Pendahuluan Kalkulus

1. Himpunan 2. Sistem Bilangan 3. Sistem Koordinat 4. Persamaan Garis lurus

2

1.1 Sistem Bilangan Real

Pada bagian ini, diingatkan kembali pada konsep tentang himpunan. Himpunan adalah

sekumpulan obyek/unsur dengan kriteria/syarat tertentu. Unsur-unsur dalam himpunan S

disebut anggota (elemen) S. Himpunan yang tidak memiliki anggota disebut himpunan

kosong, ditulis dengan notasi φ atau { }. Jika a merupakan anggota himpunan S, maka

dituliskan Sa ∈ dan dibaca “a elemen S”. Jika a bukan anggota himpunan S, maka dituliskan

Sa ∉ dan dibaca “a bukan elemen S”.

Pada umumnya, sebarang himpunan dapat dinyatakan dengan 2 cara.

1. Mendaftar seluruh anggotanya. Sebagai contoh, himpunan A yang terdiri atas unsur-

unsur 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dapat dinyatakan sebagai:

}9,8,7,6,5,4,3,2,1{=A

2. Menuliskan syarat keanggotaan yang dimiliki oleh seluruh anggota suatu himpunan

tetapi tidak dimiliki oleh unsur-unsur yang bukan anggota himpunan tersebut. Apabila

himpunan A di atas dinyatakan dengan cara ini, maka dapat ditulis:

}10darikurangpositifbulatbilangan{ xxA =

Himpunan A disebut himpunan bagian himpunan B, ditulis BA ⊂ , jika setiap anggota

A merupakan anggota B. Kiranya tidaklah sulit untuk dipahami bahwa A⊂φ untuk sebarang

himpunan A. Selanjutnya, akan disampaikan beberapa himpunan bilangan yang dipandang

cukup penting.

Himpunan semua bilangan asli adalah { }...,3,2,1=N . Himpunan ini tertutup terhadap operasi

penjumlahan dan operasi pergandaan, artinya N∈+ yx dan N∈yx. untuk setiap N∈yx, .

Oleh karena itu, himpunan semua bilangan asli membentuk suatu sistem dan biasa disebut

sistem bilangan asli. Sistem bilangan asli bersama-sama dengan bilangan nol dan bilangan-

bilangan bulat negatif membentuk Sistem Bilangan Bulat, ditulis dengan notasi Z,

{ }...,3,2,1,0,1,2,3..., −−−=Z

Bilangan rasional adalah bilangan yang merupakan hasil bagi bilangan bulat dan

bilangan asli. Himpunan semua bilangan rasional ditulis dengan notasi Q,

∈∈= NZQ ba

ba

dan:

Dalam kehidupan nyata seringkali dijumpai bilangan-bilangan yang tidak rasional.

Bilangan yang tidak rasional disebut bilangan irasional. Contoh-contoh bilangan irasional

antara lain adalah 2 dan π. Bilangan 2 adalah panjang sisi miring segitiga siku-siku

dengan panjang sisi-sisi tegaknya masing-masing adalah 1 (lihat Gambar 1.1).

3

Gambar 1.1 Segi tiga siku-siku

Sedangkan bilangan π merupakan hasil bagi keliling sebarang lingkaran terhadap diameternya

(Gambar 1.2).

Gambar 1.2 Pembagian antara keliling dengan diameter lingkaran

Himpunan semua bilangan irasional bersama-sama dengan Q membentuk himpunan semua

bilangan real R. Seperti telah diketahui, untuk menyatakan sebarang bilangan real seringkali

digunakan cara desimal. Sebagai contoh, bilangan-bilangan 667

dan,35

,43

masing-masing

dapat dinyatakan dalam desimal sebagai ( ) ( ) dan,...666,1,75,0 ....1060606,0 Dapat

ditunjukkan bahwa bentuk desimal bilangan-bilangan rasional adalah salah satu dari 2 tipe

berikut:

i. berhenti ( dst.81

,25

,43

), atau

ii. berulang beraturan ( dst.,667

,35

).

Apabila bentuk desimal suatu bilangan tidak termasuk salah satu tipe di atas, maka bilangan

tersebut adalah irasional. Sebagai contoh, bilangan-bilangan:

...14159,3...414213,12 == π

1.2 Sifat-sifat Sistem Bilangan Real

Pembaca diingatkan kembali kepada sifat-sifat yang berlaku di dalam R. Untuk

sebarang bilangan real dcba dan,,, berlaku sifat-sifat sebagai berikut:

1. Sifat komutatif

(i). abbaabba ..).ii( =+=+

2. Sifat asosiatif

1

1

2

d1

l1 l2

d2 π==

2

2

1

1dl

dl

4

( ) ( )( ) ( ) cbacbacba

cbacbacba......).ii(

).i(==

++=++=++

3. Sifat distibutif

).().().( cabacba +=+

4. (i). 0,1

. ≠= bb

aba

(ii). 0,0,.

).().(≠≠

+=+ db

dbcbda

dc

ba

(iii). 0,0,..

. ≠≠= dbdbca

dc

ba

5. (i). ).().().( bababa −=−=−

(ii). baba .)).(( =−−

(iii). aa =−− )(

6. (i). 00

=a

, untuk setiap bilangan 0≠a .

(ii). 0a

tak terdefinisikan.

(iii). 1=aa

, untuk setiap bilangan 0≠a .

1.3 Garis Bilangan

Secara geometris, sistem bilangan real R dapat digambarkan dengan garis lurus. Mula-

mula diambil sebarang titik untuk dipasangkan dengan bilangan 0. Titik ini dinamakan titik

asal (origin), ditulis dengan O. Pada kedua sisi dari O dibuat skala sama (segmen) dan

disepakati arah positif disebelah kanan O sedangkan arah negatif disebelah kiri O.

Selanjutnya, bilangan-bilangan bulat positif 1, 2, 3, … dapat dipasangkan dengan masing-

masing titik di kanan O dan bilangan-bilangan ...,3,2,1 −−− dengan titik-titik di sebelah kiri

O. Dengan membagi setiap segmen, maka dapat ditentukan lokasi untuk bilangan-bilangan

,2,32

,21

− dst. ( perhatikan Gambar 1.3)

• • • • • • •

Gambar 1.3 Garis bilangan

−2 −1 0 1 2 3

21

5

Dengan cara demikian, maka setiap bilangan real menentukan tepat satu titik pada garis lurus

dan sebaliknya setiap titik pada garis lurus menentukan tepat satu bilangan real. Oleh sebab

itu, garis lurus sering disebut pula Garis Bilangan Real.

1.4 Pertidaksamaan

Perubah (variable) adalah lambang (symbol) yang digunakan untuk menyatakan

sebarang anggota suatu himpunan. Jika himpunannya R maka perubahnya disebut perubah

real. Selanjutnya, yang dimaksudkan dengan perubah adalah perubah real.

Pertidaksamaan (inequality) adalah pernyataan matematis yang memuat satu perubah

atau lebih dan salah satu tanda ketidaksamaan (<, >, ≤, ≥).

Contoh

a. 172 +≤− xx c. 922 ≤+ yx

b. 1312

>+−

xx

d. 0122 <−− xx

Menyelesaikan suatu pertidaksamaan memiliki arti mencari seluruh bilangan real yang dapat

dicapai oleh perubah-perubah yang ada dalam pertidaksamaan tersebut sehingga

pertidaksamaan tersebut menjadi benar.Himpunan semua bilangan yang demikian ini disebut

penyelesaian. Sifat-sifat dan hukum dalam R sangat membantu dalam mencari penyelesaian

suatu pertidaksamaan.

Contoh Tentukan penyelesaian pertidaksamaan 7552 +<− xx .

Penyelesaian:

4)31.(12)31.(3

12355755552

7552

−>⇔−>−−⇔

<−⇔+−+<+−−⇔

+<−

xxx

xxxxxx

Jadi, penyelesaian pertidaksamaan di atas adalah { }4−>∈ xRx .

1.5 Nilai Mutlak (Absolute Value)

Nilai mutlak suatu bilangan adalah panjang/jarak bilangan tersebut dari bilangan 0.

Jadi, nilai mutlak 5 adalah 5, nilai mutlak −7 adalah 7, nilai mutlak 0 adalah 0, dan

seterusnya.

6

Definisi . Nilai mutlak R∈x , ditulis dengan notasi x , didefinisikan sebagai:

2xx = .

Definisi di atas dapat pula dinyatakan sebagai:

<−

≥=

0,

0,

xx

xxx

Sebagai contoh, 8)8(8 =−−=− , 25

25

= , 33 = , dst. Selanjutnya, sifat-sifat nilai mutlak

diterangkan sebagai berikut.

A.Sifat –sifat Nilai Mutlak Jika Ryx ∈, maka:

a. yxyx .. =

b. 0, ≠= yasaly

x

yx

c. yxyx +≤+ (Ketaksamaan segitiga)

d. yxyx −≥−

Secara geometris, nilai mutlak ax − dapat diartikan sebagai jarak dari a ke x.

Sebagai contoh, jika 73 =−x maka artinya x berjarak 7 unit di sebelah kanan atau di sebelah

kiri 3 (lihat Gambar 1.4).

• • • • • • • • • • • • • • • • • •

Gambar 1.4 Garis bilangan untuk nilai mutlak untuk 73 =−x

Jadi, penyelesaian 73 =−x adalah { }10,4− .

B. Sifat –sifat Nilai Mutlak Jika 0≥a , maka: axaxax −==⇔= atau .

Sebagai contoh,

4atau4berarti4 −=== xxx

−4 3 10

7 unit 7 unit

7

35

atau35

53atau5353

−==⇔

−==⇔=

xx

xxx

Secara sama,

2atau542atau102

732atau732berarti732

−==⇔−==⇔

−=−=−=−

xxxx

xxx

C. Sifat –Sifat Nilai Mutlak Jika 0≥a , maka:

(a). axaax ≤≤−⇔≤ .

(b). axaxax ≥−≤⇔≥ atau .

Contoh Selesaikan 732 ≥−x .

Penyelesaian:

( ) ( )

5atau2102atau42

732atau732732

≥−≤⇔≥−≤⇔

≥−−≤−⇔≥−

xxxx

xxx

Jadi, penyelesaian adalah { }5atau2 ≥−≤∈ xxRx .

1. 6 Selang (Interval)

Diberikan sebarang dua bilangan real a dan b, dengan ba < . Berturut-turut

didefinisikan:

{ } { }{ } { }{ } { }

{ } { }axxaaxxa

axxaaxxa

bxaxbabxaxba

bxaxbabxaxba

<=−∞≤=−∞

>=∞≥=∞

≤<=<≤=

<<=≤≤=

),(],(

),(),[

],(),[

),(],[

1.7 Sistem Koordinat Cartesius

Diperhatikan 2 garis lurus, satu mendatar (horizontal) dan yang lain tegak (vertical).

Selanjutnya, garis mendatar ini disebut sumbu-x sedangkan garis yang tegak disebut sumbu-y.

Perpotongan kedua sumbu tersebut dinamakan titik asal (origin) dan diberi tanda O. Seperti

biasanya, titik-titik disebelah kanan O dikaitkan dengan bilangan-bilangan real positif

sedangkan titik-titik di sebelah kiri O dengan bilangan-bilangan real negatif. Demikian pula

dengan titik-titik di sebelah atas O dan di sebelah bawah O masing-masing dikaitkan dengan

bilangan-bilangan real positif dan negatif.

8

Oleh ke dua sumbu, bidang datar (bidang koordinat) terbagi menjadi 4 daerah

(kwadran), yaitu kwadran I, kwadran II, kwadran III, dan kwadran IV (lihat Gambar 1.2.1).

Gambar 1.4 Sistem Koordinat Kartesian

Letak sebarang titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan berurutan ),( yx . Titik

),( yxP mempunyai arti bahwa jarak titik P ke sumbu-x dan sumbu-y masing-masing adalah

xy dan . Apabila )0atau(0 << yx maka titik P berada di sebelah kiri (atau sebelah

bawah) titik asal O dan apabila )0atau(0 >> yx maka titik P terletak di sebelah kanan

(atau sebelah atas) titik asal O. Dalam hal ini, x disebut absis titik P sedangkan y disebut

ordinat titik P.

• • • • • • • • • • • • • • •

Gambar 1.4 Sistem Koordinat Kartesian dengan beberapa posisi titik

Hal-hal yang berhubungan dengan dasar – dasar kalkulus

1. Persamaan Jarak

Jika a dan b adalah sisi datar dan sisi tegak maka besarnya c dapat dihitung :

Kwadran I 0,0 >> yx

Kwadran II 0,0 >< yx

Kwadran III 0,0 << yx

Kwadran IV 0,0 <> yx

• • • • • • • •

• )2,5(P

• )4,1(−A

• )1,3( −B

9

a2 + b2 = c2

Andaikan P dan Q adalah titik titik koordinat (x1 , y1) dan (x2 , y2), sedangkan R

berada pada koordinat (x2 , y1). Dengan menerapkan teorema Pythagoras, dapat menentukan

Rumus Jarak seperti berikut

212

212 )()(),( yyxxQPd −+−=

1. Persamaan Garis Lurus

a. Slope garis

12

12)(xxyy

xy

mslope−−

=∆∆

=

Slope merupakan ukuran kecuraman garis

- garis horizontal memiliki slope nol

- garis yang arahnya naik memiliki slope positif

- garis yang arahnya turun memiliki slope negative

c b

a

10

untuk gambar dibawah dapat dinyatakan dengan

12

12'1

'2

'1

'2

xxyy

xxyy

−−

=−−

b. Slope-Titik. Garis lurus yang melalui dua titik koordinat, yang diperoleh suatu

persamaan :

y – y1 = m(x2 – x1)

c. Slope-perpotongan. Bila garis luru memotong sumbu y dengan koordinat (0,b)

seperti pada gambar, maka dapat dinyatakan

y = mx + b

11

d. Garis vertical dan horizontal. Bila garis lurus yang melalui sumbu x dinyatakan

dengan x = k; yang melalui sumbu y dinyatakan dengan y = l.

e. Garis Paralel. Dua garis dikatakan parallel jika garis-garis tersebut memiliki

dlope (m) yang sama. Contohnya garis y = 2x + 2 dan y = 2x + 5 memiliki slope (

m) =2.

y

x = k

x

y = l

(k,0)

(0,l)

O

12

f. Garis tegak lurus. Two garis yang tidak vertikal dikatakan tegal lurus jika dan

hanya jika slope garis yang satu berbanding terbalik negatife dengan slope garis

yang lain.

Dengan teorema Pythagoras, segitiga P1OP2 pada gambar dibawah dapat

dinyatakan :

[d(P1,O)]2 + [d(P2,O)]2 = [d(P1,P2)]2

221

221

22

22

21

21 )()()()( yyxxyxyx −+−=+++

2x1x2 + 2y1y2 = 0 , menjadi 2

2

1

1

yx

xy

−=

g. Grafik Persamaan. Grafik persamaan dalam x dan y terdiri dari beberapa titik

dalam bidang dengan koordinat (x,y).

Cara menggambar grafik :

1. Tentukan beberapa titik koordinat dari persamaan yang digambar.

2. Plot titik tersebut disuatu bidang koordinat

3. Hubungkan titik-titik tersebut.

Contoh : grafik persamaan y = x2 – 3

13

Kesimetrian dari grafik

1. Simetri terhadap sumbu y jika x menjadi –x (contoh: y = x2 - 3)

2. simteri terhadap sumbu x jika y menjadi –y (contoh : x = y2+1)

3. simetri terhadap titik asal (O) jika x menjadi –x dan y menjadi –y (contoh : y = x3 )

h. Grafik persamaan kuadrat dan pangkat tiga. Grafik persamaan kuadrat

memiliki kurva yang berbentuk parabola. Persaman kuadrat dinyatakan sebagai

1. y = ax2 + bx + c; bila a > 0, parabola terbuka keatas dan a< 0, parabola terbuka

kebawah

2 x = ay2 + by + c; bila a > 0, parabola terbuka kekanan dan a < 0, parabola terbuka

kekiri.