BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Berdasarkan pengamatan penulis, sejak SD pelajaran Matematika telah

menjadi momok bagi sebagian besar siswa. Salah satu materi pelajaran

Matematika yang ditakuti oleh siswa SMA adalah kalkulus. Kalkulus terbagi

menjadi empat bagian, yaitu limit, turunan atau diferensial, deret takterhingga dan

integral.

Operasi pengintegralan merupakan invers dari operasi pendiferensialan atau

disebut juga operasi anti-turunan (Wirodikromo, 2007: 3). Materi integral dapat

ditemukan pada pelajaran Matematika kelas XII semester ganjil. Materi integral

terdiri dari integral tak tentu, integral tertentu, integral trigonometri, luas daerah,

dan volume. Integral dapat diaplikasikan dalam bidang sains, ekonomi dan teknik,

serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan

aljabar elementer. Integral juga dapat digunakan untuk mencari luas daerah serta

volume suatu benda.

Dalam karya tulis ilmiah ini, penulis membahas tentang luas daerah yang

dibatasi oleh dua kurva. Untuk mencari luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva,

dapat metode integral dapat digunakan. Namun menurut pengamatan penulis,

metode integral ini rumit dan sulit untuk dipahami karena harus menggambarkan

daerah dari kurva dan menentukan batas-batas integral untuk daerah yang akan

dihitung luasnya. Karena melalui proses menggambarkan kurva dan menentukan

batas-batas integral untuk daerah yang akan dihitung luasnya, penghitungan luas

daerah akan memakan waktu yang cukup lama. Untuk mempermudah siswa

dalam menghitung luas daerah, rumus dapat digunakan. Dengan

menggunakan rumus , siswa dapat menghitung luas daerah yang dibatasi

oleh dua kurva tanpa menggambarkan kurva dan menentukan batas-batas integral

1

untuk daerah yang akan dihitung luasnya. Oleh karena itu penulis tertarik untuk

membuktikan kebenaran rumus secara matematis dengan integral melalui

karya tulis ilmiah berjudul “Pembuktian Rumus untuk Menghitung Luas

Daerah yang Dibatasi oleh Dua Kurva”.

1.2 Rumusan Masalah

Rumusan masalah yang diambil untuk karya tulis ilmiah berjudul

“Pembuktian Rumus untuk Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi oleh

Dua Kurva” adalah sebagai berikut.

1.2.1 Bagaimanakah pembuktian rumus untuk menghitung luas daerah

yang dibatasi oleh kurva dan garis ?

1.2.2 Bagaimanakah pembuktian rumus untuk menghitung luas daerah

yang dibatasi oleh kurva dan kurva ?

1.2.3 Bagaimana cara menggunakan rumus untuk menghitung luas daerah

pada soal?

1.3 Tujuan Pembahasan Masalah

Tujuan pembahasan untuk karya tulis ilmiah berjudul “Pembuktian Rumus

untuk Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi oleh Dua Kurva” yaitu:

1.3.1 untuk membuktikan rumus luas daerah yang dibatasi oleh kurva

dan garis .

1.3.2 untuk membuktikan rumus luas daerah yang dibatasi oleh kurva

dan kurva .

2

1.3.3 untuk mengetahui cara menggunakan rumus luas daerah yang

dibatasi oleh dua kurva pada soal.

1.4 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penyusunan karya tulis ilmiah ini adalah sebagai berikut.

1.4.1 Bagi Siswa

Siswa dapat menghitung luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva secara

cepat tanpa menggunakan integral serta bisa menerapkannya pada soal.

1.4.2 Bagi Guru

Guru dapat menginformasikan tentang bahwa luas daerah yang dibatasi oleh

dua kurva dapat dihitung tanpa harus menggambar daerahnya kepada siswa

dan membuktikan serta menerapkannya pada soal.

1.5 Definisi Operasional

Definisi operasional dari karya tulis ilmiah berjudul “Pembuktian Rumus

untuk Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi oleh Dua Kurva” dibuat

guna menghindari adanya kesalahpahaman dalam menafsirkan judul karya tulis

ilmiah ini. Definisi operasional dari karya tulis ilmiah berjudul “Pembuktian

Rumus untuk Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi oleh Dua Kurva”

adalah sebagai berikut.

1.5.1 Pembuktian

Pembuktian berarti proses, cara, perbuatan membuktikan; usaha

menunjukkan benar atau salahnya si terdakwa dalam sidang pengadilan (Sugono,

2008: 218).

1.5.2 Rumus

3

Rumus berarti ringkasan (hukum, patokan, dsb dalam ilmu kimia,

Matematika, dsb) yang dilambangkan oleh huruf, angka, atau tanda (Sugono,

2008: 1190).

1.5.3 Untuk

Untuk merupakan kata depan untuk meyatakan bagi, bagian, dan sebab atau

alasan.

1.5.3 Menghitung

Menghitung berarti mencari jumlahnya (sisanya, pendapatannya) dng

menjumlahkan, mengurangi, atau membilang untuk mengetahui berapa jumlahnya

(banyaknya) (Sugono, 2008: 504).

1.5.4 Luas

Luas berarti lapang; lebar (Sugono, 2008: 844).

1.5.5 Daerah

Daerah berarti bagian permukaan bumi dalam kaitanya dengan keadaan

alam, dsb yang khusus; selingkungan tempat yang dipakai untuk tujuan khusus;

kawasan (Sugono, 2008: 283).

1.5.6 Yang

Yang berarti kata untuk menyatakan bahwa kata atau kalimat yang

berikutnya diutamakan atau dibedakan dari yang lain; kata yang menyatakan

bahwa bagian dari kalimat yang berikutnya menjelaskan kata yang di depan

(Sugono, 2008: 1566).

1.5.7 Dibatasi

Dibatasi berarti diberi batas.

1.5.7 Oleh

Oleh berarti kata penghubung untuk menandai pelaku (Sugono, 2008: 980).

1.5.8 Dua

Dua berarti bilangan yang dilambangkan dengan angka 2 (Arab) atau II

(Romawi); urutan ke dua sesudah pertama dan sebelum ke tiga (Sugono, 2008:

343).

1.5.9 Kurva

4

Kurva berarti garis lengkung; grafik yang menggambarkan variabel (misal

yang memperlihatkan perkembangan yang dipengaruhi oleh keadaan); garis yang

terdiri atas persambungan titik-titik (Sugono, 2008: 763).

Dari pengertian-pengertian di atas, definisi operasional dari karya tulis ilmiah

yang berjudul “Pembuktian Rumus untuk Menghitung Luas Daerah yang

Dibatasi oleh Dua Kurva” adalah proses atau cara membuktikan rumus

untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva.

5

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Luas Daerah

Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia, luas berarti lapang atau lebar

(Sugono, 2008: 844), dan daerah berarti bagian permukaan bumi dalam katannya

dengan keadaan alam, dan sebagainya yang khusus atau selingkungan tempat

yang dipakai untuk tujuan khusus (Sugono, 2008: 283). Dalam Matematika, luas

suatu bidang datar dapat dihitung menggunakan rumus-rumus tertentu. Misalnya

luas persegi persegi panjang dapat dihitung dengan cara mengalikan panjang dan

lebarnya, luas segitiga dengan mengalikan alas dan tinggi kemuadian dibagi dua,

dan lain-lain.

Secara umum, luas suatu bidang datar dapat dihitung menggunakan integral

tertentu (Nugroho, 2012: 151). Contohnya jika diketahui kurva dan kurva

seperti yang terlihat pada gambar 2.1 di bawah ini, luas daerah yang dibatasi

oleh kedua kurva tersebut dapat dihitung dengan menggunakan integral tertentu

sesuai dengan rumus:

Gambar 2.1 Grafik Luas Daerah yang Dibatasi oleh Dua Kurva

6

2.2 Aplikasi Penghitungan Luas Daerah dengan Integral

Rumus luas daerah dengan menggunakan integral

dapat diaplikasikan dalam soal-soal penghitungan luas daerah yang dibatasi oleh

dua kurva. Berikut adalah uraian dari aplikasi penghitungan luas daerah dengan

menggunakan integral.

2.2.1 Luas Daerah yang Dibatasi oleh Kurva Parabola dan Sumbu X

Jika diketahui sebuah kurva parabola seperti pada gambar di

bawah ini:

Gambar 2.2 Grafik Luas Daerah yang Dibatasi oleh Kurva Parabola dan Sumbu X

maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva parabola dan sumbu x

adalah sebagai berikut.

7

Jadi luas daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu X adalah

satuan luas.

2.2.2 Luas Daerah yang Dibatasi oleh Kurva Parabola dan Garis

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva parabola dan garis

adalah:

Gambar 2.3 Grafik Luas Daerah yang Dibatasi oleh Kurva Parabola dan Garis

8

Jadi luas daerah yang dibatasi oleh kurva parabola dan garis

adalah satuan luas.

2.2.3 Luas Daerah yang Dibatasi oleh Dua Kurva Parabola

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva parabola dan

adalah sebagai berikut.

Gambar 2.4 Grafik Luas Daerah yang Dibatasi oleh Kurva f(x) dan Kurva g(x)

9

Jadi luas daerah yang dibatasi oleh kurva parabola dan

adalah satuan luas.

10

BAB III

METODE PENELITIAN

Metode penelitian digunakan sebagai alat untuk menganalisis objek penelitian

dalam karya tulis ilmiah ini. Metode penelitian yang digunakan dalam karya tulis

ilmiah ini meliputi: (1) rancangan penelitian, (2) metode pengumpulan data, (3)

metode analisis data, dan (4) prosedur penelitian.

3.1 Rancangan Penelitian

Pada karya tulis ilmiah ini penulis membahas tentang pembuktian rumus luas

daerah yang dibatasi oleh dua kurva. Untuk melakukan pembuktian terhadap

rumus ini penuulis menggunakan pendekatan deskriptif kuantitatif.

3.2 Metode Pengumpulan Data

Untuk melakukan pembuktian terhadap rumus metode penelitian yang

digunakan penulis adalah metode kepustakaan. Metode kepustakaan adalah

metode yang dilakukan dengan mempelajari dan mengumpulkan data dari pustaka

baik berupa buku maupun informasi dari berbagai sumber (Iyha, 2012). Penulis

memilaih metode kepustakaan sebab dalam penyusunan karya tulis ilmiah ini

penulis mencari dan mengumpulkan data yang berasal dari buku dan internet.

3.3 Metode Analisis Data

Untuk melakukan pembuktian terhadap rumus , penulis menggunakan

pendekatan deskriptif kuantitatif. Metode kuantitatif merupakan pendekatan yang

menyangkut pendugaan parameter, pengujian hipotesis, pembentukan selang

kepercayaan, dan hubungan antara dua sifat (peubah) atau lebih bagi parameter-

parameter yang mempunyai sebaran (distribusi normal) tertentu yang diketahui

(Syamrilaode, 2012).

11

3.4 Prosedur Penelitian

Dalam penulisan karya tulis ilmiah yang berjudul “Pembuktian Rumus Luas

Daerah yang Dibatasi oleh Dua Kurva”, penulis melakukan langkah-

langkah sebagai berikut:

3.4.1 mencari topik yang akan dibahas dalam karya tulis ilmiah yaitu pembuktian

rumus untuk mencari luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva;

3.4.2 mencari sumber referensi yang dapat digunakan dalam karya tulis ilmiah

yang berjudul “Pembuktian Rumus Luas Daerah yang Dibatasi oleh

Dua Kurva”;

3.4.3 mengkonsultasikan topik yang akan dibahas dalam karya tulis ilmiah ini

dengan guru pembimbing;

3.4.4 membuat latar belakang masalah dan rumusan masalah untuk karya ilmiah

yang berjudul “Pembuktian Rumus Luas Daerah yang Dibatasi oleh

Dua Kurva”;

3.4.5 mencari tinjauan pustaka yang tepat untuk karya ilmiah yang berjudul

“Pembuktian Rumus Luas Daerah yang Dibatasi oleh Dua Kurva”

baik dari buku maupun dari internet agar rumusan masalah yang telah

dibuat dapat terjawab dan dipertanggungjawabkan;

3.4.6 membahas masalah berdasarkan tinjauan pustaka yang ada untuk

menjawab rumusan masalah yang sudah dibuat;

3.4.7 menuangkan hasil pembahasan masalah ke dalam karya ilmiah yang

berjudul “Pembuktian Rumus Luas Daerah yang Dibatasi oleh Dua

Kurva”;

3.4.8 menunjukkan karya tulis ilmiah kepada guru pembimbing guna

mendapatkan kritik dan saran untuk perbaikan karya tulis ilmiah ini;

12

3.4.9 merevisi hasil karya tulis ilmiah yng berjudul “Pembuktian Rumus Luas

Daerah yang Dibatasi oleh Dua Kurva”;

3.4.10 menyusun kembali karya tulis ilmiah yang berjudul “Pembuktian Rumus

Luas Daerah yang Dibatasi oleh Dua Kurva” yang telah direvisi

menjadi karangan yang utuh dan sempurna.

13

BAB IV

PEMBAHASAN

Berdasarkan penelitian yang telah penulis lakukan, pembuktian rumus luas

daerah yang dibatasi oleh dua kurva adalah sebagai berikut.

4.1 Pembuktian Rumus Luas Daerah yang Dibatasi oleh Kurva

dan Garis

Gambar 4.1 Grafik Luas Daerah yang Dibatasi oleh Kurva Parabola dan Garis

Diketahui sebuah kurva dan garis yang

berpotongan pada dua titik yaitu dan seperti pada gambar.

14

Misalkan , , dan sehingga persamaan

dapat diubah menjadi .

Teorema Vietta mengatakan bahwa pada persamaan yang akar-

akarnya yaitu dan , nilai dan nilai maka nilai

dan dapat dicari.

Maka:

15

Jadi

Sedangkan nilai dari dapat dicari sebagai berikut

Sehingga

Rumus dapat digunakan jika batas-batas dari daerah yang akan

dihitung luasnya adalah perpotongan antara kurva dan garis

dan nilai D>0.

16

4.2 Pembuktian Rumus Luas Daerah yang Dibatasi oleh Kurva

dan Kurva

Dengan cara yang sama penulis dapat membuktikan rumus luas daerah

yang dibatasi oleh kurva dan kurva .

Gambar 4.2 Grafik Luas Daerah yang Dibatasi oleh Kurva f(x) dan Kurva g(x)

Diketahui kurva dan kurva

yang berpotongan pada dua titik yaitu dan seperti pada gambar maka:

Misalkan , , dan maka

bisa diubah menjadi .

17

Teorema Vietta mengatakan bahwa pada persamaan yang akar-

akarnya yaitu dan , nilai dan nilai , maka nilai

dan nilai sehingga

18

Rumus dapat digunakan jika batas-batas dari daerah yang akan

dihitung luasnya adalah perpotongan antara kedua kurva, yaitu kurva

dan kurva dan nilai D>0.

4.3 Penggunaan Rumus Luas Daerah pada Soal

4.3.1 Luas Daerah yang Dibatasi oleh Kurva Parabola dan Sumbu X

Jika diketahui sebuah kurva parabola seperti pada gambar di

bawah ini:

Gambar 4.3 Grafik Luas Daerah yang Dibatasi oleh Kurva dan Sumbu X

Maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva parabola dan sumbu x

adalah sebagai berikut:

Menyamakan persamaan kurva dengan garis

19

Dari persamaan berikut dapat diketahui bahwa nilai a=1, b=0, dan c=-4. Dari data

tersebut, nilai diskriminan dari persamaan di atas adalah sebagai berikut:

Maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva parabola dan sumbu x

adalah sebagai berikut:

4.3.2 Luas Daerah yang Dibatasi oleh Kurva Parabola dan Garis

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva parabola dan garis

adalah:

Gambar 4.4 Grafik Luas Daerah yang Dibatasi oleh Kurva Parabola dan Garis

Menyamakan persamaan kurva dengan garis

20

Dari persamaan di atas dapat diketahui bahwa a=1, b=-3, c=0. Maka nilai

diskriminan dari persamaan di atas dapat dicari.

Maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva parabola dan garis

adalah:

4.3.3 Luas Daerah yang Dibatasi oleh Dua Kurva Parabola

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva parabola dan

adalah sebagai berikut.

Gambar 4.5 Grafik Luas Daerah yang Dibatasi oleh kurva f(x) dan g(x)

Menyamakan persamaan kurva f(x) dengan g(x)

21

Dari persamaan di atas dapat diketahui bahwa a=2, b=0, c=-2. Maka nilai

diskriminan dari persamaan di atas dapat dicari.

Maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva parabola dan

adalah sebagai berikut.

Dari beberapa penyelesaian soal penghitungan luas daerah menggunakan

rumus di atas dapat disimpulkan bahwa langkah-langkah penyelesaian soal

penghitungan luas daerah menggunakan rumus adalah sebagai berikut.

1) Menyamakan kedua persamaan kurva sehingga membentuk persamaan

.

2) Menentukan nilai a, b, dan c dari persamaan tersebut.

3) Menghitung nilai diskriminan dari persamaan tersebut dengan rumus

.

4) Menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kedua kurva tersebut dengan

rumus .

BAB V

KESIMPULAN

22

Berdasarkan hasil penelitian penulis tentang pembuktian rumus luas daerah

yang dibatasi oleh dua kurva, penulis dapat mengambil kesimpulan dan

saran sebagai berikut.

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil penelitian penulis tentang pembuktian rumus luas daerah

yang dibatasi oleh dua kurva, penulis dapat menarik kesimpulan sebagai

berikut.

5.1.1 Pembuktian rumus luas daerah yang dibatasi oleh kurva

dan garis : terbukti.

5.1.2 Pembuktian rumus luas daerah yang dibatasi oleh kurva

dan kurva : terbukti.

5.1.3 Langkah-langkah penyelesaian soal penghitungan luas daerah menggunakan

rumus adalah sebagai berikut:

1) menyamakan kedua persamaan kurva sehingga membentuk persamaan

2) menentukan nilai a, b, dan c dari persamaan tersebut

3) menghitung nilai diskriminan dari persamaan tersebut dengan rumus

4) menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kedua kurva tersebut dengan

rumus

5.2 Saran

Setelah melakukan penelitian tentang tentang pembuktian rumus luas daerah

yang dibatasi oleh dua kurva maka penulis dapat memberikan beberapa

23

saran yang bisa menjadi masukan dan pengetahuan baik bagi guru maupun bagi

siswa. Adapun beberapa saran tersebut adalah sebagai berikut.

5.2.1 Bagi Guru

Guru dapat mempermudah siswa dalam mempelajari materi integral,

terutama dalam hal menghitung luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva dengan

menggunakan rumus .

5.2.2 Bagi Siswa

Siswa dapat menggunakan rumus untuk menghitung luas daerah

yang dibatasi oleh dua kurva untuk mempersingkat waktu pengerjaan soal.

24

DAFTAR PUSTAKA

Ayres Jr., Frank dan Elliot Mendelson. 2006. Schaum’s Outlines: Kalkulus Edisi Keempat. Jakarta: Penerbit Erlangga.

Iyha. 2012. Cara Menulis Makalah [online], (http://carapedia.com/menulis_makalah_info2121.html, diakses tanggal 10 Oktober 2012).

Nugroho, Didit Budi. 2012. Kalkulus Integral dan Aplikasinya. Yogyakarta: Graha Ilmu.

Sugono, Dendy. 2008. Kamus Besar Bahasa Indonesia. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama.

Syamrilaode, 2012. Pengertian Metode Kuantitatif [online], (http://id.shvoong.com/writing-and-speaking/presenting/2131804-pengertian-metode-kuantitatif/, diakses tanggal 10 Oktober 2012).

Wirodikromo, Sartono. 2007. Matematika Jilid 3 IPA untuk Kelas XII. Jakarta: Penerbit Erlangga.

25