dapat didefinisikan sebagai kumpulan

dari variabel acak diindeks berdasarkan urutan yang diperoleh dalam waktu.

Sebagai contoh, perhatikan data runtun waktu sebagai urutan variabel acak,

dengan variabel acak menunjukkan nilai yang diambil oleh deret

pada saat pertama, variabel menunjukkan nilai untuk periode waktu yang

kedua, variabel menunjukkan nilai untuk periode ketiga, dan seterusnya

(Shumway dan Stoffer, 2011:11).

Salah satu langkah yang penting dalam peramalan adalah

mempertimbangkan pola data sehingga metode peramalan yang sesuai dengan

data tersebut dapat bermanfaat. Secara umum terdapat empat macam pola data

runtun waktu, yaitu horisontal, tren, musiman, dan siklus (Hanke dan Wichren,

2009). Pola horisontal merupakan kejadian yang tidak terduga dan bersifat acak,


13

tetapi kemunculannya dapat mempengaruhi fluktuasi data runtun waktu. Pola

horisontal terjadi ketika nilai berfluktuasi di sekitar nilai rata-rata yang konstan

artinya data tidak mengalami kenaikan atau penurunan secara signifikan. Pola tren

adalah kecenderungan data untuk naik atau turun pada suatu runtun waktu dalam

periode yang cukup panjang. Pola musiman merupakan fluktuasi dari data yang

terjadi secara periodik dalam kurun waktu satu tahun, misalnya fluktuasi per

triwulanan, kuartalan, bulanan, mingguan, atau harian. Sedangkan pola siklus

merupakan fluktuasi dari data untuk waktu yang lebih dari satu tahun. Model

runtun waktu adalah model yang dapat digunakan untuk menganalisis serangkaian

data yang merupakan fungsi dari waktu.

B. Stasioneritas

Stasioneritas berarti bahwa tidak terdapat pertumbuhan dan penurunan pada

data. Data secara kasarnya harus horisontal sepanjang sumbu waktu. Dengan kata

lain, fluktuasi data berada di sekitar suatu nilai rata-rata yang konstan, tidak

tergantung pada waktu dan variansi dari fluktuasi yang konstan setiap waktu

(Makridakis, Wheelwright, McGee, 1999). Stasioneritas data dapat dilihat dari

plot data runtun waktu. Data runtun waktu dikatakan stasioner jika tidak ada unsur

tren dan musiman pada data, serta rata-rata dan variansinya konstan.


14

Gambar 2.2 Plot data stasioner dalam rata-rata dan variansi

Gambar 2.3 Plot data stasioner dalam variansi dan tidak stasioner dalam

rata-rata

Gambar 2.4 Plot data stasioner dalam rata-rata dan tidak stasioner dalam

variansi


15

Gambar 2.5 Plot data tidak stasioner dalam rata-rata dan variansi

Apabila data tidak stasioner dalam rata-rata, maka untuk menghilangkan

ketidakstasioneran dapat dilakukan dengan pembedaan yang akan dibahas pada

subbab C. Apabila data tidak stasioner dalam variansi maka dapat dilakukan

transformasi Box dan Cox (Wei, 2006), dengan fungsi transformasi sebagai

berikut:

Perhitungan dengan menggunakan program R dengan perintah: >Lambda=

BoxCox,lambda(Xt), dengan adalah data asli.

C. Pembedaan (Differencing)

Pembedaan (differencing) digunakan untuk menstasionerkan data yang tidak

stasioner khususnya data yang tidak stasioner dalam rata-rata (mean). Operator

yang biasa digunakan dalam pembedaan adalah operator langkah mundur

(backward shift). Notasi operator langkah mundur adalah


16

Dengan B = langkah mundur

= nilai variabel X pada waktu t

= nilai variabel X pada waktu

Notasi B pada mempunyai pengaruh menggeser data 1 periode ke belakang.

Apabila ada dua B pada maka menggeser data 2 periode ke belakang, dapat

ditulis dan seterusnya.

Apabila suatu data runtun waktu tidak stasioner, maka data tersebut dapat

dibuat mendekati stasioner dengan melakukan pembedaan orde pertama dari data

runtun waktu. Rumus pembedaan orde pertama adalah

(2.2)

Dengan menggunakan operator langkah mundur, persamaan (2.2) dapat ditulis

menjadi

(2.3)

Dengan = nilai variabel pada waktu setelah pembedaan. Pembedaan orde

pertama dinyatakan oleh (1-B).

Apabila stasioneritas tidak dicapai, dapat dilakukan pembedaan orde kedua

yaitu:

(2.4)

Dengan operator langkah mundur, persamaan (2.4) dapat ditulis

(2.5)


17

Tujuan melakukan pembedaan adalah untuk mencapai stasioneritas, dan

secara umum apabila terdapat pembedaan orde ke-d dapat ditulis:

D. Variabel Acak yang Saling Bebas

Definisi 2.2

Misalkan mempunyai fungsi distribusi , mempunyai fungsi distribusi

dan , mempunyai fungsi distribusi bersama . Maka dan

dikatakan saling bebas jika dan hanya jika

Untuk setiap pasangan bilangan real .

Jika dan variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas bersama

dan fungsi probabilitas marginal dan , maka dan

saling bebas jika dan hanya jika

Untuk semua pasangan bilangan real .

Jika dan variabel acak kontinu dengan fungsi densitas bersama

dan fungsi densitas marginal dan , maka dan saling

bebas jika dan hanya jika

Untuk semua pasangan bilangan real .


18

Definisi 2.3

Misalkan adalah fungsi dari variabel acak diskrit, ,

yang mempunyai fungsi probabilitas bersama . Maka nilai

harapan dari adalah

[ ] ∑

∑∑

Jika adalah variabel acak kontinu dengan fungsi densitas bersama

maka

[ ] ∫

∫ ∫

Teorema 2.1

Misalkan adalah konstan, maka

Bukti

Menurut definisi 2.3 untuk distribusi probabilitas diskrit, diperoleh

∑

∑

Dari teorema ∑

Menurut definisi 2.3 untuk distribusi probabilitas kontinu, diperoleh

∫

∫

Dari teorema ∫


19

Teorema 2.2

Misalkan adalah fungsi dari variabel acak dan c adalah konstan,

maka

[ ] [ ]

Bukti

Menurut definisi 2.3 untuk diskrit, diperoleh

[ ] ∑∑

∑∑

[ ]

Menurut definisi 2.3 untuk kontinu, diperoleh

[ ] ∫ ∫

∫ ∫

[ ]

Teorema 2.3

Misalkan dan adalah variabel acak dan

adalah fungsi dari dan , maka

[ ] [ ] [ ]

[ ]


20

Bukti

Menurut definisi 2.3 untuk diskrit, diperoleh

[ ] ∑∑[

]

∑∑

∑∑

∑∑

[ ] [ ]

[ ]

Menurut definisi 2.3 untuk kontinu, diperoleh

[ ] ∫ ∫[

]

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫


21

[ ] [ ]

[ ]

Teorema 2.4

Misalkan dan adalah variabel acak yang saling bebas, maka

[ ] [ ] [ ]

Bukti

Menurut definisi 2.3 dan 2.2 untuk diskrit, diperoleh

[ ] ∑∑

∑∑

∑ ∑

∑ [ ]

[ ]∑

[ ] [ ]

Menurut definisi 2.3 dan 2.2 untuk kontinu, diperoleh

[ ] ∫ ∫

∫ ∫


22

∫ [ ∫

]

∫ [ ]

[ ] ∫

[ ] [ ]

[ ] [ ]

E. P-value ( Nilai Signifikan)

P-value (nilai signifikan) adalah nilai kesalahan yang didapat dari hasil

perhitungan statistik atau sebagai ukuran untuk menerima atau menolak

(hipotesis nol). Sebelum menghitung nilai p-value, harus ditetapkan terlebih

dahulu nilai alpha ( ) sebagai patokan seberapa besar kesalahan tersebut dapat

diterima. Alpha adalah batas kesalahan maksimal yang dijadikan patokan oleh

peneliti. Nilai alpha yang sering digunakan adalah sebesar , nilai alpha yang

kecil menunjukkan semakin ketatnya aturan dalam suatu penelitian. Nilai alpha

menunjukkan seberapa ekstrim suatu data (data ideal), sehingga dapat

menunjukkan adanya perbedaan dengan data lainnya (tolak H0). Selanjutnya

membandingkan nilai alpha dengan nilai p-value untuk mengetahui apakah data

yang diobservasi berbeda secara signifikan dibandingkan dengan apa yang

ditetapkan dalam hipotesis nol (null hypothesis). Jika nilai p-value , maka


23

peneliti menolak hipotesis nol. Jika nilai p-value , maka peneliti gagal

menolak hipotesis nol (menerima hipotesis nol).

F. Fungsi Otokorelasi/ Autocorrelation Function (ACF)

Sebelum membahas ACF sebaiknya perhatikan penjelasan tentang fungsi

otokovariansi. Dalam asumsi stasioner, proses stokastik { } mempunyai rata-rata

dan variansi yang konstan dan

kovariansi , yang fungsinya merupakan selisih waktu | |.

Maka dari itu, hasil tersebut dapat ditulis sebagai kovariansi antara dan

dari proses stokastik { } sebagai berikut:

[ ] (2.6)

Fungsi otokorelasi merupakan hubungan antara suatu himpunan observasi

dengan himpunan observasi itu sendiri tetapi dalam waktu yang berbeda.

Koefisien otokorelasi menunjukkan keeratan hubungan antara nilai variabel yang

sama tetapi pada waktu yang berbeda. Koefisien ini juga mengukur tingkat

keeratan hubungan antara dengan . Sedangkan pengaruh time lag 1,2,3,...

dan seterusnya sampai k-1 konstan. Koefisien otokorelasi untuk lag-k dari data

runtun waktu dapat ditulis sebagai berikut (Wei, 2006):

√

[ ]

√ [ ]√ [ ]

(2.7)

Dengan: =rata-rata

=data runtun waktu

=otokovariansi pada lag-k


24

= otokorelasi pada lag-k

=waktu pengamatan, t=1,2,3,...

dan

| | | |

Koefisien dari otokovariansi dapat diduga dengan

∑

(2.8)

dengan = koefisien otokovarian lag-k

n = ukuran sampel,

= rata-rata pengamatan pada

= pengamatan pada waktu ke

= pengamatan pada waktu ke , dengan

untuk

1. Penduga Fungsi Otokorelasi (ACF)

Menurut (Makridakis, 1999:339) koefisien fungsi otokorelasi dapat

diduga dengan koefisien otokorelasi sampel, yaitu

∑

∑

(2.9)

Dengan = koefisien otokorelasi lag-k

n = banyaknya data


25

= rata-rata pengamatan pada

= pengamatan pada waktu ke-t

= pengamatan pada waktu ke , dengan

Contoh 2.2

Diberikan contoh cara menghitung secara numerik fungsi otokorelasi pada

tabel 2.1

Tabel 2.1 data runtun waktu

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

13 8 15 4 4 12 11 7 14 12

Otokorelasi sampel untuk data dapat dihitung menggunakan pendugaan sampel

∑

∑

dengan dan . Misalkan , sehingga

diperoleh otokorelasi

∑

∑

adalah koefisien otokorelasi time lag 0, adalah koefisien otokorelasi

time lag 1. Dengan cara yang sama, koefisien otokorelasi ,


26

, dan seterusnya dapat dihitung seperti contoh di atas. Berikut adalah plot

ACF contoh 2.1 untuk lag 0 sampai lag 10.

Gambar 2.6 Plot ACF

Dalam perhitungan fungsi otokorelasi untuk lag 0 selalu bernilai 1.

dan seterusnya, untuk lag selanjutnya dapat

dilihat pada gambar di atas.

2. Pengujian Fungsi Otokorelasi (ACF)

Langkah-langkah pengujian:

1. (koefisien otokorelasi tidak signifikan)

2. (koefisien otokorelasi signifikan)

3. Menentukan

4. Statistik uji:


27

dengan

√

5. wilayah kritis:

ditolak (koefisien otokorelasi signifikan) jika | | .

6. Membuat kesimpulan

merupakan fungsi atas k, maka hubungan koefisien korelasi dengan lag

nya disebut fungsi otokorelasi. Pengujian dilakukan untuk mengetahui apakah

koefisien fungsi otokorelasi signifikan atau tidak.

Selain menggunakan pengujian tersebut, dapat juga menggunakan batas

signifikansi. Untuk memeriksa apakah koefisien signifikan, dapat digunakan

rumus kesalahan standar dari yakni

√ . Sehingga seluruh nilai korelasi

yang tidak signifikan akan berada pada batas (

√ )

(

√ ) pada

selang kepercayaan , untuk nilainya mendekati nilai .

Pada skripsi ini, pengujian ACF tidak hanya digunakan untuk uji koefisien

otokorelasi tetapi juga digunakan untuk menguji galat dari model ARIMA,

sehingga keacakan galat dapat dilihat. Jika pada grafik ACF tidak ada lag yang

melebihi garis signifikans (garis putus-putus), maka galat bersifat acak (koefisien

otokorelasi tidak signifikan). Perhatikan plot ACF galat berikut (untuk lag 0

dalam program R tidak diperhitungkan karena selalu bernilai 1).


28

Gambar 2.7 Plot ACF galat

Dari gambar 2.7 terlihat bahwa galat bersifat acak karena untuk setiap lag berada

pada batas signifikan.

Selanjutnya perhatikan contoh 2.2, dari contoh dapat dihitung batas

signifikan untuk dan sehingga diperoleh batas signifikan

(

√ )

(

√ )

(

√ ) (

√ )

(

√ ) (

√ )

Perhatikan gambar 2.6 plot ACF pada contoh 2.2, dari gambar telihat bahwa

tidak ada lag yang melebihi batas signifikan sehingga dapat disimpulkan bahwa

koefisien otokorealsi untuk setiap lag adalah tidak signifikan.


29

G. Fungsi Otokorelasi Parsial/ Partial Autocorrelation Function (PACF)

Otokorelasi parsial digunakan untuk mengukur tingkat keeratan antara

dan , apabila pengaruh dari time lag dianggap terpisah

(Makridakis, 1995).

Otokorelasi parsial dapat diturunkan dari model regresi linear, dengan

variabel dependent yang merupakan proses stasioner dengan rata-rata nol

yang diregresikan pada lag dengan variabel , yaitu

(2.10)

dengan adalah parameter regresi ke-i, dan adalah galat

dengan rata-rata 0 dan tidak berkorelasi dengan untuk .

Dengan mengalikan pada kedua sisi dari persamaan regresi (2.10)

diperoleh

Selanjutnya menghitung nilai harapannya (expected value)

Mengacu pada teorema 2.4 dan persamaan (2.6), diperoleh

Bila dibagi maka

Untuk diperoleh sistem persamaan Yule-Walker

( )

( )


31

1. Pendugaan Fungsi Otokorelasi Parsial (PACF)

Menurut (Wei, 2006) fungsi otokorelasi parsial persamaan (2.11) dapat

diduga dengan koefisien otokorelasi parsial sampel secara rekursif. Metode

rekursif dimulai dengan . Untuk perhitungan diberikan oleh Durbin

(1960) yaitu

∑

∑

(2.12)

dan

(2.13)

dengan

= koefisien otokorelasi parsial

Contoh 2.3

Mengacu pada contoh 2.2 ACF, selanjutnya dapat dihitung koefisien

otokorelasi parsial dengan persamaan (2.12) dan (2.13). Pada proses ACF

diperoleh , dan , selanjutnya dicari

koefisien otokorelasi parsial yaitu


32

Untuk selainnya dapat dihitung menggunakan cara yang sama seperti contoh

di atas. Berikut adalah gambar PACF contoh 2.3

Gambar 2.8 Plot PACF contoh 2.3

2. Pengujian Fungsi Otokorelasi Parsial (PACF)

Langkah-langkah pengujian hipotesis koefisien otokorelasi parsial:

1. (koefisien otokorelasi parsial tidak signifikan)

2. (koefisien otokorelasi parsial signifikan)

3. Menentukan

4. Statistik uji:


33

dengan

√

5. wilayah kritis:

ditolak (koefisien otokorelasi signifikan) jika | | .


Untuk mengetahui apakah koefisien otokorelasi parsial signifikan atau tidak,

dapat juga menggunakan batas signifikansi. Dengan menggunakan rumus

kesalahan standar dari yakni

√ . Sehingga seluruh nilai korelasi

yang tidak signifikan akan berada pada batas (

√ )

(

√ ),

pada selang kepercayaan , untuk nilainya mendekati nilai .

Dari contoh 2.3 dapat dihitung batas signifikan untuk , sehingga

diperoleh batas signifikan

(

√ )

(

√ )

(

√ ) (

√ )

(

√ ) (

√ )

Perhatikan gambar 2.8 plot PACF pada contoh 2.3, dari gambar terlihat

bahwa tidak ada lag yang melebihi garis signifikan sehingga dapat disimpulkan

bahwa koefisien otokorealasi untuk setiap lag adalah tidak signifikan.


34

H. Proses White Noise

Definisi 2.4 Proses White Noise

Suatu proses stokastik { } disebut proses white noise jika barisan variabel acak

yang berdistribusi normal tidak berkorelasi di setiap waktu, dengan rata-rata

dan variansi konstan Var = .

Berdasarkan definisi 2.4 di atas, proses white noise { } adalah stasioer

dengan fungsi otokovariansi (Wei, 2006).

{

fungsi otokorelasi

{

dan fungsi otokorelasi parsial

{

I. Uji Normalitas Galat

Uji normalitas galat digunakan untuk mengetahui apakah galat berdistribusi

normal atau tidak. Untuk menguji normalitas dari galat menggunakan uji

normalitas Kolmogorov-Smirnov dengan langkah-langkah sebagai berikut

(Daniel, 1989):

1. galat berdistribusi normal

2. galat tidak berdistribusi normal

3.


35

4. Dengan statistik uji:

| |

Dengan fungsi distribusi kumulatif berdasarkan data sampel

fungsi distribusi kumulatif di bawah

nilai Z diperoleh dari

adalah rata-rata sampel dan adalah standard deviasi sampel.

5. kriteria pengujian:

diterima (galat berdistribusi normal) jika atau

, dengan n adalah ukuran sampel.

6. Menentukan kesimpulan

Pengujian juga dapat dilakukan dengan melihat grafik normalitas. Jika galat

berdistribusi normal, maka galat akan berada di sekitar garis diagonal. Untuk galat

yang tidak berdistribusi normal, maka galat akan menyebar dan menjauhi garis

diagonal.

Gambar 2.9 galat berdistribusi normal


36

Contoh 2.4 uji data normalitas

Diberikan 14 data pada tabel 2.2

Tabel 2.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

73.9 74.2 74.6 74.7 75.4 76 76 76 76.5 76.6 76.9 77.3 77.4 77.7

Uji apakah data tersebut berdistribusi normal dengan menggunakan uji

Kolmogorov-Smirnov.

Penyelesaian:

1. galat berdistribusi normal

2. galat tidak berdistribusi normal

3.

4. Dengan statistik uji:

| |

Dengan = , nilai Z diperoleh dari

5. Menentukan kriteria pengujian

n adalah banyaknya pengamatan, n=14,

6. Menghitung stastistik uji

Diperoleh rata-rata dan standar deviasi

Perhitungan statistik uji Kolmogorov-Smirnov diberikan pada tabel di bawah

Frek

=

|

|

73.9 1 1 0.0714 -1.52 0.0643 0.0071

74.2 1 2 0.1429 -1.30 0.0968 0.0461


37

74.6 1 3 0.2143 -1.00 0.1587 0.0556

74.7 1 4 0.2857 -0.92 0.1788 0.1069

75.4 1 5 0.3571 -0.40 0.3446 0.0125

76 3 8 0.5714 0.05 0.5199 0.0515

76.5 1 9 0.6429 0.42 0.6628 0.0199

76.6 1 10 0.7143 0.50 0.6915 0.0228

76.9 1 11 0.7857 0.72 0.7642 0.0215

77.3 1 12 0.8571 1.02 0.8461 0.0110

77.4 1 13 0.9286 1.10 0.8643 0.0643

77.7 1 14 1 1.32 0.9066 0.0934

Dari perhitungan | | diperoleh nilai D maksimum adalah

0.1069

7. Kesimpulan:

Karena nilai , maka diterima. Jadi galat

berdistribusi normal.

J. Moving average (rata-rata bergerak)

Rata-rata bergerak merupakan salah satu cara untuk mengubah pengaruh

data masa lalu terhadap nilai tengah sebagai peramalan. Rata-rata bergerak

digunakan untuk menentukan berapa jumlah nilai observasi masa lalu yang akan

dimasukkan untuk menghitung nilai tengah. Rata-rata bergerak adalah metode

pemulusan data runtun waktu berdasarkan nilai rata-rata dari observasi terdahulu.

Ide menggunakan rata-rata bergerak untuk pemulusan data adalah bahwa

pengamatan yang berada didekatnya dalam waktu , juga akan mendekati nilai

aslinya. Jadi mengambil rata-rata dari suatu titik pengamatan akan memberikan

pendugaan yang wajar dari tren yang diobservasi itu. Rata-rata menghilangkan


38

beberapa keacakan pada data. Agar lebih memahami tentang konsep rata-rata

bergerak, perhatikan tabel rata-rata bergerak dibawah:

Waktu Rata-rata bergerak

dst

Rata-rata bergerak dengan koefisien { } dapat ditulis sebagai { }, yang

didefinisikan (Ladiray & Quenneville, 2001):

∑

(2.14)

P “past” waktu pada masa lalu dan f “future” waktu pada masa yang akan datang.

Kuantitas p+f+1 adalah order dari rata-rata bergerak

Bila p sama dengan f, banyaknya titik pada masa lalu sama dengan

banyaknya titik pada masa yang akan datang, maka rata-rata bergerak

dikatakan terpusat (centered).

Jika untuk sebarang k, maka rata-rata bergerak M dikatakan

simetrik.

Berikut diberikan contoh rata-rata bergerak.


39

Contoh 2.5

Diketahui data simulasi pada tabel 2.4 dengan n=60 dan

, p=2 dan f=0

Tabel 2.3

1 -0.09 16 -0.02 31 0.01 46 -0.01

2 0.06 17 0 32 -0.01 47 0.011

3 -0.05 18 -0.01 33 0.019 48 -0.02

4 -0.04 19 0.011 34 -0.019 49 -0.01

5 0.02 20 -0.01 35 0.011 50 0.02

6 -0.03 21 0.014 36 -0.011 51 -0.01

7 -0.02 22 -0.01 37 0.012 52 0.011

8 0 23 0.012 38 -0.05 53 -0.02

9 -0.01 24 -0.01 39 0.04 54 0.06

10 -0.02 25 0.013 40 -0.04 55 -0.05

11 0 26 -0.01 41 0.02 56 -0.04

12 -0.02 27 0.02 42 -0.03 57 0.02

13 -0.01 28 -0.01 43 -0.02 58 -0.03

14 0 29 0.011 44 -0.01 59 0.01

15 -0.01 30 -0.02 45 0.02 60 0.02

Dengan menggunakan rumus ∑

Diperoleh persamaan

Dengan perhitungan Excel diperoleh nilai sebagai berikut:

1 -0.0900 16 -0.0136 31 0.0270 46 -0.0266

2 0.1175 17 0.0090 32 -0.0240 47 0.0250

3 -0.1226 18 -0.0176 33 0.0292 48 -0.0308

4 0.0148 19 0.0174 34 -0.0349 49 0.0070

5 0.0265 20 -0.0208 35 0.0304 50 0.0188

6 -0.0580 21 0.0246 36 -0.0253 51 -0.0266


40

7 0.0068 22 -0.0227 37 0.0232 52 0.0250

8 0.0013 23 0.0237 38 -0.0619 53 -0.0308

9 -0.0176 24 -0.0215 39 0.0765 54 0.0770

10 -0.0136 25 0.0240 40 -0.0846 55 -0.0959

11 0.0090 26 -0.0221 41 0.0608 56 0.0148

12 -0.0276 27 0.0313 42 -0.0580 57 0.0265

13 0.0028 28 -0.0266 43 0.0068 58 -0.0580

14 -0.0012 29 0.0250 44 -0.0087 59 0.0368

15 -0.0138 30 -0.0308 45 0.0188 60 0.0022

Gambar 2.10 plot dan

Dari gambar 2.10 terlihat bahwa nilai data asli dan rata-rat bergerak tidak berbeda

secara signifikan.

K. Metode Dekomposisi Aditif

Dekomposisi adalah suatu pendekatan analisis data runtun waktu untuk

mengidentifikasi faktor-faktor komponen yang mempengaruhi masing-masing


41

nilai dari data. Setiap komponen diidentifikasi secara terpisah. Proyeksi dari

masing-masing komponen kemudian dapat dikombinasikan untuk menghasilkan

ramalan nilai masa depan dari data runtun waktu (Hanke dan Wichern, 2009).

Metode dekomposisi memisahkan pola dasar menjadi tiga komponen

terpisah yang cenderung mencirikan runtun data ekonomi dan bisnis. Komponen

tersebut adalah tren, siklus, dan musiman. Dekomposisi mempunyai asumsi

bahwa data itu tersusun sebagai berikut:

Data = pola + galat

= f (tren, siklus, musiman) + galat

Jadi, di samping komponen pola, terdapat pula unsur galat atau kerandoman. Data

merupakan fungsi dari tren-siklus, musiman dan galat. Galat ini dianggap

merupakan perbedaan antara pengaruh gabungan dari tiga sub-pola runtun

tersebut dengan data yang sebenarnya.

Penulisan matematis umum dari pendekatan dekomposisi aditif adalah:

adalah nilai runtun waktu (data yang aktual) pada periode t

adalah komponen tren pada periode t

adalah komponen siklus pada periode t

adalah komponen musiman pada periode t

adalah komponen Ireguler/ tidak teratur pada periode t

Keempat komponen dalam analisis runtun waktu adalah sebagai berikut:


42

1. Tren ( )

Tren adalah pergerakan naik turun suatu keadaan dalam jangka panjang.

Tren merupakan gerakan yang lamban, panjang, dan menuju ke satu arah.

Pergerakan tren dapat naik, turun bahkan konstan. Data runtun waktu

menunjukkan adanya kecenderungan untuk naik atau turun dalam jangka waktu

yang cukup panjang. Pola ini diidentifikasi sebagai tren, interpretasi lain dari tren

adalah pola yang mendasari data yang berlangsung selama bertahun-tahun.

Gambar 2.11 pola tren

Garis tren seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.10 dapat dijelaskan

dengan dua parameter dan dalam bentuk

Dengan

∑

∑

∑

∑ ∑

∑

∑

yang dijelaskan secara rinci pada subbab M. Terdapat beberapa kurva tren lain

yang non-linear misalnya eksponensial.


43

2. Musiman ( )

Variasi musiman merupakan pergerakan suatu keadaan yang berlangsung

secara periodik/ berulang dalam jangka waktu satu tahun, yang disebut pula

dengan tren musiman dan akan berulang dalam setiap tahunnya. Contoh nyata

gejala variasi musim adalah adanya kecenderungan meningkatnya permintaan

yang diikuti oleh peningkatan harga beberapa komoditas tertentu, seperti telur,

daging, dan sayuran setiap kali mendekati perayaan hari raya keagamaan yang

akan berulang secara periodik setiap tahunnya. Besarnya nilai variasi musiman ini

dinamakan sebagai indeks musiman.

Gambar 2.12 pola musiman

Salah satu contoh yang memuat komponen musiman adalah gelombang

sinus, secara matematis dapat ditulus sebagai:

[(

) ]

Dengan adalah amplitudo

adalah frekuansi dari jumlah pengamatan

adalah indeks waktu


44

adalah jumlah periode yang diamati

adalah sudut fase (dalam radian)

3. Siklus ( )

Variasi siklus merupakan pergerakan tren yang meningkat ataupun menurun

dalam jangka yang relatif panjang dari pada variasi musiman. Pola siklus biasanya

terjadi dalam kurun waktu lebih dari satu tahun. Sehingga pola siklus tidak perlu

dimasukkan dalam ramalan jangka pendek. Pola ini amat berguna untuk

peramalan jangka menengah dan jangka panjang. Seperti siklus bisnis, aktivitas

sosial-ekonomi secara bergantian berkembang.

Gambar 2.13 pola siklus

4. Tak beraturan / irregular ( )

Variasi acak dapat terjadi karena adanya faktor-faktor, seperti bencana alam,

bangkrutnya perusahaan pesaing, promosi khusus, dan kejadian-kejadian lainnya

yang tidak mempunyai pola tertentu (tak teratur). Variasi acak ini diperlukan


45

dalam rangka menentukan persediaan pengaman untuk mengantisipasi

kekurangan persediaan bila terjadi lonjakan permintaan.

Gambar 2.14 pola tak beraturan

L. Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)

ARIMA telah banyak dikembangkan lebih lanjut dan ditetapkan untuk

peramalan. Pendekatan yang digunakan di dalam menetapkan pola runtun waktu

yang demikian, beserta metodologi yang digunakan untuk mengekstrapolasi pola-

pola tersebut untuk masa yang akan datang lebih didasarkan pada teori statistika

yang telah dikembangkan dengan baik. Model ARIMA adalah gabungan dari

model AR dan MA nonstasioner yang telah di differencing sehingga menjadi

model yang stasioner.

1. Model Autoregressive (AR)

Model autoregressive orde p, dinotasikan dengan AR(p) atau

ARIMA(p,0,0). Bentuk umum model AR(p) adalah:


46

(2.15)

Dengan

= data runtun waktu ke-t

= koefisien autoregressive, i : 1,2,3,…….,p

= nilai galat pada waktu ke-t

p = orde AR

Persamaan (2.15) dapat ditulis dengan menggunakan operator B (langkah

mundur):

Orde AR yang sering digunakan dalam analisis runtun waktu adalah orde 1 dan

orde 2. Bentuk umum model AR(1) adalah , dengan operator

langkah mundur dapat ditulis . Bentuk umum model AR(2)

adalah , dengan operator langkah mundur dapat

ditulis .

2. Model Moving Average (MA)

Model Moving Average orde q, dinotasikan dengan MA(q) atau

ARIMA(0,0,q). Bentuk umum mode MA(q) adalah:

(2.16)

dengan



47

= parameter Moving Average (MA), i q

q = orde MA


= nilai galat pada waktu

Persamaan (2.16) dapat ditulis dengan menggunakan operator langkah mundur:

Dalam praktiknya, dua kasus yang kemungkinan besar akan dihadapi adalah

apabila q=1 dan q=2. Bentuk umum model MA(1) adalah ,

dengan operator langkah mundur dapat ditulis . Bentuk umum

model MA(2) adalah , dengan operator langkah

mundur dapat ditulis .

3. Model Autoregressive Moving Average (ARMA)

Model Autoregressive Moving Average (ARMA) merupakan gabungan

model AR(p) dan MA(q). Bentuk umum ARMA(p,q) adalah:

(2.17)

dengan


= koefisien autoregressive,

= parameter Moving Average (MA),

p = orde AR

q = orde MA


48


4. Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)

Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) merupakan

gabungan model AR(p), proses pembedaan dan MA(q). Dengan kata lain, apabila

nonstasioneritas ditambahkan pada campuran proses ARMA maka model umum

terpenuhi. Bentuk umum dapat ditulis

menggunakan bentuk operator langkah mundur yaitu:

(2.18)

dengan

adalah operator langkah mundur untuk

AR (Autoregressive)


MA (Moving Average)

adalah proses pembedaan orde ke-d

5. Model ARIMA dengan Komponen Musiman

Kerumitan yang dapat ditambahkan pada model ARIMA adalah komponen

musiman. Notasi ARIMA dapat diperluas untuk menangani komponen musiman,

notasi umumnya adalah

dengan = bagian yang tidak musiman dari model


49

= bagian yang musiman dari model

= jumlah periode per musiman

Rumus umum dari adalah

dengan


AR (Autoregressive)

adalah operator langkah mundur

untuk SAR (Seasonal Autoregressive)


MA (Moving Average)

adalah operator langkah mundur

untuk SMA (Seasonal Moving Average)

adalah proses pembedaan orde ke-d non musiman

adalah proses pembedaan orde ke-D musiman

M. Pengujian White-Noise

Keacakan galat dari suatu model dapat diuji menggunakan uji statistik Q

Box-Pierce dengan hipotesis (Wei, 2006) sebagai berikut:

1. (galat acak yang memenuhi proses white noise)

2. dengan (galat tidak acak yang tidak memenuhi

proses white noise)

3. Menentukan


50

4. Statistik uji

∑

5. Wilayah kritis:

diterima (galat acak yang memenuhi white noise) jika nilai

atau . Dengan m adalah jumlah lag, p adalah

orde AR dan q adalah orde MA. adalah derajat bebas.


Selain menggunakn pengujian Q Box-Pierce, keacakan galat dapat dilihat

dari plot ACF galat. Apabila pada plot ACF tidak ada lag yang melebihi garis

signifikansi maka galat bersifat acak, seperti yang telah dijelaskan pada subbab D.

Galat memenuhi proses white noise jika galat bersifat acak dan berdistribusi

normal.

Gambar 2.15 galat acak


51

N. Evaluasi Model

Dalam banyak situasi peramalan, ketepatan dipandang sebagai kriteria

penolakan untuk memilih suatu metode peramalan. Ketepatan merujuk kearah

kebaikan model, yang pada akhirnya menunjukkan seberapa jauh model

peramalan tersebut mampu memproduksi data yang telah diketahui. Untuk

mengukur ketepatan model menggunakan Mean Square Error (MSE) sebagai

berikut:

∑

dengan

n= banyaknya pengamatan

= nilai pengamatan pada waktu ke-t

= nilai peramalan pada waktu ke-t

Model yang baik akan memiliki nilai MSE yang paling kecil.

Berikut akan dijelaskan cara memperoleh nilai dan dari persamaan

yang akan digunakan untuk pendugaan garis tren pada Bab III.

Dengan asumsi terdapat data, persamaan regresi dapat

diduga sedemikian sehingga meminimumkan jumlah kuadrat deviasi .

Dengan mendefinisikan

,

maka

( )

dan ∑

∑( )


52

Dengan substitusi diperoleh

∑

∑

Meminimumkan berarti turunan dari ∑

∑

∑

∑

∑

Sehingga diperoleh

∑

∑

Selanjutnya

∑

∑

∑

∑

∑

Dengan substitusi ∑

∑

pada persamaan diatas, sehingga diperoleh

∑

∑

∑

∑ ∑


53

BAB III

METODE DEKOMPOSISi KLASIK DAN METODE ARIMA

A. Pendahuluan

Metode dekomposisi termasuk pendekatan yang tertua. Metode ini

digunakan pada awal abad ini oleh ahli ekonomi untuk mengenali dan

mengendalikan siklus bisnis. Dasar dari metode dekomposisi muncul pada tahun

1920-an ketika konsep rasio-tren diperkenalkan. Sejak saat itu pendekatan

dekomposisi telah digunakan secara luas baik oleh para ahli ekonomi ataupun

para pengusaha.

Metode Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) telah

dipelajari secara mendalam oleh George Box dan Gwilym Jenkins (1976), dan

nama mereka sering disinonimkan dengan proses ARIMA yang diterapkan untuk

analisis runtun waktu, peramalan dan pengendalian. Box dan Jenkins (1976)

secara efektif telah mencapai kesepakatan mengenai informasi relevan yang

diperlukan untuk memahami dan memakai model-model ARIMA untuk data

runtun waktu univariat. Dasar dari metode ARIMA terdiri dari tiga tahap:

identifikasi, penaksiran dan pengujian serta penerapan (Makridakis, Wheelwright,

McGee, 1999).


54

B. Metode Dekomposisi Klasik

Langkah-langkah dekomposisi aditif untuk data runtun waktu adalah

sebagai berikut:

1. Pada deret data yang sebenarnya ( ) hitung rata-rata bergerak yang

panjangnya (N). Maksud dari rata-rata bergerak ini adalah menghilangkan

unsur musiman dan kerandoman. Dengan cara merata-ratakan sejumlah

periode yang sama dengan panjang pola musiman (misalnya 12 bulan, 4 bulan,

atau 7 hari). Rata-rata bergerak merupakan penjumlahan dari ,

tetapi dalam sebagian besar prosedur dekomposisi menjadikan tren dan siklus

sebagai komponen tunggal (sebut saja ).

2. Mengurangkan data asli ( ) dengan rata-rata bergerak untuk

menghasilkan komponen musiman dan komponen acak/ tak beraturan.

3. Berdasarkan komponen data yang diperoleh dari , selanjutnya dicari

rata-rata medialnya, yaitu nilai rata-rata untuk setiap bulan setelah dikeluarkan

nilai terbesar dan terkecil.

4. Indeks musiman dapat diperoleh dari rata-rata medial, dengan menjumlahkan

setiap rata-rata medial dengan faktor koreksi sehingga rata-rata musiman

menjadi nol.

5. Mengurangkan data asli ( ) dengan indeks musiman ( ) untuk memperoleh

garis tren. Garis tren dapat ditentukan berdasarkan model

Dengan meminimumkan MSE diperoleh


55

∑ ∑ ∑

∑ ∑

∑

∑

Dengan = data asli yang telah dikurang indeks musiman

= periode

= banyaknya data

6. Setelah diperoleh model, maka dapat dilakukan peramalan untuk periode

selanjutnya menggunakan faktor-faktor yang telah diduga sebelumnya yaitu,

faktor tren dan musiman.

C. Metode Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)

Tahap-tahap dalam menentukan model ARIMA adalah:

1. Identifikasi Model

Langkah pertama yang harus dilakukan adalah plot data runtun waktu. Dari

plot data dapat dilihat adanya tren, musiman, pencilan, variansi yang tidak

konstan dan keadaan yang tidak stasioner. Pada analisis runtun waktu, apabila

data tidak stasioner dalam rata-rata maka yang dilakukan adalah menstasionerkan

data dengan pembedaan yang dibahas pada bab II subbab C. Apabila data tidak

stasioner dalam variansi maka yang dilakukan adalah menstasionerkan data

dengan cara transformasi Box-Cox yang dibahas pada bab II subbab B. Model

ARIMA hanya dapat diterapkan untuk runtun waktu yang stasioner. Oleh karena

itu, pertama kali yang harus dilakukan adalah menyelidiki apakah data yang


56

digunakan sudah stasioner atau belum. Cara mengetahui data sudah stasioner atau

belum yaitu dengan membuat plot data runtun waktu atau dengan melihat plot

ACF. Data dikatakan stasioner bila plot data runtun waktu berada di sekitar nilai

rata-rata, variansi konstan, tidak terjadi kenaikan/ penurunan data dan plot ACF

akan turun dengan cepat mendekati nol. Apabila data telah stasioner berarti

, tetapi jika data stasioner setelah pembedaan pertama maka d=1 dan seterusnya.

Apabila data telah stasioner, langkah selanjutnya adalah menentukan orde

dari AR dan MA. Cara yang dapat dilakukan adalah dengan melihat plot PACF

dan plot ACF. Plot PACF akan menetukan orde dari AR sedangkan plot ACF

akan menentukan orde dari MA. Secara ringkas ditampilkan dalam tabel.

Tipe Model Pola Tipikal ACF Pola Tipikal PACF

AR(p) Menurun secara lambat menuju

nol

Terpotong setelah lag p

MA(q) Terpotong setelah lag q Menurun secara lambat

menuju nol

ARMA(p,q) Menurun secara lambat menuju

nol

Menurun secara lambat

menuju nol

Pola tipikal ACF dan PACF ditampilkan dalam gambar berikut

Gambar 3.1 Pola ACF menurun secara lambat menuju nol


57

Gambar 3.2 Pola PACF terpotong setelah lag 2

Gambar 3.3 Pola ACF terpotong setelah lag 1

Gambar 3.4 Pola PACF menurun secara lambat menuju nol

lag


58

2. Pendugaan Parameter

Setelah menetapkan model sementara dari hasil identifikasi, yaitu

menentukan nilai p, d, dan q, langkah berikutnya adalah melakukan pendugaan

paramater Autoregressive (AR) dan moving average (MA) yang tercakup dalam

model.

a. Pendugaan parameter model AR

Parameter model AR adalah , parameter AR dapat diduga

menggunakan persamaan Yule-Walker untuk mencari nilai dari .

Persamaan Yule-Walker dapat dicari dengan mengalikan model AR( ):

dengan , untuk

hasilnya adalah

(3.1)

Selanjutnya dihitung nilai harapannya menjadi

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]

(3.2)

[ ] untuk , saling bebas dengan nilai-nilai sebelumnya,

dan diasumsikan terdapat stasioneritas. sehingga persamaan (3.2) dapat ditulis

[ ] [ ] [ ] [ ] (3.3)

Mengacu pada teorema 2.4 dan persamaan (2.6) diperoleh

(3.4)

Kedua ruas dibagi dengan , berdasarkan definisi otokorelasi diperoleh


59

(3.5)

yang merupakan fungsi otokorelasi pada lag k dari proses AR (p).

Untuk dan dengan menggunakan syarat ,

dari

fungsi otokorelasi maka persamaan (3.5) menjadi persamaan Yule-Walker yaitu

Karena nilai teoritis dari tidak diketahui, maka diduga dengan

.

Untuk atau model AR(1) : , cara menghitung

adalah yang hanya mempunyai satu persamaan. Karena diduga

dengan maka .

Untuk atau model AR(2) : , cara

menghitung dan adalah dengan memperhatikan persamaan

}

Setelah dihitung diperoleh penyelesaian

Karena diduga dengan dan diduga dengan maka

(3.6)


60

Contoh 3.1

Berikut adalah data untuk model ARIMA(2,0,0) atau AR(2):

. Dugalah parameter dan

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

13 8 11 3 3 11 10 6 13 11 14 17 12 10 9 8 3 3 7 6

Langkah pertama yang harus dilakukan adalah mencari penduga dan yaitu

dengan menghitung dan . Menggunakan persamaan ∑

∑

,

karena dan diperoleh


61

b. Pendugaan Parameter model MA

Parameter model MA adalah , parameter MA diduga untuk

mencari nilai dari . Dengan mengalikan model MA( ):

dengan

, untuk diperoleh

( )(

)

Selanjutnya dihitung nilai harapannya menjadi

[( )(

)]

Nilai harapan untuk persamaan (3.7) diatas akan bergantung pada nilai k. Bila

maka persamaan (3.7) menjadi

(3.8)

Semua suku yang lain pada persamaan (3.7) hilang, karena adanya definisi

{ n

(3.7)


62

Jadi, persamaan (3.8) menjadi

(3.9)

Bila faktor dipisahkan, maka persamaan (3.9) menjadi

(3.10)

Persamaan (3.10) adalah variansi dari proses MA(q).

Secara umum untuk sebarang nilai , persamaan (3.7) menjadi

(3.11)

Bila persamaan (3.11) dibagi (3.10), akan menghasilkan

(3.12)

untuk semua nilai , maka fungsi otokorelasi pada lag dari proses MA(q) adalah

{

(3.13)

Karena nilai teoritis tidak diketahui maka nilai pendugaan dari koefisien

dapat diperoleh dengan mensubstitusikan otokorelasi empiris pada

persamaan (3.13) kemudian dipecahkan.

Untuk q=1 atau model MA(1): , sehingga persamaan

(3.13) menjadi:

{

Dengan mensubstitusikan untuk dan mencoba memecahkan , akan

diperoleh persamaan kuadratik


63

(

) , dengan

Untuk q=2 atau model MA(2): , sehingga

persamaan (3.13) menjadi

}

Dengan mensubstitusikan dan untuk dan akan menghasilkan dua

persamaan dalam bentuk dan yang tidak diketahui, tetapi tidak berarti

mudah untuk dipecahkan.(Box dan Jenkins, 1976: 517-520) memberikan tabel

dan grafik untuk mengatasi pendugaan dan . Untuk selanjutnya pendugaan

dihitung menggunakan program R.

Contoh 3.2

Berikut adalah data untuk model ARIMA(0,0,2) atau MA(2):


1 -0.09 20 0

2 0.06 21 0.02

3 -0.05 22 0

4 -0.04 23 -0.02

5 0.02 24 0

6 -0.03 25 0.02

7 -0.02 26 -0.01

8 0 27 -0.03

9 -0.01 28 0.04

10 -0.02 29 0.02

11 0 30 0.01

12 -0.02 31 0

13 -0.01 32 -0.01


64

14 0 33 -0.03

15 -0.01 34 0

16 -0.02 35 0.01

17 0 36 0

18 0.01 37 -0.01

19 -0.01

Menghitung pendugaan dan bukanlah pekerjaan yang mudah, karena

harus menggunakan algoritma Marquardt. Maka dari itu penulis menggunakan

program dalam perhitungannya. Dengan menggunakan program R diperoleh nilai

pendugaan yaitu dan . Dengan perintah program R

yaitu:

> library(forecast)

> estimasi=Arima(Xt,order=c(0,0,2))

> estimasi

Series: Xt

ARIMA(0,0,2) with non-zero mean

Coefficients:

ma1 ma2 intercept

-0.5341 0.3186 -0.0054

s.e. 0.1564 0.1704 0.0029

sigma^2 estimated as 0.0005054: log likelihood=87.72

AIC=-167.44 AICc=-166.19 BIC=-161


65

c. Pendugaan Parameter Model ARMA

Pendugaan parameter mode ARMA berkaitan dengan fungsi otokorelasi.

Fungsi otokorelasi dari proses ARMA(p,q) dapat diperoleh dengan mengalikan

model ARMA( ):

dengan , untuk dan kemudian diambil nilai harapannya, sehingga

diperoleh

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

(3.14)

Mengacu pada teorema 2.4 dan persamaan (2.6), diperoleh

[ ] [ ]

[ ]

(3.15)

Karena [ ] untuk , sehingga

(3.16)

Jika kedua ruas dibagi , menurut definisi fungsi otokorelasi diperoleh

(3.17)

Agar lebih memahami pendugaan ARMA(p,q), perhatikan proses

ARMA(1,1) berikut:

Model ARMA(1,1): , dengan mengalikan model

ARMA(1,1) dengan dan dihitung nilai harapannya diperoleh

[ ] [ ] [ ] [ ]

Dengan menggunakan teorema 2.4 dan persamaan (2.6) diperoleh

[ ] [ ]


66

Untuk

[ ] [ ]

Berdasarkan sifat untuk semua , diperoleh

[ ] [ ]

Karena [ ] dan

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

Sehingga

(3.18)

Untuk

[ ] [ ]

(3.19)

Substitusi pada persamaan (3.18), diperoleh

Substitusi yang telah diperoleh ke persasamaan (3.19)

(

)


67

Dengan menggunakan sifat otokorelasi untuk lag 1 untuk menduga yaitu

( )

Untuk

Jika kedua ruas dibagi , menurut definisi fungsi otokorelasi diperoleh

Sehingga diperoleh fungsi otokorelasi

{

(3.20)

Akan tetapi, penyelesaian persamaan (3.20) bukanlah hal yang mudah.

Box dan Jenkins memberikan grafik untuk membantu menemukan pendugaan

awal parameter dari model ARMA( ) (Box dan Jenkins, 1976:520). Untuk

langkah selanjutnya, penulis menggunakan program dalam pendugaan parameter

AR dan MA.

Contoh 3.3

Berikut adalah data model ARIMA(2,0,2) atau ARMA(2,2):


1 20 20 12

2 -20 21 -8


68

3 62 22 12

4 52 23 32

5 -8 24 12

6 42 25 -8

7 32 26 22

8 12 27 42

9 22 28 -28

10 32 29 -8

11 12 30 2

12 32 31 12

13 22 32 22

14 12 33 42

15 22 34 12

16 32 35 2

17 12 36 12

18 2 37 22

19 22

Dengan menggunakan perhitungan program R, diperoleh nilai pendugaan

dan , dengan perintah

R, yaitu:

> estimasi=Arima(Xt,order=c(2,0,2))

> estimasi

Series: Xt

ARIMA(2,0,2) with non-zero mean

Coefficients:

ar1 ar2 ma1 ma2 intercept

-0.7835 -0.8547 0.9163 0.5458 17.1204

s.e. 0.1957 0.1374 0.3023 0.2381 2.4502

sigma^2 estimated as 252.3: log likelihood=-155.54


69

AIC=323.08 AICc=325.88 BIC=332.74

3. Pemeriksaan Diagnostik

Setelah berhasil menduga nilai-nilai parameter dari model ARIMA yang

ditetapkan sementara, selanjutnya perlu dilakukan pemeriksaan dignostik untuk

membuktikan bahwa model tersebut cukup memadai (Makridakis, 1999).

Pemeriksaan diagnostik dapat dilakukan dengan mengamati apakah galat dari

model ARIMA yang telah diduga memenuhi proses white noise. Model dikatakan

memadai jika galat memenuhi proses white noise yaitu galat bersifat acak dan

berdistribusi normal. Pengujian yang digunakan dalam pemeriksaan diagnostik

adalah:

a. Setelah pendugaan dilakukan, maka nilai galat dapat ditentukan. Jika nilai-nilai

koefisien otokorelasi galat untuk berbagai time lag tidak berbeda secara

signifikan (tidak signifikan) dari nol, maka galat bersifat acak sehingga

memenuhi proses white noise.

b. Menggunakan statistik Q Box-Pierce, yang dihitung dengan rumus:

∑

Jika atau maka galat bersifat acak yang

memenuhi proses white noise.

c. Uji normalitas galat, seperti yang telah dijelaskan pada bab II subbab G. Jika

galat berdistribusi normal maka memenuhi proses white noise.


70

Jika galat tidak white noise maka model tidak memadai, ulangi lagi mulai

langkah identifikasi model sampai akhirnya diperoleh model yang memadai.

Pengujian ini digunakan untuk melihat apakah galat memenuhi proses white

noise.

4. Peramalan

Tujuan dalam analisis runtun waktu adalah untuk meramalkan nilai masa

depan. Tujuan peramalan adalah untuk menghasilkan ramalan optimum yang

tidak memiliki galat atau sebisa mungkin galat yang kecil.

D. Contoh 3.4 Runtun Waktu

Diberikan 82 data pengamatan runtun waktu pada tabel 3.1 data asli di

lampiran. Data akan diolah menggunakan metode dekomposisi klasik dan metode

ARIMA. Selanjutnya akan dilihat keakuratan metode, sehingga model yang

terbaik dapat ditentukan.

1. Pengolahan data menggunakan metode Dekomposisi

a. Data yang digunakan untuk dekomposisi adalah data yang berdistribusi

normal. Data asli (lihat tabel 3.1 pada lampiran) tidak berdistribusi normal,

sehingga perlu dilakukan transformasi

. Dengan adalah

data asli dan . Cara mencari dengan menggunakan

program R dengan perintah: >lambda= BoxCox.lambda(Xt). Berikut adalah

data yang telah ditrasformasi dan berdistribusi normal.


71

Tabel 3.1 data transformasi

Tahun Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec

1990 4.95 4.35 4.63 4.35 4.26 4.53 4.76 3.69 3.35 3.35 4.21 4.38

1991 4.81 4.74 4.44 4.55 4.44 4.35 4.69 4.08 3.99 4.38 4.38 4.53

1992 4.94 4.74 4.31 4.35 4.35 4.21 4.38 4.15 3.99 4.63 4.35 4.67

1993 5.14 4.55 3.99 4.21 4.08 3.35 4.31 4.08 4.15 4.26 4.59 4.47

1994 5.11 4.49 4.65 4.38 4.26 4.08 4.60 4.26 3.69 4.55 4.78 4.72

1995 4.97 4.15 4.67 4.35 4.31 3.87 4.38 4.38 3.69 4.60 4.47 4.76

1996 4.97 4.62 4.55 4.35 4.31 4.21 4.41 4.21 4.08 4.47

Setelah data ditransformasi langkah selanjutnya adalah menghitung rata-rata

bergerak 12 bulanan, yaitu dengan merata-ratakan data dari bulan Januari-

Desember. Data yang telah dirata-rata, diletakkan pada bulan Juli atau pusat dari

12 bulanan.

Tabel 3.2 Rata-rata bergerak

Tahun Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec

1990 4.23 4.22 4.26 4.24 4.26 4.27

1991 4.26 4.25 4.28 4.34 4.42 4.44 4.45 4.46 4.46 4.45 4.43 4.42

1992 4.41 4.39 4.39 4.39 4.41 4.41 4.42 4.44 4.42 4.40 4.39 4.36

1993 4.29 4.29 4.28 4.29 4.26 4.28 4.27 4.26 4.26 4.31 4.33 4.34

1994 4.40 4.43 4.44 4.40 4.43 4.44 4.46 4.45 4.43 4.43 4.42 4.43

1995 4.41 4.39 4.40 4.40 4.41 4.38 4.38 4.38 4.42 4.41 4.41 4.41

1996 4.44 4.44 4.43 4.46

b. Setelah rata-rata bergerak diperoleh, selanjutnya mengurangkan data asli

dengan rata-rata bergerak untuk menghasilkan komponen

musiman dan komponen acak, yaitu

Tabel 3.3 pengurangan data dengan rata-rata bergerak

Tahun Jan Feb Mar Apr May Jun

1990

1991 0.55 0.49 0.16 0.22 0.02 -0.09


72

1992 0.53 0.35 -0.08 -0.05 -0.07 -0.20

1993 0.85 0.27 -0.29 -0.08 -0.18 -0.93

1994 0.71 0.06 0.20 -0.02 -0.16 -0.36

1995 0.56 -0.24 0.27 -0.05 -0.10 -0.51

1996 0.53 0.17 0.12 -0.12

Tahun Jul Aug Sep Oct Nov Dec

1990 0.53 -0.54 -0.91 -0.89 -0.04 0.11

1991 0.25 -0.38 -0.47 -0.07 -0.05 0.11

1992 -0.04 -0.29 -0.43 0.24 -0.04 0.31

1993 0.04 -0.18 -0.10 -0.05 0.26 0.12

1994 0.14 -0.19 -0.74 0.12 0.36 0.29

1995 0.00 0.00 -0.74 0.19 0.05 0.35

1996

c. Setelah komponen musiman dan kerandoman diperoleh, lalu mencari

rerata medial dan indeks musiman.

Tabel 3.4 Rerata medial dan indeks musiman

Rerata

medial

Indek

musiman

Jan 0.5894 0.5933

Feb 0.2131 0.2171

Mar 0.0996 0.1035

Apr -0.0507 -0.0468

May -0.1092 -0.1053

Jun -0.3572 -0.3533

Jul 0.1060 0.1099

Aug -0.2586 -0.2547

Sep -0.5945 -0.5906

Oct 0.0498 0.0537

Nov 0.0579 0.0619

Dec 0.2074 0.2113

d. Mengurangkan data dengan indeks musiman untuk memperoleh

garis tren. Garis tren dapat dihitung dengan rumus


73

diperoleh

∑ ∑ ∑

∑ ∑

∑

∑

Sehingga

Dengan adalah garis tren dan adalah periode.

e. Dengan menjumlahkan semua komponen yang telah dipisahkan, diperoleh

data peramalan.

Tabel 3.5 Data peramalan


1990 4.91 4.53 4.42 4.27 4.22 3.97

1991 4.93 4.55 4.44 4.29 4.23 3.99

1992 4.95 4.57 4.46 4.31 4.25 4.01

1993 4.97 4.59 4.48 4.33 4.27 4.03

1994 4.98 4.61 4.50 4.35 4.29 4.05

1995 5.00 4.63 4.52 4.37 4.31 4.07

1996 5.02 4.65 4.54 4.39 4.33 4.08


1990 4.43 4.07 3.74 4.38 4.39 4.54

1991 4.45 4.09 3.76 4.40 4.41 4.56

1992 4.47 4.11 3.78 4.42 4.43 4.58

1993 4.49 4.13 3.79 4.44 4.45 4.60

1994 4.51 4.15 3.81 4.46 4.47 4.62

1995 4.53 4.17 3.83 4.48 4.49 4.64

1996 4.55 4.19 3.85 4.50


74

Berikut adalah gambar data transformasi dan peramalan data transformasi.

Gambar 3.5 plot data transformasi dan data ramalan transformasi

2. Pengolahan data menggunakan metode ARIMA

Langkah-langkah yang digunakan adalah identifikasi model untuk

menyelidiki apakah data telah stasioner, pendugaan parameter, dan uji kecocokan

model. Langkah-langkah metode ARIMA dengan menggunakan program R dapat

dilihat pada lampiran program metode ARIMA contoh 3.4.

a. Identifikasi Model

Stasioneritas dapat dilihat dari gambar 3.6 plot data asli.

Gambar 3.6 plot data asli


75

Gambar 3.7 plot ACF

Dari gambar 3.6 terlihat data belum stasioner dalam variansi karena data ke-

37 dan 49 sangat menonjol, sehingga data perlu ditransformasi. Transformasi

yang digunakan adalah transformasi

, selanjutnya dicari nilai ,

dengan program R dengan perintah: >lambda= BoxCox.lambda(Xt), diperoleh

. Dilihat dari plot ACF pada gambar 3.7 menunjukkan adanya

faktor musiman. Faktor musimannya adalah 12 bulanan, karena pola ACF selalu

berulang setiap lag 12. Untuk ACF pola musiman turun secara lambat menuju nol.

Gambar 3.8 Plot data hasil transformasi


76

Gambar 3.9 Plot PACF data transformasi

Gambar 3.10 Plot ACF data transformasi

Dilihat dari plot data transformasi dan ACF data transformasi, menunjukkan

bahwa data telah stasioner. Dari plot data transformasi terlihat bahwa tidak ada

data yang menonjol, yang berarti rata-rata dan variansi dari data telah stasioner.

Dari plot ACF terlihat bahwa ACF turun secara cepat menuju nol atau terpotong

pada lag 3. Setelah data stasioner, selanjutnya adalah menduga model dengan


77

memperhatikan plot PACF dan ACF data transformasi (gambar 3.9 dan gambar

3.10). Dari plot PACF non musiman data terpotong pada lag 1, plot PACF

musiman data terpotong pada lag 1, plot ACF non musiman data terpotong pada

lag 1, dan plot ACF musiman data terpotong pada lag 3.

Ada beberapa kemungkinan model

Model

Arima(1,0,1)(1,0,0)12

Arima(1,0,0)(1,0,0)12

Arima(0,0,1)(1,0,0)12

Arima(0,0,0)(1,0,0)12

b. Pendugaan Parameter

Setelah diperoleh beberapa kemungkinan model, langkah selanjutnya adalah

menduga parameter.

a) Model ARIMA

AR 1 MA 1 SAR 1 konstan

Koefisien 0.4583 -0.1648 0.6469 4.3673

SE koefisien 0.2450 0.2668 0.0866 0.1002

b) Model ARIMA

AR 1 SAR 1 konstan

Koefisien 0.3095 0.6400 4.3672

SE koefisien 0.1060 0.0863 0.0933

c) Model ARIMA

MA 1 SAR 1 konstan

Koefisien 0.2405 0.6432 4.3661

SE koefisien 0.0923 0.0873 0.0815


78

d) Model ARIMA

SAR 1 konstan

Koefisien 0.6745 4.3636

SE koefisien 0.0837 0.0727

c. Uji Kecocokan Model

Langkah selanjutnya adalah uji white noise yaitu dengan menguji keacakan

galat dan uji normalitas galat. Uji keacakan galat dengan melihat plot ACF galat

dan uji normalitas dengan uji Kolmogorov-Smirnov dengan .

Secara ringkas, uji kecocokan model disajikan dalam tabel 3.6

Tabel 3.6 Rangkuman uji kecocokan model

Model Galat

Acak Normal p-value

normalitas

Arima(1,0,1)(1,0,0)12 Ya Tidak 0.034

Arima(1,0,0)(1,0,0)12 Ya Tidak 0.04

Arima(0,0,1)(1,0,0)12 Ya Ya 0.074

Arima(0,0,0)(1,0,0)12 Tidak Tidak 0.050

Setelah diperoleh beberapa kemungkinan model, model yang dipilih adalah

model yang memenuhi asumsi white noise yaitu galat bersifat acak dan

berdistribusi normal. Model yang dipilih adalah .

Pendugaan yakni,

. Dengan menggunakan operator langkah mundur, model

dapat ditulis:

( ) ( )


79

Substitusikan parameter

pada persamaan ( ) ( ) , diperoleh:

Berikut adalah gambar data transformasi dan peramalan data transformasi

Gambar 3.11 Plot data transformasi dan data ramalan transformasi

3. Evaluasi Model

Pada tahap ini akan dicari model yang lebih baik, yaitu dengan

mempehatikan nilai dari MSE metode dekomposisi klasik dan MSE metode

ARIMA.

Model MSE

Dekomposisi klasik 0.05287

ARIMA 0.06980


80

Nilai MSE diperoleh dari ∑

, dengan adalah data

transformasi, adalah data ramalan transformasi dan banyaknya data.

untuk metode dekomposisi diperoleh dengan menjumlahkan indeks

musiman dan tren. Sedangkan untuk metode ARIMA ,

adalah galat yang diperoleh menggunakan program R dengan perintah:

>estimasi=Arima(dataTransformasi,order=c(0,0,1),seasonal=list(order=c(1,0,0),

period=12))

>galat= residuals(estimasi)

Dari nilai MSE terlihat bahwa metode dekomposisi klasik mempunyai nilai

MSE yang lebih kecil dibandingkan dengan model ARIMA . Jadi

metode yang lebih baik adalah metode dekomposisi klasik.


81

BAB IV

PERBANDINGAN METODE DEKOMPOSISI KLASIK DAN METODE

ARIMA

Pada bab ini akan dibahas perbandingan metode dekomposisi klasik dan

metode ARIMA dengan studi kasus data jumlah total penumpang kereta api Jawa

dan Sumatera. Data berasal dari Biro Pusat Statistik dilihat di

http://www.bps.go.id/linkTabelStatis/view/id/1417#.

A Pengolahan Data Menggunakan Metode Dekomposisi Klasik

Pada tahap ini dibahas langkah-langkah dekomposisi aditif untuk data

runtun waktu. Data jumlah penumpang kereta Api Jawa dan Sumatera ada pada

tabel 4.1 pada lampiran. Data jumlah penumpang kereta api belum berdistribusi

normal, sehingga data harus ditransformasi terlebih dahulu. Transformasi yang

digunakan adalah . Berikut adalah data jumlah penumpang yang

telah ditansformasi dan berdistribusi normal.

Tabel 4.1 Data jumlah penumpang


2006

103 1383 -405 666 -372

2007 346 -2991 2440 1006 817 -128

2008 -57 -649 1693 -360 652 647

2009 -838 -625 3263 -357 1049 319

2010 -157 -2217 1785 -160 156 271

2011 -842 -2001 2088 -537 1081 -257

2012 -528 -793 1600 -344 1025 291

2013 -1204 -306 1232 174 113 1188

2014 -325 -1094 2838 -928 1080 852

2015 -1599 -1886 4477 -702 1345 -348


http://www.bps.go.id/linkTabelStatis/view/id/1417

82


2006 1230 -1178 181 854 -659 -17

2007 1350 -1035 -386 833 -1475 693

2008 877 -779 -1229 1458 -1364 -641

2009 242 -858 -246 470 -973 803

2010 421 -1203 824 -393 -439 1264

2011 867 -3286 2075 -460 -282 632

2012 247 -1253 -688 759 -1354 331

2013 2944 -822 315 796 -615 1498

2014 -1340 699 394 1330 -567 1919

2015 50 184 -247 1169 -1049 2162

1. Menghitung rata-rata bergerak 12 bulanan, yaitu dengan cara merata-

ratakan data dari bulan Februari-Januari dan seterusnya. Data yang telah dirata-

rata, diletakkan pada bulan Agustus yaitu pusat dari 12 bulanan. Diperoleh

nilai pada tabel 4.2

Tabel 4.2 Data


2006

2007 158.42 168.42 180.33 133.08 131.33 63.33

2008 158.83 119.42 140.75 70.50 122.58 131.83

2009 94.42 41.50 34.92 116.83 34.50 67.08

2010 -73.67 -58.75 -87.50 1.67 -70.25 -25.75

2011 0.50 37.67 -135.92 -31.67 -37.25 -24.17

2012 66.42 14.75 184.17 -46.08 55.50 -33.83

2013 -63.42 161.33 197.25 280.83 283.92 345.50

2014 544.92 187.92 314.67 321.25 365.75 369.75

2015 310.17 426.00 383.08 329.67 316.25 276.08


2006 177.67 -80.17 7.92 125.50 138.08

2007 122.50 88.92 284.08 221.83 108.00 94.25

2008 20.67 -44.42 -42.42 88.42 88.67 121.75

2009 187.42 244.17 111.50 -11.67 4.75 -69.67

2010 12.67 -44.42 -26.42 -1.17 -32.58 44.50

2011 -76.83 -50.67 50.00 9.33 25.42 20.75


83

2012 -58.92 -115.25 -74.67 -105.33 -62.17 -138.17

2013 442.75 516.00 450.33 584.17 492.33 572.92

2014 404.83 298.67 232.67 369.25 388.08 410.17

2015 296.33

2. Mengurangkan data asli ( ) dengan rata-rata bergerak

untuk

menghasilkan komponen musiman dan kerandoman/ tak beraturan

Tabel 4.3 Pengurangan data asli ( ) dengan rata-rata bergerak


2006

2007 187.58 -3159.42 2259.67 872.92 685.67 -191.33

2008 -215.83 -768.42 1552.25 -430.50 529.42 515.17

2009 -932.42 -666.50 3228.08 -473.83 1014.50 251.92

2010 -83.33 -2158.25 1872.50 -161.67 226.25 296.75

2011 -842.50 -2038.67 2223.92 -505.33 1118.25 -232.83

2012 -594.42 -807.75 1415.83 -297.92 969.50 324.83

2013 -1140.58 -467.33 1034.75 -106.83 -170.92 842.50

2014 -869.92 -1281.92 2523.33 -1249.25 714.25 482.25

2015 -1909.17 -2312.00 4093.92 -1031.67 1028.75 -624.08


2006 -1355.67 261.17 846.08 -784.50 -155.08

2007 1227.50 -1123.92 -670.08 611.17 -1583.00 598.75

2008 856.33 -734.58 -1186.58 1369.58 -1452.67 -762.75

2009 54.58 -1102.17 -357.50 481.67 -977.75 872.67

2010 408.33 -1158.58 850.42 -391.83 -406.42 1219.50

2011 943.83 -3235.33 2025.00 -469.33 -307.42 611.25

2012 305.92 -1137.75 -613.33 864.33 -1291.83 469.17

2013 2501.25 -1338.00 -135.33 211.83 -1107.33 925.08

2014 -1744.83 400.33 161.33 960.75 -955.08 1508.83

2015 -246.33


84

3. Berdasarkan komponen data yang diperoleh dari , selanjutnya dicari

rata-rata medialnya. Rata-rata medial adalah nilai rata-rata untuk setiap bulan

setelah dikeluarkan nilai terbesar dan terkecil.

Tabel 4.4 Rerata medial dan indeks musiman

Rerata

medial

Indeks

musiman

-668.43 -474.69

-1433.36 -1239.62

2153.65 2347.39

-429.68 -235.94

738.33 932.07

206.68 400.42

387.11 580.85

-1645.07 -1451.33

-592.57 -398.83

88.70 282.44

-1282.52 -1088.78

152.27 346.01

4. Mengurangkan data asli ( ) dengan indeks musiman ( ) untuk memperoleh

garis tren. Garis tren dapat dihitung dengan rumus

∑ ∑ ∑

∑ ∑

∑

∑


85

Sehingga diperoleh garis tren

5. Dengan menjumlahkan semua komponen yang telah dipisahkan, diperoleh data

peramalan.

Tabel 4.5 Data peramalan


2006 -1273.27 2316.80 -263.46 907.62 379.03

2007 -474.61 -1236.47 2353.61 -226.66 944.42 415.83

2008 -437.81 -1199.67 2390.41 -189.85 981.22 452.64

2009 -401.00 -1162.86 2427.22 -153.05 1018.03 489.44

2010 -364.20 -1126.06 2464.02 -116.25 1054.83 526.25

2011 -327.39 -1089.25 2500.82 -79.44 1091.64 563.05

2012 -290.59 -1052.45 2537.63 -42.64 1128.44 599.85

2013 -253.78 -1015.65 2574.43 -5.83 1165.25 636.66

2014 -216.98 -978.84 2611.24 30.97 1202.05 673.46

2015 -180.18 -942.04 2648.04 67.77 1238.85 710.27


2006 562.53 -1466.58 -411.02 273.32 -1094.83 343.02

2007 599.33 -1429.78 -374.21 310.12 -1058.03 379.82

2008 636.14 -1392.97 -337.41 346.93 -1021.22 416.63

2009 672.94 -1356.17 -300.60 383.73 -984.42 453.43

2010 709.74 -1319.37 -263.80 420.53 -947.61 490.24

2011 746.55 -1282.56 -226.99 457.34 -910.81 527.04

2012 783.35 -1245.76 -190.19 494.14 -874.01 563.84

2013 820.16 -1208.95 -153.39 530.95 -837.20 600.65

2014 856.96 -1172.15 -116.58 567.75 -800.40 637.45

2015 893.77 -1135.35 -79.78 604.56 -763.59 674.26


86

Berikut adalah plot data dengan

peramalan

Gambar 4.1 plot data dan data

peramalan

B Pengolahan Data Menggunakan Metode ARIMA

Ada beberapa tahap yang dilakukan pada bagian ini, dimulai dari

identifikasi model untuk pemerikasaan stasioneritas, pendugaan parameter, uji

kecocokan model dan peramalan. Langkah-langkah metode ARIMA dengan

menggunakan program R dapat dilihat pada lampiran program metode ARIMA

jumlah penumpang kereta api.

1. Identifikasi Model

Pada tahap ini akan diperiksa stasioneritas pada data, dengan cara melihat

plot data asli jumlah total penumpang jawa dan sumatera pada tahun 2006-2015.


87

Gambar 4.2 Plot data asli jumlah penumpang Kereta Api

Gambar 4.3 Plot ACF data asli jumlah penumpang Kereta Api

Berdasarkan gambar 4.2 dan 4.3 terlihat bahwa data belum stasioner

terhadap rata-rata, karena pada plot data asli yang ke-91 dan seterusnya data

mengalami kenaikan yang cukup tinggi dan ACF turun secara lambat menuju nol.

Sehingga perlu dilakukan pembedaan pertama untuk data. Pembedaaan pertama

dengan transformasi .


88

Gambar 4.4 Plot data hasil pembedaan pertama

Berdasarkan gambar 4.4 terlihat bahwa data telah stasioner terhadap rata-

rata dan variansi, karena data berfluktuasi disekitar nilai rata-rata dan varianisi

konstan. Setelah diperoleh data yang stasioner, langkah selanjutnya yang

dilakukan adalah identifikasi model dengan cara melihat plot PACF dan ACF data

yang telah dilakukan pembedaan.

Gambar 4.5 Plot PACF pembedaan pertama


89

Gambar 4.6 Plot ACF pembedaan pertama

Dilihat dari plot ACF gambar 4.6 data memuat faktor musiman yang turun

secara lambat mendekati nol. Faktor musiman adalah musiman 12 bulanan, karena

pola selalu berulang setiap lag 12. Dari plot PACF non musiman data terpotong

setelah lag 1 ditulis AR(p=1), plot PACF musiman data terpotong setelah lag 1

ditulis SAR(P=1), plot ACF non musiman data terpotong pada lag 1 ditulis

MA(q=1), dan plot ACF musiman data menurun secara lambat menuju nol ditulis

SMA(Q=0) dan pembedaan orde pertama yaitu d=1. Dari plot PACF dan plot

ACF diperoleh beberapa kemungkinan model.

Model

ARIMA(1,1,1)(1,0,0)12

ARIMA(1,1,0)(1,0,0)12

ARIMA(0,1,1)(1,0,0)12

ARIMA(0,1,0)(1,0,0)12


90

2. Pendugaan Parameter

Setelah diperoleh beberapa kemungkinan model, langkah selanjutnya adalah

menduga parameter.

a) Model ARIMA

AR 1 MA 1 SAR 1

Koefisien -0.3304 -1.0000 0.5973

SE koefisien 0.0895 0.0246 0.0770

b) Model ARIMA

AR 1 SAR 1

Koefisien -0.6305 0.6393


c) Model ARIMA

MA 1 SAR 1

Koefisien -1.0000 0.6431


d) Model ARIMA

SAR 1

Koefisien 0.6886

SE koefisien 0.0682

3. Uji Kecocokan Model

Setelah diperoleh beberapa kemungkinan model, model yang dipilih adalah

model yang mempunyai galat acak dan galat berdistribusi normal yang berarti

galat bersifat white noise.


91

a. Model ARIMA

Gambar 4.7 Plot ACF galat model ARIMA

Berdasarkan plot ACF gambar 4.7, tidak ada lag yang melebihi garis putus-

putus (garis signifikan). Hal ini menunjukkan bahwa galat bersifat acak. Untuk

lebih tepatnya dapat menggunakan uji Box-Pierce. Lihat tabel dibawah

Tabel 4.6 Nilai Box-Pierce ARIMA

Lag 12 24 36 48

P-Value 0.8583 0.9346 0.9949 0.997

Gambar 4.8 plot Box-Pierce


92

Berdasarkan Tabel 4.6 dan gambar 4.8 terlihat bahwa p-value untuk setiap

lag yang diuji lebih besar dari sehingga diterima (galat bersifat

acak). Selanjutnya dilihat apakah galat berdistribusi normal.

Gambar 4.9 plot normalitas galat

Dari plot normalitas galat, data berada disekitar garis dan menggunakan

program spss diperoleh , yang berarti

sehingga galat berdistribusi normal.

b. Model ARIMA



93

Berdasarkan plot ACF gambar 4.10, ada lag yang melebihi garis putus-

putus (garis signifikan). Hal ini menunjukkan bahwa galat tidak bersifat acak.

Untuk lebih tepatnya dapat menggunakan uji Box-Pierce. Lihat tabel dibawah


Lag 1 2 3 12

P-Value 0.005708 0,0003443 0,0007.331 0.005431


Berdasarkan tabel 4.7 dan gambar 4.11 terlihat bahwa p-value untuk setiap

lag yang diuji lebih kecil dari sehingga ditolak (galat tidak bersifat

acak). Selanjutnya dilihat apakah galat berdistribusi normal.



94

Dari plot normalitas, data berada disekitar garis dan menggunakan program

spss diperoleh , yang berarti sehingga

galat berdistribusi normal.

c. Model ARIMA


Berdasarkan plot ACF gambar 4.13 ada lag melebihi garis putus-putus

(garis signifikan). Hal ini menunjukkan bahwa galat tidak bersifat acak. Untuk

lebih tepatnya dapat menggunakan uji Box-Pierce lihat tabel dibawah


Lag 1 2 3 4

P-value 0.0004719 0.002137 0.006408 0.01423


95


Berdasarkan tabel 4.8 dan gambar 4.13 terlihat bahwa untuk lag yang diuji

sehingga ditolak (galat tidak bersifat acak).

Selanjutnya dilihat apakah galat berdistribusi normal



spss diperoleh , yang berarti sehingga

galat berdistribusi normal.


96

d. Model ARIMA


Berdasarkan plot ACF gambar 4.16, ada lag yang melebihi garis putus-putus

(garis signifikan). Hal ini menunjukkan bahwa galat tidak bersifat acak. Untuk

lebih tepatnya dapat menggunakan uji Box-Pierce. Lihat tabel dibawah


Lag 1 2 12 24

P-Value


Berdasarkan tabel 4.9 dan gambar 4.17 terlihat bahwa p-value untuk setiap lag

yang diuji lebih kecil dari sehingga ditolak(galat tidak bersifat acak).


97

Selanjutnya dilihat apakah galat berdistribusi normal.



diperoleh , yang berarti sehingga galat

berdistribusi normal.

Secara ringkas, uji kecocokan model disajikan dalam tabel 4.10

Tabel 4.10 Rangkuman uji kecocokan model

Model Galat

Acak Normal

ARIMA Ya Ya

ARIMA Tidak Ya

ARIMA Tidak Ya

ARIMA Tidak Ya

Dari tabel ringkasan, dapat dilihat bahwa model yang dipilih adalah model

yang memenuhi asumsi white noise yaitu galat bersifat acak dan berdistribusi

normal. Sehingga model ARIMA adalah model yang dipilih

untuk evaluasi model.

Setelah diperoleh model yang memenuhi asumsi, model dapat ditulis

menggunakan operator langkah mundur


98

( )( ) ( )

Pendugaan parameter , yakni, ,

dan . Substitusi parameter ke dalam persamaan,

sehingga diperoleh

Gambar 4.19 plot data dan data

peramalan

C. Evaluasi Model

Pada tahap ini akan dicari model yang paling baik dalam pendugaan data

runtun waktu, yaitu dengan mempehatikan nilai MSE dari kedua model, yaitu

model dekomposisi klasik dan model ARIMA.


99

Model MSE

ARIMA (1,1,1)(1,0,0)12 822631.997

Dekomposisi klasik 627481.728

Dilihat dari nilai MSE, metode dekomposisi memiliki nilai MSE lebih kecil

dibandingkan dengan metode ARIMA (1,1,1)(1,0,0)12. Sehingga metode yang

terbaik untuk pendugaan data runtun waktu jumlah penumpang kereta api adalah

metode dekomposisi klasik.


100

BAB V

PENUTUP

A. KESIMPULAN

1. Metode dekomposisi klasik dan metode ARIMA merupakan metode analisis

runtun waktu. Proses pemodelan metode dekomposisi terdiri dari:

menghitung rata-rata bergerak , mengurangkan data asli ( ) dengan

rata-rata bergerak , menghitung rata-rata medial dan indeks musiman

dari , menentukan garis tren , dan peramalan. Proses

pemodelan metode ARIMA terdiri dari: identifikasi model, pendugaan

parameter, Uji kecocokan model dan peramalan.

2. Berdasarkan hasil analisis data jumlah penumpang kereta api dari tahun

2006-2015, maka dapat disimpulkan bahwa metode yang terbaik adalah

metode dekomposisi klasik. Metode dekomposisi klasik menghasilkan nilai

MSE sebesar 627481.72, sedangkan metode

menghasilkan nilai MSE sebesar 822631.997. Sehingga metode

dekomposisi klasik lebih baik untuk pendugaan data runtun waktu

dibandingkan dengan metode ARIMA pada kasus ini.

B. SARAN

1. Metode yang dibahas pada skripsi untuk pendugaan data runtun waktu

adalah metode dekomposisi klasik dan metode ARIMA. Metode tersebut

dapat dikembangkan lagi sepeti metode dekomposisi census II, metode

multivariat ARIMA dan metode X-11 ARIMA.


101

2. Pada skripsi ini hanya menduga model yang terbaik, bagi pembaca yang

ingin melanjutkan dapat meramalkan data dari model terbaik yang telah

diperoleh.


102

DAFTAR PUSTAKA

Aswi dan Sukarna. (2006). Analisis Deret Waktu: Teori dan Aplikasi. Makasar:

Andira

Badan Pusat Statistik. (2016). Jumlah Penumpang Kereta Api, 2006-2015 (Ribu

Orang). http://www.bps.go.id/linkTabelStatis/view/id/1417#. 8 April 2016.

Binus University. Alpha dan P-value dalam Statistik.

http://sbm.binus.ac.id/2015/11/20/alpha-dan-p-value-dalam-statistik/. 20

Juli 2016.

Bowerman, L.B dan O’Connel, T.R. (1993). Forecasting and Time Series: An

Applied Approach. Belmont: Duxbury Press.

Box, G.E.P dan Jenkins, G.M. (1976). Time Series Analysis: Forecasting and

Control. Oakland: Holdan-Day.

Box, G.E.P., Jenkins, G.M., dan Reinsel, G.C. (1994). Time Series Analysis:

Forecasting and Control. New Jersey: Prentice-Hall.

Brockwell, P.J dan Davis, R.A. (2002). Introduction to Time Series and

Forecasting. New York : Springer.

Chatfield, C. (2000). Time Series Forecasting. Boca Raton: Chapman &

Hall/CRC.

Daniel, W.W. (1989). Statistik Nonparametrik Terapan. Jakarta: Gramedia.

Hanke, J.E. dan Wichern, D.W. (2009). Business Forecasting Ninth Edition. New

Jersey: Pearson Education.

Ladiray, D dan Quenneville, B. (2001). Seasonal Adjustment with The X11

Method. New York : Springer.


http://www.bps.go.id/linkTabelStatis/view/id/1417

http://sbm.binus.ac.id/2015/11/20/alpha-dan-p-value-dalam-statistik/

103

Makridakis, S., Wheelwright, S.C., dan McGee, V.E. (1999). Metode dan Aplikasi

Peramalan. Jakarta: Erlangga.

Mendenhall, W.,Scheaffer, R.L., dan Wackerly, D.D. (1986). Mathematical

Statistics with Applications Third Edition. United States: PWS Publishers.

Shumway, R.H dan Stoffer, D.S. (2011). Time Series Analysis and Its Application

With R Examples Third Edition. New York: Springer.

Wei, W.W.S., (2006). Time Series Analysis: Univariate and Multiplicative

Method Second Edition. United States: Pearson Education.


104

LAMPIRAN

Berikut merupakan tabel dan program pada Bab III dan Bab IV

Tabel 3.1 data asli


1990 6600 1000 2300 1000 800 1700

1991 4100 3200 1300 1800 1300 1000

1992 6400 3200 900 1000 1000 700

1993 13900 1800 400 700 500 100

1994 12300 1500 2400 1100 800 500

1995 7300 600 2600 1000 900 300

1996 7200 2200 1800 1000 900 700


1990 3500 200 100 100 700 1100

1991 2800 500 400 1100 1100 1700

1992 1100 600 400 2300 1000 2600

1993 900 500 600 800 2000 1400

1994 2100 800 200 1800 3700 3000

1995 1100 1100 200 2100 1400 3500

1996 1200 700 500 1400

Tabel 4.1 data asli jumlah penumpang kereta api


2006 11828 11931 13314 12909 13575 13203

2007 13960 10969 13409 14415 15232 15104

2008 15027 14378 16071 15711 16363 17010

2009 14494 13869 17132 16775 17824 18143

2010 17424 15207 16992 16832 16988 17259

2011 16891 14890 16978 16441 17522 17265

2012 16283 15490 17090 16746 17771 18062

2013 14900 14594 15826 16000 16113 17301

2014 21092 19998 22836 21908 22988 23840

2015 24676 22790 27267 26565 27910 27562


2006 14433 13255 13436 14290 13631 13614


105

2007 16454 15419 15033 15866 14391 15084

2008 17887 17108 15879 17337 15973 15332

2009 18385 17527 17281 17281 16778 17581

2010 17680 16477 17301 16908 16469 17733

2011 18132 14846 16921 16461 16179 16811

2012 18309 17056 16368 17127 15773 16104

2013 20245 19423 19738 20534 19919 21417

2014 22500 23199 23593 24923 24356 26275

2015 27612 27796 27549 28718 27669 29831

Langkah-langkah metode ARIMA contoh 3.4 runtun waktu

> data= read.delim(file.choose())

> t= data[,1]

> Xt= data[,2]

> plot(t,Xt, type="o", main="Data Asli")

>acf(Xt, lag.max=40)

>library(forecast)

Trasformasi

> lambda= BoxCox.lambda(Xt)

> lambda

[1] -0.1463171

> dataTransformasi= (Xt^lambda-1)/lambda

> plot(t, dataTransformasi, type="o", xlab="t", ylab="transformasi",

main="Data transformasi")

> pacf(dataTransformasi, lag.max=60)

> acf(dataTransformasi, lag.max=60)


106

>estimasi=Arima(dataTransformasi,order=c(1,0,1),seasonal=list(order=c(1,0,0)

,period=12))

Series: dataTransformasi

ARIMA(1,0,1)(1,0,0)[12] with non-zero mean

Coefficients:

ar1 ma1 sar1 intercept

0.4583 -0.1648 0.6469 4.3673

s.e. 0.2450 0.2668 0.0866 0.1002


AIC=27.64 AICc=28.42 BIC=39.67


,period=12))

> estimasi



Coefficients:

ar1 sar1 intercept

0.3095 0.6400 4.3672

s.e. 0.1060 0.0863 0.0933

sigma^2 estimated as 0.06742: log likelihood=-9

AIC=26 AICc=26.52 BIC=35.62


107


,period=12))

> estimasi



Coefficients:

ma1 sar1 intercept

0.2405 0.6432 4.3661

s.e. 0.0923 0.0873 0.0815


AIC=27.88 AICc=28.4 BIC=37.51


,period=12))

> estimasi



Coefficients:

sar1 intercept

0.6745 4.3636

s.e. 0.0837 0.0727


AIC=32.07 AICc=32.38 BIC=39.29

> galat= residuals(estimasi)


108

>acf(galat, lag.max=82)

> Box.test(galat, lag=k, type="Ljung-Box") , dengan k= lag ke

> tsdiag(estimasi)

> qqnorm(galat)

> qqline(galat)

>Xttopi= dataTransformasi-galat

> plot(t,dataTransformasi, col="red", type="o", main="plot data transformasi

dengan data ramalan transformasi")

> lines(t,Xttopi, col="blue")

> legend("topright", c("data transformasi","data ramalan transformasi"),

cex=0.8,col=c("red","blue"), pch=21:22,lty=1:2)

Langkah-langkah metode ARIMA jumlah penumpang kereta api

> data= read.delim(file.choose())

> t= data[,1]

> Xt= data[,2]

> plot(t,Xt, type="o", main="Jumlah Penumpang Kereta Api")

>acf(Xt, lag.max=70)

>library(forecast)

Trasformasi .

>d1= diff(Xt)

>t1= 2:120


109

> plot(t1, d1, type="o", xlab="t1", ylab="d1", main="Pembedaan Pertama

Jumlah Penumpang KA")

> pacf(d1, lag.max=80)

> acf(d1, lag.max=80)

> estimasi=Arima(d1,order=c(1,1,1),seasonal=list(order=c(1,0,0),period=12))

> estimasi

Series: d1

ARIMA(1,1,1)(1,0,0)[12]

Coefficients:

ar1 ma1 sar1

-0.3304 -1.0000 0.5973

s.e. 0.0895 0.0246 0.0770

sigma^2 estimated as 822632: log likelihood=-975.63

AIC=1959.26 AICc=1959.61 BIC=1970.34> galat= residuals(estimasi)


> estimasi

Series: d1

ARIMA(1,1,0)(1,0,0)[12]

Coefficients:

ar1 sar1

-0.6305 0.6393

s.e. 0.0719 0.0726



110

AIC=2020.75 AICc=2020.96 BIC=2029.06


> estimasi

Series: d1

ARIMA(0,1,1)(1,0,0)[12]

Coefficients:

ma1 sar1

-1.0000 0.6431

s.e. 0.0188 0.0725

sigma^2 estimated as 914595: log likelihood=-982

AIC=1970 AICc=1970.21 BIC=1978.31


> estimasi

Series: d1

ARIMA(0,1,0)(1,0,0)[12]

Coefficients:

sar1

0.6886

s.e. 0.0682


AIC=2076.86 AICc=2076.96 BIC=2082.4

>galat= residuals(estimasi)

>acf(galat, lag.max=120)


111

> Box.test(galat, lag=k, type="Ljung-Box") , dengan k= lag ke

> tsdiag(estimasi)

> qqnorm(galat)

> qqline(galat)

>Xttopi= d1-galat

> plot(t1,d1, col="red", type="o", main="plot Xt' dengan Xt' Peramalan")

> lines(t1,Xttopi, col="blue")

> legend("topright", c("data Xt' ","data ramalan Xt' "),

cex=0.8,col=c("red","blue"), pch=21:22,lty=1:2


PERBANDINGAN METODE DEKOMPOSISI KLASIK … · D. Contoh 3.4 Runtun Waktu ... Peramalan kualitatif...

Documents

Transcript of PERBANDINGAN METODE DEKOMPOSISI KLASIK … · D. Contoh 3.4 Runtun Waktu ... Peramalan kualitatif...