SEMINAR MATEMATIKA

Penerapan Sifat Kelinearan Sigma untuk Menentukan Rumus Jumlah Bilangan Asli Berpangkat m

Oleh

Nama : JULIA SUSVIANA

NIM : 09221032

Pembimbing : M.Win Afgani , S.Si, M.Pd

FAKULTAS TARBIYAH JURUSAN TADRIS MATEMATIKAINSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN) RADEN FATAH

PALEMBANG2009

Penerapan Sifat Kelinearan Sigma untuk Menentukan Rumus Jumlah Bilangan Asli Berpangkat m

Abstrakjulia susviana1

Bilangan asli adalah bilangan bulat positif yang bukan nol, yaitu unsur himpunan {1, 2, 3, 4, ...} . Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yg paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia. Notasi sigma yang dilambangkan dengan ”Σ” adalah sebuah huruf Yunani yang artinya penjumlahan. Notasi ini digunakan untuk meringkas penulisan penjumlahan bentuk panjang dari jumlah suku-suku yang merupakan variabel berindeks atau suku-suku suatu deret. S1ifat kelinearan sigma dapat digunakan untuk menentukan rumus jumlah bilangan asli berpangkat m.

Kata Kunci : Notasi Sigma, Bilangan Asli, Induksi Matematis

1 Fakultas Tarbiyah Jurusan Tadris Matematika

A. PENDAHULUAN

1. Latar Belakang Masalah

Matematika adalah ilmu dasar dari semua ilmu pengetahuan. Matematika juga

adalah ilmu yang universal, tidak akan habis pembahasan tentang ilmu matematika.

Banyak hal yang dapat dipelajari lalu dikembangkan dalam matematika sehingga

bermanfaat bagi kehidupan manusia. Notasi Sigma digunakan untuk meringkas penulisan penjumlahan bentuk

panjang dari jumlah suku-suku yang merupakan Notasi sigma yang dilambangkan

dengan ”Σ” adalah sebuah huruf Yunani yang artinya penjumlahan variabel berindeks

atau suku-suku suatu deret. Misalnya penjumlahan ∑i=1

n

i =1+2+3+⋯+n

Kelinearan Sigma merupakan salah satu contoh Penggunaan Notasi Sigma

yang dapat membantu dalam melakukan pembuktian sekaligus menentukan rumus

jumlah.

Dengan Kelinearan Notasi Sigma, dapat ditentukan rumus jumlah dari suatu

bilangan, contohnya bilangan asli berpangkat m, rumus yang telah ada dapat

dibuktikan dengan induksi matematis.

Dalam makalah ini penulis akan menerapkan Kelinearan Sigma dalam

Menentukan Rumus Jumlah Bilangan Asli Berpangkat m, m €N+¿ ¿.

2. Rumusan Masalah

Bagaimana menerapkan rumus jumlah bilangan asli berpangkat m dengan

menggunakan kelinearan Sigma.

3. Tujuan

Untuk mengetahui penerapan rumus jumlah bilangan asli berpangkat dengan

menggunakan kelinearan Sigma.

B. Notasi Sigma

Notasi sigma dilambangkan dengan ∑ (dibaca : sigma)

Secara umum notasi sigma dapat didefinisikan sebagai berikut:

u1 + u2 + u3+ … + un = ∑i=1

n

u i

atau

∑i=1

n

ci= c + c + c + c +…+ c = nc

C.Sifat Kelinearan Sigma

sifat-sifat ∑ .dipikirkan sebagai suatu opertaor, ∑ beroperasi pada

barisan dan ∑ memang melakukan itu secara linear.

Teorema A

(Kelinearan ∑ ¿Andaikan {ai} dan {bi} menyatakan dua barisan dan c suatu

konstanta. Maka:

∑i=1

n

cai=c∑i=1

n

ai

∑i=1

n

(ai+bi )=∑i=1

n

a i+∑i=1

n

bi

∑i=1

n

(ai−bi )=∑i=1

n

ai−∑i=1

n

bi

Bukti:

∑i=1

n

cai=ca1+ca2+…+can=c (a1+a2+…+an )

=c∑

i=1

n

a i

∑i=1

n

(ai+bi )= (

a1+

b1) + (

a2+

b2) + (

a3+

b3) +…+ (

an+

bn)→

Hukum Komutatif

=(a1+a2+…+an¿+(b1+b2+…+bn) → Hukum Assosiatif

=∑

i=1

n

ai+∑i=1

n

bi

∑i=1

n

(ai−bi )=(a1

- b1

) + (a2

- b2

) + (a3

- b3

) +…+ (an

- bn

)→

Hukum Komutatif

¿ (a1+a2+…+an )−(b1+b2+…+bn) → Hukum Assosiatif

=∑

i=1

n

ai−∑i=1

n

bi.

D. Induksi Matematis

Induksi matematika adalah salah satu metode pembuktian yang absah dalam

matematika. Pembuktian dengan induksi matematika berkenaan pada pembuktian

untuk proporsi-proporsi yang keberlakuannya untuk setiap bilangan bulat atau lebih

khusus untuk setiap bilangan asli.

Misalkan akan dibuktikan proporsi p(n) berlaku untuk setiap bilangan asli n

dengan menggunakan induksi matematik. Langkah-langkah pembuktiannya sebagai

berikut:

Langkah (1) : ditunjukkan bahwa p(1) benar

Langkah (2) : diasumsikan bahwa p(1) benar untuk suatu bilangan asli n > 1 dan

ditunjukkan bahwa p(n+1) benar

Selanjutnya disimpulkan bahwa p(n) benar untuk setiap bilangan asli n. langkah

(1) disebut basis (dasar) induksi dan langkah (2) disebut langkah induksi.

E. Penerapan Kelinearan Sigma

Rumus-rumus jumlah khusus untuk bilangan asli baik yang berpangkat satu, dua,

tiga dan seterusnya.

∑i=1

n

i =1+2+3+⋯+n=12

n(n+1 )

∑i=1

n

i2 =12+22+32+⋯+n2=16

n( n+1)(2 n+1)

∑i=1

n

i3=13+23+33+⋯+n3=[ 12

n(n+1 )]2

∑i=1

n

i4=14+24+34+⋯+n4=n (n+1 ) ( 6n3+9n2+n−1 )30

Rumus-rumus jumlah diatas biasa dibuktikan dengan menggunakan Induksi

Matematika, salah satunya pada pembuktian berikut ini;

∑i=1

n

i =1+2+3+⋯+n=12

n(n+1 )

Misalkan p(n) menyatakan;

1+2+3+⋯+n=12

n (n+1 ),

1) p(1) adalah 1=1

2.1 (1+1 )

, jelas benar.

2) Diasumsikan bahwa p(n) benar, yaitu 1+2+3+⋯+n=1

2n (n+1 )

adalah benar. Selanjutnya harus ditunjukkan bahwa p(n + 1) benar yaitu ;

1+2+3+⋯+n +(n+1 )=12

( n+1 ) (n+2 )

Hal ini ditunjukkan sebagai berikut ;

1+2+3+⋯+n +(n+1 )= (1+2+3+⋯+n )+(n+1)

= 12

n (n+1 )+(n+1 )

= (n+1 ) ( 1

2n+1)

=

12

(n+1 ) (n+2 )

Jadi, 1+2+3+⋯+n +(n+1 )=1

2( n+1 ) (n+2 )

yaitu p(n + 1) benar. Dari (1) dan (2)

dapat disimpulkan bahwa p(n) benar untuk setiap bilangan asli n.

Selanjutnya, disini akan diberikan pembuktian alternatif yang memiliki

kelebihan dalam menunjukkan dari mana rumus-rumus tersebut berasal.

Pada penggunaan kelinearan Sigma didapat suatu bentuk jumlah berjatuhan,

di bawah ini:

( Jumlah Berjatuhan )

∑i=1

n

[ (i+1 )2−i2]=(n+1 )2−1

Bentuk ini digunakan untuk menentukan rumus jumlah bilangan asli berpangkat satu,

yang dimulai dengan identitas;

( i+1 )2−i2=2 i+1 , dimana pada kedua ruas digunakan kelinearan Sigma, yaitu;

( i+1 )2−i2=2 i+1

∑i=1

n

[ (i+1 )2−i2]=∑i=1

n

(2i+1 )

(n+1 )2−12=2∑i=1

n

i+∑i=1

n

1

n2+2 n=2∑i=1

n

i+n

n2+n2

=∑i=1

n

i

Jadi, terbukti bahwa:

∑i=1

n

i =1+2+3+⋯+n=12

n(n+1 )

Sekarang terlebih dahulu akan dibuktikan apakah bentuk ini;

∑i=1

n

[ (i+1 )2−i2]=(n+1 )2−1, berlaku untuk pangkat 3, 4,5,6, ...,m.

∑i=1

n

[ (i+1 )2−i2]=(1+1 )2−12+(2+1 )2−22+(3+1 )2−32+⋯+ (n+1 )2−n2

=22−12+32−22+42−32+⋯+ (n+1 )2−n2

= (n+1 )2−12

∑i=1

n

[ (i+1 )3−i3 ]=(1+1 )3−13+(2+1 )3−23+(3+1 )3−33+⋯+ (n+1 )3−n3

=23−13+33−23+43−33+⋯+(n+1 )3−n3

= (n+1 )3−13

∑i=1

n

[ (i+1 )4−i4 ]=(1+1 )4−14+ (2+1 )4−24+(3+1 )4−34+⋯+(n+1 )4−n4

=24−14+34−24+44−34+⋯+ (n+1 )4−n4

= (n+1 )4−14

∑i=1

n

[ (i+1 )5−i5 ]=(1+1 )5−15+(2+1 )5−25+ (3+1 )5−35+⋯+(n+1 )5−n5

=25−15+35−25+45−35+⋯+(n+1 )5−n5

= (n+1 )5−15

∑i=1

n

[ (i+1 )6−i6 ]=(1+1 )6−16+(2+1 )6−26+ (3+1 )6−36+⋯+(n+1 )6−n6

=26−16+36−26+46−36+⋯+(n+1 )6−n6

= (n+1 )6−16

Sehingga dari pembuktian-pembuktian diatas, untuk yang berpangkat m diperoleh;

∑i=1

n

[ (i+1 )m−im ]=(1+1 )m−1m+(2+1 )m−2m+ (3+1 )m−3m+⋯+(n+1 )m−nm

=2m−1m+3m−2m+4m−3m+⋯+(n+1 )m−nm= (n+1 )m−1m

Dari uraian diatas, didapatkan bahwa untuk menentukan rumus jumlah bilangan asli

berpangkat m, kita mulai dengan identitas;

(i+1 )m+1−im+1=i [ (i+1 )m−im ]+(i+1 )m

Maka, untuk yang berpangkat 2 dimulai dengan identitas;

( i+1 )2+1−i2+1=i [ ( i+1 )2−i2 ]+( i+1 )2 ,

Seperti metode diatas penjumlahan kedua ruas menggunakan kelinearan;

(i+1 )3−i3=i [ (i+1 )2−i2 ]+ (i+1 )2

(i+1 )3−i3=i [ (i2+2 i+1−i2) ]+ i2+2i+1

(i+1 )3−i3=2 i2+i+i2+2 i+1

(i+1 )3−i3=3 i2+3 i+1

∑i=1

n

[ (i+1 )3−i3 ]=∑i=1

n

(3 i2+3 i+1 )

(n+1 )3−13=3∑i=1

n

i2+3∑i=1

n

i+∑i=1

n

1

n3+3 n2+3 n=3∑i=1

n

i2+3 .n (n+1 )

2+n

2n3+6n2+6 n=6∑i=1

n

i2+3n2+3n+2n

2n3+3n2+n6

=∑i=1

n

i2

n (n+1 ) (2n+1 )6

=∑i=1

n

i2

Jadi, terbukti bahwa;

∑i=1

n

i2 =12+22+32+⋯+n2=16

n( n+1)(2 n+1)

Dari uraian diatas, rumus jumlah bilangan asli berpangkat m adalah;

( i+1 )m+1−im+1=i [ ( i+1 )m−im ]+( i+1 )m

( i+1 )m+1−im+1=i (C1m im−1+C2

m im−2+⋯+1)+( im+C1m im−1+C2

m im−2+⋯+1)( i+1 )m+1−im+1=(C1

mim+C2mim−1+⋯+i )+( im+C1

m im−1+C2mim−2+⋯+1)

( i+1 )m+1−im+1=(C1m+1) im+(C2

m+C1m ) im−1+(C3

m+C2m ) im−2+⋯+i+1

∑i=1

n

[ (i+1 )m+1−im+1 ]=(C1m+1)∑

i=1

n

im+(C2m+C1

m )∑i=1

n

im−1+(C3m+C2

m )∑i=1

n

im−2+⋯+∑i=1

n

i+∑i=1

n

1

(n+1 )m+1−im+1=(C1m+1)∑

i=1

n

im+(C2m+C1

m )∑i=1

n

im−1+(C3m+C2

m )∑i=1

n

im−2+⋯+∑i=1

n

i+∑i=1

n

1

(n+1 )m+1−1=(C1m+1)∑

i=1

n

im+(C2m+C1

m)∑i=1

n

im−1+ (C3m+C2

m )∑i=1

n

im−2+⋯+∑i=1

n

i+∑i=1

n

1

nm+1+C1m+1 nm−1+C2

m+1 nm−2+⋯+Cm−1m+1 n=(C1

m+1)∑i=1

n

im+(C2m+C1

m )∑i=1

n

im−1

+(C3m+C2

m )∑i=1

n

im−2+⋯+∑i=1

n

i+∑i=1

n

1

(C1m+1)∑

i=1

n

im=nm+1+C1m+1 nm−1+C2

m+1 nm−2+⋯+Cm−1m+1 n

−[ (C2m+C1

m )∑i=1

n

im−1+(C3m+C2

m )∑i=1

n

im−2+⋯+∑i=1

n

i+∑i=1

n

1 ]

Contoh Soal : 1. Tentukan rumus jumlah dari;

13+23+33+⋯+n3

Untuk menentukan rumus jumlah bilangan asli berpangkat m, di mulai dengan identitas;

(i+1 )3+1−i3+1=i [ (i+1 )3−i3]+( i+1 )3 ,

sehingga dengan menggunakan kelinearan;

( i+1 )3+1−i3+1=i [ ( i+1 )3−i3]+( i+1 )3

( i+1 )4−i4=i [ (i3+3 i2+3 i+1−i3 ) ]+i3+3 i2+3 i+1

(i+1 )4−i4=3 i3+3i2+ i+i3+3i2+3i+1(i+1 )4−i4=4 i3+6 i2+4 i+1

∑i=1

n

[ (i+1 )4−i4 ]=∑i=1

n

( 4 i3+6 i2+4 i+1 )

(n+1 )4−14=4∑i=1

n

i3+6∑i=1

n

i2+4∑i=1

n

i+∑i=1

n

1

n4+4n3+6 n2+4 n=4∑i=1

n

i3+6 .n (n+1 ) (2 n+1 )

6+4 .

n (n+1 )2

+n

n4+4 n3+6 n2+4 n=4∑i=1

n

i3+2 n3+5 n2+4 n

n4+2n3+n2=4∑i=1

n

i3

n4+2 n3+n2

4=∑

i=1

n

i3

[ 12

n (n+1 )]2

=∑i=1

n

i3

Jadi, terbukti bahwa;

∑i=1

n

i3=13+23+33+⋯+n3=[ 12

n(n+1 )]2

2. Tentukan rumus jumlah dari; 14+24+34+⋯+n4

Solusi:Untuk menentukan rumus jumlah bilangan asli berpangkat m, di mulai dengan identitas;

( i+1 )m+1−im+1=i [ ( i+1 )m−im ]+( i+1 )m ,

Sehingga untuk menentukan rumus jumlah bilangan asli yang berpangkat 4, kita mulai dengan identitas;

( i+1 )4+1−i4+1=i [ ( i+1 )4−i4 ]+ (i+1 )4

( i+1 )5−i5=i [ ( i+1 )4−i4 ]+( i+1 )4

( i+1 )5−i5=5 i4+10 i3+10 i2+5 i+1Sehingga dengan menggunakan kelinearan sigma diperoleh;

∑i=1

n

[ (i+1 )5−i5 ]=∑i=1

n

(5 i4+10 i3+10 i2+5 i+1 )

(n+1 )5−15=5∑i=1

n

i4+10∑i=1

n

i3+10∑i=1

n

i2+5∑i=1

n

i+∑i=1

n

1

n5+5 n4+10 n3+10 n2+5 n=5∑i=1

n

i4+10.n2 (n+1 )2

4+10 .

n (n+1 ) (2 n+1 )6

+5.n (n+1 )

2+n

Kemudian diperoleh;

∑i=1

n

i4=n5

5+ n4

2+ n3

3− n

30

∑i=1

n

i4=6n5+15 n4+10 n3−n30

∑i=1

n

i4=n (n+1 )(6 n3+9 n2+n−1)30

Jadi,

14+24+34+⋯+n4=n (n+1 ) (6 n3+9 n2+n−1 )30

F. PENUTUP

Sifat Kelinearan Sigma yaitu pada jumlah berjatuhan dapat digunakan untuk menentukan rumus jumlah bilangan asli berpangkat m.

Rumus Jumlah berjatuhan yang digunakan adalah :

∑i=1

n

[ (i+1 )2−i2]=(n+1 )2−1

Dengan menggunakan dengan identitas

( i+1 )m+1−im+1=i [ ( i+1 )m−im ]+( i+1 )m

DAFTAR PUSTAKA

Purcell,Edwin J dan Dale Varberg.2000. Kalkkulus dan Geometri Analitis Jilid 1.Jakarta:Erlangga.

Djumanta, Wahyudin dan Dwi Susanti.2008. Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk SMP/MTs Kelas XI. Jakarta: Pusat Perbukuan Depdiknas.

Seputro,T.M.H.T. 1994. Pengantar Dasar Matematika. Surabaya:Erlangga.

Wirodikromo,Sartono. 2003. Matematika untuk SMA Jilid 2 Kelas 1 Semester 2.Jakarta:Erlangga.