Materi Bilangan Berpangkat

22

Click here to load reader

description

Materi Matematika kelas 9

Transcript of Materi Bilangan Berpangkat

Page 1: Materi Bilangan Berpangkat

Pangkat Positif

Dalam pelajaran biologi atau fisika kadang-kadang dijumpai bilangan yang sangat besar. Contohnya bilangan Avogadro 6,02205 1023

atau massa bumi 3,98 1024 kg. Demikian juga sering dijumpai bilangan yang sangat kecil seperti konstanta gravitasi Newton 6,67 10-11 atau diameter sel darah merah 7,75 10-7 m. Bilangan-bilangan yang sangat besar atau sangat kecil ini ditulis dalam notasi ilmiah atau notasi baku

a 10n, dengan 1 a < 10 dan n bilangan bulat Pada penulisan a 10n , n disebut pangkat. Karena n bilangan bulat maka n dapat berupa bilangan postif, negatif atau nol.

Dari pelajaran sebelumnya kalian sudah memahami bahwa:32 = 3 3(-2)3 = (-2) (-2) (-2)54 = 5 5 5 5210 = 2 2 ….. 2

10 faktora6 = a a ….. a

6 faktor

Secara umum bilangan berpangkat dapat dinyatakan sebagai perkalian berulang pada bilangan yang sama.

Matematika SMP Kelas IX / 93

Apa yang akan kamu pelajari? Menjelaskan

pengertian bilangan berpangkat dengan pangkat positif, negatif dan nol

Mengubah pangkat positif menjadi negatif dan sebaliknya.

Mengenal arti pangkat positif dan negatif

Mengenal bentuk akar

Kata Kunci Pangkat Positif Pangkat Negatif

5.1

Page 2: Materi Bilangan Berpangkat

Jika a sebarang bilangan dan n bilangan bulat positif makaan = a a ….. a

n faktora disebut bilangan pokok atau basis

n disebut pangkat atau eksponenBagaimana jika n = 1? Disepakati a1 = a.

Contoh 1:Tentukan nilai daria. 123 b. 3,45 c. (-6) 7

Jawab: a. 123 = 12 12 12 = 1728b. 3,45 = 3,4 3,4 3,4 3,4 3,4 = 454.35424c. (-6) 7 = -6 -6 -6 -6 -6 -6 -6 = -279936

Pangkat Negatif

Di depan kalian dapat menyatakan konstanta gravitasi Newton 0,0000000000667 dalam notasi baku sebagai 6,67 . Perhatikan

6,67 = 0,0000000000667

= 6,67

= 6,67

Maka 10-11 = Dapatkah kamu menyatakan diameter sel darah merah 0,000000775 m dalam bentuk pangkat?Secara umum, jika a sebarang bilangan tidak nol dan n bilangan bulat maka

Mengapa a ≠ 0?

/ Buku Siswa – Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar94

Page 3: Materi Bilangan Berpangkat

Contoh 2:Tentukan nilai daria. 2-3 b. 1,2-4 c. (-3) -5

Jawab: a. 2-3 = = 0,125

b. 1,2-4 = = 0.4823

c. (-3) -5 = = -0.0041

Pangkat Nol

Perhatikan bentuk pangkat berikut23 = 822 = 421 = 2

Berapakah 20 ? Pada ruas kiri dari atas ke bawah, pangkatnya berkurang satu. Pada ruas kanan dari atas ke bawah selalu dibagi 2. Dengan demikian 20 = 1. Berapakah 30? 50? a0?

IngatSemua bilangan kecuali nol jika dipangkatkan nol hasilnya 1.

Matematika SMP Kelas IX / 95

Page 4: Materi Bilangan Berpangkat

Bentuk Akar

Aulia mempunyai sehelai saputangan yang berbentuk persegi dengan luas 900 cm persegi. Supaya indah, Aulia akan menambahkan renda di salah satu sisinya. Berapa panjang renda yang diperlukan Aulia?

Misal panjang sisi saputangan adalah n cm maka Aulia harus menentukan n n = 900. Dalam hal ini n = 30 karena 30 30 = 900 atau 302 = 90. Menentukan n = 30 berarti melakukan penarikan akar dari 900 dan ditulis sebagai = 30.

Bentuk dibaca ” akar kuadrat dari 900 ”.

Berapakah nilai dari ? Kita tidak dapat menentukan suatu bilangan rasional n sedemikian hingga n2 = 5. Selanjutnya ” akar kuadrat dari 5 ” tetap ditulis dalam bentuk akar dan merupakan bilangan irrasional.

Apakah merupakan bilangan irrasional? Mengapa ?

Jika 2 2 2 = 23 = 8 maka dapat ditulis = 2.

Jika -3 -3 -3 -3 -3 = -243 maka

Tetapi walaupun -5 -5 = 25 nilai dari = 5. Untuk akar pangkat genap hanya digunakan nilai yang positif.Secara umum,

Menyederhanakan Bentuk AkarJika a, b bilangan positif maka

Contoh 3:Sederhanakan bentuk akar berikut:a. b. Jawab:a. = = b. = =

/ Buku Siswa – Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar96

Apa yang akan kamu pelajari? Mengenali arti

bilangan pecahan berpangkat dan menemukan hasilnya.

Mengubah bentuk akar suatu bilangan bulat menjadi bilangan berpangkat pecahan dan sebaliknya

Kata Kunci Akar

Jika n bilangan genap dan a suatu bilangan positif maka an = b berarti

Jika n bilangan ganjil maka an = b berarti

Page 5: Materi Bilangan Berpangkat

1. Nyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat a. 7 7 7 7 7 c. 3,4 3,4 3,4 3,4

b. 8 32 d. n n n n n n

2. Tentukan nilai dari a. b. c. d.

3. Carilah bilangan yang terbesar yang merupakan bentuk perpangkatan dari bilangan 3 dan -4.

4. Ubahlah dalam pangkat negatif a. b. c. d.

5. Ubahlah dalam pangkat positif a. b. c. d.

6. Tentukan nilai dari a. b. c. d.

7. Sederhanakan a. b. c.

8. Ambil seutas benang atau tali, kemudian potong menjadi tiga bagian. Satukan ketiga bagian tersebut kemudian potong lagi menjadi tiga bagian. Berapa potong benang/tali yang akan diperoleh? Perkirakan berapa potong benang/tali yang akan diperoleh jika dilakukan pemotongan sebanyak 5 kali.

Matematika SMP Kelas IX / 97

Page 6: Materi Bilangan Berpangkat

9. Sebuah bank menerapkan sistem bunga majemuk atau berganda, dimana bunga yang diterima dibungakan lagi. Misal bank tersebut menerapkan bunga majemuk 1% per bulan. Jika Aulia menabung Rp 100.000,00 maka 1 bulan kemudian tabungan Aulia menjadi:100000 + (100000 1%) = 100000 + (100000 0,01)

= 100000 ( 1 + 0,01)= 100000 1,01

Dua bulan kemudian tabungan Aulia menjadi(100000 1,01) + ((100000 1,01) 1%) = (100000 1,01) + ((100000 1,01) 0,01)

= (100000 1,01) ( 1 + 0,01) = 100000 1,01 1,01 = 100000 1,012

Tiga bulan kemudian tabungan Aulia menjadi(100000 1,01 1,01 ) + ((100000 1,01 1,01) 1%)

= (100000 1,01 1,01) + ((100000 1,01 1,01) 0,01)

= (100000 1,01 1,01) (1 + 0,01)= 100000 1,01 1,01 1,01 = 100000 1,013

Nyatakan besar tabungan Aulia dalam bentuk pangkat selama satu tahun.

10. Penampang melintang sebuah batang tumbuhan dikotil di musim hujan mempunyai ukuran tertentu. Pada musim kemarau mengkerut sejauh seperti pada gambar. Hitunglah prosentase penyusutan luas penampang batang tumbuhan dikotil tersebut.

Operasi pada Bilangan Berpangkat

/ Buku Siswa – Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar98

x

x

x

x

Apa yang akan kamu pelajari? Menyelesaikan

operasi kali, bagi, tambah, kurang, dan pangkat pada bilangan berpangkat

Menyelesaikan operasi yang melibatkan bentuk akar

Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan bilangan berpangkat dan bentuk akar

Kata Kunci Merasionalkan

5.2

Page 7: Materi Bilangan Berpangkat

Setelah mengenal bilangan berpangkat dan bentuk akar, berikut ini kalian akan mempelajari operasi yang berlaku pada bilangan berpangkat dan bentuk akar serta bagaimana menggunakannya untuk

menyelesaikan masalah.

Masalah 11. Lengkapilah 52 53 = (5 5) (5 5 5) = 5 5 ... ... ...

= 5... 2. Dengan menggunakan arti bilangan berpangkat sederhanakan

a. 34 33

b. (-2)3 (-2)4

c. b2 b5

d. 3-2 3-3

e. (-5)-4 (-5)-2

f. a-3 a-6

3. Jika a sebarang bilangan dan m, n bilangan bulat, apakah bentuk sederhana dari am an ?

M asalah 2 1. Lengkapilah

= ... ... ... = 2...

2. Dengan menggunakan arti bilangan berpangkat, sederhanakan:

a. b.

c. d.

e. f.

Matematika SMP Kelas IX / 99

Page 8: Materi Bilangan Berpangkat

3. Jika a sebarang bilangan tidak nol dan m, n bilangan bulat, apakah bentuk sederhana dari ?

Masalah 31. Lengkapilah (32)3 = 32 32 32 = (3 3) (... ...) (... ...)

= 3...

2. Dengan menggunakan arti bilangan berpangkat, sederhanakan:

a. (23)4 b. ((-3)2)5

c. (c2)4 d.

e. (c-5)2 f. (a-3)-1

3. Jika a sebarang bilangan dan m, n bilangan bulat, apakah bentuk sederhana dari (am)n

Masalah 41. Lengkapilah (a b)3 = (a b) (a b) (a b) = (a a a) (… ... ...) = a... b...

2. Dengan menggunakan arti bilangan berpangkat, sederhanakan:a. (-2 3)5 b. (3 5)2

c. (p q)4 d. (x y)5(3 2)-3

e. (a b)-2 f. (x y)-5

3. Jika a dan b sebarang bilangan, n bilangan bulat , apakah bentuk sederhana dari:(a b)n ?

Masalah 51. Lengkapilah

=

=

2. Dengan menggunakan arti bilangan berpangkat sederhanakan:

a. b.

/ Buku Siswa – Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar100

Page 9: Materi Bilangan Berpangkat

c. d. , q 0

e. f. , q 0

3. Jika a dan b sebarang bilangan, b 0, dan m bilangan bulat positif apakah bentuk

sederhana ?

RangkumanJika m dan n bilangan bulat, dan a, b sebarang bilangan maka berlaku sifat-sifat berikut.1.

2.

3. , a 0

4.

5. , b 0

Menggunakan KalkulatorUntuk menghitung nilai bilangan berpangkat dapat digunakan kalkulator. Kalkulator jenis scientific biasanya memuat tombol untuk menentukan nilai

atau tombol untuk menentukan akar pangkat dua.

Contoh 1:Hitunglah 3,456

Jawab:Tekan tombol

akan menghasilkan nilai

Matematika SMP Kelas IX / 101

yx

3 . 4 5 =yx1686.221298140625

Page 10: Materi Bilangan Berpangkat

Contoh 2:Hitunglah Jawab:Tekan tombol

akan menghasilkan nilai

Contoh 3:Hitunglah Jawab:

= =

Tekan tombol

akan menghasilkan nilai

Menggunakan Komputer

Beberapa software komputer dapat digunakan untuk menghitung nilai bilangan berpangkat, diantaranya Microsoft Excel.

Contoh 4: Hitunglah 5,67-8

Jawab:Pada salah satu sel ketiklah: =5.67^-8 atau =POWER(5.67,-8)

Contoh 5:Hitunglah Jawab:Pada salah satu sel ketiklah: =SQRT(789)

/ Buku Siswa – Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar102

Hasil 9.36129E-07 berarti

= 0,000000736129

28.089143810376278537410115784912

7 8 9

3.4024595321284907652092505444728

4 5 6 =yx 2.

Page 11: Materi Bilangan Berpangkat

Contoh 6:Hitunglah

Jawab: = =

Pada salah satu sel ketiklah: =POWER(456,1/5)

1. Tentukan nilai daria. 82 84 b. (-3)2 (-3)4 c. d. (3 105) (5

106)

b. f . g. (53)5 h.

2. Jika a, b, dan c sebarang bilangan dan tidak nol, sederhanakana. (2a3)4 b. (4a5b2)2 × (2a3b-5)5 c. (-8(2c)-3)4 d.

3. Carilah bilangan yang terbesar yang merupakan hasil operasi perpangkatan dari bilangan 2, 3, dan 4.

4. Ubah bentuk-bentuk di bawah ini dalam pangkat negatifa. b.

Matematika SMP Kelas IX / 103

Page 12: Materi Bilangan Berpangkat

c. d.

e. f.

5. Ubahlah bentuk-bentuk di bawah ini dalam pangkat positif.a. 3-2 3-5 b. 33 3-4

c. (-2)-2 (-2)-4 d. (-3)3 (-3)-5

e. f.

6. Penalaran. Apakah an bm = (ab)n+m ?Jika ya beri alasan. Jika tidak beri contoh.

7. Hitunglah jika a 0a. (5 a2)0 b. (22 a0)4

8. Produksi baju suatu perusahaan garmen

mengikuti fungsi , dengan t bilangan

bulat positif yang menya-takan waktu berjalan dalam tahun. Keuntungan perusa-haan dinyatakan oleh p dari persamaan p = b (10-3 22)-3. Berapakah keuntungan perusahaan selama 3 tahun? (Gunakan kalkulator atau komputer

bila perlu)

9. Bank A menerapkan bunga majemuk 1% per bulan. Bank B menerapkan bunga majemuk 12,5% per tahun. Jika Aulia ingin menabungkan uang Rp 100.000,00 selama 3 tahun, bank manakah yang menghasilkan tabungan lebih banyak? (Gunakan kalkulator atau komputer bila perlu)

10. Salah satu tolok ukur tingkat kemakmuran suatu negara diukur dari besarnya Gross National Product (GNP). Kenaikan GNP suatu negara setelah n tahun (Tn) dihitung dengan rumus Tn = GNP tn, dimana t adalah rata-rata pertumbuhan GNP. Pada tahun 1986, GNP di Jepang 1.204 trilyun dolar, dengan rata-rata pertumbuhan GNP 4.85 % per tahun.

/ Buku Siswa – Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar104

al-irsyad0.tripod.com

www.i-mrt.jp

Page 13: Materi Bilangan Berpangkat

Jika diasumsikan rata-rata pertumbuhan GNP Jepang tidak berubah, tentukan kenaikan GNP Jepng pada tahun 1990 dibandingkan tahun 1986.

(Gunakan kalkulator atau komputer bila perlu)

Pangkat Pecahan

Bentuk = 2 dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat sebagai . Ini berarti x + x = 1, atau . Dengan demikian dapat dinyatakan .Bentuk dibaca ”akar pangkat 3 dari 2” yang berarti = (

)3 = 2. Dalam bentuk bilangan berpangkat dapat dinyatakan 2y 2y

2y = (2y)3 = 2 sehingga y = . Dengan demikian = .

Masalah 6Tulislah dalam bentuk akara. b. c.

Nyatakan dalam bentuk akar. Selidikilah syarat-syarat untuk a dan n. Apakah syarat a untuk n genap?

Masalah 7Di depan sudah dipahami makna dari , a bilangan positif, n > 1 untuk n genap dan a bilangan sebarang untuk n ganjil. Sekarang apakah makna dari , dengan m, n bilangan bulat lebih dari 1?

Berikut 2 cara untuk menunjukkan hubungan akar dan pangkat pecahan.Cara 1 Cara 2

Matematika SMP Kelas IX / 105

Page 14: Materi Bilangan Berpangkat

Ubahlah dalam bentuk akar!

/ Buku Siswa – Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar106

Page 15: Materi Bilangan Berpangkat

Operasi pada Bentuk Akar

Masalah 8Kalian telah memahami bahwa , dan = amn. Gunakan ketiga hal di atas untuk menghitung:1. 2. 3. 4 . 5 . 6. , jika a > 0, m, n bilangan bulat positif

Masalah 9

Sederhanakan dengan menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.

1.2.3.4.5.6.7.

Matematika SMP Kelas IX / 107

IngatSifat distributif perkalian terhadap penjumlahan a(b + c) = ab + ac(a + b)c = ac + bc

Page 16: Materi Bilangan Berpangkat

Masalah 10

Di atas kalian sudah mempelajari . Bentuk ini dapat juga ditulis sebagai perkalian bentuk akar .

Hitunglah:a.b.c.

d.e. , a > 0 , b > 0f. , a > 0, b > 0, n bilangan bulat positifg. , a > 0 , b > 0, m, n bilangan bulat positif

Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar

Kalian sudah memahami bahwa 2, 3, 5, 7 adalah bilangan irrasional. Demikian juga merupakan bilangan irrasional. Penyebut dari pecahan-pecahan tersebut dapat diubah menjadi bilangan rasional, dan pengubahan ini disebut merasionalkan bentuk akar.

Contoh 1:Rasionalkan bentuk a.

b.Jawab:a. (pembilang dan penyebut dikalikan 2)

=

=

/ Buku Siswa – Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar108

Ingat

(a + b)(a - b) = a2 – b2

Page 17: Materi Bilangan Berpangkat

b. (pembilang dan penyebut dikalikan 3)

=

=

1. Hitunglaha. b. c. d.

e. f. g. h.

2. Nyatakan dalam bentuk pangkat a. b. c. d.

3. Nyatakan dalam bentuk akar a. b. c. d.

4. Mengapa tidak terdefinisi jika n genap dan p < 0?

5. Tulis bentuk lain yang ekuivalen dengan

6. Sederhanakana. 53 + 43 + 62 - 32 b. 6 + 54 - 200c. d. (3 + 2)(3 - 2)e. (a - b)(a + b)f.

7. Arsitektur. Seorang arsitek akan membuat dinding dengan mengambil ide dari gelembung sabun jika luas permukaan gelembung sabun a maka volumenya v diberikan oleh persamaan

Matematika SMP Kelas IX / 109Brasouw.tripod.com

Page 18: Materi Bilangan Berpangkat

. Tentukan luas permukaan gelembung jika volumenya 7,5 cm3.

(Gunakan kalkulator atau komputer bila perlu)

8. Periode orbit dari satelit yang mengelilingi bumi adalah 90 menit, jari-jari bumi adalah

6400 km. Diberikan rumus , disini r

menyatakan jarak dalam meter dari pusat bumi ke satelit, g = 6,67 x 10-11, t menyatakan waktu dalam detik, m menyatakan massa bumi yaitu 5,98 x 1024

kg. Tentukan jarak bumi dengan satelit.

(Gunakan kalkulator atau komputer bila perlu)

9. Rasionalkan bentuk akar berikut a. b. c. d. e.

10. Dalam pelajaran fisika terdapat persamaan . Ubahlah

persamaan tersebut dalam bentuk paling sederhana tanpa pangkat negatif.

/ Buku Siswa – Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar110

www.censolar.es