TUGAS STATMAT II

PENDUGA INTERVAL

Kelompok 4:

Ade Wahyu Pratama Putri (11.6507)

Dewi Puspita Sari (11.6611)

Julian Emba Mangosa (11.6731)

M. Saiful Hadi (11.6802)

Olivia Da Costa Alves Bareto (11.6842)

Satiti SukmaDewi (11.6896)

Sundari (11.6916)

Syafaqatul Humairoh (11.6918)

Yenro P. Sagala (11.6957)

Kelas 2B

SekolahTinggiIlmuStatistik2013

1. DiketahuiX N (θ ,θ ) ,θ>0

X N (θ ,θn )asimtotically normal,

x−μ

√ θn

adalah kuantitas pivot. Carilah interval θuntuk

(1−α ) 100 %!

Penyelesain :

z= x−μ

√ θn

P(−z α2

< z<z α2 )=1−α

P(−z α2

<x−θ

√ θn

< z α2 )=1−α

P(−z α2 √ θ

n<x−θ<z α

2 √ θn )=1−α

P(x−z α2 √ θ

n<θ<x+z α

2 √ θn )=1−α

2. x digunakan untuk mengestimasi μ, tunjukan bahwa (1−α ) 100 % adalah confidence interval

untuk |x−μ| atau nilai absolut dari error tidak melebihi e apabila sampel size n=(z α2

−σe)

2

.

Penyelesaian:

P(−z α2

< x−μσ

√n

<z α2 )=1−α

P(−z α2

σ

√n<x−μ<z α

2

σ

√n )=1−α

P(|x−μ|<z α2

σ

√n )=1−α

P(|x−μ|<z α2

σ

z α2

−σe )=1−α

P (|x−μ|<e )=1−α

3. Dalam pemilihan umum ada 2374 voters, diantaranya adalah 1912 pemilih A. Carilah

interval p dengan taraf nyata α=1%! (z0,05=−2,58 ; z0,95=2,58¿

Penyelesaian :

p=19122374

, q= 4622374

P( p−z α2 √ p q

n< p< p+z α

2 √ p qn )=(1−α ) 100 %

P( 19122374

−2,58√ 19122374

.4622374

2374< p< 1912

2374+2,58√ 1912

2374.

4622374

2374)=99 %

P (0,78< p<0,826 )=99 %

4. Misalkan X1 , X2 , … X n adalah sampel random independen dari populasi berdistribusi

normal dengan rata-rata θ dan variasi 0,25.

a. Dengan menggunakan metode kuantitas pivot tentukan selang kepercayaan (1-α)100%

untuk θ.

b. Bila dipunyai data 2,55 ; 3,59 ; 3,25 ; 2,50 ; 2,75 ; 3,60 ; 3,79 ; 3,15 ; 2,98 ; 3,49 tentukan

selang kepercayaan 98% untuk rata-rata.

Penyelesaian :

a. X N (θ , 0,25 )

E(X) = θ

Dengan menggunakan metode momen: θ = 1n∑i=1

n

X i=X

Z = X−θ0,5

√n N (0,1 ), dalam hal ini Z sebagai kuantitas pivot

Interval konfindensi (1-α)100% untuk θ adalah sebagai berikut :

P(−Z α2

<Z<Z α2 )= 1- α

−Z α2

< X−θ0,5

√n

<Z α2

−Z α2

.0,5

√n< X−θ<Z α

2

.0,5

√n

−X−Z α2

.0,5

√n←θ<−X+Z α

2

.0,5

√n

X+Z α2

.0,5

√n>θ>X−Z α

2

.0,5

√n

X−Z α2

.0,5

√n<θ< X+Z α

2

.0,5

√n

b. Data yang diperoleh : n=10 , X=3,165 , α = 2%

Selang kepercayaan 98% untuk θ adalah sebagai berikut :

X−Z α2

.0,5

√n<θ< X+Z α

2

.0,5

√n

3,165 – 2,33 . 0,5

√10 < θ < 3,165 + 2,33 .

0,5

√10

2,7966 < θ<3,5334

Jadi, selang kepercayaan (1-α)100% dari θ adalah 2,7966 < θ<3,5334.

5. Misalkan X1 , X2 , … X n adalah sampel random independen dari populasi berdistribusi

normal dengan rata-rata μ dan variasi σ 2, keduanya tidak diketahui. Bila diketahui data

sebagai berikut : 2,55 ; 3,59 ; 3,25 ; 2,50 ; 2,75 ; 3,60 ; 3,79 ; 3,15 ; 2,98 ; 3,49. Tentukan

selang kepercayaan 98% untuk μ.

Penyelesaian :

n = 10 , X=3,165 , α = 2% , S = 0,4595

Selang kepercayaan 98% untuk μ adalah sebagai berikut :

X – t α2

;n−1.

S

√n<μ< X+t α

2; n−1

.S

√n

3,165 – (2,821 )( 0,4595

√10 )<μ<3,165+(2,821 )( 0,4595

√10 )2,7551<μ<3,5749

Jadi, selang kepercayaan (1-α) 100% dari μ adalah 2,7551<μ<3,5749.

6. Diberikan sebuah variabel random dengan ukuran n dari distribusi uniform, X i → UNF(0,

Ө) , Ө > 0. Tentukan pendugaan interval interval dari Ө. Jika θ diduga dengan metode MME.

Penyelesaian :

μ'=E ( x )=∫0

θ

x1θ

dx=1θ

12

θ2=θ2

E ( x2 )=∫0

θ

x2 1θ

dx=1θ

13

θ3=θ2

3var (x )= θ2

12

M '=1n∑ x i=x

μ'=M ' θ2=xθ=2 x

Maka MME dari θ adalah θ=2 x .

E (θ )=E (2 x )=2 E ( x )=2 E ¿var ( θ )=var (2 x )=4 var ¿se (θ )=√ 13 n

θ2

Z=θ−θ

n

√ 13 n

θ2 berdistribusi N(0,1)

P(−Z α2

<Z<Z α2 )=1−α P(−Z α

2

<θ−

θn

√ 13 n

θ2

<Z α2 )=1−α

P(θ−Z α2 √ 1

3nθ2<θ<θ+Z α

2 √ 13n

θ2)=1−αKarena batas atas dan batas bawah masih memuat

parameter θ yang belum diketahui maka selang tidak dapat direpivot. Oleh karena itu harus

didekati dengan mengikuti teorema slutsky sebagai berikut:

θ2konvergen dalam probability denganθ

2

maka peluangnya dapat diubah menjadi :

P(θ−Z α2 √ 1

3nθ2<θ<θ+Z α

2 √ 13n

θ2)=1−α

karena selang tidak memuat parameter yang tidak diketahui maka selang dapat direpivot.

Maka dengan kepercayaan (1−α ) 100 % penduga selang untuk θ adalah adalah:

(θ−Z α2 √ 1

3 nθ2 ,θ+Z α

2 √ 13n

θ2) .7. Diberikan satu random variabel X1 →GEO ( p). Tentukan penduga selang darip yang diduga

menggunakan statistik cukup dari P.

Penyelesaian:

X1 →GEO ( p )f x ( x )=Px (1−p ) x−1dengan menggunakan metode keluarga eksponensial,

exp [ ln P ¿¿ x (1−p )x−1]=exp ¿¿Maka diperoleh:

P ( p )=ln p (1−p )k ( x )=xq ( p )=ln p (1−p )S ( x )=0sehingga statistik cukup untuk p adalah

∑ k (x )=∑ x i

E (∑ x i )=∑ E ( x i )=∑ E ( x i )=np

var (∑ x i )=var (∑ x i )=n . var ( x i)=n (1−p )

p2

se (θ )=√ n (1−p )p2

Z=∑ xi−

np

√ n(1−p)p2

mengikuti distribusi N(0,1)

P(−Z α2

<Z<Z α2 )=1−α P(−Z α

2

<∑ x i−

np

√ n(1−p)p2

<Z α2 )=1−α

P(∑ x i−Z α2 √ n(1−p)

p2 < np<∑ x i+Z α

2 √ n(1−p)p2 )=1−αKarena batas atas dan batas bawah

masih memuat parameter θ yang belum diketahui maka selang tidak dapat direpivot. Oleh

karena itu harus didekati dengan mengikuti teorema slutskysebagai berikut:

n(1− p)

p2konvergen dalam probability dengan

n(1−p)p2

Oleh karena itu,

Z=

∑ xi−np

√ n (1−p )p2

√ (1− p )

p2

(1−p )p2

=∑ x i−

np

√ n (1− p )

p2

→ N (0,1 )

maka peluangnya dapat diubah menjadi :

P(∑ x i−Z α2 √ n (1− p )

p2< n

p<∑ x i+Z α

2 √ n (1− p )

p2 )=1−α

P( 1

∑ x i+Z α2 √ n (1− p )

p2

< pn

< 1

∑ x i−Z α2 √ n (1− p )

p2 )=1−α

P( n

∑ x i+Z α2 √ n (1− p )

p2

< p< n

∑ x i−Z α2 √ n (1− p )

p2 )=1−α

karena selang tidak memuat parameter yang tidak diketahui maka selang dapat direpivot.

Maka dengan kepercayaan (1−α ) 100 % penduga selang untuk θ adalah adalah:

( n

∑ x i+Z α2 √ n (1− p )

p2

;n

∑ xi−Z α2 √ n (1− p )

p2 ) .

8. Dari suatu sampel acak 900 petani disuatu daerah,ternyata 610 orang diantaranya adalah

buruh tani. Tentukan interval kepercayaan 90% untuk proporsi buruh tani diantara semua

petani didaerah tersebut.

Penyelesaian:

X : banyak buruh tani

n = 900 ; ; x = 610

,

;

Jadi, interval kepercayaan 90% untuk adalah : 0,65 < p < 0,71

9. Disuatu Universitas,diantara 2000 lulusan mahasiswa pria terdapat 114 orang yang lulus

dengan IPK ≥ 2,75 , sedangkan diantara 1000 lulusan mahasiswa wanita terdapat 61 orang

lulus dengan IPK ≥ 2,75. Tentukan interval kepercayaan 98% untuk beda proporsi lulusan

dengan IPK ≥ 2,75 antara mahasiswa pria dan wanita.

Penyelesaian:

X : banyaknya mahasiswa yang lulus dengan IPK ≥ 2,75

, , ,

, , ,

,

Interval kepercayaan 98% untuk :

10. X exp (λ), cari pendugaan selang kepercayaan untuk λ, dengan confidence coefficient

90% !

Penyelesaian:

f X ( x )=1λ

e−x/ λ

Q= xλ

, f Q (q )=e−q

dxdQ

=λ

f Q (q )=f X ( W (Q ) )| dxdQ|=1

λe−q|λ|=e−q

P ( A<Q<B )=0,90

P (Q<B )−P (Q<A )=0,90

P (Q<B )=0,95

∫q

f Q (q )dq=0,95

∫0

B

e−q dq=0,95

−e−q|0

B=0,95

−e−B+1=0,95

e−B=0,05⟶B=−ln0,05

P (Q<A )=0,05

∫0

A

e−q dq=0,05

−e−q|0

A=0,05

−e−A+1=0,05

e−A=0,95⟶ A=−ln 0,95

Sehingga,

P ( A<Q<B )=0,90

P (−ln 0,95<Q← ln 0,05 )=0,90

P(−ln 0,95< xλ← ln 0,05)=0,90

P( x−ln 0,05

<λ< x−ln 0,95 )=0,90

Selang kepercayaan 90% dari λ adalah ( x−ln 0,05

;x

−ln 0,95 )11. Diketahui X1 , X2 , … X n variabel random saling bebas berdistribusi N(µ;σ 2) dengan µ

diketahui. Tentukan interval kepercayaan untuk σ dengan koefsien kepercayaan 1-∝

Penyelesaian:

Misalkan R = X (n) - X (1) dan didefinisikanW = Z(n) - Z(1)

Dengan Z(n)=X (n )−μ

σ dan Z(1)=

X (1 )−μ

σ. Karena W berdistribusi studentized range maka a dan b

ditentukan sehingga

P(a <Rσ

< b) = 1-∝

Atau P(aR

<1σ

<bR

) = 1-∝ atauP(Rb

<σ<Ra

) = 1-∝. Hal itu berarti bahwa interval kepercayaan

untuk σ adalah [R/b,R/a]

12. Diketahui variabel random X1,X2,....,X nsaling bebas dan berdistribusi dengan fungsi

kepadatan f(x,θ) = ex−θ untuk x>θ ,θ∈Ω=¿ R dan misalkan Y = X1. Tunjukkan bahwa

Fungsi kepadatan probabilitas g dari Y diberikan sebagai g(y) = n exp[-n(y-θ)] untuk y >θ

Penyelesaian:

Fungsi distribusi dari X1 adalah

F(x;θ ¿ = ∫−∞

x

f ( t ) dt

= ∫θ

x

e−(t−θ)dt

= ∫0

x−θ

e−udu

= [−e−u]0x−θ

= 1 - e−(x−θ)

Dengan u = t – θ. Akibatnya fungsi distribusi dari

Y = X1 = minX1, X2,...., X nAdalah

F(y) = P(Y<y)= P(minX1, X2,...., X n≤ y)

= 1 – P(minX1, X2,...., X n> y)

= 1 – P(X1> y , X2> y , …. , Xn> y ¿

= 1 –[P ( X1> y )]n

= 1 −(1−P ( X1 ≤ y ))n

= 1 −(e−( y−θ ))n

= 1 −(e−n ( y−θ ))Fungsi kepadatan probabilitasdari Y diperoleh dengan menurunkan F(y) terhadap variabel y

yaitu diperoleh g(y) = F(y) = n e−n ( y−θ ) untuk y >θ .

13. Diketahui X1, X2, . . . , Xm sampel random dari populasi N(μ1; σ12) dan Y1, Y2, . . . , Yn sampel

random dari populasi dengan μ1 ; μ2diketahui. Tentukan interval kepercayaan untuk σ12/σ2

2

dengan koefisien kepercayaan 1- α

Penyelesaian:Misal didefinisikan statistik

T (σ12/σ2

2 )= σ12 Sn

2

σ22 Sm

2

Dengan Sm2= 1

m∑i=1

m

(X i−μ2)2 dan Sn

2=1n∑i=1

n

( X i−μ2)2. Karena X1, X2, . . . , Xm sampel random

dari populasi N(μ1; σ12) maka

m Sm2

σ12 berdistribusi χ2

m dan karena Y1, Y2, . . . , Yn sampel random

dari populasiN(μ2; σ22) maka

n Sn2

σ22 berdistribusi χ2

n

T (σ12/σ2

2 )= σ12 Sn

2

σ22 Sm

2 =

n Sn2

σ 22

mSm2

σ 12

Berdistribusi Fm,n . karena t berdistribusi Fm,n maka interval kepercayaan untuk dapat

ditentukan dengan menentukan adan bsehingga

P (a≤ Fm, n≤ b )=1−α

P (a≤T ≤ b )=1−α

P(a≤σ1

2 Sn2

σ22 Sm

2 ≤ b)=1−α

P(aSm

2

Sn2 ≤

σ12

σ22 ≤ b

Sm2

Sn2 )=1−α

Sehingga selang keprcayaan untuk σ12/σ2

2 adalah[a Sm2

Sn2

≤σ 1

2

σ 22

≤ bSm

2

Sn2 ]

14. Diketahui X1, X2, . . . , Xn variabel random saling bebas dan mempunyai fungsi kepadatan

probabilitas

f ( x ;θ )=1θ

e−x /θ

Untuk x>0. Tentukan interval kepercayaan untuk θ dengan koefisien kepercayaan 1-α

Penyelesaian:

Karena 2 x i

θ berdistristribusi χ2

2 maka 2∑

i=1

n

X i

θ

berdistribusi χ22sehingga untuk menetukan

interval kepercayaan untuk θdilakukan dengan menentukan adan bsehingga

P (a≤ χ22 n≤ b )=1−α

P(a≤2∑

i=1

n

X i

θ≤ b)=1−α

P( 1a

≤θ

∑i=1

n

X i

≤1b )=1−α

Dalam hal ini adan bditentukan sehinggaa2g2n(a)dan b2g2n(b) dan

∫a

b

g2 n(t )=1−α

Dengan g2 n ( t ) adalah fungsi kepadatan probabilitas dari dstribusi χ22n

15. Diketahui variabel random X1,X2,…Xn saling bebas dan berdistribusi seragam pada (0,θ).

Gunakan range R=X(n) – X(1) untuk menentukan interval kepercayaan untuk θ?

Penyelesaian:

Karena berdistribusi seragam pada (0; θ) maka berdistribusi seragam pada (0; 1) sehingga

Y = (X(n) -X(1))/ θ akan mempunyai fungsi kepadatan probabilitas

n(n -1)yn-2(1- y) untuk 0 < y < 1

f(y)=

0 untuk yang lain

Interval kepercayaan untukθ ditentukan dengan menentukan a dan b sehingga

P(a≤x (n)−x ( 1)

θ≤ b)= 1-α

dengan Y = (X(n)-X(1))/θ mempunyai fungsi kepadatan probabilitas seperti tersebut di atas.

Akibatnya

P( ab

≥x (n )−x (1)

θ≥

1b)= 1-α

P(x (n )−x (1)

b≤ θ ≤

x (n )−x (1)

a)= 1-α

P( Rb

≤ θ ≤Ra)= 1-α

16. Diketahui X1,X2,...,Xn variabel random saling bebas dengan mean μ tidak diketahui dan

variansinya σ 2 berhingga dan diketahui serta ukuran sampel n besar. Gunakan teorema limit

sentral untuk mengkonstruksikan interval kepercayaanμ dengan koefisien kepercayaan

mendekati 1-α?

Penyelesaian:

Karena X1,X2,...,Xn variabel random saling bebas dengan mean μ tidak diketahui dan

variansinya σ 2 berhingga dan diketahui serta ukuran sampel n besar maka dengan

menggunakan teorema limit sentral diperoleh:

x−μ

σ /√nN (0,1)

Untuk n → ∞ Interval kepercayaan untuk μ ditentukan dengan menentukan a dan b sehingga

Pp(a≥ N (0,1)≥ b)= 1-α Akibatnya:

P(a≤x−μ

σ /√n≤ b)= 1-α

P(aσ /√n ≤ x−μ ≤ bσ /√n)= 1-α P(x−bσ /√n ≤ μ ≤ x−aσ /√n)= 1-α

Interval kepercayaan untuk μ adalah (x−b σ /√n , x−a σ /√n) sedangkan interval

kepercayaan terpendek untuk μ adalah (x−zα /2 σ /√n , x+zα /2 σ /√n) dengan zα /2 adalah

kuantil 1- α /2 untuk distribusi N(0,1)